高中数学奇偶性,周期性,对称性知识点及题型讲解(全面)【精品】

课题1：奇偶性
知识点：
【例】设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2
+2x+a(a 为常数）则f （-1）= 【答案】-1【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)=0；f(0)=a=0，所以f(x)=x 2
+2x ；所以f （-1）=（-1）2
+2（-1）=-1. 【例】设f(x)=lg(
a +x
-12
)是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.（-1,1）
【答案】A 【解析】f(x)=lg(
a +x
-12
)是奇函数，且在x=0处有定义则f(0)=0，即f(0)=lg(
a +0
-12
)=0，则a=-1;f(x)<0,即 lg(a +x -12)<0得⎪⎩⎪⎨⎧<--<±≠111201
x x
，解得-1<x<0.
【例】已知函数法f(x)=x
214x -在[-a,a]上的最大值为M ，最小值为m,则M+m=
【答案】0【解析】因为f(x)=x
2
14x -=x 2-x 21=x 2--x
2；所以f(x)为奇函数，且定义域为R ，所以M+m=0.
【2012新课标1】已知函数f(x)=1sin )1x 22+++x x
（.在R 上最大值为M ，最小值为m,则M+m=
【答案】2【解析】f(x)=1sin )1x 22+++x x （=1
sin 1x 2x 2
2++++x x
=1+1sin x 22++x x ，令g(x)=
1sin x 22++x x ,则g(-x)=1--sin x 2-2++）（x x =1
sin x 2-2
++x x
=g(-x)，所以f(x)=奇函数+1，则M+m=2˙1=2
【例】已知函数f(x)=)31x 9ln(1
e 1
e 32x x
x -++++在区间[-k,k]上的最大值为M ，最小值为m,则M+m=
【答案】4【解析】f(x)=)31x 9ln(1e 1e 32x x
x -++++=)31x 9ln(1e 1-e 2e 22
x x
x x -+++++ =2+)31x 9ln(1e 1-e 2
x x
x -+++，令g(x)=)31x 9ln(1
e 1-e 2x x x -+++,由常见的奇偶函数结论知g(x)=奇+奇=奇。

所以f(x)=奇函数+2，所以M+m= 2˙2=4
【例】函数f(x)=)1x a ln(22ax -++9,且f(-2)=4,则f(2)=
【答案】4【解析】f(x)=)1x a ln(22ax -++9,由常见的奇偶函数结论知f(x)=奇+9,所以f(-2)+f(2)=2˙9=18，所以f(2)=14.
【例】f(x)=x
x x
x x cos 22)4(sin 22
2++++π
的最大值为M ，最小值为m,则M+m= 【答案】2【解析】f(x)=x
x x x x cos 22)4(sin 22
2++++π
=x x x x x x cos 22cos sin 22++++=1+x x x x cos 2sin 2++，令g(x)=x x x x cos 2sin 2++,则g(-x)=）（）（）（x x x x -cos -2--sin 2
+=-x
x x
x cos 2sin 2++=-g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(x)=奇函数+1，则M+m= 2˙1=2
【例】定义在[-2010,2010]上的函数f(x)满足：对任意的1x ，2x ∈[-2010,2010]，有f(1x +2x )=f(1x )+f(2x )-2010，且（1x -2x ）[f(1x )-f(2x )]>0,若f(x)的最大值和最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A.2009 B.2010 C.4018 D.4020
【答案】D 【解析】因为（1x -2x ）[f(1x )-f(2x )]>0,所以f(x)为单增函数故M+N=f(2010)+f(-2010).令g(x)=f(x)-2010,g(1x +2x )=f(1x +2x )-2010，g(1x )=f(1x )-2010，g(2x )=f(2x )-2010;因为f(1x +2x )=f(1x )+f(2x )-2010，所以g(1x +2x )=g(1x )+g(2x )，则g(x)为奇函数，f(x)=g(x)+2010,所以f(x)=奇函数+2010，所以M+N=2˙2010=4020。

题型一：奇偶性的判断
【2017北京理】已知函数f （x ）=3x
﹣（
3
1）x
，则f （x ）（ ） A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数
【答案】 A 【解析】解：f （x ）=3x
﹣（
3
1）x =3x ﹣3﹣x ，∴f （﹣x ）=3﹣x ﹣3x
=﹣f （x ）， 即函数f （x ）为奇函数，又由函数y=3x 为增函数，y=（3
1）x 为减函数，故函数f （x ）=3
x
﹣（3
1）x
为增函数，
【2015新课标1】——常见奇函数之①x n
②log a (bx+
12
2b +x
)
若函数f （x ）=xln （x+2a x +）为偶函数．则a= ．
【答案】 1【解析】∵f （x ）=xln （x+2a x +）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ）， ∴（﹣x ）ln （﹣x+2a x +）=xln （x+2a x +），∴﹣ln （﹣x+2a x +）=ln （x+2a x +）， ∴ln （﹣x+2a x +）+ln （x+2a x +）=0， ∴
， ∴lna=0， ∴a=1．
【2015广东理】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A.y=2
x 1+ B ．y=x+
x 1 C ．y=2x +x 21
D ．y=x+e x
【答案】 D 【解析】对于A ，y=2x 1+是偶函数，所以A 不正确；
对于B ，y=x+
x 1
函数是奇函数，所以B 不正确； 对于C ，y=2x
+x 2
1是偶函数，所以C 不正确；
对于D ，不满足f （﹣x ）=f （x ）也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D 正确
【2015湖南理】设函数f （x ）=ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ），则f （x ）是（ ） A ．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B ．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C ．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D ．偶函数，且在（0，1）上是减函数 【答案】 A 【解析】函数f （x ）=ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ），函数的定义域为（﹣1，1）， 函数f （﹣x ）=ln （1﹣x ）﹣ln （1+x ）=﹣[ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）]=﹣f （x ），所以函数是奇函数．排除C ，D ，正确结果在A ，B ，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f （0）=0；x=
21时，f （21）=ln （1+21）﹣ln （1﹣21）=ln3＞1，显然f （0）＜f （2
1
），函数是增函数，所以B 错误，A 正确
【2012陕西理】2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A ．1y x =+
B ．3
x y -= C ．1
y x
=
D ．||y x x =
【答案】D 【解析】选项中是奇函数的有B 、C 、D ，增函数有D. 【例】判断下列函数的奇偶性。

（1）f(x)=2
2)
1(lg 2---x x （2）f(x)=1x x -122-+
(3)f(x)=
2
43x -3x -+ (4)f(x)=(x-1)
x
-+1x
1 【解析】（1）函数的定义域是⎪⎩
⎪⎨⎧≠-->,022,
0x -12
x ⇒-1<x<0或0<x<1,关于原点对称，此时
f(x)=22)1(lg 2---x x =2
x -2)1(lg 2--x =-x )
1(lg 2x -,f(-x)=-x ]-1[lg 2
--）（x =x )1(lg 2x -=-f(x),故f(x)
为奇函数。

（2）函数的定义域是⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥,
01x ,
0x -122
⇒x=±1,关于原点对称，此时f(x)=0,故函数既是奇函
数又是偶函数。

（3）函数的定义域是4-2
x >0，⇒-2<x<2，关于原点对称，此时，
f(x)=
2
43x -3x
--=-
2
4x x
-,f(-x)=-
2
-4x -）
（x -=-f(x)，故函数f(x)为奇函数。

（4）函数的定义域是⎪⎩⎪
⎨⎧≥-+≠,01x 1,0x -1x
⇒-1≤x<1，关于原点不对称，所以f(x)非奇非偶函数。

题型二：函数奇偶性的运算
【2014•新课标1-5】设函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A ．f （x ）g （x ）是偶函数
B ．|f （x ）|g （x ）是奇函数
C ．f （x ）|g （x ）|是奇函数
D ．|f （x ）g （x ）|是奇函数
【答案】C 【解析】∵f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，∴|f （x ）|为偶函数，|g （x ）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f （x ）|g （x ）|为奇函数，
【2011广东理4】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）
A ．()f x +|g(x)|是偶函数
B ．()f x -|g(x)|是奇函数
C ．|()f x | +g(x)是偶函数
D ．|()f x |- g(x)是奇函数
【答案】A 【解析】因为 g(x )是R 上的奇函数,所以|g(x)|是R 上的偶函数,从而
()f x +|g(x)|是偶函数.
题型三：利用奇偶性求解析式
（对于具有奇偶性的函数，若已知给定区间的解析式，求对称区间的解析式，通常将自变量转化到已知区间再利用奇偶性求解）
【例】f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x
x e e 2
+，求f(x)的解析式。

【解析】设x<0，则-x>0。

f(-x)=x
x -2
e -e +）（=x
x -2
e e +.因为f(x)是偶函数，所以
f(-x)=f(x),所以f(x)=x
x -2e e +综上所述⎪⎩⎪⎨⎧<+>+-0
,0
,)(f 22x e ex x e ex x x
x 【例】f(x)是R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x-2
x ,求f(x)的解析式。

【解析】设x<0，则-x>0。

f(-x)=(-x)-2-）（x =-x-2
x .因为f(x)是奇函数函数，所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x+2
x 综上所述⎪⎩⎪⎨⎧<+>-0
,0
,x )(f 2
2x x x x x x 题型四：奇偶性与方程
【2014年湖南理3】已知分别)(x f ，)(x g 是定义在R 上的偶函数和奇函数，且
1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f
A. 3-
B. 1-
C. 1
D. 3 【答案】C
【解析】令1-=x 可得1)1()1()1()1(=+=---g f g f ，或者观察求得1)(2
+=x x f ，
3)(x x g -=，可求得1)1()1(=+g f ；其实本题可根据奇偶性列出两个方程组求出f(x)和
g(x)的解析式，这样想求什么都可以。

【2011年湖北理6】已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足
()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f
A. 2
B.
415 C. 4
17 D. 2
a
【答案】B
【解析】由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即
()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，
所以2=a ，()4
152222
2=
-=-f . 【2012上海理】已知y=f （x ）+x 2
是奇函数，且f （1）=1，若g （x ）=f （x ）+2，则g （﹣1）= ．
【答案】﹣1【解析】由题意，y=f （x ）+x 2
是奇函数，且f （1）=1， 所以f （1）+1+f （﹣1）+（﹣1）2
=0解得f （﹣1）=﹣3 所以g （﹣1）=f （﹣1）+2=﹣3+2=﹣1 故答案为﹣1
题型五：奇偶性与不等式
【2017新课标1理5】——利用奇偶性，单调性；把值域的不等式转换为自变量的不等式。

函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3]
【答案】 D
【解析】由f (x )是奇函数，f (1)＝－1，得f (－1)＝1. 不等式可化为f (1)≤f (x －2)≤f (－1).
由f (x )在R 上单调减，得－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3.
【例】（1）设函数f(x)在定义域R 上是奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x 的取值范围是
（2）设函数f(x)在定义域(-∞，0)⋃(0,+∞)上是偶函数，若当x ∈(0,+∞)时，f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x 的取值范围是
【解析】（1）由题意可得x ∈(0,+∞)时，f(x)单调递增且f(1)=0,由f(x)>0得x>1；因为f(x)是奇函数，所以当x ∈(-∞，0)时，f(x)单调递增且f(-1)=0;且有f(0)=0，由f(x)>0得-1<x<0,综上所述x ∈( -1，0 )⋃(1,+∞)
（2）由题意可得x ∈(0,+∞)时，f(x)单调递增且f(1)=0,由f(x)>0得x>1；因为f(x)是偶函数，所以当x ∈(-∞，0)时，f(x)单调递减且f(-1)=0，由f(x)>0得 x<-1,综上所述x ∈( -∞，-1 )⋃(1,+∞)。

【例】已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上点掉递增，则满足f(2x-1)<f(3
1
)的x 的取值范围是（ ） A. （
31，32）B.[31，32）C.（21，32）D.[21，3
2） 【答案】A 【解析】偶函数f(x)在区间[0,+∞)上点掉递增，要使f(2x-1)<f(
3
1
)，只需3
1
1x 2<
-，解不等式得到x ∈（31，32）。

【例】偶函数f(x)满足 f(x)=3
x -8(x ≥0），则}{
)2x (x >-f =（ ）
A.}{4x 2x x >-<或
B.}{4x 0x x ><或
C.}{6x 0x x ><或 D .}{
2x 2x x >-<或 【答案】B 【解析】由于f(2)=0，所以不等式f(x-2)>0等价于f(x-2)>f(2),而f(x)是偶函数，且在x ∈[0,+∞)上单调递增，所以。

22x >-，解得}{
4x 0x x ><或。

【例】设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0,则不等式0)
()(f <--x
x f x 的解集
为（ ）
A.（-1,0）⋃(1,+∞)
B.(-∞，-1)⋃(0,1)
C.(-∞，-1)⋃(1,+∞)
D.(-1，0)⋃(0,1) 【答案】D 【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),则
0)
()(f <--x
x f x 化简为
0)
(2f <x
x 。

①当x>0时，只需f(x ）<0，又f(x)在(0,+∞)上为增函数且f(1)=0，故x ∈(0,1);②当x<0时，只需f(x ）>0，又f(x)为奇函数，故f(x)在(-∞，0)上为增函数且f(-1)=0，故x ∈(-1,0)综上所述，x ∈(-1，0)⋃(0,1)
课题2：周期性和对称性知识点：
题型一：周期性
【2016山东（理）】已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＜0时，f （x ）=x 3
﹣1；当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ）；当x ＞21时，f （x+21）=f （x ﹣2
1
）．则f （6）=（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2
【答案】 D 【解析】∵当x ＞
21时，f （x+21）=f （x ﹣2
1
）， ∴当x ＞
2
1
时，f （x+1）=f （x ），即周期为1．∴f （6）=f （1）， ∵当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （1）=﹣f （﹣1）， ∵当x ＜0时，f （x ）=x 3
﹣1，∴f （﹣1）=﹣2， ∴f （1）=﹣f （﹣1）=2， ∴f （6）=2．
【2016四川（理）】已知函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时， f （x ）=4x
，则f （﹣2
5
）+f （1）= ． 【答案】 ﹣2
【解析】∵f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数，
∴f （﹣
25）=f （﹣2﹣21）=f （﹣21）=﹣f （2
1） ∵x ∈（0，1）时，f （x ）=4x
， ∴f （﹣2
5）=﹣2，
∵f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数，
∴f （﹣1）=f （1），f （﹣1）=﹣f （1）， ∴f （1）=0∴f （﹣
2
5
）+f （1）=﹣2． 【2016江苏（理）】设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x ）=
，其中a ∈R ，若f （﹣
25）=f （2
9
），则f （5a ）的值是 ． 【答案】 ﹣
5
2
【解析】f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x ）=
， ∴f （﹣
25）=f （﹣21）=﹣2
1
+a ，
f （
29）=f （21）=|52﹣21|=101， ∴a=5
3， ∴f （5a ）=f （3）=f （﹣1）=﹣1+53=﹣52， 【2014•四川理】设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=，则f （2
3）= ． 【答案】 1【解析】∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数， ∴=1．
【2012江苏省理】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，
上， 0111()201
x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则3a b +的值为 ．
【答案】10-。

【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即21=2
b a +-+①。

又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1
41=23
b a +-+②。

联立①②，解得，=2. =4a b -。

∴3=10a b +-。

【2012山东理】定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+6）=f （x ），当﹣3≤x ＜﹣1时，f （x ）=﹣（x+2）2
，当﹣1≤x ＜3时，f （x ）=x ．则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）=（ ）
A ．335
B ．338
C ．1678
D ．2012
【答案】B 【解析】∵f （x+6）=f （x ），
∴f （x ）是以6为周期的函数，
又当﹣1≤x ＜3时，f （x ）=x ，
∴f （1）+f （2）=1+2=3，f （﹣1）=﹣1=f （5），f （0）=0=f （6）；
当﹣3≤x ＜﹣1时，f （x ）=﹣（x+2）2，
∴f （3）=f （﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，
f （4）=f （﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，
∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）+f （6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，
∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）
=[f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）]+f （2011）+f （2012）
=335×1+f （1）+f （2）=338．
【2009湘潭一中月考】定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=-f （x+
23) ,f(-2)=f(-1)=-1,f(0)= 2,则f(1)+f(2)+f(3)+˙˙˙+f(2008)+f(2009)=
【答案】-2
【解析】根据f(x)=-f(x+23) ,可知f(x)的周期T=2X 2
3=3，于是f(1)+f(2)+f(3)+˙˙˙+f(2008)+f(2009)=669[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=669[f(-2)+f(-1)+f(0)]+f(-2)+f(-1)=669X0-1-1=-2
【例】函数f(x)对任意实数x 满足f(x+2)=-f(x),若f(1)=-5,则f(f(5))等于
【答案】5
【解析】根据f(x+2)=-f(x),可知f(x)的周期T=2X2=4，因为f(1)=-5, f(5)=f(1+4)=f(1）=-5，于是f(f(5))=f(-5)=f(-1-4)=f(-1),而f(-1)=-f(-1+2)=-f(1)=5.
【例】定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则f （-25)，f （11)，f （80)的大小顺序为
【答案】f （-25）<f （80）<f （11）
【解析】根据f(x-4)=-f(x) ,可知f(x)的周期T=2X4=8，又因f （x ）为奇函数，故f （-25）=f （-1-8X3）=f(-1)=-f （1）,f （11）=f （3+8）=f(3)，又f （3）=-f(3-4)=-f （-1）=f （1）,f （80）=f （ 8X10）=f （0）；因为f （x ）在区间[0,2]上是增函数,故f （1）>f （0）=0，则-f （1）<0,综上所述f （-25）<f （80）<f （11）。

【例】定义在R 上的函数f(x)满足f(x)˙f(x+2)=13,f(1)=2,则f(99)=
【答案】2
13 【解析】根据f(x)˙f(x+2)=13,可知f(x)的周期T=2X2=4，因为f(1)=2,所以 f(99)=f(3+4X24)=f(3），又因 f(3)˙f(1)=13，则 f(3) =
213，故f(99) =213。

【例】定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=
)(f 1)(f -1x x +,若f(2)=1,则f(2009)= 【答案】0
【解析】根据f(x+1)=)
(f 1)(f -1x x + ,可知f(x)的周期T=2X1=2，于是f(2009)=f(1+2X1004)=f （1），又因 f(2)=f(1+1)=
)
1(f 1)1(f -1+=1 ，则 f(1) =0，故f(2009)=f （1）=0.
【2009山东理10】定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩
⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ( )
A.-1
B. 0
C.1
D. 2
【答案】C
【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,
(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,
(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1.
【例】定义在R 上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),且f （1）=lg3-lg2,f （2）=lg3+lg5,则f(2010)
【答案】-1
【解析】根据f(x+2)=f(x+1)-f(x)① ,令x=x+1,则f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)②，①+③可得f(x+3)=-f （x ）,则周期T=2X3=6， f （2010）=f （0+6X335）=f （0），又因f （2）=f （1）-f （0），所以f （0）=f （1）-f （2）=lg3-lg2-lg3-lg5=-lg2X5=-1，即 f （2010）=-1.
【2010重庆理15】已知函数)(x f 满足：1(1)4f =
，4()()()()f x f y f x y f x y =++-（,x y R ∈），则=)2010(f __________.
【答案】2
1 【解析】取x=1， y=0，得21)0(=
f ， 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6
法二：取x=n ，y=1，有f(n)=f(n+1)+f(n-1)，同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) ，所以T=6 ，故()()1201002
f f ==。

【例】已知函数y=f （x ）满足f （1）=，f （x+y ）+f （x-y ）
题型二：对称性
【例】设函数y=f(x)(x ∈R)的图像关于x=0及直线x=1对称，且x ∈[0,1]时，f(x)=x 2
，则f(-2
3)= ( ) A. 21 B.41 C.43 D.49 【答案】B 【解析】函数的图像关于x=0及直线x=1对称，由函数的对称性和周期性结论知f(x)为周期函数，且周期T=2（1-0）=2，所以f(-23)=f(21)=4
1。

【2009全国1理10】f(x)的定义域为R ，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2)
D.f(x+3)是奇函数
【答案】D 【解析】因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)，f(x)关于（1,0）对称；因为f(x-1)是奇函数，所以f(-x-1)=-f(x-1)，f(x)关于（-1,0）对称；由函数的对称性和周期性结论知f(x)为周期函数，且周期T=2[1-（-1）]=4，则f(x+3)=f(x-1)，所以f(x+3)是奇函数。

【例】函数f(x)的定义域为R ，若f(x+2)+f(2-x)=0，且f(x-1)=-f(-x-1) ，则f(x ）的最小正周期为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.6
【答案】D 【解析】因为f(x+2)+f(2-x)=0，所以f(x+2)=-f(2-x)，则f(x ）关于（2，0）
对称；因为f(x-1)=-f(-x-1) ，所以f(x ）关于（-1，0）对称；
由函数的对称性和周期性结论知f(x)为周期函数，且周期T=2[2-（-1）]=6 。

【例】已知f(x)的定义域为R 的奇函数，且f(x+
21)为偶函数，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=( )
A.4
B.3
C.0
D.2
【答案】C 【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(x ）关于（0，0）对称；因为f(x+
21)为偶函数 ，所以f(x+21)=f(-x+21)关于x=2
1对称；由函数的对称性和周期性结论知f(x)为周期函数，且周期T=4(2
1-0)=2 。

则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=3[f(1)+f(2)]。

因为f(x+21)=f(-x+21)，将x=21代入得f(1)=f(0)=0;将x=2
3代入得f(2)=f(1)=0；所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=3[f(1)+f(2)]=0.
【例】f(x)的定义域为R 的函数，f(10+x)=f(10-x)，f(20+x)=-f(20-x)，则f(x)是
A. 周期为20的奇函数
B.周期为20的偶函数
C.周期为40的奇函数
D.周期为40的偶函数
【答案】C 【解析】因为f(10+x)=f(10-x)，所以f(x)关于x=10对称；又因为f(20+x)=-f(20-x)所以f(x)关于（20，0）对称；由函数的对称性和周期性结论知f(x)为周期函数，且周期T=4(20-10)=40 。

在f(20+x)=-f(20-x)中，用x+20替换x 得到f(20+x+20)=-f[20-（x+20）],化简得f(x+40)=-f(-x)，因为f(x)的周期为40，所以f(x+40)=f(x)，即f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数。