《运筹学》第一章 线性规划

③
约束方程②的系数矩阵
2 2 1 0 0 0
A 1 4
2 0
0 0
1 0
0 1
0 0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0 4 0 0 0 1
确定初始基B
1 0 0 0
产量分别为 x1、x2
项目
Ⅰ
设备 A（h） 0
设备 B（h） 6 调试工序（h） 1 利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
2.目标函数：设总利润为z，则
max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：
5x2 ≤ 15
s.t.
6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1， X2，使X成为这两个点连线上的一个点。
（三）基本定理
定理1 若线性规划问题存在可行解，则问题的 可行域是一个凸集。
定理2 线性规划的基可行解对应线性规划问题 可行域（凸集）的顶点。
定理3 若线性规划问题有最优解，一定存在一个 基可行解是最优解。
(2)常数项bi＜0的转换：约束方程两边乘以（－1）。 (3) 约束方程的转换：由不等式转换为等式 。
aij xj bi aij xj bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
(4) 变量的变换
若存在取值无约束的变量 x，j可令
2x1
+ 2x3
≤ 34
s.t.
4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52
25x1+20x2
＝200
40x3+20x4＝400
xj ≥ 0 （ j = 1,2,3,4）
2、线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min)Z c1x1 c2 x2 cn xn ①
a11x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
——满足以上三个条件的数学模型称为线性规划
也可以记为如下形式：
目标函数： 约束条件：
n
max (min) Z c j x j j1
n
aij x j ( ) bi (i 1 2m)
j1
xj 0
(j 1 2n)
如将上例用表格表示如下：
设变量
x j ( j 1 2n)
产品 j
设 备1i
（二）数学模型
例4 某工厂生产A、B两种产品， 解：
有关资料如下表所示：
设：总成本为Z，A、B产品
工序 产品
A
C
工时
B 销售 报废 限制
工序 1 2 3 — — 12
工序 2 3 4 — — 24
单位利润 （百元）
4
10
3
－2
注：每生产单位产品 B 可得到 4 单位
副产品 C，据预测，市场上产品 C 的
（四）单纯形法迭代原理
基本思路：将模型的一般形式变成标准形式，再根 据标准型模型，从可行域中找一个基可行解，并判 断是否是最优。如果是，获得最优解；如果不是， 转换到另一个基可行解，当目标函数达到最大时， 得到最优解。
例:
m ax Z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12
x1 4 x1
2 x2
8 16
4 x2 12
x1 , x2 0
变成标准型
max Z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 0x6 ①
2x1 2x2 x3
12
4xx11 2x2
x4 x5
8 16
②
4 x2
x6 12
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
（二）数学模型
例5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货 运量、货运成本如下表所示：
航线号
船队 类型
1 1
2
3 2
4
拖轮
1 1 2 1
编队形式 A型 驳船 2
—
2 —
B型 驳船
—
4
4 4
货运成本 （千元／队）
36 36 72 27
货运量 （千吨）
25 20 40 20
船只种类
船只数
航线号
例：
max Z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12
⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x2 12
⑷
x1 0, x2 0
max Z 2 x1 3 x2
作图
x2
2 x1 2 x2 12
⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x2 12
⑷
x1 0, x2 0
最大销量为 5 单位，若产品 C 销售不
出去，则报废。
销量为x1、x2，产品C的销售
量为x3，报废量为x4，则：
max z = 4 x1 + 10 x2 + 3 x3
－ 2 x4
2x1 + 3x2
≤ 12
3x1 + 4x2
≤ 24
s.t.
- 4x2 +x3 + x4 = 0
x3 ≤ 5
x1、x2 、x3 、x4≥0
X 0
矩阵和向量形式：
a11 a1n
A
am1 amn
max (min) Z CX
AX ( ) b
X
0
（三）线性规划模型的标准形式1、标准形式源自max Z c j x j
x
j
aij x j 0
bi
(i 1 2m) (j1 2n )
将模型的一般形式变成标准形式，再根据标准型 模型，从可行域中找一个基本可行解，并判断是否是 最优。如果是，获得最优解；如果不是，转换到另一 个基本可行解，当目标函数达到最大时，得到最优解。
② 约束条件： am1x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
③
模型特点
1 都用一组决策变量X = (x1,x2,…,xn)T表示某一方案，且 决策变量取值非负； 2 都有一个要达到的目标，并且目标要求可以表示成 决策变量的线性函数；
3 都有一组约束条件，这些约束条件可以用决策变量 的线性等式或线性不等式来表示。
解: 用 x4 替x换5 ，且x3 x，4 , x5 0
引入变量 x6 , x7
将第3个约束方程两边乘以（－1） 将极小值问题反号，变为求极大值
标准形式如下：
max Z 2 x1 x2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7
5 x1 x2 ( x4 x5 ) x6 7
（一）解题步骤
1 在直角平面坐标系中画出所有的约束等式，并找出所 有约束条件的公共部分，称为可行域，可行域中的点称 为可行解。
2 标出目标函数值增加的方向。
3 若求最大（小）值，则令目标函数等值线沿（逆）目 标函数值增加的方向平行移动，找与可行域最后相交的 点，该点就是最优解。
4 将最优解代入目标函数，求出最优值。
合同货运量
拖轮
30
A型驳船
34
B型驳船
52
1
200
2
400
问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为 最小？
解：
设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本
则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30
2、特征：
⑴ 目标函数为求极大值，也可以用求极小值； ⑵ 所有约束条件（非负条件除外）都是等式，右 端常数项为非负； ⑶ 变量为非负。
3、转换方式： ⑴ 目标函数的转换
如果是求极小值即 min Z ，则c可j x j将目标函数乘以
（－1），可化为求极大值问题。
也就是：令Z Z ，可得到下式
∑ 即 maxZ′= － cj xj
(1)线性规划问题解的情况：惟一最优解；无穷 多最优解；无界解；无可行解
(2)线性规划问题的可行域是凸集（凸多边形）
(3)最优解一定是在凸集的某个顶点
(4)解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算 其目标函数值，再与周围顶点的目标函数值比 较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为 止。
三、线性规划的单纯形法
∴ Xj 为基变量，否则为非基变量。
⑷基解：满足条件②，但不满足条件③的
所有解，最多为
个。C
m n
⑸基可行解：满足非负约束条件的基解，
简称基可行解。
⑹可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
（二）凸集及其顶点
凸集：如果集合C中任意两个点X1，X2,其连线上 的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。
⑶
⑷
(4 2)
1 234 56
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
∴ 最 优 解：x1 = 4 x2 = 2 最 优 值：Z = 14
有惟一最优解
（二）线性规划问题解的情况
惟一解 无穷解 无界解 无可行解
例：
max Z x1 2 x2
x1 2 x2 6 ⑴
3
x1
2 x2 x2
12 2
⑵ ⑶
x1 x2 ( 5 x1 x2