2009-1987年考研数学二真题及答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数,则( )()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则( )()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. (3)设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0( )()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.(4)设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰( )()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰(5)若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则()f x 在区间()1,2内( )()A 有极值点,无零点. ()B 无极值点,有零点.()C 有极值点,有零点. ()D 无极值点,无零点.(6)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为( )()A .()B .()C .()D .(7)设A 、B 均为2阶矩阵,**A B ,分别为A 、B的伴随矩阵。
2009年考研数学二真题答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数()3sin x x f x nx -=的可去间断点的个数,则( ) ()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C【解析】()3sin x x f x x π-=则当x 取任何整数时,()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个,即0,1±(2)当0x →时,()sin f x x ax=-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则( )()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小,则 222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a →==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。
2009年考研数学二真题

B 1 dx x
2
2
4 x
f x, y dy
C 1 dy 1
【答案】 C 【解析】
4 y
D 1 dy y f x, y dx
2
2
1
dx f ( x, y)dy dy f ( x, y )dx 的积分区域为两部分:
x 1 x
2
更多考研相关干货资料,上新东方在线论坛下载 /
a3 6b ,故排除 B, C .
1 a cos ax 存在,蕴含了 1 a cos ax 0 x 0 ,故 a 1. 排除 D . x 0 3bx 2 所以本题选 A .
x x3 1 3x 2 1 lim lim , x 0 sin x x 0 cos x 3 2 xx 1 3x 2 lim lim , x 1 sin x x 1 cos x 3 2 xx 1 3x 2 lim lim . x 1 sin x x 1 cos x
在 [1,2] 上, f ( x) f (1) 1 0 ,即 f ( x) 单调减少,没有极值点. 对于 f (2) f (1) f ( ) 1 (1,2) ,(拉格朗日中值定理)
f (2) 0 而 f (1) 1 0 ,由零点定理知,在 [1,2] 上, f ( x) 有零点.故应选 B .
故 0, 0 为函数 z f ( x, y) 的一个极小值点.
(4) 设函数 f x, y 连续,则
2
1
dx f x, y dy dy
x 1
2
2
4 y y
f x, y dx
1987考研数学一、二、三真题+答案 【无水印】

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答数 学(试卷Ⅰ)一、填空题(每小题3分,满分15分. 只写答案不写解题过程)(1) 与两直线 112x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及 121121x y z ++-==都平行,且过原点的平面方程是 50x y -+=(2) 当x =1/ln 2-;时,函数2xy x =取得极小值.(3) 由ln y x =与两直线(1)y e x =+-及0y =围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设L 为取正向的圆周922=+y x ,则曲线积分dy x xdx y xy L)4()22(2-+-⎰的值是π18- .(5) 已知三维线性空间的一组基底)1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα,则向量α=(2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )二、(本题满分8分)求正的常数a 与b ,使式1sin 1lim220=+-⎰→dt ta t x bx x x 成立. 解:假若1b ≠,则根据洛必达法则有2200011lim lim(01sin cos x x x bx x b x →→==≠--⎰,与题设矛盾,于是1b =.此时2222100002111lim lim(lim(sin 1cos x x x x bx x x x →→→===--⎰,即1=,因此4a =.三、(本题满分7分)(1) 设函数,f g 连续可微,(,),()u f x xy v g x xy ==+,求,.u vx x∂∂∂∂ 解:1212()u x xy f f f y f x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+⋅∂∂∂;()(1)v x xy g y g x x∂∂+''=⋅=+⋅∂∂.(2) 设矩阵A 和B 满足2AB A B =+,其中A =301110014⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵B .解:因2AB A B =+,故2AB B A -=,即(2)A E B A -=,故1(2)B A E A -=-=522432223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解.其中常数0a >.解:由特征方程3222(9)0r r a r +++=,知其特征根根为12,30,3r r ai ==-±. 故对应齐次方程的通解为33123cos sin x x y C C e x C e x --=++ ,其中123,,C C C 为任意常数.设原方程的特解为*()y x Ax =,代入原方程可得A =219a+. 因此,原方程的通解为*33123()cos sin x x y x y y C C e x C e x --=+=+++219a+x . 五、选择题(每小题3分,满分12分) (1) 设常数0k >,则级数21)1(n nk n n+-∑∞= (C )(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D) 收敛与发散与k 的值有关.(2) 设)(x f 为已知连续函数,⎰=t sdx tx f t I 0)(,0,0s t >>,则I 的值(D )(A) 依赖于s 和t (B) 依赖于s 、t 、x(C) 依赖于t 和x , 不依赖于s (D) 依赖于s , 不依赖于t (3) 设1)()()(lim 2-=--→a x a f x f a x ,则在点x a =处(B)(A) ()f x 导数存在,0)(≠'a f (B) ()f x 取得极大值(C) ()f x 取得极小值(D) ()f x 的导数不存在.(4) 设A 为n 阶方阵, 且0≠=a A , 而*A 是A 的伴随矩阵,则*A =(C)(A) a(B) a/1(C) 1-n a (D) n a六、(本题满分10分) 求幂级数1121+∞=∑n n n x n 的收敛域,并求其和函数. 解:记112n n n u x n +=,有1112lim lim (1)22n nn n n n n n x u x n u n x +++→∞→∞=⋅=+,令12x <,知原级数在开区间(2,2)-内每一点都收敛.又当2x =-时,原级数=111111(2)2(1)2n n n n n n n ∞∞++==-=-∑∑,故由莱布尼兹判别法知其收敛;而当2x =时,原级数=11111122(1)2n n n n n n n ∞∞++===-∑∑,显然发散,故幂级数的收敛域为)2,2[-. 又记111111()()()22n n n n n x S x x x xS x n n ∞∞+=====∑∑,其中111()()2n n xS x n ∞==∑,有1111()()21/2n n x S x x ∞-='==-∑,于是102()2ln()1/22x dx S x x x ==--⎰,因此幂级数的和函数为2()2ln 2S x x x=-,[2,2)x ∈-.七、(本题满分10分) 计算曲面积分2(81)2(1)4SI x y dydz y dzdx yzdxdy =++--⎰⎰,其中s 是曲线 )31(01≤≤⎩⎨⎧=-=y x y z 绕Y 轴旋转一周所形成的曲面,它的法向量与Y 轴正向的夹角恒大于/2π.解:S 的方程为221y x z =++,记1S :223,()y x z =+,知1S S +为封闭曲面,设其 方向取外侧,所围区域为Ω,则由高斯公式,有12(81)2(1)4S S I x y dydz y dzdx yzdxdy +=++--⎰⎰12(81)2(1)4S x y dydz y dzdx yzdxdy-++--⎰⎰12102(1)0S dv y dydz Ω=⋅---+⎰⎰⎰⎰⎰=3212(13)yz xD D dy dzdx dzdx --⎰⎰⎰⎰⎰31(1)16234y dy ππ=-+⋅⋅=⎰.八、(本题满分10分)设函数)(x f 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每个x ,函数的值都在开区间(0,1)内,且1)(≠'x f .证明 在(0,1)内有且仅有一个x ,使()f x x =.证:令()()h t f t t =-,知()h t 在闭区间[0,1]上连续,又由题设知0()1f x <<,于是 有(0)(0)00,(1)(1)10h f h f =->=-<. 故由零点定理,在(0,1)内有x ,使()f x x =.假若)(x f 在开区间(0,1)内有两个不同的点1x 和2x ,使得11()f x x =,22()f x x =, 不妨设12x x <,则易见)(x f 在闭区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故由拉格朗日定理知,(0,1)ξ∃∈,使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-,即()1f ξ'=.此与1)(≠'x f 矛盾!故在(0,1)内使()f x x =的x 只能有一个.九、(本题满分8分)问,a b 为何值时,线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解?无解?有无穷多解? 并求出无穷多解时的通解.解:对方程组的增广矩阵进行初等变换,得11110111100122101221()013200101321100010A A b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭○1 当1≠a 时,系数行列式2(1)0A a =-≠,故由克拉姆法则,原方程组有唯一解; ○2 当1a =,且1b ≠-时, ()3,()2r A r A ==, ()()r A r A ≠,故原方程组无解;○3 当1a =,且1b =-时, ()()24r A r A ==<,故原方程组有无穷的解. 此时显然有 11110101110122101221()00000000000000000000A A b ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭可见其通解为:12(1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1)T T T x c c =-+-+-,其中12,c c 为任意常数.十、填空题(每小题2分,满分6分)(1) 在一次试验中事件A 发生的概率为p ,现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为np )1(1--;而事件A 至多发生一次的概率为1)1]()1(1[---+n p p n .(2) 三个箱子,第一个箱子有4个黑球1个白球,第二个箱子中有3个白球3个黑球,第三个箱子中有3个黑球5五个白球,现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取一个球,这个 球为白球的概率为53/120,已知取出的是白球,此球属于第二箱的概率是20/53.(3) 已知连续随机变量X 的密度为1221)(-+-=x xe xf π,则X 的数学期望为 1 ;X 的方差为 1/2 .十一、(本题满分6分)设随机变量X ,Y 相互独立,其概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=它其0101)(x x f X ;⎩⎨⎧≤>=-00)(y y e y f y Y ,求随机变量Z =2X +Y 的概率密度函数()z f z .解:由题设,(,)X Y 的联合密度为01,0(,)()()0y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其 它, 故Z 的分布函数2()()(2)(,)z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰,○1 当0z <时,2()00z x y zF z dxdy +≤==⎰⎰,此时()00z f z '==;○2 当02z ≤≤时,200001()22z yzz z y y yz z F z dy e dx e dy ye dy ----==-⎰⎰⎰⎰,此时 011()()(1)22z y z z z f z F z e dy e -'===-⎰;○3 当2z >时,121220001()(1)1(1)2z x y x z zz F z dx e dy e dx e e -----==-=--⎰⎰⎰,此时 21()()(1)2zz z f z F z e e -'==-综上所述,Z =2X +Y 的概率密度函数为()z f z =122120(1)02(1)2zz z e z e e z ---<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩数 学(试卷Ⅱ)一、(本题满分15分)【 同数学Ⅰ、第一题 】 二、(本题满分14分) (1)(6分)计算定积分2||2(||).x x x e dx --+⎰解:因||x xe-是奇函数,||||x x e -是偶函数,故 原式=22||202||226.x x x e dx xe dx e --==-⎰⎰(2)(8分)【 同数学Ⅰ、第二题 】三、(本题满分7分)设函数(,,),yz f u x y u xe ==,其中f 有二阶连续偏导数,求2.z x y∂∂∂解:121yz u f f f e f x x∂∂''''=⋅+=⋅+∂∂,2111312123()y y y y z f xe f e e f f xe f x y ∂'''''''''=⋅++⋅+⋅+∂∂. 四、(本题满分8分)【 同数学Ⅰ、第四题 】 五、(本题满分12分)【 同数学Ⅰ、第五题 】 六、(本题满分10分)【 同数学Ⅰ、第六题 】 七、(本题满分10分)【 同数学Ⅰ、第七题 】 八、(本题满分10分)【 同数学Ⅰ、第八题 】 九、(本题满分8分)【 同数学Ⅰ、第九题 】 十、(本题满分6分)设12,λλ为n 阶方阵A 的特征值,12λλ≠,而21,x x 分别为对应的特征向量,试证明:21x x +不是A 的特征向量.证:假若21x x +是A 的特征向量,设其对应的特征值为3λ,则有12312()()A x x x x λ+=+, 即123132Ax Ax x x λλ+=+. 又由题设条件知111Ax x λ=,222Ax x λ=,故有131232()()0x x λλλλ-+-=.因21,x x 是属于不同特征值的特征向量,所以21,x x 线性无关, 从而13λλ=,且13λλ=,此与12λλ≠矛盾!因此21x x +不是A 的特征向量.数 学(试卷Ⅲ)一、填空题(每小题2分,满分10分. 把答案填在题中横线上) (1) 设)1ln(ax y +=, 其中a 为非零常数,则22)1(,1ax a y ax ay +-=''+='.(2) 曲线y arctgx =在横坐标为1点处的切线方程是4221-+=πx y ; 法线方程是4/)8(2++-=πx y .(3) 积分中值定理的条件是()[,]f x a b 在闭区间上连续,结论是[,],()()()baa b f x dx f b a ξξ∃∈=-⎰使得(4) 32()1nn n lin e n -→∞-=+.(5)⎰='dx x f )(c x f +)(;⎰'badx x f )2(=)2(21)2(21a f b f -. 二、(本题满分6分) 求极限 011lim()1x x xe →--解:200000111111lim()lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→------=====--. 三、(本题满分7分)设⎩⎨⎧-=-=)cos 1(5)sin (5t y t t x ,求 22,.dy d y dx dx解:因5sin ,55cos dy dx t t dt dt ==-,5sin )sin 5(1cos 1cos dy t t dx t t ==--(0+),故t tdx dy cos 1sin -=, 且222sin 1()1cos 5(1cos )d y d t dtdx dt t dx t =⋅=---四、(本题满分8分) 计算定积分⎰1arcsin xdx x .解:2211121000111arcsin arcsin 2242x xdx x x π=-=-⎰⎰⎰,令sin x t =,有22120sin cos cos 4t tdt t ππ==⎰⎰,因此101arcsin 4248x xdx πππ=-⋅=⎰. 五、(本题满分8分)设D 是曲线sin 1y x =+与三条直线0x =,π=x ,0y =围成的曲边梯形.求D 绕x 轴旋 转一周所生成的旋转体的体积.解:223(sin 1)42V x dx ππππ=+=+⎰. 六、证明题(本题满分10分)(1)(5分)若()f x 在(,)a b 内可导,且导数)(x f '恒大于零,则()f x 在(,)a b 内单调增加. 证:12,(,)x x a b ∀∈,不妨设12x x <,则()f x 在12[,]x x 上连续,在12(,)x x 内可导,故由拉格朗日中值定理,12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂,使得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-. 由于)(x f '在(,)a b 内恒大于零,所以()0f ξ'>,又210x x ->,因此21()()0f x f x ->, 即21()()f x f x >,表明()f x 在(,)a b 内单调增加.(2)(5分)若()g x 在x c =处二阶导数存在,且0)(='c g ,0)(<''c g ,则()g c 为()g x 的一个极大值.证:因()()()lim 0x c g x g c g c x c →''-''=<-,而0)(='c g ,故()lim 0x c g x x c→'<-.由极限的保号性,0δ∃>,当(,)x c c δ∈-时,有()0g x x c '<-,即()0g x '>,从而()g x 在(,)c c δ-单增;当(,)x c c δ∈+时,有()0g x x c'<-,即()0g x '<,从而()g x 在(,)c c δ-单减.又由0)(='c g 知,x c =是()g x 的驻点,因此()g c 为()g x 的一个极大值.七、(本题满分10分)计算不定积分⎰+x b x a dx2222cos sin ( 其中,a b 为不全为零的非负数 )解:① 当0a =时,原式=22211sec tan xdx x c b b =+⎰;②当0b =时, 原式=22211c cot cs xdx x c a a=-+⎰;③当0ab ≠时,原式=22222(tan )sec 11arctan(tan )tan (tan )1ad x xdx a b x c a a x b ab ab bx b==+++⎰⎰.八、(本题满分15分) (1)(7分)求微分方程y x dxdyx-=,满足条件0|2==x y 的解. 解:原方程即11dy y dx x+=,故其通解为11211()()2dx dx xx y e e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰. 因0|2==x y ,所以1c =-.于是所求初值问题的解为xx y 12-=.(2)(8分)求微分方程 x e x y y y =+'+''2 的通解.解:由特征方程2210r r ++=,知其特征根根为1,21r =-.故对应齐次方程的通解为12()x y C C x e -=+ ,其中12,C C 为任意常数. 设原方程的特解为*()()x y x e ax b =+,代入原方程可得a =14,b =-14. 因此,原方程的通解为*212()()x y x y y C C x e -=+=++ 14(1)x x e -. 九、选择题(每小题4分,满分16分) (1).+∞<<∞=x e x x x f x-,sin )(cos 是(D )(A )有界函数(B )单调函数(C )周期函数 (D )偶函数(2). 函数()sin f x x x -(D)(A )当∞→x 时为无穷大 (B )当∞→x 时有极限 (C )在),(+∞-∞内有界 (D )在),(+∞-∞内无界(3) 设()f x 在x a =处可导,则xx a f x a f x )()(lim--+→等于(B)(A ))(a f ' (B ))(2a f ' (C )0(D ))2(a f '(4) 【 同数学Ⅰ、第五(2)题 】十、(本题满分10分)在第一象限内,求曲线12+-=x y 上的一点,使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小,并求此最小面积.解:设切点的横坐标为a ,则切线方程为2(1)2()y a a x a --=--,即221y ax a =-++故所围面积2312201112(1)(1)224243a a a s a x dx a a +=+--+=++-⎰. 令0s '=得驻点a =.由于0a s ''>,故所求点的坐标为2)3,其最小值为a s =23.数 学(试卷Ⅳ)一、判断题(每小题答对得2分,答错得-1分,不答得0分,全题最低0分) (1) 10lim xx e →=∞( ⨯ ) (2)4sin 0x xdx ππ-=⎰( √ )(3) 若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均发散,则级数1()nn n ab ∞=+∑必发散( ⨯ )(4) 假设D 是矩阵A 的r 阶子式,且含D 的一切1r +阶子式都等于0, 那么矩阵A 的一切1r +阶子式都等于0 ( √ ) (5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0( √ )二、选择题(每小题2分,满分10分.) (1) 下列函数在其定义域内连续的是(A)(A ) ()ln sin f x x x =+(B )⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx xx f (C )⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001)(x x x x x x f (D )⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001)(x x xx f (2) 若函数f(x)在区间(,)a b 内可导,21,x x 是区间内任意两点,且21x x <,则至少存一点ξ,使得(C )(A) ()()()(),f b f a f b a a b ξξ'-=-<<. (B) 111()()()(),f b f x f b x x b ξξ'-=-<<.(C) 212112()()()(),f x f x f x x x x ξξ'-=-<<. (D) 222()()()(),f x f a f x a a x ξξ'-=-<<. (3) 下列广义积分收敛的是 (C )(A )dx xxe⎰∞+ln (B )⎰∞+exx dx ln (C )⎰+∞ex x dx 2)(ln (D )⎰∞+exx dx ln (4) 设A 是n 阶方阵,其秩r < n , 那么在A 的n 个行向量中(A)(A) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量线性无关(C) 任意r 个行向量都构成极大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它r 个行向量线性表示 (5) 若二事件A 和B 同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则(C)(A) A 和B 互不相容(互斥) (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件(D) P (A )=0或P (B )=0三、计算下列各题(每小题4分,满分16分) (1) 求极限 xxx xe 10)1(lim +→.解:因 1ln(1)(1)x xe x xxxe e ++=, 而 ln(1)x x xe xe x+ (当0x →), 故 000ln(1)lim lim lim 1x x x x x x xe xe e xx →→→+===, 从而 10lim(1)x xx xe e →+=.(2)已知1111ln 22++-+=x x y , 求y '.解:1)1)y =-,y '=-=212xx +. (3) 已知 y x yx arctg z -+=,求dz .解:222()()()()()()1()1()x y x y dx dy x y dx dy d x y x y dz x y x y x y x y+-+-+---==++++--22ydx xdy x y -+=+(4)求不定积分dx ex⎰-12.解:t =,有1)t t t t t e tdt te e dt te e c c==-=-+=+⎰⎰⎰四、(本题满分10分)考虑函数sin y x = )2/0(π≤≤x ,问:(1) t 取何值时,图中阴影部分的面积1s 与2s 之和21s s s +=最小?(2 ) t 取何值时,21s s s +=最大?解:因10sin sin sin cos 1ts t t xdx t t t =-=+-⎰,22sin ()sin cos sin sin 22t s xdx t t t t t t πππ=--=+-⎰,故122sin 2cos sin 12s s s t t t t π=+=+--,(0)2t π≤≤.令0s '=,得s 在(0,)2π内的驻点4t π=.而()14s π=,()122s ππ=-,(0)1s =,因此 4t π=时,s 最小;0t =时,s 最大.五、(本题满分6分)将函数231)(2+-=x x x f 展成x 的级数,并指出收敛区间. 解:因111111()(2)(1)121212f x xx x x x x ==-=-⋅------,而011nn x x ∞==-∑,(1,1)x ∈-, 且0011()2212n n n n n x x x ∞∞====-∑∑,(2,2)x ∈-, 故1100111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====+=+∑∑∑,其收敛区间为(1,1)-.六、(本题满分5分) 计算二重积分2x De dxdy ⎰⎰,其中D 是第一象限中由直线y x =和3x y =围成的封闭区域. 解:联立y x =和3x y =,可解得两曲线交点的横坐标 0x =和1x =,于是22231130()12xx x x Dxe e dxdy dx e dy x x e dx ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 七、(本题满分6分)已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性为 33p -=η,而市场对商品的最大需求量为1(万件),求需求函数.解:由弹性的定义,有33p dx p x dp =-,即23dxp dp x=-, 于是有 3px ce -=,c 为待定常数.由题意 0p =时,1x =,故1c =,因此3p x e -=.八、(本题满分8分)解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x 【123431820160x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,k 为任意常数】 解:对方程组的增广矩阵进行初等行变换,有2143410103101130120831101000167073300000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭故原方程组与下方程组同解:132343826x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩,令30x =,可得原方程组的特解(3,8,0,6)T β=-. 又显然原方程组的导出组与下方程组同解:1323420x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,令31x =,可得导出组的基础解系(1,2,1,0)T η=-. 因此原方程组的通解为:1234(,,,)(3,8,0,6)(1,2,1,0)T T x x x x k =-+-,其中k 为任意常数.九、(本题满分7分)设矩阵A 和B 满足2AB A B =+,求矩阵B ,其中A =423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.解:因2AB A B =+,故2AB B A -=,即(2)A E B A -=,故1(2)B A E A -=-=3862962129--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭十、(本题满分6分) 求矩阵A =312014101--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的实特征值及对应的特征向量.解:令0E A λ-=,即2(1)(45)0λλλ-++=,可见矩阵A 只有一个实特征值1λ=.易见,线性方程组()0E A X λ-=的基础解系为(0,2,1)T ,故A 对应于实特征值1λ=的特征向量为(0,2,1)T k ,(其中k 为非零任意常数).十一、(每小题4分,满分8分)(1) 已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======,试写出X 的分布函数()F x .解:X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x . (2) 已知随机变量Y 的概率密度为000)(2222<≥⎪⎩⎪⎨⎧=-y y e y f a y a y , 求随机变量YZ 1=的数学期望EZ .解:222222200111()()y y a a y EZ E f y dy edy dy Yy y a --+∞+∞+∞-∞===⋅==⎰⎰⎰. 十二、(本题满分8分)设有两箱同种零件.第一箱内装50件,其中10件一等品;第二箱内装有30件,其中18件一等品.现从两箱中随机挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回),试求:(1) 先取出的零件是一等品的概率p ;(2) 在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q . 解:设i B ={取出的零件为第i 箱中的},j A ={第j 次取出的是一等品},,1,2i j =, 显然12,B B 为正概完备事件组,故全概公式得(1) 11112121101182()()()()()2502305p P A P B P A B P B P A B ==+=⋅+⋅=; (2) 1211212122110911817276()()()()()25049230291421P A A P B P A A B P B P A A B ⨯⨯=+=⋅+⋅=⨯⨯, 于是,由贝叶斯公式得q =12211()690()0.48557()1421P A A q P A A P A ===≈.数 学(试卷Ⅴ)一、判断题(每小题答对得2分,答错得-1分,不答得0分,全题最低0分) (1) 【 同数学Ⅳ 第一(1)题 】 (2) 【 同数学Ⅳ 第一(2)题 】(3) 若函数()f x 在区间(,)a b 严格单增,则对区间(,)a b 内任何一点x 有()0f x '>. ( ⨯ ) (4) 若A 为n 阶方阵,k 为常数,而A 和kA 为A 和kA 的行列式,则kA k A =. ( ⨯ ) (5) 【 同数学Ⅳ 第一(5)题 】二、选择题(每小题2分,满分10分) (1) 【 同数学Ⅳ 第二(1)题 】 (2) 【 同数学Ⅳ 第二(2)题 】 (3) 【 同数学Ⅳ 第二(3)题 】 (4) 【 同数学Ⅳ 第二(4)题 】(5) 对于任二事件A 和B ,有()P A B -= (C)(A) ()()P A P B - (B) ()()()P A P B P AB -+ (C) ()()P A P AB - (D) )()()(B A P B P A P -- 三、计算下列各题(每小题4分,满分20分)(1) 求极限1ln(1)limx x arctgx→+∞+. 解:11ln(1)lim ln(1)0lim0lim /2x x x x x arctgx arctgx π→+∞→+∞→+∞++=== (2) 【 同数学Ⅳ 第三(2)题 】 (3) 【 同数学Ⅳ 第三(3)题 】 (4) 计算定积分dxex ⎰-12112解:t =,有111111021tt t te tdt tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰(5) 求不定积分⎰++5224x x xdx.解:22422221(1)11arctan 252(1)242xdx d x x c x x x ++==+++++⎰⎰. 四、(本题满分10分)考虑函数2y x =,10≤≤x ,问:(1) t 取何值时,图中阴影部分的面积(与数学Ⅳ第四题类似)1s 与2s 之和21s s s +=最小? (2 ) t 取何值时,21s s s +=最大?解:132223212041(1)33tts s s t x dx x dx t t t t =+=-+--=-+⎰⎰,(01)t ≤≤令0s '=,得(0,1)内的驻点12t =. 而11()24s =,1(0)3s =,2(1)3s =,因此 12t =时,s 最小;1t =时,s 最大.五、(本题满分5分)【 同数学Ⅳ 第六题 】 六、(本题满分8分)设某产品的总成本函数为21()40032C x x x =++,而需求函数为xp 100=,其中x 为产量(假定等于需求量),p 为价格. 试求:(1)边际成本; (2)边际收益; (3)边际利润; (4)收益的价格弹性. 解:(1)边际成本:()3MC C x x '==+;(2)收益函数:()R x p x =⋅=()MR R x'==;(3)利润函数:21()()()40032L x R x C x x x =-=--, 边际利润:()3ML L x x'==--;(4)收益的价格函数:2(100)()R x p==,收益的价格弹性:2222(100)1(100)p dR p R dp p =-⋅=-. 七、(本题满分8分)【 同数学Ⅳ 第八题 】 八、(本题满分7分)【 同数学Ⅳ 第九题 】 九、(本题满分6分)【 同数学Ⅳ 第十题 】十、(本题满分8分)已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======, 试写出X 的分布函数()F x ,并求X 的数学期望与方差.解:X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x , 10.220.330.5 2.3EX =⨯+⨯+⨯=;222210.220.330.5 5.9EX =⨯+⨯+⨯=222() 5.9 2.30.61DX EX EX =-=-=十一、(本题满分8分)【 同数学Ⅳ 第十二题 】。
2009年数二真题、标准答案及解析

B 不是 f x, y 的极值点.
D 是 f x, y 的极小值点.
dx f x, y dy dy
x 1 2 2 4 y y
2
1
f x, y dx (
)
A 1 dx 1
2
2
4 x
f x, y dy . f x, y dx .
a 3 6b
故排除 B, C .
lim
a 2 sin ax a3 1 x 0 6b 6b ax a
钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题,成功率趋近 100% -5-
另外 lim
1 a cos ax 存在,蕴含了 1 a cos ax 0 x 0 故 a 1. 排除 D . x 0 3bx 2
(10)已知
.
e
1 x
+
kx
dx 1 ,则 k
.
y
.
(11) lim
n 0
e
sin nxdx
2 y (12)设 y y ( x ) 是由方程 xy e x 1 确定的隐函数,则 2 x
(13)函数 y x 在区间 0, 1 上的最小值为
2x
B 2.
C 3.
2
D 无穷多个.
)
(2)当 x 0 时, f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 是等价无穷小,则(
A a 1, b
1 . 6
B a 1, b
1 . 6
C a 1, b
故可去间断点为 3 个,即 0, 1 (2)当 x 0 时, f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 是等价无穷小,则(
1987考研数学一、二、三真题+答案 【无水印】

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答数 学(试卷Ⅰ)一、填空题(每小题3分,满分15分. 只写答案不写解题过程)(1) 与两直线 112x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及 121121x y z ++-==都平行,且过原点的平面方程是 50x y -+=(2) 当x =1/ln 2-;时,函数2xy x =取得极小值.(3) 由ln y x =与两直线(1)y e x =+-及0y =围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设L 为取正向的圆周922=+y x ,则曲线积分dy x xdx y xy L)4()22(2-+-⎰的值是π18- .(5) 已知三维线性空间的一组基底)1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα,则向量α=(2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )二、(本题满分8分)求正的常数a 与b ,使式1sin 1lim220=+-⎰→dt ta t x bx x x 成立. 解:假若1b ≠,则根据洛必达法则有2200011lim lim(01sin cos x x x bx x b x →→==≠--⎰,与题设矛盾,于是1b =.此时2222100002111lim lim(lim(sin 1cos x x x x bx x x x →→→===--⎰,即1=,因此4a =.三、(本题满分7分)(1) 设函数,f g 连续可微,(,),()u f x xy v g x xy ==+,求,.u vx x∂∂∂∂ 解:1212()u x xy f f f y f x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+⋅∂∂∂;()(1)v x xy g y g x x∂∂+''=⋅=+⋅∂∂.(2) 设矩阵A 和B 满足2AB A B =+,其中A =301110014⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵B .解:因2AB A B =+,故2AB B A -=,即(2)A E B A -=,故1(2)B A E A -=-=522432223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解.其中常数0a >.解:由特征方程3222(9)0r r a r +++=,知其特征根根为12,30,3r r ai ==-±. 故对应齐次方程的通解为33123cos sin x x y C C e x C e x --=++ ,其中123,,C C C 为任意常数.设原方程的特解为*()y x Ax =,代入原方程可得A =219a+. 因此,原方程的通解为*33123()cos sin x x y x y y C C e x C e x --=+=+++219a+x . 五、选择题(每小题3分,满分12分) (1) 设常数0k >,则级数21)1(n nk n n+-∑∞= (C )(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D) 收敛与发散与k 的值有关.(2) 设)(x f 为已知连续函数,⎰=t sdx tx f t I 0)(,0,0s t >>,则I 的值(D )(A) 依赖于s 和t (B) 依赖于s 、t 、x(C) 依赖于t 和x , 不依赖于s (D) 依赖于s , 不依赖于t (3) 设1)()()(lim 2-=--→a x a f x f a x ,则在点x a =处(B)(A) ()f x 导数存在,0)(≠'a f (B) ()f x 取得极大值(C) ()f x 取得极小值(D) ()f x 的导数不存在.(4) 设A 为n 阶方阵, 且0≠=a A , 而*A 是A 的伴随矩阵,则*A =(C)(A) a(B) a/1(C) 1-n a (D) n a六、(本题满分10分) 求幂级数1121+∞=∑n n n x n 的收敛域,并求其和函数. 解:记112n n n u x n +=,有1112lim lim (1)22n nn n n n n n x u x n u n x +++→∞→∞=⋅=+,令12x <,知原级数在开区间(2,2)-内每一点都收敛.又当2x =-时,原级数=111111(2)2(1)2n n n n n n n ∞∞++==-=-∑∑,故由莱布尼兹判别法知其收敛;而当2x =时,原级数=11111122(1)2n n n n n n n ∞∞++===-∑∑,显然发散,故幂级数的收敛域为)2,2[-. 又记111111()()()22n n n n n x S x x x xS x n n ∞∞+=====∑∑,其中111()()2n n xS x n ∞==∑,有1111()()21/2n n x S x x ∞-='==-∑,于是102()2ln()1/22x dx S x x x ==--⎰,因此幂级数的和函数为2()2ln 2S x x x=-,[2,2)x ∈-.七、(本题满分10分) 计算曲面积分2(81)2(1)4SI x y dydz y dzdx yzdxdy =++--⎰⎰,其中s 是曲线 )31(01≤≤⎩⎨⎧=-=y x y z 绕Y 轴旋转一周所形成的曲面,它的法向量与Y 轴正向的夹角恒大于/2π.解:S 的方程为221y x z =++,记1S :223,()y x z =+,知1S S +为封闭曲面,设其 方向取外侧,所围区域为Ω,则由高斯公式,有12(81)2(1)4S S I x y dydz y dzdx yzdxdy +=++--⎰⎰12(81)2(1)4S x y dydz y dzdx yzdxdy-++--⎰⎰12102(1)0S dv y dydz Ω=⋅---+⎰⎰⎰⎰⎰=3212(13)yz xD D dy dzdx dzdx --⎰⎰⎰⎰⎰31(1)16234y dy ππ=-+⋅⋅=⎰.八、(本题满分10分)设函数)(x f 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每个x ,函数的值都在开区间(0,1)内,且1)(≠'x f .证明 在(0,1)内有且仅有一个x ,使()f x x =.证:令()()h t f t t =-,知()h t 在闭区间[0,1]上连续,又由题设知0()1f x <<,于是 有(0)(0)00,(1)(1)10h f h f =->=-<. 故由零点定理,在(0,1)内有x ,使()f x x =.假若)(x f 在开区间(0,1)内有两个不同的点1x 和2x ,使得11()f x x =,22()f x x =, 不妨设12x x <,则易见)(x f 在闭区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故由拉格朗日定理知,(0,1)ξ∃∈,使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-,即()1f ξ'=.此与1)(≠'x f 矛盾!故在(0,1)内使()f x x =的x 只能有一个.九、(本题满分8分)问,a b 为何值时,线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解?无解?有无穷多解? 并求出无穷多解时的通解.解:对方程组的增广矩阵进行初等变换,得11110111100122101221()013200101321100010A A b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭○1 当1≠a 时,系数行列式2(1)0A a =-≠,故由克拉姆法则,原方程组有唯一解; ○2 当1a =,且1b ≠-时, ()3,()2r A r A ==, ()()r A r A ≠,故原方程组无解;○3 当1a =,且1b =-时, ()()24r A r A ==<,故原方程组有无穷的解. 此时显然有 11110101110122101221()00000000000000000000A A b ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭可见其通解为:12(1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1)T T T x c c =-+-+-,其中12,c c 为任意常数.十、填空题(每小题2分,满分6分)(1) 在一次试验中事件A 发生的概率为p ,现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为np )1(1--;而事件A 至多发生一次的概率为1)1]()1(1[---+n p p n .(2) 三个箱子,第一个箱子有4个黑球1个白球,第二个箱子中有3个白球3个黑球,第三个箱子中有3个黑球5五个白球,现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取一个球,这个 球为白球的概率为53/120,已知取出的是白球,此球属于第二箱的概率是20/53.(3) 已知连续随机变量X 的密度为1221)(-+-=x xe xf π,则X 的数学期望为 1 ;X 的方差为 1/2 .十一、(本题满分6分)设随机变量X ,Y 相互独立,其概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=它其0101)(x x f X ;⎩⎨⎧≤>=-00)(y y e y f y Y ,求随机变量Z =2X +Y 的概率密度函数()z f z .解:由题设,(,)X Y 的联合密度为01,0(,)()()0y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其 它, 故Z 的分布函数2()()(2)(,)z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰,○1 当0z <时,2()00z x y zF z dxdy +≤==⎰⎰,此时()00z f z '==;○2 当02z ≤≤时,200001()22z yzz z y y yz z F z dy e dx e dy ye dy ----==-⎰⎰⎰⎰,此时 011()()(1)22z y z z z f z F z e dy e -'===-⎰;○3 当2z >时,121220001()(1)1(1)2z x y x z zz F z dx e dy e dx e e -----==-=--⎰⎰⎰,此时 21()()(1)2zz z f z F z e e -'==-综上所述,Z =2X +Y 的概率密度函数为()z f z =122120(1)02(1)2zz z e z e e z ---<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩数 学(试卷Ⅱ)一、(本题满分15分)【 同数学Ⅰ、第一题 】 二、(本题满分14分) (1)(6分)计算定积分2||2(||).x x x e dx --+⎰解:因||x xe-是奇函数,||||x x e -是偶函数,故 原式=22||202||226.x x x e dx xe dx e --==-⎰⎰(2)(8分)【 同数学Ⅰ、第二题 】三、(本题满分7分)设函数(,,),yz f u x y u xe ==,其中f 有二阶连续偏导数,求2.z x y∂∂∂解:121yz u f f f e f x x∂∂''''=⋅+=⋅+∂∂,2111312123()y y y y z f xe f e e f f xe f x y ∂'''''''''=⋅++⋅+⋅+∂∂. 四、(本题满分8分)【 同数学Ⅰ、第四题 】 五、(本题满分12分)【 同数学Ⅰ、第五题 】 六、(本题满分10分)【 同数学Ⅰ、第六题 】 七、(本题满分10分)【 同数学Ⅰ、第七题 】 八、(本题满分10分)【 同数学Ⅰ、第八题 】 九、(本题满分8分)【 同数学Ⅰ、第九题 】 十、(本题满分6分)设12,λλ为n 阶方阵A 的特征值,12λλ≠,而21,x x 分别为对应的特征向量,试证明:21x x +不是A 的特征向量.证:假若21x x +是A 的特征向量,设其对应的特征值为3λ,则有12312()()A x x x x λ+=+, 即123132Ax Ax x x λλ+=+. 又由题设条件知111Ax x λ=,222Ax x λ=,故有131232()()0x x λλλλ-+-=.因21,x x 是属于不同特征值的特征向量,所以21,x x 线性无关, 从而13λλ=,且13λλ=,此与12λλ≠矛盾!因此21x x +不是A 的特征向量.数 学(试卷Ⅲ)一、填空题(每小题2分,满分10分. 把答案填在题中横线上) (1) 设)1ln(ax y +=, 其中a 为非零常数,则22)1(,1ax a y ax ay +-=''+='.(2) 曲线y arctgx =在横坐标为1点处的切线方程是4221-+=πx y ; 法线方程是4/)8(2++-=πx y .(3) 积分中值定理的条件是()[,]f x a b 在闭区间上连续,结论是[,],()()()baa b f x dx f b a ξξ∃∈=-⎰使得(4) 32()1nn n lin e n -→∞-=+.(5)⎰='dx x f )(c x f +)(;⎰'badx x f )2(=)2(21)2(21a f b f -. 二、(本题满分6分) 求极限 011lim()1x x xe →--解:200000111111lim()lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→------=====--. 三、(本题满分7分)设⎩⎨⎧-=-=)cos 1(5)sin (5t y t t x ,求 22,.dy d y dx dx解:因5sin ,55cos dy dx t t dt dt ==-,5sin )sin 5(1cos 1cos dy t t dx t t ==--(0+),故t tdx dy cos 1sin -=, 且222sin 1()1cos 5(1cos )d y d t dtdx dt t dx t =⋅=---四、(本题满分8分) 计算定积分⎰1arcsin xdx x .解:2211121000111arcsin arcsin 2242x xdx x x π=-=-⎰⎰⎰,令sin x t =,有22120sin cos cos 4t tdt t ππ==⎰⎰,因此101arcsin 4248x xdx πππ=-⋅=⎰. 五、(本题满分8分)设D 是曲线sin 1y x =+与三条直线0x =,π=x ,0y =围成的曲边梯形.求D 绕x 轴旋 转一周所生成的旋转体的体积.解:223(sin 1)42V x dx ππππ=+=+⎰. 六、证明题(本题满分10分)(1)(5分)若()f x 在(,)a b 内可导,且导数)(x f '恒大于零,则()f x 在(,)a b 内单调增加. 证:12,(,)x x a b ∀∈,不妨设12x x <,则()f x 在12[,]x x 上连续,在12(,)x x 内可导,故由拉格朗日中值定理,12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂,使得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-. 由于)(x f '在(,)a b 内恒大于零,所以()0f ξ'>,又210x x ->,因此21()()0f x f x ->, 即21()()f x f x >,表明()f x 在(,)a b 内单调增加.(2)(5分)若()g x 在x c =处二阶导数存在,且0)(='c g ,0)(<''c g ,则()g c 为()g x 的一个极大值.证:因()()()lim 0x c g x g c g c x c →''-''=<-,而0)(='c g ,故()lim 0x c g x x c→'<-.由极限的保号性,0δ∃>,当(,)x c c δ∈-时,有()0g x x c '<-,即()0g x '>,从而()g x 在(,)c c δ-单增;当(,)x c c δ∈+时,有()0g x x c'<-,即()0g x '<,从而()g x 在(,)c c δ-单减.又由0)(='c g 知,x c =是()g x 的驻点,因此()g c 为()g x 的一个极大值.七、(本题满分10分)计算不定积分⎰+x b x a dx2222cos sin ( 其中,a b 为不全为零的非负数 )解:① 当0a =时,原式=22211sec tan xdx x c b b =+⎰;②当0b =时, 原式=22211c cot cs xdx x c a a=-+⎰;③当0ab ≠时,原式=22222(tan )sec 11arctan(tan )tan (tan )1ad x xdx a b x c a a x b ab ab bx b==+++⎰⎰.八、(本题满分15分) (1)(7分)求微分方程y x dxdyx-=,满足条件0|2==x y 的解. 解:原方程即11dy y dx x+=,故其通解为11211()()2dx dx xx y e e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰. 因0|2==x y ,所以1c =-.于是所求初值问题的解为xx y 12-=.(2)(8分)求微分方程 x e x y y y =+'+''2 的通解.解:由特征方程2210r r ++=,知其特征根根为1,21r =-.故对应齐次方程的通解为12()x y C C x e -=+ ,其中12,C C 为任意常数. 设原方程的特解为*()()x y x e ax b =+,代入原方程可得a =14,b =-14. 因此,原方程的通解为*212()()x y x y y C C x e -=+=++ 14(1)x x e -. 九、选择题(每小题4分,满分16分) (1).+∞<<∞=x e x x x f x-,sin )(cos 是(D )(A )有界函数(B )单调函数(C )周期函数 (D )偶函数(2). 函数()sin f x x x -(D)(A )当∞→x 时为无穷大 (B )当∞→x 时有极限 (C )在),(+∞-∞内有界 (D )在),(+∞-∞内无界(3) 设()f x 在x a =处可导,则xx a f x a f x )()(lim--+→等于(B)(A ))(a f ' (B ))(2a f ' (C )0(D ))2(a f '(4) 【 同数学Ⅰ、第五(2)题 】十、(本题满分10分)在第一象限内,求曲线12+-=x y 上的一点,使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小,并求此最小面积.解:设切点的横坐标为a ,则切线方程为2(1)2()y a a x a --=--,即221y ax a =-++故所围面积2312201112(1)(1)224243a a a s a x dx a a +=+--+=++-⎰. 令0s '=得驻点a =.由于0a s ''>,故所求点的坐标为2)3,其最小值为a s =23.数 学(试卷Ⅳ)一、判断题(每小题答对得2分,答错得-1分,不答得0分,全题最低0分) (1) 10lim xx e →=∞( ⨯ ) (2)4sin 0x xdx ππ-=⎰( √ )(3) 若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均发散,则级数1()nn n ab ∞=+∑必发散( ⨯ )(4) 假设D 是矩阵A 的r 阶子式,且含D 的一切1r +阶子式都等于0, 那么矩阵A 的一切1r +阶子式都等于0 ( √ ) (5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0( √ )二、选择题(每小题2分,满分10分.) (1) 下列函数在其定义域内连续的是(A)(A ) ()ln sin f x x x =+(B )⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx xx f (C )⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001)(x x x x x x f (D )⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001)(x x xx f (2) 若函数f(x)在区间(,)a b 内可导,21,x x 是区间内任意两点,且21x x <,则至少存一点ξ,使得(C )(A) ()()()(),f b f a f b a a b ξξ'-=-<<. (B) 111()()()(),f b f x f b x x b ξξ'-=-<<.(C) 212112()()()(),f x f x f x x x x ξξ'-=-<<. (D) 222()()()(),f x f a f x a a x ξξ'-=-<<. (3) 下列广义积分收敛的是 (C )(A )dx xxe⎰∞+ln (B )⎰∞+exx dx ln (C )⎰+∞ex x dx 2)(ln (D )⎰∞+exx dx ln (4) 设A 是n 阶方阵,其秩r < n , 那么在A 的n 个行向量中(A)(A) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量线性无关(C) 任意r 个行向量都构成极大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它r 个行向量线性表示 (5) 若二事件A 和B 同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则(C)(A) A 和B 互不相容(互斥) (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件(D) P (A )=0或P (B )=0三、计算下列各题(每小题4分,满分16分) (1) 求极限 xxx xe 10)1(lim +→.解:因 1ln(1)(1)x xe x xxxe e ++=, 而 ln(1)x x xe xe x+ (当0x →), 故 000ln(1)lim lim lim 1x x x x x x xe xe e xx →→→+===, 从而 10lim(1)x xx xe e →+=.(2)已知1111ln 22++-+=x x y , 求y '.解:1)1)y =-,y '=-=212xx +. (3) 已知 y x yx arctg z -+=,求dz .解:222()()()()()()1()1()x y x y dx dy x y dx dy d x y x y dz x y x y x y x y+-+-+---==++++--22ydx xdy x y -+=+(4)求不定积分dx ex⎰-12.解:t =,有1)t t t t t e tdt te e dt te e c c==-=-+=+⎰⎰⎰四、(本题满分10分)考虑函数sin y x = )2/0(π≤≤x ,问:(1) t 取何值时,图中阴影部分的面积1s 与2s 之和21s s s +=最小?(2 ) t 取何值时,21s s s +=最大?解:因10sin sin sin cos 1ts t t xdx t t t =-=+-⎰,22sin ()sin cos sin sin 22t s xdx t t t t t t πππ=--=+-⎰,故122sin 2cos sin 12s s s t t t t π=+=+--,(0)2t π≤≤.令0s '=,得s 在(0,)2π内的驻点4t π=.而()14s π=,()122s ππ=-,(0)1s =,因此 4t π=时,s 最小;0t =时,s 最大.五、(本题满分6分)将函数231)(2+-=x x x f 展成x 的级数,并指出收敛区间. 解:因111111()(2)(1)121212f x xx x x x x ==-=-⋅------,而011nn x x ∞==-∑,(1,1)x ∈-, 且0011()2212n n n n n x x x ∞∞====-∑∑,(2,2)x ∈-, 故1100111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====+=+∑∑∑,其收敛区间为(1,1)-.六、(本题满分5分) 计算二重积分2x De dxdy ⎰⎰,其中D 是第一象限中由直线y x =和3x y =围成的封闭区域. 解:联立y x =和3x y =,可解得两曲线交点的横坐标 0x =和1x =,于是22231130()12xx x x Dxe e dxdy dx e dy x x e dx ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 七、(本题满分6分)已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性为 33p -=η,而市场对商品的最大需求量为1(万件),求需求函数.解:由弹性的定义,有33p dx p x dp =-,即23dxp dp x=-, 于是有 3px ce -=,c 为待定常数.由题意 0p =时,1x =,故1c =,因此3p x e -=.八、(本题满分8分)解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x 【123431820160x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,k 为任意常数】 解:对方程组的增广矩阵进行初等行变换,有2143410103101130120831101000167073300000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭故原方程组与下方程组同解:132343826x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩,令30x =,可得原方程组的特解(3,8,0,6)T β=-. 又显然原方程组的导出组与下方程组同解:1323420x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,令31x =,可得导出组的基础解系(1,2,1,0)T η=-. 因此原方程组的通解为:1234(,,,)(3,8,0,6)(1,2,1,0)T T x x x x k =-+-,其中k 为任意常数.九、(本题满分7分)设矩阵A 和B 满足2AB A B =+,求矩阵B ,其中A =423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.解:因2AB A B =+,故2AB B A -=,即(2)A E B A -=,故1(2)B A E A -=-=3862962129--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭十、(本题满分6分) 求矩阵A =312014101--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的实特征值及对应的特征向量.解:令0E A λ-=,即2(1)(45)0λλλ-++=,可见矩阵A 只有一个实特征值1λ=.易见,线性方程组()0E A X λ-=的基础解系为(0,2,1)T ,故A 对应于实特征值1λ=的特征向量为(0,2,1)T k ,(其中k 为非零任意常数).十一、(每小题4分,满分8分)(1) 已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======,试写出X 的分布函数()F x .解:X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x . (2) 已知随机变量Y 的概率密度为000)(2222<≥⎪⎩⎪⎨⎧=-y y e y f a y a y , 求随机变量YZ 1=的数学期望EZ .解:222222200111()()y y a a y EZ E f y dy edy dy Yy y a --+∞+∞+∞-∞===⋅==⎰⎰⎰. 十二、(本题满分8分)设有两箱同种零件.第一箱内装50件,其中10件一等品;第二箱内装有30件,其中18件一等品.现从两箱中随机挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回),试求:(1) 先取出的零件是一等品的概率p ;(2) 在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q . 解:设i B ={取出的零件为第i 箱中的},j A ={第j 次取出的是一等品},,1,2i j =, 显然12,B B 为正概完备事件组,故全概公式得(1) 11112121101182()()()()()2502305p P A P B P A B P B P A B ==+=⋅+⋅=; (2) 1211212122110911817276()()()()()25049230291421P A A P B P A A B P B P A A B ⨯⨯=+=⋅+⋅=⨯⨯, 于是,由贝叶斯公式得q =12211()690()0.48557()1421P A A q P A A P A ===≈.数 学(试卷Ⅴ)一、判断题(每小题答对得2分,答错得-1分,不答得0分,全题最低0分) (1) 【 同数学Ⅳ 第一(1)题 】 (2) 【 同数学Ⅳ 第一(2)题 】(3) 若函数()f x 在区间(,)a b 严格单增,则对区间(,)a b 内任何一点x 有()0f x '>. ( ⨯ ) (4) 若A 为n 阶方阵,k 为常数,而A 和kA 为A 和kA 的行列式,则kA k A =. ( ⨯ ) (5) 【 同数学Ⅳ 第一(5)题 】二、选择题(每小题2分,满分10分) (1) 【 同数学Ⅳ 第二(1)题 】 (2) 【 同数学Ⅳ 第二(2)题 】 (3) 【 同数学Ⅳ 第二(3)题 】 (4) 【 同数学Ⅳ 第二(4)题 】(5) 对于任二事件A 和B ,有()P A B -= (C)(A) ()()P A P B - (B) ()()()P A P B P AB -+ (C) ()()P A P AB - (D) )()()(B A P B P A P -- 三、计算下列各题(每小题4分,满分20分)(1) 求极限1ln(1)limx x arctgx→+∞+. 解:11ln(1)lim ln(1)0lim0lim /2x x x x x arctgx arctgx π→+∞→+∞→+∞++=== (2) 【 同数学Ⅳ 第三(2)题 】 (3) 【 同数学Ⅳ 第三(3)题 】 (4) 计算定积分dxex ⎰-12112解:t =,有111111021tt t te tdt tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰(5) 求不定积分⎰++5224x x xdx.解:22422221(1)11arctan 252(1)242xdx d x x c x x x ++==+++++⎰⎰. 四、(本题满分10分)考虑函数2y x =,10≤≤x ,问:(1) t 取何值时,图中阴影部分的面积(与数学Ⅳ第四题类似)1s 与2s 之和21s s s +=最小? (2 ) t 取何值时,21s s s +=最大?解:132223212041(1)33tts s s t x dx x dx t t t t =+=-+--=-+⎰⎰,(01)t ≤≤令0s '=,得(0,1)内的驻点12t =. 而11()24s =,1(0)3s =,2(1)3s =,因此 12t =时,s 最小;1t =时,s 最大.五、(本题满分5分)【 同数学Ⅳ 第六题 】 六、(本题满分8分)设某产品的总成本函数为21()40032C x x x =++,而需求函数为xp 100=,其中x 为产量(假定等于需求量),p 为价格. 试求:(1)边际成本; (2)边际收益; (3)边际利润; (4)收益的价格弹性. 解:(1)边际成本:()3MC C x x '==+;(2)收益函数:()R x p x =⋅=()MR R x'==;(3)利润函数:21()()()40032L x R x C x x x =-=--, 边际利润:()3ML L x x'==--;(4)收益的价格函数:2(100)()R x p==,收益的价格弹性:2222(100)1(100)p dR p R dp p =-⋅=-. 七、(本题满分8分)【 同数学Ⅳ 第八题 】 八、(本题满分7分)【 同数学Ⅳ 第九题 】 九、(本题满分6分)【 同数学Ⅳ 第十题 】十、(本题满分8分)已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======, 试写出X 的分布函数()F x ,并求X 的数学期望与方差.解:X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x , 10.220.330.5 2.3EX =⨯+⨯+⨯=;222210.220.330.5 5.9EX =⨯+⨯+⨯=222() 5.9 2.30.61DX EX EX =-=-=十一、(本题满分8分)【 同数学Ⅳ 第十二题 】。
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案

全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查:一、选择题二、填空题三、解答题(15)14(16)1ln(12x C++(17)123123()()dz f f yf dx f f xf dy''''''=+++-+;231122331323()() zf f f xyf x y f x y fx y∂''''''''''' =+-++++-∂∂(18)176Vπ=(19)83-(20)cos sin,0xyx x x xπππ-<<=+-≤<⎪⎩(21)略(22)(Ⅰ)21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,其中1k 为任意常数;321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,其中2k 为任意常数(Ⅱ)略(23)(Ⅰ)123,2,1a a a λλλ==-=+;(Ⅱ)2a =一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为( )(A )1. (B )2. (C )3.(D )无穷多个.【答案】(C ) 【考点】可去间断点 【难易度】★★ 【详解】解析:由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320001lim lim lim(1)sin sin x x x x x x x x x πππ→→→-=-=,3211132lim lim sin cos x x x x x x x ππππ→→--==, 3211132lim lim sin cos x x x x x x x ππππ→-→---==, 故函数()3sin x x f x xπ-=有三个可去间断点,应选C.(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则( )(A )11,6a b ==-. (B )11,6a b ==. (C )11,6a b =-=- (D )11,6a b =-=【答案】(A )【考点】等价无穷小、洛必达法则【难易度】★★ 【详解】解析:0x →Q 时,2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小20sin lim1ln(1)x x ax x bx →-∴=-即20sin lim 1()x x axx bx →-∴=-(0x →时,ln(1)bx bx --:) 2001cos lim1lim(1cos )013x x a axa ax a bx →→-∴=⇒-=⇒=-于是220001cos 1cos sin 11lim lim lim 133666x x x a ax x x b bx bx bx b →→→--===-=⇒=---- 所以本题选A.(3)设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0( ) (A )不是(),f x y 的连续点. (B )不是(),f x y 的极值点. (C )是(),f x y 的极大值点. (D )是(),f x y 的极小值点. 【答案】(D )【考点】二元函数极值存在的充分条件 【难易度】★★ 【详解】解析:因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,210AC B -=>,0A >,故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.应选D.(4)设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰( )(A )()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. (B )()241,x xdx f x y dy -⎰⎰.(C )()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.(D )()221,ydy f x y dx ⎰⎰【答案】(C )【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★ 【详解】解析:由累次积分限确定两个重积分的积分区域分别为{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,记12D D D =⋃,则{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5)若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x在区间()1,2内( )(A )有极值点,无零点. (B )无极值点,有零点. (C )有极值点,有零点. (D )无极值点,无零点. 【答案】(B )【考点】曲率半径,零点定理,拉格朗日中值定理 【难易度】★★★ 【详解】解析:由题意可知,()f x 是一个凸函数,即''()0f x <,且在点(1,1)处的曲率322|''|(1('))y y ρ==+'(1)1f =-,由此可得,''(1)2f =- 在[1,2] 上,'()'(1)10f x f ≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点。
2009-数二真题、标准答案及解析

(6)设函数 y = f ( x) 在区间−1,3 上的图形为:
则函数 F ( x) = x f (t ) dt 的图形为 0
( A)
(B)
(C)
(D)
【答案】 D
【解析】此题为定积分的应用知识考核,由 y = f (x) 的图形可见,其图像与 x 轴及 y 轴、
x = x0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x) ,从而可得出几个方面的特征:
a
a3 = −6b ,故排除 B,C .
另外,
lim
x→0
1− a cos ax −3bx2
存在,蕴含了1−
a
cos
ax
→
0
(
x
→
0)
,故
a
=
1.
排除
D
.
所以本题选 A .
(3) 设函数 z = f ( x, y) 的全微分为 dz = xdx + ydy ,则点 (0, 0)
( A) 不是 f ( x, y) 的连续点 ( B) 不是 f ( x, y) 的极值点
【解析】1 =
+ ek x dx = 2 + ekxdx = 2 lim 1 ekx b
−
0
k b→+
0
【答案】 −2
因为极限存在所以 k 0 1=0− 2
k k = −2
(11) lim 1e−x sin nxdx = n→ 0
【答案】0
【解析】令 In = e−x sin nxdx = −e−x sin nx + n e−x cos nxdx
y = t2 ln(2 − t2 )
【答案】 y = 2x
【解析】
考研数学二1987真题

考研数学二1987真题考研数学二1987真题1987年的考研数学二真题,是历年考研数学试题中的一道经典题目。
该题涉及到概率与统计的知识,难度适中,考察了考生对概率分布和随机变量的理解和运用能力。
下面将对该题进行详细的分析和解答。
问题描述如下:设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx(1-x),0<x<1,否则为零。
求k的值,并求P(1/4<X<3/4)。
首先,我们来求k的值。
对于概率密度函数,其满足两个条件:非负性和归一性。
非负性要求概率密度函数在定义域内的取值都大于等于零;归一性要求概率密度函数在整个定义域内的积分等于1。
根据这两个条件,我们可以得到以下两个方程:∫[0,1] kx(1-x)dx = 1k∫[0,1] x(1-x)dx = 1对第一个方程进行积分,得到:k∫[0,1] x-x^2dx = 1k[1/2x^2-1/3x^3]∣[0,1] = 1k(1/2-1/3) = 1k/6 = 1k = 6所以k的值为6。
接下来,我们来求P(1/4<X<3/4)。
根据概率密度函数的定义,我们可以通过积分来计算概率。
对于连续型随机变量,其概率可以表示为对应概率密度函数在相应区间上的积分。
所以,我们可以计算如下积分:P(1/4<X<3/4) = ∫[1/4,3/4] kx(1-x)dx将k的值代入上式,得到:P(1/4<X<3/4) = 6∫[1/4,3/4] x(1-x)dx对上式进行积分,得到:6∫[1/4,3/4] x-x^2dx = 6[1/2x^2-1/3x^3]∣[1/4,3/4]= 6[(1/2(3/4)^2-1/3(3/4)^3)-(1/2(1/4)^2-1/3(1/4)^3)]= 6[(9/32-27/256)-(1/32-1/256)]= 6[(9/32-27/256)-(8/256-1/256)]= 6[(9/32-27/256)-7/256]= 6[9/32-34/256]= 6[9/32-17/128]= 6[9/32-17/128]= 6(36/128-17/128)= 6(19/128)= 114/128= 57/64所以P(1/4<X<3/4)的值为57/64。
2009—数二真题标准答案及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题、选择题: 1〜8小题,每小题 4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要 求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上3X — X(1)函数f X的可去间断点的个数为()sin nxA 1.B 2.C 3.D 无穷多个.(2)当 xr 0时,f x 二 x-sinax 与 g x = x 21n 1-bx 是等价无穷小,则()-. B a=1,b 二丄. C a = —1,b = —】.D a = —1,b=〕 6 6 6 6C 是f x,y 的极大值点.D 是f x,y 的极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续,贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()24—24亠A , dx 1f x,y dy . B M dx x f x, y dy .24-y22C J dy 1f x,ydx.D . 1 dy y f x,y dx(5)若「x 不变号,且曲线y = f x 在点1,1上的曲率圆为x 2y^2,则f x 在区间1,2内()A 有极值点,无零点.B 无极值点,有零点C 有极值点,有零点.D 无极值点,无零点(6)设函数y 二f x 在区间〔-1,3 1上的图形为(3)设函数z = f x, y 的全微分为 dz = xdx ydy ,则点 0,0 ( A 不是f x, y 的连续点. B 不是f x,y 的极值点.则函数)x(7)设A , B均为2阶矩阵, B*分别为A , 的伴随矩阵为( )O* <2 A*3BO *QAO* <2B*3AO 3BXB的伴随矩阵若A =2, B = 3,则分块矩阵*2BO*2AOO<BAo」h 0 O '(8)设A, P 均为3阶矩阵,p T 为p 的转置矩阵,且 P T AP= 0 1 0,若 <0 0 2>P =(耳,a 2, a 3), Q =(□ 1+^2,^2, a 3),则 Q T AQ 为( ‘210、■q 1 0A(A ). 1 1 0 (B ). 1 2 0 0 2」 <0 0 2」'2 0 0 ^广 1 0 0、 (C ) 0 1 0 (D ). 0 2 0 1° 0 2」1° 0 2>9-14小题,每小题 、填空题: 4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 x= 1_t e -u2du (9)曲线 • 0 在(0, 0)处的切线方程为 __________________ 2 2y =t ln(2 -t ) (10) 已知+=1,则 k = _________________ . —oO (11) lim e^ sin nxdx = _______________ .n ^C ^0 (12)设y 二y(x)是由方程xy e^x 1确定的隐函数,则 —y 二 ________________ x =0(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ____________ . ‘2 0 (14)设% B 为3维列向量,P T 为B 的转置,若矩阵T 相似于0 0.0 0三、解答题:15 -23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上 演算步骤. 亠心、卄八 八 亠丄"口 (1—cosx )〔x T n(1+ta nx)】(15)(本题满分9分)求极限lim 4.X T sin x.解答应写出文字说明、证明过程或(16)(本题满分10分) 计算不定积分ln(1 (x 0).(17)(本题满分10分) 设Z — 其中f 具有2阶连续偏导数,求dz 与二(18)(本题满分10 分)设非负函数y = y x ][X _ 0满足微分方程xy ^-^y 2=0 ,当曲线y = y x 过原点时,其与直线 x =1及y =0围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.- 2 2(19) (本题满分 10 分)计算二重积分 JJ(x —y)dxdy ,其中 D ={(x, y |(x —1) +(y —1)兰 2,D(20) (本题满分12分)原点,当0岂x :::-:时,函数y(x)满足目 目x = 0求y(x)的表达式. (21)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理:若函数 f x 在La, b 1上连续,在 a,b 可导,则存在 匚三\ a,b ,使得f b -f a 二f b-a ;,Z1 -1 -1 '(22)(本题满分11分设A =-11 1,_1 _1<0 -4 -2 丿1一2」(【)求满足A 2二1, A 23二1的所有向量2, 3 ;(n)对(I)中的任一向量 2, 3,证明:\, 2, 3线性无关(23)(本题满分 11 分)设二次型 f x 1, x 2, x 3 =axf ax |a-1 x ; 2^x^ 2x ?x 3(I)求二次型f 的矩阵的所有特征值;2 2(n)若二次型f 的规范形为y 1 y 2,求a 的值.设y = y(x)是区间(-二,":)内过点(-Tt JI2,2)的光滑曲线, 当-二:::x 0时,曲线上任一点处的法线都过(n)证明:若函数f x 在x 二0处连续,在0,「〔心> 0内可导,且lim 「x = A ,则f. 0存在,2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1〜8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.3X — x(1)函数f X 的可去间断点的个数为( )sin nxA 1.B 2.C 3. D无穷多个.【答案】C【解析】3X —Xf x :s i nx则当x取任何整数时,f x均无意义故f (x )的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是x -x3=0的解々2,3 = 0,±1..x —x .. 1 —3x 1lim limx ]0sin 二x x r°二cos二x 二..x —x3广 1 —3x2 2lim limx 1sin 二x x_4 二cos二x ■:..x -x3 1 -3x2 2lim limx-;1sin 二x x_;1二cos二x 二故可去间断点为3个,即0, _1(2)当X—;0时,f x 二x-sinax与g x = x21n 1-bx 是等价无穷小,则( )【答案】A【解析】f(x)二x-sinax,g(x) =x2ln(1-bx)为等价无穷小,则lim 3 x 10g(x)x -sin ax= lim —x 0x2ln(1 -bx)字皿洛讪匕竺^洛limx2(-bx) x io -3bx2x e2 . a sinax-6bxA a=1,b—l6, 1B a",b「.1 1C a 一-1,b.Da- -1,b.6 6另外xm 号空存在,蕴含了 50SaXT°(XTO )故"1.排除D .所以本题选A.A 不是f x,y 的连续点•B 不是f x,y 的极值点•C 是f x, y 的极大值点.D 是f x, y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz = xdx ydy 可得 三二x,—Z = y&dy2 2 2A :: Z …;:z ;:Z c c A 2 = 1, B0, CJ"L.、 L 、 "L.、 L 、x :xy:y :xAC -B 2 =1 0故(0,0)为函数z 二f (x,y)的一个极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续,贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()2 4亠B M dx x f x, y dy .2 2D . 1 dy y f x,ydx【解析】1 dx f(x, y)dy 亠i dy f (x, y)dx 的积分区域为两部分:D =「(x,y) 1 Ex 空2,x 空 y 空2l ,D 2 =「(x, y) 1 空 y 乞 2, y 乞 x 空 4 一 yl将其写成一块 D 」(x, y) 1 y 乞2,1乞x 乞4 一 “24刁故二重积分可以表示为1 dy 十f (x, y)dx ,故答案为C.6ba 2sin ax=1 ax6b.a 3二-6b 故排除 B,C .(3)设函数z = f x, y 的全微分为dz =xdx ydy ,则点 0,0(又在(0,0)处,=024 —A d dx 1 f x,y dy .2 4今C J dy 1f x,y dx.【答案】C2 2(5)若f x 不变号,且曲线y =f x 在点1,1上的曲率圆为【答案】 B而 f'(1) =「1,由此可得,f () = —2在[1,2]上,f'(x)乞f'(1) =「1 :::0,即f (x)单调减少,没有极值点 对于f (2) - f(1) =f '「)::: -1 . - - (1,2),(拉格朗日中值定理)f(2) <0而 f(1)=1 0由零点定理知,在[1,2]上,f (x)有零点. 故应选(B )A 有极值点,无零点B 无极值点,有零点C 有极值点,有零点D 无极值点,无零点2 2x y =2,则f x 在区间1,2内(【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f ''(x) : 0 ,且在点(1,1)处的曲率二|yj 1则函数F x = f t dt 的图形为( )x【答案】形的代数面积为所求函数 F(x),从而可得出几个方面的特征:1-1,01时,F(x)乞0为线性函数,单调递增【解析】此题为定积分的应用知识考核,由 y = f(x)的图形可见,其图像与 x 轴及y 轴、x =x 0所围的图1-0,11时, F(x) <0,且单调递减. 1,2 时, F(x)单调递增. 12,3 时, F(x)为常函数.x的伴随矩阵为( )* 、 O 3B* \O 2B*(B ). *<2A O 丿<3A O 丿F(x)为连续函数 ⑤由于 结合这些特点,可见正确选项为 D .(7)设A ,B 均为2阶矩阵,A ,B 分别为A ,B 的伴随矩阵若A =2, B =3,则分块矩阵IB O 丿x【答案】BJAZ2 0 0 'G 0 0'(C > 0 1 0(D ). 0 2 0<0 0 2」<0 0 2」【答案】 A'O 3A* ''0 2A* ') *(D ). *<2B0 丿3 0 /C P (% 口2,«3)Q = :(隅+岷, «2,a ; 3),21 0、1 0X(A ). 1 1 0(B ).1 2 0e 0 2<0 0 2>则Q TAQ 为(【解析】Q = (-:1 2, “2,「3 ) = (-“1,鼻2,鼻3 )2, 'I1 010 =(%叫,叫)巳2(1),即:1【解析】根据 CC^=C E 若 C*=CC ,,C 」1. ■分块矩阵(0的行列式=(- 12*A|B=2 3=6即分块矩阵可逆'"0 IB-6AB1B 32BB J1BBB(8) 设A, P 均为3阶矩阵,p T 为P 的转置矩阵,且 P TAP 二,若Q = P%(1)Q TAQ =[PE i2(1)]TA[PE i2(1)] = E^(1)[P TAP]E i2(1)1 0 0= E ;i (1) 0 1 0 E i2(1)0 0 2^所以切线方程为y=2x .(10)已知 +「e kx dx =1,则 k 二 ___________________—od【答案】-2因为极限存在所以k ::: 0k = -2(11) lime^ sin nxdx 二 ________________ .n ^C L 0【答案】0【解析】令 l n 二 e^sinnxdx 二-e^sinnx n ecosnxdx•x . .x 2.--e sinnx —ne cosnx —nl n110 10 0 10 0 1 0 0 10 00 1 0 12丄0 2 1 0 0 = 11010 0 2、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 (9)曲线 x 「°e du在(0, 0)y =t 2ln(2 -t 2)处的切线方程为【答案】y=2x【解析】齐2tln(H2t 2-t 2所以dx —=edt(-D t = _1矽=2 dx【解析】1 kx1--kxedx =2bim :k即 lim ]e 」sinnxdx = lim(-^^0警空更 e 」n _ -■ 0 n 厂【答案】- 3对 y xy y e y=1 再次求导可得 2y xyy e y(y )2e y= 0,x e y(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ___________ .2【答案】e^1【解析】因为 y = x 2x 2ln x • 2,令、二0得驻点为x . e又 y"=x 2x (2ln x+2 f +x 2x 2,得 y' 1 ]=2e >0,x \e )1故x 为y = x 2x的极小值点,此时ey x ・0,故y 在I 0,1上递减,在1,1上递增.I e 丿 l e 丿而 y 1 =1, y 」0 = lim x 2x二 lim eI D 十 x T 0十所以i nn cosnx sin nx x 小e — +Cn 21二lim(n —■■=■.:ncosn s叫n 21(12 )设y = y(x)是由方程xy• e ,= x 1确定的隐函数,则r 2y;x 2n 2 1)【解析】对方程 xy ■ e y = x 1两边关于x 求导有 y xy - ye y =11-y x e y2y ' (y)2e y(*)=o 时,(0)二耳=1,代入(*)得e(0)二2y '(0)(y(0))2e 0(0 e 0)3二-(2 1) = -32ln x2l 巴T2xln xe2lim车21x 0 ■ --2lim -2x=e「=1又当x -y x ::o ; x 丄1 时, 2」21 rx x -In(1 tan x)h 叫222x 0sin x sin x(16)(本题满分10分)【解析】所以y =x 2x 在区间0,1 ]上的最小值为y 2i'2 0 0A (14)设a , B 为3维列向量,P T 为B 的转置,若矩阵aB T相似于 0 0 0 ,则0 ■二 卫0 0』【答案】2 ‘2 【解析】因为aB T 相似于0 1° 0 0 0 0 ,根据相似矩阵有相同的特征值, 0 0 J 得到:上T 得特征值是2,0,0而]T :是一个常数,是矩阵:上T 的对角元素之和,贝y =2 0 ^2 三、解答题:15 -23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上 演算步骤. 亠心、卄八 八 亠丄"口 (1 一 cosx)【x_l n(1+ta nx)] (15)(本题满分9分)求极限lim 4 . X —0 sin x .解答应写出文字说明、证明过程或1「cosx R 「In(1 tanx) I 4sin x-x 2 [x -ln(1 tanx) 1 sin 4x计算不定积分 "n (1+耳(x 0).1,dx = -2tdt (t 2-1)2Jin (1+£^)dx二 ln(1 t)d 1ln(1 t) t 2-1二 Lt 2-1t 1dt JlimXfJtnx) 2 x :0sin xT 1 Ldt 」( £dtt -1 t 1 4 t -1 t 1 (t 1) 1 1 1 1n(t -1) In(t 1)2 C 4 4 t 1所以cz czdz dx dyexcy= (f i f 2 yf 3)dx (f i 7 Xf 3)dy(18)(本题满分10分)设非负函数y = y x Mx _ 0满足微分方程xy“ - y* 2 = 0 ,当曲线y = y x 过原点时,其与直线 x =1及y = 0围成平面区域 D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程 肖-讨 2=。
考研数学二试题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-= 【答案】A【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分:{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||2(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .(6)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可见,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出几个方面的特征:①[]0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减。
2009-1987年考研数学二真题及答案

历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)(1987-2009)考研数学命题研究组㊀编世纪高教编辑部1987年全国硕士研究生招生考试试题ʌ编者注ɔ1987年到1996年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二.(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设y=ln(1+ax),其中a为非零常数,则yᶄ=,yᵡ=.(2)曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是;法线方程是.(3)积分中值定理的条件是,结论是.(4)limnңɕn-2n+1()n=.(5)ʏfᶄ(x)dx=,ʏbafᶄ(2x)dx=.二㊁(本题满分6分)求极限limxң01x-1ex-1().三㊁(本题满分7分)设x=5(t-sint),y=5(1-cost),{求dydx,d2ydx2.四㊁(本题满分8分)计算定积分ʏ10xarcsinxdx.五㊁(本题满分8分)设D是由曲线y=sinx+1与三条直线x=0,x=π,y=0围成的曲边梯形,求D绕Ox轴旋转一周所生成的旋转体的体积.六㊁证明题(本题满分10分)(1)若f(x)在(a,b)内可导,且导数fᶄ(x)恒大于零,则f(x)在(a,b)内单调增加.(2)若g(x)在x=c处二阶导数存在,且gᶄ(c)=0,gᵡ(c)<0,则g(c)为g(x)的一个极大值.七㊁(本题满分10分)计算不定积分ʏdxa2sin2x+b2cos2x,其中a,b是不全为0的非负常数.11987年真题八㊁(本题满分10分)(1)求微分方程xdydx=x-y满足条件yx=2=0的特解.(2)求微分方程yᵡ+2yᶄ+y=xex的通解.九㊁选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分)(1)f(x)=xsinxecosx(-ɕ<x<+ɕ)是(㊀㊀)(A)有界函数.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)单调函数.(C)周期函数.(D)偶函数.(2)函数f(x)=xsinx(㊀㊀)(A)当xңɕ时为无穷大.(B)在(-ɕ,+ɕ)内有界.(C)在(-ɕ,+ɕ)内无界.(D)当xңɕ时有有限极限.(3)设f(x)在x=a处可导,则limxң0f(a+x)-f(a-x)x等于(㊀㊀)(A)fᶄ(a).(B)2fᶄ(a).(C)0.(D)fᶄ(2a).(4)设I=tʏst0f(tx)dx,其中f(x)连续,s>0,t>0,则I的值(㊀㊀)(A)依赖于s,t.(B)依赖于s,t,x.(C)依赖于t,x,不依赖于s.(D)依赖于s,不依赖于t.十㊁(本题满分10分)在第一象限内求曲线y=-x2+1上的一点,使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小,并求此最小面积.2历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)1988年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)(1)设f(x)=2x+a,xɤ0,ex(sinx+cosx),x>0{在(-ɕ,+ɕ)内连续,则a=.(2)设f(t)=limxңɕt1+1x()2tx,则fᶄ(t)=.(3)设f(x)连续,且ʏx3-10f(t)dt=x,则f(7)=.(4)limxң0+1xæèçöø÷tanx=.(5)ʏ40exdx=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)(1)f(x)=13x3+12x2+6x+1的图形在点(0,1)处的切线与x轴交点的坐标是(㊀㊀)(A)-16,0().(B)(-1,0).(C)16,0().(D)(1,0).(2)若f(x)与g(x)在(-ɕ,+ɕ)上皆可导,且f(x)<g(x),则必有(㊀㊀)(A)f(-x)>g(-x).(B)fᶄ(x)<gᶄ(x).(C)limxңx0f(x)<limxңx0g(x).(D)ʏx0f(t)dt<ʏx0g(t)dt.(3)若函数y=f(x),有fᶄ(x0)=12,则当Δxң0时,该函数在x=x0处的微分dy是(㊀㊀)(A)与Δx等价的无穷小.(B)与Δx同阶的无穷小.(C)比Δx低阶的无穷小.(D)比Δx高阶的无穷小.(4)由曲线y=sin32x(0ɤxɤπ)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为(㊀㊀)(A)43.(B)43π.(C)23π2.(D)23π.(5)设函数y=f(x)是微分方程yᵡ-2yᶄ+4y=0的一个解,且f(x0)>0,fᶄ(x0)=0,则f(x)在点x0处(㊀㊀)(A)有极大值.(B)有极小值.(C)某邻域内单调增加.(D)某邻域内单调减少.31988年真题三㊁(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)已知f(x)=ex2,f[φ(x)]=1-x且φ(x)ȡ0,求φ(x)并写出它的定义域.(2)已知y=1+xexy,求yᶄx=0,yᵡx=0.(3)求微分方程yᶄ+1xy=1x(x2+1)的通解(一般解).四㊁(本题满分12分)作函数y=6x2-2x+4的图形,并填写下表.单调增加区间单调减少区间极值点极值凹(ɣ)区间凸(ɘ)区间拐点渐近线五㊁(本题满分8分)将长为a的一段铁丝截成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形,问这两段铁丝各长为多少时,正方形与圆形的面积之和为最小?六㊁(本题满分10分)设函数y=y(x)满足微分方程yᵡ-3yᶄ+2y=2ex,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合,求函数y=y(x).七㊁(本题满分7分)设xȡ-1,求ʏx-1(1-t)dt.八㊁(本题满分8分)设f(x)在(-ɕ,+ɕ)上有连续导数,且mɤf(x)ɤM.(1)求limaң0+14a2ʏa-a[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)证明:12aʏa-af(t)dt-f(x)ɤM-m(a>0).4历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)1989年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共7小题,每小题3分,满分21分)(1)limxң0xcot2x=.(2)ʏπ0tsintdt=.(3)曲线y=ʏx0(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是.(4)设f(x)=x(x+1)(x+2) (x+n),则fᶄ(0)=.(5)设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2ʏ10f(t)dt,则f(x)=.(6)设f(x)=a+bx2,xɤ0,sinbxx,x>0{在x=0处连续,则常数a与b应满足的关系是.(7)设tany=x+y,则dy=.二㊁(本题共5小题,每小题4分,满分20分)(1)已知y=arcsine-x,求yᶄ.(2)求ʏdxxln2x.(3)求limxң0(2sinx+cosx)1x.(4)已知x=ln(1+t2),y=arctant,{求dydx,d2ydx2.(5)已知f(2)=12,fᶄ(2)=0及ʏ20f(x)dx=1,求ʏ10x2fᵡ(2x)dx.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三㊁选择题(本题共6小题,每小题3分,满分18分)(1)当x>0时,曲线y=xsin1x(㊀㊀)(A)有且仅有水平渐近线.(B)有且仅有铅直渐近线.(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线.(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线.(2)若3a2-5b<0,则方程x5+2ax3+3bx+4c=0(㊀㊀)(A)无实根.(B)有唯一实根.(C)有三个不同实根.(D)有五个不同实根.(3)曲线y=cosx(-π2ɤxɤπ2)与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为(㊀㊀)(A)π2.(B)π.(C)π22.(D)π2.51989年真题(4)设两函数f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值,则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处(㊀㊀)(A)必取极大值.(B)必取极小值.(C)不可能取极值.(D)是否取极值不能确定.(5)微分方程yᵡ-y=ex+1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)(㊀㊀)(A)aex+b.(B)axex+b.(C)aex+bx.(D)axex+bx.(6)设f(x)在点x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是(㊀㊀)(A)limhң+ɕh[f(a+1h)-f(a)]存在.(B)limhң0f(a+2h)-f(a+h)h存在.(C)limhң0f(a+h)-f(a-h)2h存在.(D)limhң0f(a)-f(a-h)h存在.四㊁(本题满分6分)求微分方程xyᶄ+(1-x)y=e2x(0<x<+ɕ)满足y(1)=0的特解.五㊁(本题满分7分)设f(x)=sinx-ʏx0(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).六㊁(本题满分7分)证明方程lnx=xe-ʏπ01-cos2xdx在区间(0,+ɕ)内有且仅有两个不同实根.七㊁(本题满分11分)对函数y=x+1x2填写下表.单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八㊁(本题满分10分)设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0ɤxɤ1时,yȡ0.又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为13.试确定a,b,c的值,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.6历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)1990年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)曲线x=cos3t,y=sin3t{上对应于t=π6处的法线方程是.(2)设y=etan1xsin1x,则yᶄ=.(3)ʏ10x1-xdx=.(4)下列两个积分的大小关系是:ʏ-1-2e-x3dxʏ-1-2ex3dx.(5)设函数f(x)=1,xɤ1,0,㊀x>1,{则函数f[f(x)]=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)已知limxңɕx2x+1-ax-b()=0,其中a,b是常数,则()(A)a=1,b=1.(B)a=-1,b=1.(C)a=1,b=-1.(D)a=-1,b=-1.(2)设函数f(x)在(-ɕ,+ɕ)上连续,则dʏf(x)dx[]等于()(A)f(x).(B)f(x)dx.(C)f(x)+C.(D)fᶄ(x)dx.(3)已知函数f(x)具有任意阶导数,且fᶄ(x)=[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是(㊀)(A)n![f(x)]n+1.(B)n[f(x)]n+1.(C)[f(x)]2n.(D)n![f(x)]2n.(4)设f(x)是连续函数,且F(x)=ʏe-xxf(t)dt,则Fᶄ(x)等于(㊀㊀)(A)-e-xf(e-x)-f(x).(B)-e-xf(e-x)+f(x).(C)e-xf(e-x)-f(x).(D)e-xf(e-x)+f(x).(5)设F(x)=f(x)x,xʂ0,f(0),x=0,{其中f(x)在x=0处可导,fᶄ(0)ʂ0,f(0)=0,则x=0是F(x)的(㊀㊀)(A)连续点.(B)第一类间断点.(C)第二类间断点.(D)连续点或间断点不能由此确定.三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分)(1)已知limxңɕx+ax-a()x=9,求常数a.(2)求由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.71990年真题(3)求曲线y=11+x2(x>0)的拐点.(4)计算ʏlnx(1-x)2dx.(5)求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件yx=e=1的特解.四㊁(本题满分9分)在椭圆x2a2+y2b2=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中a>0,b>0).五㊁(本题满分9分)证明:当x>0时,有不等式arctanx+1x>π2.六㊁(本题满分9分)设f(x)=ʏx1lnt1+tdt,其中x>0,求f(x)+f1x().七㊁(本题满分9分)过点P(1,0)作抛物线y=x-2的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.八㊁(本题满分9分)求微分方程yᵡ+4yᶄ+4y=eax的通解,其中a为实数.8历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)1991年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设y=ln(1+3-x),则dy=.(2)曲线y=e-x2的凸区间是.(3)ʏ+ɕ1lnxx2dx=.(4)质点以速度tsin(t2)米/秒作直线运动,则从时刻t1=π2秒到t2=π秒内质点所经过的路程等于米.(5)limxң0+1-e1xx+e1x=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)若曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1,-1)处相切,其中a,b是常数,则(㊀㊀)(A)a=0,b=-2.(B)a=1,b=-3.(C)a=-3,b=1.(D)a=-1,b=-1.(2)设函数f(x)=x2,㊀0ɤxɤ1,2-x,1<xɤ2,{记F(x)=ʏx0f(t)dt,0ɤxɤ2,则(㊀㊀)(A)F(x)=x33,㊀㊀㊀㊀0ɤxɤ1,13+2x-x22,1<xɤ2.ìîíïïïï㊀㊀(B)F(x)=x33,㊀㊀㊀㊀㊀0ɤxɤ1,-76+2x-x22,1<xɤ2.ìîíïïïï(C)F(x)=x33,㊀㊀㊀㊀0ɤxɤ1,x33+2x-x22,1<xɤ2.ìîíïïïï(D)F(x)=x33,㊀㊀0ɤxɤ1,2x-x22,1<xɤ2.ìîíïïïï(3)设函数f(x)在(-ɕ,+ɕ)内有定义,x0ʂ0是函数f(x)的极大值点,则(㊀㊀)(A)x0必是f(x)的驻点.(B)-x0必是-f(-x)的极小值点.(C)-x0必是-f(x)的极小值点.(D)对一切x都有f(x)ɤf(x0).(4)曲线y=1+e-x21-e-x2(㊀㊀)(A)没有渐近线.(B)仅有水平渐近线.(C)仅有铅直渐近线.(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.(5)如图,x轴上有一线密度为常数μ,长度为l的细杆,若质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为(㊀㊀)91991年真题(A)ʏ0-lkmμ(a-x)2dx.0kmμ(a-x)2x.(C)2ʏ0-l2kmμ(a+x)2dx.(D)2ʏl20kmμ(a+x)2dx.三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分){求d2ydx2.(1)设x=tcost,y=tsint,(2)计算ʏ41dxx(1+x).(3)求limxң0x-sinxx2(ex-1).(4)求ʏxsin2xdx.(5)求微分方程xyᶄ+y=xex满足y(1)=1的特解.四㊁(本题满分9分)利用导数证明:当x>1时,ln(1+x)lnx>x1+x.五㊁(本题满分9分)求微分方程yᵡ+y=x+cosx的通解.六㊁(本题满分9分)曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七㊁(本题满分9分)如图,A和D分别是曲线y=ex和y=e-2x上的点,AB和DC均垂直x轴,且ABʒDC=2ʒ1,AB<1,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.八㊁(本题满分9分)设函数f(x)在(-ɕ,+ɕ)上满足f(x)=f(x-π)+sinx,且f(x)=x,xɪ[0,π).计算ʏ3ππf(x)dx.011992年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设x=f(t)-π,y=f(e3t-1),{其中f可导,且fᶄ(0)ʂ0,则dydxt=0=.(2)函数y=x+2cosx在[0,π2]上的最大值为.(3)limxң01-1-x2ex-cosx=.(4)ʏ+ɕ1dxx(x2+1)=.(5)由曲线y=xex与直线y=ex所围成的图形的面积S=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)当xң0时,x-sinx是x2的(㊀㊀)(A)低阶无穷小.(B)高阶无穷小.(C)等价无穷小.(D)同阶但非等价的无穷小.(2)设f(x)=x2,㊀㊀xɤ0,x2+x,㊀x>0,{则(㊀㊀)(A)f(-x)=-x2,㊀㊀㊀xɤ0,-(x2+x),㊀x>0.{(B)f(-x)=-(x2+x),㊀x<0,-x2,㊀㊀㊀xȡ0.{(C)f(-x)=x2,㊀㊀xɤ0,x2-x,㊀x>0.{(D)f(-x)=x2-x,㊀x<0,x2,㊀㊀xȡ0.{(3)当xң1时,函数x2-1x-1e1x-1的极限(㊀㊀)(A)等于2.(B)等于0.(C)为ɕ.(D)不存在但不为ɕ.(4)设f(x)连续,F(x)=ʏx20f(t2)dt,则Fᶄ(x)等于(㊀㊀)(A)f(x4).㊀㊀㊀㊀(B)x2f(x4).㊀㊀㊀㊀(C)2xf(x4).㊀㊀㊀㊀(D)2xf(x2).(5)若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为(㊀㊀)(A)1+sinx.(B)1-sinx.(C)1+cosx.(D)1-cosx.三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分)(1)求limxңɕ3+x6+x()x-12.(2)设函数y=y(x)由方程y-xey=1所确定,求d2ydx2x=0的值.11(3)求ʏx31+x2dx.(4)求ʏπ01-sinxdx.(5)求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解.四㊁(本题满分9分){求ʏ31f(x-2)dx.设f(x)=1+x2,㊀xɤ0,e-x,㊀㊀x>0,五㊁(本题满分9分)求微分方程yᵡ-3yᶄ+2y=xex的通解.六㊁(本题满分9分)计算曲线y=ln(1-x2)上相应于0ɤxɤ12的一段弧的长度.七㊁(本题满分9分)求曲线y=x的一条切线l,使该曲线与切线l及直线x=0,x=2所围成的平面图形面积最小.八㊁(本题满分9分)已知fᵡ(x)<0,f(0)=0,证明对任何x1>0,x2>0,有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2).211993年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)limxң0+xlnx=.(2)函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定,则dydx=.(3)设F(x)=ʏx12-1tæèçöø÷dt(x>0),则函数F(x)的单调减少区间是.(4)ʏtanxcosxdx=.(5)已知曲线y=f(x)过点(0,-12),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1+x2),则f(x)=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)当xң0时,变量1x2sin1x是(㊀㊀)(A)无穷小.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)无穷大.(C)有界的,但不是无穷小.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(D)无界的,但不是无穷大.(2)设f(x)=x2-1x-1,㊀xʂ1,2,㊀㊀㊀㊀x=1,{则在点x=1处函数f(x)(㊀㊀)(A)不连续.(B)连续,但不可导.(C)可导,但导数不连续.(D)可导,且导数连续.(3)已知f(x)=x2,0ɤx<1,1,1ɤxɤ2,{设F(x)=ʏx1f(t)dt(0ɤxɤ2),则F(x)为(㊀㊀)(A)13x3,㊀0ɤx<1,x,㊀㊀1ɤxɤ2.{(B)13x3-13,0ɤx<1,x,㊀㊀㊀1ɤxɤ2.{(C)13x3,0ɤx<1,x-1,1ɤxɤ2.{(D)13x3-13,0ɤx<1,x-1,㊀1ɤxɤ2.{(4)设常数k>0,函数f(x)=lnx-xe+k在(0,+ɕ)内的零点个数为(㊀㊀)(A)3.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)2.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(C)1.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(D)0.(5)若f(x)=-f(-x),在(0,+ɕ)内fᶄ(x)>0,fᵡ(x)>0,则f(x)在(-ɕ,0)内(㊀㊀)(A)fᶄ(x)<0,fᵡ(x)<0.(B)fᶄ(x)<0,fᵡ(x)>0.(C)fᶄ(x)>0,fᵡ(x)<0.(D)fᶄ(x)>0,fᵡ(x)>0.31三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分)(1)设y=sin[f(x2)],其中f具有二阶导数,求d2ydx2.(2)求limxң-ɕx(x2+100+x).(3)求ʏπ40x1+cos2xdx.(4)求ʏ+ɕ0x(1+x)3dx.(5)求微分方程(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0满足初值条件y(0)=1的特解.四㊁(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程yᵡ+αyᶄ+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α,β,γ,并求该方程的通解.五㊁(本题满分9分)设平面图形A由x2+y2ɤ2x与yȡx所确定,求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积.六㊁(本题满分9分)作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.七㊁(本题满分9分)设x>0,常数a>e.证明:(a+x)a<aa+x.八㊁(本题满分9分)设fᶄ(x)在[0,a]上连续,且f(0)=0,证明:ʏa0f(x)dxɤMa22,其中M=max0ɤxɤafᶄ(x).411994年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)若f(x)=sin2x+e2ax-1x,xʂ0,a,㊀㊀㊀㊀㊀㊀x=0{在(-ɕ,+ɕ)上连续,则a=.(2)设函数y=y(x)由参数方程x=t-ln(1+t),y=t3+t2{所确定,则d2ydx2=.(3)ddxʏcos3x0f(t)dt()=.(4)ʏx3ex2dx=.(5)微分方程ydx+(x2-4x)dy=0的通解为.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设limxң0ln(1+x)-(ax+bx2)x2=2,则(㊀㊀)(A)a=1,b=-52.(B)a=0,b=-2.(C)a=0,b=-52.(D)a=1,b=-2.(2)设f(x)=23x3,xɤ1,x2,㊀x>1,{则f(x)在点x=1处的(㊀㊀)(A)左㊁右导数都存在.(B)左导数存在,但右导数不存在.(C)左导数不存在,但右导数存在.(D)左㊁右导数都不存在.(3)设y=f(x)是满足微分方程yᵡ+yᶄ-esinx=0的解,且fᶄ(x0)=0,则f(x)在(㊀㊀)(A)x0的某个邻域内单调增加.(B)x0的某个邻域内单调减少.(C)x0处取得极小值.(D)x0处取得极大值.(4)曲线y=e1x2arctanx2+x+1(x-1)(x+2)的渐近线有(㊀㊀)(A)1条.㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)2条.㊀㊀㊀㊀㊀㊀(C)3条.㊀㊀㊀㊀㊀㊀(D)4条.(5)设M=ʏπ2-π2sinx1+x2cos4xdx,N=ʏπ2-π2(sin3x+cos4x)dx,P=ʏπ2-π2(x2sin3x-cos4x)dx,则有(㊀㊀)(A)N<P<M.(B)M<P<N.(C)N<M<P.(D)P<M<N.51三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分)(1)设y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求d2ydx2.(2)计算ʏ10x(1-x4)32dx.(3)计算limnңɕtannπ4+2n().(4)计算ʏdxsin2x+2sinx.(5)如图,设曲线方程为y=x2+12,梯形OABC的面积为D,曲边梯形OABC的面积为D1,点A的坐标为(a,0),a>0.证明:DD1<32.四㊁(本题满分9分)设当x>0时,方程kx+1x2=1有且仅有一个解,求k的取值范围.五㊁(本题满分9分)设y=x3+4x2,(1)求函数的增减区间及极值;(2)求函数图形的凹凸区间及拐点;(3)求其渐近线;(4)作出其图形.六㊁(本题满分9分)求微分方程yᵡ+a2y=sinx的通解,其中常数a>0.七㊁(本题满分9分)设f(x)在[0,1]上连续且递减,证明:当0<λ<1时,ʏλ0f(x)dxȡλʏ10f(x)dx.八㊁(本题满分9分)求曲线y=3-x2-1与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转所得的旋转体体积.611995年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设y=cos(x2)sin21x,则yᶄ=.(2)微分方程yᵡ+y=-2x的通解为.(3)曲线x=1+t2,y=t3{在t=2处的切线方程为.(4)limnңɕ1n2+n+1+2n2+n+2+ +nn2+n+n()=.(5)曲线y=x2e-x2的渐近线方程为.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设f(x)和φ(x)在(-ɕ,+ɕ)上有定义,f(x)为连续函数,且f(x)ʂ0,φ(x)有间断点,则(㊀㊀)(A)φ[f(x)]必有间断点.(B)[φ(x)]2必有间断点.(C)f[φ(x)]必有间断点.(D)φ(x)f(x)必有间断点.(2)曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形的面积可表示为(㊀㊀)(A)-ʏ20x(x-1)(2-x)dx.(B)ʏ10x(x-1)(2-x)dx-ʏ21x(x-1)(2-x)dx.(C)-ʏ10x(x-1)(2-x)dx+ʏ21x(x-1)(2-x)dx.(D)ʏ20x(x-1)(2-x)dx.(3)设f(x)在(-ɕ,+ɕ)内可导,且对任意x1,x2,当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),则(㊀㊀)(A)对任意x,fᶄ(x)>0.(B)对任意x,fᶄ(-x)ɤ0.(C)函数f(-x)单调增加.(D)函数-f(-x)单调增加.(4)设函数f(x)在[0,1]上fᵡ(x)>0,则fᶄ(1),fᶄ(0),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是(㊀㊀)(A)fᶄ(1)>fᶄ(0)>f(1)-f(0).(B)fᶄ(1)>f(1)-f(0)>fᶄ(0).(C)f(1)-f(0)>fᶄ(1)>fᶄ(0).(D)fᶄ(1)>f(0)-f(1)>fᶄ(0).(5)设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+sinx).若F(x)在x=0处可导,则必有(㊀㊀)(A)f(0)=0.(B)fᶄ(0)=0.(C)f(0)+fᶄ(0)=0.(D)f(0)-fᶄ(0)=0.71三㊁(本题共6小题,每小题5分,满分30分)(1)求limxң0+1-cosxx(1-cosx).(2)设函数y=y(x)由方程xef(y)=ey确定,其中f具有二阶导数,且fᶄʂ1,求d2ydx2.(3)设f(x2-1)=lnx2x2-2,且f[φ(x)]=lnx,求ʏφ(x)dx.(4)设f(x)=xarctan1x2,xʂ0,0,㊀㊀㊀x=0,{试讨论fᶄ(x)在x=0处的连续性.(5)求摆线x=1-cost,y=t-sint{一拱(0ɤtɤ2π)的弧长S.(6)设单位质点在水平面内作直线运动,初速度vt=0=v0.已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此质点的速度为v03?并求到此时刻该质点所经过的路程.四㊁(本题满分8分)求函数f(x)=ʏx20(2-t)e-tdt的最大值和最小值.五㊁(本题满分8分)设y=ex是微分方程xyᶄ+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足条件yx=ln2=0的特解.六㊁(本题满分8分)如图,设曲线L的方程为y=f(x),且yᵡ>0.又MT,MP分别为该曲线在点M(x0,y0)处的切线和法线.已知线段MP的长度为(1+yᶄ20)32yᵡ0(其中yᶄ0=yᶄ(x0),yᵡ0=yᵡ(x0)),试推导出点P(ξ,η)的坐标表达式.七㊁(本题满分8分)设f(x)=ʏx0sintπ-tdt,计算ʏπ0f(x)dx.八㊁(本题满分8分)设limxң0f(x)x=1,且fᵡ(x)>0,证明f(x)ȡx.811996年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设y=(x+e-x2)23,则yᶄx=0=.(2)ʏ1-1(x+1-x2)2dx=.(3)微分方程yᵡ+2yᶄ+5y=0的通解为.(4)limxңɕxsinln1+3x()-sinln1+1x()[]=.(5)由曲线y=x+1x,x=2及y=2所围图形的面积S=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设当xң0时,ex-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小,则(㊀㊀)(A)a=12,b=1.㊀㊀(B)a=1,b=1.㊀㊀(C)a=-12,b=-1.㊀㊀(D)a=-1,b=1.(2)设函数f(x)在区间(-δ,δ)内有定义,若当xɪ(-δ,δ)时,恒有f(x)ɤx2,则x=0必是f(x)的(㊀㊀)(A)间断点.(B)连续而不可导的点.(C)可导的点,且fᶄ(0)=0.(D)可导的点,且fᶄ(0)ʂ0.(3)设f(x)处处可导,则(㊀㊀)(A)当limxң-ɕf(x)=-ɕ,必有limxң-ɕfᶄ(x)=-ɕ.(B)当limxң-ɕfᶄ(x)=-ɕ,必有limxң-ɕf(x)=-ɕ.(C)当limxң+ɕf(x)=+ɕ,必有limxң+ɕfᶄ(x)=+ɕ.(D)当limxң+ɕfᶄ(x)=+ɕ,必有limxң+ɕf(x)=+ɕ.(4)在区间(-ɕ,+ɕ)内,方程x14+x12-cosx=0(㊀㊀)(A)无实根.(B)有且仅有一个实根.(C)有且仅有两个实根.(D)有无穷多个实根.(5)设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且g(x)<f(x)<m(m为常数),由曲线y=g(x),y=f(x),x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为(㊀㊀)(A)ʏbaπ[2m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dx.(B)ʏbaπ[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx.(C)ʏbaπ[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dx.(D)ʏbaπ[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx.91三㊁(本题共6小题,每小题5分,满分30分)(1)计算ʏln201-e-2xdx.(2)求ʏdx1+sinx.(3)设x=ʏt0f(u2)du,y=[f(t2)]2,{其中f(u)具有二阶导数,且f(u)ʂ0,求d2ydx2.(4)求函数f(x)=1-x1+x在点x=0处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.(5)求微分方程yᵡ+yᶄ=x2的通解.(6)设有一正椭圆柱体,其底面的长㊁短轴分别为2a,2b,用过此柱体底面的短轴且与底面成α角0<α<π2()的平面截此柱体,得一楔形体(如图),求此楔形体的体积V.四㊁(本题满分8分)计算不定积分ʏarctanxx2(1+x2)dx.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀五㊁(本题满分8分)设函数f(x)=1-2x2,x<-1,㊀㊀x3,㊀㊀-1ɤxɤ2,12x-16,x>2.㊀㊀ìîíïïï(1)写出f(x)的反函数g(x)的表达式;(2)g(x)是否有间断点㊁不可导点,若有,指出这些点.六㊁(本题满分8分)设函数y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定,试求y=y(x)的驻点,并判别它是否为极值点.七㊁(本题满分8分)设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,fᶄ(a)fᶄ(b)>0.证明:存在ξɪ(a,b)和ηɪ(a,b),使f(ξ)=0及fᵡ(η)=0.八㊁(本题满分8分)设f(x)为连续函数,(1)求初值问题yᶄ+ay=f(x),yx=0=0{的解y(x),其中a是正常数;(2)若f(x)ɤk(k为常数),证明:当xȡ0时,有y(x)ɤka(1-e-ax).021997年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)已知函数f(x)=(cosx)x-2,xʂ0,a,㊀㊀㊀x=0{在x=0处连续,则a=.(2)设y=ln1-x1+x2,则yᵡx=0=.(3)ʏdxx(4-x)=.(4)ʏ+ɕ0dxx2+4x+8=.(5)已知向量组α1=(1,2,-1,1),α2=(2,0,t,0),α3=(0,-4,5,-2)的秩为2,则t=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设xң0时,etanx-ex与xn是同阶无穷小,则n为(㊀㊀)(A)1.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)2.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(C)3.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(D)4.(2)设在闭区间[a,b]上f(x)>0,fᶄ(x)<0,fᵡ(x)>0.记S1=ʏbaf(x)dx,S2=f(b)(b-a),S3=12[f(a)+f(b)](b-a),则(㊀㊀)(A)S1<S2<S3.(B)S2<S1<S3.(C)S3<S1<S2.(D)S2<S3<S1.(3)已知函数y=f(x)对一切x满足xfᵡ(x)+3x[fᶄ(x)]2=1-e-x,若fᶄ(x0)=0(x0ʂ0),则(㊀㊀)(A)f(x0)是f(x)的极大值.(B)f(x0)是f(x)的极小值.(C)(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.(D)f(x0)不是f(x)的极值,(x0,f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点.(4)设F(x)=ʏx+2πxesintsintdt,则F(x)(㊀㊀)(A)为正常数.(B)为负常数.(C)恒为零.(D)不为常数.(5)设函数g(x)=2-x,㊀xɤ0,x+2,㊀x>0,{f(x)=x2,㊀x<0,-x,㊀xȡ0,{则g[f(x)]=(㊀㊀)(A)2+x2,㊀x<0,2-x,㊀㊀xȡ0.{(B)2-x2,㊀x<0,2+x,㊀㊀xȡ0.{(C)2-x2,㊀x<0,2-x,㊀㊀xȡ0.{(D)2+x2,㊀x<0,2+x,㊀㊀xȡ0.{三㊁(本题共6小题,每小题5分,满分30分)(1)求极限limxң-ɕ4x2+x-1+x+1x2+sinx.12(2)设函数y=y(x)由x=arctant,2y-ty2+et=5{所确定,求dydx.(3)计算ʏe2x(tanx+1)2dx.(4)求微分方程(3x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0的通解.(5)已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.(6)已知矩阵A=11-101100-1æèççöø÷÷,且A2-AB=E,其中E是3阶单位矩阵,求矩阵B.四㊁(本题满分8分)λ取何值时,方程组2x1+λx2-x3=1,λx1-x2+x3=2,4x1+5x2-5x3=-1ìîíïïï无解,有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解.五㊁(本题满分8分)设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M0(2,0)为L上一定点.若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.六㊁(本题满分8分)设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足xfᶄ(x)=f(x)+3a2x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.七㊁(本题满分8分)设函数f(x)连续,φ(x)=ʏ10f(xt)dt,且limxң0f(x)x=A(A为常数),求φᶄ(x)并讨论φᶄ(x)在x=0处的连续性.八㊁(本题满分8分)就k的不同取值情况,确定方程x-π2sinx=k在开区间(0,π2)内根的个数,并证明你的结论.221998年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)limxң01+x+1-x-2x2=.(2)曲线y=-x3+x2+2x与x轴所围成的图形的面积A=.(3)ʏln(sinx)sin2xdx=.(4)设f(x)连续,则ddxʏx0tf(x2-t2)dt=.(5)曲线y=xlne+1x()(x>0)的渐近线方程为.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设数列{xn}与{yn}满足limnңɕxnyn=0,则下列断言正确的是(㊀㊀)(A)若{xn}发散,则{yn}必发散.(B)若{xn}无界,则{yn}必有界.(C)若{xn}有界,则{yn}必为无穷小.(D)若1xn{}为无穷小,则{yn}必为无穷小.(2)函数f(x)=(x2-x-2)x3-x的不可导点的个数为(㊀㊀)(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(3)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx1+x2+α,其中α是比Δx(Δxң0)高阶的无穷小,且y(0)=π,则y(1)=(㊀㊀)(A)πeπ4.(B)2π.(C)π.(D)eπ4.(4)设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续,且f(a)为其极大值,则存在δ>0,当xɪ(a-δ,a+δ)时,必有(㊀㊀)(A)(x-a)[f(x)-f(a)]ȡ0.(B)(x-a)[f(x)-f(a)]ɤ0.(C)limtңaf(t)-f(x)(t-x)2ȡ0(xʂa).(D)limtңaf(t)-f(x)(t-x)2ɤ0(xʂa).(5)设A是任一n(nȡ3)阶方阵,A∗是其伴随矩阵,又k为常数,且kʂ0,ʃ1,则必有(kA)∗=(㊀㊀)(A)kA∗.(B)kn-1A∗.(C)knA∗.(D)k-1A∗.三㊁(本题满分5分)求函数f(x)=(1+x)xtan(x-π4)在区间(0,2π)内的间断点,并判断其类型.32四㊁(本题满分5分)确定常数a,b,c的值,使limxң0ax-sinxʏxbln(1+t3)tdt=c(cʂ0).五㊁(本题满分5分)利用代换y=ucosx将方程yᵡcosx-2yᶄsinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解.六㊁(本题满分6分)计算积分ʏ3212dxx-x2.七㊁(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始垂直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).八㊁(本题满分8分)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0ɪ(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积;(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且fᶄ(x)>-2f(x)x,证明(1)中的x0是惟一的.九㊁(本题满分8分)设有曲线y=x-1,过原点作其切线,求由此曲线㊁切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.十㊁(本题满分8分)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为11+yᶄ2,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值.十一㊁(本题满分8分)设xɪ(0,1),证明:(1)(1+x)ln2(1+x)<x2;42(2)1ln2-1<1ln(1+x)-1x<12.十二㊁(本题满分5分)设(2E-C-1B)AT=C-1,其中E是4阶单位矩阵,AT是4阶矩阵A的转置矩阵,B=12-3-2012-300120001æèççççöø÷÷÷÷,㊀㊀C=1㊀2㊀0㊀10㊀1㊀2㊀00㊀0㊀1㊀20㊀0㊀0㊀1æèççççöø÷÷÷÷.求A.十三㊁(本题满分6分)已知α1=(1,4,0,2)T,α2=(2,7,1,3)T,α3=(0,1,-1,a)T,β=(3,10,b,4)T,问:(1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表示?(2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?并写出此表示式.521999年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)曲线x=etsin2ty=etcost{在点(0,1)处的法线方程为.(2)设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定,则dydxx=0=㊀㊀㊀.(3)ʏx+5x2-6x+13dx=.(4)函数y=x21-x2在区间12,32[]上的平均值为.(5)微分方程yᵡ-4y=e2x的通解为.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设f(x)=1-cosxx,x>0,x2g(x),xɤ0,{其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处(㊀㊀)(A)极限不存在.(B)极限存在,但不连续.(C)连续,但不可导.(D)可导.(2)设α(x)=ʏ5x0sinttdt,β(x)=ʏsinx0(1+t)1tdt,则当xң0时,α(x)是β(x)的(㊀㊀)(A)高阶无穷小.(B)低阶无穷小.(C)同阶但不等价的无穷小.(D)等价无穷小.(3)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则(㊀㊀)(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数.(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数.(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数.(4) 对任意给定的εɪ(0,1),总存在正整数N,当nȡN时,恒有xn-aɤ2ε 是数列{xn}收敛于a的(㊀㊀)(A)充分条件但非必要条件.(B)必要条件但非充分条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分条件又非必要条件.(5)记行列式x-2x-1x-2x-32x-22x-12x-22x-33x-33x-24x-53x-54x4x-35x-74x-3为f(x),则方程f(x)=0的根的个数为(㊀㊀)(A)1.㊀㊀(B)2.㊀㊀(C)3.㊀㊀(D)4.62三㊁(本题满分5分)求limxң01+tanx-1+sinxxln(1+x)-x2.四㊁(本题满分6分)计算ʏ+ɕ1arctanxx2dx.五㊁(本题满分7分)求初值问题(y+x2+y2)dx-xdy=0(x>0),yx=1=0{的解.六㊁(本题满分7分)为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s.在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:①1Nˑ1m=1J;m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)七㊁(本题满分8分)已知函数y=x3(x-1)2,求(1)函数的增减区间及极值;(2)函数图形的凹凸区间及拐点;(3)函数图形的渐近线.八㊁(本题满分8分)设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,fᶄ(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f‴(ξ)=3.九㊁(本题满分8分)设函数y(x)(xȡ0)二阶可导,且yᶄ(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.72十㊁(本题满分7分)设f(x)是区间[0,+ɕ)上单调减少且非负的连续函数,an= nk=1f(k)-ʏn1f(x)dx(n=1,2, ),证明数列{an}的极限存在.十一㊁(本题满分6分)设矩阵A=11-1-1111-11æèççöø÷÷,矩阵X满足A∗X=A-1+2X,其中A∗是A的伴随矩阵,求矩阵X.十二㊁(本题满分8分)设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p+2)T,α4=(-2,-6,10,p)T.(1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)T用α1,α2,α3,α4线性表示;(2)p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.822000年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)limxң0arctanx-xln(1+2x3)=.(2)设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定,则dyx=0=.(3)ʏ+ɕ2dx(x+7)x-2=.(4)曲线y=(2x-1)e1x的斜渐近线方程为.(5)设A=1000-23000-45000-67æèççççöø÷÷÷÷,E为4阶单位矩阵,且B=(E+A)-1(E-A),则(E+B)-1=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设函数f(x)=xa+ebx在(-ɕ,+ɕ)内连续,且limxң-ɕf(x)=0,则常数a,b满足(㊀㊀)(A)a<0,b<0.(B)a>0,b>0.(C)aɤ0,b>0.(D)aȡ0,b<0.(2)设函数f(x)满足关系式fᵡ(x)+[fᶄ(x)]2=x,且fᶄ(0)=0,则(㊀㊀)(A)f(0)是f(x)的极大值.(B)f(0)是f(x)的极小值.(C)点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.(D)f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点.(3)设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数,且fᶄ(x)g(x)-f(x)gᶄ(x)<0,则当a<x<b时,有(㊀㊀)(A)f(x)g(b)>f(b)g(x).(B)f(x)g(a)>f(a)g(x).(C)f(x)g(x)>f(b)g(b).(D)f(x)g(x)>f(a)g(a).(4)若limxң0sin6x+xf(x)x3=0,则limxң06+f(x)x2为(㊀㊀)(A)0.㊀㊀(B)6.㊀㊀(C)36.㊀㊀(D)ɕ.(5)具有特解y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是(㊀㊀)(A)y‴-yᵡ-yᶄ+y=0.(B)y‴+yᵡ-yᶄ-y=0.(C)y‴-6yᵡ+11yᶄ-6y=0.(D)y‴-2yᵡ-yᶄ+2y=0.三㊁(本题满分5分)设f(lnx)=ln(1+x)x,计算ʏf(x)dx.92四㊁(本题满分5分)设xOy平面上有正方形D={(x,y)0ɤxɤ1,0ɤyɤ1}及直线l:x+y=t(tȡ0).若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积,试求ʏx0S(t)dt(xȡ0).五㊁(本题满分5分)求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(nȡ3).六㊁(本题满分6分)设函数S(x)=ʏx0costdt,(1)当n为正整数,且nπɤx<(n+1)π时,证明:2nɤS(x)<2(n+1);(2)求limxң+ɕS(x)x.七㊁(本题满分7分)某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V6,流入湖泊内不含A的水量为V6,流出湖泊的水量为V3.已知1999年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过m0V.问至多需经过多少年,湖泊中污染物A的含量才可降至m0以内?(注:设湖水中A的浓度是均匀的).八㊁(本题满分6分)设函数f(x)在[0,π]上连续,且ʏπ0f(x)dx=0,ʏπ0f(x)cosxdx=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.九㊁(本题满分7分)已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α(x)是当xң0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.十㊁(本题满分8分)设曲线y=ax2(a>0,xȡ0)与y=1-x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形.问a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?十一㊁(本题满分8分)函数f(x)在[0,+ɕ)上可导,f(0)=1,且满足等式03历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)fᶄ(x)+f(x)-1x+1ʏx0f(t)dt=0.(1)求导数fᶄ(x);(2)证明:当xȡ0时,不等式e-xɤf(x)ɤ1成立.十二㊁(本题满分6分)设α=121æèççöø÷÷,β=1120æèççççöø÷÷÷÷,γ=008æèççöø÷÷,A=αβT,B=βTα,其中βT是β的转置,求解方程2B2A2x=A4x+B4x+γ.十三㊁(本题满分7分)已知向量组β1=01-1æèççöø÷÷,β2=a21æèççöø÷÷,β3=b10æèççöø÷÷与向量组α1=12-3æèççöø÷÷,α2=301æèççöø÷÷,α3=96-7æèççöø÷÷具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a,b的值.132000年真题2001年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)limxң13-x-1+xx2+x-2=.(2)设函数y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e-1所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为.(3)ʏπ2-π2(x3+sin2x)cos2xdx=.(4)过点(12,0)且满足关系式yᶄarcsinx+y1-x2=1的曲线方程为.(5)设方程组a㊀1㊀11㊀a㊀11㊀1㊀aæèççöø÷÷x1x2x3æèçççöø÷÷÷=11-2æèççöø÷÷有无穷多解,则a=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设f(x)=1,㊀xɤ1,0,㊀x>1,{则f{f[f(x)]}等于(㊀㊀)(A)0.㊀㊀㊀㊀㊀(B)1.㊀㊀㊀㊀㊀(C)1,㊀xɤ1,0,㊀x>1.{㊀㊀㊀㊀㊀(D)0,㊀xɤ1,1,㊀x>1.{(2)设当xң0时,(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小,xsinxn是比ex2-1高阶的无穷小,则正整数n等于(㊀㊀)(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.(3)曲线y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为(㊀㊀)(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(4)已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,fᶄ(x)严格单调减少,且f(1)=fᶄ(1)=1,则(㊀㊀)(A)在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)<x.(B)在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)>x.(C)在(1-δ,1)内,f(x)<x,在(1,1+δ)内,f(x)>x.(D)在(1-δ,1)内,f(x)>x,在(1,1+δ)内,f(x)<x.(5)已知函数y=f(x)在其定义域内可导,它的图形如右图所示,则其导函数y=fᶄ(x)的图形为(㊀㊀)23历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)三㊁(本题满分6分)求ʏdx(2x2+1)x2+1.四㊁(本题满分7分)求极限limtңxsintsinx()xsint-sinx,记此极限为f(x),求函数f(x)的间断点并指出其类型.五㊁(本题满分7分)设ρ=ρ(x)是抛物线y=x上任一点M(x,y)(xȡ1)处的曲率半径,s=s(x)是该抛物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长,计算3ρd2ρds2-dρds()2的值.(在直角坐标系下曲率公式为K=yᵡ(1+yᶄ2)32.)六㊁(本题满分7分)设函数f(x)在[0,+ɕ)上可导,f(0)=0,且其反函数为g(x).若ʏf(x)0g(t)dt=x2ex,求f(x).七㊁(本题满分7分)设函数f(x),g(x)满足fᶄ(x)=g(x),gᶄ(x)=2ex-f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求ʏπ0g(x)1+x-f(x)(1+x)2[]dx.八㊁(本题满分9分)设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(12,0).(1)试求曲线L的方程;(2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.九㊁(本题满分7分)一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K>0.假设在融化过程332001年真题。
2009年考研数学一、二、三真题(含详解)

O
A
O
A O
A
1
O B1
B
O
B
O
B
O
6
A1
O
O
6
1 A
A
1 B
B
6
O
O
1 2
A
1 B 3 O
O 3A
6
6
(D) a 1,b 1 6
【解析】 f x x sin ax 与 g x x2 ln 1 bx 是 x 0 时的等价无穷小,则
lim
x0
f (x) g(x)
lim
x0
x sin ax x2 ln(1 bx)
lim
x0
x sin ax x2 (bx)
lim
x0
x
sin ax bx3
,且单调递减;
0
(定积分对应的图像位于 x 轴下方)
③ x 1, 2 时, F(x) x f (t)dt 0 单调递增; 0
④ x 2,3 时, F '(x) f (x) 0 为常函数;
⑤ F (x) 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D)
(4)
设有两个数列
an
,
bn
,若
lim
n
则 max 1k 4
Ik
(
)
D1
D2
D4
-1
D3
1
x
(A) I1
(B) I2 (C) I3 (D) I4
-1
【答案】(A)
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令 f (x, y) y cos x ,
D2, D4 两区域关于 x 轴对称, f (x, y) y cos x f (x, y) ,即被积函数是关于 y 的奇函数, 所以 I2 I4 0 ;
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

⎝e ⎠
e
−2
2 −
最小值为 y = e e 。【答案】 e e 。
⎜⎛ 2 0 0⎟⎞ (14)设α , β 为 3 维列向量,β T 为 β 的转置向量,若αβ T 相似于 ⎜ 0 0 0⎟ ,则 β Tα =
2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。
(1)函数 f (x) = x − x3 的可去间断点的个数,则( ) sin πx
(A)1
(B)2
(C) 3
(5)若 f ′′(x) 不变号,且曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 上的曲率圆为 x2 + y 2 =2,则 f (x) 在区
间(1,2)内( ) (A)有极值点,无零点(B)无极值点,有零点 (C)有极值点,有零点(D)无极值点,无零点
【解析与点评】在点(1,1)处的领域内 f (x) 凸性不变(上凸),即 f ′′( x) < 0 ,由曲率圆
z = 1 ( x 2 + y 2 ) ,有最小值 0,立即有结果 D。这是水木艾迪一再强调的凑微分方法。 2
(方法 2)由 dz = xdx + ydy 可得 ∂z = x, ∂z = y
∂x
∂y
A = ∂ 2 z = 1, B = ∂ 2 z = ∂ 2 z = 0, C = ∂ 2 z = 1
e −1
+
n
n2
) +1
=
0
(12)设 y = y(x) 是方程 xy + e y = x + 1 确定的隐函数,则 d 2 y
2009考研数学二真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-=【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分:{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .(6)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可见,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出几个方面的特征:①[]0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减。
2009考研数学二真题及答案解析

全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-= 【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分:{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .(6)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可见,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出几个方面的特征:①[]0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)(1987-2009)考研数学命题研究组㊀编世纪高教编辑部1987年全国硕士研究生招生考试试题ʌ编者注ɔ1987年到1996年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二.(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设y=ln(1+ax),其中a为非零常数,则yᶄ=,yᵡ=.(2)曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是;法线方程是.(3)积分中值定理的条件是,结论是.(4)limnңɕn-2n+1()n=.(5)ʏfᶄ(x)dx=,ʏbafᶄ(2x)dx=.二㊁(本题满分6分)求极限limxң01x-1ex-1().三㊁(本题满分7分)设x=5(t-sint),y=5(1-cost),{求dydx,d2ydx2.四㊁(本题满分8分)计算定积分ʏ10xarcsinxdx.五㊁(本题满分8分)设D是由曲线y=sinx+1与三条直线x=0,x=π,y=0围成的曲边梯形,求D绕Ox轴旋转一周所生成的旋转体的体积.六㊁证明题(本题满分10分)(1)若f(x)在(a,b)内可导,且导数fᶄ(x)恒大于零,则f(x)在(a,b)内单调增加.(2)若g(x)在x=c处二阶导数存在,且gᶄ(c)=0,gᵡ(c)<0,则g(c)为g(x)的一个极大值.七㊁(本题满分10分)计算不定积分ʏdxa2sin2x+b2cos2x,其中a,b是不全为0的非负常数.11987年真题八㊁(本题满分10分)(1)求微分方程xdydx=x-y满足条件yx=2=0的特解.(2)求微分方程yᵡ+2yᶄ+y=xex的通解.九㊁选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分)(1)f(x)=xsinxecosx(-ɕ<x<+ɕ)是(㊀㊀)(A)有界函数.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)单调函数.(C)周期函数.(D)偶函数.(2)函数f(x)=xsinx(㊀㊀)(A)当xңɕ时为无穷大.(B)在(-ɕ,+ɕ)内有界.(C)在(-ɕ,+ɕ)内无界.(D)当xңɕ时有有限极限.(3)设f(x)在x=a处可导,则limxң0f(a+x)-f(a-x)x等于(㊀㊀)(A)fᶄ(a).(B)2fᶄ(a).(C)0.(D)fᶄ(2a).(4)设I=tʏst0f(tx)dx,其中f(x)连续,s>0,t>0,则I的值(㊀㊀)(A)依赖于s,t.(B)依赖于s,t,x.(C)依赖于t,x,不依赖于s.(D)依赖于s,不依赖于t.十㊁(本题满分10分)在第一象限内求曲线y=-x2+1上的一点,使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小,并求此最小面积.2历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)1988年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)(1)设f(x)=2x+a,xɤ0,ex(sinx+cosx),x>0{在(-ɕ,+ɕ)内连续,则a=.(2)设f(t)=limxңɕt1+1x()2tx,则fᶄ(t)=.(3)设f(x)连续,且ʏx3-10f(t)dt=x,则f(7)=.(4)limxң0+1xæèçöø÷tanx=.(5)ʏ40exdx=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)(1)f(x)=13x3+12x2+6x+1的图形在点(0,1)处的切线与x轴交点的坐标是(㊀㊀)(A)-16,0().(B)(-1,0).(C)16,0().(D)(1,0).(2)若f(x)与g(x)在(-ɕ,+ɕ)上皆可导,且f(x)<g(x),则必有(㊀㊀)(A)f(-x)>g(-x).(B)fᶄ(x)<gᶄ(x).(C)limxңx0f(x)<limxңx0g(x).(D)ʏx0f(t)dt<ʏx0g(t)dt.(3)若函数y=f(x),有fᶄ(x0)=12,则当Δxң0时,该函数在x=x0处的微分dy是(㊀㊀)(A)与Δx等价的无穷小.(B)与Δx同阶的无穷小.(C)比Δx低阶的无穷小.(D)比Δx高阶的无穷小.(4)由曲线y=sin32x(0ɤxɤπ)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为(㊀㊀)(A)43.(B)43π.(C)23π2.(D)23π.(5)设函数y=f(x)是微分方程yᵡ-2yᶄ+4y=0的一个解,且f(x0)>0,fᶄ(x0)=0,则f(x)在点x0处(㊀㊀)(A)有极大值.(B)有极小值.(C)某邻域内单调增加.(D)某邻域内单调减少.31988年真题三㊁(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)已知f(x)=ex2,f[φ(x)]=1-x且φ(x)ȡ0,求φ(x)并写出它的定义域.(2)已知y=1+xexy,求yᶄx=0,yᵡx=0.(3)求微分方程yᶄ+1xy=1x(x2+1)的通解(一般解).四㊁(本题满分12分)作函数y=6x2-2x+4的图形,并填写下表.单调增加区间单调减少区间极值点极值凹(ɣ)区间凸(ɘ)区间拐点渐近线五㊁(本题满分8分)将长为a的一段铁丝截成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形,问这两段铁丝各长为多少时,正方形与圆形的面积之和为最小?六㊁(本题满分10分)设函数y=y(x)满足微分方程yᵡ-3yᶄ+2y=2ex,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合,求函数y=y(x).七㊁(本题满分7分)设xȡ-1,求ʏx-1(1-t)dt.八㊁(本题满分8分)设f(x)在(-ɕ,+ɕ)上有连续导数,且mɤf(x)ɤM.(1)求limaң0+14a2ʏa-a[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)证明:12aʏa-af(t)dt-f(x)ɤM-m(a>0).4历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)1989年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共7小题,每小题3分,满分21分)(1)limxң0xcot2x=.(2)ʏπ0tsintdt=.(3)曲线y=ʏx0(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是.(4)设f(x)=x(x+1)(x+2) (x+n),则fᶄ(0)=.(5)设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2ʏ10f(t)dt,则f(x)=.(6)设f(x)=a+bx2,xɤ0,sinbxx,x>0{在x=0处连续,则常数a与b应满足的关系是.(7)设tany=x+y,则dy=.二㊁(本题共5小题,每小题4分,满分20分)(1)已知y=arcsine-x,求yᶄ.(2)求ʏdxxln2x.(3)求limxң0(2sinx+cosx)1x.(4)已知x=ln(1+t2),y=arctant,{求dydx,d2ydx2.(5)已知f(2)=12,fᶄ(2)=0及ʏ20f(x)dx=1,求ʏ10x2fᵡ(2x)dx.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三㊁选择题(本题共6小题,每小题3分,满分18分)(1)当x>0时,曲线y=xsin1x(㊀㊀)(A)有且仅有水平渐近线.(B)有且仅有铅直渐近线.(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线.(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线.(2)若3a2-5b<0,则方程x5+2ax3+3bx+4c=0(㊀㊀)(A)无实根.(B)有唯一实根.(C)有三个不同实根.(D)有五个不同实根.(3)曲线y=cosx(-π2ɤxɤπ2)与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为(㊀㊀)(A)π2.(B)π.(C)π22.(D)π2.51989年真题(4)设两函数f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值,则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处(㊀㊀)(A)必取极大值.(B)必取极小值.(C)不可能取极值.(D)是否取极值不能确定.(5)微分方程yᵡ-y=ex+1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)(㊀㊀)(A)aex+b.(B)axex+b.(C)aex+bx.(D)axex+bx.(6)设f(x)在点x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是(㊀㊀)(A)limhң+ɕh[f(a+1h)-f(a)]存在.(B)limhң0f(a+2h)-f(a+h)h存在.(C)limhң0f(a+h)-f(a-h)2h存在.(D)limhң0f(a)-f(a-h)h存在.四㊁(本题满分6分)求微分方程xyᶄ+(1-x)y=e2x(0<x<+ɕ)满足y(1)=0的特解.五㊁(本题满分7分)设f(x)=sinx-ʏx0(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).六㊁(本题满分7分)证明方程lnx=xe-ʏπ01-cos2xdx在区间(0,+ɕ)内有且仅有两个不同实根.七㊁(本题满分11分)对函数y=x+1x2填写下表.单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八㊁(本题满分10分)设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0ɤxɤ1时,yȡ0.又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为13.试确定a,b,c的值,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.6历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)1990年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)曲线x=cos3t,y=sin3t{上对应于t=π6处的法线方程是.(2)设y=etan1xsin1x,则yᶄ=.(3)ʏ10x1-xdx=.(4)下列两个积分的大小关系是:ʏ-1-2e-x3dxʏ-1-2ex3dx.(5)设函数f(x)=1,xɤ1,0,㊀x>1,{则函数f[f(x)]=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)已知limxңɕx2x+1-ax-b()=0,其中a,b是常数,则()(A)a=1,b=1.(B)a=-1,b=1.(C)a=1,b=-1.(D)a=-1,b=-1.(2)设函数f(x)在(-ɕ,+ɕ)上连续,则dʏf(x)dx[]等于()(A)f(x).(B)f(x)dx.(C)f(x)+C.(D)fᶄ(x)dx.(3)已知函数f(x)具有任意阶导数,且fᶄ(x)=[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是(㊀)(A)n![f(x)]n+1.(B)n[f(x)]n+1.(C)[f(x)]2n.(D)n![f(x)]2n.(4)设f(x)是连续函数,且F(x)=ʏe-xxf(t)dt,则Fᶄ(x)等于(㊀㊀)(A)-e-xf(e-x)-f(x).(B)-e-xf(e-x)+f(x).(C)e-xf(e-x)-f(x).(D)e-xf(e-x)+f(x).(5)设F(x)=f(x)x,xʂ0,f(0),x=0,{其中f(x)在x=0处可导,fᶄ(0)ʂ0,f(0)=0,则x=0是F(x)的(㊀㊀)(A)连续点.(B)第一类间断点.(C)第二类间断点.(D)连续点或间断点不能由此确定.三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分)(1)已知limxңɕx+ax-a()x=9,求常数a.(2)求由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.71990年真题(3)求曲线y=11+x2(x>0)的拐点.(4)计算ʏlnx(1-x)2dx.(5)求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件yx=e=1的特解.四㊁(本题满分9分)在椭圆x2a2+y2b2=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中a>0,b>0).五㊁(本题满分9分)证明:当x>0时,有不等式arctanx+1x>π2.六㊁(本题满分9分)设f(x)=ʏx1lnt1+tdt,其中x>0,求f(x)+f1x().七㊁(本题满分9分)过点P(1,0)作抛物线y=x-2的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.八㊁(本题满分9分)求微分方程yᵡ+4yᶄ+4y=eax的通解,其中a为实数.8历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)1991年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设y=ln(1+3-x),则dy=.(2)曲线y=e-x2的凸区间是.(3)ʏ+ɕ1lnxx2dx=.(4)质点以速度tsin(t2)米/秒作直线运动,则从时刻t1=π2秒到t2=π秒内质点所经过的路程等于米.(5)limxң0+1-e1xx+e1x=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)若曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1,-1)处相切,其中a,b是常数,则(㊀㊀)(A)a=0,b=-2.(B)a=1,b=-3.(C)a=-3,b=1.(D)a=-1,b=-1.(2)设函数f(x)=x2,㊀0ɤxɤ1,2-x,1<xɤ2,{记F(x)=ʏx0f(t)dt,0ɤxɤ2,则(㊀㊀)(A)F(x)=x33,㊀㊀㊀㊀0ɤxɤ1,13+2x-x22,1<xɤ2.ìîíïïïï㊀㊀(B)F(x)=x33,㊀㊀㊀㊀㊀0ɤxɤ1,-76+2x-x22,1<xɤ2.ìîíïïïï(C)F(x)=x33,㊀㊀㊀㊀0ɤxɤ1,x33+2x-x22,1<xɤ2.ìîíïïïï(D)F(x)=x33,㊀㊀0ɤxɤ1,2x-x22,1<xɤ2.ìîíïïïï(3)设函数f(x)在(-ɕ,+ɕ)内有定义,x0ʂ0是函数f(x)的极大值点,则(㊀㊀)(A)x0必是f(x)的驻点.(B)-x0必是-f(-x)的极小值点.(C)-x0必是-f(x)的极小值点.(D)对一切x都有f(x)ɤf(x0).(4)曲线y=1+e-x21-e-x2(㊀㊀)(A)没有渐近线.(B)仅有水平渐近线.(C)仅有铅直渐近线.(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.(5)如图,x轴上有一线密度为常数μ,长度为l的细杆,若质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为(㊀㊀)91991年真题(A)ʏ0-lkmμ(a-x)2dx.0kmμ(a-x)2x.(C)2ʏ0-l2kmμ(a+x)2dx.(D)2ʏl20kmμ(a+x)2dx.三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分){求d2ydx2.(1)设x=tcost,y=tsint,(2)计算ʏ41dxx(1+x).(3)求limxң0x-sinxx2(ex-1).(4)求ʏxsin2xdx.(5)求微分方程xyᶄ+y=xex满足y(1)=1的特解.四㊁(本题满分9分)利用导数证明:当x>1时,ln(1+x)lnx>x1+x.五㊁(本题满分9分)求微分方程yᵡ+y=x+cosx的通解.六㊁(本题满分9分)曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七㊁(本题满分9分)如图,A和D分别是曲线y=ex和y=e-2x上的点,AB和DC均垂直x轴,且ABʒDC=2ʒ1,AB<1,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.八㊁(本题满分9分)设函数f(x)在(-ɕ,+ɕ)上满足f(x)=f(x-π)+sinx,且f(x)=x,xɪ[0,π).计算ʏ3ππf(x)dx.011992年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设x=f(t)-π,y=f(e3t-1),{其中f可导,且fᶄ(0)ʂ0,则dydxt=0=.(2)函数y=x+2cosx在[0,π2]上的最大值为.(3)limxң01-1-x2ex-cosx=.(4)ʏ+ɕ1dxx(x2+1)=.(5)由曲线y=xex与直线y=ex所围成的图形的面积S=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)当xң0时,x-sinx是x2的(㊀㊀)(A)低阶无穷小.(B)高阶无穷小.(C)等价无穷小.(D)同阶但非等价的无穷小.(2)设f(x)=x2,㊀㊀xɤ0,x2+x,㊀x>0,{则(㊀㊀)(A)f(-x)=-x2,㊀㊀㊀xɤ0,-(x2+x),㊀x>0.{(B)f(-x)=-(x2+x),㊀x<0,-x2,㊀㊀㊀xȡ0.{(C)f(-x)=x2,㊀㊀xɤ0,x2-x,㊀x>0.{(D)f(-x)=x2-x,㊀x<0,x2,㊀㊀xȡ0.{(3)当xң1时,函数x2-1x-1e1x-1的极限(㊀㊀)(A)等于2.(B)等于0.(C)为ɕ.(D)不存在但不为ɕ.(4)设f(x)连续,F(x)=ʏx20f(t2)dt,则Fᶄ(x)等于(㊀㊀)(A)f(x4).㊀㊀㊀㊀(B)x2f(x4).㊀㊀㊀㊀(C)2xf(x4).㊀㊀㊀㊀(D)2xf(x2).(5)若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为(㊀㊀)(A)1+sinx.(B)1-sinx.(C)1+cosx.(D)1-cosx.三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分)(1)求limxңɕ3+x6+x()x-12.(2)设函数y=y(x)由方程y-xey=1所确定,求d2ydx2x=0的值.11(3)求ʏx31+x2dx.(4)求ʏπ01-sinxdx.(5)求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解.四㊁(本题满分9分){求ʏ31f(x-2)dx.设f(x)=1+x2,㊀xɤ0,e-x,㊀㊀x>0,五㊁(本题满分9分)求微分方程yᵡ-3yᶄ+2y=xex的通解.六㊁(本题满分9分)计算曲线y=ln(1-x2)上相应于0ɤxɤ12的一段弧的长度.七㊁(本题满分9分)求曲线y=x的一条切线l,使该曲线与切线l及直线x=0,x=2所围成的平面图形面积最小.八㊁(本题满分9分)已知fᵡ(x)<0,f(0)=0,证明对任何x1>0,x2>0,有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2).211993年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)limxң0+xlnx=.(2)函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定,则dydx=.(3)设F(x)=ʏx12-1tæèçöø÷dt(x>0),则函数F(x)的单调减少区间是.(4)ʏtanxcosxdx=.(5)已知曲线y=f(x)过点(0,-12),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1+x2),则f(x)=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)当xң0时,变量1x2sin1x是(㊀㊀)(A)无穷小.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)无穷大.(C)有界的,但不是无穷小.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(D)无界的,但不是无穷大.(2)设f(x)=x2-1x-1,㊀xʂ1,2,㊀㊀㊀㊀x=1,{则在点x=1处函数f(x)(㊀㊀)(A)不连续.(B)连续,但不可导.(C)可导,但导数不连续.(D)可导,且导数连续.(3)已知f(x)=x2,0ɤx<1,1,1ɤxɤ2,{设F(x)=ʏx1f(t)dt(0ɤxɤ2),则F(x)为(㊀㊀)(A)13x3,㊀0ɤx<1,x,㊀㊀1ɤxɤ2.{(B)13x3-13,0ɤx<1,x,㊀㊀㊀1ɤxɤ2.{(C)13x3,0ɤx<1,x-1,1ɤxɤ2.{(D)13x3-13,0ɤx<1,x-1,㊀1ɤxɤ2.{(4)设常数k>0,函数f(x)=lnx-xe+k在(0,+ɕ)内的零点个数为(㊀㊀)(A)3.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)2.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(C)1.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(D)0.(5)若f(x)=-f(-x),在(0,+ɕ)内fᶄ(x)>0,fᵡ(x)>0,则f(x)在(-ɕ,0)内(㊀㊀)(A)fᶄ(x)<0,fᵡ(x)<0.(B)fᶄ(x)<0,fᵡ(x)>0.(C)fᶄ(x)>0,fᵡ(x)<0.(D)fᶄ(x)>0,fᵡ(x)>0.31三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分)(1)设y=sin[f(x2)],其中f具有二阶导数,求d2ydx2.(2)求limxң-ɕx(x2+100+x).(3)求ʏπ40x1+cos2xdx.(4)求ʏ+ɕ0x(1+x)3dx.(5)求微分方程(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0满足初值条件y(0)=1的特解.四㊁(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程yᵡ+αyᶄ+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α,β,γ,并求该方程的通解.五㊁(本题满分9分)设平面图形A由x2+y2ɤ2x与yȡx所确定,求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积.六㊁(本题满分9分)作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.七㊁(本题满分9分)设x>0,常数a>e.证明:(a+x)a<aa+x.八㊁(本题满分9分)设fᶄ(x)在[0,a]上连续,且f(0)=0,证明:ʏa0f(x)dxɤMa22,其中M=max0ɤxɤafᶄ(x).411994年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)若f(x)=sin2x+e2ax-1x,xʂ0,a,㊀㊀㊀㊀㊀㊀x=0{在(-ɕ,+ɕ)上连续,则a=.(2)设函数y=y(x)由参数方程x=t-ln(1+t),y=t3+t2{所确定,则d2ydx2=.(3)ddxʏcos3x0f(t)dt()=.(4)ʏx3ex2dx=.(5)微分方程ydx+(x2-4x)dy=0的通解为.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设limxң0ln(1+x)-(ax+bx2)x2=2,则(㊀㊀)(A)a=1,b=-52.(B)a=0,b=-2.(C)a=0,b=-52.(D)a=1,b=-2.(2)设f(x)=23x3,xɤ1,x2,㊀x>1,{则f(x)在点x=1处的(㊀㊀)(A)左㊁右导数都存在.(B)左导数存在,但右导数不存在.(C)左导数不存在,但右导数存在.(D)左㊁右导数都不存在.(3)设y=f(x)是满足微分方程yᵡ+yᶄ-esinx=0的解,且fᶄ(x0)=0,则f(x)在(㊀㊀)(A)x0的某个邻域内单调增加.(B)x0的某个邻域内单调减少.(C)x0处取得极小值.(D)x0处取得极大值.(4)曲线y=e1x2arctanx2+x+1(x-1)(x+2)的渐近线有(㊀㊀)(A)1条.㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)2条.㊀㊀㊀㊀㊀㊀(C)3条.㊀㊀㊀㊀㊀㊀(D)4条.(5)设M=ʏπ2-π2sinx1+x2cos4xdx,N=ʏπ2-π2(sin3x+cos4x)dx,P=ʏπ2-π2(x2sin3x-cos4x)dx,则有(㊀㊀)(A)N<P<M.(B)M<P<N.(C)N<M<P.(D)P<M<N.51三㊁(本题共5小题,每小题5分,满分25分)(1)设y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求d2ydx2.(2)计算ʏ10x(1-x4)32dx.(3)计算limnңɕtannπ4+2n().(4)计算ʏdxsin2x+2sinx.(5)如图,设曲线方程为y=x2+12,梯形OABC的面积为D,曲边梯形OABC的面积为D1,点A的坐标为(a,0),a>0.证明:DD1<32.四㊁(本题满分9分)设当x>0时,方程kx+1x2=1有且仅有一个解,求k的取值范围.五㊁(本题满分9分)设y=x3+4x2,(1)求函数的增减区间及极值;(2)求函数图形的凹凸区间及拐点;(3)求其渐近线;(4)作出其图形.六㊁(本题满分9分)求微分方程yᵡ+a2y=sinx的通解,其中常数a>0.七㊁(本题满分9分)设f(x)在[0,1]上连续且递减,证明:当0<λ<1时,ʏλ0f(x)dxȡλʏ10f(x)dx.八㊁(本题满分9分)求曲线y=3-x2-1与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转所得的旋转体体积.611995年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设y=cos(x2)sin21x,则yᶄ=.(2)微分方程yᵡ+y=-2x的通解为.(3)曲线x=1+t2,y=t3{在t=2处的切线方程为.(4)limnңɕ1n2+n+1+2n2+n+2+ +nn2+n+n()=.(5)曲线y=x2e-x2的渐近线方程为.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设f(x)和φ(x)在(-ɕ,+ɕ)上有定义,f(x)为连续函数,且f(x)ʂ0,φ(x)有间断点,则(㊀㊀)(A)φ[f(x)]必有间断点.(B)[φ(x)]2必有间断点.(C)f[φ(x)]必有间断点.(D)φ(x)f(x)必有间断点.(2)曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形的面积可表示为(㊀㊀)(A)-ʏ20x(x-1)(2-x)dx.(B)ʏ10x(x-1)(2-x)dx-ʏ21x(x-1)(2-x)dx.(C)-ʏ10x(x-1)(2-x)dx+ʏ21x(x-1)(2-x)dx.(D)ʏ20x(x-1)(2-x)dx.(3)设f(x)在(-ɕ,+ɕ)内可导,且对任意x1,x2,当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),则(㊀㊀)(A)对任意x,fᶄ(x)>0.(B)对任意x,fᶄ(-x)ɤ0.(C)函数f(-x)单调增加.(D)函数-f(-x)单调增加.(4)设函数f(x)在[0,1]上fᵡ(x)>0,则fᶄ(1),fᶄ(0),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是(㊀㊀)(A)fᶄ(1)>fᶄ(0)>f(1)-f(0).(B)fᶄ(1)>f(1)-f(0)>fᶄ(0).(C)f(1)-f(0)>fᶄ(1)>fᶄ(0).(D)fᶄ(1)>f(0)-f(1)>fᶄ(0).(5)设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+sinx).若F(x)在x=0处可导,则必有(㊀㊀)(A)f(0)=0.(B)fᶄ(0)=0.(C)f(0)+fᶄ(0)=0.(D)f(0)-fᶄ(0)=0.71三㊁(本题共6小题,每小题5分,满分30分)(1)求limxң0+1-cosxx(1-cosx).(2)设函数y=y(x)由方程xef(y)=ey确定,其中f具有二阶导数,且fᶄʂ1,求d2ydx2.(3)设f(x2-1)=lnx2x2-2,且f[φ(x)]=lnx,求ʏφ(x)dx.(4)设f(x)=xarctan1x2,xʂ0,0,㊀㊀㊀x=0,{试讨论fᶄ(x)在x=0处的连续性.(5)求摆线x=1-cost,y=t-sint{一拱(0ɤtɤ2π)的弧长S.(6)设单位质点在水平面内作直线运动,初速度vt=0=v0.已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此质点的速度为v03?并求到此时刻该质点所经过的路程.四㊁(本题满分8分)求函数f(x)=ʏx20(2-t)e-tdt的最大值和最小值.五㊁(本题满分8分)设y=ex是微分方程xyᶄ+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足条件yx=ln2=0的特解.六㊁(本题满分8分)如图,设曲线L的方程为y=f(x),且yᵡ>0.又MT,MP分别为该曲线在点M(x0,y0)处的切线和法线.已知线段MP的长度为(1+yᶄ20)32yᵡ0(其中yᶄ0=yᶄ(x0),yᵡ0=yᵡ(x0)),试推导出点P(ξ,η)的坐标表达式.七㊁(本题满分8分)设f(x)=ʏx0sintπ-tdt,计算ʏπ0f(x)dx.八㊁(本题满分8分)设limxң0f(x)x=1,且fᵡ(x)>0,证明f(x)ȡx.811996年全国硕士研究生招生考试试题(试卷Ⅲ)一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设y=(x+e-x2)23,则yᶄx=0=.(2)ʏ1-1(x+1-x2)2dx=.(3)微分方程yᵡ+2yᶄ+5y=0的通解为.(4)limxңɕxsinln1+3x()-sinln1+1x()[]=.(5)由曲线y=x+1x,x=2及y=2所围图形的面积S=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设当xң0时,ex-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小,则(㊀㊀)(A)a=12,b=1.㊀㊀(B)a=1,b=1.㊀㊀(C)a=-12,b=-1.㊀㊀(D)a=-1,b=1.(2)设函数f(x)在区间(-δ,δ)内有定义,若当xɪ(-δ,δ)时,恒有f(x)ɤx2,则x=0必是f(x)的(㊀㊀)(A)间断点.(B)连续而不可导的点.(C)可导的点,且fᶄ(0)=0.(D)可导的点,且fᶄ(0)ʂ0.(3)设f(x)处处可导,则(㊀㊀)(A)当limxң-ɕf(x)=-ɕ,必有limxң-ɕfᶄ(x)=-ɕ.(B)当limxң-ɕfᶄ(x)=-ɕ,必有limxң-ɕf(x)=-ɕ.(C)当limxң+ɕf(x)=+ɕ,必有limxң+ɕfᶄ(x)=+ɕ.(D)当limxң+ɕfᶄ(x)=+ɕ,必有limxң+ɕf(x)=+ɕ.(4)在区间(-ɕ,+ɕ)内,方程x14+x12-cosx=0(㊀㊀)(A)无实根.(B)有且仅有一个实根.(C)有且仅有两个实根.(D)有无穷多个实根.(5)设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且g(x)<f(x)<m(m为常数),由曲线y=g(x),y=f(x),x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为(㊀㊀)(A)ʏbaπ[2m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dx.(B)ʏbaπ[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx.(C)ʏbaπ[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dx.(D)ʏbaπ[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx.91三㊁(本题共6小题,每小题5分,满分30分)(1)计算ʏln201-e-2xdx.(2)求ʏdx1+sinx.(3)设x=ʏt0f(u2)du,y=[f(t2)]2,{其中f(u)具有二阶导数,且f(u)ʂ0,求d2ydx2.(4)求函数f(x)=1-x1+x在点x=0处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.(5)求微分方程yᵡ+yᶄ=x2的通解.(6)设有一正椭圆柱体,其底面的长㊁短轴分别为2a,2b,用过此柱体底面的短轴且与底面成α角0<α<π2()的平面截此柱体,得一楔形体(如图),求此楔形体的体积V.四㊁(本题满分8分)计算不定积分ʏarctanxx2(1+x2)dx.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀五㊁(本题满分8分)设函数f(x)=1-2x2,x<-1,㊀㊀x3,㊀㊀-1ɤxɤ2,12x-16,x>2.㊀㊀ìîíïïï(1)写出f(x)的反函数g(x)的表达式;(2)g(x)是否有间断点㊁不可导点,若有,指出这些点.六㊁(本题满分8分)设函数y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定,试求y=y(x)的驻点,并判别它是否为极值点.七㊁(本题满分8分)设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,fᶄ(a)fᶄ(b)>0.证明:存在ξɪ(a,b)和ηɪ(a,b),使f(ξ)=0及fᵡ(η)=0.八㊁(本题满分8分)设f(x)为连续函数,(1)求初值问题yᶄ+ay=f(x),yx=0=0{的解y(x),其中a是正常数;(2)若f(x)ɤk(k为常数),证明:当xȡ0时,有y(x)ɤka(1-e-ax).021997年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)已知函数f(x)=(cosx)x-2,xʂ0,a,㊀㊀㊀x=0{在x=0处连续,则a=.(2)设y=ln1-x1+x2,则yᵡx=0=.(3)ʏdxx(4-x)=.(4)ʏ+ɕ0dxx2+4x+8=.(5)已知向量组α1=(1,2,-1,1),α2=(2,0,t,0),α3=(0,-4,5,-2)的秩为2,则t=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设xң0时,etanx-ex与xn是同阶无穷小,则n为(㊀㊀)(A)1.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(B)2.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(C)3.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(D)4.(2)设在闭区间[a,b]上f(x)>0,fᶄ(x)<0,fᵡ(x)>0.记S1=ʏbaf(x)dx,S2=f(b)(b-a),S3=12[f(a)+f(b)](b-a),则(㊀㊀)(A)S1<S2<S3.(B)S2<S1<S3.(C)S3<S1<S2.(D)S2<S3<S1.(3)已知函数y=f(x)对一切x满足xfᵡ(x)+3x[fᶄ(x)]2=1-e-x,若fᶄ(x0)=0(x0ʂ0),则(㊀㊀)(A)f(x0)是f(x)的极大值.(B)f(x0)是f(x)的极小值.(C)(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.(D)f(x0)不是f(x)的极值,(x0,f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点.(4)设F(x)=ʏx+2πxesintsintdt,则F(x)(㊀㊀)(A)为正常数.(B)为负常数.(C)恒为零.(D)不为常数.(5)设函数g(x)=2-x,㊀xɤ0,x+2,㊀x>0,{f(x)=x2,㊀x<0,-x,㊀xȡ0,{则g[f(x)]=(㊀㊀)(A)2+x2,㊀x<0,2-x,㊀㊀xȡ0.{(B)2-x2,㊀x<0,2+x,㊀㊀xȡ0.{(C)2-x2,㊀x<0,2-x,㊀㊀xȡ0.{(D)2+x2,㊀x<0,2+x,㊀㊀xȡ0.{三㊁(本题共6小题,每小题5分,满分30分)(1)求极限limxң-ɕ4x2+x-1+x+1x2+sinx.12(2)设函数y=y(x)由x=arctant,2y-ty2+et=5{所确定,求dydx.(3)计算ʏe2x(tanx+1)2dx.(4)求微分方程(3x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0的通解.(5)已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.(6)已知矩阵A=11-101100-1æèççöø÷÷,且A2-AB=E,其中E是3阶单位矩阵,求矩阵B.四㊁(本题满分8分)λ取何值时,方程组2x1+λx2-x3=1,λx1-x2+x3=2,4x1+5x2-5x3=-1ìîíïïï无解,有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解.五㊁(本题满分8分)设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M0(2,0)为L上一定点.若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.六㊁(本题满分8分)设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足xfᶄ(x)=f(x)+3a2x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.七㊁(本题满分8分)设函数f(x)连续,φ(x)=ʏ10f(xt)dt,且limxң0f(x)x=A(A为常数),求φᶄ(x)并讨论φᶄ(x)在x=0处的连续性.八㊁(本题满分8分)就k的不同取值情况,确定方程x-π2sinx=k在开区间(0,π2)内根的个数,并证明你的结论.221998年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)limxң01+x+1-x-2x2=.(2)曲线y=-x3+x2+2x与x轴所围成的图形的面积A=.(3)ʏln(sinx)sin2xdx=.(4)设f(x)连续,则ddxʏx0tf(x2-t2)dt=.(5)曲线y=xlne+1x()(x>0)的渐近线方程为.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设数列{xn}与{yn}满足limnңɕxnyn=0,则下列断言正确的是(㊀㊀)(A)若{xn}发散,则{yn}必发散.(B)若{xn}无界,则{yn}必有界.(C)若{xn}有界,则{yn}必为无穷小.(D)若1xn{}为无穷小,则{yn}必为无穷小.(2)函数f(x)=(x2-x-2)x3-x的不可导点的个数为(㊀㊀)(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(3)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx1+x2+α,其中α是比Δx(Δxң0)高阶的无穷小,且y(0)=π,则y(1)=(㊀㊀)(A)πeπ4.(B)2π.(C)π.(D)eπ4.(4)设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续,且f(a)为其极大值,则存在δ>0,当xɪ(a-δ,a+δ)时,必有(㊀㊀)(A)(x-a)[f(x)-f(a)]ȡ0.(B)(x-a)[f(x)-f(a)]ɤ0.(C)limtңaf(t)-f(x)(t-x)2ȡ0(xʂa).(D)limtңaf(t)-f(x)(t-x)2ɤ0(xʂa).(5)设A是任一n(nȡ3)阶方阵,A∗是其伴随矩阵,又k为常数,且kʂ0,ʃ1,则必有(kA)∗=(㊀㊀)(A)kA∗.(B)kn-1A∗.(C)knA∗.(D)k-1A∗.三㊁(本题满分5分)求函数f(x)=(1+x)xtan(x-π4)在区间(0,2π)内的间断点,并判断其类型.32四㊁(本题满分5分)确定常数a,b,c的值,使limxң0ax-sinxʏxbln(1+t3)tdt=c(cʂ0).五㊁(本题满分5分)利用代换y=ucosx将方程yᵡcosx-2yᶄsinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解.六㊁(本题满分6分)计算积分ʏ3212dxx-x2.七㊁(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始垂直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).八㊁(本题满分8分)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0ɪ(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积;(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且fᶄ(x)>-2f(x)x,证明(1)中的x0是惟一的.九㊁(本题满分8分)设有曲线y=x-1,过原点作其切线,求由此曲线㊁切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.十㊁(本题满分8分)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为11+yᶄ2,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值.十一㊁(本题满分8分)设xɪ(0,1),证明:(1)(1+x)ln2(1+x)<x2;42(2)1ln2-1<1ln(1+x)-1x<12.十二㊁(本题满分5分)设(2E-C-1B)AT=C-1,其中E是4阶单位矩阵,AT是4阶矩阵A的转置矩阵,B=12-3-2012-300120001æèççççöø÷÷÷÷,㊀㊀C=1㊀2㊀0㊀10㊀1㊀2㊀00㊀0㊀1㊀20㊀0㊀0㊀1æèççççöø÷÷÷÷.求A.十三㊁(本题满分6分)已知α1=(1,4,0,2)T,α2=(2,7,1,3)T,α3=(0,1,-1,a)T,β=(3,10,b,4)T,问:(1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表示?(2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?并写出此表示式.521999年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)曲线x=etsin2ty=etcost{在点(0,1)处的法线方程为.(2)设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定,则dydxx=0=㊀㊀㊀.(3)ʏx+5x2-6x+13dx=.(4)函数y=x21-x2在区间12,32[]上的平均值为.(5)微分方程yᵡ-4y=e2x的通解为.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设f(x)=1-cosxx,x>0,x2g(x),xɤ0,{其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处(㊀㊀)(A)极限不存在.(B)极限存在,但不连续.(C)连续,但不可导.(D)可导.(2)设α(x)=ʏ5x0sinttdt,β(x)=ʏsinx0(1+t)1tdt,则当xң0时,α(x)是β(x)的(㊀㊀)(A)高阶无穷小.(B)低阶无穷小.(C)同阶但不等价的无穷小.(D)等价无穷小.(3)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则(㊀㊀)(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数.(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数.(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数.(4) 对任意给定的εɪ(0,1),总存在正整数N,当nȡN时,恒有xn-aɤ2ε 是数列{xn}收敛于a的(㊀㊀)(A)充分条件但非必要条件.(B)必要条件但非充分条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分条件又非必要条件.(5)记行列式x-2x-1x-2x-32x-22x-12x-22x-33x-33x-24x-53x-54x4x-35x-74x-3为f(x),则方程f(x)=0的根的个数为(㊀㊀)(A)1.㊀㊀(B)2.㊀㊀(C)3.㊀㊀(D)4.62三㊁(本题满分5分)求limxң01+tanx-1+sinxxln(1+x)-x2.四㊁(本题满分6分)计算ʏ+ɕ1arctanxx2dx.五㊁(本题满分7分)求初值问题(y+x2+y2)dx-xdy=0(x>0),yx=1=0{的解.六㊁(本题满分7分)为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s.在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:①1Nˑ1m=1J;m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)七㊁(本题满分8分)已知函数y=x3(x-1)2,求(1)函数的增减区间及极值;(2)函数图形的凹凸区间及拐点;(3)函数图形的渐近线.八㊁(本题满分8分)设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,fᶄ(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f‴(ξ)=3.九㊁(本题满分8分)设函数y(x)(xȡ0)二阶可导,且yᶄ(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.72十㊁(本题满分7分)设f(x)是区间[0,+ɕ)上单调减少且非负的连续函数,an= nk=1f(k)-ʏn1f(x)dx(n=1,2, ),证明数列{an}的极限存在.十一㊁(本题满分6分)设矩阵A=11-1-1111-11æèççöø÷÷,矩阵X满足A∗X=A-1+2X,其中A∗是A的伴随矩阵,求矩阵X.十二㊁(本题满分8分)设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p+2)T,α4=(-2,-6,10,p)T.(1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)T用α1,α2,α3,α4线性表示;(2)p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.822000年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)limxң0arctanx-xln(1+2x3)=.(2)设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定,则dyx=0=.(3)ʏ+ɕ2dx(x+7)x-2=.(4)曲线y=(2x-1)e1x的斜渐近线方程为.(5)设A=1000-23000-45000-67æèççççöø÷÷÷÷,E为4阶单位矩阵,且B=(E+A)-1(E-A),则(E+B)-1=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设函数f(x)=xa+ebx在(-ɕ,+ɕ)内连续,且limxң-ɕf(x)=0,则常数a,b满足(㊀㊀)(A)a<0,b<0.(B)a>0,b>0.(C)aɤ0,b>0.(D)aȡ0,b<0.(2)设函数f(x)满足关系式fᵡ(x)+[fᶄ(x)]2=x,且fᶄ(0)=0,则(㊀㊀)(A)f(0)是f(x)的极大值.(B)f(0)是f(x)的极小值.(C)点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.(D)f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点.(3)设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数,且fᶄ(x)g(x)-f(x)gᶄ(x)<0,则当a<x<b时,有(㊀㊀)(A)f(x)g(b)>f(b)g(x).(B)f(x)g(a)>f(a)g(x).(C)f(x)g(x)>f(b)g(b).(D)f(x)g(x)>f(a)g(a).(4)若limxң0sin6x+xf(x)x3=0,则limxң06+f(x)x2为(㊀㊀)(A)0.㊀㊀(B)6.㊀㊀(C)36.㊀㊀(D)ɕ.(5)具有特解y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是(㊀㊀)(A)y‴-yᵡ-yᶄ+y=0.(B)y‴+yᵡ-yᶄ-y=0.(C)y‴-6yᵡ+11yᶄ-6y=0.(D)y‴-2yᵡ-yᶄ+2y=0.三㊁(本题满分5分)设f(lnx)=ln(1+x)x,计算ʏf(x)dx.92四㊁(本题满分5分)设xOy平面上有正方形D={(x,y)0ɤxɤ1,0ɤyɤ1}及直线l:x+y=t(tȡ0).若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积,试求ʏx0S(t)dt(xȡ0).五㊁(本题满分5分)求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(nȡ3).六㊁(本题满分6分)设函数S(x)=ʏx0costdt,(1)当n为正整数,且nπɤx<(n+1)π时,证明:2nɤS(x)<2(n+1);(2)求limxң+ɕS(x)x.七㊁(本题满分7分)某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V6,流入湖泊内不含A的水量为V6,流出湖泊的水量为V3.已知1999年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过m0V.问至多需经过多少年,湖泊中污染物A的含量才可降至m0以内?(注:设湖水中A的浓度是均匀的).八㊁(本题满分6分)设函数f(x)在[0,π]上连续,且ʏπ0f(x)dx=0,ʏπ0f(x)cosxdx=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.九㊁(本题满分7分)已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α(x)是当xң0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.十㊁(本题满分8分)设曲线y=ax2(a>0,xȡ0)与y=1-x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形.问a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?十一㊁(本题满分8分)函数f(x)在[0,+ɕ)上可导,f(0)=1,且满足等式03历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)fᶄ(x)+f(x)-1x+1ʏx0f(t)dt=0.(1)求导数fᶄ(x);(2)证明:当xȡ0时,不等式e-xɤf(x)ɤ1成立.十二㊁(本题满分6分)设α=121æèççöø÷÷,β=1120æèççççöø÷÷÷÷,γ=008æèççöø÷÷,A=αβT,B=βTα,其中βT是β的转置,求解方程2B2A2x=A4x+B4x+γ.十三㊁(本题满分7分)已知向量组β1=01-1æèççöø÷÷,β2=a21æèççöø÷÷,β3=b10æèççöø÷÷与向量组α1=12-3æèççöø÷÷,α2=301æèççöø÷÷,α3=96-7æèççöø÷÷具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a,b的值.132000年真题2001年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)limxң13-x-1+xx2+x-2=.(2)设函数y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e-1所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为.(3)ʏπ2-π2(x3+sin2x)cos2xdx=.(4)过点(12,0)且满足关系式yᶄarcsinx+y1-x2=1的曲线方程为.(5)设方程组a㊀1㊀11㊀a㊀11㊀1㊀aæèççöø÷÷x1x2x3æèçççöø÷÷÷=11-2æèççöø÷÷有无穷多解,则a=.二㊁选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设f(x)=1,㊀xɤ1,0,㊀x>1,{则f{f[f(x)]}等于(㊀㊀)(A)0.㊀㊀㊀㊀㊀(B)1.㊀㊀㊀㊀㊀(C)1,㊀xɤ1,0,㊀x>1.{㊀㊀㊀㊀㊀(D)0,㊀xɤ1,1,㊀x>1.{(2)设当xң0时,(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小,xsinxn是比ex2-1高阶的无穷小,则正整数n等于(㊀㊀)(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.(3)曲线y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为(㊀㊀)(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(4)已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,fᶄ(x)严格单调减少,且f(1)=fᶄ(1)=1,则(㊀㊀)(A)在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)<x.(B)在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)>x.(C)在(1-δ,1)内,f(x)<x,在(1,1+δ)内,f(x)>x.(D)在(1-δ,1)内,f(x)>x,在(1,1+δ)内,f(x)<x.(5)已知函数y=f(x)在其定义域内可导,它的图形如右图所示,则其导函数y=fᶄ(x)的图形为(㊀㊀)23历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)三㊁(本题满分6分)求ʏdx(2x2+1)x2+1.四㊁(本题满分7分)求极限limtңxsintsinx()xsint-sinx,记此极限为f(x),求函数f(x)的间断点并指出其类型.五㊁(本题满分7分)设ρ=ρ(x)是抛物线y=x上任一点M(x,y)(xȡ1)处的曲率半径,s=s(x)是该抛物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长,计算3ρd2ρds2-dρds()2的值.(在直角坐标系下曲率公式为K=yᵡ(1+yᶄ2)32.)六㊁(本题满分7分)设函数f(x)在[0,+ɕ)上可导,f(0)=0,且其反函数为g(x).若ʏf(x)0g(t)dt=x2ex,求f(x).七㊁(本题满分7分)设函数f(x),g(x)满足fᶄ(x)=g(x),gᶄ(x)=2ex-f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求ʏπ0g(x)1+x-f(x)(1+x)2[]dx.八㊁(本题满分9分)设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(12,0).(1)试求曲线L的方程;(2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.九㊁(本题满分7分)一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K>0.假设在融化过程332001年真题。