#4-31行列式与矩阵

5．二阶矩阵的乘法
一般的，设 A＝ac11
db11，B＝ac22 bd22，则 AB＝ac11
b1 d1
a2 c2
db22＝ac11aa22＋＋db11cc22
a1b2＋b1d2
c1b2＋d1d2

对直角坐标系 xOy 内任意向量 α，有 A(Bα)＝(AB)α.
8．逆矩阵的性质 (1)性质 1 设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的， 则 A 的逆矩阵是唯一的． (2)性质 2 设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆， 则 AB 也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.
9．逆矩阵的判定及求法
定理：二阶矩阵 A＝ac db是可逆的，当且仅当 ad－
－23 －1 1
05＝189 －－510.
【探究 2】 用矩阵知识解二元一次方程组． 2x＋3y－1＝0 3x＋2y＋1＝0 . 分析：用二阶行列式可以表示二元一次方程组的一般 解，计算出相应量后代入即可．用逆矩阵从几何变换的角 度也可求解二元一次方程组．
[解] (1)∵|A|＝13 － －27＝－1≠0. ∴矩阵 A 是可逆的，且
－7 A－1＝－－31
－1
－－1211＝73
－－21.
(2)∵AX＝31 05，
∴A－1AX＝A－
13 1
05，
∴X＝73
要点串讲
1.矩阵的相关概念 (1)由 4 个数 a，b，c，d 排成的正方形数表ac db)称 为二阶矩阵，数 a，b，c，d 称为矩阵的元素．在二阶矩 阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第 二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第 二列．矩阵通常用大写的英文字母 A，B，C，…表示．
(2)二阶矩阵00
00称为零矩阵，简记为 0，矩阵10
0 1
称为二阶单位矩阵，记作 E2. (3)对于两个二阶矩阵 A，B，如果它们的对应元素分
别相等，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A＝B，设 A＝
a1 c1
db11，B＝ac22
db22，若 A＝B，则 a1＝a2，b1＝b2，c1
解：(1)设 M＝ac db，
则有ac db1－1＝－－11，
a c
db－1 2＝0－2.
也就是ac－－db＝－－11，－－22ac＋＋db＝0－2，
(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共 线．
(4)设矩阵 A＝ac db，称 f(λ)＝λ－－ca λ－－db为矩阵 A 的特征多项式，方程－λ－ca λ－－db＝0 为矩阵 A 的特征方 程．
12．特征向量的应用 (1)设 A 是一个二阶矩阵，α 是矩阵 A 的属于特殊值 λ 的任意一个特征向量，则 Anα＝λnα(n∈N*)． (2)性质 1 设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特殊值， ξ1，ξ2 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对 于任意的非零平面向量 α，设 α＝t1ξ1＋t2ξ2(其中 t1，t2 为 实数)，则对任意的正整数 n，有 Anα＝t1λ1nξ1＋t2λn2ξ2.
类型二 与逆矩阵(变换)相关的问题、用矩阵知识解 二元一次方程组
【例 2】 已知矩阵 A＝13 (1)求逆矩阵 A－1；
－－27.
(2)若二阶矩阵 X 满足 AX＝31 05，试求矩阵 X. [分析] 利用|A|可以求出 A－1，再利用 A·A－1＝E2， 可求出二阶矩阵 X.
，因此 ξ2＝11是矩阵
A 的属于特征值 λ2＝7 的一个特征向量．
【探究 3】 已知矩阵 M＝35 62，α＝38，试计算 M100α. 分析：利用特征值和特征向量，可以方便地计算多次变 换的结果，应用公式 Mnβ＝m(λ1nα1)＋n(λ1nα2)时要熟悉各个系 数的意义，并分别求出代入．
＝c2，d1＝d2.
2．线性变换的相关概念 (1)我们把形如yx′′＝＝caxx＋＋dbyy (*)的几何变换叫做线 性 变 换 ， (*) 式 叫 做 这 个 线 性 变 换 的 坐标 变换 公 式 ， P′(x′，y′)是 P(x，y)在这个线性变换作用下的像． (2)常见的线性变换有旋转变换，反射变换、伸缩变 换、投影变换、切变变换．
∴m＝1，n＝－3，
即 α＝α1－3α2，
－5x－4y＝0 －5x－4y＝0
得一个非零解xy＝＝－4 5
，
因此 ξ1＝4－5是矩阵 A 的属于特征值 λ1＝－2 的一个 特征向量，
对 于 特 征 值 λ2 ＝ 7 ， 解 相 应 的 线 性 方 程 组
4x－4y＝0 －5x＋5y＝0
得一个非零解xy＝＝11
解：设矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝λ－－53 λ－ －62＝(λ－3)·(λ－2)－30＝λ2－5λ－24. 令 f(λ)＝0，得 M 的特征值为 λ1＝8，λ2＝－3， 它们对应的一个特征向量分别为
α1＝65，α2＝1－1. 令 α＝mα1＋nα2＝m65＋n1－1＝38，
(3)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换 σ、ρ， 如果对平面内任意一点 P，都有 σ(P)＝ρ(P)，则称这两个 线性变换相等，简记为 σ＝ρ，设 σ，ρ 所对应的二阶矩阵 分别为 A，B，则 A＝B.
3．二阶矩阵与平面向量的乘法 设 A＝ac db，α＝xy ， 则 Aα＝ac dbxy＝acxx＋＋dbyy.
解：二元一次方程组可化为
2x＋3y＝1 3x＋2y＝－1
，
其系数矩阵为 A＝23 32，该方程组的矩阵形式为
Axy ＝1－1，
∵|A|＝23 32＝2×2－3×3＝－5≠0，∴矩阵 A 可逆，
∴方程组有唯一解xy ＝A－11－1，
【探究 1】 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1，－1) 与(－2,1)分别变成点(－1，－1)与(0，－2)．
(1)求矩阵 M； (2)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m：x－y＝ 4.求直线 l 的方程． 分析：由已知条件可利用待定系数法求矩阵 M，再 通过矩阵 M 对应的坐标变换公式确定直线 l 与直线 m 上 点坐标间的关系，即可求直线 l 的方程．
6．矩阵乘法的性质 (1)结合律 设 A，B，C 是任意的三个二阶矩阵，则 A(BC)＝(AB)C. (2)二阶矩阵 A 的方幂的性质 A0＝E2，AkAl＝Ak＋l，(Ak)l＝Akl(k，l∈N)．
7．逆变换与逆矩阵 (1)一般地，设 ρ 是一个线性变换，如果存在线性变 换 σ，使得 σρ＝ρσ＝I，则称变换 ρ 可逆，并且称 σ 是 ρ 的逆变换． (2)一般地，设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩 阵 B，使得 BA＝AB＝E2，则称矩阵 A 可逆，并且称 B 是 A 的逆矩阵．
所以ac－－db＝＝－－11 ，且－ －22ac＋＋db＝＝－0 2 .
a＝1 解得bc＝＝32
d＝4
，所以 M＝13
2 4
.
(2)∵M＝13 24，∴坐标变换公式为yx′′＝＝3xx＋＋24yy ， ∵(x′，y′)是直线 m：x－y＝4 上的点． ∴(x＋2y)－(3x＋4y)＝4， 即 x＋y＋2＝0， ∴直线 l 的方程为 x＋y＋2＝0.
[解] 设 P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点 P 在矩阵 A
＝20 01的作用下的像为 P′(x0′，y0′)．
∵A＝20 01，∴坐标变换公式xy00′′＝＝y20x0 ，
∴x0＝x02′ ， y0＝y0′
∵点 P 在椭圆上，故 4x20＋y20＝1， ∴(x0′)2＋(y0′)2＝1， ∴曲线 F 的方程为 x2＋y2＝1.
部分 选考内容
第三十一讲 行列式与矩阵(选修4－2)
考纲要求
1.矩阵相等概念的应用． 2．求常见的平面变换公式及其矩阵． 3．求曲线在二阶矩阵对应的线性变换作用下的曲 线方程及其图形． 4．二阶矩阵乘法的运算及其在变换中的应用． 5．逆矩阵的求法及其在解二元一次方程组中的应 用．
考纲要求
6．计算二阶矩阵的特征值、特征向量． 7．利用矩阵的特征值、特征向量表示Anα.
高频考点
类型一 二阶矩阵与平面向量乘法、线性变换性质 的应用
【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 4x2 ＋y2＝1 在矩阵20 01对应的变换作用下得到曲线 F，求 F 的方程．
[分析] 由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到 椭圆上点与曲线 F 上点坐标间的关系，再代入椭圆方程 即可得 F 的方程．
方程组有唯一解xy ＝ac
b d
－1e f
.
(2)推论 关于变量 x，y 的二元一次方程组
ax＋by＝0 cx＋dy＝0
，其中 a，b，c，d 是不全为零的常数，
有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式ac db＝0.
11．矩阵特征值、特征向量的相关概念 (1)定义 设矩阵 A＝ac db，如果存在实数 λ 以及非 零向量 ξ，使得 Aξ＝λξ，则称 λ 是矩阵 A 的一个特征值， ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特殊向量． (2)一般地，设 ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特 征向量，则对任意的非零常数 k，kξ 也是矩阵 A 的属于 特征值 λ 的特征向量．
2 ∵A－1＝|－A|3
|A|
－|A|A23||＝－ 35 25－3525，
代入上式得xy ＝A－11－1
＝35－25－25351－1＝－1 1， ∴原方程组的解为xy＝＝1－1
4．线性变换的基本性质 设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向 量，λ 是一个任意实数， (1)性质 1 ①A(λα)＝λAα. ②A(α＋β)＝Aα＋Aβ. (2)定理 1 A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)性质 2 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上 的直线变成直线(或一点)．
类型三 变换的不变量与矩阵的特征向量
【例 3】
设 A＝35
4 2
，求
A
的特征值以及属于每
个特征值的一个特征向量．
[分析] 求特征向量先求出特征多项式及特征方程
的根(特征值)，再将特征值代入方程(组)，求出一组非零

解，即得对于相应特征值的特征向量．
[解] 矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)＝λ－－53 λ－ －42＝λ2－5λ－14＝(λ＋2)(λ－7)． 令 f(λ)＝0，得矩阵 A 的特征值为 λ1＝－2，λ2＝7， 对于特征值 λ1＝－2，解相应的线性方程组
bc≠0，当矩阵 A＝ac
d db可逆时，A－1＝d－etcA
detA
－b ddeeattAA.
10．逆矩阵与二元一次方程组 (1)定理 如果关于变量 x，y 的二元一次方程组(线性
方程组)acxx＋＋dbyy＝＝fe 的系数矩阵 A＝ac db可逆，那么该