高等数学 课后习题答案第七章

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A (1,2,3);

B (-2,3,4);

C (2,-3,-4);

D (3,4,0);

E (0,4,3);

F (3,0,0).

解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限；

点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上.

2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0;

在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0.

3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0;

y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0.

4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1

）s =

(2) s ==

(3)

s ==

(4)

s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故

02

s =

x s ==

y s ==

5z s ==.

6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则

222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--

解得

149z =

即所求点为M （0，0，14

9）.

7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形.

8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图

7-1

图7-1

9. 设2, 3.u

v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -

解：

232(2)3(3)

2243935117u v -=-+--+-=-++-+=-+a b c a b c a b c a b c

a b c

10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以

AB =c ，

BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .

解：

111

5D A BA BD =-=--c a

222

5D A BA BD =-=--c a

333

5D A BA BD =-=--c a

444

.

5D A BA BD =-=--c a

11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则

1

Pr j cos604 2.

2u OM OM =︒=⨯=

12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐

标.

解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

解得x =-2, y =3, z =0

故A 的坐标为A (-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求： （1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；

（3）

12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.

解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1

,y y a PP ==

12Pr j 2.z z a PP ==-(2)

12(7PP =

=

(3)

12

cos 14

x a PP α=

=

12

cos 14

y a PP β

=

=

12

cos 14

z a PP γ=

=

(4)

12012

{

14PP PP =

==-e j .

14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）

||==R

cos cos cos αβγ===

15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .

解：||=

=a

||==b

||3==c

, , 3. a b c ==a b c e

16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .

17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r . 解：因α

βγ

==,故2

3cos

1 α=

,

cos , cos 33αα=

=-（舍去）

则

{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k .

18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M

MM =，求向径OM

的坐标.

解：设向径OM ={x , y , z }

12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----

因为，123M M

MM =

所以，114

23(3)153(2) 433(5)3

x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪

⎪⎪

-=--⇒=-⎨⎨

⎪⎪

+=-⎩=⎪⎪⎩

故OM ={111,,3

4

4-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236

,,

777，求点P 的坐标.

解：设P 的坐标为（x , y , z ）,

2222

||(12)49PA x y z =++-= 得2

229524x

y z z ++=-+

126570cos 6, 749

z z γ=

=

⇒==