全国物理竞赛磁场电磁感应复赛真题汇编17-31

18复赛四、（22分）如图复18-4所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度B 随时间t 变化，0B B kt =-（k 为大于0的常数）．现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面内。

圆环的半径为R ，电阻为r ，相交点的电接触良好．两个环的接触点A 及C 间的劣弧对圆心O 的张角为60︒。

求0t t =时，每个环所受的均匀磁场的作用力，不考虑感应电流之间的作用．
图复
19届复赛二、 (18 分) 在图
复19-2中，半径为R的圆柱
形区域内有匀强磁场，磁场方
向垂直纸面指向纸外，磁感应
强度B随时间均匀变化，变化率/B t K
∆∆=(K为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，沿图中AC弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC及半径OA的夹角/4
απ
=．直线上有一任意点，设该点及A点的距离为x，求从A沿直线到该点的电动势的大小．
19届复赛四、（18分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系
数．在图复19-4-1中，E为电压可调的直流电源。

K为开关，L为待
测线圈的自感系数，
r为线圈的直流电阻，D为理想二极管，r为用
L
电阻丝做成的电阻器的电阻，A为电流表。

将图复19-4-1中a、b之间的电阻线装进图复19-4-2所示的试管1内，图复19-4-2中其它装置见图下说明．其中注射器筒5和试管1组成的密闭容器内装有某种气体（可视为理想气体），通过活塞6的上下移动可调节毛细管8中有色液注的初始位置，调节后将阀门10关闭，使两边气体隔开．毛细管8的内直径为d．
已知在压强不变的条件下，试管中的气体温度升高1K时，需要吸收的热量为
C，大气压强为p。

设试管、三通管、注射器和毛细管
q
皆为绝热的，电阻丝的热容不计．当接通电键K后，线圈L中将产生磁场，已知线圈中储存的磁场能量，I为通过线圈的电流，其值可通过电流表A测量，现利用此装置及合理的步骤测量的自感系数L．
1．简
要写出此
实验的步
骤．
2．用
题中所给
出的各已知量（r、
r、q C、p、d等）及直接测得的量导出L的表达
L
式，
21届复赛五、(20分)如图所示，接地的空心
导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P 1
和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，
A
q1＝q2＝q，两点电荷到球心的距离均为a．由r
静电感应及静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q ．空腔内部的电场是由q 1、q 2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q 1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷1q '及q 1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电
势皆为0；由q 2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷2
q '及q 2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的
等效电荷是唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷1q '、2
q '和q 1、q 2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强．
1．试根据上述条件，确定假想等效电荷1q '、2
q '的位置及电量． 2．求空腔内部任意点A 的电势U A ．已知A 点到球心O 的距离为r ，OA
及1OP 的夹角为．
21届复赛七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l ，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m 的两金属杆ab 和cd 放在导轨上，及导轨垂直．初始时刻， 金属杆ab 和cd 分别位于x = x 0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆及导轨构成的回路的自感系数为L ．今对金属杆ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速0v ．设导轨足够长，0x 也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变
化远小于两金属杆的初始间距0x ，因而可以认
为在杆运动过程中由两
金属杆及导轨构成的回
路的自感系数L 是恒定不变的．杆及导轨之间
摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置x ab 和x cd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i 三者各自随时间t 的变化关系．
成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为a1、a2，
厚度可以忽略．两个表面都带有电荷，电荷面
密度σ随离开环心距离r变化的规律均为，
σ
为已知常量．薄圆环绕通过环心垂直环面的轴
以大小不变的角加速度β减速转动，t = 0时刻的角速度为
ω．将一
半径为a0(a0<<a1)、电阻为R并及薄圆环共面的导线圆环及薄圆环同心放置．试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力F及时间t 的关系．
提示：半径为r、通有电流I的圆线圈（环形电流），在圆心处产生
的磁感应强度为（k为已知常量）
23届复赛五、（25分）磁悬浮列车是一种高速运载工具。

它具有两个重要系统。

一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来及轨道脱离接触。

另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场及固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。

为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。

设有一及轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间t和空间位置x变化规律为
)cos(),(0kx t B t x B -=ω
式中0B 、ω、k 均为已知常量，坐标轴x 及轨道平行。

在任一时刻t ，轨道平面上磁场沿x 方向的分布是不均匀的，如图所示。

图中Oxy 平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直Oxy 平面指向纸里，“· ”表示磁场的方向垂直Oxy 平面指向纸外。

规定指向纸外时B 取正值。

“×”和“· ”的疏密程度表示沿着x 轴B 的大小分布。

一及轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ 处在该磁场中，已知及轨道垂直的金属框边MN 的长度为l ，及轨道平行的金属框边MQ 的长度为d ，金属框的电阻为R ，不计金属框的电感。

1．试求在时刻t ，当金属框的MN 边位于x 处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x 轴正方向移动的速度为v 。

2.试讨论安培力的大小及金属框几何尺寸的关系。

24届复赛四、
（25分）图中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在0
x的一侧，存在匀强磁场，磁场方向垂直于oxy平面向里，磁感>
应强度的大小为B。

在0
x的一侧，一
<
边长分别为
l和2l的刚性矩形超导线
1
框位于桌面上，框内无电流，框的一
对边及x轴平行。

线框的质量为m，自感为L。

现让超导线框沿x轴方向以初速度
v进入磁场区域，试定
量地讨论线框以后可能发生的运动情况及及初速度
v大小的关系。

（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）
24届复赛五、（25分）地球赤道表面附近处的重力加速度为
20/8.9s m g =，磁场的磁感应强度的大小T B 50100.3-⨯=，方向沿经线向北。

赤道上空的磁感应强度的大小及3r 成反比（r 为考察点到地心的距离），方向及赤道附近的磁场方向平行。

假设在赤道上空离地心的距离
e R r 5=（e R 为地球半径）处，存在厚度为
10km 的由等数量的质子和
电子的等离子层（层内磁场可视为匀强磁场），每种粒子的数密度非常低，带电粒子的相互作用可以忽略不计。

已知电子的质量
kg m e 31101.9-⨯=，质子的质量kg m p 27107.1-⨯=，电子电荷量为C 19106.1-⨯-，
地球的半径m R e 6104.6⨯=。

1.所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动，另一方面因受地球引力和磁场的共同作用会形成位于赤道平面内的绕地
心的环行电流，试求此环行电流的电流密度。

2.现设想等离子层中所有电子和质子，它们初速度的方向都指向地心，电子初速度的大小s
m u e
/104.14⨯=，质子初速度的大小
s m u P /104.32⨯=。

试通过计算说明这些电子和质子都不可能到到达地
球表面。

25届复赛3、（5分）电子感应加速器（betatron ）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆
柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并及环面垂直。

圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，及实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。

已知磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律为0cos(2/)B B t T π=，其中T 为磁场变化的周期。

B 0为大于0的常量。

当B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。

若持续地将初速度为v 0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t= 到t= 。

26届复赛
1．有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示。

这种分布的静电场是否可能存在？试述理由。

27届复赛四、（ 12 分）如图所示，一质量为m、电荷量为 q ( q > 0 ）的粒子作角速度为ω、半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为 d ( d > R ) ，在导线上通有随时间变化的电流I, t= 0 时刻，粒子速度的方向及导线平行，离导线的距离为d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律．不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响．长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已知．
28届复赛四、（20分）空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，在此区域建立直角坐标系O-xyz ，如图所示，匀强电场沿x 方向，电场强度
i E E 01=，匀强磁场沿
z 方向，磁感应强度k B B 0=，E 0、B 0分别为已知
常量，k i 、
分别为x 方向和z 方向的单位矢量。

1、有一束带电量都为+q 、质量都为m 的粒子，同时从Oyz 平面内的某点射出，它们的初速度均在Oyz 平面内，速度的大小和方向各不相同，
问经过多少时间这些粒子又能同时回到Oyz 平面内。

2、现在该区域内再增加一个沿x 方向随时间变化的匀强电场，电场强度t E E z )cos (0ω=，式中，若有一电荷量为正q 、质量为m 的粒子，在t=0时刻从坐标原点O 射出，初速度v 0在Oyz 平面内，试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。

不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用，也不考虑变化的电场产生的磁场。

29届复赛五、（25分）如图所示，两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固定在水平的桌面上。

大圆环半径为1
R ，小圆环表面
绝缘半径为2
R （12
R R
）
，两圆环导线每单位长度电阻均为0r ，它们
处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向竖直向下，一每单位长度电阻为1
r 的长直金属细杆放在大圆环平面上，并从距圆环中心左侧
为100/1
R
（>2R ）的
ab 位置，以速度v 匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心及ab 对称的位置cd ，滑动过程中金属杆始终及大圆环保持密接。

假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。

试求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。

提示：当半径为R ，长度为l 的一段圆弧导线通有
电流I 时，圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小为，方向垂直于圆弧所在平面且及圆弧电流的方向满足右手螺旋法则；无限长直导线通有电流I 时，电流在距直导线距离为r 处产生的磁感应强度B 的大小为，其中m k 为已知常量。

30届复赛五、（25分）平行板电容器两极板分别位于2
d z =±的平面内，
电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为
B ，方向沿x 轴负方向，如图所示.
1. 在电容器参考系S 中只存在磁场；而在以沿y 轴正方向的恒定速度
(0,,0)v （这里(0,,0)v 表示为沿x 、
y 、z 轴正方向的速度分量分别为0、v 、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S '中，可能既有电场(,,)x y z E E E '''又有磁场(,,)x y z B B B '''. 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S '中电场(,,)x y z E E E '''和磁场(,,)x y z B B B '''的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.
2. 现在让介电常数为ε的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v ，方向沿y 轴正方向. 在相对液体
静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S '中，由于液体处在第1问所述的
电场(,,)x y z E E E '''中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(,,)x y z E E E '''，而是0(,,)x y z E E E εε
'''，这里0ε是真空的介电常数.
这将导致在电容器参考系S 中电场不再为零. 试求电容器参考系S 中
电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用0ε、
ε、v 、B 或（和）d 表出. ）
31届复赛七、（26分）Z-箍缩作为惯性约束核聚变的一种可能方式，近年来受到特别重视，其原理如图所示．图中，长20 mm 、直径为5μm 的钨丝组成的两个共轴的圆柱面阵列，瞬间通以超强电流，钨丝阵列在安培力的作用下以极大的加速度向内运动, 即所谓自箍缩效应；钨丝的巨大动量转移到处于阵列中心的直径为毫米量级的氘氚靶
球上，可以使靶球压缩后达到高温高密度状态，实现核聚变．设内圈有N根钨丝（可视为长直导线）均匀地分布在半径为r的圆周上，通有总电流I内=2×107A；外圈有M根钨丝，均匀地分布在半径为R的
全国物理竞赛磁场电磁感应复赛真题汇编17-31
（计算中可不考虑图中支架的
影响）
21 / 2121 / 21。