小波变换与微弱信号检测

一、引言

“微弱信号”不仅意味着信号的幅度很小，而且主要指的是被噪声淹没的信号，“微弱”是相对噪声而言的。微弱信号检测技术不同于一般的检测技术，它注重的不是传感器的物理模型和传感原理、相应的信号转换电路和仪表实现方法，而是如何抑制噪声和提高信噪比，可以说，微弱信号检测技术是一门专门抑制噪声的技术[1]。

目前已经得到广泛应用的微弱信号检测方法有时域方法和频域方法两大类，其中时域方法有相关检测、锁定放大、取样积分和数字式平均；频域方法主要是功率谱估计。但当被检测的信号非常微弱时，信号经上述方法分析处理后，有可能被测信号功率仍然小于噪声功率，甚至有可能仍然相当微弱，比噪声小几个数量级甚至被噪声淹没，或者在某些特定场合下噪声不理想，不能在看成白噪声时，利用上述检测方法就有一定的局限性了。而小波变换是一种变分辨率的时域分析方法，小波应用于降噪、重建与数据压缩等方面国内外研究已取得一定的成果。将小波变换引入微弱信号检测领域，可以充分发挥小波变换的优势，利于微弱信号检测技术的进一步推广和应用。本文主要由三部分组成：小波变换降噪原理分析，小波降噪相关仿真实验和小波降噪应用于微弱信号检测原理和相关算法。

二、小波变换降噪原理分析

小波分析的地位在数学界是独一无二的。小波分析从本质上讲是对一个信号进行投影，并在特定空间内按照称之为小波的基函数对数学表达式的展开和逼近，寻求最小个数的函数表示。小波分析是调和分析发展史上里程碑式的进展，是对Fourier 分析的重要补充和发展。它一方面保留了Fourier 分析的优点，更重要的是克服了Fourier 分析不能做局部化的不足[3]。

2.1小波变换的基本原理

小波分析是一种信号的时间尺度(时间-频率)的分析方法。

设)(t ψ为一平方可积函数，其Fourier变换)(ˆw ψ满足允许条件

∞<=∫dw w w C R

2)(ˆψψ时，称)(t ψ为小波母函数。将小波母函数进行伸缩和平移后得：(1

)(,a

b t a t b a −=ψψ，称该式为一个小波序列，其中a 称为尺度因子，b 为平移因子，a

1为归一化因子。对任意的函数)()(2R L t f ∈，则其连续小波变换定义为：

dt a b t t f a b a W R f (

)(1

),(−⋅=∫ψ0,,≠∈a R b a （1）小波逆变换为：db a b t a b a W a da C t f f )(1),(1)(2−×=∫∫+∞∞−+∞∞−ψψ（2）

2.2小波变换的信噪分离分析

2.2.1信噪分离原理

小波变换具有一种“集中”的能力，它能将信号的能量集中到少数小波系数上，而白噪声在任何正交基上的变换仍然是白噪声，并且有着相同的幅度。用小波进行信号的消噪可以很好地保存有用信号中的尖峰部分和突变部分，而用傅里叶分析进行滤波时，由于信号集中在低频部分，噪声分布在高频部分，所以，可用低通滤波器进行滤波，但是它不能将有用信号的高频部分和由噪声引起的高频干扰加以有效地区分，若低通滤波器太宽，则滤波后信号中仍存在大量的噪声；若低通滤波器太窄，则将一部分有用信号当作噪声而滤掉了。因此，小波分析对非平稳信号消噪有着傅里叶分析不可比拟的优点。

2.2.2信噪分离过程

假设一个叠加了噪声的有限长信号可用下式表示：)()()(t n t x t y +=。信号处理的基本目的就是从被污染的信号)(t y 中，尽最大可能恢复原始信号)(t x ，同时最大限度的抑制或消除噪声项)(t n 。一般说来，一维信号的消噪过程可以分为以下三个步骤进行：

(1)一维信号的小波分解

选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号y进行N层小波分解。

(2)对小波分解的高频系数进行阀值处理

对第1层到第N层的每一层高频系数，选择一个阀值进行阀值处理量化处理，处理方法主要有软阀值和硬阀值两种。

(3)一维小波的重构

根据小波分解的第N层的低频系数和经过阀值处理后的第1层到第N层的高频系数，进行一维信号的小波重构。

由此可知，在各尺度中设置不同的阈值，把小波变换系数与阈值相比，如果小于此阈值，就认为是由噪声产生的，并置为零；如果大于此阈值，其值保留，从而实现了去噪的目的。显然最关键之处就是如何在保留信号细节和去噪的能力之间选取阈值，从某种程度上说，它直接关系到信号消噪的质量。

2.2.3信号降噪的准则

(1)光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有相等的光滑性；

(2)相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的方差最小。

2.3小波降噪过程中小波阀值选取原则和小波基选取原则

2.3.1小波阀值选取原则

(1)软阀值(Soft-Threshold)。软阈值是指对绝对值大于或等于阔值T的小波系数不是简单地予以保留，而是将其收缩置零，可用如下形式表示：

x =0)

)(sgn(T y y y −其它T y 若≥（3）

式中，sgn(.)表示符号函数。由软阀值估计出来的X ˆ虽然连续性好，但是由于幅值超过阀值的小波系数与估计的小波系数总存在偏差，因此直接影响重构信号与真实信号的逼近程

度。

硬阀值(Hard-Threshold)。硬阀值是指绝对值大于或等于阀值T的小波系数予以保留，而其它小波系数作为噪声项置为零，可以用如下形式表示：

x =0y 其它若T

≥y （4）

利用硬阈值降噪时，由于信号在阈值处是不连续的．即利用x重构所得信号可能会产生一些震荡，因此不具有同理想信号相同的光滑性。特别是当噪声级较高时，容易使重构的信号产生Gibbs现象。

2.3.2小波基的选取原则

信号在去噪前，需要对信号进行小波变换，但是小波基的选择对去噪性能有重要的影响。首先，信号经小波变换后得到的小波系数越稀疏，越有利于去噪，即经小波变换后会产生尽可能多接近零的小波系数；其次，用不同小波基进行小波变换得到的重构信号，其降噪效果不同(在仿真实验3.4中，将看到这个区别)。

(1)分析小波的选取原则

一般说来，为了使信号经小波变换后具有稀疏的小波系数，选择分析小波是，需要考虑小波的消失距和支撑的尺寸。小波的消失距定义为：

0)(=∫dt t t m ψ1

,...,1,0−=M m 上式称为小波ψ(t)具有m阶消失距，小波的消失距特性可使信号在进行展开式消去高阶平滑部分，也就是可使信号的平滑部分的小波系数非常小，而小波变换将仅仅反映信号的高阶变化部分。小波的支撑尺寸越短，越有利于信号边缘等奇异点的定位，这样就可使较大的小波系数落在小波的支撑尺寸内。但信号的多项式的最高次幂应小于小波的消失距，否则，信号的奇异性就不能由小波变换完全体现，也不能使信号的系数全为零，因此小波的消失距越高，紧支撑的尺寸越小，越有利于去噪。

(2)重构小波的选取原则

选择重构小波时，一般应考虑其正则性和对称性。即正则性是小波光滑性的反映，正则性越高，小波的光滑性越强，频域的局部性越好，这样就有利于消除经由阀值处理后得到的小波系数所引入的误差。

三、仿真实验

3.1小波降噪仿真实验

下面将通过Matlab小波工具箱中自动获取对信号降噪的命令wdencmp来进一步说明小波变换在信号降噪中的应用，为说明小波降噪的优越性，阀值的选取通过两种方式：全局阀值和分层阀值，分层阀值的降噪效果将通过数据和图形来说明它的优越性。图1是仿真结果。程序见附录。