多目标最优化问题全面介绍
数学建模中的多目标优化问题
数学建模中的多目标优化问题在数学建模中，多目标优化问题是一个重要且具有挑战性的问题。
在实际应用中，我们常常面临的是多个目标之间的矛盾与权衡，因此需要找到一个平衡点来满足各个目标的需求。
本文将介绍多目标优化问题的定义、解决方法以及应用案例。
第一部分：多目标优化问题的定义多目标优化问题是指在给定的约束条件下，寻找多个目标函数的最优解的问题。
常见的形式可以表示为：最小化/最大化 f1(x), f2(x), ..., fn(x)其中，fi(x)表示第i个目标函数，x表示决策变量。
多目标优化问题与单目标优化问题的不同之处在于，单目标问题只需考虑一个目标函数，而多目标问题需要同时考虑多个目标函数。
第二部分：多目标优化问题的解决方法在解决多目标优化问题时，常用的方法有以下几种：1. 加权求和法（Weighted Sum Method）：将多个目标函数加权求和，转化为单目标函数进行求解。
具体地，可以通过设置不同的权重系数，使得不同目标函数在求解中的重要性得到体现。
2. Pareto优化法（Pareto Optimization）：Pareto优化法基于Pareto最优解的概念，即同时满足所有约束条件下，无法改善任何一个目标函数而不损害其他目标函数的解集。
通过构建Pareto最优解集，可以帮助决策者在多个解中进行选择。
3. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择、交叉和变异等过程来搜索最优解。
在多目标优化问题中，遗传算法通过维护一个种群中的多个个体，以逐步进化出Pareto最优解集。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食的行为进行优化的算法。
在多目标优化问题中，粒子群优化算法通过在解空间中搜索多个粒子，通过粒子之间的合作与竞争，逐步逼近Pareto最优解。
第三部分：多目标优化问题的应用案例多目标优化问题在各个领域都有广泛的应用。
多目标优化问题的解法概述
多目标优化问题的解法概述多目标优化问题是指在优化过程中需要同时考虑多个目标函数的情况。
在实际生活和工程领域中，很多问题都涉及到多个相互矛盾的目标，因此如何有效地解决多目标优化问题成为了一个重要的研究方向。
本文将对多目标优化问题的解法进行概述，介绍几种常见的解法方法。
**多目标优化问题的定义**在多目标优化问题中，通常会涉及到多个冲突的目标函数，这些目标函数之间可能存在相互制约或者矛盾。
多目标优化问题的目标是找到一组解，使得这些解在多个目标函数下都能取得较好的性能，而不是仅仅优化单个目标函数。
**多目标优化问题的解法**1. **加权和法**加权和法是一种简单而直观的多目标优化方法。
在加权和法中，将多个目标函数线性组合成一个单目标函数，通过调整各个目标函数的权重来平衡不同目标之间的重要性。
然后将这个单目标函数作为优化目标进行求解。
加权和法的优点是简单易实现，但缺点是需要事先确定好各个目标函数的权重，且对权重的选择比较敏感。
2. **Pareto最优解法**Pareto最优解法是一种经典的多目标优化方法。
在Pareto最优解法中，通过定义Pareto最优解的概念，即不存在其他解能同时优于该解的情况下，找到一组解集合，使得这组解集合中的任意解都无法被其他解所优于。
这组解集合被称为Pareto最优解集合，解集合中的解称为Pareto最优解。
Pareto最优解法的优点是能够找到一组在多个目标下都较优的解，但缺点是求解过程比较复杂，需要对解空间进行全面搜索。
3. **多目标遗传算法**多目标遗传算法是一种基于进化计算的多目标优化方法。
在多目标遗传算法中，通过模拟生物进化的过程，利用遗传算子对解空间进行搜索，逐步优化个体的适应度，从而得到Pareto最优解集合。
多目标遗传算法的优点是能够有效处理多目标优化问题，具有较好的全局搜索能力和收敛性，但缺点是算法参数的选择和调整比较困难。
4. **多目标粒子群优化算法**多目标粒子群优化算法是一种基于群体智能的多目标优化方法。
多目标优化问题
多目标优化方法基本概述几个概念优化方法一、多目标优化基本概述现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。
在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。
例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。
多目标优化的数学模型可以表示为：X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m)h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。
二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。
最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X)，则X*为优化问题的最优解。
劣解X*：在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。
非劣解X*：在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*).如图：在[0,1]中X*=1为最优解在[0,2]中X*=a为劣解在[1,2]中X*=b为非劣解多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。
三、多目标优化方法多目标优化方法主要有两大类：1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
2)间接法如：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。
多目标最优化问题全面介绍
多目标最优化问题全面介绍§8.1多目标最优化问题的基本原理一、多目标最优化问题的实例例1 梁的设计问题设用直径为1的圆木加工成截面积为矩形的梁，为使强度最大而成本最低，问应如何设计梁的尺寸？解：设梁的截面积宽和高分别为1x 和2x 强度最大=惯性矩最大22161x x = 成本最低=截面积最小=21x x 故数学模型为： min 1x 2xmax22161x x.s t 22121x x +=10x ≥，20x ≥ 例2 买糖问题已知食品店有1A , 2A ,3A 三种糖果单价分别为4元∕公斤，2.8元∕公斤，2.4元∕公斤，今要筹办一次茶话会，要求用于买买糖的钱不超于20元，糖的总量不少于6公斤，1A ，2A 两种糖的总和不少于3公斤，问应如何确定买糖的最佳方案？解：设购买1A , 2A ,3A 三种糖公斤数为1x ，2x ，3x1A 2A 3A重量 1x 2x3x单价 4元∕公斤 2.8元∕公斤 2.4元∕公斤min 14x +22.8x +32.4x （用钱最省）max 1x +2x +3x （糖的总量最多）.st 14x +22.8x +32.4x 20≤ (用钱总数的限制)1x +2x +3x 6≥（用糖总量的要求）1x +2x3≥（糖品种的要求）1x ，2x ，3x 0≥是一个线性多目标规划。
二、多目标最优化的模型12min ()((),(),.....())T m V F x f x f x f x -=.st ()0g x ≥()0h x ≥多目标规划最优化问题实际上是一个向量函数的优化问题，当m=1,多目标优化就是前面讲的单目标优化问题三、解的概念1.序的概念12,.....()Tm a a a a = 12,.....()Tmb b b b =（1）b a =?a iib = 1,2....i m = （2）a b ≤?a i ib ≤ 1,2....i m = 称a 小于等于b（3）a b <=?a i ib ≤ 且?1≤j ≤m ，使a j j b ≠，则a 小于向量b（4）ab < 1,2....i m = 称a 严格小于b绝对最优解：设多目标最优化问题的可行域为D ，*x ∈D ,如果对x ?D ∈,都有*()()F F x x <,则称*x 为多目标最优化的绝对最优解，称绝对最优解的全体为绝对最优解集，记ab R ，absolute —绝对有效解：可行域为D ，*x ∈D ,如果不存在x D ∈,使*()()F F x x <=，则称*x 为有效解，也称pareto 最优解，称有效解的全体为有效解集，记pa R 是由1951年T.C.Koopmans 提出的。
机械优化设计中的多目标优化问题
机械优化设计中的多目标优化问题在机械工程领域中，优化设计是提高产品性能和质量的关键。
然而，在实际应用中，往往需要同时满足多个优化目标，这就引出了多目标优化问题。
本文将介绍机械优化设计中的多目标优化问题，并探讨解决这些问题的方法。
一、多目标优化问题概述多目标优化问题是指在给定一组决策变量的情况下，同时优化多个冲突的目标函数。
这些目标函数可能涉及不同的性能指标，如成本、重量、强度、刚度等。
多目标优化问题的目标是找到一组设计方案，使得各个目标函数达到最优或接近最优的状态。
在机械优化设计中，多目标优化问题常常涉及到以下几个方面：1. 材料选择：在机械设计中，材料选择对产品的性能和质量具有重要影响。
因此，在优化设计中，需要考虑不同材料的力学性能、成本等因素，并找到最佳的材料组合方案。
2. 结构设计：机械产品的结构设计直接影响产品的强度、刚度等性能。
在多目标优化问题中，需要找到最佳的结构设计，使产品在满足不同性能指标的同时，达到最优的整体性能。
3. 工艺参数优化：机械优化设计中，工艺参数的选择对产品的制造成本和工艺效率有重要影响。
因此，在多目标优化问题中，需要综合考虑不同的工艺参数，并找到最佳的参数组合。
二、解决多目标优化问题的方法对于机械优化设计中的多目标优化问题，存在多种解决方法。
下面将介绍几种常用的方法：1. 基于加权求和法（Weighted Sum Method）的目标权重法：该方法将多个目标函数加权求和，通过调整权重的比例，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
然后可以使用传统的单目标优化方法求解。
2. 基于约束法的目标优化法：该方法将多目标优化问题转化为一个约束优化问题，通过设置适当的约束条件，将多个目标函数的值限定在一定的范围内。
3. 基于遗传算法的多目标优化法：遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法。
通过模拟个体的遗传、交叉和变异过程，逐步优化设计变量，找到最优的设计方案。
三、案例分析以飞机机翼结构设计为例，介绍多目标优化问题在机械优化设计中的应用。
多目标优化方法及实例解析
多目标优化方法及实例解析多目标优化是一种优化问题，其中有多个目标函数需要同时优化。
在传统的单目标优化中，我们只需要优化一个目标函数，而在多目标优化中，我们需要找到一组解，这组解称为“非劣解集合”或“帕累托最优集合”，其中没有解可以在所有目标函数上获得更好的值。
在本文中，我们将详细介绍多目标优化的方法和一些实例解析。
1.多目标优化方法：a. Pareto优化：Pareto优化是最常见的多目标优化方法。
它基于帕累托原理，即一个解在至少一个目标函数上比另一个解更好。
Pareto优化的目标是找到尽可能多的非劣解。
b.加权和方法：加权和方法将多个目标函数线性组合为一个单目标函数，并通过调整权重系数来控制不同目标函数之间的重要性。
这种方法的局限性在于我们必须预先指定权重系数，而且结果可能受权重选择的影响。
c.约束方法：约束方法将多目标优化问题转化为一个带有约束条件的单目标优化问题。
这些约束条件可以是各个目标函数的约束条件，也可以是基于目标之间的特定关系的约束条件。
d.演化算法：演化算法是一类基于自然选择和遗传机制的优化算法，例如遗传算法和粒子群优化。
演化算法通常能够找到帕累托最优解集合，并且不需要预先指定权重系数。
2.实例解析：a. 假设我们希望同时优化一个函数 f1(x) 表示最小化成本，以及函数 f2(x) 表示最大化效益。
我们可以使用 Pareto优化方法来找到一组非劣解。
我们可以通过在参数空间中生成一组解，并对每个解进行评估来实现。
然后，我们可以根据解的优劣程度对它们进行排序，找到最优的非劣解集合。
b.假设我们希望优化一个函数f1(x)表示最大化收益，并且函数f2(x)表示最小化风险。
我们可以使用加权和方法来将两个目标函数线性组合为一个单目标函数：目标函数=w1*f1(x)+w2*f2(x)，其中w1和w2是权重系数。
我们可以尝试不同的权重系数，例如w1=0.5和w2=0.5，来找到最优解。
c.假设我们希望优化一个函数f1(x)表示最小化成本，并且函数f2(x)表示最小化风险。
多目标优化问题的求解方法
多目标优化问题的求解方法一、引言多目标优化问题常用于现实中的各种决策问题，旨在满足多个目标的需求。
比如，在物流配送问题中，我们需要平衡货物运输效率和成本，同时也需要满足货物运输的安全性等多个目标。
多目标优化问题求解难度大，需要综合考虑多个目标函数之间的相互影响和矛盾。
本文将从多个方面介绍多目标优化问题的解法和算法。
二、多目标优化问题的概念多目标优化问题可以定义为：在有限规定下，针对多个优化指标，找到最优的解答，使其能尽可能地满足各个指标的要求。
多目标优化问题的解决需要在考虑问题的最优解的情况下，同时平衡多个指标之间的优化目标。
换言之，多目标优化问题寻求的是各种参考结果中的最高综合价值。
三、多目标优化问题的特点多目标优化问题是一个复杂、多变的问题，具有以下特点：1.多目标：多目标优化问题在解决之前要考虑多个目的。
2.多维：多目标优化问题需要同时考虑多个指标，因而其可表达的变量和解空间维度更高。
3.非凸性：多目标优化问题在最优解中可能存在较多的局部最优解。
4. 非线性：多目标优化问题不仅涉及到多个目标，同时还需要考虑目标之间的复杂关系。
四、多目标优化问题的解法1.最优性方案法：最优性方案法的做法是：采用一个权重向量来描述优化问题的权重，然后使用这个权重向量计算出所有可能的目标函数的最小值，在计算过程中，只有在某个k值的情况下，目标函数的值达到了它的最小值，才能被认为是优化问题的最优解。
2. 约束规划法：约束规划法，经典的引导式求解方法，仅需要我们的关注变量是目标函数中相互矛盾的或者不可实现的特征。
使用约束规划方法，我们可以找出那些基于目标函数的情况下不可实现的方案，从而确定实现目标要求的最优方案。
3.遗传算法：遗传算法是一种模仿自然进化法的优化方法。
具有高度的鲁棒性、适应性和有效性。
通过模拟生物进化过程，从初始种群中寻找最适合目标的个体，并通过不断迭代优化算法的方式计算出最终的优化结果。
4. 粒子群算法：粒子群算法是一种模拟群体行为的优化算法。
多目标最优化方法
多目标最优化方法解决优化问题时，如果只考虑单一目标最优，称为单目标最优化问题(Single-Objective optimization problem, SOP)，若考虑的最优目标不仅一个，而是多个，我们称为多目标最优化问题(Multi-objective optimization problem, MOP)。
多目标最优化是最优化方法领域中重要的研究方向之一。
多目标最优化问题起源于实际生活中复杂系统的规划设计、模型建立等。
在工程设计、工农业规划、经济规划、金融决策城、市运输、水库管理和能量分配等社会活动中，经常遇多目标最优化问题，可以说多目标优化问题是无处不有、无处不在的.正是由于这种多目标最优化问题的重要性以及普遍性才使得人们要去研究多目标最优化问题的解法。
目前，国内、外许多学者致力于这方面的研究.1.1多目标最优化问题的简史多目标最优化问题的出现，应追溯到1772年，当时Franklin提出了多目标矛盾如何协调解决的问题。
但国际上大都认为多目标最优化问题最早是由法国经济学家V. Pareto于1896年提出的。
当时，他从政治经济学的角度，把不好比较的目标归纳成多日标最优化问题。
1944年，V on.neumann和J. Morgenstern从对策论的角度，提出多个决策者彼此又互相矛盾的多目标决策问题。
1951年，T. C. Koopmans从生产和分配的活动分析中提到了多目标最优化问题，并且第一次提出了Pareto最优解的定义。
同年，H. W. Kuhn和A. W. Tucker从数学归纳的角度，给出了向量极值问题的Pareto最优解，并研究了这种解的充分必要条件。
1953年，Arron等学者对凸集提出了有效解的概念，从此多目标最优化逐渐受到人们的关注。
1963年，L. A. Zadeh从控制论角度提出多目标控制问题。
这期间Charnes, Klinger, Keeney, Geoffrion等人先后都做了有效的工作。
数学中的多目标优化问题
数学中的多目标优化问题在数学领域中，多目标优化问题是一类涉及多个目标函数的优化问题。
与单目标优化问题不同，多目标优化问题的目标函数不再是一个唯一的优化目标，而是存在多个冲突的目标需要同时考虑和优化。
这类问题的解决方法有助于在实际应用中找到最优的综合解决方案。
本文将介绍多目标优化问题的定义、应用领域和解决方法。
一、多目标优化问题的定义多目标优化问题可以描述为寻找一个决策向量，使得多个目标函数在约束条件下达到最优值的过程。
具体而言，假设有n个优化目标函数和m个约束条件，多目标优化问题可以定义为：Minimize F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))Subject toc1(x) ≤ 0, c2(x) ≤ 0, ..., cm(x) ≤ 0h1(x) = 0, h2(x) = 0, ..., hk(x) = 0其中，x是一个决策向量，f1(x)、f2(x)、...、fn(x)是目标函数，c1(x)、c2(x)、...、cm(x)是不等式约束条件，h1(x)、h2(x)、...、hk(x)是等式约束条件。
二、多目标优化问题的应用领域多目标优化问题的应用广泛，涉及各个领域。
以下是几个常见的应用领域：1. 工程设计：在工程设计中，常常需要权衡多个目标，如成本、质量、安全等，通过多目标优化可以找到最佳设计方案。
2. 金融投资：在金融领域，投资者可能追求最大化收益、最小化风险等多个目标，多目标优化可以帮助投资者找到最优的投资组合。
3. 能源管理：在能源管理中，需要综合考虑最大化能源利用率、减少能源消耗等目标，通过多目标优化可以得到最优的能源管理策略。
4. 交通规划：在交通规划中，需要考虑最小化交通拥堵、最大化交通效率等目标，多目标优化可以帮助规划者做出最佳的交通规划方案。
三、多目标优化问题的解决方法多目标优化问题的解决方法有多种，下面介绍几个常用的方法：1. 加权法：加权法是最简单的多目标优化方法之一。
7-1-多目标最优化
1
2
【例1】某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品。 已知制造甲产品需要A型配件5个，B型配件3个； 制 造乙产品需要A型配件2个，B型配件4个。 而在计划 期内该工厂只能提供A型配件180个，B型配件135个。 又知道该工厂每生产一件甲产品可获利润20元，一件乙 产品可获利润 15元。问在计划期内甲、乙产品应该各安 排生产多少件，才能使总利润最大 ? 将该例所述情况列成表格 : A B 利润（元） 甲 5 3 20 乙 2 4 15 现有配件 180 135
最低收获量约束
⎧11 000x11 + 9 500x12 + 9 000x13 ≥ 190 000 ⎪ ⎨8 000x21 + 6 800x22 + 6 000 x23 ≥ 130 000 ⎪14 000x + 12 000x + 10 000x ≥ 350 000 31 32 33 ⎩
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18
d+ : 决策值超过目标值的部分 d- ：决策值未达到目标值的部分 4 .目标规划的目标函数 min z = g ( d＋, d－ ) 三种基本形式： 三种基本形式： 目标类型 需要极小化 的偏差变量 fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi d＋ 目标规划格式
例2 引例的目标规划模型： 引例的目标规划模型： 例2
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硬约束 2 . 绝对约束、目标约束 绝对约束：必须严格满足的等式或不等式约束 绝对约束 目标约束：目标规划所特有的约束，约束右端项看作 目标约束 要追求的目标值，在达到目标值时，允许发生正或负 的偏差 软约束 例如，原材料的价格不断上涨，增加供应会使成 本提高。故不考虑再购买原材料 从而 2 x1 + x2 ≤11 是硬约束
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多目标最优化方法
多目标最优化方法多目标最优化方法是一种用于解决具有多个目标函数的优化问题的方法。
在传统的单目标优化中，目标函数只有一个，需要寻找一个解使得该目标函数最小化或最大化。
而在多目标优化中，有多个目标函数需要最小化或最大化，这些目标函数通常是相互冲突的，即改变一个目标函数的值会影响其他目标函数的值。
多目标最优化方法的目标是通过找到一组解，使得这组解在多个目标函数上都具有较好的性能。
因此，在多目标最优化中，我们不能再使用单一的度量来衡量一个解的优劣，而是需要使用一种综合度量来评估一个解相对于其他解的优劣。
在多目标最优化方法中，最常用的方法之一是帕累托前沿（Pareto Frontier）方法。
帕累托前沿是一条曲线，该曲线上的每个点都表示在多个目标函数上都达到最优的解，这些解被称为非支配解（Non-dominated Solutions）。
在帕累托前沿上，没有任何一个解可以在所有的目标函数上都比其他解更好。
求解多目标最优化问题的常用方法之一是使用进化算法。
进化算法是一类通过模拟自然进化过程来求解问题的优化算法。
其中最常用的进化算法是遗传算法。
遗传算法通过模拟自然界中基因的交叉、变异和选择过程，逐步改进当前的解，并且通过适应度函数来评估一个解的优劣。
除了遗传算法之外，粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）、模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）和蚁群算法（Ant Colony Optimization, ACO）等进化算法也可以应用于解决多目标最优化问题。
进化算法的基本思想是通过维护一组解的种群，并通过模拟自然进化过程来不断改进种群中的解。
具体来说，进化算法包括以下几个步骤：1.初始化种群：随机生成一组解作为初始种群。
2.选择操作：根据适应度函数，选择一部分解作为父代，用于产生下一代的解。
3.变异操作：对选中的解进行变异操作，引入一定的随机性，以增加种群的多样性。
进化算法优化多目标优化问题
进化算法优化多目标优化问题进化算法（Evolutionary Algorithm, EA）是一种基于群体智能的搜索算法，用于解决优化问题。
这种算法模仿自然界的进化、选择和适应性机制，在搜索空间中寻找最优解。
进化算法具有广泛的应用，尤其在多目标优化领域有较好的表现。
本文将介绍进化算法在多目标优化问题中的应用及其优化策略。
一、多目标优化问题多目标优化问题（Multi-Objective Optimization, MOO）指在某一约束条件下最小化或最大化多个指标。
例如，设计一辆汽车时需要考虑速度、安全性、燃油效率、驾驶舒适性等多个因素，这些因素之间通常存在相互制约，需要在多个目标之间取得平衡和权衡。
多目标优化问题具有以下特点：1. 目标多样性。
多目标问题中可能存在不同种类的目标，如最大化效益和最小化成本。
2. 可行性约束。
不同目标之间通常存在冲突，需要在满足一定的限制条件下达成平衡。
3. 操作复杂性。
多目标问题通常包含多个变量参数，需要重复进行计算和优化，存在计算复杂度高和时间成本大的问题。
二、基本的进化算法进化算法的基本流程如下：1. 初始化种群。
根据问题的约束条件和初始值随机生成初始种群。
2. 评估适应度。
使用选择标准对种群个体进行评估，并确定优秀个体参与进化。
3. 进化操作。
通过交叉、变异等操作对优秀个体进行复制和变异，产生新个体并加入到种群中。
4. 判断终止条件。
根据预设的终止条件，判断是否需要结束进化。
5. 返回最优解。
找到最优解并返回。
三、进化算法优化多目标优化问题1. Pareto最优解在单目标优化问题中，最优解仅有一个，但在多目标问题中，最优解通常是由多个非支配解（Pareto Optimal Solution）组成的Pareto 最优解集合。
Pareto 最优解集合是指在约束条件下不可能找到更好解，同时不存在一种目标函数能优化所有目标的方案。
Pareto 最优解的求解过程也被称为 Pareto 最优化（Pareto Optimization）。
多目标约束条件下 最优解
多目标约束条件下最优解多目标约束条件下的最优解一、引言在现实生活中，我们常常面临多个目标和约束条件的冲突。
例如，我们在购买商品时可能既追求价格优惠，又希望品质可靠；在规划旅行路线时既希望时间紧凑，又希望玩得尽兴。
这些问题都可以被抽象成多目标优化问题，其中的解称为最优解。
二、多目标优化问题的定义多目标优化问题是指在存在多个目标函数和多个约束条件的情况下，寻找一个解使得目标函数达到最优的同时满足所有约束条件。
其中，目标函数可以是最大化或最小化的目标，约束条件可以是等式约束或不等式约束。
三、多目标优化问题的解决方法1.加权法加权法是一种常用的求解多目标优化问题的方法。
它通过对各个目标函数进行加权，将多个目标函数融合为一个单一的综合目标函数，并通过求解这个综合目标函数的最优解来得到最优解。
加权法的优点是简单易行，但是需要人为设定权重，可能存在主观性。
2. Pareto最优解Pareto最优解是指在多目标优化问题中，无法找到一个解使得所有目标函数同时达到最优，而是存在一组解，其中每个解在某个目标函数上优于其他解。
这些解构成了Pareto最优解集。
Pareto最优解的求解需要使用Pareto支配的概念，即一个解在目标函数上优于另一个解。
通过比较所有解之间的Pareto支配关系，可以找到Pareto最优解集。
四、多目标优化问题的应用多目标优化问题在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 供应链优化：在供应链管理中，需要考虑成本、交货时间、货物质量等多个目标，通过多目标优化可以找到最佳供应链配置方案。
2. 交通规划：在城市交通规划中，需要考虑车流量、行车速度、排放污染物等多个目标，通过多目标优化可以设计出最优的交通路网。
3. 能源系统优化：在能源系统设计中，需要考虑能源利用效率、环境影响、经济性等多个目标，通过多目标优化可以找到最佳的能源系统配置方案。
五、多目标优化问题的挑战与展望多目标优化问题的求解面临着许多挑战。
多目标优化问题的研究综述
多目标优化问题的研究概述摘要:本文在查阅相关资料的基础上对多目标优化问题进行了一般性描述，详细介绍了实际生活中存在的多目标优化问题以及解决多目标优化题的几种典型算法, 讨论了各个算法存在的优缺点。
关键词:多目标优化; 进化算法; 粒子群算法; 蚁群算法; 模拟退火生活中, 许多问题都是由相互冲突和影响的多个目标组成。
人们会经常遇到使多个目标在给定区域同时尽可能最佳的优化问题, 也就是多目标优化问题。
优化问题存在的优化目标超过一个并需要同时处理, 就成为多目标优化问题(multi-objective optimization-problem, MOP)。
多目标优化问题在工程应用等现实生活中非常普遍并且处于非常重要的地位,这些实际问题通常非常复杂、困难,是主要研究领域之一。
自20世纪60年代早期以来,多目标优化问题吸引了越来越多不同背景研究人员的注意力。
因此,解决多目标优化问题具有非常重要的科研价值和实际意义。
实际中优化问题大多数是多目标优化问题,一般情况下,多目标优化问题的各个子目标之间是矛盾的,一个子目标的改善有可能会引起另一个或者另几个子目标的性能降低, 也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的, 而只能在它们中间进行协调和折中处理, 使各个子目标都尽可能地达到最优化。
其与单目标优化问题的本质区别在于,它的解并非唯一, 而是存在一组由众多Pareto最优解组成的最优解集合, 集合中的各个元素称为Pareto最优解或非劣最优解。
1 多目标优化问题的描述多目标优化问题用文字描述为D个决策变量参数、N个目标函数、m+n个约束条件组成一个优化问题,决策变量与目标函数、约束条件是函数关系。
在非劣解集中决策者只能根据具体问题要求选择令其满意的一个非劣解作为最终解。
多目标优化问题的数学形式可以如下描述:min y=f(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x)]n=1,2,…,Nst g i (x )≤0 i =1,2,…,mℎj (x )=0 j =1,2,…,k x =[x 1,x 2,x d ,…,x D ]x d_min ≤x d ≤x d_max d =1,2,…,D其中: x 为D 维决策向量, y 为目标向量,N 为优化目标总数;g i (x)≤0为第i 个不等式约束,ℎj (x)=0为第j 个等式约束, fn(x)为第n 个目标函数;X 是决策向量形成的决定空间,Y 是目标向量形成的目标空间。
多目标优化问题的求解算法
2017.12.06
目录
一、多目标优化问题概述
二、基于蚁群算法的多目标优化
一、多目标优化问题概述
多 目 标 优 化 问 题 (MULTI-OBJECTIVE
OPTIMIZATION
PROBLEM,MOP)是由VILFREDOPARETO首次从数学的角度提出的。
1.多目标优化问题与单目标优化问题的不同点
单目标优化问题，只有一个目标函数，人们只需要寻找满足该目标函数的 最优解即可。 多目标优化问题，由于存在多个目标函数和约束条件，所以当一个目标达 到最优就很有可能令其它目标最劣，各个目标彼此间互相牵制和影响的，难以 实现所有目标的最优化，所以不能根据一个目标是否达到来评价函数解的优劣
程度，因此通常用一个最优解的集合来表示多目标优化问题的解。这种解称作
各边上的信息素强度来选择下一步的移动方向，在完成工序i的第J1个实施方案后
继续选择工序i+1的第J2种实施方案的概率为:
（3）信息素更新方式 所有蚂蚁完成一次循环后，各边的信息素强度按照下式更新:
（4）种群间信息素的协调方式 协同进化思想是由Ehrlich和Raven首先的提出的，主要研究的是植物和植物性
目标协同最优。
（2）路径选择策略 根据建筑工程项目施工管理中的工期、成本、质量和安全四大目标，将蚂蚁 分为四个种群。假设一共有N只蚂蚁，每只蚂蚁的行走路径代表一个施工项目的 实施计划方案，蚂蚁每做一次选择就是为某项工序选择一种施工方案，依次为每
个工作单元选择一种施工方案。
选取其中一只蚂蚁k为例，把每个工作单元的节点当作一个起始点，蚂蚁根据
每边可以采用三元组来表示， 如(i，J1，J2)表示第i个工作单元采 用的第J1，各实施方案，第i+1个工 作单元采用的是第J2个实施方案。
多目标优化的简单介绍
多目标优化的简单介绍在传统的单目标优化问题中，我们只关注优化一个目标函数，而在实际应用中，往往存在多个目标需要优化。
比如，一个生产计划问题中可能同时涉及到最大化利润、最小化成本、最大化生产效率等多个目标。
此时，单纯地优化一个目标函数可能会导致其他目标的不良结果。
因此，多目标优化问题的提出就为我们提供了一种兼顾多个目标的解决方案。
多目标优化与传统的单目标优化有很大的不同之处。
首先，多目标优化要求找到一组最优解，而不是单个最优解。
这是因为在多目标问题中，通常不存在一个单一的解能够在所有的目标上达到最优。
其次，多目标优化的最终目标是找到一组 Pareto 最优解。
Pareto 最优解是指在不牺牲其中任何一个目标的情况下，不能再找到一个解比它更优的解。
多目标优化问题的解决方案主要有两种方法：传统的多目标优化算法和多目标进化算法。
传统的多目标优化算法主要通过将多个目标函数转化成单个综合目标函数的方法来解决。
这种方法的优势在于算法较为简单，但它往往存在一定的信息损失，因为多个目标函数的信息无法完全转化成一个单一的目标函数。
而多目标进化算法则是通过模拟自然界中的进化过程来进行优化。
多目标进化算法的主要优势在于能够直接处理多个目标函数，并且往往能够得到一组 Pareto 最优解。
多目标优化问题的解决过程一般可以分为以下几个步骤：定义目标函数、确定变量范围、选择适当的优化算法、生成初始解、迭代、评价解的适应度、生成新解。
在定义目标函数时，我们需要明确问题的优化目标，将其转化成可计算的数学函数。
确定变量范围时，我们需要明确决策变量的取值范围，以确保空间的合理性。
选择适当的优化算法时，我们需要根据实际问题的特点来选择合适的算法。
生成初始解和迭代是多目标优化算法的核心步骤，通过不断迭代来逐渐接近 Pareto 最优解。
评价解的适应度主要是为了比较不同解的优劣，以便指导过程。
最后，生成新解是为了维持种群的多样性，防止过早陷入局部最优。
多目标优化问题
多目标优化问题多目标优化问题是指在优化问题中，存在多个目标函数需要同时最小化或最大化。
在多目标优化问题中，优化算法需要在多个冲突的目标之间做出权衡，找到一个综合考虑多个目标的最优解。
常见的多目标优化问题有多目标函数优化、多标准决策问题和多目标优化调度问题等。
多目标函数优化是指在优化问题中存在多个目标函数，需要同时最小化或最大化。
例如，在生产规划问题中，我们既希望最小化生产成本，又希望最大化生产效率；在投资组合管理中，我们既希望最大化回报率，又希望最小化风险。
这些目标常常是相互矛盾的，无法通过单一目标函数来全面评价。
因此，多目标函数优化需要寻找一组解，使得每个目标函数都能达到较好的值。
多标准决策问题是指在决策问题中存在多个决策标准，需要在多个决策标准之间做出平衡。
例如，在选定供应商时，除了价格因素外，我们还需要考虑质量、交货时间和售后服务等多个决策标准；在城市规划中，除了经济效益外，我们还需要考虑环境保护、社会影响和居民生活质量等多个决策标准。
这些决策标准往往是相互矛盾的，无法通过单一标准来做出全面的决策。
因此，多标准决策问题需要找到一组方案，使得每个决策标准都能得到较好的满足。
多目标优化调度问题是指在调度问题中存在多个优化目标，需要同时满足多个目标要求。
例如，在生产调度中，我们既希望最小化生产成本，又希望最大化生产效率；在交通调度中，我们既希望最小化交通拥堵，又希望最大化交通效率。
这些目标往往是相互矛盾的，无法通过单一目标来进行调度。
因此，多目标优化调度问题需要找到一组解，使得每个目标都能得到较好的满足。
解决多目标优化问题的常用方法有多目标遗传算法、多目标模拟退火算法和多目标粒子群优化算法等。
多目标遗传算法是一种基于演化计算的优化算法，通过模拟自然界中的进化过程，逐步搜索最优解的全局空间。
多目标模拟退火算法是一种基于模拟退火原理的优化算法，通过随机搜索和温度控制来避免陷入局部最优解。
多目标粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟粒子在解空间中的搜索和交流，逐步收敛到最优解。
多目标优化算法简介
多目标智能优化问题简介•生活中, 许多问题都是由相互冲突和影响的多个目标组成。
人们会经常遇到使多个目标在给定区域同时尽可能最佳的优化问题, 也就是多目标优化问题。
优化问题存在的优化目标超过一个并需要同时处理, 就成为多目标优化问题(multiobjective optimization problem, MOP)。
•1)物资调运车辆路径问题•某部门要将几个仓库里的物资调拨到其他若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少和总的运输费用最低,这是含有两个目标的优化问题。
•2)设计•如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时,通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就是一个含有四个目标的最优化问题。
•3)投资•假设某决策部门有一笔资金要分配给若干个建设项目,在确定投资方案时, 决策者总希望做到投资少收益大。
•4)生产调度•在离散制造生产系统中,一个工件一般经过一系列的工序加工完成, 每道工序需要特定机器和其他资源共同完成, 各工件在各机器上的加工顺序(称为技术约束条件)通常是事先给定的。
车间调度的作用就是根据现有的资源状况合理地安排作业加工顺序, 以满足特定生产目标的要求,一般包括作业排序和资源分配两个目标。
多目标优化•多目标优化（Multiobjective Optim ization）是指要找出一个能同时满足所有的优化目标的解,而这个解通常是以一个不确定的点集形式出现.因此多目标优化的任务就是要找出这个解集的分布情况,并根据具体情况找出适合问题的解。
实际应用•在现实工程中, 很多问题都是多目标优化问题,需要同时满足两个或者更多的目标要求, 而且要同时满足的多个目标之间往往互相冲突、此消彼长. 因此, 在多目标优化问题中, 寻求单一最优解是不现实的, 而是产生一组可选的折中解集, 由决策过程在可选解集中作出最终的选择.解决方案•传统的方案•基于进化算法方案传统方案•传统的多目标优化方法往往将其转化为各目标之加权和，然后采用单目标的优化技术。
多目标优化问题与决策理论
多目标优化问题与决策理论多目标优化问题是指在给定的约束条件下，寻求多个矛盾目标之间的最佳平衡点的问题。
决策理论是指在面对多个选择或决策时，寻求最佳解决方案的理论。
本文将探讨多目标优化问题与决策理论之间的关系及应用。
一、多目标优化问题的定义与特点多目标优化问题是现实生活中非常常见的问题，它通常涉及到多个冲突的目标。
例如，对于一辆汽车的设计，可能需要同时考虑汽车的安全性、燃油效率和舒适性等多个指标。
传统的单目标优化问题只需要考虑一个目标，例如最大化利润或者最小化成本，而多目标优化问题则需要在多个目标之间做出权衡和平衡。
多目标优化问题的特点主要体现在以下几个方面：1. 多个目标之间存在冲突：多目标优化问题中的不同目标往往是相互矛盾的。
例如，在一个供应链管理中，库存成本和交货时间往往是相互冲突的目标。
2. 解空间较大：由于涉及到多个目标，多目标优化问题的解空间通常较大。
在解空间中寻找最佳解，需要考虑多个目标之间的平衡。
3. 解的多样性：多目标优化问题的解是多样化的，不同的解可能在各个目标上表现出较优的性能。
因此，多目标优化问题通常不仅仅寻求一个解，而是提供一系列的非劣解供决策者选择。
二、决策理论在多目标优化问题中的应用决策理论为解决多目标优化问题提供了一系列有效的方法和工具。
以下是常见的几种决策理论的应用：1. 权衡法：权衡法是一种常用的决策理论方法，通过给出不同目标的权重，将多个目标转化为单一目标，然后使用传统的单目标优化方法求解。
2. 基于Pareto前沿的方法：Pareto前沿是指解集中不可再改进的解的集合。
基于Pareto前沿的方法通过同时优化多个目标，寻找Pareto 前沿上的非劣解。
这些非劣解可以提供给决策者进行选择。
3. 价值工程法：价值工程法是一种将目标转化为价值函数的方法，通过对各个目标的重要性进行量化，然后使用数学规划方法求解最优解。
4. 模糊数学方法：由于多目标优化问题中涉及到多个冲突目标，而这些目标往往无法非常准确地量化。
多目标最优化问题常用求解方法
多目标最优化问题常用求解方法在这个快节奏的时代，我们每个人都像个多面手，试图在工作、生活、家庭和个人兴趣之间找到一个平衡点。
你有没有想过，科学界也面临着类似的挑战？没错，今天我们要聊的就是“多目标最优化问题”，这听起来像个高深的数学问题，但其实和我们日常生活息息相关。
说白了，就是如何在多个目标中找到最佳方案，简直就像你在选择晚餐时，想吃披萨、汉堡又不想胖，这可咋办？1. 什么是多目标最优化？多目标最优化，顾名思义，就是在一个问题中，有多个需要优化的目标。
就好比你想在考试中既考得高分，又希望能留点时间玩游戏。
很显然，两个目标是有点冲突的。
在数学中，这就需要我们找到一个折中的方案，尽可能让两个目标都满意。
这个过程听起来简单，但实际上可没那么容易，尤其是在目标彼此矛盾时。
1.1 多目标的复杂性想象一下，如果你是个商家，想要最大化利润的同时，又想减少生产成本。
这就像在沙滩上走路，两只脚却在不同的方向移动，走起来可真费劲！所以，优化的过程中，我们常常会遇到“帕累托前沿”这个概念，听起来高大上，其实就是找一个折衷的方案，让各个目标都尽量满意。
1.2 常见的求解方法说到求解方法，我们可就要聊聊那些“招数”了。
首先是“权重法”，这就像做菜时加盐，你需要决定到底放多少，才能让整道菜刚刚好。
把各个目标赋予不同的权重，然后统一成一个目标进行优化，简单有效。
但问题是，权重的设置就像量体裁衣，得小心翼翼，稍不留神就可能“翻车”。
2. 经典算法那么，还有哪些经典的算法可以解决这些麻烦呢？来，接着往下看。
2.1 进化算法进化算法就像自然选择，你总是能看到那些更强壮的个体存活下来。
这种方法通过模拟自然选择的过程，逐步逼近最优解。
听起来很神奇吧？而且这一方法还挺受欢迎，特别是在复杂的多目标问题中，它能在短时间内找到不错的解，真是个“快枪手”！2.2 粒子群优化再说说粒子群优化，这就像一群小鸟在空中飞舞，每只鸟都有自己的目标，同时也受到其他鸟的影响。
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§8.1多目标最优化问题的基本原理一、多目标最优化问题的实例 例1 梁的设计问题设用直径为1的圆木加工成截面积为矩形的梁，为使强度最大而成本最低， 问应如何设计梁的尺寸？解： 设梁的截面积宽和高分别为1x 和2x 强度最大=惯性矩最大22161x x = 成本最低=截面积最小=21x x 故数学模型为： min 1x 2xmax22161x x.s t 22121x x +=10x ≥，20x ≥ 例2 买糖问题 已知食品店有1A , 2A ,3A 三种糖果单价分别为4元∕公斤，2.8元∕公斤，2.4元∕公斤，今要筹办一次茶话会，要求用于买买糖的钱不超于20元，糖的总量不少于6公斤，1A ，2A 两种糖的总和不少于3公斤，问应如何确定买糖的最佳方案？ 解：设购买1A , 2A ,3A 三种糖公斤数为1x ，2x ，3x1A 2A 3A重量 1x 2x3x单价 4元∕公斤 2.8元∕公斤 2.4元∕公斤min 14x +22.8x +32.4x （用钱最省）max 1x +2x +3x （糖的总量最多）.st 14x +22.8x +32.4x 20≤ (用钱总数的限制)1x +2x +3x 6≥（用糖总量的要求）1x +2x3≥（糖品种的要求）1x ，2x ，3x 0≥是一个线性多目标规划。
二、 多目标最优化的模型12min ()((),(),.....())T m V F x f x f x f x -=.st ()0g x ≥()0h x ≥多目标规划最优化问题实际上是一个向量函数的优化问题，当m=1,多目标优化就是前面讲的单目标优化问题 三、解的概念1.序的概念12,.....()Tm a a a a = 12,.....()Tmb b b b =（1）b a =⇔a iib = 1,2....i m = （2）a b ≤⇔a i ib ≤ 1,2....i m = 称a 小于等于b（3）a b <=⇔a i ib ≤ 且∃1≤j ≤m ，使a j j b ≠，则a 小于向量b（4）a <b ⇔a i ib < 1,2....i m = 称a 严格小于b绝对最优解：设多目标最优化问题的可行域为D ，*x ∈D ,如果对x ∀D ∈,都有*()()F F x x <,则称*x 为多目标最优化的绝对最优解，称绝对最优解的全体为绝对最优解集，记ab R ，absolute —绝对 有效解：可行域为D ，*x ∈D ,如果不存在x D ∈,使*()()F F x x <=，则称*x 为有效解，也称pareto 最优解，称有效解的全体为有效解集，记pa R 是由1951年T.C.Koopmans 提出的。
弱有效解：可行域为D ， *x ∈D ,如果不存在x D ∈,使*()()F F x x <，则称*x 为弱有效解，记wp R，若有效解是1959年kanlin 提出的。
四、解的性质：定理8.1 对于多目标最优化问题，总有ab R ⊆pa R ，即绝对最优解必是有效解，并且当ab R φ≠，ab R =pa R 。
证明：先证ab R ⊆pa R 用反证法 设*x ∈abR，但*x ∉pa R .由有效解的定义可知,存在'x ∈D ，使*()()'F F x x <=，即存在一个1i m ≤≤，使(')(*)i i f x f x <，这与*x ∈ab R 矛盾，所以*x ∈pa R ，即ab R ⊆pa R .当ab R φ≠，只需证明pa R ⊆ab R ，也用反证法，设"x ∈pa R ，使"x ∉ab R ，由于ab R φ≠，"x ∉ab R ，则存在一个x ∈ab R ，使()('')F x F x ≤，则至少存在一个i ，使1i m ≤≤，使得()('')i i f x f x <（否则()('')i i f x f x =，则()(")Fx Fx =，"x ∈ab R ），这与"x ∈pa R 矛盾（"x 是有效解表示找不到比"x 更好的点） 所以pa R ⊆ab R 综合ab R =pa R 。
定理8.2 对于多目标最有优化问题，总有pa R ⊆wp R ，即有效解必是弱有效解.证明：用反证法，设*x ∈pa R ，但*x ∉wp R ，由弱有效解的定义知，∃'x ∈p ,使(')(*)F x F x <，这与*x ∈pa R 矛盾，所以*x ∈wp R ，即pa R ⊆wp R . 定理8.3 如果记各分量目标函数()i f x 的最优解集为i R ，则有ab R =1mi i R =证明：设*x ∈ab R φ≠，则对x ∀D ∈，都有(*)F x ≤()F x ，所以对∀1,2....i m =，有(*)()i i f x f x ≤，即*x ∈i R ，这就证明*x ∈1mi i R = ，上述推到过程是可逆的，因此1m i i R = ⊆ab R ，从而ab R =1m i i R = ，当ab R φ≠，必有1mi i R = =φ，否则由已证1mi i R = ⊆ab R ，可知ab R φ≠。
定理8.4 如果记各分量目标函数()i f x 的最优解集为i R ，则有i R ⊆wp R ，并且当ab R φ≠，wp R =1mi i R = .证明：先证i R ⊆wp R 设'x ∈i R ，但'x ∉wp R ，由有效解的定义知，∃"x ∈D ，使('')(')F x F x <，即∀1,2....i m =，都有('')(')i i f x f x <，这与'x ∈i R 矛盾，所以'x ∈wp R ，即i R ⊆wp R当ab R φ≠时，由i R ⊆wp R 可得1mi i R = ⊆wp R ，因此只需证明wp R ⊆1mi i R = ，用反证法，设'''x ∈wp R ，但'''x ∉1mi i R = ，即对1,2....i m =都有'''x ∉i R ，另一方面由ab R φ≠，可设*x ∈ab R ，则有*x ∈i R ，即(*)(''')i i f x f x <，所以(*)(''')F x F x <，这与'''x ∈wp R 矛盾，所以'''x ∈1mi i R = ，即wp R =1mi i R = .§8.2评价函数法评价函数法有：（1）理想点法（2）平方和加权法（3）极小极大法基本原理（4）乘除法基本原理（5）线性加权和法 一、理想点法12min (,.....)T m F f f f =.s t ()0g x ≥()0h x =设12****(,.....)m F f f f =为理想点，一般情况下，绝对最优解往往不存在。
1d = 11((()*))mp pi i i f x f =-∑ p 为范数一般p =2时1d =1221((()*))mi i i f x f =-∑例1 max 112()32f x x x =-+ max 212()43f x x x =+ .st 1212121802320x x x x x x +≤≤+≥，解：先求 max 112()32f x x x =-+.st 12121218102320x x x x x x +≤≤+≥，*x =（0, 6） max 1f =12max 212()43f x x x =+.st 1212121802320x x x x x x +≤≤+≥，*x =（3,4） max 2f =24故理想点为 F =（12，24）min221212()()12243243x x x x -+--++.st 12121218102320x x x x x x +≤≤+≥，解之得*x =(0.53,0.65)T 1f =9.72，2f =19.06可以证明理想点法求出的点是有效解。
例2 用理想点法求解 min 1124f x x -= min 2f =123x x +.st 1212121210230x x x x x x +≤≤+≥，解：min 1124f x x -=1212121210230x x x x x x +≤≤+≥，1(5,0)20f =1(12,0)48f = 1(0,12)12f =- 1101033(0,)f =- 所以min 112f =- 10x = 212x =2(5,0)5f = 2(12,0)12f = 2(0,12)36f = 2103(0,)10f =所以min 2f =5 15x = 20x = 故理想点F =（-103，0）min 221212(4)()123x x x x --++.st 1212121210230x x x x x x +≤≤+≥，求出12??x x ⎧⎪⎨⎪⎩== 2.平方和加权法平方和加权法也称虚拟目标法，共思想是构造一个很好的虚拟目标，然后它的目标函数值去逼近虚拟目标.先对每个目标函数()i x f 确定一个想象的最好值0i f ，并使各目标函数与它的差的平方和最小，常取()i x f 极小值得下届作为0i f 021(())(())mi i i i h F x w f x f ==-∑1i w =∑min221121f x x =++min 22212)2(f x x -=+.s t 120x x ≥，解： 1f =1， 2f =0()h x =221122(()1)(()0)w f x w f x -+- 取1w =0.5，2w =0.5min ()h x =2222221212)20.5()0.5()(x x x x -+++.s t 120x x ≥，利用MATLAB求解：1201x x ⎧⎪⎨⎪⎩== ()h x =1可以证明这种方法求出的解是有效解.3.极小—极大法1()(())max ii m f x h F x ≤≤= min (())h F x = 1())min (max i i mx Df x ≤≤∈ 例 min 1f =1102(4)x + min 2f =122(2)x -.s t 05x ≤≤解： ()()()()22212,01214,141012,452x x h x x x x x ⎧-≤≤⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩()min h x05x ≤≤11,2x h ⇒==当1x =时，10.5f =，212f =4.乘除法 买糖问题 1123min 4 2.8 2.4f x x x =++2123max f x x x =++.S T123123121234 2.8 2.42063,,0x x x x x x x x x x x ++≤++≥+≥≥()123121234 2.8 2.4min x x x f h x f x x x ++==++.st 123123121234 2.8 2.42063,,0x x x x x x x x x x x ++≤++≥+≥≥解之得：1240,3,3x x x ===5.线性加权和法线性加权和法是最容易理解的评价函数法，根据各目标函数的重要程度构造评价函数()()()1mi i i h F x w f x ==∑其中i w 为权函数，满足0,1,2,3......i w i m ≥=，且11mi i w ==∑然后求解 ()()()1m i n m i n mi i x Dx Di h F x w f x ∈∈==∑例1. ()()()2211min min 4,44102f x x x x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦.s t05x ≤≤ 利用线性加权和法求解解： ()()()2212444102h x x x x λλ=++-+（1） 若120.5,0.5λλ==时()()()22min 0.0540.2544h x x x x =++-+()0.610df x x dx=-= 51.66673x =≈0.3667h =（2） 若120.8,0.2λλ==，同理可得1.1111x =， 0.4977h = []0,2pa R =，两种做法的结果都属于有效解。