多目标最优化问题全面介绍

§8.1多目标最优化问题的基本原理

一、多目标最优化问题的实例 例1 梁的设计问题

设用直径为1的圆木加工成截面积为矩形的梁，为使强度最大而成本最低， 问应如何设计梁的尺寸？

解： 设梁的截面积宽和高分别为1x 和2x 强度最大=惯性矩最大

2

216

1x x = 成本最低=截面积最小=21x x 故数学模型为： min 1

x 2

x

max

2216

1x x

.s t 221

2

1x x +=

10x ≥，20x ≥ 例2 买糖问题 已知食品店有1A , 2

A ,

3

A 三种糖果单价分别为4元∕公斤，2.8元∕公斤，

2.4元∕公斤，今要筹办一次茶话会，要求用于买买糖的钱不超于20元，糖

的总量不少于6公斤，1A ，

2

A 两种糖的总和不少于3公斤，问应如何确定买糖的最佳方案？ 解：设购买1A , 2

A ,

3

A 三种糖公斤数为1x ，2x ，3x

1

A 2

A 3

A

重量 1x 2x

3x

单价 4元∕公斤 2.8元∕公斤 2.4元∕公斤

min 14x +22.8x +3

2.4x （用钱最省）

max 1x +2x +3x （糖的总量最多）

.st 14x +22.8x +3

2.4x 20≤ (用钱总数的限制)

1x +2x +3x 6≥（用糖总量的要求）

1x +2x

3≥（糖品种的要求）

1x ，2x ，3x 0≥

是一个线性多目标规划。

二、 多目标最优化的模型

12min ()((),(),.....())T m V F x f x f x f x -=

.st ()0g x ≥

()0h x ≥

多目标规划最优化问题实际上是一个向量函数的优化问题，当m=1,多目标优化就是前面讲的单目标优化问题 三、解的概念

1.序的概念

12,.....()T

m a a a a = 12,.....()T

m

b b b b =

（1）b a =⇔a i

i

b = 1,2....i m = （2）a b ≤⇔a i i

b ≤ 1,2....i m = 称a 小于等于b

（3）a b <

=⇔a i i

b ≤ 且∃1≤j ≤m ，使a j j b ≠，则a 小于向量b

（4）a

b < 1,2....i m = 称a 严格小于b

绝对最优解：设多目标最优化问题的可行域为D ，

*

x ∈D ,如果对

x ∀D ∈,都有*()()F F x x <,则称*

x 为多目标最优化的绝对最优解，称绝对最优解的全体为绝对最优解集，记ab R ，absolute —绝对 有效解：可行域为D ，

*

x ∈D ,如果不存在x D ∈,使*

()()F F x x <

=，则称

*

x 为有效解，也称pareto 最优解，称有效解的全体为有效解集，记pa R 是由

1951年T.C.Koopmans 提出的。 弱有效解：可行域为D ， *

x ∈D ,如果不存在x D ∈,使*

()()F F x x <，则

称

*

x 为弱有效解，记wp R

，若有效解是

1959年kanlin 提出的。

四、解的性质：

定理8.1 对于多目标最优化问题，总有ab R ⊆pa R ，即绝对最优解必是有效解，并且当ab R φ≠，ab R =pa R 。 证明：先证ab R ⊆pa R 用反证法 设

*

x ∈ab

R

，但*

x ∉pa R .由有效解的定义

可知,存在'x ∈D ，使*()()'F F x x <

=，即存在一个1i m ≤≤，使(')(*)i i f x f x <，

这与*x ∈ab R 矛盾，所以*x ∈pa R ，即ab R ⊆pa R .

当ab R φ≠，只需证明pa R ⊆ab R ，也用反证法，设"x ∈pa R ，使"x ∉ab R ，由于ab R φ≠，"x ∉ab R ，则存在一个x ∈ab R ，使()('')F x F x ≤，则至少存在一个i ，使1i m ≤≤，使得()('')i i f x f x <（否则()('')i i f x f x =，则()(")Fx Fx =，

"x ∈ab R ）

，这与"x ∈pa R 矛盾（"x 是有效解表示找不到比"x 更好的点） 所以pa R ⊆ab R 综合ab R =pa R 。

定理8.2 对于多目标最有优化问题，总有pa R ⊆wp R ，即有效解必是弱有效解.

证明：用反证法，设*x ∈pa R ，但*x ∉wp R ，由弱有效解的定义知，∃'x ∈p ,使(')(*)F x F x <，这与*x ∈pa R 矛盾，所以*x ∈wp R ，即pa R ⊆wp R . 定理8.3 如果记各分量目标函数()i f x 的最优解集为i R ，则有ab R =1m

i i R =

证明：设*x ∈ab R φ≠，则对x ∀D ∈，都有(*)F x ≤()F x ，所以对

∀1,2....i m =，有(*)()i i f x f x ≤，即*x ∈i R ，这就证明*x ∈1

m

i i R = ，上述推

到过程是可逆的，因此1

m i i R = ⊆ab R ，从而ab R =1

m i i R = ，当ab R φ≠，必有1

m

i i R = =φ，

否则由已证1

m

i i R = ⊆ab R ，可知ab R φ≠。

定理8.4 如果记各分量目标函数()i f x 的最优解集为i R ，则有i R ⊆wp R ，并且当ab R φ≠，wp R =1m

i i R = .

证明：先证i R ⊆wp R 设'x ∈i R ，但'x ∉wp R ，由有效解的定义知，∃"x ∈D ，使('')(')F x F x <，即∀1,2....i m =，都有('')(')i i f x f x <，这与'x ∈i R 矛盾，所以'x ∈wp R ，即i R ⊆wp R

当ab R φ≠时，由i R ⊆wp R 可得1

m

i i R = ⊆wp R ，因此只需证明wp R ⊆1

m

i i R = ，用

反证法，设'''x ∈wp R ，但'''x ∉1

m

i i R = ，即对1,2....i m =都有'''x ∉i R ，另一方面

由ab R φ≠，可设*x ∈ab R ，则有*x ∈i R ，即(*)(''')i i f x f x <，所以(*)(''')F x F x <，这与'''x ∈wp R 矛盾，所以'''x ∈1

m

i i R = ，即wp R =1

m

i i R = .

§8.2评价函数法

评价函数法有：（1）理想点法（2）平方和加权法（3）极小极大法基本原理（4）乘除法基本原理（5）线性加权和法 一、理想点法