自动控制原理第17讲
自动控制原理(经典部分)课程教案
学习好资料欢迎下载山东科技大学《自动控制原理》（经典部分）课程教案授课时间：2007－2008学年第1学期适用专业、班级：自动化2005－1、2、3班**人：***编写时间：2007年7月)())()m n s z s p --221)(1)21)(1)i j s s T s T s ζττζ++++++ 极点形成系统的模态，授课学时：2学时章节名称第二章第三节控制系统的结构图与信号流图（1）备注教学目的和要求1、会绘制结构图。
2、会由结构图等效变换求传递函数。
重点难点重点：结构图的绘制；由结构图等效变换求传递函数。
难点：复杂结构图的等效变换。
教学方法教学手段1、教学方法：课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析举例的方法突破难点。
2、教学手段：以传统的口述、粉笔加黑板的手段为主。
教学进程设计（含教学内容、教学设计、时间分配等）一、引入（约3min）从“用数学图形描述系统的优点”引入新课。
二、教学进程设计（一）结构图的组成（约7min）1、信号线：表示信号的传递方向。
2、方框：表示输入和输出的运算关系，即C(S)=R(S)*G(S)。
3、比较点：表示两个以上信号进行代数运算。
4、引出点：一个信号引出两个或以上分支。
（二）结构图的绘制（约40min）绘制：列写微分方程组，并列写拉氏变换后的子方程；绘制各子方程的结构图，然后根据变量关系将各子结构图依次连接起来，得到系统的结构图。
例题讲解。
（二）结构图的简化（约46min）任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。
方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点、交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并，求出系统传递函数。
1、串联的简化：12()()()G s G s G s=2、并联的简化：12()()()G s G s G s=±3、反馈连接方框的简化：11()()1()()G ssG s H sΦ=4、比较点的移动：移动前后保持信号的等效性。
《自动控制原理》PPT课件
4-1 根轨迹的基本概念
4-1-1 根轨迹
闭环极点随开环根轨迹增益变化的轨迹
目标
系统参数 连续、运动、动态
开环系统中某个参数由0变化到 时，
闭环极点在s平面内画出的轨迹。一 个根形成一条轨迹。
5
例4-1 已知系统如图，试分析 Kc 对系统特征根分布的影响。
R(s)
_ Kc
1
C(s)
s(s+2)
解：开环传递函数 G(s) Kc 开环极点：p1 0
s(s 2)
开环根轨迹增益：K * Kc 闭环特征方程：s2 2s K * 0
闭环特征根
2 s1,2
4 4K* 1
2
1 K*
p2 2
6
研究K*从0～∞变化时，闭环特征根的变化
K*与闭环特征根的关系 s1,2 1 1 K*
引言
时域分析法
优点：可以直接分析系统的性能 缺点：不能在参数变化时，预测系统性能；
不能在较大范围内，给出参数优化设 计的预测结果
系统的闭环极点
系统的稳定性 系统的动态性能
系统闭环特征方程的根
高阶方程情形 下求解很困难
系统参数（如开环放大倍数）的变化会引起其 变化，针对每个不同参数值都求解一遍根很麻 烦。
1 绘制依据 ——根轨迹方程
R(s) _
C(s) G(s)
闭环的特征方程：1 G(s)H(s) 0
H(s)
即：G(s)H(s) 1 ——根轨迹方程（向量方程）
用幅值、幅角的形式表示：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s) [G(s)H(s)] 1(2k 1) G(s)H(s) (2k 1)
自动控制原理课件胡寿松官方版
三个反馈回路，L1=G2G3H1 L2=－G3G4H2 L3=－G1G2G3G4H3
三个回路相互接触，△=1 －(L1 +L2 +L3)
调节时间tsຫໍສະໝຸດ *动态性能指标定义2
h(t)
t
上升时间tr
调节时间 ts
*
动态性能指标定义3
h(t) t ts B 100%
A
tr
σ%=
tp
A
B
*
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 Φ(s)=
Ts+1
k
, T
时间常数
(画图时取k=1,T=0.5)
单 位 脉 冲 响 应
k(t)=
T
1
e-
T
t
k(0)=
劳斯表出现零行系统一定不稳定
*
误差定义
G(s)
H(s)
R(s)
E(s)
C(s)
B(s)
输入端定义：
E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)
G(s)
H(s)
R(s)
E(s)
C(s)
H(s)
1
R(s)
ˊ
ˊ
输出端定义：
E(s)=C希-C实= -C(s)
R(s)
H(s)
*
202X
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第二章 控制系统的数学模型
汇报日期
2.2.1 传递函数的定义和性质 传递函数传递函数是系统（或元件）一个输入量与一个输出量之间关系的数学描述，它不涉及系统内部状态变化情况，为输入—输出模型。
意义：
1. 定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：
《自动控制原理》_胡_课件.
2019年5月13日
轧钢机计算机控制系统方块图
第1章第25页
1.3 自动控制系统的分类
2019年5月13日
EXIT
第1章第26页
自动控制系统的分类
下面介绍几种常用的自动控制系统分类方法。
1.3.1 按控制方式来分
1.3.2 按描述系统的动态方程分
重要
1.3.3 按系统参数是否随时间变化而分
1.3.4 按系统输入信号的变化规律不同来分
2019年5月13日
EXIT
第1章第17页
飞机导航系统
制导导弹
现代的高新技术让 导弹长上了“眼睛”和 “大脑”，利用负反馈 控制原理去紧紧盯住目 标
2019年5月13日
第1章第18页
人造地球卫星 控制其准确地进入预定轨道运行并回收
哈勃望远镜－特殊地卫星
中巴资源卫星
2019年5月13日
第1章第19页
2019年5月13日
第1章第39页
开环控制系统与闭环控制系统比较
开环控制系统结构简单，成本较低； 开环控制系统缺点是控制精度不高，抑制干扰能力差，且对系 统参数变化比较敏感； 适用于不考虑外界影响或精度要求不高场合，如洗衣机、步进 电机控制等。 闭环控制抑制干扰能力强，系统对参数变化不敏感，可以选用 不太精密的元件构成较为精密的控制系统，从而获得较满意的动 态特性和控制精度； 采用负反馈装置，元部件较多，造价较高，增加系统复杂性。 如果系统结构参数选取不适当，控制过程可能变得很差，甚至出 现振荡或发散等不稳定情况;
自动控制原理教案17
§5-7 闭环系统的频率特性教学重点：控制系统频率评价指标系统暂态特性和闭环频率特性的关系闭环系统频率特性与开环频率特性的关系教学难点：闭环频率特性的绘制一闭环频率特性频域的性能指标1、谐振峰值Mp(Mr)是闭环系统幅频特性的最大值。
通常，Mp越大↑，超调量δ％↑。
2、谐振频率ωp,是闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。
3、截至频率ωb，0分贝一下3dB时对应的频率。
4、频率宽Bw(带宽)闭环系统频率特性幅值，由其初始值M(0)减小到0.707 M(0)的频率(或由ω＝0的增量降低3分贝时频率)。
0≤ω≤ωb频带越宽，上升时间越短，但对于高频干扰的过滤能力越差。
5、剪切速度。
指在高频时频率特性衰减的快慢。
在高频区衰减越快，对于信号和干扰分辨力强，频率越大，斩波作用越强，系统抗干扰能力越强。
一闭环系统频率特性与开环系统频率特性的关系单位反馈闭环频率特性M(ω)——闭环频率特性的幅值θ（ω）——闭环频率特性的相角开环幅相频率特性上， 矢量的模（OA ）, 矢量的模PA,闭环特性幅值M(ω).OA 与PA 夹角θ，即闭环频率特性的相角。
常由Mp 和ωp 作为分析和设计闭环系统地根据。
一般经验Mp 取1.3～1.7 当要求有很好阻尼时，取Mp ＝1.1～1.3，甚至Mp ＝1但Mp 大于1.7～1.8，会使振荡趋势增大，很少采用。
一般常用 近似估计Mp条件 Mp 在 附近较小，一般 <45°，二 闭环频率特性分析方法为便于用闭环频率特性的指标Mp ， 来分析和设计系统，常采用直角坐标的等M 图和对数坐标的等M 图。
1.等M 图闭环频率特性地等幅值曲线簇等M 图与绘制在半透明纸上的 曲线重迭，由它们的交换就能方便地绘制出闭环系统的闭环幅频特性曲线。
设单位反馈)(ωj W K )(1ωj W K +)()(1)(ωωωM PA OAj W j W KK ==+)(C ωγC ω)(C ωγ)(C ωγ)(sin 1C Mp ωγ≈P ω)(ωj W K整理后得：如果M=1,得P= 是一条通过（-1/2，j0）点且平行于虚轴得直线。
自动控制原理(11J-17)
13
14
>> num=[0 0 1]; >> den=[1 1 0]; >> nyquist(num,den) >> axis([-3 3 -10 10]) >> grid >> title('Nyquist plot of G(s)=1/[s(s+1)]')
并且满足: N = P-Z
若 N为正值，表示映射曲线CF 逆时针方向环绕原点N圈。
若N为负值，表示映射曲线CF 顺时针方向环绕原点 N 圈。
若N等于零，表示映射曲线CF 没有环绕原点。
23
用保角映射关系证明映射定理：
设：Cs 包围 F(s)的零点个数为Z、极点个数为P。 当s1 沿闭合曲线 Cs 顺时针转动一圈时，两平面上封闭曲 线的相角增量相同, CF 的相角增量可由图(a)关系确定
曲线在负实轴之下 曲线在负实轴之上
3
验证:
设: K=1, τ=5 ,T=1
>> num=[0,0,5,1]; >> den=[1,1,0,0]; >> v=[-5000,5000,-5000,5000];axis(v)
>> nyquist(num,den)
4
τ=5 ,T=1
完整图形？
5
设: K=1, τ=1 ,T=3 >> num=[0,0,1,1]; >> den=[3,1,0,0]; >> nyquist(num,den) >> v=[-5000,5000,-500,500];axis(v)
华东理工大学自动控制原理专业课资料
2.历年录取分数及比例
2013 年录取分数及比例
专业 报考 报考 录取 录取分数 专业课 代码 081100 085210 专业 控制科学与工程 控制工程 人数 353 98 人数 74 18 政治 50 50 外语 50 50 一 70 80 专业课 二 70 80 总分 303 313
2012 录取分数及比例
1.《参考书一》讲义 2.《参考书二》讲义 n.《参考书 n》讲义 序列三 题源题库 真题解读
1.初试试题题库 2.初试题库解析 3.历年真题试题 4.历年真题解析 5.复试题目汇总 序列四 模拟试题 考前押题
1.模拟试卷一试题 2.模拟试卷二试题 3.模拟试卷三试题 4.模拟试卷一解析 5.模拟试卷二解析 6.模拟试卷三解析
816 自动控制原理 2014 年考研讲义（内部资料，严禁翻制）
6-1 系统的设计与校正问题 6-2 常用校正装置及其特性 6-3 串联校正 6-4 反馈校正 6-5 复合校正 6-6 控制系统校正设计 习题 第七章 线性离散系统的分析与校正 7-1 离散系统的基本概念 7-2 信号的采样与保持 7-3 z 变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 7-6 离散系统的动态性能分析 7-7 离散系统的数字校正 7-8 离散控制系统设计 习题 第八章 非线性控制系统分析 8-1 非线性控制系统概述 8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法 8-5 非线性控制的逆系统方法 8-6 非线性控制系统设计 习题 第九章 线性系统的状态空间分析与综合 9-1 线性系统的状态空间描述 9-2 线性系统的可控性与可观测性 9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器 9-4 李雅普诺夫稳定性分析 9-5 控制系统状态空间设计 习题 第十章 动态系统的最优控制方法 10-1 最优控制的一般概念 10-2 最优控制中的变分法 10-3 极小值原理及其应用 10-4 线性二次型问题的最优控制 10-5 动态规划 10-6 控制系统优化设计 习题 参考文献 附录 A 傅里叶变换和拉普拉斯变换 附录 B 矩阵微分法 附录 C MATLAB 辅助分析与设计法
《自动控制原理》课程标准
《自动控制原理》课程标准第一部分课程概述一、课程名称中文名称：《自动控制原理》英文名称：《Automatic control theory》二、学时与适用对象课程总计72学时，其中理论课62学时，实验10学时。
本标准适用于三年制专科机械工程专业。
三、课程地位、性质《自动控制原理》是研究自动控制共同规律的技术科学，是工科高等院校电类、控制类、机械类等专业的一门主干技术基础课程。
该课程的开设重在使学生掌握与自动控制原理相关的专业知识和综合应用能力，培养解决自动控制系统调试与维护方面实际问题的能力。
掌握和了解自动控制的基本理论和方法，对从事机械工程专业的工程技术人员是很有必要的。
四、课程基本理念本课程的教学应把握以下几点基本原则：一是增加对前沿和最具特色机械装备研发、使用、推广等背景知识的介绍，激发学员对该课程的探索兴趣；二是突出从理工类专业的角度理解设备运行原理和设计思路的方法，向学员强调学好这门课必须具备数学、电子学、计算机软硬件方面坚实的知识基础，重在自动控制系统的分析与改进，体现有别于理工院校自动控制课程的强调理论探索、侧重系统设计及实现等的教学模式；三是鼓励学员查询相关资料、书籍，不要满足于仅仅了解系统原理的简单程度，强化学员的自学能力，培养获取并运用信息的能力，为今后从事机械装备的创新型革新及研制打好基础；四是注重与学员的交流、并积极引导学员之间的相互交流，培养良好协作的团队精神。
五、课程设计思路在本课程开设之前，学员已经具备了多门课程的先导知识。
在教学过程中，鼓励学员学习和使用MATLAB软件，对于课堂作业，通过MATLAB进行验证。
讲授中应力争多介绍自动化领域前沿成果，拓展学员的知识面，启发解决问题的思路。
在总结教学经验和研究成果的基础上，对课程目标分别从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面进行具体明确的阐述。
1．依据课程特点，设计教学思路自动控制原理是研究在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器，设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控制量）自动地按照预定的规律运行的原理及技术，数学基础要求较高，理论性很强。
田玉平自动控制原理各个章节的知识点
田玉平自动控制原理各个章节的知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：田玉平自动控制原理是自动化领域的经典教材之一，内容涵盖了自动控制理论的基本知识和应用技术。
本文将围绕田玉平自动控制原理中各个章节的知识点展开讨论，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。
第一章：控制系统基本概念在本章中，我们将学习到控制系统的基本概念，包括什么是控制系统、控制系统的分类、控制系统的基本结构等。
掌握这些基本概念对于理解后续章节的知识点至关重要。
第二章：系统动力学建模系统动力学建模是控制系统设计的基础，本章将介绍系统的数学建模方法，包括传递函数模型、状态空间模型等。
通过学习本章内容，读者可以了解如何将实际系统转化为数学模型，为控制系统设计奠定基础。
第三章：控制系统的时域分析时域分析是掌握控制系统性能的重要手段，在本章中，我们将学习控制系统的时域响应、阶跃响应、脉冲响应等概念，以及如何通过时域分析评估系统的性能和稳定性。
第四章：PID控制器PID控制器是最常用的控制器之一，本章将详细介绍PID控制器的原理、结构和调节方法，以及如何通过PID控制器实现系统的稳定性和性能优化。
第五章：根轨迹法和频域分析根轨迹法和频域分析是控制系统设计和分析的重要工具，本章将介绍这两种方法的基本原理、应用范围和实际操作技巧，帮助读者更好地理解控制系统在频域中的特性。
第六章：稳定性分析与设计稳定性是控制系统设计的核心问题之一，本章将介绍控制系统的稳定性分析方法、稳定性判据和稳定性设计原则，帮助读者避免系统不稳定导致的问题。
第七章：校正设计方法校正设计是控制系统优化的重要手段，本章将介绍常见的校正设计方法，包括比例校正、积分校正、比例积分校正等，帮助读者提高系统的响应速度和稳定性。
第八章：现代控制理论现代控制理论是控制系统发展的前沿领域，本章将介绍现代控制理论的基本思想、主要方法和应用领域，帮助读者了解控制系统未来的发展方向。
通过对田玉平自动控制原理各个章节的知识点进行系统学习和掌握，读者可以更好地理解控制系统的基本原理和设计方法，提高自己在自动化领域的学习和实践能力。
【米兰理工大学】自动控制原理Lect17_bac-large
6
4
2 Imaginary Axis
0
-2
-4
-6
-8 -4
-2
0
2 Real Axis
4
6
8
10
Luca Ferrarini - Basic Automatic Control
10
Example
w + L( s )
y L( s ) =
10 (1 + s )(1 + 5s )(1 + 15s )
Calculate analytically the gain margin
Let ωπ be the frequency where
ωπ
arg L( jωπ ) = −180°
L( jωπ )
Then xA=
Γ 1 km = = − L( jωπ ) dB L( jωπ )
Luca Ferrarini - Basic Automatic Control
Interpretation nominal model w + L( s )
“true” model y w + -
e
−τs
L( s )
y
ϕ m > 0°
asymptotically stable
ω cτ < ϕ m
or rather
π
180°
ϕ m is a robustness indicator with respect
to uncertainties in the open-loop delay
1 + jωπ 1 = km = L( jωπ ) 10
3
( 1 + 3 )3 4 = = 10 5
自动控制原理电子课件胡寿松版
- 取其解中的最小值，S1,2= 得ωntp= ±jωωd n √1- 2
e 由σ%=
h(t)=
h(tp) －h(∞)
1－h(∞) 1
√1- 2
100%
-
e 得 σ% = -π ωnt sin(ωd t +β
100%
)
（0 ﹤ ≤ 0.8） 由包络线求调节时间
设系统特征方程为： 劳思表介绍
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
• 课件10先要讲清H1和H3的双重作用，再讲分解就 很自然了。
• 课件11 ､12 ､13是直接在结构图上应用梅逊公式 ，制作者认为没必要将结构图变为信号流图后再 用梅逊公式求传递函数。
说明3
• 课件17~30为第三章的内容。
• 课件17~19中的误差带均取为稳态值的5%，有超 调的阶跃响应曲线的上升时间为第一次到达稳态 值的时间。
1 按扰动的全补偿
Gn(s)
N(s )
R(s) E(s )
k1 T1s+1
k2
C(s
s(T2s+1) )
令R(s)=0,En(s) = -C(s) =
s
(T1s+1)+ k1Gn(s) (T1s+1)(T2s+1) + k1k2
N(s)
令分子=0，得Gn(s) = - (T1s+1)/k1
2 按扰动的稳t态从补0→偿∞全过设程系统这稳就定是，按N(扰s)=动1/的s ,则全补偿
串联
并联
反馈
G1 G2
G1
G1
G2
G2
G1 G2
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若实轴上两开环极点之间存在根轨迹，则一定存在分离 点；若实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则一定存在汇 合点； 若实轴上的根轨迹处在开环零点和开环极点之间，可以 既无分离点也无汇合点，也可能既有分离点也有汇合点。
10
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 分离角和汇合角：分离点或汇合点的切线与正实轴的夹角。
j =1 i =1 m
n
=1
m
K1 = a2 4
j
∏ s− p
i
1
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 规则三 在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这 些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。
∠( s − z j ) − ∑ ∠( s − pi ) = ± (2q + 1)180o ∑
∠( s − z j ) − ∑ ∠( s − pi ) = ±(2q + 1)180o ∑
j =1
(m − n)ϕ a = ± (2q + 1)180o
4
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 规则四 根轨迹中 ( n − m ) 条趋向无穷远处分支的渐近线相 角为
(2q + 1) ⋅180o ϕa = ± n−m
(−∞, −2] [−1, 0]
jω
（2）实轴上根轨迹
jω
σ
−2
σ
−2
−1
0
−1
0
7
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则
K1 例4-2-1 系统开环传递函数为 G ( s ) = ，绘制根 s ( s + 1)( s + 2) 轨迹。
解： (3)渐近线
jω
(2q + 1) ⋅180o ϕa = ± = 60° ,180° , −60° n−m
σ
−2
σa =
∑ p −∑z
i =1 i j =1
n
m
j
n−m
0 −1− 2 = = −1 3
−1
0
8
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则
K1 例4-2-1 系统开环传递函数为 G ( s ) = ，绘制根 s ( s + 1)( s + 2) 轨迹。
jω
解： (3)渐近线
j
解： (4)求分离点
K1 特征方程 1 + G ( s ) = 1 + =0 s ( s + 1)( s + 2)
−2
Kb
−1
Kc
0 0
σ
K1 = − s ( s + 1)( s + 2)
dK1 = −(3s 2 + 6s + 2) = 0 ds
−6 ± 36 − 24 s1,2 = = −0.423 −1.577 （舍去） 6
K1 < K b K1 = K b
过阻尼 临界阻尼
−2
Kb
−1
Kc
0
σ
K b < K1 < K c 欠阻尼
K1 > K c 不稳定
9
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 规则六 复平面上根轨迹的分离点必须满足方程
dK1 =0 ds
上述条件只是确定分离点的 必要条件，不是充分条件。
q = 0,1, 2,L , n − m − 1
n − m = 1 ϕa = 180° n − m = 2 ϕa = ±90° n − m = 3 ϕa = ±60° 180° n − m = 4 ϕa = ±45° ±135°
5
K1 = a2 4
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 规则五 伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一 点，交点的坐标为 (σ , j 0) a
二、绘制根轨迹的基本规则
有汇合点
13
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则
既有分离点，又有汇合点
14
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 j
0
既无分离点，也无汇合点
15
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 j
0
r = 4 分离角为
j =1 i =1
m
n
q = 0,1, 2,L
K1 ( s + 1)( s + 3) G (s) = ( s + 2)( s + 4)
−4
jω
jω
σ
−3
−2
−1
σ
−4
−3
0
−2
−1
0
2
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 规则三 在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这 些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。 jω jω
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 规则一 系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。 规则二 当 K1 = 0 时，根轨迹的各 条分支从开环极点出发；当 K1 → ∞ 时，有 m 条分支趋向于开环零点， 另外有 n − m 条分支趋向无穷远 处。
K1 =
∏ s− p ∏ s−z
σ
0 0
σ
jω
jω
σ
0 0
σ
3
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则 规则四 根轨迹中 ( n − m ) 条趋向无穷远处分支的渐近线相 角为
m
(2q + 1) ⋅180o ϕa = ± n−m
n i =1
q = 0,1, 2,L , n − m − 1
q = 0,1, 2,L
σa =
∑ p −∑z
i =1 i j =1
n
m
j
n−m
6
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则
K1 例4-2-1 系统开环传递函数为 G ( s ) = ，绘制根 s ( s + 1)( s + 2) 轨迹。
（1） p1 = 0 解：
p2 = −1 p3 = −2 n = 3 m = 0
ϕa = ±45° ±135°
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第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则
jω
Kb
−2
Kc
−1
0
σ
有分离点
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第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则
K1 例4-2-1 系统开环传递函数为 G ( s ) = ，绘制根 s ( s + 1)( s + 2) jω 轨迹。
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(2q + 1) ⋅180o ϕa = ± r
q = 0,1,L , r − 1
r
为趋向或离开实轴的根轨迹分支数。
r = 2 ϕ a = ±90°
r = 4 ϕ a = ±45° ±135°
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第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
二、绘制根轨迹的基本规则
有分离点
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第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则