熊伟运筹学(第2版)第二版课后习题答案1
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学习题答案(1)
第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。
Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。
（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学教程黄皮版答案(第三章)[1]
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运筹学教程
第三章习题解答
3.1 与一般线性规划的数学模型相比，运输问题 与一般线性规划的数学模型相比， 的数学模型具有什么特征? 的数学模型具有什么特征 答： 1、运输问题一定有有限最优解。 、运输问题一定有有限最优解。 2、约束系数只取0或1。 、约束系数只取 或 。 3、约束系数矩阵的每列有两个 ， 而且只有两个 、约束系数矩阵的每列有两个1， 1。前m行中有一个 ，或n行中有一个 。 行中有一个1， 行中有一个1。 。 行中有一个 行中有一个 4、对于产销平衡的运输问题，所有的约束都取 、对于产销平衡的运输问题， 等式。 等式。
page 20 21 November 2011
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运筹学教程
第三章习题解答
3.12 1，2，3三个城市每年需分别供应电力 ， 三个城市每年需分别供应电力320， ， ， 三个城市每年需分别供应电力 250和350单位，由I，Ⅱ两个电站提供，它们的最大供 和 单位， ， 两个电站提供， 单位 电量分别为400个单位和 个单位，单位费用如表 个单位和450个单位 单位费用如表3— 个单位， 电量分别为 个单位和 37所示。由于需要量大于可供量，决定城市1的供应量 所示。由于需要量大于可供量，决定城市 的供应量 所示 可减少0～ 单位 城市2的供应量不变 城市3的供应 单位， 的供应量不变， 可减少 ～30单位，城市 的供应量不变，城市 的供应 量不能少于270单位，试求总费用最低的分配方案 将 单位， 量不能少于 单位 试求总费用最低的分配方案(将 可供电量用完)。 可供电量用完 。 表3-37 城市 1 2 3 电站 15 18 22 Ⅰ 21 25 16 Ⅱ
运筹学习题答案(第二章)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
熊伟编《运筹学》习题十详细解答
习题十10.1某产品每月用量为50件，每次生产准备成本为40元，存储费为10元/（月·件），求最优生产批量及生产周期。
【解】模型4。
D=50，A=40，H=1020()/0.4()25200()Q t Q D f ====件月元则每隔0.4月生产一次，每次生产量为20件。
10.2某化工厂每年需要甘油100吨，订货的固定成本为100元，甘油单价为7800元/吨，每吨年保管费为32元，求：（1）最优订货批量；（2）年订货次数；（3）总成本。
【解】模型4。
D=100，A=100，H=32，C=780025()/4()7800100780800()Q n D Q f CD ====⨯=件次元则（1）最优订货批量为25件；（2）年订货4次；（3）总成本为780800元。
10.3工厂每月需要甲零件3000件，每件零件120元，月存储费率为1.5%，每批订货费为150元，求经济订货批量及订货周期。
【解】模型4。
D=3000，A=150，H=120×0.015＝1.8，C=120707()/0.24()1203000361272.79()Q t Q D f CD ==≈===⨯=件月元则经济订货批量为707件，订货周期为0.24月。
10.4某公司预计年销售计算机2000台，每次订货费为500元，存储费为32元/（年·台），缺货费为100元/年·台。
试求：（1）提前期为零时的最优订货批量及最大缺货量；（2）提前期为10天时的订货点及最大存储量。
【解】模型3。
D=2000，A=500，H=32，B=100, L=0.0274(年)287()Q ==≈台69()S =≈台1218()Q ==≈台R ＝LD －S ＝0.0274×2000－69＝55－69＝－14（件）(1)最优订货批量为287台，最大缺货量为69台；(2)再订货点为－14台，最大存储量为218台。
10.5将式（10.22）化为t 的函数f (t )，推导出最优解Q *及t *。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学II习题解答(DOC)
第七章决议论1.某厂有一新产品，其面对的市场状况有三种状况，可供其选择的营销策略也是三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值以下表所示，要求分别用非确立型决议的五种方法进行决议 (使用折衷法时α＝0.6)。
市场状况营销策略Q1 Q2 Q3S1 50 10 －5S2 30 25 0S3 10 10 10【解】（1）消极法：依据“小中取大”原则，应选用的经营策略为s3；（2）乐观法：依据“大中取大”原则，应选用的经营策略为s1；（3）折中法（α=0.6）：计算折中利润值以下：S1 折中利润值 =0.6 50+0.4 (-5)=28S2 折中利润值 =0.6 30+0.4 0=18S3 折中利润值 =0.6 10+0.4 10=10明显，应选用经营策略s1 为决议方案。
（ 4）均匀法：计算均匀利润以下：_S1:x 1=（50+10-5）/3=55/3_S2:x 2=(30+25)/3=55/3_S3:x 3=(10+10)/3=10应选择策略 s1,s2为决议方案。
（5）最小遗憾法：分三步第一，定各样自然状态下的最大利润值，如方括号中所示；第二，确立每一方案在不一样状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示；第三，大中取小，进行决议。
应选用S1作为决议方案。
2．如上题中三种状态的概率分别为: 0.3, 0.4, 0.3, 试用希望值方法和决议树方法决议。
（1）用希望值方法决议：计算各经营策略下的希望利润值以下：应选用决议 S2时目标利润最大。
（2）用决议树方法，画决议树以下：3. 某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3），预计可能的概率为： P (θ1) =0.5, P (θ2)=0.3，P (θ3)=0.2 。
已知钻井费为 7 万元，若贫油可收入 12 万元，若富油可收入27 万元。
为了科学决议拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质结构差 (I1)、结构一般 (I 2) 和结构好 (I3)。
运筹学课后习题答案 熊伟(第二版)
【解】虚拟一个发点和一个收点
T6.11－1
得到流量v＝22的最小费用流，最小费用为271。求解过程参看第4章PPT文档习题答案。
T6.11－13
最小费用最大流如下图，最大流量等于27，总费用等于351。
6.12如图6－43所示，（1）求解旅行售货员问题；（2）求解中国邮路问题。
图6-43
【解】（1）旅行售货员问题。
总费用最小的设备更新方案为：第一种方案，第1年购置一台设备使用到第5年年末；第二种方案，第1年购置一台设备使用到第2年年末，第3年年初更新后使用到第5年年末。总费用为11.5万元。
6.8图6－43是世界某6大城市之间的航线，边上的数字为票价（百美元），用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。
表5-56
B1
B2
B3
B4
Ai
A1
9
15
4
8
10
A2
3
1
7
6
30
A3
2
10
13
4
20
A4
4
5
8
3
43
bj
20
15
50
15
【解】（1）
(2)
5.4求下列运输问题的最优解
（1）C1目标函数求最小值；（2）C2目标函数求最大值
15 45 20 40 60 30 50 40
(3)目标函数最小值,B1的需求为30≤b1≤50, B2的需求为40，B3的需求为20≤b3≤60,A1不可达A4，B4的需求为30．
【解】（1）
（2）
（3）先化为平衡表
B11
B12
B2
B31
B32
运筹学习题答案(第一章)
c
x1
j
1
1 0
0 0
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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page 13 15 June 2013
运筹学教程
第一章习题解答
当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的A点；当 c/d大于5/2且c大于等于0时最优解为图中的B点；当c/d 小于3/10且d大于0时最优解为图中的C点；当c/d大于 5/2且c小于等于0时或当c/d小于3/10且d小于0时最优解 为图中的原点。
x1 0 0 0
x2 3 0 0
基可行解 x3 x4 x5 0 0 3.5 1.5 0 0 3 8 5
x6 0 0 0
Z 3 3 0
0.75
page 9 15 June 2013
0
0
0
2
2.25
2.25
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运筹学教程
第一章习题解答
min Z 5 x 1 2 x 2 3 x 3 2 x 4 (2) x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 7 st 2 x 1 2 x 2 x 3 2 x 4 3 x j 0 , ( j 1, 4 )
该题是无穷多最优解。 最优解之一： x1 9 5 , x2 4 5 , x3 0, Z 6
page 19 15 June 2013
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运筹学教程
第一章习题解答
max Z 4 x 1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x1 3 x 2 x 3 6 st x 2 x2 x4 4 1 x j 0（ j 1, , 4） ,
运筹学答案(熊伟)下
习题七7.2(1)分别用节点法和箭线法绘制表7-16的项目网络图，并填写表中的紧前工序。
(2) 用箭线法绘制表7-17的项目网络图，并填写表中的紧后工序表7-16表7-17【解】（1）箭线图：节点图：（2）箭线图：7.3根据项目工序明细表7-18：（1）画出网络图。
（2）计算工序的最早开始、最迟开始时间和总时差。
（3）找出关键路线和关键工序。
表7-18【解】(1)网络图(2)网络参数(3)关键路线：①→②→③→④→⑤→⑥→⑦；关键工序：A、C、D、G；完工期：48周。
7.4 表7-19给出了项目的工序明细表。
表7-19（2）在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间。
（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。
（4）找出所有关键路线及对应的关键工序。
（5）求项目的完工期。
【解】(1)网络图（2）工序最早开始、最迟开始时间（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差工序t T ES T EF T LS T LF 总时差S 自由时差FA 8 0 89 1790B 5 0 50 500C 7 0 77 700D 12 8 2017 2999E 8 5 13 5 1300F 17 7 247 2400G 16 13 2913 2900H 8 29 3729 3700I 14 13 2733 472020J 5 13 1819 246 6K 10 37 4737 4700L 23 24 4724 4700M 15 47 6247 6200N 12 47 5950 623 3(4)关键路线及对应的关键工序关键路线有两条，第一条：①→②→⑤→⑥→⑦→○11→○12；关键工序：B,E,G,H,K,M 第二条：①→④→⑧→⑨→○11→○12；关键工序：C,F,L,M（5）项目的完工期为62天。
7.5已知项目各工序的三种估计时间如表7-20所示。
求：表7-20（1）绘制网络图并计算各工序的期望时间和方差。
熊伟编《运筹学》习题二详细解答
习题二1 •某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150单位，C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分. 已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示.（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A , B , C三种营养成分•试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型.表 2-221 X j jmin Z 0.5% 0.4X0.8X30 .9x40.3X50.2X613x125x214X3 40X48X5 11X6 8024x19x230X325X412X5 15X6 15018x17x221X3 34X410X5 180x1> x2、X、X4、X、X6 0(2 )设V i为第i种单位营养的价格，则数学模型为max w 80y1 150 y2180 y313V1 24 y2 18y3 0.525y1 9y2 7y30.414y1 30 y221y30.840y1 25y2 34 y3 0.98y1 12y2 10y3 0.311y1 15y2 0.5力，丫2”302 •写出下列线性规划的对偶问题max 2X14X2min w % 4y2八X1 3X2 1 ”y1 y2 2（1）X15X2 4 3y1 5y2 4X1,X2 0 y1, y2 0min w 9% 6y 2 2y 3+5y 4 10 y 5 3y i 6y 2 y 3 g 衣 2 对偶问题为：2y i 2y 2 3 y i 5y 2 出 6 6y i y 2 2y 37y i 无约束；y 2 0, y 3, 0, y 4 0, X 5 03 .考虑线性规划mi nZ 12X 120X 2X 1 4X 2 4 X 1 5X 22 2X 1 3X 27X 1, X 2 0(1) 说明原问题与对偶问题都有最优解； ⑵通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解; ⑶利用公式C B B^1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解.【解】(1)原问题的对偶问题为maxw 4% 2y 2 7y 3 y i y 2 2y 312min Z 2x i X 2 3x 3 x 1 2X 210(2)1 2X i 3X 2 X 38X ,X 无约束，X 0maxw 10y i 8y 2 y i y 22 【解】2y i 3y 21y 2 3叶无约束；y 2 0maxZX 1 2X 24X 3 3X 410X 1X 2 X 3 4X 48(3)7X 1 6X 2 2X 3 5X 4 104X 1 8X 2 6X 3 X 4 6X 1,X 2 0,X 3 0,X 4无约束min w 8y 1 10y 2 6y 3【解】10 y 1 7y 2 4y 31 y 1 6y2 8y3 2 y 1 2y 2 6y 34 4y 1 5y 2 y 33y 1 无约束；y 2 0, y 3 0 max Z 2X -I 3X 2 6X 3 7X 43X -I 2X 2 X 3 6X 4 9 6X -I 5X 3 X 4X 1 2X 2 X 3 62X 45 X 1 10X 10, X 2,X 3, X 4无约束max Z2X -I 3X 2 6X 3 7X 43X 1 2X 2 X 3 6X 4 9 6X -| 5X 3 X 46【解】 X 1 2X 2 X 3 2X 42X -I 5 X -I10X - 0, X , X , X 无约束4y i 5y 3*20y j 0,j 1,2,3容易看出原问题和对偶问题都有可行解，女口X = (2, 1)、Y = (1 , 0, 1)，由定理2.4知都有最优解。
运筹学答案(熊伟)下
运筹学答案（熊伟）下习题七7.2(1)分别用节点法和箭线法绘制表7-16的项目网络图，并填写表中的紧前工序。
(2)用箭线法绘制表7-17的项目网络图，并填写表中的紧后工序表7-16工序ABCDEFG－IC,E,F,HJD,GKC,ELIMJ,K,L紧前工序－－－ACAF、D、B、E表7-17紧后工序D,EGEGGG工序紧前工序A-B-C-DBEBFA,BGBHD,G紧后工序FE,D,F,GI,H,I,H,IIKJKJMLMM－【解】（1）箭线图：节点图：（2）箭线图：7.3根据项目工序明细表7-18：（1）画出网络图。
（2）计算工序的最早开始、最迟开始时间和总时差。
（3）找出关键路线和关键工序。
表7-18工序紧前工序A-BA6CA12DB,C19EC6FD,E7GD,E8工序时间（周）9【解】(1)网络图(2)网络参数工序A000B9156C990D21210E213413F40411G40400最早开始最迟开始总时差(3)关键路线：①→②→③→④→⑤→⑥→⑦；关键工序：A、C、D、G；完工期：48周。
7.4表7-19给出了项目的工序明细表。
表7-19工序紧前工序ABC--5-7D12E8F17GE16HD,G8IEJKLM15N12A,BBB,CEHF,JI,K,LF,J,L工序时间(天)81451023（1）绘制项目网络图。
（2）在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间。
（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。
（4）找出所有关键路线及对应的关键工序。
（5）求项目的完工期。
【解】(1)网络图（2）工序最早开始、最迟开始时间（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差工序tTESTEFTLSTLF总时差S自由时差FA80891790B5050500C7077700D12820172999E851351300F1772472400G1613 29132900H82937293700I14132733472020J51318192466K103747374700L232 447244700M154762476200N124759506233(4)关键路线及对应的关键工序11→○12；关键工序：B,E,G,H,K,M关键路线有两条，第一条：①→②→⑤→⑥→⑦→○11→○12；关键工序：C,F,L,M第二条：①→④→⑧→⑨→○（5）项目的完工期为62天。
熊伟运筹学第2版13章参考答案
运筹学（第2版）习题答案1--3习题一1.1 讨论下列问题：（1）在例1.2中，如果设x j (j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．（2）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路．（3）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．（4）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．(5)在单纯形法中，为什么说当00(1,2,,)k ik a i m λ>≤=L 并且时线性规划具有无界解。
1.2 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：【解】设x j （j =1,2,…，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为14112342567891036891112132347910121314min 2300322450232400232346000,1,2,,14jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩∑L 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X (2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为134131412342567891036891112132347910121314min 0.60.30.70.40.82300322450232400232346000,1,2,,14j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩L L 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X (2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。
熊伟运筹学(第2版)1-3章参考答案
运筹学（第2版）习题答案1--3习题一1.1 讨论下列问题：（1）在例1.2中，如果设x j (j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．（2）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路． （3）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．（4）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．(5)在单纯形法中，为什么说当00(1,2,,)k ik a i m λ>≤=并且时线性规划具有无界解。
1.2 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．根据市场需求,试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为1.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：问怎样下料使得（1【解】 设x j （j =1,2,…，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X (2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X (2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。
运筹学课后答案2
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656min 52,22,233344,510ij ijij i jijZ c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij 数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656min 100,00110,(,)ij iji jij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
熊伟运筹学(第2版)第二版课后习题答案1
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益 率是30％，这种投资最多不超过1万元． 投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型. 【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下 项目 一 第1 年 第2 年 第3 年 数学模型为 最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z＝84720 1.6 IV发展公司是商务房地产开发项目的投资商．公司有机会在三个建 设项目中投资：高层办公楼、宾馆及购物中心，各项目不同年份所需资 金和净现值见表1－24．三个项目的投资方案是：投资公司现在预付项 目所需资金的百分比数，那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需 资金，也获得同样比例的净现值．例如，公司按10％投资项目1，现在 必须支付400万，今后三年分别投入600万、900万和100万，获得净现值 450万． 公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是：现有2500万， 一年后2000万，两年后2000万，三年后1500万．当年没有用完的资金可 以转入下一年继续使用． IV公司管理层希望设计一个组合投资方案，在每个项目中投资多少百分 比，使其投资获得的净现值最大．
则标准型为 (4) 【解】令，线性规划模型变为 标准型为
1.9 设线性规划 取基分别指出对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明是不是可 行基． 【解】B1：x1，x3为基变量，x2，x4为非基变量,基本解为X=（15，0， 20，0）T，B1是可行基。B2：x1,x4是基变量，x2,x3为非基变量，基本解 X=（25，0，0，－40）T，B2不是可行基。 1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的 每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点． (1) 【解】图解法 单纯形法： C(j) 1 3 0 0 b Ratio C(i) Basis X1 X2 X3 X4 0 X3 -2 [1] 1 0 2 2 0 X4 2 3 0 1 12 4 C(j)-Z(j) 1 3 0 0 0 3 X2 -2 1 1 0 2 M 0 X4 [8] 0 -3 1 6 0.75 C(j)-Z(j) 7 0 -3 0 6 3 X2 0 1 0.25 0.25 7/2 1 X1 C(j)-Z(j) 对应的顶点： 1 0 0 0 -0.375 0.125 3/4 -0.375 -0.875 11.25
运筹学课后习题解答_1.(DOC)
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯=P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →105B CB X b 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学(第二版)课后答案
( 2)
x1 6 x 4 12 x 2 3
T ， Z 2 18 。 （6,0,2,12,0）
1 0 0 ( 3) T 。 （P3，P4，P5） （0,0,4,12,18） 0 1 0 ，得基本可行解 x 0 0 1
附录四习题参考答案
附录四：习题参考答案 第一章 线性规划及单纯形法
1.1 （1）解： 第一，求可行解集合。令两个约束条件为等式，得到两条直线，在第一 象限划出满足两个不等式的区域，其交集就是可行集或称为可行域，如图 1-1 所示，交集为（1/2, 0） 。 第二，绘制目标函数图形。将目标函数的系数组成一个坐标点（6，4） ， 过原点 O 作一条矢量指向点（6，4） ，矢量的长度不限，矢量的斜率保持 4 比 6，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形，目标函 数图形的位置任意，如果通过原点则目标函数值 Z=0，如图 1-2 所示。 第三，求最优解。图 1-2 的矢量方向是目标函数增加的方向或称梯度方 向， 在求最小值时将目标函数图形沿梯度方向的反方向平行移动， （在求最 大值时将目标函数图形沿梯度方向平行移动）直到可行域的边界，停止移 动，其交点对应的坐标就是最优解，如图 1-3 所示。最优解 x=（1/2, 0）, 目标函数的最小值 Z=3。 X2 X2
CB 0 0 σj 0 10 σj 5 11
10 X1 3 5 10 0 1 0 1 0 0
5 X2 4 2 5 14/5 2/5 1 1 0 0
（表一）
T *
0 X3 1 0 0 1 0 0 5/14 -1/7 -5/14
0 X4 0 1 0 -3/5 1/5 -2 -3/14 2/7 -25/14
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0 X4 1 0 0 1/3 -2/3 -4/3 1/2 -1/2 -3/2
0 X5 0 1 0 0 1 0 0 1 0
R. H. S. 1 3 0 1/3 7/3 -4/3 1/2 5/2 -3/2
Ratio 1/3 3/2 1/2用量（每个百分点投资的 累计数） 项目1 40 100 190 200 45 项目2 80 160 240 310 70 项目3 90 140 160 220 50 累计可用资 金(万元) 2500 4500 6500 8000
0 1 2 3 净现 值
设xj为j项目投资比例，则数学模型： 最优解X＝（0，16.5049，13.1067）；Z=1810.68万元 实际投资 年份 项目1比 项目2比 项目3比 累计投资(万 例： 例： 例：0 元) 16.5049 13.1067 0 0 1320.392 1179.603 2499.995 1 0 2640.784 1834.938 4475.722 2 0 3961.176 2097.072 6058.248 3 0 5116.519 2883.474 7999.993 净现值 0 1155.343 655.335 1.7 图解下列线性规划并指出解的形式： (1) 【解】最优解X＝（1/2，1/2）；最优值Z=－1/2 (2) 【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
第二步：建立线性规划数学模型 设xj（j=1,2,…，14）为第j种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为 用单纯形法求解得到两个基本最优解 X(1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X(2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为 用单纯形法求解得到两个基本最优解 X(1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X(2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根
表1－23 窗架所需材料规格及数量 型号A 长度 数量(根) （m） 每套窗架 需要材料 A1： 1.7 A2： 1.3 需要量（套） 200 2 3 型号B 长度 (m) B1：2.7 B1：2.0 150 2 3 数量 (根)
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解】 第一步：求下料方案，见下表。 需 十十十 十 方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 要 一二三 四 量 B1:2.7m 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 300 B2:2m 0 1 0 0 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 450 A1:1.7m 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 400 A2:1.3m 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 2 3 4 600 余料 0.6 0 0.30.7 0 0.30.70.6 1 0.10.9 0 0.40.8
1.5 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计 利息）可供投资： 方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率 是20％，下一年可继续将本息投入获利； 方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率 是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元； 方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率 是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
基可行解 X(1)=（0，0，2，12）、 X(2)=（0，2，0，6，）、 X(3)=（、 最优解
可行域的顶点 （0，0） （0，2）
(2) 【解】图解法 单纯形法：
C(j) Basis C(i) X3 0 X4 0 X5 0 C(j)-Z(j) X3 0 X2 -5 X5 0 C(j)-Z(j) X1 -3 X2 -5 X5 0 C(j)-Z(j) X1 -3 X2 -5 X4 0 C(j)-Z(j) -3 X1 1 1 1 -3 [0.5] 0.25 0.75 -1.75 1 0 0 0 1 0 0 0 -5 X2 2 [4] 1 -5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 X3 1 0 0 0 1 0 0 0 2 -0.5 -1.5 3.5 -1 1 -3 2 0 X4 0 1 0 0 -0.5 0.25 -0.25 1.25 -1 0.5 [0.5] -0.5 0 0 1 0 0 X5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 -1 2 1 6 10 4 0 1 2.5 1.5 -12.5 2 2 0 -16 2 2 0 -16 b Ratio 3 2.5 4 2 10 2 M 4 0
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教材习题答案 习题一 习题二 习题三 习题四 习题五 习题六 习题七 习题八 1 3 3 3 错误！未定义书签。 错误！未定义书签。 错误！未定义书签。 错误！未定义书签。 部分有图形的答案附在各章PPT文档的后面，请留意。 错误！未定义书签。
习题一
1.1 讨论下列问题： （1）在例1.1中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有5 台，利用率为0.8,设备B有7台，利用率为0.85,其它条件不变，数学模型 怎样变化． （2）在例1.2中，如果设xj(j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期 日开始休息的营业员，该模型如何变化． （3）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学 模型如何变化；简述板材下料的思路． （4）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型 如何变化． （5）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要 求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小 时，模型如何变化． 1.2 工厂每月生产A、B、C三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台 时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示．
1.4 A、B两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B需要前道工序2 小时和后道工序3小时．可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17 小时． 每加工一个单位产品B的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要 任何费用，产品C一部分可出售赢利，其余的只能加以销毁． 出售单位产品A、B、C的利润分别为3、7、2元，每单位产品C的销毁费 为1元．预测表明，产品C最多只能售出13个单位．试建立总利润最大的 生产计划数学模型． 解】设x1,x2分别为产品A、B的产量，x3为副产品C的销售量,x4为副产品 C的销毁量，有x3+x4=2x2,Z为总利润，则数学模型为
表1－22 产品 资源 材料(kg) 设备(台时) 利润(元/件) A 1.5 3 10 B 1.2 1.6 14 C 4 1.2 12 资源限量 2500 1400
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月 需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为 1.3 建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗 架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－24
项目 二 x12 三
项目 四
项目
x11 x21 x31
x23 x34
10％项目所需资金（万 年份 0 1 2 3 元） 项目1 400 600 900 100 项目2 800 800 800 700 项目3 900 500 200 600
净现值
450
700
500
【解】以1％为单位，计算累计投资比例和可用累计投资额，见表 （2）。
对应的顶点： 基可行解 X(1)=（0，0，6，10，4）、 X(2)=（0，2.5，1，0， 1.5，）、 X(3)=（2，2，0，0，0） X(4)=（2，2，0，0，0）
可行域的顶点 （0，0） （0，2.5） (2，2) （2，2）
最优解：X=（2，2，0，0，0）；最优值Z＝－16 该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。 1.11用单纯形法求解下列线性规划 (1) 【解】单纯形表： C(j) 3 4 1 Basis C(i) X1 X2 X3 X4 0 2 [3] 1 X5 0 1 2 2 C(j)-Z(j) 3 4 1 X2 4 [2/3] 1 1/3 X5 0 -1/3 0 4/3 C(j)-Z(j) 1/3 0 -1/3 X1 3 1 3/2 1/2 X5 0 0 1/2 3/2 C(j)-Z(j) 0 -1/2 -1/2
(3) 【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10 (4) 【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4 (5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3 (6) 【解】无界解。
(7) 【解】无可行解。
(8) 【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13 1.8 将下列线性规划化为标准形式 (1) 【解】（1）令为松驰变量 ，则标准形式为 (2) 【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为 (3) 【解】方法1： 方法2：令
则标准型为 (4) 【解】令，线性规划模型变为 标准型为
1.9 设线性规划 取基分别指出对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明是不是可 行基． 【解】B1：x1，x3为基变量，x2，x4为非基变量,基本解为X=（15，0， 20，0）T，B1是可行基。B2：x1,x4是基变量，x2,x3为非基变量，基本解 X=（25，0，0，－40）T，B2不是可行基。 1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的 每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点． (1) 【解】图解法 单纯形法： C(j) 1 3 0 0 b Ratio C(i) Basis X1 X2 X3 X4 0 X3 -2 [1] 1 0 2 2 0 X4 2 3 0 1 12 4 C(j)-Z(j) 1 3 0 0 0 3 X2 -2 1 1 0 2 M 0 X4 [8] 0 -3 1 6 0.75 C(j)-Z(j) 7 0 -3 0 6 3 X2 0 1 0.25 0.25 7/2 1 X1 C(j)-Z(j) 对应的顶点： 1 0 0 0 -0.375 0.125 3/4 -0.375 -0.875 11.25