数学分析课件
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牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
数学分析课件
长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
数学分析课件
算一些复杂的极限表达式。
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
《数学分析》PPT课件
2 345
当n无限增大时,xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 xn 1小到什么要求.
n
yn
b,
且 a b, 则存在 N , 当 n N时，有 xn yn .
26
• Thm 3.6 若对任意正整数 n, 有xn yn ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b,
则 a b.
• Remark
（1）因为数列的前有限项不影响数列的 极限，故上不等式的条件可减弱为：
“若 N 0,
当 n N 时，xn yn ”；
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1 x) x
解 lim ( x 1 x) x
32
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
当n无限增大时,xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 xn 1小到什么要求.
n
yn
b,
且 a b, 则存在 N , 当 n N时，有 xn yn .
26
• Thm 3.6 若对任意正整数 n, 有xn yn ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b,
则 a b.
• Remark
（1）因为数列的前有限项不影响数列的 极限，故上不等式的条件可减弱为：
“若 N 0,
当 n N 时，xn yn ”；
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1 x) x
解 lim ( x 1 x) x
32
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
数学分析第十七章课件隐函数存在性定理
Fx , Fy P0 0,0
定理17.1：设 F(x, y) 满足下列条件： （1） Fx , Fy 在 D：| x x0 | a ，| y y0 | b上连续 （2） F (x0, y0 ) 0 （3） Fy (x0 , y0 ) 0
则 （1）存在 0 使得在 p0 点的某一邻域内，方程 F(x, y) 0 唯一地确定一个定义在区间(x0 , x0 ) 内的隐函数 y f (x) ，定义在 (x0 , x0 )内满足 F(x, f (x)) 0 ,且 y0 f (x0 )
又 F (x0, y0 ) 0 ，所以
F ( x0 , F ( x0 ,
y0 y0
b) b)
0,固定y 0,固定y
y0 y0
b关于x连续F(x, b关于x连续F(x,
y0 y0
b) b)
0, x 0, x
(x0 (x0
1, 2,
x0 x0
1) 2)
取 min(1,2 )
(x1, x2, , xn ) O(Q0 ) 时
F (x1, x2 , , xn , f (x1, x2, , xn )) 0 ；
且
y(0)
f
( x1(0)
,
x (0) 2
,
,
x (0) n
)
；
（2） y f (x1, x2 , , xn )在 O(Q0 )内连续；
（3） y f (x1, x2 , , xn )在 O(Q0 )内有连续的偏导数，且
(iii)
Fy
ห้องสมุดไป่ตู้
(x1(0)
,
x (0) 2
,
,
x (0) n
,
y(0)
)
0.
定理17.1：设 F(x, y) 满足下列条件： （1） Fx , Fy 在 D：| x x0 | a ，| y y0 | b上连续 （2） F (x0, y0 ) 0 （3） Fy (x0 , y0 ) 0
则 （1）存在 0 使得在 p0 点的某一邻域内，方程 F(x, y) 0 唯一地确定一个定义在区间(x0 , x0 ) 内的隐函数 y f (x) ，定义在 (x0 , x0 )内满足 F(x, f (x)) 0 ,且 y0 f (x0 )
又 F (x0, y0 ) 0 ，所以
F ( x0 , F ( x0 ,
y0 y0
b) b)
0,固定y 0,固定y
y0 y0
b关于x连续F(x, b关于x连续F(x,
y0 y0
b) b)
0, x 0, x
(x0 (x0
1, 2,
x0 x0
1) 2)
取 min(1,2 )
(x1, x2, , xn ) O(Q0 ) 时
F (x1, x2 , , xn , f (x1, x2, , xn )) 0 ；
且
y(0)
f
( x1(0)
,
x (0) 2
,
,
x (0) n
)
；
（2） y f (x1, x2 , , xn )在 O(Q0 )内连续；
（3） y f (x1, x2 , , xn )在 O(Q0 )内有连续的偏导数，且
(iii)
Fy
ห้องสมุดไป่ตู้
(x1(0)
,
x (0) 2
,
,
x (0) n
,
y(0)
)
0.
1-3数学分析全套课件
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六、初等函数
定义1 以下六类函数称为基本初等函数 (1) 常量函数 y c (c为常数);
(2) 幂函数 y x ( 为实数);
(3) 指数函数 y a x (a 0,a 1); (4) 对数函数 y loga x (a 0, a 1); (5) 三角函数 y sin x, y cos x,
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上次课内容
函数的定义
函数的表示
函数的四则运算 复合函数 反函数
y sin x 在[ , ]上 y arcsinx
22
例1 画出下列函数图像
(1) y sinarcsin x (2) y arcsinsin x
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例2 y cos x 例3 y tan x
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二、函数表示法
解析法
列表法
图象法
解析法 一般约定其定义域为使该解析式有意义的 自变量的全体(即存在域).
例 求 y ln(sin ) 的定义域
x
例1 符号函数ຫໍສະໝຸດ 1, x0sgnx
0,
x0
1 , x 0
例2 狄利克雷函数
D(
x)
1 0
, ,
x x
Q Q
y
1o
O
x
o 1
y
1
例4 函数 f (u) u, u 0, 与函数 g( x)
1 x2, x R 的复合函数为 y f ( g( x)) 1 x2 , 其中Df g [1, 1].
例5
设
f
(
x
)
1, 1
| x | 1 ; g( x) e x . | x | 1
求( f o g)(x).
数学分析ppt课件
有限覆盖定理
总结词
有限覆盖定理是实数完备性定理中的另一个 重要结论，它涉及到实数集的覆盖问题。
详细描述
有限覆盖定理说明，任意一个开覆盖${(a_n, b_n)}$的实数集都可以被有限个开区间覆盖 。换句话说，对于任意一个实数集$S$，都 存在有限的开区间${(a_1, b_1), (a_2, b_2), ldots, (a_n, b_n)}$，使得$S subseteq cup_{i=1}^{n} (a_i, b_i)$。这个定理在证 明紧空间的性质和实数完备性中起到了关键 作用。
3
实数系中的基本运算
实数系中可以进行加法、减法、乘法和 除法等基本运算，这些运算具有交换律 、结合律、分配律等性质。此外，实数 系中还可以定义绝对值、最大值、最小 值等概念。
极限理论
01
极限的定义
极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了当自变量趋向某一值时，
函数值的变化趋势。极限的定义包括数列极限和函数极限两种形式。
详细描述
介绍向量值函数和空间曲线的定义，通过实例说明向量值函 数和空间曲线的性质，并解释其在数学分析中的重要性和应 用。
06
实数完备性定理
区间套定理
总结词
区间套定理是实数完备性定理中的一个 重要组成部分，它描述了闭区间套的性 质。
VS
详细描述
区间套定理指出，如果存在一个闭区间套 ，即一列闭区间${[a_n, b_n]}$，满足 $a_n < b_n$且$a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n$（对任意$n$），则该区 间套中至少存在一个实数。这个定理在数 学分析中有着广泛的应用，例如在证明连 续函数的性质和极限理论中。
第一章 实数集与函数
证明 用反证法 .假若结论不成立 , 则根据实数的有序性
有 a > b.令 e a b , 则 e为正数且 a b e , 这与假设 a b e矛盾 .从而必有 a b.
二. 绝对值与不等式
绝对值定义：
|
a
|
a a
, ,
a0 a0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
有严格不等式 (1 x)n > 1 nx. 证 由 1 x > 0且
1 x 0, (1 x)n n 1 (1 x)n 11L1 >
> n n (1 x) n n (1 x).
(1 x)n > 1 nx.
⑷ 利用二项展开式得到的不等式:
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
例1 设x, y为实数，证明: 存在有理数r满足 : x r y.
证明
由于 x
y, 故存在非负整数n，使得 x n
yn.令r
1 2
(xn
yn )
则r为有理数，且有x xn r yn y,即得x r y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a b e ,则a b.
数，再在无限小数前加负号．如: -8=-7.999
2.两个实数的大小关系
1)定义1
给定两个非负实数
x a0 .a1a2 L an L, y b0 .b1b2 Lbn L, 其中 a0 , b0为非负整数 ， ak , bk (k 1,2,L)为整数 ，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L, 则称x与y相等，记为x y；
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常常应用闭区间套定理将这个数“套”。怎样
应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质 P*的闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，
通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少 有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等
分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯 一一个具有性质P的数。
数学分析课件
数学分析课程组
黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
§ 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
根据有限覆盖定理（4.1 定理 3），存在有限个开区间，设有 n 个开区间
即 M 0,x a,b | f x | M 。
证法：由已知条件得到函数 f (x) 在[a,b]的每一点的某个
邻域有界.要将函数 f (x) 在每一点的邻域有界扩充到在闭区
间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到 M >0.
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黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
例如：若
I=（0，1），
S
n
1 ,1 1
n
N
，事实上，
x 0,1, m N,使 1 x,有x 1 ,1 S,
m 1
m1
例：
I
(0,1),
S
n
1
1
,
1 n
n
N ,
则
S
没有覆盖区间
I.
事实上， n N, n 1, 1 数(学0分,1)析,课S 件中没有开数区学分间析课包程含组 着 1 .
应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质 P*的闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，
通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少 有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等
分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯 一一个具有性质P的数。
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黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
§ 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
根据有限覆盖定理（4.1 定理 3），存在有限个开区间，设有 n 个开区间
即 M 0,x a,b | f x | M 。
证法：由已知条件得到函数 f (x) 在[a,b]的每一点的某个
邻域有界.要将函数 f (x) 在每一点的邻域有界扩充到在闭区
间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到 M >0.
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黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
例如：若
I=（0，1），
S
n
1 ,1 1
n
N
，事实上，
x 0,1, m N,使 1 x,有x 1 ,1 S,
m 1
m1
例：
I
(0,1),
S
n
1
1
,
1 n
n
N ,
则
S
没有覆盖区间
I.
事实上， n N, n 1, 1 数(学0分,1)析,课S 件中没有开数区学分间析课包程含组 着 1 .
(完整版)数学分析全套课件(华东师大)
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
§3 函数概念
1.函数概念
❖定义
设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为
yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 Lan L, y b0 .b1b2 Lbn L,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L)为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L,则称x与y相等，记为x y；
称有理数xn a0.a1a2 Lan为实数x的n 位不足近似，
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定理13.8 1o 点a是E的凝聚点当且仅当以a为球心的 任何球中都有E中的无限多个点.
2o 点a是E的凝聚点当且仅当可从E中选出互不相同的点
组成的点列
{xi}, s.t. lim xi a. i
定义13.6 点集E Rn的凝聚点的全体称为E的导集， 记作E'， 记E=E E ', 称E为E的闭包.
xi i (t),i 1, 2, , n
其中i在区间[a, b]上的连续函数，并且 p=(1(a),2(a), ,n (a)), q=(1(b),2(b),
,n (b)).
定理13.17 道路连通集一定是连通集.
推理： 道路连通的开集是区域.
例 1 在Rn中的开球是区域.
证明 已知球Br(a)是开集，只需证明它是连通的即可. 任取p, q Br (a)，联结两点的直线方程为
推论：E是闭集 E中任何收敛点列的极限必在E中。 证明： 设E中收敛点列{xi}极限为a，若点列只有有限多点
则i充分大有a=xi E;若无限多点则a E ' E.
任取a E',从E中可选出点列{xi}使xi a所以E ' E.
定理13.10 E的导集E'与闭包E都是闭集. 证明: 任取a (E ')c,则a不是E的凝聚点，所以存在球Br(a)
由例3 知,Br(c)中每一点都是其内点，因此也是E内点。 所以Br (c) Eo,即c为Eo内点，
由c的任意性知定理13.6 在Rn中
1 Rn , 是空集
2o 设{E }是Rn中得开子集族，(属于指标集I)
那么
I
E
也是开集(任意多各开集得并还是开集）
3o 设E1, E2 , , Em是有限个开集，那么交集
13.3 Rn中的开集和闭集
定义13.3 设E Rn ,如果点a E，并且存在r 0使得， Br (a) E，那么称a为E的一个内点。 点集E的全体内点的集合记作 Eo , 称为E的内部， 如果Eo E, 那么称E为Rn ,中的开集。
P
注：空集是开集，Rn也是开集。
E
例1、 R2中的上半平面{(x, y) : y 0}是R2中的开集.
证明： 设a Rn , 考察E Rn \{a}.
任取x E,令r x a 0.做球Br (x).对任意y Br (x) 由 x y r x a ,知y a,所以y E,即Br (x) E.
例3、 设r>0,球Br (a)是开集.
证明： 任取c Br (a),令d r a c 0,做球Bd (c), 只须证明Bd (c) Br (a)即可。
(t) (1 t) p tq, 0 t 1
由 p a r, q a r,于是
(t) a (1 t) p tq (1 t)a ta (1 t)( p a) t(q a) (1 t)r tr r,
即上的点都在球内，所以Br(a)道路连通，因此连通，所以是区域.
例 9 设E是R2中一条直线上的点的全体, 那么 Eo , (Ec )o Ec , E E.
例 10 令E＝Br(a),r>0,是Rn中的球，这时Eo＝E， (Ec)o {x Rn : x a r}, E {x Rn : x a r}
总之，对一切集E Rn,Eo,(Ec )o与E互不相交 并且, Eo (Ec )o E=Rn .
且Br (a)中点都不是凝聚点，即Br(a) (E ')c,(E ')c是开集，所以
再证E: 设E中点列{xi} a,不妨设其有无穷多个不同的点， 若其一子列全属于E，则a E ' E;若其一子列全属于E '， P 由E'是闭集，则a E ' E;由推理知E是闭集.
定理13.11 Eo是含于E中的最大开集,E是包含E的最小闭集. E
m
Fi也是闭集(有限个闭集的并是闭集）
i＝1
空心球: Br (a) \{a}＝{x Rn : 0 x a r},记做Br(a)
定义13.5 设E Rn,若a Rn有这样的性质：对任何r>0, 在空心球Br (a)中总有E中的点,那么称 a 为E 的凝聚点.
注：凝聚点可属于E也可不属，E中不是凝聚点的点称为孤立点.
实数完备性的推广—Rn的完备性
1o 柯西收敛准则． ２ｏ 列紧性定理（凝聚点定理）. 3o 闭集套定理.
4o 有限覆盖定理
不能推广的概念与定理
Rn中没有大小顺序，因此单调性，单调有界定理，上下界， 上下确界，上下极限等不能推广
证明：从中任取一点a＝(x,y),y>0.做球 By(a)， 任取一点(x ',y ') By (a), (x '-x)2 ( y ' y)2 y2, 2 yy ' (x ' x)2 ( y ')2 0.由y 0知y ' 0，得证.
例2 将Rn挖去一点后得到得集是开集。
定义13.10 设E Rn ,若能从E的开覆盖中选出有限个开集， 它们仍能组成E的开覆盖，那么称E为一紧致集.
定理13.4 E Rn为紧致集 E是有界闭集.
13.5 集合的连通性
A , B ,并且A B=,便可导致如下两式
A B ' ,和 A ' B
至少有一个成立，则称E是一个连通集，或说E是连通的. 定义13.12 z在Rn中，连通的开集称为区域；区域的闭包称为闭区域.
定理13.13 Rn中的集合E为列紧集 E是有界闭集.
证明： 无界，不是闭集. 有界，有收敛子列;闭集，极限属于E.
定义13.9 设E Rn， {G }是Rn中的一个开集族.如果 E G ,我们称覆盖了E，或者是E的一个开覆盖
注：＝{G}覆盖了E，即对a E必有一个G , s.t.a G
m
Ei也是开集(有限个开集的交也是开集）
i 1
设E
Rn ,记Ec
n
R
\
E, 称Ec为E的补集。
定义13.4 设F Rn,如果Fc是开集，则称F是闭集。
例4 由例1知,R2横轴和下半平面上的点组成的集合是闭集。
例 5 由例2及定理13.6知，除去Rn中有限多个点所组成 的集合是开集，因此Rn有限个点组成的集合是闭集
定理13.9 E是闭集的充分必要条件是E' E.
证明: E闭集则Ec开集，任取a Ec，则存在球Br (a) Ec , 所以Br (a)一定没有E中点，a不是凝聚点，即E' E.
设E' E,取a Ec,则a必不是凝聚点，因此必有r>0，s.t. Br (a)中不含有E中的点,即Br (a) Ec，说明Ec开集，E闭集 .
定理13.15 开集E Rn为连通开集 E不能分解为两个 不相交的非空开集之并。
定理13.16 在R上集合E连通的充分必要条件是E为区间.
定义13.13 设E Rn,如果对于任意的两点p,qE,都有一条
“连续曲线”l E将p，q联结,则说点集E是道路连通的.
所谓Rn中的连续曲线l,是指l可表示为参数方程：
定理13.12(闭集套定理)设{Fi}，Fi ,i=1,2,3 是一闭集列，
并且Leabharlann 1F2F3
,
若
lim
i
diam(Fi
)
0,
则
i1
Fi只含有唯一的一点.
其中 diam(E)=sup{ x-y :x,yE},称为集合E的直径.
13.4 列紧集和紧致集
定义 13.8 设E Rn ,如果E中任一点列都有一子列收敛于 E中的一点，则称 E 是 Rn 中的一个列紧集.
定义13.7 点集E Rn,(Ec )o中的点称为E的外点，E的外点的 全体称为E的外部；即不是E的内点也不是外点的点称为 E的边界点，E的边界点的全体称为E的边界记为E.
例 7 如果E＝Rn，那么Eo＝E， (Ec )o E .
例 8 设E＝{a}是独点集，这时Eo ,(Ec )o Ec,E E.
例6 Rn中开球的补集是闭集.
de Morgan 律
E
c
Ec
定理13.7 在Rn中
E
c
Ec
1o Rn ,是闭集.
2o 设F 是Rn中的闭子集族, 那么交集 F是闭集(任意多个闭集的交是闭集)
I
3o 设F1, F2 , , Fm是有限个闭集，那么并集
任取x Bd (c), 那么 x c d,由三角不等式 xa xc ca d ca r
定理13.5 对于任何集E,其内部Eo，是开集.
证明： 如果Eo ,显然成立。
设E0 .任取c Eo,即c为E内点，故存在r 0, s.t.Br (c) E，