数学分析课件

例6 Rn中开球的补集是闭集.
de Morgan 律

E
c

Ec

定理13.7 在Rn中

E
c

Ec

1o Rn ,是闭集.
2o 设F 是Rn中的闭子集族, 那么交集 F是闭集(任意多个闭集的交是闭集)
I
3o 设F1, F2 , , Fm是有限个闭集，那么并集
13.3 Rn中的开集和闭集
定义13.3 设E Rn ,如果点a E，并且存在r 0使得， Br (a) E，那么称a为E的一个内点。 点集E的全体内点的集合记作 Eo , 称为E的内部， 如果Eo E, 那么称E为Rn ,中的开集。
P
注：空集是开集，Rn也是开集。
E
例1、 R2中的上半平面{(x, y) : y 0}是R2中的开集.
由例3 知,Br(c)中每一点都是其内点，因此也是E内点。 所以Br (c) Eo,即c为Eo内点，
由c的任意性知定理13.6 在Rn中
1 Rn , 是空集
2o 设{E }是Rn中得开子集族，(属于指标集I)
那么
I
E
也是开集(任意多各开集得并还是开集）
3o 设E1, E2 , , Em是有限个开集，那么交集
m
Fi也是闭集(有限个闭集的并是闭集）
i＝1
空心球: Br (a) \{a}＝{x Rn : 0 x a r},记做Br(a)
定义13.5 设E Rn,若a Rn有这样的性质：对任何r>0, 在空心球Br (a)中总有E中的点,那么称 a 为E 的凝聚点.
注：凝聚点可属于E也可不属，E中不是凝聚点的点称为孤立点.
证明： 设a Rn , 考察E Rn \{a}.
任取x E,令r x a 0.做球Br (x).对任意y Br (x) 由 x y r x a ,知y a,所以y E,即Br (x) E.
例3、 设r>0,球Br (a)是开集.
证明： 任取c Br (a),令d r a c 0,做球Bd (c), 只须证明Bd (c) Br (a)即可。
m
Ei也是开集(有限个开集的交也是开集）
i 1
设E

Rn ,记Ec

n
R
\
E, 称Ec为E的补集。
定义13.4 设F Rn,如果Fc是开集，则称F是闭集。
例4 由例1知,R2横轴和下半平面上的点组成的集合是闭集。
例 5 由例2及定理13.6知，除去Rn中有限多个点所组成 的集合是开集，因此Rn有限个点组成的集合是闭集
定理13.8 1o 点a是E的凝聚点当且仅当以a为球心的 任何球中都有E中的无限多个点.
2o 点a是E的凝聚点当且仅当可从E中选出互不相同的点
组成的点列
{xi}, s.t. lim xi a. i
定义13.6 点集E Rn的凝聚点的全体称为E的导集， 记作E'， 记E=E E ', 称E为E的闭包.
定理13.15 开集E Rn为连通开集 E不能分解为两个 不相交的非空开集之并。
定理13.16 在R上集合E连通的充分必要条件是E为区间.
定义13.13 设E Rn,如果对于任意的两点p,qE,都有一条
“连续曲线”l E将p，q联结,则说点集E是道路连通的.
所谓Rn中的连续曲线l,是指l可表示为参数方程：
且Br (a)中点都不是凝聚点，即Br(a) (E ')c,(E ')c是开集，所以
再证E: 设E中点列{xi} a,不妨设其有无穷多个不同的点， 若其一子列全属于E，则a E ' E;若其一子列全属于E '， P 由E'是闭集，则a E ' E;由推理知E是闭集.
定理13.11 Eo是含于E中的最大开集,E是包含E的最小闭集. E
(t) (1 t) p tq, 0 t 1
由 p a r, q a r,于是
(t) a (1 t) p tq (1 t)a ta (1 t)( p a) t(q a) (1 t)r tr r,
即上的点都在球内，所以Br(a)道路连通，因此连通，所以是区域.
定理13.12(闭集套定理)设{Fi}，Fi ,i=1,2,3 是一闭集列，

并且F 1

F2

F3
,wenku.baidu.com
若
lim
i
diam(Fi
)

0,
则
i1
Fi只含有唯一的一点.
其中 diam(E)=sup{ x-y :x,yE},称为集合E的直径.
13.4 列紧集和紧致集
定义 13.8 设E Rn ,如果E中任一点列都有一子列收敛于 E中的一点，则称 E 是 Rn 中的一个列紧集.
实数完备性的推广—Rn的完备性
1o 柯西收敛准则． ２ｏ 列紧性定理（凝聚点定理）. 3o 闭集套定理.
4o 有限覆盖定理
不能推广的概念与定理
Rn中没有大小顺序，因此单调性，单调有界定理，上下界， 上下确界，上下极限等不能推广
证明：从中任取一点a＝(x,y),y>0.做球 By(a)， 任取一点(x ',y ') By (a), (x '-x)2 ( y ' y)2 y2, 2 yy ' (x ' x)2 ( y ')2 0.由y 0知y ' 0，得证.
例2 将Rn挖去一点后得到得集是开集。
推论：E是闭集 E中任何收敛点列的极限必在E中。 证明： 设E中收敛点列{xi}极限为a，若点列只有有限多点
则i充分大有a=xi E;若无限多点则a E ' E.
任取a E',从E中可选出点列{xi}使xi a所以E ' E.
定理13.10 E的导集E'与闭包E都是闭集. 证明: 任取a (E ')c,则a不是E的凝聚点，所以存在球Br(a)
定义13.7 点集E Rn,(Ec )o中的点称为E的外点，E的外点的 全体称为E的外部；即不是E的内点也不是外点的点称为 E的边界点，E的边界点的全体称为E的边界记为E.
例 7 如果E＝Rn，那么Eo＝E， (Ec )o E .
例 8 设E＝{a}是独点集，这时Eo ,(Ec )o Ec,E E.
定理13.13 Rn中的集合E为列紧集 E是有界闭集.
证明： 无界，不是闭集. 有界，有收敛子列;闭集，极限属于E.
定义13.9 设E Rn， {G }是Rn中的一个开集族.如果 E G ,我们称覆盖了E，或者是E的一个开覆盖

注：＝{G}覆盖了E，即对a E必有一个G , s.t.a G
任取x Bd (c), 那么 x c d,由三角不等式 xa xc ca d ca r
定理13.5 对于任何集E,其内部Eo，是开集.
证明： 如果Eo ,显然成立。
设E0 .任取c Eo,即c为E内点，故存在r 0, s.t.Br (c) E，
xi i (t),i 1, 2, , n
其中i在区间[a, b]上的连续函数，并且 p=(1(a),2(a), ,n (a)), q=(1(b),2(b),
,n (b)).
定理13.17 道路连通集一定是连通集.
推理： 道路连通的开集是区域.
例 1 在Rn中的开球是区域.
证明 已知球Br(a)是开集，只需证明它是连通的即可. 任取p, q Br (a)，联结两点的直线方程为
例 9 设E是R2中一条直线上的点的全体, 那么 Eo , (Ec )o Ec , E E.
例 10 令E＝Br(a),r>0,是Rn中的球，这时Eo＝E， (Ec)o {x Rn : x a r}, E {x Rn : x a r}
总之，对一切集E Rn,Eo,(Ec )o与E互不相交 并且, Eo (Ec )o E=Rn .
定理13.9 E是闭集的充分必要条件是E' E.
证明: E闭集则Ec开集，任取a Ec，则存在球Br (a) Ec , 所以Br (a)一定没有E中点，a不是凝聚点，即E' E.
设E' E,取a Ec,则a必不是凝聚点，因此必有r>0，s.t. Br (a)中不含有E中的点,即Br (a) Ec，说明Ec开集，E闭集 .
定义13.10 设E Rn ,若能从E的开覆盖中选出有限个开集， 它们仍能组成E的开覆盖，那么称E为一紧致集.
定理13.4 E Rn为紧致集 E是有界闭集.
13.5 集合的连通性
A , B ,并且A B=,便可导致如下两式
A B ' ,和 A ' B
至少有一个成立，则称E是一个连通集，或说E是连通的. 定义13.12 z在Rn中，连通的开集称为区域；区域的闭包称为闭区域.