邓集贤概率论及数理统计(下册)习题解答第4版
概率论与数理统计第四版课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第七章 参数估计1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计）求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。
解：μ，σ2的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。
2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0，θ为未知参数。
（5）()p p m x p px X P x m xmx,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。
解：（1）X θcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令，得cX Xθ-=（2）,1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp令mp = X ，解得mXp=ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn nni ix x x c θx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni i θn n ni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini ix nθxθθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。
概率论与数理统计教程第四版课后答案
1i jk n
若事件 A1 , A2 ,, An 互不相容，则
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn 3
2.条件概率及乘法定理
条件概率
PA
|
B
PAB PB
,
PB
|
A
PAB PA
.
乘法定理 PAB PB PA| B PA PB | A
PA1 A2 An PA1 PA2 | A1PA3 | A1A2 PAn | A1A2 An1
N
P10 10
设事件A 表示指定的3本放在一起，
则A所包含的基本事件的数： M P33 P88
∴
P(A)
M N
P33 P88 P10
10
8!3! 1 0.067 10! 15
11
6. 为减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行 比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。
解
解 基本事件的总数：N 9 105
设事件A 表示电话号码是由完全不同的数字组成， 则A所包含的基本事件的数： M 9 P95
∴
P( A) M N
9 P95 9 105
189 1250
0.1512
10
5. 把10本书任意地放在书架上, 求其中指定的3本放在一起的概率。
解
基本事件的总数：
C
1 4
C
2 3
C
1 3
43
9 0.5625
16
13. 某工厂生产的100个产品中，有5个次品，从这批产品中任取一
半来检查，设A表示发现次品不多于1个，求A的概率。
解
P( A)
C
50 95
C
1 5
《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解
《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解A B 124题 15.8 图3 51.⼀打靶场备有5⽀某种型号的枪,其中3⽀已经校正,2⽀未经校正.某⼈使⽤已校正的枪击中⽬标的概率为1p ,使⽤未经校正的枪击中⽬标的概率为2p .他随机地取⼀⽀枪进⾏射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使⽤的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独⽴).2.某⼈共买了11只⽔果,其中有3只是⼆级品,8只是⼀级品.随机地将⽔果分给C B A 、、三⼈,各⼈分别得到4只、6只、1只.(1)求C 未拿到⼆级品的概率.(2)已知C 未拿到⼆级品,求B A ,均拿到⼆级品的概率. (3)求B A ,均拿到⼆级品⽽C 未拿到⼆级品的概率.3.⼀系统L 由两个只能传输字符0和1的独⽴⼯作的⼦系统1L 和2L 串联⽽成(如图15.3),每个⼦系统输⼊为0输出为0的概率为)10(<题15.3图4.甲⼄⼆⼈轮流掷⼀骰⼦,每轮掷⼀次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、⼄得胜的概率各为多少?5.将⼀颗骰⼦掷两次,考虑事件=A “第⼀次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和⾄少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独⽴.6.B A ，两⼈轮流射击,每次各⼈射击⼀枪,射击的次序为 A B A B A ,,,,,射击直⾄击中两枪为⽌.设各⼈击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独⽴.求击中的两枪是由同⼀⼈射击的概率.7.有3个独⽴⼯作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成⼀个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这⼀系统的运⾏⽅式是当且仅当3个元件中⾄少有2个正常⼯作时这⼀系统正常⼯作.求这⼀2/3][G 系统的可靠性.8. 在如图15.8图所⽰的桥式结构电路中，第i 个继电器触点闭合的概率为i p ，.54321，，，，i ＝各继电器⼯作相互独⽴.求：（1）以继电器触点1是否闭合为条件，求A到B 之间为通路的概率.（2）已知A 到B 为通路的条件下，继电器触点3是闭合的概率.9.进⾏⾮学历考试，规定考甲、⼄两门课程，每门课考第⼀次未通过都允许考第⼆次．考⽣仅在课程甲通过后才能考课程⼄，如两门课程都通过可获得⼀张资格证书．设某考⽣通过课程甲的各次考试的概率为p ，通过课程⼄的各次考试的概率为p ，设各次考试的结果相互独⽴．⼜设考⽣参加考试直⾄获得资格证书或者不准予再考为⽌．以X 表⽰考⽣总共需考试的次数．求X 的分布律以及数学期望)(X E ．10.(1)5只电池,其中有2只是次品,每次取⼀只测试,直到将2只次品都找到.设第2只次品在第)5,4,3,2(=X X 次找到,求X 的分布规律(注:在实际上第5次检测可⽆需进⾏).(2)5只电池,其中2只是次品,每次取⼀只,直到找出2只次品或3只正品为⽌.写出需要测试的次数的分布律.11．向某⼀⽬标发射炮弹设炮弹弹着点⽬标的距离为R (单位:10m ),R 服从瑞利分布,其概率密度为≤>=-.0,0,0,252)(25/2r r er r f r R 若弹着点离⽬标不超过5m 时,⽬标被摧毁. (1)求发射⼀枚炮弹能摧毁⽬标的概率.(2)为使⾄少有⼀枚炮弹能摧毁⽬标的概率不⼩于0.94,问最少需要独⽴发射多少枚炮弹.12．设⼀枚深⽔炸弹击沉⼀潜⽔艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61.并设击伤两次也会导致潜⽔艇下沉.求释放4枚深⽔炸弹能击沉潜⽔艇的概率.（提⽰：先求击不沉的概率.）13．⼀盒中装有4只⽩球，8只⿊球，从中取3只球，每次⼀只，作不放回抽样.14．设元件的寿命T (以⼩时计)服从指数分布,分布函数为?≤>-=-.0,0,0,1)(03.0t t e t F t(1)已知元件⾄少⼯作了30⼩时,求它能再⾄少⼯作20⼩时的概率.(2)由3个独⽴⼯作的此种元件组成⼀个2/3][G 系统(参见第7题),求这⼀系统的寿命20>X 的概率.15.(1)已知随机变量X 的概率密度为,,21)(+∞<<-∞=-x e x f xX 求X 的分布函数. (2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量≤->=,0,1,0,1X X Y 试求Y 的分布律和分布函数.16.(1)X 服从泊松分布,其分布律为,,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλ问当k 取何值时}{k X P =为最⼤. (2)X 服从⼆项分布,其分布律为.,2,1,0,)1(}{n k p p k n k X P kn k =-==- 问当k 取何值时}{k X P =为最⼤.17.. 若离散型随机变量X 具有分布律kp n n …n称X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.对于任意⾮负实数x ，记][x 为不超过x 的最⼤整数.记),1,0(~U U 证明1][+=nU X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.18.设),2,1(~-U X 求X Y =的概率密度. 19.设X 的概率密度∞<≤<≤<=.1,21,10,21,0,0)(2x xx x x f X求XY 1=的概率密度. 20. 设随机变量X 服从以均值为λ1的指数分布.验证随机变量][X Y =服从以参数为λ--e1的⼏何分布.这⼀事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.21.投掷⼀硬币直⾄正⾯出现为⽌,引⼊随机变量 =X 投掷总次数.=.,0,1若⾸次投掷得到反⾯若⾸次投掷得到正⾯，Y(1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. (2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P22.设随机变量),(~λπX 随机变量).2,max(X Y =试求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. 23. 设X ，Y 是相互独⽴的泊松随机变量，参数分别为,,21λλ求给定n Y X =+的条件下X 的条件分布.24. ⼀教授将两篇论⽂分别交给两个打字员打印.以X ，Y 分别表⽰第⼀篇第⼆篇论⽂的印刷错误.设),(~λπX ),(~µπY X ，Y 相互独⽴.（1）求X ，Y 的联合分布律；（2）求两篇论⽂总共⾄多1个错误的概率.25. ⼀等边三⾓形ROT (如图15.25)的边长为1,在三⾓形内随机地取点),(Y X Q (意指随机点),(Y X 在三⾓形ROT 内均匀分布).(1) 写出随机变量),(Y X 的概率密度.y(2) 求点Q 的底边OT 的距离的分布密度. 26. 设随机变量),(Y X 具有概率密度>>=+-.,0,0,0,),()1(其他y x xe y x f y x(1) 求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2) 求条件概率密度).|(),|(||x y f y x f X Y Y X27. 设有随机变量U 和V ，它们都仅取1，1-两个值．已知,2/1}1{==U P}.1|1{3/1}1|1{-=-=====U V P U V P(1)求U 和V 的联合分布密度.(2)求x 的⽅程02=++V Ux x ⾄少有⼀个实根的概率.(3)求x 的⽅程0)(2=+++++V U x V U x ⾄少有⼀个实根的概率.28. 某图书馆⼀天的读者⼈数)(~λπX ,任⼀读者借书的概率为p ,各读者借书与否相互独⽴.记⼀天读者借书的⼈数为Y ,求X 与Y 的联合分布律.29. 设随机变量X 和Y 相互独⽴,且都服从U (0,1),求两变量之⼀⾄少为另⼀变量之值两倍的概率. 30. ⼀家公司有⼀份保单招标，两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在20万元⾄22万元之间.若两份标书保险费相差2千或2千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互独⽴的，且都在20万⾄22万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率.31. 设),0(~),,0(~2221σσN Y N X 且Y X ,相互独⽴,求概率}20{2112σσσσ<-32. NBA 篮球赛中有这样的规律，两⽀实⼒相当的球队⽐赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为1.5，⽅差为6，并且假设四节的⽐分差是相互独⽴的.问（1）主队胜的概率有多⼤？（2）在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多⼤？（3）在第1节主队赢5分得情况下，主队得胜的概率有多⼤？33. 产品的某种性能指标的测量值X 是随机变量,设X 的概率密度为>=-其他．,0,0,)(221x xe x f x X测量误差Y~U (εε,-),X ,Y 相互独⽴,求Z=X+Y 的概率密度)(z f Z ,并验证du e Z P u-=>εεε202/221}{的质量.设)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X ，且X 和Y 相互独⽴，求产品中有害杂质份额Z 的概率密度. 35. 设随机变量),(Y X 的概率密度为<<=-.0,,0,),(其他y x e y x f y(1) 求),(Y X 的边缘概率密度. (2) 问Y X ,是否相互独⽴. (3) 求Y X ＋的概率密度).(z f Y X + (4) 求条件概率密度).|(|y x f Y X (5) 求条件概率}.5|3{<>Y X P (6) 求条件概率}.5|3{=>Y X P36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p ,借阅⼄种图书的概率为α,设每⼈借阅甲、⼄图书的⾏动相互独⽴，读者之间的⾏动也相互独⽴.(1)某天恰有n 个读者,求甲、⼄两种图书中⾄少借阅⼀种的⼈数的数学期望.37.某种鸟在某时间区间],0(0t 下蛋数为1~5只,下r 只蛋的概率与r 成正⽐.⼀个收集鸟蛋的⼈在0t 时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取⾛⼀只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝6个(每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独⽴).(1) 写出⼀个鸟窝中鸟蛋只数X 的分布率.(2) 对于指定的⼀只鸟窝,求拾蛋⼈在该鸟窝中拾到⼀只蛋的概率. (3) 求拾蛋⼈在6只鸟窝中拾到蛋的总数Y 的分布律及数学期望.(4) 求}4{},4{>(5) 当⼀个拾蛋⼈在这6只鸟窝中拾过蛋后,紧接着⼜有⼀个拾蛋⼈到这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝中多于3只蛋时,拾取⼀只蛋,求第⼆个拾蛋⼈拾得蛋数Z 的数学期望.38. 设袋中有r 只⽩球,r N -只⿊球.在袋中取球)(r n n ≤次,每次任取⼀只做不放回抽样,以Y 表⽰取到⽩球的个数,求)(Y E .39.抛⼀颗骰⼦直到所有点数全部出现为⽌,求所需投掷次数Y 的数学期望. 40.设随机变量Y X ,相互独⽴.且Y X ,分别服从以βα1,1为均值得指数分布.求).(2X Ye X E -+41.⼀酒吧间柜台前有6张凳⼦,服务员预测,若两个陌⽣⼈进来就坐的话,他们之间⾄少相隔两张凳⼦.(1) 若真有2个陌⽣⼈⼊内,他们随机地就坐,问服务员预⾔为真的概率是多少? (2) 设2个顾客是随机坐的,求顾客之间凳⼦数的数学期望.42.设随机变量10021,,,X X X 相互独⽴，且都服从),1,0(U ⼜设,10021X X X Y = 求概率}10{40-43.来⾃某个城市的长途电话呼叫的持续时间X (以分计)是⼀个随机变量,它的分布函数是<≥--=--.0,0,0,e 21e 211)(]3[3x x x F x x(其中]3[x 是不⼤于3x的最⼤整数). (1) 画出)(x F 的图形.(2) 说明X 是什么类型的随机变量.(3) 求}6{},4{},3{},4{>>==X P X P X P X P (提⽰)0()(}{--==a F a F a X P ).44.⼀汽车保险公司分析⼀组(250⼈)签约的客户中的赔付情况.据历史数据分析,在未来⼀周中⼀组客户中⾄少提出⼀项索赔的客户数X 占10%.写出X 的分布,并求12.0250?>X (即30>X )的概率.设各客户是否提出索赔相互独⽴.45.在区间)1,0(随机地取⼀点X .定义}.75.0,min{X Y = (1) 求随机变量Y 的值域.(2) 求Y 的分布函数,并画出它的图形.(3) 说明Y 不是连续型随机变量,Y 也不是离散型随机变量.46.设21,X X 是数学期望为θ的指数分布总体X 的容量为2的样本,设21X X Y =,试证明θπ=)4(YE ．47.设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σµ是⼀个样本.2,S X 分别为样本均值和样本⽅差,试证[]+- +=44222212)(σσµσn n S X E ． 48.设总体X 具有概率密度:≤>=-.0,0,0,1)(2x x xe x f x θθ其中0>θ为未知参数,n X X X ,,,21 是来⾃X 的样本,n x x x ,,,21 是相应的样本观察值.(1) 求θ的最⼤似然估计量. (2) 求θ的矩估计量.(3) 问求得的估计量是否是⽆偏估计量.49.设1,,,21n X X X 以及2,,,21n Y Y Y 为分别来⾃总体),(21σµN 与),(22σµN 的样本,且它们相互独⽴.221,,σµµ均未知,试求221,,σµµ的最⼤似然估计量.50.为了探究⼀批存贮着的产品的可靠性,在产品投⼊贮存时,即在时刻00=t 时,随机地选定n 只产品,然后在预先规定的时刻k t t t ,,,21 取出来进⾏检测(检测时确定已失效的去掉,将未失效的继续投⼊贮存),今得到以下的寿命试验数据.这种数据称为区间数据.设产品寿命T 服从指数分布,其概率密度为>=-,,0,0,)(其它t e t f t λλ0>λ未知．(1) 试基于上述数据写出λ的对数似然⽅程.(2) 设.,1n s n d <<我们可以⽤数值解法求得λ的最⼤似然估计值.在计算机上实现是容易的.特别,取检测时间是等间隔的,即取.,,2,1,1k i it t i ==验证,此时可得λ的最⼤似然估计为+--+=∑=ki i sk d i sn t 21)1(1ln 1?λ．51. 设某种电⼦器件的寿命（以⼩时计）T 服从指数分布，概率密度为：>=-其他，,0,0,e )(t t f t λλ其中0>λ未知．从这批器件中任取n 只在时刻0=t 时投⼊独⽴寿命试验，试验进⾏到预订时间0T 结束．此时有)0(n k k <<只器件失效，试求λ的最⼤似然估计．52.设系统由两个独⽴⼯作的成败型元件串联⽽成(成败型元件只有两种状态:正常⼯作或失效).元件1、元件2的可靠性分别为21,p p ,它们均未知.随机地取N 个系统投⼊试验,当系统中⾄少有⼀个元件失效时系统失效,现得到以下的试验数据:1n －仅元件1失效的系统数; 2n －仅元件2失效的系统数; 12n －元件1,元件2⾄少有⼀个失效的系统数;s －未失效的系统数.N s n n n=+++1221.这⾥12n 为隐蔽数据,也就是只知系统失效,但不知道是由元件1还是元件2单独失效引起的,还是由元件1,2均失效引起的,设隐蔽与系统失效(1)试写出21,p p 的似然函数.(2)设有系统寿命试验数据.11,1,3,5,201221=====s n n n N 试求21,p p 的最⼤似然估计. 53.(1)设总体X 具有分布律0>θ未知,今有样本1 1 1 3 2 1 3 2 2 1 2 2 3 1 1 2.试求θ得最⼤似然估计值和矩估计值.(2)设总体X 服从Γ分布,其概率密度为>=--.,0,0,)(1)(1其他x e x x f x βαααΓβ其形状参数0>a 为已知,尺度参数0>β未知.今有样本值n x x x ,,,21 ,求β的最⼤似然估计值. 54.(1)设),,(~ln 2σµN X Z =即X 服从对数正态分布,验证.21exp )(2?+=σµX E (2)设⾃(1)中总体X 中取⼀容量为n 的样本.,,,21n x x x 求)(X E 的最⼤似然估计,此处设2,σµ均为未知.(3)已知在⽂学家萧伯纳的《An Intelligent Women ’s Guide To Socialism 》⼀书中,⼀个句⼦的单词数近似地服从对数指数分布,设µ及2σ为未知.今⾃该书中随机地取20个句⼦.这些句⼦中的单词数分别为 52 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30,问这本书中,⼀个句⼦的单词数均值的最⼤似然估计值等于多少?55.考虑进⾏定数截尾寿命试验，假设将随机抽取的n 件产品在时间0=t 时同时投⼊试验.试验进⾏到m 件)(n m <产品失效时停⽌,m 件失效产品的失效时间分别为m t t t ≤≤≤≤ 210.m t 是第m 件产品失效的时间.设产品的寿命分布为韦布尔分布,其概率密度为>=?--其他0,)(1x e x x f x βηββηβ其中参数β已知.求参数η的最⼤似然估计.56.设某⼤城市郊区的⼀条林荫道两旁开设了许多⼩商店，这些商店的开设延续时间（以⽉计）是⼀个随机变量，现随机地抽取30家商店，将它们的延续时间按⾃⼩到⼤排序，选其中前8家商店，它们的延续时间分别是X1 2 3k pθθθ21-假设商店开设延续时间的长度是韦布尔随机变量. 其概率密度为>=?--其他0,)(1x e x x f x βηββηβ其中，.8.0=β（1）试⽤上题结果，写出η的最⼤似然估计.（2）按（1）的结果求商店开始延续时间⾄少为2年的概率的估计.57.设分别⾃总体),(21σµN 和),(22σµN 中抽取容量21,n n 的两独⽴样本.其样本⽅差分别为.,2221S S 试证,对于任意常数2221,)1(,bS aS Z b a b a +==+都是2σ的⽆偏估计,并确定常数b a ,使)(Z D 达到最⼩.58.设总体n X X X N X ,,,),,(~212σµ是来⾃X 的样本.已知样本⽅差∑=--=ni I X X n S 122)(11 是2σ的⽆偏估计.验证样本标准差S 不是标准差σ的⽆偏估计.59.设总体X 服从指数分布,其概率密度为>=-,,0,0,1)(/其他x e x f x θθ0>θ未知.从总体中抽取⼀容量为n 的样本.,,,21n X X X (1)证明.)2(~22n Xn χθ(2)求θ的置信⽔平为α-1的单侧置信下限.(3)某种元件的寿命(以⼩时计)服从上述指数分布,现从中抽得⼀容量为16-n 的样本,测得样本均值为 5010(⼩时),试求元件的平均寿命的置信⽔平为0.90的单侧置信下限.60. 设总体n X X X U X ,,,,),0(~21 θ是来⾃X 的样本.(1)验证),,,max(21n X X X Y =的分布函数为 ≥<≤<=.,1,0,/,0,0)(θθθy y y y y F nn Y(2)验证θ/Y U =的概率密度为≤≤=-. ,0,10,)(1其他u nu u f n U(3)给定正数,α10<,4.2,2.1,7.1,5.3,2.4=====x x x x x 求θ的置信⽔平为0.95的置信区间.61.设总体X 服从指数分布,概率密度为>=-.,0,0,1)(/其他x e x f x θθ.0>θ设n X X X ,,,21 是来⾃X 的样本.试取59题中当0θθ=时的统计量022θχXn =作为检验统计量,检验假设 .:,:0100θθθθ≠=H H 取⽔平为α(注意:θ=)(X E ).设某种电⼦元件的寿命(以⼩时计)服从均值为θ的指数分布,随机取12只元件,测得它们的寿命分别为 340 , 430 , 560 , 920 , 1380 , 1520 , 1660 , 1770 , 2100 , 2320 , 2件350 , 2650 .试取⽔平,05.0=α检验假设.1450:,1450:10≠=θθH H62．经过⼗⼀年的试验,达尔⽂于1876年得到15对⽟⽶样品的数据如下表,每对作物除授粉⽅式不同外,其它条件都是相同的.试⽤逐对⽐较法检验不同授粉⽅式对⽟⽶⾼度是否有显著的影响(05.0=α).问应增设什么条件才能⽤逐对⽐较法进⾏检验?63．⼀内科医⽣声称,如果病⼈每天傍晚聆听⼀种特殊的轻⾳乐会降低⾎压(舒张压,以Hg mm -记)．今选取了10个病⼈在试验之前和试验之后分别测量了⾎压,得到以下的数据：设)10,,2,1( =-=i Y X D i i i 为来⾃正态总体),(2D D N σµ的样本,2,D D σµ均已知．试检验是否可以认为医⽣的意见是对的(取05.0=α)．64．以下是各种颜⾊汽车的销售情况：试检验顾客对这些颜⾊是否有偏爱,即检验销售情况是否是均匀的(取)． 65．某种闪光灯,每盏灯含4个电池,随机地取150盏灯,经检测得到以下的数据：试取05.0=α检验⼀盏灯损坏的电池数),4(~θb X (θ未知)．66．下⾯分别给出了某城市在春季(9周)和秋季(10周)发⽣的案件数．试取03.0=α,⽤秩和检验法检验春季发⽣的案件数的均值是否较秋季的为多．67．临界闪烁频率(cff)是⼈眼对于闪烁光源能够分辨出它在闪烁的最⾼频率(以赫计)．超过cff 的频率,即使光源实际是在闪烁的,⽽⼈看起来是连续的(不闪烁的)．⼀项研究旨在判定cff 的均值是否与⼈眼的虹膜颜⾊有关,所得数据如下：临界闪烁频率(cff)分布,且⽅差相等,样本之间相互独⽴．68．下⾯列出了挪威⼈⾃1938~1947年间年⼈均脂肪消耗量,与患动脉粥样硬化症⽽死亡的死亡率之间相关的⼀组数据．设对于给定的Y x ,为正态变量,且⽅差与x ⽆关． (1) 求回归直线⽅程bx a y +=．(2) ⽔平05.0=α下检验假设0:,0:10≠=b H b H ．（3）求13|=x y．(4) 求13=x 处)(x µ置信⽔平为0.95的置信区间．(5) 求13=x 处Y 的新观察值0Y 的置信⽔平为0.95的预测区间．69. 下⾯给出1924~1992年奥林匹克运动会⼥⼦100⽶仰泳的最佳成绩（以秒计）（其中1940年及1944年未举⾏奥运会）：年份 1924 1928 1932 1936 1948 1952 1956 1960 成绩 83.2 82.2 79.4 78.9 74.4 74.3 72.9 69.3年份 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 成绩 83.2 82.2 79.4 78.9 74.4 74.3 72.9 69.3（1）画出散点图．（2）求成绩关于年份的线性回归⽅程．（3）检验回归效果是否显著（取05.0=α）．70．设在时间区间],0(t 内来到某商店的顾客数)(t N 是强度为λ的泊松过程．每个来到商店的顾客购买某些货物的概率是p ,不买货物就离去的概率是p -1,且各个顾客是否购买货物是相互独⽴的．令)(t Y 为],0(t 内购买货物的顾客数．试证}0),({≥t t Y 是强度为p λ的泊松过程．71．设随机过程,),Ωcos()(∞<<-∞+=t t a t X Θ其中a 是常数,随机变量)2,0(~πΘU ,随机变量Ω具有概率密度)(x f ,设)(x f 连续且为偶函数,Θ与Ω相互独⽴．试证)(t X 是平稳过程,且其谱密度为)()(2ωπωf a S X =．。
概率论与数理统计 习题答案全解
1.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P ,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p .)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--=2.某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只.(1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率.(3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P (2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A 取到1只至2只二级品,其它的为一级品.于是.5441027234103713|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P (3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P 3.一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图15.3),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.1L 2L b题15.3图解“系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P )}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P ).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为}{}{531 A A A P P =甲胜 +++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜+++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 5.将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P 因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P 以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故.36/7)(=AB P 今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P ===按定义B A ,相互独立.6.B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”.12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-.)1(122--=n p np 注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p .)2(1])1(1[1)1(2222p pP p p --=---=(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,110<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.)若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件“B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”.)1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np .)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---=因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp --=7.有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性.解以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和：321321321321A A A A A A A A A A A A G =因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=AB12题 15.8 图)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-=8.在如图15.8图所示的桥式结构电路中，第i 个继电器触点闭合的概率为i p ，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立.求：（1）以继电器触点1是否闭合为条件，求A 到B 之间为通路的概率.（2）已知A 到B 为通路的条件下，继电器触点3是闭合的概率.解以F 表示事件“A 到B 为通路”，以i C 表示事件“继电器触点i 闭合”，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立.（1）得.()|(()|()(1111））C P C F P C P C F P F P +=而)()|(545321C C C C C P C F P =)()()()()(54253254532C C C P C C C P C C P C C P C P --++=)()(5432543C C C C P C C C P ＋-543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝)()|(432541C C C C C P C F P ＝543243254p p p p p p p p p －＋＝故),1)(|()|()(1111p C F P p C F P F P -+=其中)|(1C F P 543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝，)|(1C F P 543243254p p p p p p p p p －＋＝.（2）令,1i i p q -=则)()()]([1)()()|()|(35241333F P C P C C C C P F P C P C F P F C P -=＝.)()1(354215241F P p q q q q q q q q +--＝)(F P 的表达式由（1）确定.9.进行非学历考试，规定考甲、乙两门课程，每门课考第一次未通过都允许考第二次．考生仅在课程甲通过后才能考课程乙，如两门课程都通过可获得一张资格证书．设某考生通过课程甲的各次考试的概率为1p ，通过课程乙的各次考试的概率为2p ，设各次考试的结果相互独立．又设考生参加考试直至获得资格证书或者不准予再考为止．以X 表示考生总共需考试的次数．求X 的分布律以及数学期望)(X E ．解按题意知考试总共至少需考２次而最多只考４次．以i A 表示事件“课程甲在考第i 次时通过”，以i B 表示事件“课程乙在考第i 次时通过”，2,1=i ．事件}2{=X 表示考试总共考２次，这一事件只在下列两种互不相容的情况下发生，一种是课程甲、乙都在第一次考试时通过．亦即11B A 发生（此时他得到证书）；另一种是课程甲在第一次、第二次考试均未通过，亦即21A A 发生（此时他不准再考）．故2111}2{A A B A X ==，同样211121211}3{B B A B A A B B A X ==，21212121}4{B B A A B B A A X ==.得X 的分布律为)(}2{2111A A B A P X P ==)()(2111A A P B A P +=)()()()(2111A P A P B P A P ++=)1)(1(2121p p p p --+=；)(}3{211121211B B A B A A B B A P X P ==)(12111B A A B A P =21121)1()1(p p p p p -+-=；)(}3{211121211B B A B A A B B A P X P ==)(12111B A A B A P =21121)1()1(p p p p p -+-=；)(}4{21212121B B A A B B A A P X P ==)(121B A A P =)1()1(211p p p --=．)1()1(4])1()1([3])1([2)(211211212121p p p p p p p p p p p X E --+-+-+-+=)]2(1)[2(211p p p -+-=．例如，若431=p ，212=p ，则有66.2)(=X E （次）．10.(1)5只电池,其中有2只是次品,每次取一只测试,直到将2只次品都找到.设第2只次品在第)5,4,3,2(=X X 次找到,求X 的分布规律(注:在实际上第5次检测可无需进行).(2)5只电池,其中2只是次品,每次取一只,直到找出2只次品或3只正品为止.写出需要测试的次数的分布律.解(1)X 可能取的值为2,3,4,5.P X P ==}2{{第1次、第2次都取到一只次品}.1014152=⨯=P X P ==}3{{(前两次取到一只次品) (第3次取到一只次品)}=P {第3次取到一只次品|前两次取到一只次品}P ⨯{前两次取到一只次品}.102)42534352(31=⨯+⨯⨯=P X P ==}4{{(前3次取到一只次品) (第4次取到一只次品)}=P {第4次取到一只次品|前3次取到一只次品}P ⨯{前3次取到一只次品}.103)324253324253324352(21=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=}4{}3{}2{1}5{=-=-=-==X P X P X P X P .10/4=得分布律为(2)以Y 表示所需测试的次数,则Y 的可能取值为2,3,4..10/1}2{}2{====X P Y P }3{=Y 表示“前3次取到都是正品”或“第二只次品在第3次取到”，故}3{}3{}3{=+==X P P Y P 次取到的都是正品前.103102314253=+⨯⨯1031011}3{}2{1}4{--==-=-==X P X P X P .Y 的分布律为11．向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为R (单位:10m ),R 服从瑞利分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,252)(25/2r r er r f r R 若弹着点离目标不超过5m 时,目标被摧毁.(1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94,问最少需要独立发射多少枚炮弹.解(1)所求概率为⎰⎰-∞-==≤525/52252)(}5{dre r dr rf R P r R .632.01|1525/2=-==--e e r(2)设发射n 枚炮弹,则这n 枚炮弹都不能摧毁目标的概率为n)632.01(-,故至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率为n )632.01(1--.按题意需求最小的n ,使得.94.0)632.01(1≥--n 即.81.2)368.0/(ln )06.0(ln ,06.0368.0=≥≤n n 故最少需要独立发射3枚炮弹.12．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61.并设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求击不沉的概率.）解“击沉”的逆事件为事件“击不沉”，击不沉潜水艇仅出现于下述两种不相容的情况：（1）4枚深水炸弹全击不中潜水艇（这一事件记为A ），（2）一枚击伤潜水艇而另三枚击不中潜水艇（这一事件记为B ）.各枚炸弹袭击效果被认为是相互独立的.故有,61)(4⎪⎭⎫⎝⎛=A P ,612114)(3⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P （因击伤潜水艇的炸弹可以是4枚中的任一枚），又A ，B 是互不相容的，于是，击不沉潜艇的概率为.613)()()(4=+=B P A p B A P 因此，击沉潜艇的概率为.97989.06131)(14=-=-=B A P p 13．一盒中装有4只白球，8只黑球，从中取3只球，每次一只，作不放回抽样.（1）求第1次和第3次都取到白球的概率.（提示：考虑第2次的抽取.）（2）求在第1次取到白球的条件下，前3次都取到白球的概率.解以,1A ,2A 3A 分别表示1，2，3次取到白球.（1）)()()]([)(321321223131A A A P A A A P A A A A p A A P +== )()|()|()()|()|(112213112213A P A A P A A A P A P A A P A A A P +=.111124118103124113101=⨯⨯+⨯⨯=（2）124102113124)()()|(13211321⨯⨯==A P A A A P A A A A P .5531106==14．设元件的寿命T (以小时计)服从指数分布,分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(03.0t t e t F t (1)已知元件至少工作了30小时,求它能再至少工作20小时的概率.(2)由3个独立工作的此种元件组成一个2/3][G 系统(参见第7题),求这一系统的寿命20>X 的概率.解(1)由指数分布的无记忆性(参见教材)1(第56页)知所求概率为}20{}30|50{>=>>=T P T T P p .5488.0)20(16.0==-=-e F (2)由第7题知2/3][G 系统的寿命20>X 的概率为.5730.0)23()1(3}20{232=-=+-=>p p p p p X P 15.(1)已知随机变量X 的概率密度为,,21)(+∞<<-∞=-x e x f xX 求X 的分布函数.(2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量⎩⎨⎧≤->=,0,1,0,1X X Y 试求Y 的分布律和分布函数.解(1)由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<≤<<∞-=-.0,21,0,21)(x e x e x f x xX 当0<x 时,分布函数,212121)()(|x x x xx x X X e e dx e dx x f x F ====∞-∞-∞-⎰⎰当0≥x 时,分布函数.2112121212121)()(00x x xx x x X X e e dx e dx e dx x f x F ---∞-∞--=-+=+==⎰⎰⎰故所求分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-.0,211,021)(x e x e x F x xX (2),21)0(}0{}1{==≤=-=X F X P Y P .21211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P 分布律为分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=.1,1,11,21,10)(y y y y F Y 16.(1)X 服从泊松分布,其分布律为,,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλ问当k 取何值时}{k X P =为最大.(2)X 服从二项分布,其分布律为.,2,1,0,)1(}{n k p p k n k X P kn k =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-问当k 取何值时}{k X P =为最大.解(1)由λλλλ----⨯=-==ek k e k X P k X P k k 1)!1(!}1{}{⎪⎩⎪⎨⎧><===<>=,,1,,2,1,,1,,1λλλλk k k k k 当当当 知道,当λ<k 时,}{k X P =随k 增大而递增;当λ>k 时,}{k X P =随k 增大而递减.从而,若λ为正整数,则当λ=k 时,}1{}{-===λλX P X P 为概率的最大值,即当1-==λλk k 或时概率都取到最大值.若λ不是正整数,令的整数部分），是即λλ00]([k k =则,100+<<k k λ此时有},1{}{},{}1{0000+=>==<-=k X P k X P k X P k X P 因此不难推得]}[{}{0λ===X P k X P 为概率的最大值.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧+><=+==+<>--++=---=-==,)1(,1,,2,1,)1(,1,)1(,1)1()1(1)1()1(}1{}{p n k nk p n k p n k p k k p n p k p k n k X P k X P 当当当 知道,当p n k )1(+<时,}{0k X P =随k 增大而递增;,当p n k )1(+>时,}{0k X P =随k 增大而递减.从而,若p n )1(+为正整数,则当p n k )1(+=时,}1)1({})1({-+==+=p n X P p n X P 为概率的最大值,即当1)1()1(-+=+=p n k p n k 或时概率都取到最大值.若p n )1(+不是正整数,令])1[(0p n k +=,则1)1(00+<+<k p n k ,此时有},{}1{00k X P k X P =<-=},1{}{00+=>=k X P k X P 不难推得]})1[({}{0p n X P k X P +===为概率的最大值.17..称X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.对于任意非负实数x ，记][x 为不超过x 的最大整数.记),1,0(~U U 证明1][+=nU X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.证对于,,,2,1n i =}1]{[}1]{[)(-===+==i nU P i nU P i X P .1}1{}1{nn i U n i P i nU i P =<≤-=<≤-=证毕.18.设),2,1(~-U X 求X Y =的概率密度.解X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.,0,21,3/1)(其他x x f X 记X 的分布函数为).(x F X 先来求Y 的分布函数).(y F Y当0≤y 时,,0}{)(=≤=y Y P y F Y 当0>y 时,}{}{)(y X y P y X P y F Y ≤≤-=≤=).()(y F y F X X --=将)(y F Y 关于y 求导可得Y 的概率密度)(y f Y 如下:⎩⎨⎧>-+=.,0,0),()()(其他y y f y f y f X X Y 当10<<y 时,01<-<-y .因而,3/1)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/13/1)(+=y f Y 当21<<y 时,12-<-<-y .因而,0)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/1)(=y f Y 当2>y 时,,0)(,0)(=-=y f y f X X 因而.0)(=y f Y 故⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<=.,0,21,3/1,10,3/2)(其他y y y f Y 19.设X 的概率密度⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<≤<=.1,21,10,21,0,0)(2x xx x x f X 求XY 1=的概率密度.解因函数x x g y 1)(==严格单调减少,它的反函数.1)(yy h =当∞<<x 0时,∞<<y 0.由第二章)2(公式(2.1)得Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤∞<<'⋅=.0,0,0,)()]([y y y h y h f f X Y⎪⎩⎪⎨⎧≤∞<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.0,0,0,112y y yy f X 因而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<<≤=.1,1)/1(121,110,121,0,0)(222y y y y y y y f Y 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤≤<≤=.1,21,10,21,0,0)(2y y y y y f Y 本题X 和X1的概率密度相同.20.设随机变量X 服从以均值为λ1的指数分布.验证随机变量][X Y =服从以参数为λ--e1的几何分布.这一事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.解X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X λλ，X 的值域为）（∞,0，故][X Y =的值域为},2,1,0{ ，Y 是离散型随机变量.对于任意非负整数y ，有}1{}]{[}{+<≤====y X y P y X P y Y P )1(1d +--+--==⎰y y y yx e e x e λλλλ 2,1,0,))(1(==--y e e y λλ－.2,1,0,))1(1)(1( =--=--y e e y λλ－这就是说Y 服从以λ--e1为参数的几何分布.这表示一个连续型随机变量经过变换变成了离散型随机变量.21.投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量=X 投掷总次数.⎩⎨⎧=.,0,1若首次投掷得到反面若首次投掷得到正面，Y(1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律.(2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P 解(1)Y 的可能值是0,1,X 的可能值是.,3,2,1 }1{}1|1{}1,1{======X P X Y P Y X P .2/12/11=⨯=(因1=X 必定首次得正面,故).1}1|1{===X Y P 若1>k ,}{}|1{}1,{k X P k X Y P Y k X P ======.0)2/1(0=⨯=k (因,1>=k X 首次得正面是不可能的,故).,3,2,0}|1{ ====k k X Y P }1{}1|0{}0,1{======X P X Y P Y X P 0)2/1(0=⨯=(因1=X 必须首次得正面,故).0}1|0{===X Y P 当1>k }{}|0{}0,{k X P k X Y P Y k X P ======,3,2),2/1(1=⨯=k k (因,1>=k X 必定首次得反面,故).1}|0{===k X Y P 综上,得),(Y X 的分布律及边缘分布律如下:(2).12/12/1}1{}1,1{}1|1{========Y P Y X P Y X P.0}1{}2,1{}1|2{=======X P Y X P X Y P 22.设随机变量),(~λπX 随机变量).2,max(X Y =试求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律.解X 的分布律为.,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλX 的可能值是 ,2,1,0;Y 的可能值为.,4,3,2 }0{}0|2{}2,0{======X P X Y P Y X P .}0{1λ-==⋅=e X P }1{}1|2{}2,1{======X P X Y P Y X P .}1{1λλ-==⋅=e X P 2≥i 时}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,4,3,2,,0,,!},{0},{1=⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎩⎨⎧≠=⋅==⋅=-j i j i j i e i j i X P i j i X P i λλ即得Y X ,的联合分布律及边缘分布律为23.设X ，Y 是相互独立的泊松随机变量，参数分别为,,21λλ求给定n Y X =+的条件下X 的条件分布.解}|{n Y X k X P =+=}{},{n Y X P n Y X k X P =+=+==}{},{n Y X P k n Y k X P =+-===独立性}{}{}{n Y X P k n Y P k X P =+-==1)(2121!)()!(!2121-+----⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=n e k n e k e n kn k λλλλλλλλn k n k k k n n )(!)!(!2121λλλλ+-=-.)(2122112121kn kn kn k k n k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλλλλλ这就是说给定n Y X =+的条件下X 的条件分布为以)/(,211λλλ+n 为参数的二项分布.24.一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印.以X ，Y 分别表示第一篇第二篇论文的印刷错误.设),(~λπX ),(~μπY X ，Y 相互独立.（1）求X ，Y 的联合分布律；（2）求两篇论文总共至多1个错误的概率.解（1）X ，Y 的联合分布律为,!!!!},{)(y x e y e x e y Y x X P y x y x μλμλμλμλ+---=⋅===.,2,1,0, =y x (2)两篇论文总共至多1个错误的概率为})1{}0({}1{=+=+=≤+Y X Y X P Y X P }1,0{}0,1{}0,0{==+==+===Y X P Y X P Y X P ).1()()()()(μλμλμλμλμλμλ++=++=+-+-+-+-e e e e 25.一等边三角形ROT (如图15.25)的边长为1,在三角形内随机地取点),(Y X Q (意指随机点),(Y X 在三角形ROT 内均匀分布).(1)写出随机变量),(Y X 的概率密度.(2)求点Q 的底边OT 的距离的分布密度.解(1)因三角形ROT 的面积为4/3,故),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧--≤≤≤≤=.,0),130,303/4),(其他x y x y y x f （2）点),(Y X Q 到底边OT 的距离就是Y ,因而求Q 到OT 的距离的分布函数,就是求),(Y X 关于Y 的边缘分布函数,现在yo题15.25图,230,32134),()(3.13/<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰-y y dx y x f y f y y Y 从而⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.,0,230,32134)(其他y y y f Y Y 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.23,1,230,3434,0,0)(2y y y y y y F Y 26.设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,),()1(其他y x xe y x f y x (1)求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2)求条件概率密度).|(),|(||x y f y x f X Y Y X 解(1)当0>x 时,,)()(0)1(x y y xy x y x X e e e dy xe x f -∞==--∞+-===⎰当0>y 时,dx xe y y xe dx xey f y x x x y x y x Y ⎰⎰∞+-∞==+-∞+-+++-==0)1(0)1(0)1(111)(.)1(1)1(22)1(+=+-=∞==+-y y xe x x y x 故边缘概率密度分别是⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧>+=.,0,0,)1(1)(2其他y y y f Y (2)条件概率密度:当0>x 时,⎪⎩⎪⎨⎧>=-+-.,0,0,)|()1(|取其他值y y e xe x y f xy x X Y ⎩⎨⎧>=-.,0,0,取其他值y y xe xy 当0>y 时,⎪⎩⎪⎨⎧>+=+-.,0,0,)1/(1)|(2)1(|取其他值x x y xe y x f y x Y X ⎩⎨⎧>+=+-.,0,0,)1()1(2取其他值x x e y x y x 27.设有随机变量U 和V ，它们都仅取1，1-两个值．已知,2/1}1{==U P }.1|1{3/1}1|1{-=-=====U V P U V P (1)求U 和V 的联合分布密度.(2)求x 的方程02=++V Ux x 至少有一个实根的概率.(3)求x 的方程0)(2=+++++V U x V U x 至少有一个实根的概率.解(1).6/1)2/1)(3/1(}1{}1|1{}1,1{========U P U V P V U P }1{}1|1{}1,1{-=-=-==-=-=U P U V P V U P .6/1)2/1)(3/1(}]1{1[)3/1(===-⨯=U P }1{}1|1{}1,1{==-==-==U P U V P V U P .3/1)2/1)(3/2(}1{}]1|1{1[=====-=U P U V P }1{}1|1{}1,1{-=⋅-====-=U P U V P V U P .3/1)2/1()3/2(}1{}]1|1{1[=⨯=-=-=-=-=U P U V P V U ,的联合分布密度为UV-11-11/62/612/61/6xy题 15.30图(2)方程02=++V Ux x 当且仅当在042≥-=∆V U 时至少有一实根,因而所求的概率为.2/1}1{}04{}0{2=-==≥-=≥∆V P V U P P (3)方程0)(2=+++++V U x V U x 当且仅当在0)(4)(2≥+-+=∆V U V U 时至少有一实根,因而所求的概率为.6/5}1,1{}1,1{}1,1{}0{=-==+=-=+-=-==≥∆V U P V U P V U P P 28.某图书馆一天的读者人数)(~λπX ,任一读者借书的概率为p ,各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为Y ,求X 与Y 的联合分布律.解读者借书人数的可能值为}{}|{},{,,,2,1,0k X P k X i Y P i Y k X P X Y Y ======≤= =.,,2,1,2,1,!)1(k i k k e p p i k k i k i ==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλ29.设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从U (0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率.解按题意知,(X,Y )在区域:}10,10|),{(<<<<=y x y x G 服从均匀分布,其概率密度为其它10,10,0,1),(<<<<⎩⎨⎧=y x y x f 所求概率为}2{}2{Y X P X Y P p >+>==⎰⎰⎰⎰+12),(),(G G dxdyy x f dxdy y x f =G 1的面积+G 2的面积=1/2,G 1,G 2见图15.29.30.一家公司有一份保单招标，两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在20万元至22万元之间.若两份标书保险费相差2千或2千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互独立的，且都在20万至22万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率.解设以X ，Y 分别表示两家保险公司提出的保费.由假设X 和Y 的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,2220 ,21)(其他μμf 因X ，Y 相互独立，故),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==.,0,2220 ,2220 ,41)()(),(其他y x y f x f y x f Y Xoy题15.29图按题意需求概率为}.2.0{≤-Y X P 画出区域：},2.0|),{(≤-Y X y x 以及矩形},2220 ,2220|),{(<<<<y x y x 如图15.30，它们公共部分的面积G 为G ＝正方形面积－2×三角形面积＝4-1.8×1.8＝0.76.所求概率＝.19.02276.0=⨯31.设),0(~),,0(~2221σσN Y N X 且Y X ,相互独立,求概率}20{2112σσσσ<-<Y X P .解因Y X ,独立,其线性组合Y X 12σσ-仍为正态变量,而)()()(1212=-=-Y E X E Y X E σσσσ22212122122)()()(σσσσσσ=+=-Y D X D Y X D 故).2,0(~222112σσσσN Y X -因而}20{2112σσσσ<-<Y X P =}202200{222121222112σσσσσσσσ-≤--<Y X P =5.0)2()0()22(222121-=-ΦΦσσσσΦ=4207.05.09207.0=-32.NBA 篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为1.5，方差为6，并且假设四节的比分差是相互独立的.问（1）主队胜的概率有多大？（2）在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多大？（3）在第1节主队赢5分得情况下，主队得胜的概率有多大？解以)4,3,2,1(=i X i 记主队在第i 节的得分与客队在第i 节的得分之差，则有),6,5.1(~N X i ).64,5.14(~41⨯⨯∑=N Xi i记Z 为标准正态随机变量.（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯->⨯⨯=>∑∑==646645.14}0{4141－i i i i X P X P.7889.0}7224.1{=->=Z P （2）由独立性}5{}5|0{432141>+=-=>∑∑==X X P X X P i i i i }33{123562343>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->⨯-+=Z P X X P .8281.0}5577.0{=>=Z P （3）}05{}5|0{432141>+++==>∑=X X X P X XP i i}5{432->++=X X X P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->⨯-++=185.45635.4432X X X P .4987.0}239.2{}185.9{=->=->=Z P Z P 33.产品的某种性能指标的测量值X 是随机变量,设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他．,0,0,)(221x xe x f x X 测量误差Y~U (εε,-),X ,Y 相互独立,求Z=X+Y 的概率密度)(z f Z ,并验证due Z P u⎰-=>εεε202/221}{解(1)Y 的概率密度为其他．，εεε<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y f Y ,0,21)(故Z =X+Y 的概率密度为⎰+∞∞--=dxx z f x f z f Y X Z )()()(仅当⎩⎨⎧<-<->εεx z x 0即⎩⎨⎧+<<->εεz x z x 0时，上述积分的被积函数不等于零,参考图15.33,即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=⎰⎰+--+-其他，，，,0,21,21)(2212210εεεεεεεεz dx xe z dx xez f z z x z x Z题15.33图题 15.34 图=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<--+---+-其他，，，,0],[21],1[21221221221))()(εεεεεεεεz e e z ez z z (2)⎰∞=>εεdzz f Z P Z )(}{=][21221221)()(⎰⎰∞+-∞---εεεεεdz e dz e z z ε21记成[Ⅰ+Ⅱ]其中Ⅰ=⎰⎰∞-∞--=-0),221221du euz eu dz z εεε令Ⅱ=⎰⎰∞-∞+--=+-εεεε2)(221221dueuz dzez 令于是εε21}{=>Z P [Ⅰ+Ⅱ]=⎰-εε2022121dueu 34.在一化学过程中，产品中有份额X 为杂质，而在杂质中有份额Y 是有害的，而其余部分不影响产品的质量.设)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X ，且X 和Y 相互独立，求产品中有害杂质份额Z 的概率密度.解因,XY Z =)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X 且X 和Y 相互独立，于是Z 的概率密度为,d )()(1)(21-x xz f x f x z f Z ⎰+∞∞=)1(*其中，⎩⎨⎧<<=. 0,0.1,0 ,10)(1其他x x f ，⎩⎨⎧<<=.0,0.5,0 ,2)(2其他x x f 易知仅当⎩⎨⎧<<<<0.5,00.1,0z/x x 即⎩⎨⎧<<<<,200.1,0x z x 时，)1(*中的被积函数不等于零，参考题15.34图，即得⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅⋅=⎰.0, 0.05,0 ,d 1210)(1.02其他z x xz f z ⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0, 0.05,0 ,ln 201.02其他z x zy题 15.35 图1⎩⎨⎧<<-=.0, 0.05,0 ),20ln(20其他z z 35.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.0,,0,),(其他y x e y x f y (1)求),(Y X 的边缘概率密度.(2)问Y X ,是否相互独立.(3)求Y X ＋的概率密度).(z f Y X +(4)求条件概率密度).|(|y x f Y X (5)求条件概率}.5|3{<>Y X P (6)求条件概率}.5|3{=>Y X P 解（1）⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰∞.0, 0,,d )(其他x e y e x f -x x -y X ⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰.0, 0,,d )(0其他y ye x e y f -y y-y Y （2）Y X ,不是相互独立的.（3）⎰+∞∞-+-=.d ),()(y y y z f z f Y X 仅当,0y y z <-<即⎪⎩⎪⎨⎧<>>z y y zy 02时被积函数不为零.如图15.35图1，得⎪⎩⎪⎨⎧>-==⎰+.0, 0, ,d )(2/2/其他z e ey e z f -z -z zz -y Y X （4）对于,0>y ⎪⎩⎪⎨⎧<<==--. 0, ,0 ,1)|(|其他y x yye e y x f yyY X 即对于固定的)0(>y y X 的条件分布是区间),0(y 上的均匀分布.y 题 15.35 图2（5）如图15.35图2，条件概率为}5{}5,3{}5|3{<<>=<>Y P Y X P Y X P ,)d (d d 50⎰⎰⎰-=yy f xy e Y D y分子＝⎰⎰⎰=5355x 53d )(-e d d exx y x-y -y,e e 3)d e (-e 35535--+-=+⎰x -x -＝分母＝⎰⎰=5Y5d e (y)d y y y f -y x,1e 6d e e 5550+-=+-=⎰--y -yy y 故.82030.0}5|3{=<>Y X P （6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=. 0, ,50 ,51)5|(|其他x x f Y X .52d 51}5|3{53===>⎰x Y X P 36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p ,借阅乙种图书的概率为α,设每人借阅甲、乙图书的行动相互独立，读者之间的行动也相互独立.(1)某天恰有n 个读者,求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望.解(1)以X 表示某天读者中借阅甲种图书的人数，因各人借阅甲种图书的概率均为p ,且由题设各人是否借阅相互独立,故np X E p n b X =)(),,(~因此.(2)以A 表示事件“读者借阅甲种图书”,以B 表示事件“读者借阅乙种图书”,则就读者而言,有).()()()(AB P B P A P B A P -+= 借阅两种图书的行动相互独立,故ααp p B P A P B P A P B A P -+=-+=⋃)()()()()(.以Y 表示至少借阅一种图书的人数,由题设各人是否借阅相互独立,知),(~ααp p n b Y -+,故).()(ααp p n Y E -+=也可这样做.引入随机变量:⎩⎨⎧=.,0,,1种图书的任一种位读者不借阅甲、乙两若第两种图书的一种位读者至少借阅甲、乙若第i i Z i ni ,,2,1 =)()(][)(,111ααp p n Z E Z E Y E Z Y ni i n i i n i i -+====∑∑∑===.这里不需假设读者之间的行动相互独立.37.某种鸟在某时间区间],0(0t 下蛋数为1~5只,下r 只蛋的概率与r 成正比.一个收集鸟蛋的人在0t 时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取走一只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝6个(每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独立).(1)写出一个鸟窝中鸟蛋只数X 的分布率.(2)对于指定的一只鸟窝,求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率.(3)求拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数Y 的分布律及数学期望.(4)求}4{},4{><Y P Y P (5)当一个拾蛋人在这6只鸟窝中拾过蛋后,紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝中多于3只蛋时,拾取一只蛋,求第二个拾蛋人拾得蛋数Z 的数学期望.解(1)设该中鸟在],0(0t 内下蛋数为X 按题意,5,4,3,2,1,}{===r Cr r X P 其中C 为待定常数.因∑===51,1}{r r X P 即有,11551==∑=C Cr r 所以15/1=C ,因此X 的分布律为.5,4,3,2,1,151}{===r r r X P (2)因当且仅当窝中蛋数多于3时,某人从中取走一只蛋,故拾蛋人在该窝中拾取一只蛋的概率为53155154}5{}4{}3{=+==+==>X P X P X P (3)记拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数为Y ,则)53,6(~b Y ,故518)53(6)(=⨯=Y E (4)}6{}5{}4{1}4{=-=-=-=<Y P Y P Y P Y P =6524535253565253461⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0.456,(6)第2个拾蛋人仅当鸟窝中最初有5只蛋时,他才能从该窝中拾到一只蛋,故他在一个鸟窝中拾到一只蛋的为,31}5{===X P p 以Z 记第2个拾蛋人拾到蛋的总数,则),31,6(~b Z 故有2)31(6)(=⨯=Z E ．38.设袋中有r 只白球,r N -只黑球.在袋中取球)(r n n ≤次,每次任取一只做不放回抽样,以Y 表示取到白球的个数,求)(Y E .解引入随机变量i X :⎩⎨⎧=,,0,,1次取球得到不是白球若第次取到白球若第i i X i ,,,2,1n i =则n 次取球得到的白球数.21n X X X Y +++= 而的分布律为次取球得到白球第i i X Nri P X P ,}{}1{===.,,2,1n i =即知i X 的数学期望为NrX E i =)(.于是得Y 得数学期望为NnrN r n X E X E Y E ni i ni i =⨯===∑∑==11)()()(.本题也可按以下方式写出Y 的表达式,从而求得)(Y E ,将球编号,引入随机变量:i X ⎩⎨⎧=号白球未被取到若第号白球被取到若第i i X i ,0,,1ri ,,2,1 =则r X X X Y +++= 21.事件}1{=i X 发生,表示在袋中取球n 次,若每次任取一只不放回抽样时,第i 号白球被取到.因为事件}1{=i X 可以在第一次、第二次、…、第n 次取球,这n 种两两互不相容的情况发生,且每次取到第i 号白球的概率都是N1.因此r i NnN N N X P i ,,2,1,111}1{ ==+++==,这样N n X E i =)(,从而N nrX E Y E ri i ==∑=1)()(.39.抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止,求所需投掷次数Y 的数学期望.解引入随机变量.6,5,4,3,2,1,=i X i 如下:,11=X ,,2待次数等待第二不同点所需等是第一点得到后X 3X 是第一、第二两点得到后,等待第三个不同点所需等待次数,654,,X X X 的意义类似.则所需投掷的总次数为621X X X Y +++= .因第一点得到后,掷一次得第二个不同的点的概率为65,因此2X 的分布律为,,2,1,)61(65}{12 ===-k k X P k 即2X 服从参数65=p 的几何分布,又因得到两个不同的点后,掷一次得第三个不相同点的概率为64,故3X 服从参数64=p 的几何分布,其分布律为,2,1,)62(64}{13===-k k X P k 同样,654,,X X X 的分布律分别为.,2,1,63(63}{14 ===-k k X P k .,2,1,64(62}{15 ===-k k X P k .,2,1,65(61}{16 ===-k k X P k 因几何分布 ,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k 的数学期望为(参见第四章)2(习题选解19题)pX E 1)(=.所以∑∑==+==62161)()()()(i ii i X E X E X E Y E =7.141626364656[1=+++++．40.设随机变量Y X ,相互独立.且Y X ,分别服从以βα1,1为均值得指数分布.求).(2X Ye X E -+解)()()()(22X X e E Y E X E Ye X E --+=+dtee Y E X E X D ttαα-∞-⎰⋅⋅++=02)()]([)(⎰∞+-++=0)1(22111dte t ααβαα.)1(22++=αβαα41.一酒吧间柜台前有6张凳子,服务员预测,若两个陌生人进来就坐的话,他们之间至少相隔两张凳子.(1)若真有2个陌生人入内,他们随机地就坐,问服务员预言为真的概率是多少?(2)设2个顾客是随机坐的,求顾客之间凳子数的数学期望.解(1)将凳子按自左至右编号,设服务员预言为真.)(A 若第一顾客就坐于1号,则另一顾客可坐4或5或6号共三种坐法,)(B 若第一顾客就坐于2号,则另一顾客可坐在5或6号共两种坐法,)(C 若第一顾客就坐于6号,只有一种坐法.综合)(),(),(C B A 三种情况共计6种坐法.同样,若第一顾客分别就坐于6号,5号,4号,则另一顾客也有6种坐法,因此两人共有1226=⨯种坐法,若两人随机就坐共有3026=A 种坐法,故服务员预言为真的概率是523012==p ．(2)若两顾客是随机坐的,以Y 记两顾客间的凳子数,则Y 可能取的值为0,1,2,3,4.可知Y 的分布律为于是3415141523153215411550)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ．42.设随机变量10021,,,X X X 相互独立，且都服从),1,0(U 又设,10021X X X Y ⋅⋅⋅= 求概率}10{40-<Y P 的近似值.解所求概率为}.1.92ln {}10ln 40{ln }10ln 40{ln }10{1001100140-<=-<=-<=<=∑∏==-i i i i X P X P Y P Y P p 因n X X X ,,,21 相互独立且都服从),1,0(U 知n X X X ln ,,ln ,ln 21 也相互独立,且服从同一分布,又),1,0(~U X i 其概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，,010,1)(x x f 故有.112)(,2d ln )(ln ,1d ln )(ln 1221=-===-==⎰⎰i i i X D x x X E x x X E 由中心极限定理得}1.92ln {1001-<=∑=i i X P p ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-<-⨯-=∑=11001001.921100)1(100ln 1001i i X P .7852.0)97.0()1001001.92(=Φ=+-Φ≈43.来自某个城市的长途电话呼叫的持续时间X (以分计)是一个随机变量,它的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=--.0,0,0,e 21e 211)(]3[3x x x F x x(其中3[x是不大于3x的最大整数).(1)画出)(x F 的图形.(2)说明X 是什么类型的随机变量.(3)求}6{},4{},3{},4{>>==X P X P X P X P (提示)0()(}{--==a F a F a X P ).解(1)(2))(x F 的所有不连续点为),,2,1(3 =k k X 取这些值的概率的总和为∑∑∞=∞=--==11)]03()3([}3{k k k F k F k X P ∑∞=-----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1)133(33]33[33e 21e 211e 21e 211i k k k k ∑∑∞=∞=---=-=-=111.21e )1e (21)e e (21i k k kk 注意到,在)(x F 的任一连续点a 处有;0}{==a X P 又由于∑∞===121}3{k k X P ,因此,不可能取到可列多个值,,,21 x x 使得∑∞===1,1}{k kx X P 故X 不是离散型随机变量.又由于)(x F 不是连续函数,故X也不是连续型随机变量.(3).0}4{==X P )03()3(}3{--==F F X P ⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-----)11(111e 21e 211e 21e 211.316.0)e 1(211=-=-.684.00e 21e 211}4{)4(}4{134=---==-=<--X P F X P.0.0.0.0.1题15.43图.135.0e 21e 2111)6(1}4{222==⎪⎭⎫⎝⎛---=-=>---e F X P 44.一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况.据历史数据分析,在未来一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X 占10%.写出X 的分布,并求12.0250⨯>X (即30>X )的概率.设各客户是否提出索赔相互独立.解按题意知)10.0,250(~b X .现在需要求∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=>2503125090.010.0250}30{x x x x X P 即需求∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>30025090.010.02501}30{x xx x X P 由拉普拉斯定理得⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ-≈>90.010.025010.0250301}30{X P .1469.08531.01)054.1(1=-=Φ-=45.在区间)1,0(随机地取一点X .定义}.75.0,min{X Y =(1)求随机变量Y 的值域.(2)求Y 的分布函数,并画出它的图形.(3)说明Y 不是连续型随机变量,Y 也不是离散型随机变量.解(1)因},75.0,min{X Y =故X Y ≤且.75.0≤Y 又由于X 的值域是)1,0(,知Y 的值域为]75.0,0(.(2)由(1)知当0<y 时,0}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.0≥y 时,.1}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.00<≤y 时,事件}{y Y ≤表示X 是在],0(y 随机取的一点.故有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=75.0,175.00,0,0)(y y y y y F Y )(y F Y 的图形如题15.45图所示.(3)从题15.45图看出,)(y F Y 在点75.0=y 处不连续,故它不是连续型随机变量.)(y F Y 只有一个不连续点75.0=y .注意到在)(y F Y 的任一连续点a 处,有,0}{==a Y P 而在不连续点75.0=y 处,.01题15.45图。
概率论与数理统计(第四版)习题答案全
概率论与数理统计习（第四版）题解答第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。
设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A第二章 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P故 181.01529.00281.0)(=+≈A P 五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率． 解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.04341313131==-++=第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合 格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则312363123731238312393022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=第四章 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有 504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=． （另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．第五章 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------= 16308.0≈六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=第六章 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x +可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．解：（1）设211)(xx F +=，则1)(0<<x F 因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； （2）[]π,0； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是，⎪⎩>3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A ==即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ．(2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ae x f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Aex x，解得21=A ，即有 ).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰021102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx ．第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥t st s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y yY π．第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA = （2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 x xxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121xπ+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ)4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx xy dx y x dx y x f y f Y ππ )9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它00,0)1)(1(32y x e e y x（3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰30006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y （4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xR dy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x ． 第九章 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx e dy e dx dxdy y x f X Y P x xyxy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jj n Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布．证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===2211)()()()( ∑=-+=ki k n n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik nk m C C C +=-=∑, 有k n n ki in i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度． 解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是zy x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z zz z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ijλ先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min (321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ 故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ第十章 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX Xσ二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2Xp pp p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=- 进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx x x dx x x dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）第十一章 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00=⨯+⨯=EY 72.072.0128.002=⨯+⨯=EY2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ．弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRR d R4sin 4cos 42020===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 41)1(1)1(-=<-=≥eX P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---ee e EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni in i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0于是i X 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-=即停车次数的数学期望为748.8.第十二章 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰22022220223]11)1ln([1)1(211rr dr r rr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-10210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(010==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f yy因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==n p q D ξ 于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ． 查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．第十三章 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---=.0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z=2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=；222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=．(2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212222212221μσμσσσ++=．第十四章二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布中心极限定理一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==y σ，53),cov(),(===y x Y X Y X r σσ．从而 2516)53(1122=-=-r ，5412=-r ． 进一步按公式])())((2)([)1(21222222121),(yy y x y x x x y y x r x r y x ery x f σμσσμμσμσπσ-+-------=，可得),(Y X 的联合概率密度为)2550316((322522321),(y xy x e y x f +--=π．二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量32+-=Y X Z 的概率密度． 解：由题设，有0)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()(=+-=+-=E Y E X E Y X E Z E ． 8)3()()(4)32()(=++=+-=D Y D X D Y X D Z D ．且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z =，故随机变量32+-=Y X Z 的概率密度为16)2(82)2(2241821)(--⨯--==z z Z eez f ππ )(+∞<<-∞z ．。
概率论与数理统计教程第四版课后答案
2
j
j
i
j
i
j
6
连续型随机变量 ( X,Y),
DX = ∫
( x − EX )2 f X ( x )dx −∞
+∞
( x − EX )2 f ( x , y )dxdy , =∫ ∫ −∞ −∞
+∞ +∞
DY = ∫
( y − EY ) −∞
+∞
2
f Y ( y )dy
+∞ 2 −∞
=
∫ ∫ ( y − EY ) f ( x , y )dxdy .
D( X ) = E( X 2 ) − E 2 ( X ) = 0 .319
(X σX = D ) = 0 .565
13
3.3 对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 对一目标射击，直至击中为止。 p，求射击次数的数学期望和方差。 ，求射击次数的数学期望和方差。 解 设随机变量X表示射击次数， 服从几何分布。 设随机变量 表示射击次数， 则X 服从几何分布。 表示射击次数 P ( X = m ) = p(1 − p ) m −1 m = 1 , 2L ∞ ∞ 1 1 1 n−1 n−1 = p⋅ = p⋅ E(X) = = ∑npq = p∑nq 2 2 = (1−q) [1−(1− p)] p n=1 n=1 =1 ∞ ∞ 1+ q 2− p 2 n−1 2 n−1 2 n pq = p∑n q = p⋅ . E(X ) = ∑ 3 = 2 (1+q) p n=1 n=1
第三章 随机变量的数字特征小结
一、一维随机变量的数学期望
定义1 设X是一离散型随机变量，其分布列为： 定义 是一离散型随机变量，其分布列为： 是一离散型随机变量
概率论与数理统计第四版答案
概率论与数理统计第四版答案概率论与数理统计是一门非常重要的学科，它在各行各业中都有着广泛的应用。
而对于许多学生来说，最棘手的问题就是如何解答习题。
在这里，我将分享《概率论与数理统计》第四版的答案，帮助大家掌握这门学科。
首先，我要强调的是：在学习概率论与数理统计时，强调掌握概念和理论，并不是练习习题的替代品。
因此，在看答案之前，一定要仔细地阅读教材，并确保自己真正理解了相关的概念和原理，这样才能更好地掌握习题。
接下来，我将给出一些具体的例子，展示如何应用教材中所学的知识，解答部分练习题。
第一题：“若A、B、C三人轮流掷硬币，求A先掷到正面且B先掷到正面的概率。
”解答：这是一道典型的条件概率问题。
我们可以先求出A、B、C三人轮流掷到正面的概率，即P(A)P(B)P(C)+P(A)P(C)P(B)+P(B)P(A)P(C)，然后再分别求出A、B、C先掷到正面的概率，即P(A先掷正面)P(B先掷正面)P(C)+P(A先掷正面)P(C先掷正面)P(B)+P(B先掷正面)P(A先掷正面)P(C)。
将这两个概率相除即可得到答案。
第二题：“有N件产品，其中n件有缺陷。
从这N件产品中随机抽取M件，求恰有k件有缺陷的概率。
”解答：这是一道常见的二项分布问题。
我们知道，二项分布的概率质量函数为：P(X=k)=C(M,k)p^k(1-p)^(M-k)，其中C(M,k)表示在M个产品中选择k个的组合数，p为每个产品有缺陷的概率。
因此，我们可以将原问题转化为求出p和C(M,k)，然后代入公式即可。
第三题：“在直角三角形中，分别用最短边、中间边、最长边作为直径画出圆，求这三个圆的面积的和与这个三角形的面积之比。
”解答：这是一道比例问题。
我们可以计算出三个圆的面积，分别为πa^2/4、πb^2/4和πc^2/4，其中a、b、c分别为三角形的三条边。
由于这是直角三角形，因此a^2+b^2=c^2，所以a/b=b/c=(a+b+c)/c。
概率论与数理统计教程第四版课后答案第三章.ppt
E( X ) 0 3 1 9 2 9 3 1 0.3
4 44 220 220
E( X 2 ) 02 3 12 9 22 9 32 1 0.409
4
44
220
220
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ) 0.319 X D( X ) 0.565
1
t 2dt
0
0
2
A a3 2
t
1 2
e
t
dt
0
a3 A
2
(
3 2
)
a3 1 A
a3 A
1
22
4
4 A
a3
E( X ) 4
x e dx
x2 3 a2
x2 a2t
4
a3t
3 2
et
a
t
1
2 dt
a3 0
a3 0
2
2a tetdt 2a (2) 2a
0
20
E( X 2 ) 4
i
j
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：假定积分绝对收敛.
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
三、一维随机变量函数的数学期望
j
ij
6
连续型随机变量X ,Y ,
DX
x
EX
2
fX
xdx
x
EX
2
f
x,
y dxdy,
DY
概率论与数理统计教程第四版课后答案-文档资料
1 i j k n
,A 若事件 A 1,A 2, n 互不相容，则
P A A A P A P A P A 4 1 2 n 1 2 n
m m n m n
其中 pq1 。
6
第一章
一、几种概率
1、统计概率
2、古典概率
随机事件及其概率
M P( A) N
随机事件 A 所占的几何度量 （ A ） 3、几何概率 P 试验的总的几何度量 P (AB ) P (A| B ) 4、条件概率 P (B )
( m ) C p q 5、贝努利概率 P n n
3.事件运算的性质
(1). A A ,
A A , A A ;
B C AB AC , (2). A
(3). A B AB , AB A B .
i 1 n n
Ai Ai ,
i 1
i 1
Ai Ai .
i 1
n
n
3
(三) 概率的定义 概率的定义 事件 A 发生的可能性大小 概率的统计定义
第一章
一、基本内容
随机事件及其概率小结
(一)随机试验与样本空间 1.随机试验 具有下列特点的试验称为随机试验 ( 试验 ): （1）试验在相同的条件下可重复进行； 并且可能的结果不止一个； （2）试验前知道试验的所有可能结果， （3）试验前不知道那一个结果会出现。 2.样本空间与样本点
样本空间 随机试验的所有可能的结果所组成的集合， 记作Ω； 样本点 样本空间Ω中的每个元素， 即试验的每一可能的结果， 记作ω。
数理统计 下册 课后答案 (邓集贤)
2
又设
n 1 服从正态 N (a, 2 ) ，且与 1 , 2 , , n 相互独立，试求统计量
n 1
Sn n 1 n 1 的抽样分布.
解：
n 1 N (0,
n 1 2 ) n 1 N (0,1) n n 1 n 2 nS 又 2n 2 (n 1)
x x } 2 ( ) 1 2 2
1 x2
x 1 2 1 2 2 2 e f| | ( x) 2 ) ( 2 2 2 1
e
x2
4 2
由公式（6.2.16）有
f D ( y)
f (v y ) f (v)dv
1 2 N (0,
1 2 N (0,1)
, , , 4 为其样本，记 4.设总体 N (1, 2) ， 1 2
服从 (m) 分布，自由度 m 取何值？
2
k[ i 4]2
i 1
4
，试问 k 取何值时，使得
解：
1 v ya
2
1 e 2 2
1 e 2 2
1 v a
2
dv
1 2 2
1 u a
2
（2）由公式(6.2.12), (6.2.13),得
1 f 2 (u ) 2 f (u ) F (u ) 2 e 2 2 1 2 e 2 2 1 u a
p{ 8} p{
5
2 3
85
2 3
4.5}
概率论与数理统计第四版课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第七章 参数估计1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。
解：μ，σ2的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。
2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0，θ为未知参数。
（5）()p p m x p px X P x m xmx,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。
解：（1）X θcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令，得cX Xθ-=（2）,1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp令mp = X ， 解得mXp=ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn nni ix x x c θx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni i θn nni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini i x nθx θθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。
第二章4-5第四版 概率论与数理统计答案
∫
x
−∞
e
− u 2 /2
d u = Φ ( x),
若X~N(μ,σ2), 则它的分布函数F(x)可写成: ⎧X −μ x−μ⎫ ⎛ x−μ ⎞ ≤ F ( x) = P{ X ≤ x} = P ⎨ ⎬ = Φ⎜ ⎟. σ ⎭ ⎩ σ ⎝ σ ⎠
(4.16)
77
重要应用：
当 X ~ N ( μ , σ ) 时 P { a < X ≤ b} = φ (
将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为
⎧ 1 [ f X ( y ) + f X (− y )], ⎪ fY ( y ) = ⎨ 2 y ⎪0, ⎩ y > 0, y ≤ 0.
19
(5.1)
例如：设X~N(0,1), 其概率密度为 1 − x2 /2 ϕ ( x) = e , −∞ < x < ∞ 2π 则Y=X2的概率密度为
3
2π
+∞
⇒ I = 2π ⇒ ∫−∞ f ( x)dx = 1
+∞
正态分布 X ~ N ( μ , σ 2 ) 的性质
1、f ( x)关于x = μ对称 1 2、f max = f ( μ ) = 2π σ 3、 lim f ( x) = 0
| x − μ |→ +∞
称μ为位置参数(决定对称轴位置) σ为尺度参数(决定曲线分散性)
⎧ 1 y −1/2 e − y /2 , y > 0, ⎪ fY ( y ) = ⎨ 2 π ⎪0, y ≤ 0. ⎩
此时称Y服从自由度为1的χ2分布.
定理：设X ∼ f X (x), −∞ < x < +∞，g '(x) > 0 (或g '(x) < 0)。 ~ Y = g( X )， Y具有概率密度为： 则
第四版 概率论与数理统计答案
e ( X (e, t ) t (, )),
即( X (t ), t (, )) ——随机过程
随机过程被认为是概率论的“动力学”部分 它的研究对象是随时间演变的随机现象 它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
FX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 ,tn )
ti T 称为 X (t ), t T 的n维分布函数族
一般地， FX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 , tn ), n 1, 2, ti T 称为随机过程 X (t ), t T 的有限维分布函数族 当n充分大时，它完全确定了随机过程的统计特性
各数字特征之间的关系如下：
2 X t RX t , t
C X t1 , t2 RX t1 , t2 X t1 X t2
2 2 X t C X t , t RX t , t X t
定义： 随机过程 X (t ), t T ，如果对每一t T , E[ X 2 (t )]都存在， 则称X (t )是二阶矩过程， 二阶矩过程的均值函数和相关函数总是存在的。
x(t) x1(t),1=0 O t x2(t), 2=3/2
例2x：设X (t ) Vcost t , 其中是常数； V 在[0,1]上服从均匀分布,则X (t )是一个随机过程。 对每一固定的t，X (t ) Vcost是随机变量V 乘以常 数cost，故也是随机变量,对[0,1]上随机变量取一vi 值, 就得到相应的一个样本函数xi (t ) vi cost.
概率论与数理统计第四版答案习题答案(优.选)
习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
概率论与数理统计第四版答案习题答案
习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++;（5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。