高中数学圆锥曲线专题-暑假讲义(难得的好讲义)
理科-暑期班第11讲圆锥曲线学生版
圆锥曲线要求层次重难点椭圆的定义及标准方程 C ⑴圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．④了解圆锥曲线的简单应用． ⑤理解数形结合的思想． ⑵曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．椭圆的简单几何性质 C 抛物线的定义及标准方程C 抛物线的简单几何性质 C 双曲线的定义及标准方程 A 双曲线的简单几何性质 A 直线与圆锥曲线的位置关系 C 曲线与方程的对应关系B（一） 知识内容轨迹方程与圆锥曲线的常考题型：⑴对椭圆、双曲线与抛物线的定义的理解与灵活运用；⑵对圆锥曲线的几何性质的考查，常常结合直线与圆的相关知识，中点公式、点到直线的距离等解析几何的常用公式；⑶求曲线的方程或相应的轨迹，根据所给的几何关系或向量关系，要注意某些特殊点能否取到；⑷圆锥曲线与平面向量、三角函数、不等式等综合考查的题型，一般条件较多，需要根据条件恰当选择所用的方法，并要求较高的计算能力．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：知识精讲高考要求第十一讲 圆锥曲线⑴从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础． 要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质． ⑵以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．注意利用弦长公式与两根差公式简化计算： 弦长公式：对于直线MN ：y kx b =+，点()M M M x y ，，()N N N x y ，，22111M N M N MN k x x y y k =+-=+-． 两根差公式：如果M N x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则2224()44M N M N M N b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-=+-=--⋅==⎪⎝⎭（0∆>）．（二）典例分析：【例1】 ⑴（2009广东11）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． ⑵（2008重庆8）已知双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的一条渐近线为y kx =()>0k ，离心率5e k =，则双曲线方程为（ ）A ．222214x y a a -=B ．222215x y a a -=C ．222214x y b b -=D ．222215x y b b -=⑶（2009山东10）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x =【例2】 （2008四川延7）若点(20)P ，到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．23【例3】 （2009上海9）已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F ∆的面积为9，则b =______．【例4】 如图，OA 是双曲线的实半轴，OB 是虚半轴，F 为焦点，且30BAO ∠=︒，ABF S ∆=1(633)2-，则设双曲线方程是 ．【例5】 （2008福建11）双曲线22221x y a b-=()00a b >>，的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．()13， B ．(]13， C ．()3+∞， D ．[)3+∞，【例6】 （2007海淀期末16）已知圆C 的方程为224x y +=．⑴直线l 过点()12P ，，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程； ⑵过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．【例7】 （2009广东19）OF B Ay xyxO F 2F 1NM已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点()A A A x y ，和()B B B x y ，，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点()P s t ，是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．⑴若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．⑵若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．【例8】 （2008四川21）设椭圆22221x y a b += (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22e =， M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且120F M F N ⋅=．⑴若12||||25F M F N ==，求a 、b 的值．⑵证明：当||MN 取最小值时，12F M F N +与12F F 共线．【例9】 ⑴（2009海南宁夏13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(10)F ，，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(22)，，则直线l 的方程为 ．⑵已知椭圆2215x y +=的左焦点为F ，过F 作倾斜角为45︒的直线l 交椭圆于,A B 两点，则FA FB ⋅=______．【例10】 （2009天津9）抛物线22y x =的焦点为F ，过点()30M，的直线与抛物线相交于A B ，两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） A ．45B ．23C ．47D ．12【例11】 （2009宁夏高三模拟）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（ ） A ．232y x =B ．23y x =C ．292y x =D ．29y x =【例12】 已知椭圆的两个焦点分别为12(22,0),(22,0)F F -，离心率223e =． ClO yxFBA⑴求椭圆方程；⑵一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M N 、，且线段MN 中点的纵坐标为12-，求直线l 倾斜角的取值范围．【例13】 （2009江苏22）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点()22A ，，其焦点F 在x 轴上． ⑴求抛物线C 的标准方程；⑵求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；⑶设过点G (1,0)的直线l 交抛物线于,P Q 两点，2GP GQ =， 求直线l 的方程．⑷设过点()0M m ，()0m >的直线交抛物线C 于D E ，两点，2ME DM =，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式．【例14】 （2009北京19）已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的离心率为3，且有233a c =，其中c 为半焦距． ⑴求双曲线C 的方程；⑵设直线l 是圆22:2O x y +=上动点()()00000P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，证明AOB ∠的大小为定值．【例15】 （2009浙江22）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(4)A m ，到其焦点的距离为174． 11yxOA⑴求p 与m 的值；⑵若0m >，过点A 作直线l 交抛物线C 于点B ，交x 轴于点D ，过点B 作AB 的垂线交C 于另一点E ，问是否存在直线l ，使得DE 是C 的切线．如果存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由．⑶设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．习题1. 已知定点(3,0)B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13AM MB =，则点M 的轨迹方程是__________．习题2. 椭圆223721x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是 ．习题3. （2008湖北10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别家庭作业l EDB AO xy表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+； ②1122a c a c -=-； ③1212c a a c >； ④1212c ca a <．其中正确式子的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④习题4. 已知椭圆221126x y +=与点(1,0)A ，直线l ：2y x =+交y 轴于点B ，并交椭圆于,M N 两点，则MA NA ⋅=_______．MB NB ⋅=______．习题5. （2008江西15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30︒的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB= ．习题6. （2009北京19）已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的离心率为3，且有233a c =，其中c 为半焦距． ⑴求双曲线C 的方程；⑵已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B ，，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．IIIIIIP F习题1. 如果抛物线22y px =的焦点也是椭圆2214x y a a +=-与双曲线2214x y b b -=-的焦点，则b =_____，p =______．习题2. 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点的一条弦AB 的两端点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则关系式1212y y x x 的值一定等于（ ） A ．4p B ．4p - C ．2pD ．4-习题3. （2009山东文10）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x =月测备选。
圆锥曲线讲义
5.(2013浙江理)如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的一个顶点,1C 的长 轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两
点,2l 交椭圆于另一点
(1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程.
2.(2013新课标2理)平面直角坐标系
中,过椭圆的右焦点 作直
交于两点,为的中点,且的斜率为. (Ⅰ)求
的方程; (Ⅱ)
为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.
1C D 1C ABD ∆1
l （第21题）
1. (2014全国1理) 已知点A(0,-2)，椭圆E:
x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为 32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为
2 33，O 为坐标原点.
(1) 求E 的方程； (2) 设过点A 的 动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.
4.(2008全国理) 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．。
第三章 圆锥曲线复习讲义(精心整理、好用、经典)
圆锥曲线复习讲义－学生版【基础知识】 一.椭圆与双曲线椭 圆双 曲 线定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=>1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程22221x y a b += 22221x y b a+= 22221x y a b -= 22221y x a b -= 图形焦点 (,0)F c ± (0,)F c ±(,0)F c ± (0,)F c ±焦距 C F F 221=对称轴关于x .y 轴对称，关于原点成中心对称顶点长轴：(-a ,0),(a ,0) 短轴：(0,-b ),(0,b )长轴：(-b ,0),(b ,0) 短轴：(0,-a ),(0,a )实轴：(-a ,0),(a ,0) 虚轴：(0,-b ),(0,b )实轴：(-b ,0),(b ,0)虚轴：(0,-a ),(0,a )轴 长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<< 22222221(1)c c a b be e a a a a+====+>渐进线无xab y ±= x ba y ±= a ,b ,c 2220c b a b a +=>>，2220b a c a c +=>>，M MPK K 1A A 2F F O yx二．抛物线的性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =->22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p-(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x = 2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤离心率1e = 1e = 1e = 1e = 三、弦长公式： ||14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2x 的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出AB x x -=+21，ACx x =21；（3）代入弦长公式计算。
圆锥曲线讲义
e 1
e 1
圆锥曲线的第三定义：
K MA K MB 1
K MA K MB
b2 2 a
K MA K MB
b2 a2
椭圆简易篇
一．椭圆的三个形式：
x2 y2 1, ( a b 0) ，注意多解情况； a 2 b2
1.标准式：中心在原点，焦点在对称轴上
2 2
（2） S PF1F2 b tan
2
（5） t
4a 2 2； b2
（6）
1 1 2 ； PF1 F1M ep sin sin sin
（7） e
椭圆简易篇
（主要证明： PF1
ep ep ; MF1 ;） 1 e cos 1 e cos b2 2 a
2.一般式： A x B y 1 ， （ A 0, B 0 ， A B ）注重突出形式; 3.参数式：
x a cos ， 为参数， y b sin
说明：1.性质：范，对，顶，离； 2.主要考查方程组思想； Exe1.已知
x2 y2 1； 4
椭圆简易
5.已知 P ( x0 , y0 ) 为椭圆上的任意一点，且 PA PB , AB 两点均在椭圆上， 则直线 AB 恒过定点 (
c 2 x0 c 2 y0 , ) a 2 b2 a 2 b2 y2 x2 1(a b 0) ， a 2 b2
注意：若椭圆的方程为
PM 1 PF ， PN 2 PF
，则 1 2
2a 2 b2
4.过 M ( m,0) 作椭圆的割线，交椭圆于 PQ 两点，P 点关于 x 的对称点为 N 点，则直线 NQ 恒过定点 (
著名机构高二数学文科暑假班讲义第4讲 直线与圆锥曲线初步 删解析
当前形势直线与圆锥曲线在近五年北京卷（文）考查14~19分高考要求内容要求层次具体要求A B C直线与圆锥曲线的位置关系√判别式和韦达定理的应用；直线与抛物线相交截得的弦长等问题北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第19题14分第12题5分第19题14分第19题14分第14题5分第19题14分第19题14分考点1：直线与圆锥曲线的位置关系4.1直线与圆锥曲线的位置关系新课标剖析满分晋级第4讲解析几何3级双曲线与抛物线初步解析几何4级直线与圆锥曲线的位置关系初步解析几何5级曲线与方程直线与圆锥曲线的位置关系初步40 第4讲·尖子-目标·教师版41第4讲·尖子-目标·教师版直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩， 消去y （或消去x ），得到关于x （或y ）的方程：20ax bx c ++=（20ay by c ++=）． 方程组的解的个数与方程20ax bx c ++=的解的个数是一致的．若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切， 若0a =，直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点．<教师备案>0a =的情况：①当直线平行于抛物线的对称轴时；②当直线平行于双曲线的渐近线时．所以直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．以抛物线22y px =为例，直线0Ax By C ++=，只有当0A =时，代入抛物线方程，才会转化成一次方程，此时，直线平行于抛物线的对称轴．【例1】 ⑴已知椭圆22143x y +=，直线l ：y x m =+与椭圆有两个交点时，m 的取值范围为_______．⑵直线1y mx =+与椭圆2241x y +=有且只有一个交点，则2m =_______．⑶直线2y kx =+与椭圆2214y x +=的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对【解析】 ⑴ 77m -<<；⑵ 34；⑶ D ；【点评】直线与椭圆的位置关系，只需考虑判别式即可．提高班学案1【拓1】 已知两点514M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，544N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，给出椭圆2212x y +=，问在椭圆上是否存在点P ，使得MP NP =？【解析】 MN 的中点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，，斜率为12k =，故MN 的中垂线方程为l ：23y x =--， 根据题意知，本题即判断直线l 与椭圆有无公共点的问题．经典精讲知识点睛42 第4讲·尖子-目标·教师版联立222312y x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2924160x x ++=，此式的判别式22449160∆=-⨯⨯=， 故有且仅有一个交点．当然也可以设出P 点的坐标，直接计算．【例2】 ⑴判断下列直线与双曲线22154x y -=的位置关系：①1y x =-；②2510x y -+=；③21y x =-；④2y x =-⑵若过点(30)，的直线l 与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有____条． 【解析】 ⑴ ①相切；②相交（只有一个交点）；③相离；④相交．⑵ 3；<教师备案>过一个定点P 与双曲线只有一个公共点的直线的条数：（图中区域不包括边界）①P 在双曲线上，有3条；②P 在区域⑵，有2条；③P 在渐近线上但不是原点，有2条； ④P 在区域⑴⑶，有4条；⑤P 是原点，有0条．yxO (3)(3)(2)(2)(1)(1)(3)(3)(2)(2)(1)(1)【点评】直线与双曲线的位置关系更多时候利用数形结合．尖子班学案1【拓2】 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(12]， B ．(12)， C ．[2)+∞， D ．(2)+∞， 【解析】 C ；目标班学案1【拓3】 直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的A ，B 两点，求实数k 的取值范围． 【解析】 (22--，；43第4讲·尖子-目标·教师版【例3】 ⑴函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =（ ） A．18B ．14C ．12 D ．1⑵直线:1l y kx =+，抛物线2:4C y x =，当k 为何值时，l 与C ： ①有一个公共点；②有两个公共点；③没有公共点．【解析】 ⑴ B⑵ ① 当1k =或0k =时，直线l 与C 有一个公共点；②当1k <且0k ≠时，直线l 与抛物线C有两个公共点；③当1k >时，直线l 与抛物线C 没有公共点．【点评】 一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的（如图）因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件．过定点(01)P ，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线的方程为________．【解析】 0x =或1y =或112y x =+【思路】显然，过点(01)，且垂直于x 轴的直线，即y 轴满足题意．设过点P 且不垂直于x 轴的直线的斜率为k ，其方程为1y kx =+．代入抛物线22y x =中得222(1)10k x k x +-+=当0k =时，得直线与抛物线只有一个交点112⎛⎫⎪⎝⎭，，满足题意． 当0k ≠时，令224(1)40k k ∆=--=，得12k =即直线112y x =+，与抛物线也只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程是0x =或1y =或112y x =+．【错因分析】误区一是设点斜式不能表示过P 点垂直于x 轴的直线而y 轴恰满足题意，误区二是忽略过点P 与x 轴平行的直线．考点2：弦中点的坐标问题知识点睛4.2直线与圆锥曲线相交初步44 第4讲·尖子-目标·教师版直线0Ax By C ++=与圆锥曲线()0f x y =，交于两点()()1122M x y N x y ，，，，将0Ax By C ++=代入()0f x y =，，消去y （或x ），得到一元二次方程20ax bx c ++=，方程的两根满足12bx x a+=-，MN中点的横坐标即为1222x x ba+=-．【例4】 ⑴直线1y x =-被抛物线24y x =截得线段的中点坐标是 ．⑵直线3y x =-与双曲线22143x y -=交于A B ，两点，则AB 的中垂线方程为（ ） A ．210x y ++= B ．210x y --= C ．210x y +-= D ．210x y -+=⑶椭圆22142x y +=过点()11P ，的弦恰好被P 平分，则此弦所在的直线方程是__________． 【解析】 ⑴ ()32，⑵ C ；⑶ 230x y +-=；提高班学案2【拓1】 ⑴ 已知直线2x y -=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是______．⑵ 过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为52，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在【解析】 ⑴ ()42，⑵ B考点3：通径问题经过抛物线22y px =的焦点F ，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于M N ，两点，线段MN 叫做抛物线的通径．类似的，我们也可以定义椭圆和双曲线的“通径”：过椭圆（双曲线）的焦点，作垂直于长轴（或实轴）的直线，则直线被椭圆（双曲线）截得的线段叫做椭圆（双曲线）的“通径”． ⑴抛物线22y px =的通径长为2p ；知识点睛经典精讲45第4讲·尖子-目标·教师版⑵椭圆()222210x y a b a b +=>>的通径长为22b a ；⑶双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的通径长为22b a<教师备案> 椭圆（抛物线）的通径是过椭圆（抛物线）焦点的弦中最短的一条．双曲线的通径是过双曲线的焦点，同支的弦中最短的．我们来证明通径是最短的．以椭圆为例．设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，直线l 过椭圆的右焦点()0F c ，，且与椭圆交于两点A B ，，下面求AB 的最小值． 当AB 是通径时，不难算出22b AB a=．当AB 非通径时，直线l 的斜率存在，不妨设l 的方程为()y k x c =-，代入椭圆方程化简得()2222222222220ba k x a k cx a k c ab +-+-=，设()()1122A x y B x y ，，，，则22122222a k cx x b a k +=+．又由前面椭圆一讲知，12AF a ex BF a ex =-=-，，其中e 为椭圆的离心率，则()22222221222222222222222c a k c c a k c b AB AF BF a e x x a a a a b a k a b a k a a=+=-+=-⋅=-⋅>-=++． 双曲线和抛物线类似可证．双曲线需要注意焦点弦所在直线的斜率范围，保证焦点弦在双曲线的同支上．【例5】 ⑴已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（ ）A ．365 B ．65 C ．566 D ．56⑵设过椭圆2212516x y +=的左焦点F 的弦为AB ，则（ ）A ．6AB > B ．6AB =C ．6AB <D ．都有可能⑶过抛物线的焦点且垂直于抛物线轴的直线交抛物线于P 、Q 两点，抛物线的准线交抛物线的轴于点M ，则PMQ ∠一定是（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角或钝角【解析】 ⑴B⑵ A ⑶B考点4：求圆锥曲线的弦长经典精讲46 第4讲·尖子-目标·教师版连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．①求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；②另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被抛物线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为()2212121110AB k x x y y k k ⎛⎫=+-=+-≠ ⎪⎝⎭．两根差公式： 如果12x x ，是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则2221212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-=+-=--⋅==⎪⎝⎭（0∆>）． ③当抛物线的标准方程为()220y px p =>时，直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于C 、D 两点，则弦长121222p pCD x x x x p =+++=++．<教师备案>圆锥曲线求弦长时，都有一定的计算量，求弦长的方式基本上类似，其中以抛物线的计算相对较为简单，预习阶段就主要讲抛物线，外加一道椭圆的题。
暑期班第12讲.圆锥曲线.文科.学生版
要求层次 重难点椭圆的定义及标准方程 C ⑴圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． ④了解圆锥曲线的简单应用．⑤理解数形结合的思想． 椭圆的简单几何性质C抛物线的定义及标准方程 A抛物线的简单几何性质 A双曲线的定义及标准方程 A 双曲线的简单几何性质 A 直线与圆锥曲线的位置关系C（一） 知识内容圆锥曲线的常考题型：⑴对椭圆、双曲线与抛物线的定义的理解与灵活运用；⑵对圆锥曲线的几何性质的考查，常常结合直线与圆的相关知识，中点公式、点到直线的距离等解析几何的常用公式；⑶圆锥曲线与平面向量、三角函数、不等式等综合考查的题型，一般条件较多，需要根据条件恰当选择所用的方法，并要求较高的计算能力．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：⑴从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础． 要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质． ⑵以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．高考要求第十二讲 圆锥曲线知识精讲注意利用弦长公式与两根差公式简化计算： 弦长公式：对于直线MN ：y kx b =+，点()M M M x y ，，()N N N x y ，，M N M N MN x y =-=-． 两根差公式：如果M N x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则M N x x -=（0∆>）．（二）典例分析：【例1】 ⑴（2009广东11）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． ⑵（2008重庆8）已知双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的一条渐近线为y kx =()>0k ，离心率e =， 则双曲线方程为（ ）A ．222214x y a a -=B ．222215x y a a -=C ．222214x y b b -=D ．222215x y b b -=⑶（2009山东10）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x =【例2】 （2008浙江12）已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB =________．【例3】 （2008四川延7）若点(20)P，到双曲线22221x ya b-=，则双曲线的离心率为（）A B C．D．【例4】⑴（2009上海9）已知1F、2F是椭圆2222:1x yCa b+=()0a b>>的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12PF PF⊥．若12PF F∆的面积为9，则b=______．⑵（2009东城一模11）如图，已知ABCDEF为正六边形，若以C，F为焦点的双曲线恰好经过A，B，D，E四点，则该双曲线的离心率为______．【例5】（2008福建11）双曲线22221x ya b-=()00a b>>，的两个焦点为1F、2F，若P为其上一点，且122PF PF=，则双曲线离心率的取值范围为（）A．()13，B．(]13，C．()3+∞，D．[)3+∞，【例6】（2008四川21）设椭圆22221x ya b+=(0)a b>>的左、右焦点分别为1F、2F，离心率e=，M、N是直线l：2axc=上的两个动点，且12F M F N⋅=．⑴若12||||F M F N==a、b的值．⑵证明：当||MN取最小值时，12F M F N+与12F F共线．【例7】⑴（2009海南宁夏13）FE DCBA设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(10)F ，，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(22)，，则直线l 的方程为 ．⑵已知椭圆2215x y +=的左焦点为F ，过F 作倾斜角为45︒的直线l 交椭圆于,A B 两点，则FA FB ⋅=______．【例8】 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+=（ ） A ．2a B ．12aC ．4aD ．4a【例9】 （2008全国II15）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为()22M ，，则ABF ∆的面积等于 ．【例10】 （2008海南宁夏14）双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB ∆的面积为________．【例11】 （2009宁夏高三模拟）如图，过抛物线22(0)y px p=>的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若2BC BF=，且3AF=，则此抛物线的方程为（）A．232y x=B．23y x=C．292y x=D．29y x=【例12】已知椭圆的两个焦点分别为12(0),0)F F-，离心率e=．⑴求椭圆方程；⑵一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M N、，且线段MN中点的纵坐标为12-，求直线l倾斜角的取值范围．【例13】（2009江苏22）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点()22A，，其焦点F在x轴上．⑴求抛物线C的标准方程；⑵求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；⑶设过点G(1,0)的直线l交抛物线于,P Q两点，2GP GQ=，求直线l的方程．⑷设过点()0M m，()0m>的直线交抛物线C于D E，两点，2ME DM=，记D和E两点间的距离为()f m，求()f m关于m的表达式．【例14】（2009北京19）已知双曲线()2222:100x yC a ba b-=>>，2ac=，其中c为半焦距．⑴求双曲线C的方程；⑵设直线l是圆22:2O x y+=上动点()()0000P x y x y≠，处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A B，，证明AOB∠的大小为定值．【例15】（2009浙江22）已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点(4)A m，到其焦点的距离为174．⑴求p与m的值；⑵若0m>，过点A作直线l交抛物线C于点B，交x轴于点D，过点B作AB的垂线交C于另一点E ，问是否存在直线l，使得DE是C的切线．如果存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由．习题1.椭圆223721x y+=上有一点P到两个焦点的连线互相垂直，则P点的坐标是．习题2.（2007广东11）在直角坐标系xOy中有一点(2,1)A，若线段OA的垂直平分线过抛物线22(0)y px p=>的焦点，则家庭作业该抛物线的准线方程是______．习题3. 已知椭圆221126x y +=与点(1,0)A ，直线l ：2y x =+交y 轴于点B ，并交椭圆于,M N 两点，则MA NA ⋅=_______．习题4. （2008江西15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30︒的直线，与抛物线分别交于A 、B两点（A 在y 轴左侧），则AF FB= ．习题5. （2009北京19）已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，2a c =，其中c 为半焦距． ⑴求双曲线C 的方程； ⑵已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B ，，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．月测备选习题1. 如果抛物线22y px =的焦点也是椭圆2214x y a a +=-与双曲线2214x y b b -=-的焦点，则b =_____，p =______．习题2. 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点的一条弦AB 的两端点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则关系式1212y y x x 的值一定等于（ ） A ．4p B ．4p - C ．2pD ．4-习题3. （2009山东文10）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x =。
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 讲义(知识点考点汇总及配套习题)
第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆 ................................................................................................................................ - 1 -3.1.1 椭圆及其标准方程 .............................................................................................. - 1 - 3.1.2 椭圆的简单几何性质 ........................................................................................ - 12 -第1课时 椭圆的简单几何性质 ........................................................................ - 12 - 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 ........................................................ - 23 -3.2 双曲线 .......................................................................................................................... - 35 -3.2.1 双曲线及其标准方程 ........................................................................................ - 35 - 3.2.2 双曲线的简单几何性质 .................................................................................... - 46 - 3.3 抛物线 .......................................................................................................................... - 60 -3.3.1 抛物线及其标准方程 ........................................................................................ - 60 - 3.3.2 抛物线的简单几何性质 .................................................................................... - 70 - 章末复习 ............................................................................................................................... - 82 -3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程2008年9月25日211．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．()(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．()(3)方程x2a2＋y2b2＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．()[提示](1)×(2)√(3)×2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [由椭圆方程知a 2＝25，则a ＝5，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A ．x 2100＋y 236＝1B ．y 2400＋x 2336＝1C ．y 2100＋x 236＝1D ．y 220＋x 212＝1C [由条件知，焦点在y 轴上，且a ＝10，c ＝8， 所以b 2＝a 2－c 2＝36，所以椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1.]4．方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．(－6，－2)∪(3，＋∞) [由a 2＞a ＋6＞0得a ＞3或－6＜a ＜－2.]【例1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142.[解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4,2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a 2＋16b 2＝1. 又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(3)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与a ＞b ＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)或整式形式mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c (或m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．[跟进训练]1．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．[解] 法一：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16 ①. 又点(3，15)在所求椭圆上，所以32a 2＋(15)2b 2＝1，即9a 2＋15b2＝1 ②.由①②得a 2＝36，b 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1.又椭圆过点(3，15)，将x ＝3，y ＝15代入方程得925＋λ＋159＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.【例2】 (1)已知椭圆x 216＋y 212＝1的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝( )A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[思路探究] (1)借助PF 1的中点在y 轴上，且O 为F 1F 2的中点，所以PF 2⊥x 轴，再用定义和勾股定理解决．(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程，通过解方程求解．(1)C (2)335 [(1)依题意知，线段PF 1的中点在y 轴上，又原点为F 1F 2的中点，易得y 轴∥PF 2，所以PF 2⊥x 轴，则有|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，又根据椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8，所以|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，即|PF 1|∶|PF 2|＝5∶3.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ②由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF 1|，|PF 2|看作一个整体，运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．1．本例(2)[探究问题]1．用定义法求椭圆的方程应注意什么？[提示]用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.2．利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？[提示] (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP中点Q 的轨迹方程为______________．(2)如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．[思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．(1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1， 所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1.](2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ |＝|MA |， ∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |， ∴|CM |＋|MA |＝5.∴点M 的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1 ，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1.1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．[跟进训练]2．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)． (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标．(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m＞n ＞0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程不是标准方程，需先进行转化．3．椭圆上的点P 与两焦点F 1，F 2构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角形中，令∠F 1PF 2＝θ，如图．(1)当点P 与B 1或B 2重合时，∠F 1PF 2最大． (2)焦点△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )． (3)|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，且当P 与B 1或B 2重合时，面积最大．4．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和代入法(相关点法)．1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [根据椭圆的定义知，P 到另一个焦点的距离为2a －2＝2×5－2＝8.] 2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y 24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＞12且m ≠1[由方程x 2m ＋y22m －1＝1表示椭圆，得⎩⎨⎧m ＞0，2m －1＞0，m ≠2m －1，解得m ＞12且m ≠1.]4．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．x 225＋y 29＝1 [如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.]5．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然1．椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？[提示]不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. ()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. ()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()[提示](1)×(2)√(3)√2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A．x29＋y24＝1B．y29＋x24＝1C．x29－y24＝1 D．y29－x24＝1A[由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.]3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，3)，则椭圆的标准方程是________．x2＋y24＝1[依题意得2a＝4b，c＝3，又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋y24＝1.]4．设椭圆x225＋y2b2＝1(0＜b＜5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率的值为________．35[由条件知2×5＋2c＝4b，即2b＝c＋5，又a2－b2＝c2，a＝5解得b＝4，c＝3.∴离心率e＝ca＝35.]【例1】(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与椭圆xa2＋yb2＝λ(λ＞0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．(1)C[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.](2)[解]把已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，所以a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝ca＝74；两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝6 3；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同的离心率．[思路探究](1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)．[解](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1F A2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)， 且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2，设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1. 将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆的方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．提醒：与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有相同离心率的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝k 1(k 1>0，焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b2＝k 2(k 2>0，焦点在y 轴上)．[跟进训练]1．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．[解] 法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，则设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m＝1，2m ＝3·2n 或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3·2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝9n ＝1或⎩⎨⎧m ＝9，n ＝81.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.。
圆锥曲线讲义
6.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
7.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.
1)单点的轨迹问题——直接法＋待定系数法；
2)双动点的轨迹问题——相关点法；
3)多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法.
4.利用参数法求动点轨迹时要注意：(1)参数的选择要合理；(2)消参的方法灵活多样；(3)对于所选的参数，要注意取值范围，并注意参数范围对x，y的取值范围的制约.
5.曲线关于点中心对称、关于直线轴对称问题，通常是转化为点的中心对称或轴对称，一般结论如下：
2.直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决.设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一.
3.椭圆中几个常用的结论：
(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝，r2＝.
①＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
练习：(1)()已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.
(2)设圆C与两圆C1：(x＋)2＋y2＝4，C2：(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则圆C的圆心轨迹L的方程为____________.
(完整word版)高中数学圆锥曲线重要结论讲义
圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
左老师讲义(高中数学圆锥曲线)
第一章：规定动作1.规定动作之联消判韦（2013天津卷改编）已知,A B 是椭圆22132x y +=的左、右顶点，F 为该椭圆的左焦点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于,C D 两点。
若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.2. 联消判韦之速算判别式（2018全国3卷改编）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 中点D 的横坐标为1，求证:1||2k >.（2015江苏卷改编）已知椭圆2212x y +=的右焦点为F ，直线l 的方程为2x =-，过点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程。
4.联消判韦之直线的设法: x 型还是y 型（2012北京文改编）已知椭圆22142x y +=的右顶点为A ，直线()1y k x =-与椭圆交于不同的两点,M N .当三角形AMN 的面积为3时，求k 的值.（2013陕西文改编）已知椭圆22:143x y C +=，过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若A 是PB 的中点，求直线l 的斜率.6.传说中的点乘双根式（2012重庆理改编）已知椭圆221204x y +=，12(2,0),(2,0)B B -，过1B 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，且22PB QB ⊥，求直线l 的方程.7.不对称处理第0招:假的不对称，整体就对称已知椭圆22:33C x y +=.过点()1,0D 且不过()2,1E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3.x M =交于点试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.8.不对称处理第1招:硬凑韦达（2011四川理改编）椭圆有两顶点()()1,0,1,0,A B -过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P 。
著名机构高三数学暑假班讲义第9讲.圆锥曲线的几何性质.尖子班
本讲分三小节，分别为第一定义与焦点三角形、第二定义与相似三角形、第三定义，建议用时2—3课时．由于这一讲主要介绍圆锥曲线的重要且常用的几何性质，而这些性质在之前的学习中并没有系统的介绍过，可以作为新课进行讲授．对于尖子班的学生，以介绍及证明性质为主要教学目标；对于目标班学生，以性质的灵活应用为主要教学目标．第一小节为第一定义与焦点三角形，共3道例题．其中例1主要讲解椭圆的焦点三角形的周长问题；例2主要讲解椭圆的焦点三角形的面积问题；例3主要讲解双曲线的焦点三角形的面积问题．第二小节为第二定义与相似三角形，在知识梳理时通过探索铺垫题的形式给出非圆圆锥曲线的第二定义，例题部分共2道，其中例4主要讲解第二定义与方程；例5主要讲解利用椭圆的第二定义构造相似三角形解过焦点的弦的相关问题；第三小节为第三定义，在知识梳理时通过探索铺垫题的形式给出有心圆锥曲线的第三定义，例题部分共2道，其中例5主要讲解椭圆的第三定义；例6主要讲解双曲线的第三定义．知识结构图第9讲圆锥曲线的几何性质93第9讲·教师版94第9讲·教师版椭圆22221x y a b +=（0a b >>）或双曲线22221x y a b-=上一点P （不在x 轴上）与两个焦点1F 、2F 形成的三角形称为焦点三角形．F 1yO x PF 2 F 2yO xPF 1焦点三角形与椭圆、双曲线的第一定义联系密切，因此解焦点三角形的问题是圆锥曲线问题中的重点问题．在解焦点三角形时，由于已知一边及另外两边的和（差），因此只需要再加一个条件就可以求解．考点：椭圆的焦点三角形【例1】 ⑴点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12F PF △的周长为 ．⑵点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △ 的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为 ．⑶点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 作直线l 交椭圆于点A 、点B ，则2F AB △的周长为 ．⑷如图，ABC △是椭圆内接等腰直角三角形，斜边2BC =．C 是椭圆的右焦点，椭圆的左焦点在边AB 上，则椭圆的长轴长为 ．【解析】 ⑴ 22a c +．⑵ 83．⑶ 4a ．⑷ 22+．【拓1】 ⑴ （2012年福建理）椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的经典精讲知识梳理9.1第一定义与焦点三角形CBA xOy95第9讲·教师版左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =．过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且2ABF △的周长为8．则椭圆E 的方程为 ．⑵ 椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，2ABF △的周长为_________；若A 、B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，且2ABF △的面积是4，则21y y -的值为___________．【解析】 ⑴ 22143x y +=．⑵ 16，477．【教师备案】椭圆焦点三角形面积公式及其推导对于椭圆22221x y a b +=（0a b >>），设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=，()222122cos 2m n c F PF mn+-∠=221b mn=-，∴21221cos b mn F PF =+∠ 于是1222121212sin 1sin tan 21cos 2F PF b F PF S mn F PF b F PF θ⋅∠=∠==+∠△．【例2】 ⑴已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>），()1,0F c -、()2,0F c 分别为椭圆的左、右焦点，动点P E ∈，连接1PF 、2PF 形成12PF F △．① 12PF F △面积的取值范围是 ； ② 设12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为 ；③ 综合①②，可知当P 点位于 位置时，12F PF ∠取得最大值． ④ 当椭圆离心率e 增大时，12F PF ∠的最大值 ．（填增大或减小）⑵已知点P 为椭圆22143x y +=上一点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，若12π3F PF ∠=，则点P 到x 轴的距离为 ．⑶已知椭圆22221x y a b+=，焦点为12,F F ，在椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．【追问】若将条件“12PF PF ⊥”改为“122π3F PF ∠=”，则离心率的取值范围是多少？【解析】 ⑴ ① (]0,bc ；② 2tan2b θ；③ 上顶点或下顶点；④ 增大．⑵3⑶ 21⎫⎪⎪⎣⎭． 【追问】31⎫⎪⎪⎣⎭． 【拓2】 ⑴ 1F 、2F 是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为 ．⑵ 设1F 、2F 分别为椭圆2214832x y +=的左右焦点，且点P 是椭圆上的一点．若12PF F △是直角96第9讲·教师版三角形，则点P 到x 轴的距离为 ．【解析】 ⑴ 2；⑵833；【拓3】 在ABC △中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b c a +≥，求证：π3A ≤． 【解析】 如图以B 、C 为焦点2a 为长轴长构造椭圆，则∵2b c a +≥，∴点A 在椭圆上或椭圆外． 如图，容易证明π3A ≤，当且仅当A 为椭圆的上（下）顶点时取得等号． O yxAC B考点：双曲线的焦点三角形【教师备案】双曲线焦点三角形面积公式及其推导对于双曲线22221x y a b -=，设1PF m =，2PF n =，则2m n a -=，()222122cos 2m n c F PF mn+-∠=221b mn=-，∴21221cos b mn F PF =-∠ 于是1222121212sin 1sin cot 21cos 2F PF b F PF S mn F PF b F PF θ⋅∠=∠==-∠△．【例3】 ⑴已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >），()1,0F c -、()2,0F c 分别为双曲线的左、右焦点，动点P E ∈，连接1PF 、2PF 形成12PF F △，设12F PF θ∠=．① 12F PF △的面积为 ； ② θ的取值范围为 ． ⑵（2010年全国卷Ⅰ）已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则P 到x 轴的距离为 ．⑶设1F 、2F 为双曲线2211620x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上满足1290F PF ∠=︒，则P 的坐标为 ． ⑷（2011年华约）已知双曲线C ：22221x y a b-=（,0a b >），1F 、2F 分别为C 的左右焦点，97第9讲·教师版P 为C 右支上一点且使12π3F PF ∠=，又12F PF △的面积为233a ．则C 的离心率e = ． 【解析】 ⑴ ① 2cot 2b θ；② ()0,π．⑵6．⑶ 4101433⎛⎫±± ⎪⎝⎭，；⑷ 2．【备注】本铺垫的目的是通过推导焦半径公式，引入圆锥曲线的第二定义．【铺垫】已知(),0F c 为椭圆22221x y a b+=的右焦点，点P 为椭圆上一点，若P 点的横坐标为0x ．⑴ 求证：P 点到右焦点的距离为0a ex -，其中e 为椭圆的离心率；⑵ ⑴的结论即20a PF e x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，指出20a x c -的几何意义；⑶ 指出⑵中等式的意义，并思考当题干中的右焦点F 改为左焦点时相应的结论变化．⑷ 结合抛物线的定义，试给出椭圆的第二定义，并思考该定义是否可以推广到双曲线．【解析】 ⑴ 利用两点间的距离公式即可推得；⑵ 20a x c -的几何意义时点P 到直线2a x c=的距离； ⑶ 椭圆上的点到右焦点与到直线2a x c =的距离之比为离心率e ，我们称直线2a x c =为椭圆的右准线．当右焦点变为左焦点时，右准线2a x c =也相应变为左准线2a x c =-．⑷ 平面上到定点与到定直线的距离之比为常数e （01e <<）的点的轨迹为椭圆； 该定义可以推广到双曲线：平面上到定点与到定直线的距离之比为常数e （1e >）的点的轨迹为双曲线．【教师备案】本组拓展题是关于焦半径公式的应用的，教师可以根据情况选用．焦半径公式：已知离心率为e ，长半轴长为a 的椭圆上一点P 的横坐标为0x ，则P 到左焦点的距离为0a ex +，P 到右焦点的距离为0a ex -．（可以利用“左加右减”记忆）已知离心率为e ，实半轴长为a 的双曲线左支上一点P 的横坐标为0x ，则P 到左焦点的距离9.2第二定义与相似三角形知识梳理98第9讲·教师版为()0ex a -+，P 到右焦点的距离为()0ex a --；已知离心率为e ，实半轴长为a 的双曲线右支上一点P 的横坐标为0x ，则P 到左焦点的距离为0ex a +，P 到右焦点的距离为0ex a -．【拓4】 ⑴ 椭圆221259x y +=上三个不同的点()11,A x y 、94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()22,C x y 到右焦点的距离成等差数列，则12x x +的值为 ．⑵ 已知椭圆22143x y +=，1F 、2F 为其两个焦点，则椭圆C 上 （填“存在”或“不存在”）点M ，使得点M 到左准线的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项．⑶（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离为 ．⑷（2010年江西）点()00A x y ，在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ．【解析】 ⑴ 8；⑵ 不存在⑶ 4．⑷ 2．由此例题可以引出非圆圆锥曲线的统一定义：圆锥曲线上的点到焦点距离与到准线距离的比为常数，且该常数即为离心率e ．如下图所示：考点：椭圆、双曲线的第二定义与方程【例4】 ⑴（2012年全国大纲卷理）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 ．⑵（2009年北京）已知双曲线C ：22221x y a b -=（,0a b >）的离心率为3，右准线方程为3x =，则双曲线的方程为 ． 经典精讲99第9讲·教师版⑶（2010年四川）已知()2,0F ，定直线l ：12x =，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．则点P 的轨迹为 ．【解析】 ⑴22184x y +=；⑵2212y x -=；⑶2213y x -=；考点：利用椭圆的第二定义构造相似三角形解过焦点的弦的相关问题【例5】 ⑴（2011年四中高二期中）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()1,0F c -．过点1F 且倾斜角为π3的直线与椭圆相交所得的弦被1F 分为2:1的两段，则椭圆C 的离心率为 ．⑵已知A 、B 为过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点F 的直线与椭圆的交点，判断11FA FB+是否为定值，并说明理由． ⑶已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ．若3FA FB =u u u r u u u r ，则AF =u u u r．【解析】 ⑴23． ⑵ 如图，作椭圆的左准线，设直线AB 与左准线交于点P ，过A 、F 、B 引左准线的垂线，垂足分别为M 、Q 、N ，则Q N MPOyxBA F根据椭圆的第二定义，AF BF e AMBM ==∵PMA PQF PNB △∽△∽△，∴AM FQ BN PAPFPB==于是设AM m =，BN n =，FQ p =，PF t =则AF me =，BF ne =，m p nt me t t ne==-+ 取倒数t t t e e m p n -==+，∴2t t t m n p +=，即112m n p +=∴11112AF BF me ne ep +=+=为定值，其中ce a=，22a b p c c c =-=100第9讲·教师版∴11FA FB +为定值22ab． 【备注】该结论可以推广到对于椭圆、双曲线、抛物线均适用的112FA FB ep+=．事实上ep 为圆锥曲 线的半通径长度．因此这个结论的文字叙述为：圆锥曲线焦点分过焦点的弦所得的两条线段的调和平均数为半通径长度． 例如：（2012年重庆理）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =56． ⑶2．【铺垫】（2011年湖北）平面内与两定点()1,0A a -、()2,0A a （0a >）连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状及离心率与m 值的关系．【解析】 设动点的坐标为(),x y ，那么y ym x a x a⋅=+-()222y m x a =-，222mx y ma -=，22221x y a ma -= 当0m >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，离心率为1m +；当10m -<<时，曲线C 是焦点在x 上的椭圆，离心率为1m +； 当1m =-时，曲线C 是圆；当1m <-时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，离心率为11m+． A 2A 1Oyxm<-1m=-1-1<m<0m>0这个例题可以拓展出去，即A 、B 可以是坐标平面上关于原点对称的任意两点()00,A x y 、9.3“第三定义”知识梳理101第9讲·教师版()00,B x y --，此时所得的轨迹中心为原点，对称轴与x 、y 轴平行．由此引出有心圆锥曲线的统一定义：当0m >时，轨迹方程22221x y a b -=（0x x ≠±），其中22b m a=，2200221x y a b -=；当10m -<<时，轨迹方程为22221x y a b +=（0x x ≠±），其中22b m a=-，2200221x y a b +=；当1m =-时，轨迹方程为222x y r +=（0x x ≠±），其中22200x y r +=． 我们称此为有心圆锥曲线的第三定义．于是立即有设A 、B 为椭圆22221x y a b+=上关于原点对称的两点，P 为椭圆上任意一点（P 点的横坐标与A 、B 点的横坐标均不相同），则直线PA 与直线PB 连线的斜率乘积为定值22b a-；设A 、B 为双曲线22221x ya b-=上关于原点对称的两点，P 为双曲线上任意一点（P 点的横坐标与A 、B点的横坐标均不相同），则直线PA 与直线PB 连线的斜率乘积为定值22b a．考点：椭圆的第三定义 【例6】 ⑴（2010年北京）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A ()1,1-关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-．则动点P 的轨迹方程为 ．⑵（2011年东城高三期末）设A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ．证明：MBP △为钝角三角形．OyxMPBA【解析】 ⑴ 2234x y +=（1x ≠±）．⑵ 只需要证明0BM BP ⋅<u u u u r u u u r即可．设点(),M x y ，()4,P m 则 ()()2,2,24BM BP x y m x my ⋅=-⋅=-+u u u u r u u u r…… ①由于M 在椭圆上等价于1264MA MB y m k k x ⋅=⋅=--，∴332my x =-+ …… ② 经典精讲102第9讲·教师版将②代入①，有3243122xBM BP x x ⋅=--+=-u u u u r u u u r由于2x <，∴0BM BP ⋅<u u u u r u u u r，因此MBP △为钝角三角形．【拓5】 （2009年海淀一模）椭圆方程为22142x y +=，A 、B 为长轴端点，M 为直线2x =上任意一点，连接AM 交椭圆于P 点．⑴ 求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；⑵ 是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．MQPB AOyx【解析】 ⑴ 设()2,M m ，(),P x y ，则2142AP BP k k ⋅=-=-于是1242y m x ⋅=--，整理有24my x +=．而24OP OM my x ⋅=+=u u u r u u u u r 为定值∴原命题成立．⑵ 假设存在定点Q ，设()2,M m ，(),P x y ，(),0Q n 则由以MP 为直径的圆通过MQ 与BP的交点有0MQ BP ⋅=u u u u r u u u r．∴()()2,2,n m x y --⋅-224nx n x my =--+-0= ……①．而2142AP BP k k ⋅=-=-，于是1422m y x ⋅=--，整理有24my x += ……②将②代入①，有()20n x -=，解得0n =．∴存在x 轴上的定点()0,0Q ，使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．考点：双曲线的第三定义 【例7】 ⑴已知点P 在双曲线222x y a -=（0a >）的右支上（P 与2A 不重合），1A 、2A 分别为双曲线的左、右顶点，且21122A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠=（ ） A ．30︒ B ．27.5︒ C ．25︒ D ．22.5︒⑵（2011年江西）()00,P x y （0x a ≠±）是双曲线E ：22221x y a b-=（,0a b >）上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM 、PN 的斜率之积为15，则双曲线的离心率为 ；【解析】 ⑴ D ．103第9讲·教师版⑵305．1、设1F 、2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形12PFQF 的面积最大时，12PFPF ⋅u u u r u u u u r的值等于 ． 【解析】 2-． 2、已知椭圆22221x y a b+=的左焦点、右焦点分别为1F 、2F ，且椭圆上存在两点P 、Q ，使得12120F PF ∠=︒，1260FQF ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围为 ，12F PF △的面积与12F QF △的面积之比为 ．【解析】 3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，3:1．3、设1F 、2F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则12PF F △的面积为 ，12PF PF +=u u u r u u u u r．【解析】 9；210． 4、设1F 、2F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A 、B 在椭圆上．若125F A F B =u u u r u u u u r ，则1F A ．【解析】 3． 5、（2009年福建）已知椭圆C ：2214x y +=的左、右顶点分别为A 、B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线l ：103x =分别交于M 、N 两点．求线段MN 的长度的最小值．DA SNB My x O【解析】 83．课后习题104第9讲·教师版6、 已知A 、B 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点，P 是椭圆上异于A 、B 的动点．试证明：当P 为椭圆的上顶点或下顶点时APB ∠最大．【解析】 设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则2122b k k a=-．注意到APB ∠为钝角，于是2122212112221212tan 11b k k k a k a b APB k b k k c a k a+⎛⎫-=-=-=-⋅+ ⎪ ⎪+⋅⎝⎭-∠ 于是当且仅当1bk a=时APB ∠最大，即原命题得证．。
高二圆锥曲线讲义
高二圆锥曲线讲义圆锥曲线一、定义 1 第一定义2 第二定义（抛物线是重点）二几何性质 1 标准方程 2 离心率 3 弦长问题4 点在曲线上、曲线内、曲线外5 焦点三角形6 焦半径7 准线三典型题1 动点的轨迹问题（直接法、定义法、相关点法、参数法）2 中点弦问题（点差法、韦达定理）3 面积问题（焦点三角形、弦长公式）4 定点、定值及最值问题（直线过定点、点在直线上、直线与曲线相切）5 取值范围（第一种是不等式求解 ; 第二种是函数的值域求解法)① 直曲联立判别式大于零；② 点在曲线内部或外部；③ 曲线本身a x a ≤≤-,b y b ≤≤-；④ 三角形俩边之和大于第三遍，俩边之差小于第三边；⑤ 向量钝角向量点积小于零，锐角大于零；中点弦问题例1已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；(Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.变式1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
变式2 过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
变式3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
变式4 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。
动点的轨迹方程例1 已知椭圆方程为2214y x +=，过定点(0,1)M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点，()2OA OB OP +=, 求点P 的轨迹方程变式1 （2011 安徽）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ =QA λ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足QM =MP λ,求点P 轨迹方程变式2（2011天津理）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知12F PF ?为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程．变式3、（1）)2 , 4(P 是⊙0362824:22=---+y x y x C 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足?=∠90APB ，求弦AB 中点Q 的轨迹方程；（2）已知定点)2 , 0(A 及⊙4:22=+y x O ．过A 作直线MA 切⊙O 于A ，M 为切线上一个动点，MQ 切⊙O 于Q 点（如图），求MAQ ?的垂心H 的轨迹方程．变式4、（江苏）如图圆1O 与圆2O 的半径都等于1，421=O O ．过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．变式5 P 是椭圆22221x y a b+=上的任意一点，12,F F 是它的两焦点，O 为坐标原点，12OQ PF PF =+，则动点Q 的轨迹方程是 .变式4 动点P 到点A （0，8）的距离比到直线:7l y =-的距离大1，求动点P 的轨迹方程。
圆锥曲线复习讲义(1)
圆锥曲线复习讲义（1）椭 圆一．复习目标：1．正确理解椭圆的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出椭圆的标准方程；2．掌握椭圆的几何性质，能利用椭圆的几何性质，确定椭圆的标准方程 ；3．理解椭圆的参数方程，并掌握它的应用；4．掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，能解决与弦长、弦的中点有关的问题.二．基础训练：1．已知椭圆的方程为191622=+y x ，1F 、2F 分别为它的焦点，CD 为过1F 的弦，则△CD F 2 的周长为 ．2．已知椭圆的离心率32=e ，焦距是16，则椭圆的标准方程是 . 3．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 . 4．椭圆2225161x y +=的焦点坐标为 .三．例题分析：例1． 如图，PMN ∆中，1tan 2PMN ∠=,tan 2PNM ∠=-,PMN ∆面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，经过点P 的椭圆方程.M NP例2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，一条准线方程为1x =，倾斜角为45的直线交椭圆于A 、B 两点,设线段AB 的中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为α，(1)当arctan 2α=时，求椭圆的方程；(2)当2tan 3α<<时，求椭圆的短轴长的取值范围.例3.已知椭圆的一个顶点为()0,1A ,焦点在x 轴上，且右焦点到直线0x y -+=的距离为3，试问能否找到一条斜率为(0)k k ≠的直线l ,使l 与已知椭圆交于不同的两点M 、N 且满足||||AM AN =，并说明理由.四．课后作业： 班级 学号 姓名1．ABC ∆的一边BC 在x 轴上，BC 的中点在原点，||16BC =，AB 和AC 两边上中线长的和为30，则此三角形重心G 的轨迹方程是 .2．直线10y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有共点时，则m 的取值范围是___ _____. 3．已知1F 、2F 是椭圆1486422=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，若213PF PF =，则P 到左准线的距离为 ．4．方程221616x ky k +=的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 .5．(,)P x y 是椭圆123222=+y x 上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值是 。
(完整)高中数学讲义圆锥曲线
高中数学讲义圆锥曲线【知识图解】定义标准方程椭圆几何性质定义标准方程圆锥双曲线圆锥曲线应用曲线几何性质定义标准方程抛物线几何性质【方法点拨】分析几何是高中数学的重要内容之一，也是连接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是分析几何的重要内容，因此成为高考观察的要点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特色。
它的方程形式拥有代数的特征，而它的图像拥有典型的几何特征，所以，它是代数与几何的完满联合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包含三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特色是解题思路比较简单清楚，解题方法的规律性比较强，可是运算过程常常比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形联合能力及综合运用各样数学知识和方法的能力要求较高。
1.一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形联合，既娴熟掌握方程组理论，又关注图形的几何性质 .2.着力抓好运算关，提升运算与变形的能力，分析几何问题一般波及的变量多，计算量大，解决问题的思路剖析出来此后，常常因为运算可是关致使功亏一篑，所以要追求合理的运算方案，研究简化运算的基本门路与方法，并在战胜困难的过程中，加强解决复杂问题的信心，提升运算能力 .3.突出主体内容，重要紧环绕分析几何的两大任务来学习：一是依据已知条件求曲线方程，此中待定系数法是重要方法，二是经过方程研究圆锥曲线的性质，常常经过数形联合来表现，应惹起重视 .4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形联合思想的概括提炼，达到优化解题思想、简化解题过程第 1 课椭圆 A【考点导读】1. 掌握椭圆的第必定义和几何图形 , 掌握椭圆的标准方程 , 会求椭圆的标准方程 , 掌握椭圆简单的几何性质 ;2. 认识运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法； 能运用椭圆的标准方程和几何性质办理一些简单的实质问题 .【基础练习】1．已知△ ABC 的极点 B 、C 在椭圆x 2 y2 1上，极点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另3外一个焦点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 ______2. 椭圆 x 24y 21的离心率为 ______3. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是 ______4. 已知椭圆x 2 y 21 的离心率 e 1 ，则 k 的值为 ______8 92k【典范导析】例 1. （ 1）求经过点 (3 , 5 ) ，且 9 x 24 y 2 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
圆锥曲线专题辅导
O
X
N
化简得: x 2 y 2 1点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1. x 2
2
2
y kx 1
(2)设 M (x1,
y1 ), N (x2 ,
y2 ) ,联立 x 2
2
y2
,消
1
y
得: (2k 2
1)x 2
4kx
0
x1
x2
4k 2k 2
1
,
x1
x
2
0 ,|
MN
|
(1)试求动点 P 的轨迹 C 的方程;
(2)设直线 l : y kx 1与曲线 C 交于 M,N 两点, 当| MN | 4 2 时,求直线 l 的方程.
3
Y
l
解:(1)设点 P(x, y) , A( 2,0), B( 2,0)
M
k AP
k BP
y0 x 2
y0 x 2
y2 x2 2
1 2
解：将圆 C 的方程 x 2 y 2 8 y 12 0 配方得标准方程为 x 2 ( y 4)2 4 ，则此圆的
圆心为（0 , 4），半径为 2.
(1) 若直线 l 与圆 C 相切，则有 | 4 2a | 2 . a2 1
解得 a 3 . 4
(2) 过圆心 C 作 CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得
为
． x2 y2 a2
例 2.方程 x2 y 32 x2 y 32 10 表示曲线的标准方程是
．
y2 x2 1 25 16
例 3.方程 x2 y 32 - x2 y - 32 2 表示曲线的标准方程是
．
y2 x2 1y 1
8
例 4. 动点到点 1，0的距离比到 y 轴的距离多 1，则动点的轨迹方程为
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第一讲 椭圆初步问题一 椭圆的定义【例1】求平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹方程。
【直观感觉】【严格求解】求平面内与两个定点1F （-c ，0）、2F （c ，0）的距离之和等于定长2a （a ＞c ）的点的轨迹方程。
【反面验证】已知方程22221x y a b+= (0)a b >>，设P （x ，y ）是该方程代表的曲线上任意一点，求证：P 到点1(F 和点2F 的距离之和等于2a 。
【经验小结】解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的几何问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论．坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏．通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上。
【要点总结】1、椭圆的定义和相关概念：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
2、对椭圆定义的几点说明：⑴“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； ⑵作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。
若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。
⑶怎么看椭圆扁还是圆：椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关。
在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆，⑷对椭圆和它的方程进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心。
⑸如果建坐标系的方法不同，会得到以下两种椭圆的方程：中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22221x y a b += (0)a b >>；22221y x a b+= (0)a b >>；问题二 椭圆的基本几何性质归纳几点说明：⑴长轴：线段12A A ，长为2a ；短轴：线段12B B ，长为2b ；焦点在长轴上。
⑵对于离心率e ，因为a>c>0，所以0<e<1；离心率反映了椭圆的扁平程度：由于c e a ===所以e 越趋近于1，b 越趋近于0，椭圆越扁平；e 越趋近于0，b 越趋近于a ，椭圆越圆。
⑶椭圆的特征三角形：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率。
问题三 根据简单条件求椭圆方程【例2】（熟悉椭圆的方程形式）方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A 、),0(+∞ B 、（0，2）C 、（1，+∞）D 、（0，1）【练1】已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 ．【练2】已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．【例3】（熟悉椭圆的焦点）椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有（ ）A 、相同的离心率B 、相同的焦点C 、相同的顶点D 、相同的长、短轴【练1】椭圆5x 2＋k y 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A 、－1 B 、1 C 、5D 、－5【练2】过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同的焦点的椭圆的标准方程为__________.【例4】分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－23，25)；总结：确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(焦点的位置)和两个定形条件(a 、b )。
求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点到底是在x 轴上还是在y 轴上；所谓定量就是求出椭圆的a 、b 、c ，从而写出椭圆方程。
【练】⑴已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．⑵已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过点A (3，－2)和B (－23，1)，求椭圆的标准方程。
【例5】若P 是直线09=+-y x 上的点，求过点P 且与椭圆131222=+y x 有公共焦点，长轴最短的椭圆方程。
【练】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．【例6】（中心不在原点的椭圆方程）已知椭圆C 的焦点为1(12)F ，，2(52)F ，，椭圆上任一点P 到12F F 、的距离之和为6，求椭圆C 的方程。
【练1】椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x +y =0对称，则椭圆C 的方程是___________。
【练2】已知(2,3)P 是椭圆C ：22221x y a b+= (0)a b >>上一点，求椭圆C 关于点P 的对称椭圆的方程。
【例7】（点与椭圆的位置关系）已知直线235y kx k =-+与椭圆2219x y m+=总有公共点，求m 的范围。
【练】曲线2x 2+y 2=2a 2（a ＞0）与连结A （1，1），B （2，3）的线段没有公共点，求a 的取值范围。
问题四 求椭圆相关的轨迹方程【例8】已知B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．【练1】一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．【练2】一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动 ，点M 在线段AB 上，且2:1:=MB AM ，求点M 的轨迹方程。
问题五 焦点三角形的问题【例9】（焦点三角形问题的一般解法）已知P 是椭圆22143x y +=上的一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆半径为12，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的值为（ ）A ．32B ．94C ．94-D ．0【练】已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan ∠F 1PF 2．【例10】（焦点三角形面积公式及其应用）已知P 是椭圆162522y x +＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．小结：在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆。
【练】已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上，若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A 、59 B 、779 C 、49 D 、49或779【例11】（最大角问题）证明：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 点P 在椭圆上，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
【练1】设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
【练2】椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P的横坐标的取值范围为 。
问题五 求离心率的值或范围【例12】（直接找a 、c 的比值）P 是椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e【练】设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
【例11】（构造a c ，的齐次式，间接解出e ）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是【练】如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，则椭圆离心率是【例12】（求离心率的范围）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212MF MF b ⋅=，求椭圆的离心率的范围.【练1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．【练2】椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆M 上的任意一点，且21PF PF ⋅的最大取值范围是]3,[22c c ，其中22b a c -=，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ）A.]21,41[B.]22,21[ C.)1,22[ D.)1,21[【家庭作业】1、如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞) D ．(0，1)2、已知椭圆92522y x +＝1，F 1、F 2分别为它的两焦点，过F 1的焦点弦CD 与x 轴成α角(0＜α＜π)，则△F 2CD 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．20D ．不能确定3、设椭圆204522y x +＝1的两焦点分别是F 1和F 2，P 为椭圆上一点，并且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||等于（ ）A ．65B ．25C ．35D ．3524、直线y ＝x 与椭圆42x ＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |等于（ ）A ．2B ．554C ．5104D ．51085、以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P (53，－4)和Q (－54，3)，则此椭圆的方程是___________．6、在椭圆x y 222591+=上有一点P 满足它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的坐标为 。