高中数学圆锥曲线专题-暑假讲义(难得的好讲义)

第一讲 椭圆初步

问题一 椭圆的定义

【例1】求平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹方程。 【直观感觉】

【严格求解】求平面内与两个定点1F （-c ，0）、2F （c ，0）的距离之和等于定长2a （a ＞c ）的点的轨迹方程。

【反面验证】已知方程22

221x y a b

+= (0)a b >>，设P （x ，y ）是该方程代表的曲线上任意

一点，求证：P 到点1(F 和点2F 的距离之和等于2a 。

【经验小结】解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的几何问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论．坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏．通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上。

【要点总结】

1、椭圆的定义和相关概念：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于

12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||

F F 叫做椭圆的焦距。

2、对椭圆定义的几点说明：

⑴“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； ⑵作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。

⑶怎么看椭圆扁还是圆：椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关。在同样的绳长下，两

定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆，

⑷对椭圆和它的方程进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心。

⑸如果建坐标系的方法不同，会得到以下两种椭圆的方程：

中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：

22221x y a b += (0)a b >>；22

221y x a b

+= (0)a b >>；

问题二 椭圆的基本几何性质归纳

几点说明：

⑴长轴：线段12A A ，长为2a ；短轴：线段12B B ，长为2b ；焦点在长轴上。 ⑵对于离心率e ，因为a>c>0，所以0

离心率反映了椭圆的扁平程度：由于c e a ===所以e 越趋近于1，

b 越趋近于0，椭圆越扁平；e 越趋近于0，b 越趋近于a ，椭圆越圆。

⑶椭圆的特征三角形：

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率。

问题三 根据简单条件求椭圆方程

【例2】（熟悉椭圆的方程形式）方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A 、),0(+∞ B 、（0，2）

C 、（1，+∞）

D 、（0，1）

【练1】已知方程1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 ．

【练2】已知1cos sin 2

2

=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．

【例3】（熟悉椭圆的焦点）椭圆12222=+b y a x 和k b

y a x =+22

22()0>k 具有（ ）

A 、相同的离心率

B 、相同的焦点

C 、相同的顶点

D 、相同的长、短轴

【练1】椭圆5x 2＋k y 2

＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A 、－1 B 、1 C 、

5

D 、－

5

【练2】过点(2,3)-且与椭圆2

2

9436x y +=有共同的焦点的椭圆的标准方程为__________.

【例4】分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10；

(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－23，2

5)；

总结：确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(焦点的位置)和两个定形条件(a 、b )。

求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点到底是在x 轴上还是在y 轴上；所谓定量就是求出椭圆的a 、b 、c ，从而写出椭圆方程。

【练】⑴已知椭圆19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值．

⑵已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过点A (3，－2)和B (－23，1)，求椭圆的标准方程。

【例5】若P 是直线09=+-y x 上的点，求过点P 且与椭圆13

122

2=+y x 有公共焦点，长

轴最短的椭圆方程。

【练】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=

e ，已知点⎪⎭

⎫

⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．

【例6】（中心不在原点的椭圆方程）已知椭圆C 的焦点为1(1

2)F ，，2(52)F ，，椭圆上任一点P 到12F F 、的距离之和为6，求椭圆C 的方程。

【练1】椭圆C 与椭圆14

)2(9)3(2

2=-+-y x 关于直线x +y =0对称，则椭圆C 的方程是

___________。

【练2】已知(2,3)P 是椭圆C ：22

221x y a b

+= (0)a b >>上一点，求椭圆C 关于点P 的对

称椭圆的方程。

【例7】（点与椭圆的位置关系）已知直线235y kx k =-+与椭圆22

19x y m

+=总有公共点，

求m 的范围。

【练】曲线2x 2+y 2=2a 2（a ＞0）与连结A （1，1），B （2，3）的线段没有公共点，求a 的取值范围。

问题四 求椭圆相关的轨迹方程

【例8】已知B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．

【练1】一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．