高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题附解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳

一、选择题

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A ．64

B ．

643

C ．16

D ．

163

【答案】D 【解析】

根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积

12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积116

4433V =⨯⨯=，故选D.

2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）

A ．

34

B ．

78

C ．

1516

D ．

2324

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，

该几何体的体积为1111711132228

⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存

在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）

A 7

B ．3

C ．3

D ．2

【答案】A 【解析】 【分析】

把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就

是最小值． 【详解】

把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，

Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=．

所以11=90+60=150MA D ∠o o o

221111111113

2cos 13223()72

MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-⨯⨯-

⋅⨯=

故选A ． 【点睛】

本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．

4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A ．

23

B ．

13

C ．

12

D ．

34

【答案】B 【解析】

分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

详解：几何体如图S-ABCD ，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于

21111=33⨯⨯， 选B.

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.

5．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】

根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】

由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：

在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误； 在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β， ∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面

α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）

A ．36 B

．26 C ．5 D ．

53

4

【答案】B 【解析】 【分析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：

1,,A P C 确定一个平面α，

因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==

所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111

cos 25

AP PC AC APC AP PC +-∠=

=⨯ 所以16

sin 5

APC ∠=

所以S 四边形1APQC 111

2sin 262

AP PC APC =⨯⨯⨯∠= 故选：B 【点睛】

本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（ ）

A ．

33

B ．

13

C ．

5829

D ．

387

29

【答案】C 【解析】 【分析】

取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出

//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF V ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值. 【详解】

取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .