初中数学竞赛-因式分解(1)

合集下载

初中竞赛数学第一讲因式分解(含解答)

第一讲因式分解一、选择题1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（）A ．(2a+3)()2a-3)=4a 2-9;B ．4m 2-9=(2m+3)(2m-3)C ．m 2-16+3m=(m+4)(m-4)+3m;D ．2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz – 3y – 3z2．下面各式的因式分解中，正确的是（）A ．-7ab – 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y);B ．)3(33111x y y x y x y x n m n m n m +-=+---+C ．6)133)((2)(2)(2+--=---b a b a a b b a ;D ．xy(x – y ) – x (y – x ) = x (x – y )(y – 1 )3．下面各式的因式分解中，正确的是（）A ．)444221)(221()(81223b ab a b a b a b a ++++++-=+-B ．)2)(2(4)(222222222xy y x xy y x y x y x -+++=-+C ．22)1(4448-=--a a aD ．))()(()()(22b a b a y x x y b y x a -+-=-+-4．下面各式的因式分解中，正确的是（）A ．ab – a + b + 1 = (a – 1)(b + 1)B ．4xy + 1 – 4)21)(21(22y x y x y x ---+=-C ．3a – 3b + 3x – bx = (a – b )(3 – x )D ．)21)(21(41422y x y x y x xy --++=--+-5．下列因式分解的变形中，正确的是（）A ．))(1()1(22a x x a x a x --=++-B ．)13)(12(61652++=++m m m m C ．))(()(2222222b y a y b a y b a y ++=+⋅++D ．)1)(4)(2)(1(8)3(2)3(222-+--=----x x x x x x x x二、填空题1．在代数式164)3(,)2(,144)1(2222++++-n n mn m x x 中是完全平方式的是__________。

八年级数学竞赛专题复习因式分解的常用方法(无答案)

因式分解的常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．【例1】分解因式322x x x -- 解：原式()221x x x =--二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=- 写出结果．【例2】分解因式2244a ab b ++ 解：原式()22a b =+三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式【例3】分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

【例4】分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习1：分解因式255m n mn m +--解：原式()()()()255555m m mn n m m n m m n m =--+=---=--（二）分组后能直接运用公式【例5】分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

因式分解—2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(解析版)

因式分解学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)若x=1，则1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+⋅⋅⋅+x(1+x)2013+x(1+ x)2014=．【答案】22015【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式(x+1)，得到(1+x)2015，再将x=1代入即得答案．【详解】解：当x=1时，原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+⋅⋅⋅+x(1+x)2012+x(1+x)2013]=(1+x)2[1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+⋅⋅⋅+x(1+x)2011+x(1+x)2012]=⋯=1+x2015=22015．故答案为：22015．2(2024·全国·七年级竞赛)若a、b是正整数，且756a=b3，则a的最小值是．【答案】98【分析】本题主要考查了因式分解、有理数乘方等知识点，掌握因式分解的应用是解题的关键．先将756因式分解，然后表示出a的最小值即可解答．【详解】解：∵756=33×22×7，756a=b3，∴a=b3756=b333×22×7，∴a min=2×72=98．故答案为98．3(2024·全国·八年级竞赛)已知a、b为正整数，且满足ab+a+b=2011，则满足条件的有序实数对(a, b)的组数是．【答案】4【分析】本题主要考查因式分解的应用，将ab+a+b+1=2012变形为a+1b+1=22×503，根据a、b为正整数得a+1≥2，b+1≥2，再分类讨论即可求解【详解】解：∵ab+a+b+1=2012，∴a+1b+1=22×503，又a、b为正整数，∴a+1≥2，b+1≥2，∴a+1=2b+1=1006,a+1=4b+1=503,a+1=503b+1=4,a+1=1006b+1=2，共4组，即有序实数对(a,b)共有4组．4(2024·全国·八年级竞赛)设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则ab2+b2-3a+12a2015=．【答案】-1【分析】本题考查了分式的化简求值，将a 2+2a -1=0与b 4-2b 2-1=0的差进行因式分解，得到a +b 2 a -b 2+2 =0，推出a 与b 的关系，并判断其是否满足1-ab 2≠0，最后将其代入ab 2+b 2-3a +12a2015中化简求解，即可解题．【详解】解：a 2+2a -1 -b 4-2b 2-1 =0，a +b 2 a -b 2+2 =0，若a -b 2+2=0，则b 2=a +2，则1-ab 2=1-a a +2 =-a 2+2a -1 =0，矛盾．所以a +b 2=0，即b 2=-a ，所以ab 2+b 2-3a +12a 2015=-a 2-a -3a +12a 2015=-a 2+2a +2a -12a 2015=-2a 2a 2015=-1．故答案为：-1．5(2024·全国·八年级竞赛)若m 2=n +2015，n 2=m +2015m ≠n ，则m 3-2mn +n 3的值为．【答案】-2015【分析】本题考查整式的化简求值，利用m 2=n +2015与n 2=m +2015m ≠n 的差，结合平方差公式进行因式分解，得出m +n =-1，将m 3-2mn +n 3变形为含m +n 的式子，再将m +n =-1代入式子，即可解题．【详解】解：由题知，m 2-n 2=n -m ，则m +n =-1，又m 3-2mn +n 3=m m 2-n -n m -n 2 =2015m +n =-2015．故答案为：-2015．6(2024·全国·八年级竞赛)已知多项式a 2+7ab +kb 2-5a +43b -24分解因式后能够变成两个含有a 、b 的一次因式的乘积，则实数k 的值为．【答案】-18【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，二元一次方程组的求解，根据因式分解结合多项式乘以多项式可得m +n =7①，mn =k ②，3n -8m =43③，利用加减消元法求解二元一次方程组得到m ，n 的值，即可求出最后结果．【详解】解：a 2+7ab +kb 2-5a +43b -24可分解为a +bm +3 a +nb -8 ，∴a +bm +3 a +nb -8=a 2+mab +3a +nab +mnb 2+3nb -8a -8mb -24=a 2+m +n ab +mnb 2-5a +3n -8m b -24，∵a 2+7ab +kb 2-5a +43b -24，∴m +n =7①，mn =k ②，3n -8m =43③，③-3×①得：-8m -3m =43-3×7，解得：m =-2，将m =-2代入①得：n =9，∴k =mn =-18，故答案为：-18．7(2024·全国·八年级竞赛)已知：x =2012t +801，y =2012t +803，z =2012t +805，则x 2+y 2+z 2-xy -yz -zx =．【答案】12【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出x -y =-2，y -z =-2，x -z =-4，再根据完全平方公式把原式因式分别为12x -y 2+y -z 2+z -x 2，据此代值计算即可．【详解】解：∵x =2012t +801，y =2012t +803，z =2012t +805，∴x -y =-2，y -z =-2，x -z =-4x 2+y 2+z 2-xy -yz -zx=12x 2-2xy +y 2 +12y 2-2yz +z 2 +12x 2-2xz +z 2 =12x -y 2+y -z 2+z -x 2=12-2 2+-2 2+-4 2=124+4+16 =12，故答案为：12．8(2024·全国·八年级竞赛)分解因式：1-m 2-n 2+2mn =．【答案】(1+m -n )(1-m +n )【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，利用添括号把1-m 2-n 2+2mn 后三项放一起，得到1-m 2-2mn +n 2，利用完全平方公式进行因式分解，得到1-m -n 2，再利用平方差公式因式分解即可求解，掌握分组分解法是解题的关键．【详解】解：原式=1-m -n 2，=1+m -n 1-m +n ，故答案为：1+m -n 1-m +n ．9(2024·全国·七年级竞赛)若2x -3 +y -2 2=0，则x 2-2xy +y 2=．【答案】14/0.25【分析】根据非负数的性质求出x =32,y =2．再把字母的值代入x 2-2xy +y 2=x -y 2进行求解即可，此题考查了求代数式的值、完全平方公式和非负数的性质，求出字母的值是解题的关键．【详解】解：∵2x -3 +y -2 2=0，2x -3 ≥0,y -2 2≥0，∴2x -3 =0,y -2 2=0，∴2x -3=0,y -2=0，∴x =32,y =2．∴x 2-2xy +y 2=x -y 2=32-2 2=14，故答案为：1410(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足1a -1b +1c =1a -b +c，则△ABC 的形状为．【答案】等腰三角形【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的判定，先将分式变形得出bc -ac +ab abc =1a -b +c，得出abc =a -b +c ab -c a -b ，再进行因式分解，进而得出a =b 或b =c ，即可得出答案．【详解】∵1a -1b +1c =1a -b +c，∴bc -ac +ab abc =1a -b +c，∴abc =a -b +c ab -c a -b=ab a -b -c a -b 2+abc -c 2a -b ，a -b ab -c a -b -c 2=0，a -b ab -ac +bc -c 2 =0，∴a -b b -c a +c =0，∴a =b 或b =c ．故答案为：等腰三角形．11(2024·全国·八年级竞赛)已知a 2+b 2=2,x 2+y 2=1003，则多项式(ax +by )2+(bx -ay )2的值为．【答案】2006【分析】本题考查了整体代入求多项式的值，整式的混合运算，分组法因式分解等知识．先将(ax +by )2+(bx -ay )2进行计算得到a 2x 2+b 2x 2+b 2y 2+a 2y 2，再利用分组因式分解得到a 2+b 2 x 2+y 2 ，整体代入即可求解．【详解】解：(ax +by )2+(bx -ay )2=a 2x 2+b 2y 2+2abxy +b 2x 2+a 2y 2-2abxy =a 2x 2+b 2x 2+b 2y 2+a 2y 2=x 2a 2+b 2 +y 2a 2+b 2 =a 2+b 2 x 2+y 2 =2×1003=2006．12(2015·全国·八年级竞赛)若n 为整数，且n 2+9n +30是自然数，则n =．【答案】-14或-7或-2或5【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，设n 2+9n +30=p (p 为非负整数)，则可推出2n +9 2+39=4p 2，进而得到2p +2n +9 2p -2n -9 =39，再由题意可得2p +2n +9和2p -2n -9都是整数，再由39=-1×-39 =1×39，由此得到2p +2n +9=12p -2n -9=39或2p +2n +9=392p -2n -9=1 或2p +2n +9=32p -2n -9=13 或2p +2n +9=132p -2n -9=3 ，解方程组即可得到答案．【详解】解：设n 2+9n +30=p (p 为非负整数)，∴n 2+9n +30=p 2，∴4n 2+36n +120=4p 2∴2n +9 2+39=4p 2，∴4p 2-2n +9 2=39，∴2p +2n +9 2p -2n -9 =39，∵n ，p 都为整数，∴2p +2n +9和2p -2n -9都是整数，∵39=1×39=3×13∴2p+2n+9=12p-2n-9=39或2p+2n+9=392p-2n-9=1或2p+2n+9=32p-2n-9=13或2p+2n+9=132p-2n-9=3，解得p=10n=-14或p=10n=5或p=4n=-7或p=4n=-2∴n=-14或-7或-2或5，故答案为：-14或-7或-2或5．13(2024·全国·九年级竞赛)分解因式：a2-b2-2a+1=．【答案】(a-1+b)(a-1-b)【分析】先分组，得到(a2-2a+1)-b2，运用完全平方公式变形得到(a-1)2-b2，再根据平方差公式分解因式.【详解】a2-b2-2a+1=(a2-2a+1)-b2=(a-1)2-b2=(a-1+b)(a-1-b)，故答案为：(a-1+b)(a-1-b).【点睛】此题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.14(2024·全国·八年级竞赛)正整数a、b满足ab+a+b=90，则ab=．【答案】72【分析】本题考查因式分解的应用，根据条件可得a+1b+1=91，然后由a、b为正整数，可得a+1>1且b+1>1，进而求出a，b的值，代入求值即可．【详解】解：∵ab+a+b=90，∴ab+a+b+1=91，即a+1b+1=91，又∵a、b为正整数，∴a+1>1且b+1>1∴a+1=7b+1=13，a+1=13b+1=7，解得：a=6 b=12或a=12b=6，∴ab=6×12=72，故答案为：72．15(2024·全国·八年级竞赛)分解因式：2x3-12x2y+18xy2=．【答案】2x x-3y2【分析】本题主要考查提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式2x，再运用完全平方公式进行分解因式即可求解，掌握分解因式的方法是解题的关键．【详解】解：2x3-12x2y+18xy2=2x(x2-6xy+9y2)=2x x-3y2，故答案为：2x x-3y2．二、单选题16(2024·全国·八年级竞赛)若a=20072+20072×20082+20082，则关于a的说法正确的是( )．A.是正整数，而且是偶数B.是正整数，而且是奇数C.不是正整数，而是无理数D.无法确定【答案】B【分析】设n=2007，将根号下的整式通过加添项凑成完全平方式，去掉根号，再根据整式的性质进行判断正负性和奇偶性，本题考查了运用完全平方公式分解因式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式，及加添项的分解因式技巧．【详解】设n=2007，a=n2+n2n+12+n+12=n2-2n n+1+n+12+2n n+1+n2n+12=n+1-n2+2n n+1+n n+12=1+2n n+1+n n+12=1+n n+12=1+n n+1∵n n+1是偶数，∴1+n n+1是奇数，选项B符合题意，故选：B．17(2024·全国·九年级竞赛)任意正整数n都能够分解成两个正整数的乘积，若相乘的这两个正整数之差的绝对值最小，则分别记为a、b a≤b，并规定f n=ab．例如：f6 =23,f7 =17,f12=34，现有下列说法：①f2 =12；②f24=38；③若n是一个完全平方数，则f n =1；④若n是一个完全立方数，即n=a3(a是正整数)，则f n=1a．其中正确的有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】此题主要考查了完全平方数，分解因数，新定义的理解和应用，掌握分解因数的方法是解本题的关键．①将2分解因数，进而找出2的两个因数即可得出结论；②将24分解因数，进而找出24的两个因数即可得出结论；③根据题意找出n的符合题意的分解即可得出结论；；④利用“相乘的这两个正整数之差的绝对值最小”举出反例，进而确定此说法错误即可．【详解】解：①∵2=1×2，∴f2 =12，此说法正确；②24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24-1>12-2>8-3>6-4，所以4×6是24的符合题意的分解，所以f24=23，故错误；③∵n是一个完全平方数，设n=x2x>0，∴x×x是n的符合题意的分解，则f n =1，此说法正确；④若n是一个完全立方数，即n=a3(a是正整数)，∵a是正整数，如64=43=8×8，f64=88≠18，则f n =1a不一定成立，此说法错误．综上所述，有两个正确，故答案为：B ．18(2024·全国·八年级竞赛)三位数abc 的平方的末三位数恰好是abc ，这样的三位数abc有()A.0个B.1个C.2个D.多于2个【答案】C【分析】本题考查分解因式的应用，掌握提取公因式分解是解题的关键．【详解】由题意知abc 2-abc =abc abc-1 是1000的倍数，∵1000=8×125，abc ,abc-1=1，∴(1)8整除abc 且125整除abc -1 ；(2)125整除abc 且8整除(abc-1)，由(1)得abc =376，由(2)得abc=625，∴共有两个，故选C ．19(2024·全国·八年级竞赛)已知实数m 、n 、p 满足m 2-2p =7，n 2-6m =-17，p 2+2n =-1，则m +n +p 的值等于( )．A.2 B.4 C.3 D.5【答案】C【分析】本题考查了因式分解的完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键，先将三式相加，并移项配方成三个完全平方式，即可得到答案．【详解】将m 2-2p =7，n 2-6m =-17，p 2+2n =-1三式相加，得m 2-2p +n 2-6m +p 2+2n =7-17-1整理得m 2-6m +9+n 2+2n +1+p 2-2p +1=0即(m -3)2+(n +1)2+(p -1)2=0∴m =3，n =-1，p =1，∴m +n +p =3．20(2024·全国·八年级竞赛)已知在△ABC 中，a 、b 、c 是三边的长，且a 2-12b 2-c 2+4ab +8bc =0，那么b a +c 的值是( )．A.14 B.12 C.34 D.1【答案】B【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式因式分解，根据完全平方公式变形得出a +2b 2-4b -c 2=0，得出a +2b +4b -c a +2b -4b +c =0，求出a -2b +c =0，再代入求值即可得出答案．【详解】解：∵a 2-12b 2-c 2+4ab +8bc =0，∴a 2+4ab +4b 2 -16b 2-8bc +c 2 =0，a +2b2-4b -c 2=0，a +2b +4b -c a +2b -4b +c =0，∵a +b -c >0，∴a +6b -c ≠0，∴a -2b +c =0，∴b a +c =12．故选：B ．21(2024·全国·八年级竞赛)已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，则a 2+b 2-c 2 2-4a 2b 2为()A.正数B.负数C.零D.无法确定【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解，三角形三边的关系，先利用平方差公式和完全平方公式把原式分解因式得到a +b +c a +b -c a -b +c a -b -c ，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边推出a 2+b 2-c 2 2-4a 2b 2<0即可得到答案．【详解】解：a 2+b 2-c 2 2-4a 2b2=a 2+b 2+2ab -c 2 a 2+b 2-2ab -c 2 =a +b 2-c 2 a -b 2-c 2=a +b +c a +b -c a -b +c a -b -c ，∵a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，∴a +b +c >0，a +b -c >0，a +c -b >0，a -b -c <0，∴a +b +c a +b -c a -b +c a -b -c <0，∴a 2+b 2-c 2 2-4a 2b 2<0故选：B ．22(2024·全国·八年级竞赛)若多项式x 2+mx +12因式分解得x +3 x +n ，则m +n =()A.8B.9C.10D.11【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m 和n 的值，再求解即可．【详解】解：由已知，x +3 x +n =x 2+3+n x +3n =x 2+mx +12故可得，3+n =m ,3n =12，∴n =4，m =3+n =7，∴m +n =4+7=11，故选：D三、解答题23(2024·全国·八年级竞赛)有n (n ≥2且为整数)支乒乓球队进行单循环赛，每支参赛队同其他各队都进行一场比赛．如果用a i 和b i 分别表示第i (i =1,2,3,⋯,n )支球队在整个赛程中胜与负的局数求证：a 21+a 22+⋯+a 2n =b 21+b 22+⋯+b 2n ．【答案】见解析【分析】本题考查了等式证明问题，利用平方差公式进行因式分解，作差比较是非常常用的方法．找出比赛规则下隐含的条件a i +b i =n -1，且a 1+a 2+⋯+a n =b 1+b 2+⋯+b n 是证题的关键．【详解】证明：∵比赛没有平局，且所有球队胜的总场数与负的总场数相等，∴a i +b i =n -1，且a 1+a 2+⋯+a n =b 1+b 2+⋯+b n ．∴a 2i -b 2i =a i +b i a i -b i =n -1 a i -b i ，∵a 21+a 22+⋯+a 2n -b 21+b 22+⋯+b 2n =a 21-b 21 +a 22-b 22 +⋯+a 2n -b 2n=a 1+b 1 a 1-b 1 +a 2+b 2 a 2-b 2 +⋯+a n +b n a n -b n=n -1 a 1-b 1 +n -1 a 2-b 2 +⋯+n -1 a n -b n =n -1 a 1-b 1+a 2-b 2+⋯+a n -b n =n -1 a 1+a 2+⋯+a n -b 1-b 2-⋯-b n =n -1 a 1+a 2+⋯+a n -b 1+b 2+⋯+b n =0；∴a 21+a 22+⋯+a 2n =b 21+b 22+⋯+b 2n ．24(2024·全国·九年级竞赛)中国古代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦分别提出了一般三角形面积的计算方法：①S =14a 2b 2-a 2+b 2-c 222；②S =p p -a p -b p -c ．(其中a 、b 、c 为三角形的三边长，p =a +b +c2,S 为面积)(1)请证明：14a 2b 2-a 2+b 2-c 222=p p -a p -b p -c ；(2)如图，线段MN =6，点B 在MN 上，且MB =4，点A 是线段MB 上一点，分别以A 、B 为圆心，AM 、BN 的长为半径画圆，⊙A 和⊙B 交于点P ，直接写出△PAB 的面积的最大值：．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题考查了乘法公式的应用，二次函数的图象与性质．(1)对被开方数的字母因式利用乘法公式变形即可完成；(2)设AB =a ，则PA =4-a ，利用S =p p -a p -b p -c 表示出面积，再利用二次函数知识即可求解．【详解】(1)证明：∵14a 2b 2-a 2+b 2-c 222 =14ab +a 2+b 2-c 22 ab -a 2+b 2-c 22=14×(a +b )2-c 22×c 2-(a -b )22=14×(a +b +c )(a +b -c )2×(c +a -b )(c -a +b )2=a +b +c 2⋅a +b -c 2⋅c +a -b 2⋅c +b -a 2，∵p =a +b +c 2，∴a +b -c =2p -2c ，c +a -b =2p -2b ，c +b -a =2p -2a ，∴a +b +c 2⋅a +b -c 2⋅c +a -b 2⋅c +b -a 2=p (p -c )(p -b )(p -a )，∴14a 2b 2-a 2+b 2-c 22 2=p p -a p -b p -c ；(2)解：设AB=a，则PA=MB-AB=4-a，PB=BN=MN-MB=2，∴p=12MN=3，∴S=33-a3-23-4-a=3(-a2+4a-3)=-3(a-2)2+3，而对于-3(a-2)2+3，当a=2时，它有最大值3，∴S有最大值3；故答案为：3．25(2024·全国·八年级竞赛)在实数范围内因式分解：(1)-2x3+26x2y-3xy2；(2)a4+a2-6；(3)4(b+1)4-4b2-8b-3．【答案】(1)-x2x-3y2(2)a+2a-2a2+3(3)2b2+4b+12【分析】本题考查了实数范围内的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．(1)先提取公式因，再利用完全平方公式的方法进行因式分解即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式的方法进行因式分解即可；(3)利用完全平方公式的方法进行因式分解即可．【详解】(1)解：-2x3+26x2y-3xy2=-x2x2-26xy+3y2=-x2x2-26xy+3y2=-x2x-3y2；(2)a4+a2-6=a2-2a2+3=a+2a-2a2+3；(3)4(b+1)4-4b2-8b-3=4b+14-4b+12+1=2b+12-12=2b2+4b+12．26(2024·全国·八年级竞赛)已知a=xm2+1+2008,b=xm2+1+2009,c=xm2+1+2010，且abc=6，求abc+bca+cab-1a-1b-1c的值．【答案】1 2【分析】本题考查了分式化简求值，根据题意得出a-b=-1,b-c=-1,c-a=2是解题关键．【详解】解：依题意得：a-b=-1,b-c=-1,c-a=2，原式=a2+b2+c2-bc-ca-ababc=2a2+2b2+2c2-2bc-2ca-2ab2abc=a-b2+b-c2+c-a22abc=-12+-12+222×6=12．27(2024·全国·八年级竞赛)设a，b，c，d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=33，求d+b的值．【答案】5937或375【分析】本题主要考查了幂的乘方、因式分解的应用、解方程组等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．设a5=b4=m20,c3=d2=n6，则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3，进而得到c-a=n2-m4=33；再根据题意因式分解可得n+m2n-m2=33×1=11×3，再分为n+m2=33n-m2=1或n+m2=11n-m2=3两种情况求得m、n，进而求得b、d，最后求和即可．【详解】解：设a5=b4=m20,c3=d2=n6，则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3．∵c-a=n2-m4=33，∴n+m2n-m2=33×1=11×3．∵a，b，c，d均为正整数，∴m，n也为正整数，∴n+m2=33n-m2=1或n+m2=11n-m2=3，∴n=17m=4或n=7m=2，∴b=1024d=4913或b=32d=343，∴b+d=5937或375．故答案为：5937或375．28(2024·全国·八年级竞赛)已知a+b=3，x+y=5，ax+by=7．求a2+b2xy+ab x2+y2的值．【答案】56【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子因式分解成ay+bxax+by，再由一直条件式得到ax+ay+bx+by=15，进而求出ay+bx=8，据此可得答案．【详解】解：a2+b2xy+ab x2+y2=a2xy+b2xy+abx2+aby2=ax ay+bx+by bx+ay=ay+bxax+by，∵a+b=3，x+y=5∴a+bx+y=15，∴ax+ay+bx+by=15，∵ax+by=7，∴ay+bx=8，∴原式=8×7=56．29(2024·全国·八年级竞赛)已知：4a-b是11的倍数，其中a，b是整数，求证：40a2+2ab-3b2能被121整除．【答案】证明见解析【分析】本题考查了因式分解，整数的整除性，熟练掌握因式分解是解答本题的关键．设4a-b=11n，则b =4a-11n，先将代数式40a2+2ab-3b2因式分解，再将b的值代入并化简得121n2a-3n，即能证明结论．【详解】设4a-b=11n，则b=4a-11n，40a2+2ab-3b2=4a-b10a+3b=11n10a+34a-11n=121n2a-3n．故40a2+2ab-3b2能被121整除．30(2021·全国·九年级竞赛)因式分解x4+x2+2ax+1-a2【答案】x2+x+1-ax2-x+a+1【分析】利用“配方法”即先配方，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：x4+x2的特点，添上x2，-x2两项，原式=x4+2x2+1-x2+2ax-a2=x2+12-(x-a)2=x2+x+1-ax2-x+a+1【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式，平方差公式．。

数学竞赛专题讲座---第一讲因式分解(一)

第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。

初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案

初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1)222541636089x y z xy yz xz+--+-(2)2274012742a ab b a b+-++(3)2227156381341x y z xy yz xz+---+ (4)2224985422242a b c ab bc ac+++--(5)22634455212x xy y x y+-+++ (6)24040593521m mn m n--++(7)22152********x xy y x y+-+--(8)22284233215x y z xy yz xz+--++(9)2263491413206x xy y x y--++-(10)222723531031615x y z xy yz xz+--+-(11)22203973189m mn n m n-+++-(12)22320123346m mn n m n++---(13)22546212x y x y-+-+(14)22152********x xy y x y-+-++ (15)2212104256525x xy y x y+--+-(16)222822472x xy y x y-+-+(17)2227334451818x xy y x y --++-(18)2224275351223x y z xy yz xz --+-+(19)21863733535x xy x y ++++(20)2230774931356x xy y x y ++---(21)22242312501224x xy y x y ---++(22)2230148551025m mn n m n --+-+(23)222122854424m mn n m n +---+(24)221431151421x xy y x y ++--(25)2240316624a ab b a b -+-+-(26)222212721x xy y x y--+-(27)22141122799x xy y x y -+-++(28)226520914x xy y x y -++-+(29)2214217454025p pq q p q -+-++(30)22943103326m mn n m n +-+--(31)222243524222248a b c ab bc ac-+-+-(32)2226364210x xy y x y +----(33)22113021624x xy y x y ++---(34)2228499424218x y z xy yz xz+++++(35)22144775436x xy y x y+-++-(36)2245191712m mn n m n+---+ (37)22225145251720x y z xy yz xz---++ (38)22104121212849m mn n m n-+++-(39)2281721292220m mn n m n-++--(40)224564121012x xy y x y++++(41)2225536242436x y z xy yz xz-++--(42)2224063538a b c ab bc ac-++++ (43)254121521a ab a b++++(44)274283612m mn m n+-+-(45)25649344212x xy x y--+-(46)2243914x xy y x y--++-(47)2272113565287m mn n m n----+ (48)2235834218a ab b a b--+-(49)22728211156p pq q p q-++--(50)22256126112734a b c ab bc ac---+-(51)228953421x xy y x y++++-(52)22351110244535x xy y x y+----(53)22264155161048x y z xy yz xz-+---(54)222151412111327a b c ab bc ac-++++ (55)222827526136p pq q p q+++++ (56)2226435309658x y z xy yz xz+----(57)22202422739a ab b a b----+ (58)2226366132033x y z xy yz xz----+ (59)22216716542440a b c ab bc ac-++--(60)2224544111731x y z xy yz xz----+ (61)22418829187x xy y x y-+-++(62)2221218113315x xy y x y-++-+ (63)22220427749x xy y x y+++--(64)2228189182721x y z xy yz xz--+-+ (65)2212142040525x xy y x y--+++ (66)224217152743x xy y x y+--++ (67)22262124394632a b c ab bc ac--+-+ (68)22291069415x y z xy yz xz-+--+ (69)2228129201218x y z xy yz xz-+--+ (70)22925656612x xy y x y+--++(71)2218236282016a ab b a b +-+--(72)2224137122512x xy y x y +----(73)2225307404012x xy y x y +---+(74)2225621435830x y z xy yz xz -++++(75)22324814682330x xy y x y +---+(76)22123615381114x xy y x y -+-+-(77)222813670942x xy y x y ---++(78)224247310m mn n m n +-+-+(79)2248286741728a ab b a b ---++(80)2210414213910x xy y x y +-++-(81)25628272418m mn m n +++-(82)22251236162424x y z xy yz xz+-+++(83)2226425484111a b c ab bc ac++-+-(84)222402242182x y z xy yz xz+-++-(85)22245615592360x y z xy yz xz+++++(86)2224235207358x y z xy yz xz-+-+-(87)2263024194014x xy y x y +++++(88)22152896x xy y x y+-+-(89)229211825246x xy y x y +-+--(90)228383516388x xy y x y ++--+(91)222271544273a b c ab bc ac +---+(92)2218935187236x xy y x y +-+--(93)22227343033x y z xy yz xz +-+--(94)222191222115x xy y x y --+-+(95)22189201815x xy y x y--++(96)2262521395118x xy y x y -++-+(97)222481225143510x y z xy yz xz-----(98)2492863814p pq p q +--+(99)244211620x xy x y +--+(100)272958510x xy x y --++初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(943)(64)x y z x y z---+(2)(727)(6)a b a b-++(3)(73)(56)x y z x y z---+(4)(725)(74)a b c a b c+-+-(5)(723)(924)x y x y++-+ (6)(87)(553)m m n---(7)(347)(563)x y x y++--(8)(42)(8)x y z x y z-+--(9)(922)(773)x y x y+--+ (10)(87)(953)x y z x y z-+--(11)(53)(473)m n m n---+ (12)(326)(61)m n m n+-++ (13)(932)(621)x y x y++-+ (14)(565)(33)x y x y----(15)(375)(465)x y x y+--+ (16)(421)(72)x y x y---(17)(93)(346)x y x y+--+ (18)(6)(775)x y z x y z--++ (19)(277)(95)x y x+++ (20)(671)(576)x y x y+++-(21)(344)(836)x y x y--+-(22)(545)(625)m n m n-+++ (23)(346)(724)m n m n+---(24)(23)(757)x y x y++-(25)(832)(522)a b a b-+--(26)(3)(247)x y x y-++ (27)(723)(23)x y x y----(28)(37)(22)x y x y-+-+ (29)(25)(775)p q p q----(30)(926)(51)m n m n--++(31)(656)(474)a b c a b c+---(32)(62)(265)x y x y++--(33)(64)(56)x y x y+++-(34)(273)(473)x y z x y z++++ (35)(76)(271)x y x y-++-(36)(453)(4)m n m n+---(37)(575)(52)x y z x y z-++-(38)(537)(277)m n m n---+ (39)(925)(964)m n m n-+--(40)(56)(922)x y x y+++(41)(56)(56)x y z x y z--+-(42)(5)(86)a b c a b c++-+(43)(61)(921)a a b+++ (44)(62)(76)m n m+-+ (45)(872)(76)x y x-+-(46)(47)(2)x y x y+--+ (47)(977)(851)m n m n--+-(48)(73)(56)a b a b-++ (49)(32)(773)p q p q-+--(50)(836)(74)a b c a b c+--+ (51)(7)(83)x y x y+++-(52)(755)(527)x y x y++--(53)(855)(83)x y z x y z--+-(54)(323)(574)a b c a b c-+++ (55)(753)(42)p q p q++++ (56)(855)(876)x y z x y z-+--(57)(463)(573)a b a b--+-(58)(926)(73)x y z x y z++--(59)(274)(84)a b c a b c+---(60)(54)(94)x y z x y z++--(61)(421)(47)x y x y----(62)(265)(33)x y x y-+-+ (63)(267)(77)x y x y+-++ (64)(863)(33)x y z x y z--++ (65)(655)(245)x y x y++-+ (66)(731)(653)x y x y--+-(67)(76)(634)a b c a b c++--(68)(353)(322)x y z x y z-+++ (69)(423)(263)x y z x y z++-+ (70)(36)(922)x y x y+---(71)(924)(234)a b a b--++ (72)(33)(874)x y x y--++ (73)(572)(56)x y x y+---(74)(772)(832)x y z x y z++-+ (75)(825)(476)x y x y--+-(76)(257)(632)x y x y---+ (77)(727)(436)x y x y+---(78)(72)(65)m n m n-+++(79)(867)(64)a b a b--+-(80)(572)(225)x y x y+--+ (81)(76)(843)m m n++-(82)(566)(26)x y z x y z+-++(83)(665)(7)a b c a b c----(84)(86)(524)x y z x y z+++-(85)(93)(565)x y z x y z++++ (86)(775)(654)x y z x y z--+-(87)(667)(42)x y x y++++ (88)(32)(543)x y x y-++ (89)(33)(962)x y x y++--(90)(454)(272)x y x y+-+-(91)(954)(33)a b c a b c-+--(92)(676)(356)x y x y--++ (93)(9)(334)x y z x y z+++-(94)(331)(745)x y x y-+++ (95)(343)(65)x y x y-++ (96)(673)(36)x y x y-+-+ (97)(835)(645)x y z x y z++--(98)(72)(747)p p q-+-(99)(445)(4)x y x+--(100)(82)(95)x y x---。

初中数学因式分解(一)

1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2．因式分解结果的要求：因式分解结果的标准形式常见典型错误或者不规范形式符合定义，结果一定是乘积的形式 ()()()x x x +1+2+3+7既约整式，不能含有中括号 []()()x x +12+3-1 最后的因式的不能再次分解 ()()x x 2-1-1单项式因式写在多项式因式的前面()()x x x -1+1 相同的因式写成幂的形式 ()()()x x x x -1+1-1 每个因式第一项系数一般不为负数 ()()x x x -+1+1 每个因式第一项系数一般不为分数x x x 12⎛⎫⎛⎫-+1+1 ⎪⎪33⎝⎭⎝⎭因式中不能含有分式 x x x 21⎛⎫+ ⎪⎝⎭因式中不能含有无理数()()()x x x +1+2-23．因式分解基本解法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如：()ma mb mc m a b c 2+4+6=2+2+3把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．平方差公式()()a b a b a b 22+-=- 完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+()a b a ab b 222-=-2+立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2 完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+()a b a a b ab b 33223-=-3+3-大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++---（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A ．()ab a b a b ab 223+=3+3B ．x x x x 222⎛⎫2+4=21+ ⎪⎝⎭C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．①()x y x y 224-3+7；②()m m 23-4；③()()a b a b -4+2-2；④()[()]y x 22+1-1-3；⑤x x x 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭；⑥()x x x 1⎛⎫+1-2 ⎪2⎝⎭；⑦()()y x x 2-+3-+3；⑧()()()()x y x y x y x y 2244++++．（1）C ；（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：（1）因式分解是一种恒等变形．（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．（1）多项式x y x y x y 3222236-3+12的公因式是___________．（2）多项式()()()x y z a b x y z a b x y z a b 23433232545-24-+20-+8-公因式是_________．（3）观察下列各式：①a b 2+和a b +；②()m a b 5-和a b -+；③()a b 3+和a b --；④x y 22-和x y 22+，其中有公因式的是___________．（1）x y 223；（2）()x y z a b 223-4-；（3）②③．【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，式子找公因式．模块二提取公因式法模块一因式分解的概念因式分解：（1）a x abx y acx 232212+6-15（2）()()()()a b x y b c a b x y b c 223322++-6++（3）()()()x y x y x y 322+-2++2+ （4）abx acx ax 43-3+-（5）()()()()x y x y y x x y 2-33-2+2-32+3（6）a b a b ab 3223273-6+4这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取．原式()ax ax by c 2=34+2-5（2）视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母．原式2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c =+++--（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．原式2(2)[(2)(2)1]x y x y x y =++-++22(2)(4421)x y x xy y x y =+++--+ （4）提负数：原式32(31)ax bx cx =--+（5）提相反数：原式(32)[(23)(23)]x y x y x y =---+6(32y x y =--）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．原式32231(122427)4a b a b ab =-+223(489)4ab a b ab =-+．因式分解（随堂练习）：（1）x y xyz xy 25-10+5（2）()()()a x a b a x x a -+--- （3）()()()x x a x x -2+1++1++1（4）()()()()x m x m y m m x m y -----（5）n n b b 3-12-131+26（n 是正整数）（6）()()()p x p x p x 32226-1-8-1-21-（1）=()xy x z 5-2+1原式；（2）=()()()a x a b x a x a -----原式()()x a a b =---1；（3）()()x x a =+1-2++1原式()()x x a =-+12--1；（4）()()m x m y 2=---原式；（5）()n n b b 2-11=9+16原式；（6）()[()]p x x p 2=2-13-1-4-1原式()()p x x p 2=2-13-4-4．【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．因式分解：（1）()x 2-1-9 （2）()()m n m n 229--4+（3）()()a b a b 22-4-+16+ （4）()()a b a b 222222-3-5+5-3 （5）x xy y 229-24+16 （6）a a 28-4-4 （7）()c a b a b 222222---4（1）()()x x +2-4；（2）[()()][()()]m n m n m n m n =3-+2+3--2+原式()()m n m n m n m n =3-3+2+23-3-2-2 ()()m n m n =5--5；（3）原式()()a b a b 43++3=；（4）()()a b a b a b a b 22222222=5-3+3-55-3-3+5原式()()a b a b 2222=8-82+2 ()()()a b a b a b 22=16+-+；（5）()x y 2=3-4原式；（6）()a a 2=-4-2+1原式()a 2=-4-1；（7）原式()()()()c a b c a b c a b c a b +--+++--=．因式分解（随堂练习）：（1）()a b 216-3+2 （2）x y x y 62575-12（3）a b c 444-81+16 （4）()()a b a b 2222223---3（5）()()x y z x y z 22+-6++9 （6）()x y x y 22222+-4（7）m m 4216-72+81模块三公式法（1）()()a b a b =4+3+24-3-2原式；（2）()x y x y 244=325-4原式()()x y x y x y 22222=35+25-2；（3）()()c a b c a b 222222=4-94+9原式()()()c ab c ab c a b 222=2+32-34+9；（4）()()a b a b a b a b 22222222=3-+-33--+3原式()()a b a b 2222=4-42+2()()()a b a b a b 22=8+-+；（5）原式()x y z 2+-3=；（6）原式()()x y x y 22=+-；（7）()()m m 2222=4-2⋅4⋅9+9原式()m 22=4-9()()m m 22=2-32+3．【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．因式分解：（1）x 38+27 （2）y 3-+64（3）x x y 5239-72 （4）a b 66+ （5）a b 66-（1）()()x x x 2=2+34-6+9原式；（2）()()y y y 2=4-+4+16原式；（3）()x x y 233=9-8原式()()x x y x xy y 222=9-2+2+4；（4）()()a b 2323=+原式()()a b a a b b 224224=+-+；（5）()()a b 3232=-原式()()a b a b 3333=+-()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++另解：()()a b 2323=-原式()()a b a a b b 224224=-++()()()a b a b a a b b a b 422422=+-+2+- ()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++；【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式．因式分解：（1）a b c bc ca ab 2224+9+9-18-12+12（2）x x y xy y 32238-36+54-27（1）()a b c 2=2+3-3原式；（2）()x y 3=2-3原式．【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．下列因式分解正确的是（）A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3D ．因式分解：（1）abc a b a b 2336-14+12 （2）a a a 324-6+15-12 （3）()x a x a x 22224+--（4）()()p q p 22-1-4-1（5）()()()(a b m p a b m p 5-22+3-2-72+3）（6）()()()x y x y x y 232++6+-4+（1）()ab a c ab 22=26+3-7原式；（2）()a a a 22-34+2-5=原式；（3）()()a x x 22=+4-1原式；（4）原式()()p p q =2-1-2-1；（5）=()()m p a b 2+33+5原式；（6）()[()()]x y x y x y 2=2+1+3+-2+原式()()x y x y x y xy 22=2+1+3+3-2-2-4．模块二提取公因式法模块一因式分解的概念已知b c a +-=-2，求()()a a b c b c a b c b c a 22221⎛⎫--+-++2+2-2 ⎪33333⎝⎭的值．()()a b c a b c 2=----3原式()a b c 22=--3．∵b c a +-=-2，∴a b c --=2，则原式8=3．因式分解：（1）()y z x 224-2-（2）(m x y mn 2232--3）（3）x y 88-（4）x x 516-（5）()()x x x x 22225+2-3--2-3 （6）()()x x x x 2222+4+8+4+16（7）n n n a a a +2-2+8+16（1）=()()y z x y z x 2+2-2-2+原式；（2）原式=()()m x y n x y n 32-+2--；（3）=()()x y x y 4444-+原式()()()x y x y x y 222244=-++()()()()x y x y x y x y 2244=+-++；（4）()()()x x x x x 422=16-1=4-14+1原式()()()x x x x 2=2-12+14+1；（5）()()x x x 22=6-64+4原式()()()x x x x =24+1-1⋅⋅+1()()x x x 2=24-1+1；（6）()x x 22=+4+4原式()x 4=+2；（7）()n a a a -242=+8+16原式()n a a -222=+4．因式分解：（1）a b c 3338-1（2）a b b 33932-4（3）x y y 631564+（1）()()abc a b c abc 222=2-14+2+1原式；（2）=原式()b a b 33648-()()b a b a ab b 32224=42-4+2+；（3）()y x y 3612=64+原式()()y x y x x y y 3244248=4+16-4+．模块三公式法。

(完整)初中数学竞赛因式分解专题

初中数学竞赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．。

因式分解竞赛题集

例 2 分解因式：a3+b3+c3－3abc．解原式=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc =［(a+b)3+c3］－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－c(a+b)+c2]－3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公
课内练习
1. 若 a+b=3,a2b+ab2=－30,则 a3+b3 的值是（
）
（A）117 （B）133
（C）－90
（D）143
2. 已知 a = 1996, b = −1994, c = 1992 ，那么 bc(b + c) + ca(c − a) − ab(a + b) 等于
_____________
=(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
例 4 分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6．解法 1 原式=6(x4+1)＋7x(x2－1)－36x2
3. 把代数式 (x + y − 2xy)(x + y − 2) + (xy −1)2 分解成因式的乘积，应当是。

数学竞赛——因式分解1

．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )．A ．92B ．32C ．54D ．0 (大连市“育英杯”竞赛题)．多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．(上海市竞赛题)A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ．(y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（）．(2001年北京中考题)A ．)1)(3(22-+x xB ．)3)(1(22-+x xC ．)1)(1)(3(2+-+x x xD ．)3)(3)(1(2+-+x x x．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x(第13届“希望杯”邀请赛试题)．下列5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④)(6)(3m n n n m m -+- ；⑤x x 4)2(2+-其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A ．①、②、③B ．②、③ 、④C ．①③ 、④、⑤D ．①、②、④．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定(第13届“希望杯”邀请赛试题)二、填空题．分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝．．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．(2001年重庆市中考题)．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x = ．．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．（第15届“五羊杯”竞赛题）．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有个．三、解答题．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)求证：b c a 2=+．(天津市竞赛题)(1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ．．证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5． (莫斯科奥林匹克八年级试题)．把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．．把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题) (2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．(第13届“五羊杯”竞赛题)．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ；(湖北省黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．(天津市竞赛题)。

初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结

初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结初中数学竞赛专题培训因式分解1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上2222(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求22222式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图归并在一同，可得到下列图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；第1页第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数算作来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．申明(4)中有三个字母，解法仍与前面的相似．2．求根法我们把形如anx+an-1x+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)透露表现．如对上面的多项式f(x)f(1)=1-3×1+2=0；f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理222252nn-1=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，22所以原式=(x-2)(x-2x+2)．申明在上述解法中，出格要留意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9x-3x+7x-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±4322为：的根，则必有p是a的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式举行因式分化．例2分化因式：x-4x+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=2-4×2+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)32223232所以，原式有因式9x-3x-2．解9x-3x+7x-3x-2=9x-3x-2x+9x-3x-2=x(9x-3x-2)+9x-3x-2=(9x-3x-2)(x+1)=(3x+1)(3x-2)(x+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式22223243224322可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．第2页总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如许，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种紧张的解题方法，使用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分化成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未肯定，这时候能够用一些字母来透露表现待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积，按照多项式恒等的性子，双方对应项系数应该相等，或取多项式华夏有字母的几个非凡值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分化的方法叫作待定系数法．例4分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3．分析由于(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分化因式，那末它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使题目获得解决．解设x+3xy+2y+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有22222222在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x+ax+b)(x+cx+d)的形式．解设原式=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd，所以有4322222由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x-7x+1)(x+5x+7)．22说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等能够不加以斟酌．此题如果b=1，d=7代入方程组后，无法肯定a，c的值，就必需将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分化中也有效武之地．操演1．用双十字相乘法分化因式：解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．申明此题也可用双十字相乘法，请同学们本人解一下．例5分化因式：x-2x-27x-44x+7．阐发此题所给的是一元整系数多项式，按照前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检修，它们都不是原式的根，所以，432(1)x-8xy+15y+2x-4y-3；(2)x-xy+2x+y-3；(3)3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．222222第3页2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：。

七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)

初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。

下面再介紹两种方法1．添项拆项。

是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。

因式分解的应用——初中数学竞赛讲义

因式分解的应用一、利用因式分解判断整除性例1 2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明(2n＋1)2－(2n－1)2=(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)=4n·2=8n∴这两个连续奇数的平方差能被8整除．例2 x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．证明因式分解，得原式即(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)，∴x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．例3 设4x－y为3的倍数，求证：4x2+7xy－2y2能被9整除．证明∵4x2+7xy－2y2=(4x－y)(x+2y)，又∵ x+2y=4x－y－3x+3y=(4x－y)－3(x－y)．∴原式＝(4x－y)［(4x－y)－3(x－y)］＝(4x－y)2－3(4x－y)(x－y)∵4x－y为3的倍数∴4x2+7xy－2y2能被9整除例4设实数a<b<c<d，如果x=(a＋b)(c＋d)，y=(a＋c)(b＋d)，z=(a＋d)(b＋c，那么x、y、z的大小关系为( )A. x<y<zB. y<z<xC. z<x<yD. 不能确定解：∵a<b<c<d，∴x－y=(a＋b)(c＋d)－(a＋c)(b＋d)=ac＋bd－ab－cd=(a－d)(c－b)<0，即；x<y。

同理y－z=(a－b)(d－c)<0，即y<z。

∴x<y<z，选A。

说明：因式分解能使x－y和y－x两个差式显示出正负性质，达到可比较的目的。

二、因式分解解计算题例5计算下列各题：(1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314(2)解：(1)适当变形之后，提取公因式：原式＝23×3.14＋59×3.14＋18×3.14＝3.14×(23＋59＋18)=3.14×100=314(2)原式＝说明：上述这些计算，巧妙应用了因式分解，使运算过程显得灵活、简捷。

因式分解难题_竞赛题因式分解练习题

学校班级姓名学号密封线内不得答题八年级数学竞赛试题（因式分解）一、选择题：（每小题3分，共24分）1、在下列等式中，属于因式分解的是 [ ] A ．a(x －y)＋b(m ＋n)＝ax ＋bm －ay ＋bn B ．a 2－2ab ＋b 2＋1=(a －b)2＋1C ．－4a 2＋9b 2＝(－2a ＋3b)(2a ＋3b)D ．x 2－7x －8=x(x －7)－82、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 [ ] A ．a 2＋b 2 B ．－a 2＋b 2 C ．－a 2－b 2 D ．－(－a 2)＋b 23、下列名式：①②③④⑤中22y x -22y x +-22y x --22)()(y x -+-44y x -能用平方差公式分解因式的有 [ ] A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4．把x 2－7x －60分解因式，得 [ ] A ．(x －10)(x ＋6) B ．(x ＋5)(x －12) C ．(x ＋3)(x －20) D ．(x －5)(x ＋12)5、若9x 2＋mxy ＋16y 2是完全平方式，那么m 的值是 [ ] A ．－12 B ．±24 C ．12 D ．±126、用分组分解法把4221a a a ---分解因式，正确的是： [ ]A. 42()(21)a a a --+B. 42(2)(1)a a a --+C. 42(1)(2)a a a --+D.42(21)a a a -++ 7．已知x 2＋y 2＋2x －6y ＋10=0，那么x ，y 的值分别为 [ ]A ．x=1，y=3B ．x=1，y=－3C ．x=－1，y=3D ．x=1，y=－38、计算的值是 [ ] )1011)(911()311211(2222----A 、B 、C 、D 、212011012011二、填空：（每小题3分，共24分）9、与的公因式是_________。

因式分解的应用(含答案)

1.5 因式分解的应用◆赛点归纳因式分解在初中数学竞赛中，用途很广泛，具体来说用得较多的有如下几个方面：（1）利用因式分解简化计算；（2）利用因式分解求较复杂的代数式的值；（3）利用因式分解确定多项式中的某些相关的待定系数；（4）利用因式分解解决某些数的整除问题；（5）利用因式分解解某些特殊的方程或方程组等问题．◆解题指导例1化简：222 2000199819971997 19982000199820014+--⨯-．【思路探究】本题直接计算比较复杂，由于分子和分母都有平方与差的关系，由此可联想到运用因式分解方法简化计算．例2 （2001，“五羊杯”，初二）若（x－1）（y+1）=3，xy（x－y）=4，则x7－y7=_______．【思路探究】由（x－1）（y+1）=3，知xy+（x－y）=4，经观察可知，两个条件等式都含有xy和x－y的关系式．若设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，于是有u（4－u）=4，经过变形知它符合完全平方公式，即（u－2）2=0，故可知u=2，v=2，即xy=2，x－y=2．至此，将x7－y7分解成和xy和x－y相关的因式就不难求值．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？解：∵（x－1）（y+1）=3，∴xy+（x－y）=4．设xy=u，x－y=v，则u+v=4．①uv=4．②由①、②，得u2－4u+4=0．∴（u－2）2=0．∴u=2．∴v=2．∴x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）=56×20=1120．例3 （2004，“TRULY○R信利杯”）已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=•2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为________．【思路探究】求待求式的值，由条件等式可知，需将待求式进行合理变形，使它含有因式ax+by．这里用多项式分解因式的方法是可以达到的．例4 （2001，北京市竞赛）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．【思路探究】若能证明a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）2的值为零，则可说明左右相等．•由观察可知，这个“差式”具有平方差公式的特征．因此，可先设法利用平方差公式分解因式，然后证明其中某个因式为零．例5 （2002，太原市竞赛）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三B．角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【思路探究】要判断这个三角形的形状，由条件等式要么证明三边的平方关系，要么证明三边有两边或三边相等关系．这由条件等式分解因式就可判断．例6 （2000，“五羊杯”，初二）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2•位数字后，•剩下的数还是完全平方数．•则N•的最大值是_______．【思路探究】由N是完全平方数和去掉它的末两位数仍是完全平方数，可知这个数是一个特殊数．若设N=x2，去掉的末两位数为y，去后所得的整数M=m2，•则可得它们之间的关系式x 2=100m 2+y ，故y=x 2－100m 2．利用平方差公式可得两个关于x 的一次式．再根据题设不难探求N 的最大值．【拓展题】已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数，bd+cd 是奇数，求证这个多项式不能分解为两个整系数多项式的积．◆探索研讨因式分解是初中数学的常用解题方法，加之解法比较多，因此，对于它在不同的方面的应用应选择不同的思维方式，有时要整体分解因式，有时要部分分解因式．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知四个代数式：①m+n ；②m －n ；③2m+n ；④2m －n ，当用2m 2n 乘以上述四个式中的两个的积时，便得到多项式4m 4n －2m 3n 2－2m 2n 3，那么这两个式子的编号是（）．A ．①与②B ．①与③C ．②与③D ．③与④2．（2005，全国竞赛）已知A=48×（22211134441004+++---）．则与A 最接近的正整数是（）．A ．18B ．20C ．24D ．253．*若3x 3－x=1，则9x 4+12x 3－3x 2－7x+2002的值等于（）．A ．2002B ．2004C ．2005D ．20064．已知三个整数a 、b 、c 的和为奇数，那么，a 2+b 2－c 2+2ab （）．A ．一定是非零偶数B ．等于零C ．一定是奇数D ．可能是奇数，也可能是偶数5．关于x 、y 的方程x 2y=180的正整数解有（）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．方程2x 2－3xy －2y 2=98的正整数解有（）．A ．3组B ．2组C ．1组D ．0组7．（2001，全国竞赛）若x 2+xy+y=14，y 2+xy+x=28，则x+y 的值为______．8．*设m 2+m －1=0，则m 3+2m 2+2005=________．9．若x3+3x2－3x+k有一个因式是x+1，则k=______．10．（2000，“五羊杯”，初二）若x－y=1，x3－y3=4，则x13－y13=______．11．（2003，四川省竞赛）对一切大于2的正整数n，•数n5－5n3+4n的最大公约数是________．12．设x3+3x2－2xy－kx－4y可分解为一次与二次因式之积，则k=________．13．*若a=20052+20062+20052·20062，求证：a是一个完全平方数．14．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11•个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，•已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．15．已知A=a+2b+3c+4d=3，B=a－2b+4c+5d=2，试求a+10b+c+2d的值．16．（2000，武汉市竞赛）如果一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，试求最小的“千禧数”．答案:解题指导例1 设1998=x，则原式=2222(54)(32)(1)(4)(1)(2) (2)(34)(1)(2)(1)(4)x x x x x x x xx x x x x x x x++-+++--=--+-+--+=1．例2 1136．[提示：设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，从而可得（u－2）2=0，即u=2．∴v=2．于是x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）+x3y3（x－y）=56·20+23·2=1136．]例3 －5．[提示：由a+b=x+y=2，得（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4．①∵ax+by=5，将它代入①式，得ay+bx=－1．∴（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（a2xy+aby2）+（b2xy+abx2）=ay（ax+by）+bx（by+ax）=（ax+by）（ay+bx）=5×（－1）=－5．]例4 ∵a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）=（a2+b2）2－2a2b2+（a2+2ab+b2）2－2（a2+ab+b2）2=[（a2+b2）2－（a2+ab+b2）2]+[（a2+2ab+b2）2]－（a2+ab+b2）2]－2a2b2=（2a2+2b2+ab）（－ab）+（2a2+3ab+2b2）·ab－2a2b2=ab（－2a2－2b2－ab+2a2+3ab+2b2－2ab）=0，∴a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．你还能给出别的证法吗？不妨试一试．例5 C [提示：由a2+ab－ac－bc=0，得a（a+b）－c（a+b）=0，∴（a+b）（a－c）=0，∴a=c，a=－b （舍去）．由b2+bc－ba－ca=0，得b（b+c）－a（b+c）=0，∴（b+c）（b－a）=0，∴b=a，b=－c（舍去）．∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．]例6 1681．[提示：设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2•位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99．∴x2=100m2+y．∴y=x2－100m2=（x+10m）（x－10m）．令x+10m=a，x－10m=b，则b≥1，m≥1．x=10m+b≥11，a=x+10m≥21．若m≥4，则x=10m+b≥41，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=16，N=1681．显然当m≤3时，x≤40，故N=1681为所求的最大值．]【拓展题】假设x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r），其中p、q、r均为整数．令x=0，得pr=d，由bd+cd=（b+c）d为奇数知，b+c与d•均为奇数，从而p、r也都是奇数，再取x=1．由假设有1+（b+c）+d=（1+p）·（1+q+r）．左边是3个奇数之和，必为奇数；右边的因式（1+p）为偶数，从而（1+p）（1+q+r）必为偶数，显然奇数不等于偶数，所以假设不成立，故原式不能分解成两个整系数多项式的积．能力训练1．C [提示：对多项式做因式分解：原式=2m2n（2m2－mn－n2）=2m2n（2m+n）（m－n）．]2．D [提示：对于正整数n（n≥3），有21111(),442211111148[(1)()]429856102111111112(1)2349910010110211112512().9910010110211114112()12,99100101102992n n n A =---+=⨯+++-+++=+++----=-++++++<⨯<则 ∴与A 最接近的正整数为25．]3．D [提示：由3x 3－x=1，得3x 3=x+1，∴3x 4=x （3x 3）=x （x+1）=x 2+x ．∴原式=3·3x 4+4·3x 3－3x 2－7x+2002=3（x 2+x ）+4（x+1）－3x 2－7x+2002=3x 2+3x+4x+4－3x 2－7x+2002=4+2002=2006．]4．C [提示：a 2+b 2－c 2+2ab=（a+b ）2－c 2=（a+b+c ）（a+b －c ）．∵a+b+c 为奇数，∴a 、b 、c 三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数．当a 、b 、c 中有一个奇数、两个偶数时，则a+b －c 为奇数；当a 、b 、c 中三个都是奇数时，也有a+b －c 为奇数．∴（a+b+c ）（a+b －c ）是奇数．]5．D [提示：∵180=1×22×32×5，又x 2y=180．∴x 2y=1×22×32×5，且x 、y 为正整数/∴12,3,6,1804520 5.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或故共有四组正整数解．]6．C [提示：∵（x －2y ）（2x+y ）=98，x 、y 是正整数，∴x>2y ，且2x+y>x －2y ．∴方程可能的解只有以下情形：21,22,27,298;249;214.x y x y x y x y x y x y -=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩ 其中只有第二种情形有解x=20，y=9．]7．6或－7． [提示：把两个已知等式相加，得（x+y ）2+（x+y ）=42，即（x+y ）2+（x+y ）－42=0．∴（x+y －6）（x+y+y ）=0．∴x+y=6或x+y=－7．]8．2006． [提示：原式=m 3+m 2－m+m 2+m －1+2006=m （m 2+m －1）+（m 2+m －1）+2006=（m 2+m －1）（m+1）+2006．∵m 2+m －1=0，∴原式=2006．]9．－5． [提示：∵x 3+3x 2－3x+k 有一个因式是x+1，∴x 3+3x 2－3x+k=x 3+x 2+2x 2+2x －5x －5+5+k=x 2（x+1）+2x （x+1）－5（x+1）+（k+5）=（x+1）（x 2+2x －5）+（k+5）．∴当k+5=0，即k=－5时，原多项式有一个因式是x+1．]10．521． [提示：由x 3－y 3=（x －y ）（x 2+xy+y 2）=4和x －y=1，可得x 2+xy+y 2=4；由（x －y ）2=x 2－2xy+y 2=1，可得xy=1．又x 6+y 6=（x 3－y 3）2+2x 3y 3）=42+2×13=18，x 4+y 4=（x 2+y 2）2－2x 2y 2=（1+2×1）2－2×12=7，x 7－y 7=（x 4+y 4）（x 3－y 3）+x 3y 3（x －y ）=7×4+1×1=29．从而x 13－y 13=（x 7－y 7）（x 6+y 6）－x 6y 6（x －y ）=29×18－16×1=522－1=521．] 11．120． [提示：n 5－5n 3+4n=（n －2）（n －1）n （n+1）（n+2）．对于大于2的任何正整数n，数n5－5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．故这些数的最大公约数是120．]12．－2．[提示：x3+3x2－2xy－kx－4y=（x3+3x2－kx）－（2xy+4y）=x（x2+3x－k）－2y（x+2）．欲使此式可分解，则x2+3x－k应含因式x+2．将x=－2代入得（－2）+3（－2）－k=0，即－2－k=0，故k=－2．]13．∵a=20052+20062+20052·20062=（2005·2006）2+20052－1+20062+1=（2005·2006）2+（2005+1）（2005－1）+20062+1=（2005·2006）2+2006·2004+20062+1=（2005·2006）2+2006（2004+2006）+1=（2005·2006）2+2×2005·2006+1=（2005·2006+1）2．∴a是一个完全平方数．14．mn+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，由已知m+11│（mn+9m+11n+145），（n+9）│（mn+9m+11n+145），m+11=n+9，得（m+11）│46，（n+9）│46．∵46=46×1=23×2，∴m+11=n+9=46，或m+11=n+9=23．由此可得，每人捐款数为47元或25元．15．设a+10b+c+2d=mA+mB=（m+n）a+（2m－2n）b+（3m+4n）c+（4m+5n）d．则m+n=1，2m－2n=10，3m+4n=1，4m+5n=2．解得m=3，n=－2．故a+10b+c+2d=3A－2B=3×3－2×2=5．16．设“千禧数”为x，则x3=1000k+999（k为自然数）．∴x3+1=1000（k+1），即（x+1）（x2－x+1）=1000（k+1）．∵x2－x+1=x（x－1）+1为奇数，可设x+1=8m（m为自然数），∴m（x2－x+1）=125（k+1）．下面证明5（x2－x+1）．若5│x，显然5（x2－x+1），若5トx，设x=5n+p（1≤p≤4）．当p=1时，x2－x+1=5n1+1；当p=2时，x2－x+1=5n2+3；当p=3时，x2－x+1=5n3+2；当p=4时，x2－x+1=5n4+3．综上所述5 ト（x2－x+1）．∴x+1=1000t，为使x最小，应取t=1，∴x=999．经验证得999是“千禧数”．故最小的“千禧数”是999．。

因式分解(含答案)

1.4 因式分解◆赛点归纳因式分解是中学数学的一种重要的恒等变形，也是解决许多数学问题的重要途径和方法．在初中数学竞赛中，常用的方法除教材中介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法外，还有十字相乘法、折（添）项法、换元法和待定系数法等．◆解题指导例1 （2001，重庆市竞赛）因式分解：4x2－4x－y2+4y－3=______．【思路探究】这是一个二次五项式，显然没有公因式可以提取，这就要用其他因式分解法，经观察可用分组分解法．如何分组呢？例2 （2001，大连市第八届“育英杯”）分解因式x（x－1）+y（y+1）－2xy•的结果是_________．【思路探究】显然没有公因式可以提取，所以必须先运用整式乘法将它展开，展开后的多项式与例1相似，故宜用分组分解法．例3 （2002，北京市竞赛）a4+4分解因式的结果是（）．A．（a2+2a－2）（a2－2a+2）B．（a2+2a－2）（a2－2a－2）C．（a2+2a+2）（a2－2a－2）D．（a2+2a+2）（a2－2a+2）【思路探究】本题不可分组，又无法直接运用公式法，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式法分解．例4分解因式：x3－3x2+4．【思路探究】这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，•可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解．例5 分解因式：x2+xy－6y2+x+13y－6．【思路探究】这是二次六项式，运用分组分解法有困难．根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次项x2+xy－6y2可分解为（x+3y）（x－2y）．由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此，可用待定系数法分解．例6 （2000，“五羊杯”，初三）分解因式：（x4+x2－4）（x4+x2+3）+10=______．【思路探究】这是一道八次多项式因式分解题，在展开它时，要有目标，即在运用整式乘法将它展开后，必须考虑下一步能否分解因式．由观察可知，这两个四次三项式结构相同，因此，将四次项与二次项的和作为一个整体展开可分解因式．【拓展题】分解因式：（x2+xy+y2）2－4xy（x2+y2）．◆探索研讨提取公因式法、公式法和分组分解法是因式分解的基本方法．对于一些较为复杂的多项式因式分解，就需用到换元法、拆（添）项法、待定系数法．请结合本节的例题，总结拆（添）项法、换元法可分别化归为哪些基本方法？待定系数法实质是化归为解什么问题？◆能力训练1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）．A．（x+1）（x－1）=x2－1 B．（a－b）（m－n）=（b－a）（n－m）C．ab－a－b+1=（a－1）（b－1）D．m2－2m－3=m（m－2－3m）2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是（）．A．（x+y+3）（x－y－1）B．（x+y－1）（x－y+3）C．（x+y－3）（x－y+1）D．（x+y+1）（x－y－3）3．将多项式x2－4y2－9z2－12yz分解成因式的积，结果是（）．A．（x+2y－3z）（x－2y－3z）B．（x－2y－3z）（x－2y+3z）C．（x+2y+3z）（x+2y－3z）D．（x+2y+3z）（x－2y－3z）4．下列五个多项式：①a2b2－a2－b2－1；②x3－9ax2+27a2x－27a3；③x（b+c－d）－y（d－b－c）－2c+2d－2b；④3m（m－n）+6n（n－m）；⑤（x－2）2+4x．其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A．①，②，③B．②，③，④C．③，④，⑤D．①，②，④5．已知二次三项式21x2+ax－10可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A．a一定是奇数B．a一定是偶数C．a可为奇数也可为偶数D．a一定是负数6．将a4+b4+c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2分解因式得（）．A．（a2－b2－c2）2B．（a2－b2－c2+2bc）（a2－b2－c2－2bc）C．（a+b－c）（a－b+c）（a+b+c）（a－b－c）D．（a+b－c）（b+c－a）（c+a－b）（a+b+c）7．分解因式3a2－7a－6=______．8．分解因式x2+4xy－4+4y2=_______．9．把代数式（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是______．10．分解因式（x2－1）（x+3）（x+5）+12=_______．11．分解因式x5+x+1=_______，x5+x－1=______．12．（2000，“五羊杯”，初二）分解因式（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3．13．（2001，“五羊杯”，初二）分解因式（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3．14．（2002，“五羊杯”，初二）分解因式（1－7t－7t2－3t3）（1－2t－2t2－t3）－（t+1）6．15．分解因式（x+1）4+（x+3）4－272．16．分解因式6x2－5xy－6y2－2xz－23yz－20z2．答案:解题指导例1 （2x+y－3）（2x－y+1）．[提示：4x2－4x－y2+4y－3 =（4x2－4x+1）－（y2－4y+4）=（2x－1）2－（y－2）2=（2x+y－3）（2x－y+1）．]例2 （x－y）（x－y－1）．[提示：x（x－1）+y（y+1）－2xy =x2－x+y2+y－2xy=（x－y）2－（x－y）=（x－y）（x－y－1）．]例3 D [提示：a4+4=a4+4a2+4－4a2=（a2+2）2－（2a）2 =（a2+2a+2）（a2－2a+2）．]例4 （x+1）（x－2）2．解法1 x3－3x2+4=x3+x2－4x2+4=x2（x+1）－4（x+1）（x－1）=（x+1）（x－2）2．解法2 x3－3x2+4=x3+1－3x2+3=（x+1）（x2－x+1）－3（x+1）（x－1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．解法3 x3－3x2+4=x3+x2－4x2－4x+4x+4=x2（x+1）－4x（x+1）+4（x+1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．例5 设x2+xy－6y2+x+13y－6=（x+3y+m）（x－2y+n）=x2－2xy+nx+3xy－6y2+3ny+mx－2my+mn=x2+xy－6y2+（n+m）x+（3n－2m）y+mn．比较左、右两边对应项系数，得1,2,3213, 3.6.m n m n m n mn +=⎧=-⎧⎪-=⎨⎨=⎩⎪=-⎩解得 ∴x 2+xy －6y 2+x+13y －6=（x+3y －2）（x －2y+3）．例6 （x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．[提示：（x 4+x 2－4）（x 4+x 2+3）+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－12+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－2=（x 4+x 2－2）（x 4+x 2+1）=（x 2+2）（x 2－1）[（x 4+2x 2+1）－x 2]=（x 2+2）（x 2－1）[（x 2+1）2－x 2]=（x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．]【拓展题】设a=x+y ，b=xy ，则（x 2+xy+y 2）2－4xy （x 2+y 2）=[（x+y ）2－xy] 2－4xy[（x+y ）2－2xy]=（a 2－b ）2－4b （a 2－2b ）=a 4－6a 2b+9b 2=（a 2－3b ）2=（x 2+2xy+y 2－3xy ）2=（x 2－xy+y 2）2．能力训练1．C [提示：根据因式分解的概念判断．]2．D [提示：x 2－y 2－2x －4y －3=（x 2－2x+1）－（y 2+4y+4）=（x －1）2－（y+2）2=[（x －1）+（y+2）][（x －1）－（y+2）]=（x+y+1）（x －y －3）．]3．D [提示：x 2－4y 2－9z 2－12yz=x 2－（4y 2+9z 2+12yz ）=x 2－（2y+3z ）2=[x+（2y+3z ）][x －（2y+3z ）]=（x+2y+3z）（x－2y－3z）．]4．B [提示：②式=（x－3a）3；③式=x（b+c－d）+y（b+c－d）－2（b+c－d）=（b+c－d）（x+y－2）；④式=（m－n）（3m－6n）=3（m－n）（m－2n）．所以②、③、④式合乎要求．]5．A [提示：利用十字相乘法可推断．]6．C [提示：原式=a4－a2b2－2a2bc－a2c2－a2b2+2a2bc －a2c2+b4－2b2c2+c4=a4－a2（b2+2bc+c2）－a2（b2－2bc+c2）+（b2－c2）2 =a4－a2（b+c）2－a2（b－c）2+（b+c）2（b－c）2=[a2－（b+c）2][a2－（b－c）2]=（a+b+c）（a－b－c）（a+b－c）（a－b+c）．]7．（3a+2）（a－3）．8．（x+2y+2）（x+2y－2）．[提示：x2+4xy－4+4y2 =（x2+4xy+4y2）－4=（x+2y）2－4=（x+2y+2）（x+2y－2）．]9．（x－1）2（y－1）2．[提示：（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2．=（x+y）2－2xy（x+y）－2（x+y）+4xy+x2y2－2xy+1 =（x+y）2－2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2=（x+y－xy－1）2=（x－1）2（y－1）2．]10．（x2+4x－3）（x2+4x+1）．[提示：（x2－1）（x+3）（x+5）+12=（x+1）（x+3）（x－1）（x+5）+12=（x2+4x+3）（x2+4x－5）+12=（x2+4x）2－2（x2+4x）－15+12=（x2+4x－3）（x2+4x+1）．]11．（x3－x2+1）（x2+x+1）；（x3+x2－1）（x2－x+1）．[提示：x5+x+1=x2（x3－1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）[x2（x－1）+1]=（x3－x2+1）（x2+x+1）；x5+x－1=x2（x3+1）－（x2－x+1）=（x2－x+1）[x2（x+1）－1]=（x3+x2－1）（x2－x+1）．] 12．（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3=[（x－2）－（y－2）][（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2]－（x－y）=（x－y）[（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2－（x－y）2]=3（x－y）（xy－2y－2x+4）=3（x－2）（y－2）（x－y）．13．A3+B3+C3－3ABC=（A+B+C）（A2+B2+C2－BC－CA－AB）．若A+B+C=0，便有A3+B3+C3=3ABC．令A=2x－3y，B=3x－2y，C=5y－5x，则符合上述条件，易得A3+B3+C3=3ABC，即（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3=15（2x－3y）（3x－2y）（y－x）．14．设（t+1）3=x，y=2+t+t2，则原式=[（4+2t+2t2）－3（1+3t+3t2+t3）][（2+t+t2）－（1+3t+3t2+t3）]－[（t+1）3] 2=（2y－3x）（y－x）－x2=2x2－5xy+2y2=（2x－y）（x－2y）=[2（t3+3t2+3t+t）－（t2+t+2）][（t3+3t2+3t+1）－2（t2+t+2）]=（2t3+5t2+5t）（t3+t2+t－3）=t（2t2+5t+5）（t－1）（t2+2t+3）．15．令y=(1)(3)2x x+++=x+2，则原式=（y －1）4+（y+1）4－272=2（y 4+6y 2+1）－272=2（y 4+6y 2－135）=2（y 2－9）（y 2+15）=2（y+3）（y －3）（y 2+15）=2（x+5）（x －1）（x 2+4x+19）．16．5-422-33由上面的双十字相乘法，得2×5－3×（－4）=10－12=－2．∴6x 2－5xy －6y 2－2xz －23yz －20z 2=（2x －3y －4z ）（3x+2y+5z ）．。

竞赛专题-因式分解

初中数学竞赛辅导专题一：因式分解班级姓名因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，可以化和为积，因式分解的基本方法有： (1)提公因式法；(2)公式法；(3)分组分解法；即“一提，二套，三分组”因式分解的技巧包括：十字相乘法、双十字相乘法、换元法、添项（拆项）法、待定系数法、利用因式定理分解等．乘法公式: 2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- 33322222213()()()[()()()]2a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=++++---=++-+-+-一、基本方法：1．220091(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++2．分解因式：66a b - 3．分解因式： 326116x x x +++4．分解因式：632827x x -+ 5. (252)(472)(692)(8112)(199419972)(142)(362)(582)(7102)(199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+6． 444444(34)(74)(394)(54)(94)(414)++++++=类似4444444444(10324)(22324)(34324)(46324)(58324)(4324)(16324)(28324)(40324)(52324)++++++++++=444441111144444444441111144444(2)(4)(6)(8)(10)(1)(3)(5)(7)(9)++++++++++=7. (1)已知3330,0a b c a b c ++=++=,求151515a b c ++的值.(2)33332009200920092009,,a b c d a b c d a b c d +=++=++=+已知求证8.求证：在,m n 都是大于1的整数时，444m n +是合数。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

初中数学竞赛专题培训第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2m)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2m-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．- 1 -分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．- 3 -练习一1．分解因式419122+-+y x x n n(2)x 10+x 5-2；先十字相乘法再用公式法难222222)1(4)23()(++-+++-x x x x x x先对后两项利用平方差公式进行因式分解，然后提取公因式 x 2-x(4)(x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)2-x 5．把前半部分分子分母同乘(x-1)2变为5226)1()1(x x x ---然后同分分子展开整理即可2．分解因式：(1)x 3+3x 2-4； (2)x 4-11x 2y 2+y 2；难-添项若为x 4-11x 2y 2+y 4则容易解把-11x 2y 2分解为-2x 2y 2-9x 2y 2即可 (3)x 3+9x 2+26x+24； (4)x 4-12x+323．把26x 分成20x+6x 原式变为 1123632436224---++x x x x3．分解因式：(1)(2x 2-3x+1)2-22x 2+33x -1；最后变为-11+10(2)x 4+7x 3+14x 2+7x+1；拆项成：14312722234+++++++x x x x x x x(3)(x+y)3+2xy(1-x -y)-1；换元之后再添项例如)1)(1()2)((+-++++xy xy xy y x y x 也用换元法(4)(x+3)(x 2-1)(x+5)-20．把(x 2-1)展开再按照(x+3) (x+1)、(x-1) (x+5)重新组合然后换元。