几何中常见的辅助线添加方法
新初三数学：添加几何辅助线方法整理,总结很全,抓紧掌握!
【学整理】新初三数学：添加几何辅助线方法整理，总结很全，抓紧掌握！写在前面：暑假不仅仅是用来放松玩耍的，更是用来“弯道赶超”的。
暑假先人一步，开学领跑一路！开学不想落后他人，暑假抓紧预习起来。
今天小高老师和大家分享的是新初三数学：添加几何辅助线方法整理，总结很全，抓紧掌握！三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点：考虑中位线或等腰等边中的三线合一等知识。
3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一；（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °四边形常见辅助线的添加特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。
在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。
下面介绍一些辅助线的添加方法。
1. 和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。
（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形；（2）利用两组对边平行构造平行四边形；（3）利用对角线互相平分构造平行四边形；2. 与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
数学几何问题添加辅助线方法大全
数学几何问题添加辅助线方法大全规律1.如果平面上有n(n ≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n(n －1)条. 规律2.平面上的n 条直线最多可把平面分成〔12n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n －1)条. 规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点.求证：MN =12AC 证明：∵M 是AB 的中点，N 是BC 的中点∴AM = BM =12AB ,BN = CN = 12BC ∴MN = MB+BN =12AB + 12BC = 12(AB + BC) ∴MN =12AC 练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点.求证：AM =12(AB + BC) 2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点.求证：MN =12BC 3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC 的中点，M 是BC 的中点.N M CB AM C BAN M CB A求证：MN =12AB 规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有12n(n －1)个. 规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n －1）个.规律7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n （n －1）对对顶角.规律8.平面上若有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n (n －1)(n －2）个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为12n(n －1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律13.已知AB ∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 例：已知，BE 、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，若∠A = 45o ,∠C = 55o,求∠E 的度数.解：∠A ＋∠ABE =∠E ＋∠ADE ①1()∠ABC+∠BCD+∠CDE=360︒E D C BA+=∠CDE ∠ABC ∠BCD 2()E D C BA -=∠CDE ∠ABC ∠BCD 3()E D CB A -=∠CDE ∠ABC ∠BCD 4()E D CB A +=∠CDE ∠ABC ∠BCD 5()E DC B A+=∠CDE ∠ABC ∠BCD 6()E DC B AMBAH G F E D B C A H GFE D B C A H GFE D BC A N MCB A∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠CBE ② ①＋②得∠A ＋∠ABE ＋∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠ADE ＋∠E ＋∠CBE ∵BE 平分∠ABC 、DE 平分∠ADC ， ∴∠ABE =∠CBE ，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A ＋∠C ∴∠E =12(∠A ＋∠C) ∵∠A =45o,∠C =55o,∴∠E =50o三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ①在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ② 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得 AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G, 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点，F GN M EDCBA求证：12(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与BD 的延长线交于D.求证：∠A = 2∠D证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2∵∠A = ∠ACE －∠ABC∴∠A = 2∠1－2∠2又∵∠D =∠1－∠2∴∠A =2∠D规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BDC = 90o＋12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A①∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC②把②式代入①式得2(180o－∠BDC)= 180o－∠A即：360o－2∠BDC =180o－∠A∴2∠BDC = 180o＋∠A∴∠BDC = 90o＋12∠A规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，求证：∠BDC = 90o－12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB ①2∠2 =∠A＋∠ABC ②①＋②得2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A21C EDBADC BA21∴（∠1＋∠2）= 90o＋12∠A∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴∠BDC = 180o－(90o＋12∠A)∴∠BDC = 90o－12∠A规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B， AD⊥BC于D， AE平分∠BAC.求证：∠EAD = 12(∠C－∠B)证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)∴∠EAC = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BC∴∠DAC = 90o－∠C∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC∴∠EAD = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C)= 90o－12(∠B＋∠C)－90o＋∠C= 12(∠C－∠B)21FEDCBACBAAB CDEFFCBA如果把AD 平移可以得到如下两图，FD ⊥BC 其它条件不变，结论为∠EFD =12(∠C －∠B).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED ∴△BDE ≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EFFABC DE D C B A4321NF E B A证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o∴∠3 ＋∠2 = 90o即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.MA BC D E F12345 12DC B A当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b②a±b = c ③a±b = c±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD 2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.求证：BC = AB ＋CD规律25.证明两条线段相等的步骤： ①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
立体几何常见辅助线添加技巧
一、定义法添加辅助线——求角问题解决异面直线夹角、线面角、二面角、面面垂直的问题时，通常需要结合定义法求解，可是题目往往不会那么好心的为我们给出满足定义的所有条件，此时就需要添加辅助线，使已知条件满足某个定义，即把定义中缺少的线、面、体补全，所以理解并熟知立体几何当中的定义、概念很重要．总结一下就是：按照定义条件作辅助线凑条件．1、定义法作辅助线求异面直线所成的角上述各例都是利用定义法作平行线和垂线，凑足条件后利用定义找到相应的角，结合解三角形得到相应的答案．二定理法添加辅助线—证明平形&垂直问题证明空间中的平行和垂直问题利用定义法一般较为麻烦，通常采用判定定理和性质定理。
来证明，利用定理作出辅助线，构造定理使用的条件．故定理法作辅助线即找满足定理的条件，核心为作平行线和垂线．1、添加平行线的策略把不在一起的线集中到一个图形中，构造三角形、梯形的中位线，平行四边形、矩形、菱形的对边等，通过图形性质就可得到所需的平行关系．2、添加垂线的策略立体几何中的许多定理是与垂线有关的，如三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定理，就需要作辅助线把没有的垂线补全．尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系和使用三垂线定理或其逆定理．作垂线方法：等腰三角形或正三角形取底边中点，连接顶点和中点；连接正方形、菱形的对角线；直立方体，可连接上下面中心；构造勾股定理等构造垂直关系．三、割补法添加辅助线解决三视图或求体积、表面积问题几何体的三视图，常常可以看作是由基本几何体(如正方体、长方体)切割出的几何体的三视图，作直观图时，可以画出正方体(或长方体)，在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图．利用辅助线或辅助面，通过“割”或“补”把一些线面关系放到一些特殊的几何体中思考，或把原几何体分割成几个特殊的常见的简单几何体，使各种线、面关系易于理解．当遇到对称几何体或几何面的问题时，如球、正三棱锥、立方体、圆、正三角形、矩形、平行四边形等，根据题意可以把对称几何体或几何面的中心几何面的外心、内心、垂心、重心和所求问题涉及的点线面连接起来，然后利用几何体或面的性质求解问题．例如平行四边形连对角线；圆的问题向圆心连线；球的问题向球心连线等，使问题简单易解．立体几何作辅助线问题，看到求角想定义，看到求证想定理，看到结论想性质．定义、定理是打开解题思路的关键，也是引入辅助线的基础。
几种证明全等三角形添加辅助线的方法
几种证明全等三角形添加辅助线的方法在几何证明中，证明两个三角形全等是常见的任务之一、为了证明两个三角形全等，可以利用几何性质和辅助线的方法。
以下是几种常见的证明全等三角形添加辅助线的方法。
方法一：辅助线连接两个三角形的顶点和中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和B的中点M，以及连接点D和E的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法二：辅助线连接两个三角形的顶点和底边中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和底边的中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和D的中点M，以及连接点B和E 的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法三：辅助线连接两个三角形的对应角的角平分线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形对应角的角平分线来添加辅助线。
通过连接辅助线，我们可以得到一些相似的三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得到一些相等的边和角。
通过观察这些相等的边和角，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法四：辅助线连接两个三角形的中垂线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形的边的中点，然后连接这些中点的垂线来添加辅助线。
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。
思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。
解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。
又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。
在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。
因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。
结论得证。
总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。
变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。
解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。
因为EC为中线，所以AE＝BE。
在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。
所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。
又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。
因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。
在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。
结论得证。
2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。
解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。
因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。
浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法
浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法一、 过分点添平行线相似形是初中数学的重要内容，由于近年来各地的中考试题向重视学生能力方面快速倾斜，我们在学习相似形内容时，不仅需要掌握相似形的一些基本概念、性质和基本题形，还需要灵活运用所学相似形的基本知识进行补充、延伸、拓宽。
这里，笔者通过大量的习题研究证明一些线段成比例的题型中，发现了过分点添平行线的一种比较好的添线方法，现说明如下：在证明一些线段成比例的题型中，若图形中未出现相似三角形中的基本题型：A 字型与X 型，通常需要通过找一些分点添平行线去构造这些基本题型。
而且找分点还是有规律可循。
通常可把条件中出现的已知比例或分点的线段和结论中所要证明的线段所在的直线称为热线，把几条热线的交点称为热点。
那么过分点添平行线即可实际操作为过热点添热线的平行线。
以下举一道例题加以说明：例：点D 是三角形ABC 边AC 上的中点，过D 的直线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：。
BFCF EB AE = 分析：条件中出现已知中点的线段是AC 、结论中有关的线段落在AB 和BF 上，所以本题中的热线为AC 、AB 和BF ，这三条线段的交点分别为A 点、B 点和C 点，此三点即为三个热点。
所以本题的证明方法主要有三种。
解法一：过热点A 作热线BF 的平行线，交FE 的延长线于点G ，那么就有。
BFAG EB AE = 只要证得AG=CF 即可。
证明：过点A 作BF 的平行线，交FE 的延长线于点G 。
∵AG ∥BF ∴BF AG EB AE = DCAD CF AG = 又 ∵D 为AC 的中点，∴AD=DC∴AG=CF ∴BFCF EB AE = 解法二：过热点B 作热线AC 的平行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有BH AD EB AE =及BHDC BF CF =,只要证得AD=CD ，本题即可得证。
解法三：过热点作C 热线AB 的平行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有BFCF EB CH =,只要证得CH=AE ，本题即可得证。
初中几何辅助线大全
（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，
在△ABP和△AMP中
∵
()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMAB
∴△ABP≌△AMP （SAS）
∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)
CD
14图ABCDEFM1234
BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的
AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD
∵AD为△ABC的中线 （已知）
∴BD＝CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中
∴AB－AC＞PB－PC。
7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC
AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，
AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设
：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
圆中常用辅助线的添法
解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起
从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活
对提高学生分析问题和解决问题的能力是
1）见弦作弦心距
常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分
2）见直径作圆周角
"直径所对的
"这一特征来证明问题。
3）见切线作半径
∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）
∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）
∴BE＋CF＞EF
初中数学几何图形辅助线添加方法大全
初中数学添加辅助线的方法汇总作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
几何证明辅助线添加技巧
初中数学几何证明辅助线添加技巧一、添辅助线有二种情况：1.按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线（还可以利用等腰三角形顶角的外角是底角的两倍添加辅助线）。
2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线。
(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）。
(3)等腰三角形中的重要线段（即三线合一线，往往是加高用中点）是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形（好好琢磨下这段文字，还是很有道理的）：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
初中数学辅助线的九种添加方法
初中数学辅助线的九种添加方法1添辅助线有二种情况1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
初中数学关于添加辅助线的方法总结
初中数学关于添加辅助线的方法总结 辅助线对于同学们来说都不陌生，解几何题的时候经常用到。
当题目给出的条件不够时，我们通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。
一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。
所以我们要学会巧妙的添加辅助线。
添加辅助线的几种方法。
添辅助线有二种情况：▌1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
▌2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此〝添线〞应该叫做〝补图〞!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边那么要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时那么添中位线，当有中位线三角形不完整时那么需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点那么可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，那么可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(完整版)初中数学添加辅助线的方法汇总
初中数学添加辅助线的方法汇总作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、夕卜离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
几何辅助线的常见做法
初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
【高中数学】高中数学几何添加辅助线的常用技巧总结
【高中数学】高中数学几何添加辅助线的常用技巧总结一、定义法
添加辅助线——求角问题
1.定义法作辅助线求异面直线所成的角
2.定义法作辅助线求线面角
3.定义法作辅助线求二面角
上述各例都是利用定义法作平行线和垂线，凑足条件后利用定义找到相应的角，结合解三角形得到相应的答案．
二、定理法
添加辅助线—证明平形&垂直问题
1.添加平行线的策略
2.添加垂线的策略
三、割补法
添加辅助线解决三视图或求体积、表面积问题
四、中心对称问题中的对称连线法。
平行四边形辅助线的常见添法
平行四边形辅助线的常见添法平行四边形是一种特殊的四边形，其对边平行且相等。
在平面几何中，我们常常需要绘制平行四边形，而平行四边形的绘制又离不开辅助线。
本文将介绍平行四边形的常见添法及其应用。
一、基础概念1. 平行四边形：对边分别平行且相等的四边形。
2. 辅助线：在图形中引入的额外直线，以便更容易地进行计算或绘制。
二、常见添法1. 中点法中点法是最简单也是最基础的添法之一。
它的原理是在两条对角线上各取一个中点，然后连接这两个中点即可得到平行四边形。
步骤如下：（1）画出任意一个四边形ABCD；（2）连接AC和BD两条对角线；（3）在AC和BD上各取一个中点E和F；（4）连接EF即可得到平行四边形。
2. 三角形法三角形法也是一种简单易懂的添法。
它的原理是在原来图形上构造一个与之相似但比例不同的三角形，然后通过旋转或移动这个三角形，使其与原来的图形组成平行四边形。
步骤如下：（1）在原来的四边形ABCD上选择一个顶点A；（2）连接AC和AD两条边；（3）以A为顶点，做一个与△ACD相似但比例不同的三角形AEF；（4）将三角形AEF沿着AD旋转或移动到AB上，得到平行四边形ABFE。
3. 重心法重心法是一种比较常用的添法。
它的原理是在四边形的对角线交点处作一条平行于其中一条边的直线，然后将这条直线延长至四边形另一侧，再将这两条直线分别延长至与四边形相交即可得到平行四边形。
步骤如下：（1）画出任意一个四边形ABCD；（2）连接AC和BD两条对角线，并求出它们的交点O；（3）在O点处作一条平行于CD的直线EF，并延长至BC上；（4）将EF和BD分别延长至与AC相交，即可得到平行四边形ABFE。
4. 中垂线法中垂线法也是一种比较实用的添法。
它的原理是在任意一侧边上取一点，然后分别连接这个点与对角线的中点，再将这两条线段延长至另一侧边上即可得到平行四边形。
步骤如下：（1）画出任意一个四边形ABCD；（2）在AB上取一点E，并连接EC和AD的中点F；（3）在BC上取一点G，并连接AG和BD的中点H；（4）将EF和GH分别延长至CD上，即可得到平行四边形EFGH。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。
为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。
下面介绍六种常用的技巧。
1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。
然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。
这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。
2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。
3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。
这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。
4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。
5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。
利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。
6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。
根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。
这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。
通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。
在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几何专题——辅助线平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。
一、辅助线的定义：为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。
二、几种常用的辅助线：连结、作平行线、作垂线、延长等注意：1）添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。
一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。
2）添加辅助线时，一条辅助线只能提供一个条件三、正确添加辅助线歌人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证实有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证实是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证实题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注重勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时把握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。
五、总结常见添加辅助线的方法（一）定义类：1、和角平分线有关的问题，通常可以作这个角的两边的平行线例1：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，与BC交于D，求证：AB︰AC=BD︰CDB CD 解析：这个习题的证实方法很多，但均离不开添加∠BAC的两边的平行线。
①过D做DE∥AC与AB交于E。
②过D做DF∥AB与AC交于F。
③过B做BH∥AC与AD交于H。
④过C做CG∥AB与AD的延长线交于G。
2、如遇垂直平分线的问题，往往构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题例2：已知在三角形ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，G、F为分别为ED、BC 的中点，求证：FG⊥EDC分析：G是ED的中点，要证实FG⊥ED，说明FG必为ED的垂直平分线，自然考虑添加辅助线DF与EF，只要证得DF与EF相等，就可利用等腰三角形的三线合一定理推出结论。
（二）、梯形问题。
梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形有那么多性质，所以有关梯形的证明题、计算题，常有一定的难度，假如能巧借辅助线，则能有效地化难为易。
1、 移腰 ○1、移动一腰 例1：梯形两底长分别为14cm 和24cm ，下底与腰的夹角分别是60°和30°，求较短腰长。
解析：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=14cm ，BC=24cm ，∠B=60°，∠C=30°。
过点A 作AE//DC 交BC 于E ，得到平行四边形AECD 和△ABE ，故AE=DC ，AD=EC ，∠C=∠AEB=30°。
这样，梯形的两腰，两底之差，下底与腰的两个夹角都集中于Rt △ABE 中，于是得到较短腰。
EB②、移动两腰例2：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC 。
求证：∠B=∠C 。
C分析：过点E 作EM//AB ，EN//DC ，分别交BC 于点M 、N 。
梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN中，由E、F分别是AD、BC的中点轻易得到，又由EF⊥BC，得EM=EN，故∠EMN=∠ENM，所以∠B=∠C。
M N C2、移对角线例3：已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，对角线AC、BD互相垂直，梯形的两底之和为8。
求梯形的高与面积。
解析：过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，这样得到平行四边形ACED，所以AC=DE，AD=CE。
由AC⊥BD，得BD⊥DE。
这样将两对角线，两底和，两对角线夹角集中于△BDE中。
轻易得到DM为等腰直角△BDE 的BE边上的高，所以，即梯形的高为4。
3、移底例4：如图，梯形ABCD中，AB//CD，E为腰AD的中点，且AB+CD=BC。
求证：BD⊥CE。
CD分析：延长CE 交BA 的延长线于点F ，因为点E 为AD 的中点，可得△DCE ≌△AFE ，故CE=FE ，CD=AF ，由AB+CD=BC ，得BC=BF ，故BE ⊥CE 。
C4、作高例5：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，两条对角线AC=20cm ，BD=15cm ，梯形高为12cm ，求梯形ABCD 的面积。
DC解析：此题有两种解法。
法一：如图6，分别过点C 、D 作CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，得矩形DCEF ，在Rt △ACE 中，AC=20cm ，CE=12cm ，可得AE=16cm 。
同理BF=9cm ，显然BF+AE=AB+CD=25，可求梯形面积为。
D C 法二：如图7，过点D作DE//CA交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BA于点F，在Rt△DEF中，DE=AC=20cm，DF=12cm，由勾股定理可得EF=16cm。
同理，FB=9cm，所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25，进而求得梯形面积为。
C如图7通过添加辅助线，将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题，从而解决问题。
梯形添加辅助线的规律可归纳为以下几点：1、当两腰具备非凡关系时，移腰，构造等腰三角形或直角三角形。
2、当涉及面积时，作高，构造直角三角形。
3、当涉及腰的中点时，可添加辅助线构造全等三角形。
4、当涉及两底的和或差时，可灵活利用上述三点，将两底移到同一直线上。
（四）涉及到圆的辅助线可以归纳如下：①遇有直径，常把圆上的一个点和直径的两个端点连接，构成直角三角形；②有关弦的问题常做弦心距和将圆心与弦的两个端点连接；③两圆相切或相交，则可以按以下规律进行：“相切做条公垂线，相交做条共弦；相切相交连心线，必定过切点，垂直公共弦”。
例1、AB，CD是圆O中的两弦，相交于M，且AB⊥CD，求证：AM2+BM2+CM2+DM2等于定值。
例2：已知直角ΔABC中，∠C=900，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，CA长为半径画圆交斜边AB于D，求AD的长。
解：过C作CE⊥AD于E依垂径定理有AE=DE由勾股定理得AB=（AC2-BC2）1/2=10cm由ΔACE∽ΔABC得AE/AC=AC/ABAE=AC2/AB=3.6cm∴AD=2AE=7.2cm答：AD长为7.2cm例3：已知在ΔABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于E,求证：DE是⊙O的切线证明：连结AD、OD。
∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90。
，∴AD⊥BC∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD∵DE⊥AC，∴∠CDE=∠CAD即∠CDE=∠BAD∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA∴∠CDE=∠ODA∵∠CDE+∠ADE=90。
∴∠ODA+∠ADE=90。
∴OD⊥DE ∵D在⊙O上∴DE是⊙O上∴DE是⊙O的切线。
例4：已知PA和⊙O相切于A，PO交⊙O于B、C，AD⊥PO，D为垂足。
求证：OB×CP=CD×OP分析：要证OB×CP=CD×OP，只要证CD/OB=CP/OP，即要证CD-OB/DB=CP-OP/OP 由于OC=OB，问题转化为证：OB2=OD×OP。
在这里就想要到连OA，由OA=OB，只需要OA2=OD×OP。
而PA是切线，即OA⊥AP，又AD⊥AP，有OA2=OD×OP成立.例5：如图⊙O1和⊙O2相交于A、B，在⊙O1上取一点P，连结PA，PB，交⊙O2于C、D两点，求证CD与过P点的切线PE平行。
证明：连接AB ∵ACBD在⊙O2上∴∠CAB=∠CDB，又∠CAB=∠BPE∴∠CDB=∠BPE所以PE∥CD例6、如图，已知⊙M和⊙N相切于C,过C作大圆的弦CB\CE,分别交小圆于A，D，连BE∥AD证明：过切点C作外公切线CP∵CP为⊙N的切线∴∠PCD=∠CAD同理∴∠CAD=∠CBE∴∠CAD=∠CBE∴BE∥AD为了便于记忆，把上述六例编一个顺口溜：与圆有关辅助线，加添规律人可循。
遇弦就添弦心距，遇有直径找直角。
切线切点连圆心，两圆连心关系好。
相切两圆公切线，相切两圆公弦妙。
解题方法有多样，并非一定限此道。
（五）和线段的中点有关的问题往往可以联系到三角形和梯形的中位线例如：如图四边形ABCD 是圆的外切四边形，其周长是S ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：4EF ≤SC证实方法：连接AC ，N 是AC 和EF 的交点1）若N 是AC 的中点，则EF ∥DC ∥AB ，四边形ABCD 是梯形，那么EF 是梯形ABCD 的中位线，则有4EF=2（DA +BC ）=AB+BC+CD+DA=S2）若N 不是AC 中点则可以做出AC 的中点M ，连接EM ，FM ，则有2EM=DC ，2FM=AB ，从而可以得出4=2=S ，而在三角形EMF 中EF ﹤EM+MF ，可得4EF ＜S 。
（六）暗示类：1、截长补短：一条线段等于另外两条线段的和差。