电磁场理论与微波技术 第3章 静电场
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
电磁场与微波第3章
ε r > 1, µ r ≈ 1
通常介质中均匀平面波的相速小于真空中的光速
频率为3GHz的平面波 在理想介质(εr=2.1,µr=1)中 的平面波,在理想介质 例1 频率为 的平面波 传播。计算该平面波的相位常数、相速度、 传播。计算该平面波的相位常数、相速度、相波长 和波阻抗。若Ex0=0.1V/m,计算磁场强度 和波阻抗。 计算磁场强度
3.3 无界损耗媒质中的均匀平面波
3.3.1 等效介电常数 损耗煤质中时变电磁场的安培环路定理为： 损耗煤质中时变电磁场的安培环路定理为：
等效介电常数： 等效介电常数：
工程上常用损耗角正切的概念说明媒质损 工程上常用损耗角正切的概念说明媒质损 损耗角正切 耗的程度， 耗的程度，其定义为
ε ′′ tan δ = ε′
η0 =
µ0 = 120 π ≈ 377 Ω ε0
均匀平面波的电场和磁场的关系： 均匀平面波的电场和磁场的关系： 1. 在时间上同相，在空间上相互垂直 在时间上同相， 2. 比值为波阻抗
真空中的光速： 真空中的光速：
c=
1
1
µ 0ε 0
= 1
均匀平面波的相速： 均匀平面波的相速：
v =
µε
µ 0 µ r ε 0ε r
3.3.2 损耗媒质中的电场和磁场 电场的通解： 电场的通解：
E = e x E me
−γ z
= e x E me
−α z
e
- jβ z
为传播常数
衰减常数
2 µε σ α =ω 1+ − 1 2 ωε
2 µε σ 1+ β =ω + 1 2 ωε
《电磁场与电磁波》第3章
Φ
2
对 = 0的空间，及点、线、面电荷之外没有电荷的空间
2Φ 0
式中 2=
电位的拉普拉斯方程
标量拉普拉斯微分算子
二.电位函数
2.电位的微分方程
直角系
2 2 2 Φ Φ Φ 2 2 2 2 x y z
圆柱系
2 2 1 Φ 1 Φ Φ 2 ( ) 2 2 2 z
电位的衔接条件
1 2 lim
1 2
2
1
d d E d l lim ( E1n E2 n ) 0 d 0 2 2
因此
1 2
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
二.电位函数
3.电位的边界条件
证明：
D E E
1 2 1 2 s n n
C1 0 D1 0 C2 a D2 0 D1 0
b
a
2 x a 0
1 x b 2 x b
C1b D1 C2b D2
二.电位函数
解： y
s0
φ1 φ2 V
D1 0 C2 a D2 0
x
O
E1
E2
b
a
C1b D1 C2b D2
P E0 cos
E0 ex E0
z
O
r
y
P (,φ,z)
x e
E0
ex ez 0
O
φ x
二.电位函数
解题思路：
例3.1.3 已知两块无限大接地导体平面的位置（x=0,x=a） x=b处为s0的均匀面电荷分布。求： φ1, φ2 E 1 E2
3电磁场与电磁波-第三章new
对于体、 对于体、面、线电荷的电位，可用场源积分法分别求得： 线电荷的电位，可用场源积分法分别求得： 总结： 总结： 求解电场强度时， 求解电场强度时，可先求 电位函数， 电位函数，然后计算电 位函数的负梯度便得电 场强度E(r)。 场强度 。 可见电位的计算式简便得多(标 可见电位的计算式简便得多( 量积分) 再求场强时， 量积分)，再求场强时，微分 总是可计算的 也简单。 总是可计算的，也简单。
∮E.dl l
= 0
3.2.2
无旋场， 静电场为无旋场 静电场为无旋场， 一定是保守场 一定是保守场
3.2.11
因上式积分路径及面元是任意的， 因上式积分路径及面元是任意的，有： x E = 0
总结真空中静电场的基本方程(微分形式 为 总结真空中静电场的基本方程 微分形式)为： 微分形式
在场源变量ρ已知的情况下，通过D 在场源变量ρ已知的情况下，通过D0=ε0E， 联立求解上述两个矢量方程就能求得E 联立求解上述两个矢量方程就能求得E。 据亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定， 据亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定， 只有在给定散度与旋度方程的条件下才能唯一的 只有在给定散度与旋度方程的条件下才能唯一的 的确定此矢量场。 的确定此矢量场。 当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D 当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D0 只有一个分量，且仅是坐标的函数， 或E只有一个分量，且仅是坐标的函数，则 E自动 =0，此时只要计算∮ ds=q即可得场解 即可得场解。 满足xE =0，此时只要计算∮D0.ds=q即可得场解。
R
3
4π
B(r ) =
0 I
4
∫ π
dl ′ X R
l
R3
> ε0 > 1/0 > 电荷 > 电流 > 标量源 > 矢量源 叉积
电磁场理论知识点总结
电磁场理论知识点总结电磁场与电磁波总结第1章场论初步⼀、⽮量代数A ?B =AB cos θA B ?=AB e AB sin θA ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) ⼆、三种正交坐标系 1. 直⾓坐标系⽮量线元 x y z =++l e e e d x y z⽮量⾯元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位⽮量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系⽮量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l ⽮量⾯元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位⽮量的关系 ?=?? =e e e e e =e e e e zz z ρ??ρρ?3. 球坐标系⽮量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? ⽮量⾯元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位⽮量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ?θ??θcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ??=-sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A=--θ?θ?θ?θθ?θ?θ??sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A=-θ??θθθθ三、⽮量场的散度和旋度1. 通量与散度=??A S Sd Φ 0lim→?=??=??A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=??A l ?ld Γ maxnrot =lim→A l A e ?lS d S3. 计算公式=++A y x zA A A x y z11()=++A zA A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin =++A r A r A A r r r r ?θθθθθ?x y z ?=e e e A x y z x y z A A A=?e e e A z z z A A A ρ?ρρρ?ρ sin sin=?e e e A r r zr r r A r A r A ρθθθ?θ 4. ⽮量场的⾼斯定理与斯托克斯定理=A S A SVd dV ?=A l A S ?l四、标量场的梯度 1. ⽅向导数与梯度00()()lim→-?=??l P u M u M u llcos cos cos =++P uu u ulx y zαβγ cos ??=?e l u u θ grad = =+e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式=++???e e e xy zu u uu x y z1=++???e e e z u u u u z ρρρ? 11sin =++???e e e r u u u u r r r zθ?θθ五、⽆散场与⽆旋场1. ⽆散场 ()0=A =??F A2. ⽆旋场 ()0=u =?F u六、拉普拉斯运算算⼦ 1. 直⾓坐标系222222222222222222222222222222=++?=?+?+??=++?=++?=++A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212=++ =?--+?-++? ? ??????A e e e z z u u uu zA A A A A A A ?ρρρρρρρρρ?ρρ?ρρ?3. 球坐标系22222222111sin sin sin =++ ? ??????????u u uu r r r r r r θθθ?θ? ???+-??+?+???--??+?+???----=θθθ?θ?θθθθ?θθθθθθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2 22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果⽮量场F 在⽆限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当⽮量场的散度、旋度和边界条件（即⽮量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该⽮量场F 唯⼀确定为()()()=-?+??F r r A r φ其中 1()()4''??'='-?F r r r r V dV φπ1()()4''??'='-?F r A r r r V dV π第2章电磁学基本规律⼀、麦克斯韦⽅程组 1. 静电场基本规律真空中⽅程： 0d ?=SE S ?qεd 0?=?lE l ? 0=E ρε 0??=E 场位关系：3''()(')'4'-=-?r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 01()()d 4π''='-?r r |r r |V V ρφε介质中⽅程： d ?=?D S ?S qd 0?=?lE l ? ??=D ρ 0??=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0+=?J tρ传导电流： =J E σ与运流电流：ρ=J v恒定电场⽅程： d 0?=?J S ?Sd 0l=E l 0=J 0E =3. 恒定磁场基本规律真空中⽅程：0 d ?=?B l ?lI µd 0?=?SB S ? 0=B J µ 0=B场位关系：03()( )()d 4π ''?-'='-?J r r r B r r r VV µ =??B A 0 ()()d 4π'''='-?J r A r r r V V µ 介质中⽅程：d ?=?H l ?l Id 0?=?SB S ? ??=H J 0??=B磁化：0=-BH M µ m 00(1)=+B H =H =H r χµµµµ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e4. 电磁感应定律d d ?=-SE l B S ?lddt =-BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律：d ()d ??=+D H l J S ?lSt =+DH J t位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0=+?=-??==D H J S B E S D S B Sl S l S SV S l t l t V d ρ 0=+???=-?==?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0=+???=-?==?E H E H E E H t t εσµερµ ⼆、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00=-??==+??=--?=?=?????=?=??B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ??=--?=+==B E J D H J D B tt ρρ三、边界条件 1. ⼀般形式12121212()0()()()0-=-=-=-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界⾯和理想介质界⾯111100?=??===e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0-=-=-=-=e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析⼀、静电场分析1. 位函数⽅程与边界条件位函数⽅程： 220?=-电位的边界条件：121212=??-=-?s nn φφφφεερ 111=??=-?s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解⽅法：2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ连续分布： 12=?e V W dV φρ电场能量密度：12D E ω=?e⼆、恒定电场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件位函数微分⽅程：20?=φ边界条件：121212=??=?nn φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦⽿定律欧姆定律的微分形式： =J E σ焦⽿定律的微分形式： =??E J V3. 任意电阻的计算2211d d 1??====E l E l J SE SSSUR G Id d σ（L R =σS ）4. 静电⽐拟法：C —— G ，ε —— σ2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε 2211d d d ??===J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件⽮量位：2?=-A J µ 12121211A A e A A J n s µµ()=?-=标量位：20m φ?= 211221??==??m m m m n nφφφφµµ 2. 电感定义：d d ??===??B S A l ?SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ连续分布：m 1d 2A J =??V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=? 第4章静电场边值问题的解⼀、边值问题的类型●狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ●纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()?=?f s nφ●混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()?==?f s f s nφφ●⾃然边界：lim r r φ→∞=有限值⼆、唯⼀性定理静电场的惟⼀性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表⾯电荷分布）下，空间静电场被唯⼀确定。
电磁场与电磁波第3章ppt_图文
q
4 0
1 rP
1 rQ
O
选参考点位于无穷远处，即令rQ ，得 P
rP q
4 0rP
P
由此得到点电荷电位的一般表达式 q 4 0r
对于位于r的点电荷，电位表达式为
q
q
40 r r 40R
无限长线电荷：设线电荷l在原点，参考点Q，场点 (电位
微分形式：
D
E 0
本构关系：D E
边界条件
en E1 E2 0
en
D1
D2
S
或
E1t E2t
D1n
D2 n
S
对于理想介质，有
en E1 E2
0 或
en D1 D2 0
x a 处，φ2 (a) = 0
x b处，φ1(b) =φ2 (b),
2 ( x)
x
1(x)
x
xb
S0 0
所以 D1 = 0
C2a + D2 = 0
C1b + D1 = C2 b + D2
C2
-
C1
=
-ρS0 ε0
由此解得
C1
=
-ρS0 (b ε0a
证明 对于单个点电荷产生的场
把试探电荷q0从P移到Q 设电荷q0 受到的电场力为F， 在该力作用下的位移为dl，
则电场力做功为 dW F dl qE dl
WPQ
Q
F dl
P
Q
Q
F cos θdl Fdr
电磁场与微波技术 第3章
S av
2 Em jkz Em 1 1 Re E H Ree x Eme jkz e y e e z 2 2 2
（3.20）
已知无界理想介质 （ 9 0 , 0 , 0 ）中正弦平面波的 8 v/m ,求： 频率 f 10Hz，电场强度为 E e 4e （1）平面波的相速度 v p 、波长 、相位 k 常数 、波阻抗 ； （2）写出电场E和磁场H的瞬时表达式； （3）求坡印廷矢量的平均值。
（3.31）
图3.6
右旋圆极化
图3.7
固定时刻圆极化波的电场在空间分布
3.2.3
椭圆极化
通常Ex和Ey振幅和相位都不相等，合 成电场的矢端轨迹为椭圆，波为椭圆极化。
E x E xm cost x
E y E ym cost y
图3.8
椭圆极化
3.3 无界损耗媒质中的均匀平面波
1
10 4 10 5.8 10
10 7
7
0.000667 mm
例3.7 均匀平面波的电场振幅为10-2V/m， 从真空中垂直入射到理想介质平面上。已 知介质的μ =μ 0、ε =4ε 0,求入射波、反 射波和折射波的坡印廷矢量平均值。
解
反射系数为
2 1 R 2 1 0 0 0 0 0 0
3
电场和磁场的瞬时表达式为
jkz j 3 jt E Ree x 4e e e x 4 cos t kz 3 8 e x 4 cos 2 10 t 2 z V/m 3
jkz j 1 3 jt H Ree y e 10 e 1 8 e y cos 2 10 t 2 z A/m 10 3
电磁场与微波技术-ch3
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16
静电场问题的解法—分离变量法
2 2 C 不过， C1 = −C2 关系是确定的。当 C1 = kn ， 2 = − kn 。此 时 解为 时通解为
φ ( x, y ) = ( A0 + B0 x )( C0 + D0 y )
+ ∑ ⎡ An ch ( kn x ) + Bnsh ( kn x )⎤ ⎡Cn cos ( kn y ) + Dnsin ( kn y )⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦
φ ( x, y ) = ( A0 + B0 x )( C0 + D0 y )
+ ∑ ⎡ An cos ( kn x ) + Bn sin ( kn x )⎤ ⎡Cn ch ( kn y ) + Dnsh ( kn y )⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦
n=1 2 2 当然 C1 = − kn 还是 C1 = kn 要根据边值问题特征而定， ∞
Y0 = A0 + B0 y
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15
静电场问题的解法—分离变量法
当 kn ≠ 0 时， 和
X n = An cos ( kn x ) + Bn sinபைடு நூலகம்( kn x )
Yn = Cn ch ( kn x ) + Dnsh ( kn x )
最终，方程的解为 kn 取各种可能的值时的线性组合 终 种
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3
静电场问题的解法—唯一性定理
唯一性定理
[定理] 在静电场问题中 如果带电导体系统的形状 尺寸 在静电场问题中，如果带电导体系统的形状、尺寸、 相对位置一定，则满足边界条件的拉普拉斯方程和泊 松方程的解是唯 的 松方程的解是唯一的。 [证明] 在开始证明之前，先来补充和讨论格林第一定理。设
电磁场理论基础 第3章
− 0 −
第三章 静 电 场 应用叠加原理, P点的电位应是
φ ( P) = φ + φ
+
− + 0 + − 0 −
ρl ρ ρl ρ = 1n − 1n 2πε 0 ρ 2πε 0 ρ
+ ρ− ρl ρl ρ0 = 1n + + 1n − 2πε 0 ρ 2πε 0 ρ0
上式中的ρ+和ρ-分别表示观察点到+ρl和-ρl的垂直距离。当参考点 选在两线电荷连线的中点, 即
ρs a ρs = ∫0 z 2 + ρ 2 dρ 2ε 0 ρs = 2ε 0
[z
2
+ a2 − z
]
第三章 静 电 场 例 3.6 设有两条电荷均匀分布的无限长直线电荷, 线电荷密 度分别为±ρl(C/m), 二者相距d(m), 如图3 - 9所示。试求空间任 意点P(x, y)的电位。
图 3 - 9 两无限长平行直线的电位
2
d x − + y2 2
d x − + y2 ρl 2 = 1n (V ) 2 4πε 0 d x + + y2 2
第三章 静 电 场 例 3.7 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度
为ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε０, 如图3-10所示。试 求: (1)球内外的电场强度E; (2) 验证静电场的两个基本方程 ▽×E=0及▽ ·E=ρ/ε0; (3) 球内外的电位分布; (4) 画出球内外的E、 φ随半径r的分布图。 r ［解］ (1) 因为电荷分布为均匀球体, 所以电场有球对称性, 即 解 在与带电球同心, 半径为r的高斯面上, E是常数,方向是径向, 可以 应用高斯定理求距球心r处的电场强度。
《电磁场与电磁波教程》教学课件—静电场和恒定电场
解 首先使用圆柱坐标系，长细直导线放在z轴上，由电荷分布 特点，可以看出此电场具有轴对称性，即电场强度E只有沿ρ方 向的分量。由于线电荷无限长，场沿长度方向无变化，所以每
个垂直于线电荷平面上的场分布相同。故以细导线为轴的圆柱
面上E值相同，即E与 、z无关。以细直导线为轴作一闭合的圆
柱形高斯面。其半径为r，高度为l。应用高斯定律
解 设在导线与圆筒间加上电压U，导线单位长度上的电荷量为
ρl，则由对称性和高斯定律得
E dS E 2rL l L
s
0
E l 2 0 r
U
b
E dl
b
Edr
l
b dr
l
ln b
a
a
20 a r 20 a
C Q l L 20L
U U ln(b / a)
例3.12 一球形电容器由两个同心的薄金属球壳构成，两壳
s DdS q
s
E
dS
q
s DdS V V dV
例 计算无限大均匀带电平面的场强分布。（电 荷密度为 ）
E
E
解：
S E dS 21 2
2 0 1 ES
S E dS 2ES
qi S
i
2ES S
E
0
2 0
2 是侧面 通量,
1是底面 通量
E
E
0 场强方向指离平面; 0 场强方向指向平面。
• 多导体系统的电容
如大地与架空三相输电线之间
1 a11q1 a12q2 ... a1nqn
2
a21q1
a22q2 ... ........
a2nqn
n an1q1 an2q2 ... annqn
电磁场与电磁波-第三章
1
x
2
x
xb
s 0
得到四个等式：
D1 0 C2a D2 0
C1b C2b D2
C1
C2
s0 0
由此解得：
C1
s0 (b 0a
a)
C2
s0b 0a
D1 0
D2
s0b 0
能够得到电势为：
1 ( x)
s0 (b 0a
a)
x
2 x)
从而电场为：
电容系数具有下列特点：
ij 在数值上等于第j个导体旳电位为一种
单位而其他导体接地时，第i个导体上旳电 量，即
ij
qi
j
1
j1
j1
N
0
ij 只与各导体旳形状、尺寸、相互位置
以及导体周围旳介质参数有关，而与各导 体旳电位和带电量无关；
ij 具有对称性，即 ij ji ，互电容 系数 ij 0 (i j) ，自电容系数 jj 0
当这个导体系统中旳任何一种导体上充以 电荷时，它将以一定方式使全部导体（涉 及充以电荷旳导体本身）具有一定旳电位。
因为电位与各导体所带电荷量之间成线性 关系，所以各导体旳电位为：
1 11q1 12q2 1N qN
2
21q1 22q2
2N qN
N N1q1 N 2q2 NN qN
D l E l
故
2x
20 x
E(x)
ex
l 2 0
(1 x
1 D
) x
两导线间电位差为：
U
2 E dl
Da
l
(1
1
)dx
1
a 20 x D x
l ln D a 0 a
电磁场与电磁波(第三章)静电场分析
P
电位参考点不能位于无穷远点。
取r=1柱面为电位参考面，即 rQ 1得：
P
l 20
ln rP
无限长线电荷的电位
3、体分电布荷电：荷体(系rv)在空间1中产生的(rv电')d位V c
4 0
面电荷： (rv) 1
V sR(rv')dS c
4 0
线电荷： (rv) 1
SR
l (rv')dV c
式中：
R
rv
4 rv'
0
l
R
若参考点在无穷远处，c=0。
引入电位函数的意义：简化电场的求解！
v
E
四、例题 例题一 例题二
例题一 求电偶极子pv qlv在空间中产生的电位和电场。
分析：电偶极子定义
先求解空间电位，再求电场 q
(2
cos
evr
sin
ev
)
例题二
求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和
电场强度。
解：在面电荷上取一面元 ds
如图所示。
z P(0,0, z)
dr
v
R
d dq 4 0 R
y
r
a
s r 'dr 'd '
x
40 R
R (z2 r '2 )1/ 2
2 a
uv v Q p ql
uv v
P
pgr
4 0 r 3
v
E
(
r
evr
《电磁场理论》练习题与参考答案(最新版)
第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A，则M （1，1，1）处A= ，=⨯∇A 0 。
2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ˆ4ˆ)(ˆ2+++= ，则在M （1，1，1）处=⋅∇A 9 。
3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。
4. 任一矢量场在无限大空间不可能既是 无源场 又是 无旋场 ，但在局部空间 可以有 以及 。
5. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H、J 所满足的方程（结构方程）： 。
6. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。
7. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B，则（a ）E 、B皆与A 垂直。
（b ）E 与A 垂直，B与A 平行。
（c ）E 与A 平行，B与A 垂直。
（d ）E 、B 皆与A 平行。
答案：B8. 两种不同的理想介质的交界面上，（A ）1212 , E E H H ==（B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H ==答案：C9. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(ˆ0βz ωt E eE y -=，其中0E 、ω、β为常数。
则空间位移电流密度d J（A/m 2）为：ˆˆˆ222x y z e e e ++A⋅∇A ⨯∇E J H B E Dσ=μ=ε= , ,t q S d J S ∂∂-=⋅⎰ t J ∂ρ∂-=⋅∇ 0A ∇⋅=0A ∇⨯=（a ） )cos(ˆ0βz ωt E ey - （b ） )cos(ˆ0βz ωt ωE e y -（c ） )cos(ˆ00βz ωt E ωey -ε （d ） )cos(ˆ0βz ωt βE e y -- 答案：C 10. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度(V/m) 2cos ˆ0dxeE x πρ= ，其中0ρ、d 为常数。
电磁场导论 第3章 恒定电场
2
2
例3-1 铜和铝的电导率分别为 1=5.8107S/m和2=3.82107S/m， 介电常数102 ，铜中J1=1A/m 穿过分界面时与法线的夹角1=45 求：1）铝中的J2离开分界面时2=？ 2）分界面上的自由电荷密度。 解：
1 1=45 J1
2 J2 2 =？
A m2
分布的体电荷以速度v作匀速运动形成
I
S
J dS
2）电流线密度
分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流 K v Am
电流是积分量
I
(K e
l
n
)dl
e 是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量 n
工程意义： • 同轴电缆的外导体可视为电流线密度分布 • 媒质表面产生磁化电流可用电流线密度表示 • 高频电流的集肤效应可用电流线密度表示 3）线电流 分布的线电荷沿导线以速度 v 运动形成的电流
必须依靠非静电力将B极板的正电 荷抵抗电场力搬到A极板。这种提
供非静电力将其它形式的能量转为
电能装置称为电源。 电源内部局外场强 电源电动势
Ee dl
l
fe Ee q
恒定电流的形成
(V )
电源电动势与有无外电路无关，是表示电源本身的特征量
3.2.2
电场强度
考虑局外场强 Ee
J ( E Ee )
I v
4）元电流的概念： 元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流
vdq vdv, vds, vdl
Jdv, Kds, Idl
3.1.3 欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件，可以证明
J E
式中：为电导率，单位：西门子/米（S/m) • 恒定电流场与恒定电场相互依存，电流J与电场E方向一致 • 欧姆定律的微分形式，电路理论中的 U=RI 由它积分而得 1）在各向同性导电媒质中，电位移矢量D 线与电流密度J 线 方向是否一致？ 2）电流线密度 K E 是否成立？
电磁场与电磁波(第三章)静电场分析102页PPT
0(1
r2 a2
)
分布于一个半径为
a的球形区域内，其中 0 为常数。试计算球内外的电场强度
分析：电场方向垂直球面。 电场大小只与r有关。
解：1) 取如图所示高斯面。
v (r)
r
a
在球外区域：ra
ÑS Ev(rv)gdSv
Q
0
r
Q
v
(r)dV
V
a 0
0(1ra'22
)4r'2
dr'
1850a3
则：点B（x、y、z）的电位为：
(x,y,z)(xA、 yA、 zA)E vgdlv (x、 y、 z)
二、电位参考点 须选定电位参考点，空间中各点电位方可唯一确定。
电位参考点选择原则：
1）电位参考点电位一般为0；
2）应使电位表达式有意义；
3）一个问题，只能有一个电位参考点
4）当电荷分布在有限区域时，参考点一般选择无穷
E ( rv) g4
r2
8 15 0
0a 3
uv E
(
rv
)
2 0a 3 15 0r 2
uuv er
uv D(
rv
)
0
uv E
(
rv
)
ห้องสมุดไป่ตู้
2 0a 3 15r2
uuv er
在球内区域：ra
Q
r 0
(r)4r'2dr'
r 0
0(1ra'22)4r'2dr'
40(r33
r5 )
5a2
ÑS Ev(rv)gdSv
分析：电场方向垂直于球面。
r
a
电磁场理论与微波技术课程知识点总结
电磁场理论与微波技术课程知识点总结电磁场理论与微波技术课程知识点总结1 麦克斯韦方程组的理解和掌握（1）麦克斯韦方程组及本构关系（2）静态场时的麦克斯韦方程组（场与时间t无关）2 边界条件（1）一般情况的边界条件（2）介质界面边界条件（ρs= 0 J s= 0）3 静电场基本知识点（1）基本方程及本构关系（2）解题思路对称问题（球对称、轴对称、面对称）假设电荷Q ——> 计算电场强度E——> 计算电位φ——> 计算能量ω=εE2/2或者电容（C=Q/φ）。
e（3）典型问题导体球（包括实心球、空心球、多层介质）的电场、电位计算；长直导体柱的电场、电位计算；平行导体板（包括双导体板、单导体板）的电场、电位计算；电荷导线环的电场、电位计算；电容和能量的计算。
4 恒定电场基本知识点（1）基本方程（2）解题思路利用静电比拟或者解电位方程（要注意边界条件的使用）。
假设电荷Q ——> 计算电场E——> 将电荷换成电流（Q —> I）、电导率换成介电常数（ε—>σ）得到恒定电场的解——>计算电位φ和电阻R或电导G。
5 恒定磁场基本知识点（1）基本方程（2）解题思路对称问题（轴对称、面对称）使用安培定理假设电流I ——> 计算磁场强度H ——> 计算磁通φ——> 计算能量ω=μH2/2或者电感（L=ψ/I）。
m（3）典型问题载流直导线的磁场计算；电流环的磁场计算；磁通的计算；能量与电感的计算。
6 静态场的解基本知识点（1）直角坐标下的分离变量法（2）镜像法7 正弦平面波基本知识点（1）基本方程与关系电场强度瞬时值形式电场强度复振幅形式瞬时值与复振幅的关系：坡印廷矢量（能流密度）平均坡印廷矢量（平均能流密度）磁场强度与电场强度的关系（方向和大小）：（2）波的极化条件与判断方法（3）波的反射与折射导体表面的垂直入射波特性介质表面的垂直入射波特性全反射与全折射（两个临界角）8、微波的定义及特点、基本分析方法（场和路）9、传输线理论（1）基本方程（2）基本特性参数（3）均匀无耗传输线工作状态分析（4）史密斯阻抗圆图和导纳圆图（5）阻抗匹配和单枝节匹配10、各类传输线传输的主模及其截止波长和单模传输条件11、微波网络基础（1）二端口微波网络及网络参量（2）微波网络的特点判断（3）工作特性参量11、微波元件（自学）（1）匹配元件和连接元件（2）衰减器和移相器（3）分支微波元件（4）定向耦合器（5）微波谐振腔12、天线基础（自学）（1）基本振子（2）对称振子（3）电参数。
电磁场与波：3第三章-静电场1和静电场2
dE dE sin
dEz
z dE
z2 2
dE
dE
z2 2
上页 下页
Ez
L2 L1
z 4πo (z2
2 )32 dz
(
4π o
1
L2 2
2
1)
L2 1
2
E
L2 L1
4πo(z2
dz
)2
3 2
( L2 L1 ) 4πo L22 2 L12 2
当L L1 L2 时,
点选择不同，计算所得电位值相差一常数。参
考点的电位为零。
Q
电位参考点
A E dl
Q 0
如点电荷q的电场中A ，任意一点相对于参考点的电位：
φ
Q
r
q 4πε0r 2
dr
q 4πε0r
q 4πε0rQ
rQ 0 φ
rQ
R
φ
q 4πε0
(
1 r
1 R
)
rQ
φ
q 4πε0r
上页 下页
注意
电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能 选取一个参考点。工程中取大地为电位参考点， 当电荷在有限区域时，一般取无穷远为电位参考 点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。
上页 下页
2. 库仑定律 (Coulomb’s Low)
F21
q1q2
4π 0
e12 R2
N
(牛顿)
F21 F12
注意
两点电荷间的作用力
库仑定律研究的是均匀媒质中的点电荷问题 真空中的介电常数 ε0 8.851012 F/m 库仑定律是基本试验定律（适应的物理尺度？）。
上页 下页
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O
R
A
E • dl
A
r q
r,r q C
图3-1-1 场点与源点的位置矢量
4π 0 R
物理意义：静电力把单位正电荷从A点移到无穷远处电场力所做功的总量。
2. 电位差
B
V A B
E • dl
A
物理意义：在电场中把单位正电荷从A点移到B点处电场力所做的功。
3.1.4 电位与电场强度的关系
解：当r>a时，
Er 4r2
0 0
4
3
a3
故
Er
0a3 3 0 r 2
(r )
当r<a时，
Er 4r2
0 0
4
3
r3
所以
Er
0r 30
(r )
3.3.2 静电场的守恒定理
E dl _____ E dl _____ E dl
l
AmB
BnA
_____ E dl _____ E dl 0
为该点的单位正试验电荷所受到的力。在点r处，试验电荷q受到
的电场力为
F(r) qE(r)
E(r) q'
4 0
R R3
q'
4 0
r r' r r' 3
n
E(r)
i 1
qi r ri'
4 0 r ri' 3
对于分布的体电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而
得出r点的电场强度为
E(r) 1
ρ -ρ
0r
径向
l
举例P24
要分析一个点的情形，要用微分形式。如果闭合面内的电
荷是密度为ρ的体分布电荷，则为
E dS 1
S
0
V dV
EdV 1
V
0
V dV
由于体积V是任意的， 所以有
E
0
D
例 3 - 2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为ρ0的电 荷，试求任意点的电场强度。
sdS C
SR
ldl C
lR
3.2 静电场中的导体与电介质
• 静电场中的导体
– 静电平衡
• 静电场中的电介质（绝缘体）
– 电极化强度：P
D 0E P
称此矢量D为电位移矢量(或电通量密度)
电极化强度P
P xe0E
式中χe为极化率，是一个无量纲常数。从而有
D 0 (1 xe )E 0 rE E
r
E
R
1
4π
0
q R2
eR
1
4π
0
q R3
R
由于
1 R
1 R2
eR
R R3
Er, r
q
4π 0
1 R
q
4π 0 R
O
R
r q
图3-1-1 场点与源点的位置矢量
E
物理意义：E是电位的梯度的相反数。
B
A B
E • dl
A
对于体电荷
1
4 0
V
dV
R
C
对于面电荷 对于线电荷
1
4
1
0
4 0
lim q dq
S0 S dS
对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。 若线元Δl内的电量为Δq，则线密度为
lim q dq
l0 l dl
3.1.2 电场强度
电荷q′对电荷q的作用力，是由于q′在空间产生电场，电荷q在 电场中受力。用电场强度来描述电场，空间一点的电场强度定义
称εr为介质的相对介电常数，称ε为介质的介电常数。
D E
3.3 静电场的基本方程
3.3.1 高斯定理
（一）有源场： E dS q
S
0
S D dS q
▽•D = ρ
（二）电荷对称性分布时有使用价值：
1、高斯面：其上各点D值相等，且D的方向永远和
高斯面相垂直。
z
ba
2、满足高斯面条件， 可用来求静电场中某点的E
AmB
AnB
D E r0E
积分形式
微分形式
E
C
• dl
0
D • dS q
S
E 0
• D
3.4 静电场的边界条件
1. 法向分量边界条件
D • dS D2 • Sn D1 • S n n • D2 D1S q S
图 3 -2 例 3 - 1 用图
r zez
r' a cosex a siney
r r' (z2 a2 )1/ 2
dl' ad
所以 E(r) l 2
4 0 0
(2ez
a cosex a siney
(a2 z2 )3/2
)
ad
al 2 0
(a2
z z2 )3/2
ez
3.1.1电位和电位差
第3章 静电场
3.1 电场强度和电位 3.2 静电场中的导体与电介质 3.3 静电场的基本方程 3.4 静电场的边界条件 3.5 电位的泊松方程和拉普拉斯方程 3.6 静电能量和静电力 3.7 恒定电场基本方程 3.8 恒定电场中电位的拉普拉斯方程 3.9 恒定电场的边界条件 3.10 导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟
lim q dq
V 0 V dV
其单位是库/米3(C/m3)。这里的ΔV趋于零，是指相对于宏观尺度 而言很小的体积，以便能精确地描述电荷的空间变化情况；但是 相对于微观尺度，该体积元又是足够大，它包含了大量的带电粒 子， 这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。
如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电荷分 布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元ΔS内的 电量为Δq，则面密度为
4 0
(r')(r r')
V r r' 3 dV
同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为
1
E(r)
4 0
S
S
(r r
' )(r r'
3
r
'
)
dS
1
E(r)
4 0
l
l (r')(r r')
r r'3
dl
例 3 - 1 一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场强度。 解： 取坐标系如图 3 - 2，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐 标原点重合，设电荷线密度为ρl 。
点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它
们的连线， 同号电荷之间是斥力， 异号电荷之间是引力。点电
荷q′受到q的作用力为F′，且F′=-F，可见两点电荷之间的作用力
符合牛顿第三定律。
库仑定律只能直接用于点电荷。所谓点电荷，是指当带电体 的尺度远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点的理想化 模型。 对于实际的带电体， 一般应该看成是分布在一定的区域 内，称其为分布电荷。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情 况。电荷体密度的含义是，在电荷分布区域内，取体积元ΔV， 若其中的电量为Δq，则电荷体密度为：
3.1 电场强度和电位
3.1.1 库仑定律
图 3–1 库仑定律用图
F
q' q
4 0R2
eR
q' q
4 0
R R3
式中：R=r-r′表示从r′到r的矢量；R是r′到r的距离；
是eRR的单
位矢量；ε0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，
其值为
0
8.854 1012
1
36
109 F
/m
库仑定律表明，真空中两个点电荷之间的作用力的大小与两