电磁场理论与微波技术 第3章 静电场

4 0
(r')(r r')
V r r' 3 dV
同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为
1
E(r)
4 0
S
S
(r r
' )(r r'
3
r
'
)
dS
1
E(r)
4 0
l
l (r')(r r')
r r'3
dl
例 3 - 1 一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场强度。 解： 取坐标系如图 3 - 2，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐 标原点重合，设电荷线密度为ρl 。
第3章 静电场
3.1 电场强度和电位 3.2 静电场中的导体与电介质 3.3 静电场的基本方程 3.4 静电场的边界条件 3.5 电位的泊松方程和拉普拉斯方程 3.6 静电能量和静电力 3.7 恒定电场基本方程 3.8 恒定电场中电位的拉普拉斯方程 3.9 恒定电场的边界条件 3.10 导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟
图 3 -2 例 3 - 1 用图
r zez
r' a cosex a siney
r r' (z2 a2 )1/ 2
dl' ad
所以 E(r) l 2
4 0 0
(2ez
a cosex a siney
(a2 z2 )3/2
)
ad
al 2 0
(a2
z z2 )3/2
ez
3.1.1电位和电位差
lim q dq
V 0 V dV
其单位是库/米3(C/m3)。这里的ΔV趋于零，是指相对于宏观尺度 而言很小的体积，以便能精确地描述电荷的空间变化情况；但是 相对于微观尺度，该体积元又是足够大，它包含了大量的带电粒 子， 这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。
如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电荷分 布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元ΔS内的 电量为Δq，则面密度为
sdS C
SR
ldl C
lR
3.2 静电场中的导体与电介质
• 静电场中的导体
– 静电平衡
• 静电场中的电介质（绝缘体）
– 电极化强度：P
D 0E P
称此矢量D为电位移矢量(或电通量密度)
电极化强度P
P xe0E
式中χe为极化率，是一个无量纲常数。从而有
D 0 (1 xe )E 0 rE E
点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它
们的连线， 同号电荷之间是斥力， 异号电荷之间是引力。点电
荷q′受到q的作用力为F′，且F′=-F，可见两点电荷之间的作用力
符合牛顿第三定律。
库仑定律只能直接用于点电荷。所谓点电荷，是指当带电体 的尺度远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点的理想化 模型。 对于实际的带电体， 一般应该看成是分布在一定的区域 内，称其为分布电荷。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情 况。电荷体密度的含义是，在电荷分布区域内，取体积元ΔV， 若其中的电量为Δq，则电荷体密度为：
r
E
R
1
4π
0
q R2
eR
1
4π
0
q R3
R
由于
1 R
1 R2
eR
R R3
Er, r
q
4π 0
1 R
q
4π 0 R
O
R
r q
图3-1-1 场点与源点的位置矢量
E
物理意义：E是电位的梯度的相反数。
B
A B
E • dl
A
对于体电荷
1
4 0
V
dV
R
C
对于面电荷 对于线电荷
1
4
1
0
4 0
称εr为介质的相对介电常数，称ε为介质的介电常数。
D E
3.3 静电场的基本方程
3.3.1 高斯定理
（一）有源场： E dS q
S
0
S D dS q
▽•D = ρ
（二）电荷对称性分布时有使用价值：
1、高斯面：其上各点D值相等，且D的方向永远和
高斯面相垂直。
z
ba
2、满足高斯面条件， 可用来求静电场中某点的E
lim q dq
S0 S dS
对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。 若线元Δl内的电量为Δq，则线密度为
lim q dq
l0 l dl
3.1.2 电场强度
电荷q′对电荷q的作用力，是由于q′在空间产生电场，电荷q在 电场中受力。用电场强度来描述电场，空间一点的电场强度定义
为该点的单位正试验电荷所受到的力。在点r处，试验电荷q受到
的电场力为
F(r) qE(r)
E(r) q'
4 0
R R3
q'
4 0
r r' r r' 3
n
E(r)
i 1
qi r ri'
4 0 r ri' 3
对于分布的体电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而
得出r点的电场强度为
E(r) 1
解：当r>a时，
Er 4r2
0 0
4
3
a3
故
Er
0a3 3 0 r 2
(r )
当r<a时，
Er 4r2
0 0
4
3
r3
所以
Er
0r 30
(r )
3.3.2 静电场的守恒定理
E dl _____ E dl _____ E dl
l
AmB
BnA
_____ E dl _____ E dl 0
AmB
AnB
D E r0E
积分形式
微分形式
E
C
• dl
0
D • dS q
S
Ewenku.baidu.com 0
• D
3.4 静电场的边界条件
1. 法向分量边界条件
D • dS D2 • Sn D1 • S n n • D2 D1S q S
r
1. 电位
O
R
A
E • dl
A
r q
r,r q C
图3-1-1 场点与源点的位置矢量
4π 0 R
物理意义：静电力把单位正电荷从A点移到无穷远处电场力所做功的总量。
2. 电位差
B
V A B
E • dl
A
物理意义：在电场中把单位正电荷从A点移到B点处电场力所做的功。
3.1.4 电位与电场强度的关系
3.1 电场强度和电位
3.1.1 库仑定律
图 3–1 库仑定律用图
F
q' q
4 0R2
eR
q' q
4 0
R R3
式中：R=r-r′表示从r′到r的矢量；R是r′到r的距离；
是eRR的单
位矢量；ε0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，
其值为
0
8.854 1012
1
36
109 F
/m
库仑定律表明，真空中两个点电荷之间的作用力的大小与两
ρ -ρ
0r
径向
l
举例P24
要分析一个点的情形，要用微分形式。如果闭合面内的电
荷是密度为ρ的体分布电荷，则为
E dS 1
S
0
V dV
EdV 1
V
0
V dV
由于体积V是任意的， 所以有
E
0
D
例 3 - 2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为ρ0的电 荷，试求任意点的电场强度。