线段的垂直平分线的性质和判定精品导学案及练习附解析
13 线段的垂直平分线的性质导学案 人教版数学八年级上册
13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质导学案【学习目标】1．探究线段垂直平分线的性质及线段垂直平分线的判定；2．会作线段垂直平分线；3．培养探索、参与讨论的能力和解决实际问题的能力．【学习重难点】重点：线段垂直平分线的性质及判定；会作线段垂直平分线．难点：作线段垂直平分线．【学习过程】一、新知探究探究点一1．问题：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3……到A与点B的距离，你有什么发现？写在下面，由此你可以得到什么猜想？由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______________________．2．你能利用已经学过的知识来证明这个结论吗？如图，已知直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l上．求证：PA=PB探究点二线段垂直平分线性质的逆定理反过来：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上吗? 已知：如图，PA=PB．求证：点P在AB的垂直平分线上二、典例剖析例1．△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，∠A=50°．①若AD=12.5cm，求BD的长；②若△DBC的周长为35cm，求BC的长；③若BC=13cm，求△DBC的周长．例2．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知直线AB和AB外一点C（如下图）求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：1．任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁；2．以点_______为圆心，_______为半径，作弧，交AB 于点______和_________； 3．分别以点_____和点______为圆心，大于_____DE 的长为半径画弧，两弧相交于点F ； 4．作直线CF ．直线CF 就是所求做的垂线．(请把以上过程及作图补充完整)三、随堂检测1．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是( )A ．AB ＝AD B ．AC 平分∠BCD C ．AB ＝BD D ．△BEC ≌△DEC2．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于E ，D 两点，EC ＝4，△ABC 的周长为23，则△ABD 的周长为( )A ．13B ．15C ．17D ．193．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH ＝FH ，ED ＝FD ，小明说不用测量就知道DH 是EF 的垂直平分线，其中蕴含的道理是__________________．·4．如图，∠AOB内有一点P，P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝5 cm，则△PMN的周长是()A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm5．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于D点，交AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB＝_________cm．6．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于E，D．(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．7．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC 于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6 cm．(1)求BC的长；(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16 cm，求OA的长．课堂小结1．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．2．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案一、新知探究探究点一1．相等2．∵PC=PC，∠PCA=∠PCB=90°，AC=CB∴⊿ACP≌⊿BCP∴PA=PB探究点二证明：过点P作PC⊥AB于C，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(H L定理)．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．二、典例剖析例1．解：①∵DE垂直平分AB，∴BD=AD=12.5 (cm)②∵DE垂直平分AB，∴BD=AD．又∵△DBC的周长为35cm，∴AC+BC=35（cm）又∵AC=20 cm，∴BC=35-AC=35-20=15（cm）③若BC=13cm，BC+BD+DC=AD+DC+BC=AC+BC=20+13=23（cm）∴△DBC的周长为23cm例2．2、C CK D E3、D E 12三、随堂检测1．C2．B3．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上4．C5．166．解：（1）∵AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，∴DA=DB，∵△BCD的周长为8，即BC+CD+DB=8，∴BC+CD+DA=BC+CA=8，∵AC=5，∴BC=3；（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD∴BD+DC=AC=5∴BD+DC+BC=5+4=9即△BCD的周长＝97．解：（1）∵l1、l2分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16-6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．。
八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线 精品导学案2 北师大版
线段的垂直平分线一、问题引入：1. 等腰三角形的顶点一定在上.2. 在△ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点P，则PA.PB.PC的大小关系是 .3. 在△AB C中，AB=AC，∠B=580，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC=.4. 已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.A B二、基础训练：1. 三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否相等？剪一个三角形纸片，通过折叠观察一下，并与同桌交流.2. 上面的问题如何证明？定理：三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离 . 三、例题展示：（1）如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB的度数；（2）如果将（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；（3）如果将（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OC B的度数.你发现了什么规律？请证明；（4）如果将（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？四、课堂检测：1. 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A. 三角形三条角平分线的交点；B. 三角形三条垂直平分线的交点；C. 三角形三条中线的交点；D. 三角形三条高的交点.2. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形；B. 直角三角形；C. 钝角三角形；D. 不能确定3. 等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是 .4. 已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.a b中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线(第1课时)导学案(新版)北师大版
八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线（第1课时）导学案（新版）北师大版1、3 线段的垂直平分线【学习目标】能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。
【学习流程】一、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线的定义：证明定理：线段垂直平分线上的点到这条线段、二、线段垂直平分线的判定定理：证明定理：到一条线段的两个端点 _____的点，在这条线段的 _____ 、第2题练习：1、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。
2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC 于D，则∠ADC= 。
EDABC第3题3、已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60，那么∠EDC= 四：巩固应用例1：已知：如图在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC、求证：直线 AO 垂直平分线段BC。
练习：如图，在△ABC 中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠AEC=80O。
A 求∠B。
DBCE课后作业：1、△ABC中∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC的度数。
2、如图，△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则∠B ∠BAE，∠C ∠GAF。
若∠BAC=1260，则∠EAG= 。
3、如图，△ABC中，AB的线段的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若AC=5cm,BC=4cm,则△BDC的周长为（）。
A 、9cmB、8cmC、7cmD、6cm第3题第2题4、如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E。
求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF∥A CA5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120O，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点N、DM （1）求△AEN的周长；CB（2）求∠EAN的度数；NE（3）判断△AEN的形状。
13.1.2《线段的垂直平分线的性质》导学案(新部编)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《线段的垂直平分线的性质》导学设计一、自主学习1、复习：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的距离.2、思考归纳：线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．证明：符号语言：∵∴.3、结合“线段的垂直平分线的性质”和“判定”：线段垂直平分线可以看成的点的集合.4、教材P62思考：归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它的的线，就可以得到这两个图形的对称轴．二、合作交流1．如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?2．右图中，与图形A成轴对称的是哪个图形?画出它们的对称轴.ABM NCDAB三、精讲点拨1. 作线段AB 的垂直平分线.例题：如图，A 、B 是河l 同旁的两个科技试验园， 现要在河边修建一泵站，向两个科技园供水， 要求泵让到两个科技园的距离相等，试在图中 确定泵站的位置． 课堂练习：1．点P 是△ABC 内的一点，且满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC 的（ ） A ．三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C ．三条高线的交点 D ．三边垂直平分线的交点 2、如图，∠AOB 内一点P ，P 1，P 2分别P 是关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2=5cm ， 则△PMN 的周长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm3、在四边形ABCD 中，AB=AD ，BC 边的垂直平分线经过点A.求证：点A 在CD 的垂直平分线上.ADEF4、如图，AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高.求证：AD 是EF 的垂直平分线．5、如图：求作一点P ，使PM=PN ，并且使点P 到∠AOB 的两边的距离相等．。
13.1.2线段的垂直平分线的性质(导学案(新部编))
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
13.1.2线段的垂直平分线的性质
•学习目标：
1．理解线段垂直平分线的性质和判定．
2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理．
•学习重难点：线段垂直平分线的性质．
学习过程
探究1、如图，直线L垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是L上的点，请猜想点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
探究结果：
命题的证明：
线段垂直平分线的性质：
探究2、如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
P
A B
探究3、例1如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？
课堂练习:
1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 与E ，则△ADE 的周长等于______．
2 如图，AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，AB ，AC ，CE 的长度有什么关系？AB +BD 与DE 有什么关系？
3 如图，AB =AC ，MB =MC ．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和同桌交流你的作图过程．
A B C D E A B C D E M
B D
C A P
B O
A。
《线段的垂直平分线的性质和判定》教案、导学案、同步练习
13.1.2 线段的垂直平分线的性质《第1课时线段的垂直平分线的性质和判定》教学设计【教学重难点】1. 重点：（1）轴对称的性质．（2）线段垂直平分线的性质．2. 难点：（1）体验轴对称的特征．【课时安排】一课时【教学设计】课前延伸一、基础知识填空及答案（1）轴对称图形的对称轴是一条_____________。
（2）写出五个成轴对称的汉字：______（3）写出3个是轴对称图形的英文字母：_________________________ 〖答案〗（1）直线 (2)例如日、中等。
（3）A、E等。
〖设计说明〗复习旧知，让学生进一步的了解和掌握是轴对称图形和成轴对称图形的区别。
通过具体实例来分析，学生更容易掌握。
二、预习思考题及答案如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、•B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN 有什么关系？〖答案〗：垂直平分〖设计说明〗让学生加深轴对称的性质并发展空间观察学生通过观察，主动思考，认识两个图形关于某直线对称的本质特征，鼓励学生善于观察，勇于发现，敢于发表，培养合作意识。
课内探究一、导入新课：1．创设情境，引入新课上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？〖设计说明〗复习旧知。
鼓励学生积极的投入到活动中，并留给学生足够的独立思考和自主探索的2．揭示课题，整理概念，板书请同学们观察图中一些点所连线段与对称轴的关系学生先讨论，猜想后论证。
3.教师指导得出答案线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。
这样，我们就得到图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
MN 垂直平分______. MN 垂直平分______. MN 垂直平分______.二 、 [探究1]如下图．木条L 与AB 钉在一起，L 垂直平分AB ，P 1，P 2，P 3，…是L 上的点，•分别量一量点P 1，P 2，P 3，…到A 与B 的距离，你有什么发现？探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP 1=BP 1，AP 2=BP 2，… 学生活动：1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB ，过AB 中点作 AB 的垂直平分线L ，在L 上取P 1、P 2、P 3…，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…2．作好图后，用直尺量出AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…讨论发现什么样的结论？．用我们已有的知识来证明这个结论吗？ 学生讨论给出证明． 证法一：利用判定两个三角形全等． 如下图，在△APC 和△BPC 中，△APC ≌△BPC PA=PB .证法二：利用轴对称性质．由于点C 是线段AB 的中点，将线段AB 沿直线L 对折，线段PA 与PB 是重合的，PC PCPCA PCB Rt AC BC =⎧⎪∠=∠=∠⎨⎪=⎩⇒⇒•因此它们也是相等的．〖设计说明〗探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力通过举例，独立练习，进一步认识两个图形成轴对称的本质。
20线段的垂直平分线的性质(教案
20线段的垂直平分线的性质(2)教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解线段的垂直平分线的性质；（2）学会运用线段的垂直平分线性质解决问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探索线段的垂直平分线的性质；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学的美妙。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：线段的垂直平分线的性质。
2. 教学难点：如何运用线段的垂直平分线性质解决问题。
三、教学方法：1. 情境创设：通过生活中的实例，引导学生关注线段的垂直平分线，激发学生的学习兴趣。
2. 自主探究：让学生通过观察、分析、推理等方法，自主探索线段的垂直平分线的性质。
3. 合作交流：引导学生进行小组讨论，分享学习心得，培养学生的团队合作精神。
4. 总结提升：通过总结线段的垂直平分线的性质，让学生学会运用性质解决问题。
四、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注线段的垂直平分线，激发学生的学习兴趣。
2. 自主探究：让学生通过观察、分析、推理等方法，自主探索线段的垂直平分线的性质。
3. 合作交流：引导学生进行小组讨论，分享学习心得，培养学生的团队合作精神。
4. 总结提升：通过总结线段的垂直平分线的性质，让学生学会运用性质解决问题。
5. 课堂练习：设计一些有关线段的垂直平分线的练习题，巩固所学知识。
五、课后作业：设计一些有关线段的垂直平分线的练习题，要求学生在课后完成，巩固所学知识。
六、教学反思：本节课通过观察、分析、推理等方法，让学生了解了线段的垂直平分线的性质，并学会了运用性质解决问题。
在教学过程中，注意培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
但在课堂练习环节，可以设计更多有趣的活动，提高学生的学习兴趣。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组合作时的表现，了解学生的学习状态和团队合作能力。
线段垂直平分线的性质和判定.1.2-线段垂直平分线的性质导学案
13.5.2. 线段的垂直平分线班级 姓名 时间学习目标：1、初步掌握线段的垂直平分线的性质及其判定。
2、会运用线段垂直平分线的性质及其判定解决有关问题。
重点：掌握线段的垂直平分线的性质及其判定。
难点：线段的垂直平分线的性质及其判定的应用。
一、新知导入： 1、线段垂直平分线的定义： 2、请看教材图13.1-6，直线l 垂直平分线段AB ，P1,P2,P3...是l 上的点，分别量一量点P1,P2,P3...到点A 与点B 的距离，你有什么发现？PA PB 猜想1：线段垂直平分线上的点到 1、已知，如图直线L ⊥AB ，垂足是C ，且AC=CB.点P 在L 上 求证：PA=PB 线段垂直平分线的性质： 猜想2：如果PA =PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？ 2、已知，如图PA=PB 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上线段垂直平分线的判定：课堂总结当堂练习 1、如图,已知AB 是线段CD 的垂直平分线,E 是AB 上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=60度,那么∠EDC= 度. 2、 2、如图,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC于点E,△BCE 的周长等于50,求BC 的长.3、如图，AB =AC ，MB =MC ．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？A B LP A BP C B BE BB AEDA C CD A B CD M4、如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
（1）求证：PA=PB=PC。
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？达标测评一、1、如图，在△ABC中，AB＝AC，ED垂直平分AB，（1）若∠A＝50°，则∠ABD＝，∠DBC＝。
（2）若BD＝10，则AD= 。
（3）若AB＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。
2．如下图左，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系不成立的是（）A．∠B=∠CAE B．∠DEA=∠CEA C．∠B=∠BAE D．AC=2EC 3.（1）．如下图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长．4．如图，已知AE=CE，BD⊥AC，求证：DA+BA=BC+DCPCBA。
北师大版七年级数学下册5.3 第2课时 线段垂直平分线的性质 导学案(含答案)
5.3 简单的轴对称图形第2课时线段垂直平分线的性质学习目标：1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.一、情境导入什么样的图形叫做轴对称图形？线段是轴对称图形吗？一、要点探究知识点一：线段垂直平分线的性质在纸片上画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O. 你发现了什么？【归纳总结】议一议如图，点C是线段AB垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？【归纳总结】【典例精析】例1利用尺规，作线段AB的垂直平分线.已知：线段AB.求作：AB的垂直平分线.做一做利用尺规作如图所示的△ABC的重心.【典例精析】例2如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，自主学习合作探究则△BCD的周长为() A．22 厘米B．16 厘米C．26 厘米D．25 厘米例3如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）？【针对训练】1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且P A = 5，则线段PB的长为( )A. 6B. 5C. 4D. 32. 如图，AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么EA =_____cm，DA =_____cm.3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC = 4，BC = 5，求△AEC的周长.二、课堂小结1. 如图，在△ABC中，BC = 8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长是cm.2. 如图，AD△BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？3.如图，A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，并说明理由.参考答案当堂检测合作探究一、要点探究知识点一：知识点一：三角形的中线典例精析例1 利用尺规，作线段AB 的垂直平分线.已知：线段AB .求作：AB 的垂直平分线.作法：1.分别以点 A 和 B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ；2. 作直线CD ．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线.做一做利用尺规作如图所示的△ABC 的重心.典例精析例2 如图，DE 是AC 的垂直平分线，AB＝12厘米，BC ＝10厘米，则△BCD 的周长为 ( A )A ．22 厘米B ．16 厘米C ．26 厘米D ．25 厘米解析：根据线段垂直平分线的性质得CD ＝AD ，故△BCD 的周长为DC ＋BD ＋BC ＝AD ＋BD ＋BC＝AB ＋BC ＝12＋10＝22 (厘米).例3 如图，某地由于居民增多，要在公路l 边增加一个公共汽车站，A ，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）？解析：连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于O ，交 AB 于E .因为EO 是线段AB 的垂直平分线，所以点O 到A ，B 的距离相等.所以这个公共汽车站C 应建在O 点处，才能使到两个小区的路程一样长．针对训练1. 如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD 上的一点，且P A = 5，则线段PB 的长为 ( B )A. 6B. 5C. 4D. 32. 如图，AB 是△ABC 的一条边，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么EA =__4__cm，DA =__6__cm.3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC = 4，BC = 5，求△AEC的周长.解：因为DE是△ABC边AB的垂直平分线，所以EB = EA.所以△AEC的周长为AC + CE + EA = AC + CE + EB = AC + BC = 4 + 5 = 9.当堂检测1. 如图，在△ABC中，BC = 8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长是10 cm.2. 如图，AD△BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？解：因为AD⊥BC，BD = DC,所以AD是BC的垂直平分线.所以AB= AC.因为点C在AE的垂直平分线上，所以AC= CE.所以AB= AC= CE.所以AB+BD=CE+DC，即AB+BD=DE.3.如图，A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，并说明理由.提示：连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，两线交于一点，这点即为所求的点P.。
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 导学案 2021—2022学年人教版八年级数学上册
13.1.2 线段的垂直平分线的性质导学案一、线段的垂直平分线的定义在平面几何中，当一个线段被另一条线段垂直平分时，这条垂直平分线具有一些特殊性质。
垂直平分线是指将一条线段分成两个等长的线段，并与该线段垂直的直线。
二、垂直平分线的性质1. 性质一：垂直平分线的长度相等垂直平分线将一条线段分为两个等长的线段，因此垂直平分线的长度相等。
2. 性质二：垂直平分线与线段的端点连线垂直垂直平分线与线段的两个端点连线垂直，即垂直平分线上的任意一点与线段的两个端点连成的线段都是直角。
3. 性质三：垂直平分线只与线段的中点相交在线段的中点上，还有一条特殊的垂直平分线。
垂直平分线只与线段的中点相交，不与线段的其他点相交。
4. 性质四：垂直平分线将线段分成两个相等的部分垂直平分线将线段分成两个相等的部分，即线段的两个部分的长度相等。
5. 性质五：垂直平分线的交点在线段中点上当两条垂直平分线相交时，其交点在线段的中点上。
6. 性质六：与线段中点相连的垂直平分线平行与线段中点相连的垂直平分线之间是平行的。
三、垂直平分线的构造方法构造垂直平分线一般有两种常见的方法：方法一：利用圆的性质构造步骤如下： 1. 以线段的两个端点为圆心，将半径取得相同，作圆。
2. 确定两个交点，连接两个交点和线段两个端点，即构造出线段的垂直平分线。
方法二：利用等腰三角形的性质构造步骤如下： 1. 以线段的一端为顶点，作一个与线段等长的弧。
2. 以线段的另一端为顶点，作一个与线段等长的弧。
3. 连接两个弧的交点和线段两个端点，即构造出线段的垂直平分线。
四、例题解析例题：已知AB为直径的圆O上的点C，点D在AB上，且OD是弧AC的垂直平分线，若OD = 6 cm，AC = 12 cm，求AD的长度。
解析：根据垂直平分线的性质，“垂直平分线将线段分成两个相等的部分”，所以AD = DC。
又AC = 12 cm，而OD = 6 cm，所以在等腰三角形ACD中，AD = DC = (AC - OD) / 2 = (12 - 6) / 2 = 3 cm。
线段垂直平分线的性质与判定 教案 2023--2024学年人教版八年级数学上册
13．1.2线段垂直平分线的性质第1课时 线段垂直平分线的性质与判定教学内容第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定课时1核心素养目标1.会用数学的眼光观察现实世界：用简单的实际生活问题引入新课，让学生感悟数学问题在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣，体会线段的垂直平分线的性质和判定在实际生活中的意义.2.会用数学的思维思考现实世界：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，让学生体会数学的应用价值，培养类比、分类讨论的数学思维.3.会用数学的语言表示现实世界：通过对线段的垂直平分线的性质和判定的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值. 知识目标 1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理. 教学重点 线段垂直平分线的性质． 教学难点 线段垂直平分线的性质. 教学准备 课件教学过程 主要师生活动设计意图一、情境导入一、创设情境，导入新知教师叙述：某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼A 、B 、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证.师生活动：教师留时间给学生思考，再把实际生活问题转化成数学模型： 在△ABC 中，如何找到一点P 使得它到三角形三个顶点距离相等？追问：在△ABC 中，如何找到一点P 使得它到三角形三个顶点距离相等？师生活动：学生在教师的引导下，师生共同分析，得出解题思路：先探究一点到一边→证明该点特殊位置→解决实际问题.设计意图：用简单的实际生活问题引入新课，让学生感悟数学问题在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣，为下一步探究铺垫．设计意图：逐步拆解问题，让学生学会倒推分析的思维方法，引出本节内容的重点．B C AA C B二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质探究一： 在平面中找一点 P (不在线段上)使得它到线段 AB 的距离相等.师生活动：学生在教师的引导下，师生共同分析，得出解题思路（如下）：教师引导学生把探究的内容转化成数学证明题： 如图，直线 l ⊥AB ，垂足为 C ，AC =CB ，点 P 在 l 上. 求证 PA = PB . 学生独立完成证明并口述，由教师板书． 证明：∵ l ⊥AB ， ∴∠PCA =∠PCB ． 又 AC = CB ，PC = PC ， ∴ △PCA ≌△PCB (SAS)． ∴ PA = PB ． 师生共同完成总结： 链接中考 1. (鄂尔多斯) 如图，在△ABC 中，边BC 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接DC ，若AB = 3.7，AC =2.3，则△ADC 的周长是_____. 师生活动：学生独立思考，学生代表回答，教师予以适当的评价与引导.设计意图：通过推理证明，让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡，使推理成为观察、实验的自然延续，会进行图形语言、文字语言、符号语言间的转换，为几何证明打下基础．设计意图：通过练习加强学生对线段垂直平分线的性质的理解与应用. 设计意图：让学生通过严lCP A B探究二：如果在平面内一点P (不在线段上)使得它到线段AB的距离相等，那么点P是否在线段的垂直平分线上？师生活动：教师引导学生分析题意，转化成数学证明：过P作PC⊥AB证AC = BC.教师与学生将题目整理为：如图，已知点P是线段AB外一点连接PA、PB，PA=PB，求证：点P 在线段AB的垂直平分线上.学生独立进行证明，学生代表板书，教师与其余学生给予适当的评价并完善板书：师生共同完成总结：直线l可看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合.典例精析例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线l和l外一点P.求作：l的垂线，使它经过点P.师生活动：学生独立思考作图方案，教师总结，一共有两种作图方法：方法一：用三角尺作图；方法二：用圆规作图．追问：你会用方法二完成作图吗?师生活动：可以交给学生尝试做图，教师点拨；也可以播放PPT准备的视频，让学生总结归纳作图的步骤. 格的逻辑推理证明“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性，为下一步运用结论提供了方便．设计意图：通过作图，让学生巩固垂直平分线的性质，提高学生的作图能力．设计意图：让学生在问题PA B三、当堂练习，巩固所学例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼A、B、C之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证.师生活动：学生运用已学的知识，分析作图和证明思路，独立画出辅助线并证明.三、当堂练习，巩固所学1.如图，在△ABC中，DE⊥AB，垂足为E，AE=BE.(1) 如果BD = 5 cm，那么AD =_____cm；(2) 如果△ACD的周长为13 cm，AC = 4 cm，那么BC =_____cm.2.(黄冈)如图在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC . AC于点D和E，∠B=60°，∠C = 25°，则∠BAD为( )A.50°B.70°C.75°D.80°3.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线，其中蕴含的道理是_____________________________________.4.(娄底)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC. E为CD的中点. 连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1) FC = AD.(2) AB = BC+AD.的引导下，理解作图过程的合理性，提高作图能力．设计意图：考查对线段垂直平分线的性质的运用．设计意图：考查与线段垂直平分线的性质有关的证明和计算．设计意图：考查线段垂直平分线性质的逆定理的运用.设计意图：考查三角形全等的判定及线段垂直平分线的判定的综合运用．板书设计第1课时线段的垂直平分线的性质和判定线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的判定：ACBDEB CAA DB C FE与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
春八年级数学下册1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质和判定导学案北师大版
1。
3 线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1.会证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理。
2.能运用线段的额垂直平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算.阅读教材P22-23习题之前的内容,学生独立完成下列问题:1．CD是线段AB的垂直平分线， E为垂足，点P是直线CD上的任意一点，则 AE = BEPA = PB , CD ⊥ AB ,∠ AEC =∠ BEC 。
2．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ; 到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上上. 3．已知，如图,EF是线段AB的垂直平分线，M是EF上的一点，若MA=6,则MB= 6 ,若∠AMF=200,则∠BMF= 30°。
4．在△ABC中，∠A=400，∠C=660，DE是线段AB的垂直平分线，垂足是D，DE交AC于E，则∠EBC的度数是 34°。
活动1 小组讨论例1、已知：如图,直线l⊥AB,垂足为C，且AC＝BC，D是直线l上的任意一点．求证：DA＝DB．证明:∵直线l⊥AB,∴∠DCA＝∠DCB＝90°。
∵AC＝BC，DC＝DC，∴△DCA≌△DCB（SAS)．∴DA＝DB(全等三角形的对应边相等）．归纳：线段垂直平分线上点到这条线段两个端点的距离___相等_______。
推理格式:∵PC⊥AB,AC=_BC___(点P在线段AB的垂直平分线MN上),∴ PA =PB 例2. 你能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是,请你加以证明． 解：逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 是真命题．已知：如图,线段AB ，PA ＝PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．证明：取线段AB 的中点C ，作直线PC 。
∴AC ＝BC 。
在△PAC 和△PBC 中，PA ＝PB ，AC ＝BC ，PC ＝PC ，∴△PAC ≌△PBC(SSS ）．∴∠PCA ＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB。
13.1.2线段垂直平分线的性质和判定)学案 2022—2023学年人教版数八年级上册
13.1.2 线段垂直平分线的性质和判定）学案一、线段垂直平分线的性质线段的垂直平分线是指将线段垂直平分成两个相等的部分的直线。
线段垂直平分线具有以下性质：1.线段垂直平分线与线段的两个端点的距离相等。
2.线段垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
3.线段垂直平分线同时是线段两侧的垂线。
二、线段垂直平分线的判定方法要判断一个线段是否有垂直平分线，我们可以利用以下定理：定理：如果一个线段的中点与另一点共线，并且与该线段的两个端点的距离相等，那么这条线段就有垂直平分线。
利用这个定理，我们可以通过以下步骤判定线段是否有垂直平分线：1.求出线段的中点。
2.求出线段的两个端点与中点的距离，并判断它们是否相等。
如果距离相等，那么线段就有垂直平分线；如果距离不相等，那么线段就没有垂直平分线。
三、例题现在我们通过一个例题来进一步理解线段垂直平分线的性质和判定方法。
例题：在平面直角坐标系中，已知线段AB的坐标分别为A(-3, 2)和B(3, -2)，求线段AB的垂直平分线的方程。
解法：1.求线段AB的中点坐标。
线段AB的中点坐标为((-3+3)/2, (2-2)/2)，即(0, 0)。
2.判断线段AB的两个端点与中点的距离是否相等。
点A(-3, 2)与点(0, 0)的距离计算公式为：√((-3-0)^2 + (2-0)^2) =√(9 + 4) = √13。
点B(3, -2)与点(0, 0)的距离计算公式为：√((3-0)^2 + (-2-0)^2) =√(9 + 4) = √13。
因为两个端点与中点的距离相等，所以线段AB有垂直平分线。
3.求出线段AB的斜率。
线段AB的斜率为(-2-2)/(3-(-3)) = -4/6 = -2/3。
4.垂直平分线的斜率为线段AB的斜率的负倒数，即3/2。
5.垂直平分线通过点(0, 0)，所以它的方程为y = (3/2)x。
四、总结线段垂直平分线是将线段垂直平分成两个相等的部分的直线。
线段垂直平分线的性质 精品导学案及练习
，垂足利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．PA=PB=PC.例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F.求证：(1)FC ＝AD ；(2)AB ＝BC ＋AD.方法总结:证明线段相等的方法一般有：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.第1题图 第2题图2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18cm ，BC ＝10cm ，AB 的垂直平分线ED 交AC 于D 点，则△BCD 的周长为_________.3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90゜，BE 平分∠ABC ，交AC 于E ，DE 垂直平分AB ，交AB 于D ，求证：BE+DE=AC ．探究点2：线段垂直平分线的判定1.做一做:用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去.图② （1）如图①要使CO 垂直于AB ，需要添加什么条件？为什么？点C 在_____________上.（2）如图②，拉动C ，到达D 的位置，若AD=DB ，那么点D 在__________上. （3）由（1），（2），你得到什么猜想？B B）6.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的位置关系．拓展提升7.如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第3课时 “角边角”和“角角边”学习目标：1.了解1.探索三角形全等的“角边角”和“角角边”的条件2.应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证线段或角相等.重点：已知两角一边的三角形全等探究.难点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA ”“AAS ”.一、知识链接1.能够的两个三角形叫做全等三角形.2.判定两个三角形全等方法有哪些?边边边：对应相等的两个三角形全等.边角边：和它们的对应相等的两个三角形全等.二、新知预习1.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？2.现实情境一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了，如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？（2）以②为模板，画一画，能还原吗？（3）以③为模板，画一画，能还原吗？（4）第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_____________.猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________B=∠C,求证：AD=AE.证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来CBE.探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm，你能画出这个三角形吗?追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”).几何语言：如图，在△ABC和△DEF中，ABC≌△DEF.例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．例4：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是()二、课堂小结“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”来证明两个三角形全等1.△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，要使△ABC≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．AC ＝DFB ．BC ＝EF C ．∠A＝∠D D ．∠C ＝∠F2. 在△ABC 与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°， 且AC ＝A′C′，那么这两个三角形（ ）A ．一定不全等B ．一定全等C ．不一定全等D ．以上都不对 3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的 两个三角形是否全等，并说明理由.4.如图∠ACB=∠DFE ，BC=EF ，那么应补充一个条件 ， 才能使△ABC ≌△DEF （写出一个即可），并说明理由.5.已知：如图， AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠1=∠2, 求证：AB=AD. 拓展提升6.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD 、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD ＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.当堂检测 温馨提示：配套课件及全册导学案WORD 版见光盘或网站下载：(无须登录，直接下载)温馨提示：配套课件及全册导学案WORD 版见光盘或网站下载：(无须登录，直接下载)。
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时线段的垂直平分线的性质和判定
一、学习目标
1、掌握线段垂直平分线的性质
2、掌握线段垂直平分线的判定
3、运用线段垂直平分线的性质解决问题
二、复习
右面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴。
三、探究（一）
教材探究问题
1、量出AP1、AP
2、AP
3、与BP1、BP2、BP3,讨论发现什么样的规律：。
总结线段垂直平分线的性质：
2、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗？
如图（1），直线l AB，垂足是C，AC=BC,点P在l上。
求证：PA PB
图（1）
探究（二）
反过来,图(2)中如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?说明理由.
(1)已知：
（2）求证：
(3)需要作辅助线吗？怎么作？
证明：
P
A B
总结线段垂直平分线的性质判定：
四、练习
1．如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，
BE＝6，求△BCE的周长。
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，
求：△BCD的周长。
五、小结与反思:
第2课时线段的垂直平分线的有关作图
一、学习目标
1、会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴；
2、掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。
二、温故知新（口答）
1、下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。
2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连
的线.
3、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
三、自主探究合作展示
【问题】
1、如果我们感觉两个图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证？
2、两个成轴对称的图形，不经过折叠，你有什么方法画出它的对称轴？
归纳：
作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的
线，就可以得到这两个图形的对称轴．
【新知应用】
例题1：如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?
1、请同学们按照以下作法在图（1）中完成作图。
作法：
（1）分别以点A、B为圆心，以大于1
2
AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
（2）作直线CD．
直线CD即为所求的直线．
2、思考：（1）在上述作法中，为什么要以“大于1
2
AB的长”为半径作弧？
（2）在上面作法的基础上，连接AB，直线CD是线段AB的垂直平分线吗？并说明理由．
例题反思：
例题2：如图（2），在五角星上作出它的一条对称轴。
例题反思：
四、双基检测
1、如图（3），下面的虚线中，哪些是图形的对称轴，哪些不是?
图（3）图（4）
图（1）
图（2）
2、如图（4），画出图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?
3、如图（5），角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴。
4、如图（6），与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．
五、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
图（5）
图（6）。