2019年湖南省衡阳市中考数学试卷及答案

数学试卷 第1页（共26页）数学试卷 第2页（共26页）湖南省衡阳市2019年初中毕业学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.34-的相反数是( )A.34-B.34C.43-D.43 2.如果分式11x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )A.1x ≠-B.1x -＞C.全体实数D.1x =-3.2018年6月14日,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制,进入环绕距月球65 000公里的地月拉格朗日L2点Halo 使命轨道,成为世界首颗运行在地月L2点Halo 轨道的卫星,用科学记数法表示65 000公里为 公里( ) A.50.6510⨯B.36510⨯C.46.510⨯D.56.510⨯ 4.下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )ABCD5.下列各式中,计算正确的是( )A.835a b ab -=B.235()a a =C.842a a a ÷=D.23a a a =g6.如图,已知AB CD ∥,AF 交CD 于点E ,且BE AF ⊥,40BED ∠=︒,则A ∠的度数是( )A.40︒B.50︒C.80︒D.90︒7.某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中,成绩(单位：分)分别是86,95,97,90,88,这组数据的中位数是( ) A.97B.90C.95D.88 8.下列命题是假命题的是( )A.n 边形(3n ≥)的外角和是360︒B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C.相等的角是对顶角D.矩形的对角线互相平分且相等9.不等式组23,42x x x ⎧⎨+⎩＞＞的整数解是( ) A.0B.1-C.2-D.110.国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力.2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ,根据题意列方程得 ( )A.9(1 2 )1x -=B.29(1 )1x -=C.9(1 2 )1x +=D.29(1 )1x +=11.如图,一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2my x =(m 为常数且0m ≠)的图象都经过(1,2),(2,1)A B --,结合图象,则不等式mkx b x+＞的解集是( )毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第4页（共26页）A.1x-＜ B.10x-＜＜C.1x-＜或02x＜＜ D.10x-＜＜或2x＞12.如图,在直角三角形ABC中,90C∠=︒,AC BC=,E是AB的中点,过点作AC和BC的垂线,垂足分别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动,点C与点A重合时停止运动,设运动时间为t,运动过程中四边形CDEF与ABC△的重叠部分面积为S.则S关于t的函数图象大致为 ( )A B C D第Ⅱ卷(非选择题共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)13.因式分解：228a-=.14.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球,这些球除颜色不同其它没有任何区别.若从该布袋里任意摸出1个球,该球是黄球的概率为12,则a等于.15.273-=.16.计算：111xx x+=--.17.已知圆的半径是6,则圆内接正三角形的边长是.18.在平面直角坐标系中,抛物线2y x=的图象如图所示.已知A点坐标为(1,1),过点A作1AA x∥轴交抛物线于点A1,过点A1作12A A OA∥交抛物线于点A2,过点A2作23A A x∥轴交抛物线于点A3,过点A3作34A A OA∥交抛物线于点A4,……,依次进行下去,则点2 019A的坐标为.三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分6分)31|32|tan60(2019)2-⎛⎫+-+︒--⎪⎝⎭.20.(本小题满分6分)某学校为了丰富学生课余生活,开展了“第二课堂”的活动,推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字锈.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生,对他们选择的课程情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息,解决下列问题：课程选择情况的条形统计图课程选择情况的扇形统计图(1)这次学校抽查的学生人数是；(2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校共有1 000名学生,请你估计该校报D的学生约有多少人？数学试卷第3页（共26页）数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）21.(本小题满分8分)关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根. (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,求此时m 的值.22.(本小题满分8分)如图,在一次综合实践活动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30︒,沿坡面向下走到坡脚C 处,然后向楼房方向继续行走10米到达E 处,测得楼房顶部A 的仰角为60︒.已知坡面10CD =米,山坡的坡度i =坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房AB 高度.(结果精确到0.1米)(参考数据：1.73≈1.41≈)23.(本小题满分8分)如图,点A ,B ,C 在半径为8的O e 上.过点B 作BD AC ∥,交OA 延长线于点D .连接BC ,且30BCA OAC ∠=∠=︒. (1)求证：BD 是O e 的切线；(2)求图中阴影部分的面积.24.(本小题满分8分)某商店购进A ,B 两种商品,购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元,并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等. (1)求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元；(2)商店准备购买A ,B 两种商品共80个,若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍,并且购买A ,B 商品的总费用不低于1 000元且不高于1 050元.那么商店有哪几种购买方案？25.(本小题满分10分)如图,二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -和点(3,0)B ,与y 轴交于点N ,以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ,点P 是x 轴上一动点,连接CP ,过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E .(1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P 在线段OB (点P 不与O ,B 重合)上运动至何处时,线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M ,连接MN ,MB .请问：MBN △的面积是否存在最大值？若存在,求出此时点M 的坐标；若不存在,请说明理由.26.(本小题满分12分)如图,在等边ABC △中,6AB = cm,动点P 从点A 出发以1 cm/s 的速度沿AB 匀速运动.动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 的延长线方向匀速运动,当点P 到达点B 时,点P ,Q 同时停止运动.设运动时间为t (s),过点P 作PE AC ⊥于E ,连接PQ 交AC 边于D .以CQ ,CE 为边作平行四边形CQFE .. (1)当t 为何值时,BPQ △为直角三角形；(2)是否存在某一时刻t ,使点F 在ABC ∠的平分线上？若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由；-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共26页） 数学试卷 第8页（共26页）(3)求DE 的长；(4)取线段BC 的中点M ,连接PM ,将BPM △沿直线PM 翻折,得B PM '△,连接AB ',当t 为何值时,AB '的值最小？并求出最小值.数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）湖南省衡阳市2019年初中毕业学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】B【解析】34-的相反数是34；故选：B.【考点】绝对值的概念.2.【答案】A【解析】解：由题意可知：10x +≠,1x ≠-,故选：A. 【考点】分式有意义的条件.3.【答案】C【解析】解：科学记数法表示65 000公里为46.510⨯公里.故选：C. 【考点】科学记数法表示数.4.【答案】D【解析】A 、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误；B 、不是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误；C 、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；D 、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确.故选：D. 【考点】轴对称图形和中心对称图形. 5.【答案】D【解析】A 、8a 与3b 不是同类项,故不能合并,故选项A 不合题意；B 、235()a a =,故选项B 不合题意；C 、344a a a ÷=,故选项C 不符合题意；D 、23a a a =g ,故选项D 符合题意.故选：D. 【考点】整式的运算. 6.【答案】B【解析】解：∵BE AF ⊥,40BED ∠=︒,∴50FED ∠=︒,∵AB CD ∥,∴50A FED ∠=∠=︒.故选：B.【考点】平行线的性质,垂直的定义,三角形的内角和定理.7.【答案】B【解析】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97,所以这组数据的中位数为90分,故选：B. 【考点】中位数.8.【答案】C【解析】A 、n 边形(3n ≥)的外角和是360︒,是真命题；B 、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,是真命题；C 、相等的角不一定是对顶角,是假命题；D 、矩形的对角线互相平分且相等,是真命题；故选：C. 【考点】判断命题的真假,多边形的外角和,垂直平分线的性质,对顶角的概念,矩形的性质.9.【答案】B【解析】2342x xx ⎧⎨+⎩＞①＞②解不等式①得：0x ＜, 解不等式②得：2x ＞-,∴不等式组的解集为20x -＜＜,∴不等式组2342x xx ⎧⎨+⎩＞＞的整数解是1-,故选：B.【考点】解不等式组,求整数解.10.【答案】B【解析】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ,根据题意得：29(1)1x -=,故选：B. 【考点】一元二次方程解应用题. 11.【答案】C【解析】解：由函数图象可知,当一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象在反比例函数2m y x=(m 为常数且0m ≠)的图象上方时,x 的取值范围是：1x -＜或02x ＜＜,∴不等式mkx b x +＞的解集是1x -＜或02x ＜＜.故选：C.【考点】函数图象与不等式的关系.12.【答案】C【解析】解：∵在直角三角形90C ∠=︒,AC BC =, ∴ABC △是等腰直角三角形, ∵EF BC ⊥,ED AC ⊥, ∴四边形EFCD 是矩形,数学试卷 第11页（共26页） 数学试卷 第12页（共26页）∵E 是AB 的中点,∴12EF AC =,12DE BC =,∴EF ED =,∴四边形EFCD 是正方形, 设正方形的边长为A ,如图1当移动的距离a ＜时,图12212S EE H a t ='--正方形得面积△的面积；当移动的距离a ＞时,如图2,图222211(2)2222ACH S S a t t at a ==-=-+△,∴S 关于t 的函数图象大致为C 选项,故选：C.【考点】等腰直角三角形的性质,正方形的性质,求图形的面积.第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】2(2)(2)a a +-【解析】22282(4)2(2)(2)a a a a -=-=+-. 【考点】因式分解. 14.【答案】5【解析】解：根据题意知1322a a =++,解得 5a =,经检验： 5a =是原分式方程的解, ∴ 5a =, 故答案为：5.【考点】频率与概率的关系,解分式方程. 15.【答案】【解析】原式==故答案为：. 【考点】二次根式的计算. 16.【答案】1【解析】解：原式111x x x =--- 11x x -=- 1=.故答案为：1.【考点】分式的计算.17.【答案】【解析】如图,圆半径为6,求AB 长.3603120AOB ∠=︒÷=︒连接OA ,OB ,作OC AB ⊥于点C , ∵OA OB =,∴2AB AC =,60AOC ∠=︒,∴sin606AC OA =⨯︒==,∴2AB AC ==故答案为：【考点】圆内接三角形的定义,等边三角形的性质,垂径定理,特殊角的锐角三角函数值. 18.【答案】21010,(1010)-【解析】解：∵A 点坐标为(1,1),∴直线OA 为y x =,1(1,1)A -, ∵12A A OA ∥,数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）∴直线A 1A 2为2y x =+,解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩, ∴2(2,4)A , ∴3(2,4)A -, ∵34A A OA ∥,∴直线34A A 为6y x =+, 解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩, ∴4(3,9)A , ∴5A (3,9)- …,∴220191010,10()10A -,故答案为21010,(1010)-.【考点】探索规律,一次函数和二次函数的图象性质,函数图象的平移. 三、解答题19.【答案】解：原式821=+-9=【考点】实数的运算.20.【答案】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40÷=(人), 故答案为：40人；(2)C 项目的人数为401214 4 =10---(人) 条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有4100010040⨯=(人). 【解析】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40÷=(人), 故答案为：40人；(2)C 项目的人数为401214 4 =10---(人)条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有4100010040⨯=(人). 【考点】条形统计图,扇形统计图,样本估计总体. 21.【答案】解：(1)根据题意得2(3)40k ∆=--≥,解得94k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程230x x k -+=变形为2320x x -+=,解得11x =,22x =∵一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,∴当1x =时,1130m m -++-=,解得32m =； 当2x =时,4(1)230m m -++-=,解得1m =, 而10m -≠,∴m 的值为32.【解析】解：(1)根据题意得2(3)40k ∆=--≥,解得94k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程230x x k -+=变形为2320x x -+=,解得11x =,22x =∵一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,∴当1x =时,1130m m -++-=,解得32m =； 当2x =时,4(1)230m m -++-=,解得1m =, 而10m -≠,∴m 的值为32.【考点】一元二次方程根的判别式,不等式的解法.22.【答案】解：过D 作DG BC ⊥于G ,DH AB ⊥于H ,交AE 于F ,作FP BC ⊥于P ,如图所示：数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）则DG FP BH ==,DF GP =,∵坡面10CD =米,山坡的坡度i =∴30DCG ∠=︒,∴152FP DG CD ===,∴CG ==∵60FEP ∠=︒,∴5FP =,∴EP =,∴1010DF GP ===, ∵60AEB ∠=︒, ∴30EAB ∠=︒, ∵30ADH ∠=︒, ∴60DAH ∠=︒,∴30DAF ADF ∠=︒=∠,∴10AF DF ==+,∴1523FH AF ==+,∴10AH ==+,∴10515155 1.7323.7AB AH BH =+=+=++⨯≈(米),答：楼房AB 高度约为23.7米.【解析】解：过D 作DG BC ⊥于G ,DH AB ⊥于H ,交AE 于F ,作FP BC ⊥于P ,如图所示：则DG FP BH ==,DF GP =,∵坡面10CD =米,山坡的坡度i =∴30DCG ∠=︒,∴152FP DG CD ===,∴CG ==∵60FEP ∠=︒,∴5FP ==,∴EP =,∴1010DF GP ===, ∵60AEB ∠=︒,∴30EAB ∠=︒, ∵30ADH ∠=︒, ∴60DAH ∠=︒,∴30DAF ADF ∠=︒=∠,∴10AF DF ==+, ∴15FH AF==+,∴10AH==+∴10515155 1.7323.7AB AH BH =+=+=+≈+⨯≈(米), 答：楼房AB 高度约为23.7米.【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形面积公式,扇形的面积公式.23.【答案】(1)证明：连接OB ,交CA 于E ,∵30C ∠=︒,12C BOA ∠=∠,∴60BOA ∠=︒,∵30BCA OAC ∠=∠=︒, ∴90AEO ∠=︒, 即OB AC ⊥,数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）∵BD AC ∥,∴90DBE AEO ∠=∠=︒, ∴BD 是O e 的切线；(2)解：∵AC BD ∥,90OCA ∠=︒,∴30D CAO ∠=∠=︒, ∵90OBD ∠=︒,8OB =,∴BD =∴2160π832π823603BDO AOB S S S ⨯⨯⨯==-=g △阴影扇形. 【解析】(1)证明：连接OB ,交CA 于E ,∵30C ∠=︒,12C BOA ∠=∠,∴60BOA ∠=︒,∵30BCA OAC ∠=∠=︒, ∴90AEO ∠=︒, 即OB AC ⊥, ∵BD AC ∥,∴90DBE AEO ∠=∠=︒, ∴BD 是O e 的切线；(2)解：∵AC BD ∥,90OCA ∠=︒,∴30D CAO ∠=∠=︒, ∵90OBD ∠=︒,8OB =,∴BD =∴2160π832π823603BDO AOBS S S ⨯⨯⨯==-=g △阴影扇形. 【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形公式,扇形的面积公式.24.【答案】解：(1)设购买一个B 商品需要x 元,则购买一个A 商品需要(10)x +元,依题意,得：30010010x x=+, 解得：5x =,经检验,5x =是原方程的解,且符合题意, ∴1015x +=.答：购买一个A 商品需要15元,购买一个B 商品需要5元. (2)设购买B 商品m 个,则购买A 商品(80)m -个,依题意,得：80415(80)5100015(80)51050m m m m m m -⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤,解得：1516m ≤≤. ∵m 为整数, ∴15m =或16.∴商店有2种购买方案,方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个.【解析】解：(1)设购买一个B 商品需要x 元,则购买一个A 商品需要(10)x +元,依题意,得：30010010x x=+, 解得：5x =,经检验,5x =是原方程的解,且符合题意, ∴1015x +=.答：购买一个A 商品需要15元,购买一个B 商品需要5元. (2)设购买B 商品m 个,则购买A 商品(80)m -个,依题意,得：80415(80)5100015(80)51050m m m m m m -⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤,解得：1516m ≤≤. ∵m 为整数, ∴15m =或16.∴商店有2种购买方案,方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个.【考点】分式方程的实际应用,一元一次不等式组的实际应用.25.【答案】解：(1))∵抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -,(3,0)B ,把A 、B 两点坐标代入上式,10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩,解得：23b c =-⎧⎨=-⎩,故抛物线函数关系表达式为223y x x =--； (2)∵(1,0)A -,点(3,0)B , ∴134AB OA OB =+=+=,∵正方形ABCD 中,90ABC ∠=︒,PC BE ⊥, ∴90OPE CPB ∠+∠=︒, 90CPB PCB ∠+∠=︒, ∴OPE PCB ∠=∠,又∵90EOP PBC ∠=∠=︒,数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）∴~POE CBP △△, ∴BC OP PB OE=, 设OP x =,则3PB x =-,∴43x x OE=-, ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, ∵03x ＜＜,∴32x =时,线段OE 长有最大值,最大值为916.即32OP =时,线段OE 有最大值.最大值是916.(3)存在.如图,过点M 作MH y ∥轴交BN 于点H ,∵抛物线的解析式为223y x x =--, ∴0x =,3y =-,∴N 点坐标(0,3)-,设直线BN 的解析式为y kx b =+,∴303k b b +=⎧⎨=-⎩,∴13k b =⎧⎨=-⎩,∴直线BN 的解析式为3y x =-,设2(,23)M a a a --,则(,3)H a a -, ∴223(23)3MH a a a a a =----=-+, ∴22111327(3)322228MNB BMH MNHS S S MH OB a a a ⎛⎫=+==⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭g △△△, ∵102-＜,∴32a =时,MBN △的面积有最大值,最大值是278,此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】解：(1))∵抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -,(3,0)B ,把A 、B 两点坐标代入上式,10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩,解得：23b c =-⎧⎨=-⎩,故抛物线函数关系表达式为223y x x =--； (2)∵(1,0)A -,点(3,0)B , ∴134AB OA OB =+=+=,∵正方形ABCD 中,90ABC ∠=︒,PC BE ⊥, ∴90OPE CPB ∠+∠=︒, 90CPB PCB ∠+∠=︒, ∴OPE PCB ∠=∠,又∵90EOP PBC ∠=∠=︒, ∴~POE CBP △△, ∴BC OP PB OE=, 设OP x =,则3PB x =-,∴43x x OE =-, ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∵03x ＜＜,∴32x =时,线段OE 长有最大值,最大值为916.即32OP =时,线段OE 有最大值.最大值是916.(3)存在.如图,过点M 作MH y ∥轴交BN 于点H,数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）∵抛物线的解析式为223y x x =--, ∴0x =,3y =-,∴N 点坐标(0,3)-,设直线BN 的解析式为y kx b =+,∴303k b b +=⎧⎨=-⎩,∴13k b =⎧⎨=-⎩,∴直线BN 的解析式为3y x =-,设2(,23)M a a a --,则(,3)H a a -, ∴223(23)3MH a a a a a =----=-+, ∴22111327(3)322228MNB BMH MNHS S S MH OB a a a ⎛⎫=+==⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭g △△△, ∵102-＜,∴32a =时,MBN △的面积有最大值,最大值是278,此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【考点】待定系数法求二次函数的表达式,二次函数的图象与性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积公式.26.【答案】解：(1)∵ABC △是等边三角形, ∴60B ∠=︒,∴当2BQ BP =时,90BPQ ∠=︒, ∴62(6)t t +=-, ∴2t =,∴2t =时,BPQ △是直角三角形. (2)存在.理由：如图1中,连接BF 交AC 于M .图1∵BF 平分ABC ∠,BA BC =∴BF AC ⊥,3cm AM CM ==, ∵EF BQ ∥,∴1302EFM FBC ABC ∠=∠=∠=︒,∴2EF EM =,∴1232t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g ,解得3t =.(3)如图2中,作PK BC ∥交AC 于K .图2∵ABC △是等边三角形, ∴60B A ∠=∠=︒, ∵PK BC ∥,∴60APK B ∠=∠=︒,∴60A APK AKP ∠=∠=∠=︒, ∴APK △是等边三角形, ∴PA PK =, ∵PE AK ⊥, ∴AE EK =,∵AP CQ PK ==,PKD DCQ ∠=∠,PDK QDC ∠=∠, ∴(AAS)PKD QCD ≅△△, ∴DK DC =,∴11()3(cm)22DE EK DK AK CK AC =+=+==.(4)如图3中,连接AM ,AM '数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）图3∵3BM CM ==,AB AC =, ∴AM BC ⊥,∴AM ==, ∵AB AM MB ''-≥,∴3AB '≥,∴AB '的最小值为3.【解析】解：(1)∵ABC △是等边三角形, ∴60B ∠=︒,∴当2BQ BP =时,90BPQ ∠=︒, ∴62(6)t t +=-, ∴2t =,∴2t =时,BPQ △是直角三角形. (2)存在.理由：如图1中,连接BF 交AC 于M .图1∵BF 平分ABC ∠,BA BC =∴BF AC ⊥,3cm AM CM ==, ∵EF BQ ∥,∴1302EFM FBC ABC ∠=∠=∠=︒,∴2EF EM =,∴1232t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g ,解得3t =.(3)如图2中,作PK BC ∥交AC 于K .图2∵ABC △是等边三角形, ∴60B A ∠=∠=︒, ∵PK BC ∥,∴60APK B ∠=∠=︒,∴60A APK AKP ∠=∠=∠=︒, ∴APK △是等边三角形, ∴PA PK =, ∵PE AK ⊥, ∴AE EK =,∵AP CQ PK ==,PKD DCQ ∠=∠,PDK QDC ∠=∠, ∴(AAS)PKD QCD ≅△△, ∴DK DC =,∴11()3(cm)22DE EK DK AK CK AC =+=+==.(4)如图3中,连接AM ,AM '图3∵3BM CM ==,AB AC =, ∴AM BC ⊥,∴AM ==∵AB AM MB ''-≥,∴3AB '≥,∴AB '的最小值为3.【考点】二次函数的图象与性质,勾股定理,三角形的面积,矩形的性质,平行四边形的性质.数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。