双曲线的几何性质的教案
教学设计1：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2．3.2双曲线的简单几何性质◆知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题．◆过程与方法目标让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．◆教学过程一.复习引入双曲线的定义及标准方程二.思考分析问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线．问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点．三.抽象概括1．双曲线的几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x ＝±a ，y ＝±b (或x ＝±b ，y ＝±a )围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．3．为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. 四.例题分析及练习[例1] 求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨] 化为标准形式→求a ，b ，c →得双曲线的几何性质 [精解详析] 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m ＝1＋nm， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，渐近线的方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .[感悟体会] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a ，b 对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． 训练题组11．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．42解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.答案：C2．已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y4＝0.答案：A[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共的渐近线，且过点M (2，－2)． [思路点拨]分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92.∴所求的方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2.∴所求的方程为y 29－x 24＝1.法二：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴所求的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[感悟体会] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．若已知双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．训练题组23．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( )A.x 252－y 2122＝1B.y 2122－x 252＝1C.x 2122－y 252＝1D.y 252－x 2122＝1 解析：依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13.又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. 答案：D4．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为________．解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2，∴4a ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1. 答案：y 24－x 212＝1.[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． [思路点拨]设F 1c ，0，将焦点F 1的横坐标代入方程→求出P 的纵坐标及|PF 1|→由∠PF 2Q ＝90°建立a ，b ，c 的关系→求出离心率[精解详析] 设F 1(c,0)，由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝22c . 由双曲线的定义得22c －2c ＝2a .∴e ＝c a ＝222－2＝1＋ 2.所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.[感悟体会] (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围． 训练题组35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca ＝ 2.答案：B6．设a >1，则双曲线x 2a2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2， 5)C ．(2,5)D ．(2, 5) 解析：e 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1a 2＋2a ＋2＝(1a＋1)2＋1， ∵a >1，∴0<1a <1,1<1a ＋1<2，∴2<e 2<5.又e >1，∴2<e < 5.答案：B7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4， 由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2.答案：2五.课堂小结与归纳1．已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．2．如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b a2(a >0，b >0)．六.当堂训练1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由题意e ＝ca ＝2，∴c ＝2a .又c ＝4，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线方程是x 24－y 212＝1.答案：A2．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0.又双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C3．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A. 5B.14 C ．2 D ．25解析：∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝ a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝ 5.答案：A4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3 B ．4＋2 3 C ．23－2 D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a .又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：A5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2. 答案：26．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：1F M ·2FM ＝0. 解：(1)∵离心率e ＝ca ＝2，∴a ＝b .设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)，∵(4，－10)在双曲线上，∴n ＝42－(－10)2＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵M (3，m )在双曲线上，故m 2＝3.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴1F M ·2F M ＝0. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝ba －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝ba ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝ca ，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，∴54≤e 2≤5(e >1)．∴52≤e ≤5，即e 的取值范围为[52，5]．。
双曲线的几何性质教案
吕 叔 湘 中 学 教 师 备 课 纸高 二 年级 数学 学科 时间 编号（ ）教学过程设计【授课】 一、复习双曲线的定义及标准方程.〖基础知识〗二、双曲线的几何性质 由双曲线的标准方程12222=-by ax （a ＞b ＞0）来研究双曲线的几何性质：1.范围：2.对称性：3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点. 在双曲线12222=-by ax 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-bya x的顶点.令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
⑴注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
⑵实轴：________________________________________________________虚轴：________________________________________________________ 在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点.4．离心率定义：ac e =∈（1，+∞）称为双曲线的离心率。
由于c e a==故e 越大，双曲线__________；e 越小，双曲线的_________。
5．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线12222=-by ax 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？——距离。
只要证明什么？——距离趋向于0.求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1为0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程.6．等轴双曲线：⑴定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式：a b =⑵等轴双曲线的性质：①渐近线方程为：x y ±= ；②渐近线互相垂直。
《3.2.2 双曲线的几何性质》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一
《双曲线的几何性质》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：掌握双曲线的几何性质，包括开口方向、焦点位置、离心率等，能够运用双曲线知识解决相关问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、探究双曲线的几何性质，提高观察、分析和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养数学兴趣和探究精神，增强对数学与生活的联系认识。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握双曲线的几何性质，如开口方向、焦点位置、离心率等。
2. 教学难点：如何引导学生观察、分析、探究双曲线的几何性质，提高解决问题的能力。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、投影仪等教学设备，以及双曲线标准图象。
2. 制作课件：包括双曲线标准图象以及相关问题的示例和解答。
3. 搜集资料：收集与双曲线几何性质相关的实际应用案例，用于课堂讲解和讨论。
四、教学过程：本节课是双曲线的几何性质第一课时，是在学生学习了椭圆性质的基础上进行学习的，学习目的是通过类比学习，培养学生自主学习和探究的能力。
为了达成目标，结合本节课内容，我设计如下五个环节：1. 创设情境，引入课题以刘翔跨栏的视频情境为切入点，请学生回想如何计算位移与时间。
将刘翔百米跨栏比赛的视频进行回顾剪辑，给学生展示赛前与比赛结束的栏杆间距和所用时间，引导学生回忆计算位移的方法。
教师给出实际问题：在离地面3米高处要安装一个灯箱，离地面5米高处再安装一个灯箱，如果要求灯箱与地面距离差不超过2米，问两条灯箱的位置应如何设置？请用数学语言描述这个问题。
学生尝试用学过的知识解决这个问题。
通过类比问题，引入双曲线概念和简单几何性质。
设计意图：以刘翔跨栏视频创设情境，有利于激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生体会到数学与体育的关系无处不在，同时也自然地引入课题。
2. 自主学习，合作探究将学生分成小组，结合课件通过多媒体网络自学教材内容，对双曲线的定义及几何性质进行自主探究，解决在自学中遇到的疑难问题。
在此过程中教师巡回指导，帮助学生解决疑难问题。
高中数学双曲线几何性质教案
高中数学双曲线几何性质教案
一、教学目标：
1. 了解双曲线的定义和基本性质；
2. 能够根据给定条件解决双曲线相关问题；
3. 掌握双曲线的方程和图像特点。
二、教学内容：
1. 双曲线的定义和基本性质；
2. 双曲线的方程和图像特点；
3. 双曲线的焦点、准轴、渐近线等相关概念。
三、教学重点：
1. 理解双曲线的几何性质；
2. 掌握双曲线的方程和图像特点。
四、教学难点：
1. 理解双曲线方程中参数对图像的影响；
2. 能够灵活运用双曲线的性质解决问题。
五、教学方法：
1. 讲解结合示例；
2. 提问互动，引导学生思考；
3. 小组讨论，合作解题。
六、教学过程：
一、导入
1. 欢迎学生，引入双曲线的定义和概念；
2. 让学生回顾椭圆和抛物线的性质，引申到双曲线。
二、讲解
1. 介绍双曲线的定义和一般方程；
2. 讲解双曲线的图像特点和性质；
3. 详细解释双曲线的焦点、准轴、渐近线等重要概念。
三、练习
1. 带学生做几道双曲线方程求解问题；
2. 引导学生分组合作，解决双曲线相关实际问题。
四、巩固
1. 总结双曲线的性质和特点；
2. 提醒学生复习重点内容，做好准备。
七、作业布置
1. 布置相关习题，巩固所学知识；
2. 提供实际问题，让学生应用双曲线知识解答。
八、评价与反思
1. 对学生的学习情况进行评价；
2. 总结教学过程，反思教学方法，提出改进意见。
以上是本节课的教学内容，希望同学们能认真学习，掌握双曲线的性质和应用，成为数学的高手！。
双曲线的简单几何性质教学设计
双曲线的简单几何性质教学设计本教学设计旨在向学生介绍双曲线的简单几何性质，帮助他们理解双曲线的形状及其应用。
教学设计分为三个部分：引入教学、知识讲解及应用实践。
引入教学：
1. 导入：以一个真实生活的例子开始引入，比如一辆汽车以恒定速度在一条高速公路上行驶时，汽车与高速公路之间的距离是如何变化的。
2. 提问：通过向学生提问，引导他们思考距离的变化是否会随着时间变化而改变，进一步引出双曲线的概念。
知识讲解：
1. 定义：简要介绍双曲线的定义，即平面上距离差的绝对值为常数的点的集合。
2. 性质讲解：
a. 双曲线的对称性：双曲线关于两条虚轴对称。
b. 双曲线的渐近线：解释双曲线具有两条渐近线的特点，并引导学生思考渐近线与双曲线的关系。
c. 双曲线的焦点与准线：定义焦点和准线，并说明双曲线焦点到准线的距离是常数。
d. 双曲线的离心率：详细解释双曲线的离心率概念，并介绍离心率与双曲线形状之间的关系。
应用实践：
1. 练习题：给学生提供一些双曲线的练习题，让他们运用所学知识解答。
例如，给定一个双曲线方程，要求学生画出该双曲线及其渐近线，并计算其焦点、离心率等。
2. 实际应用：引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，如双曲线在天体力学、射影几何等领域的应用，并鼓励学生自行寻找双曲线的实际应用案例。
通过以上教学设计，学生可以对双曲线的简单几何性质有一个基本的了解。
教师可以通过观察学生在引入教学及应用实践环节的表现来评估学生对双曲线的理解程度。
此外，教师还可以鼓励学生之间的合作与讨论，以促进他们对双曲线概念的深入理解。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。
二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。
三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。
双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。
双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。
两条分支无限延伸，且永不相交。
2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。
3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。
四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。
2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。
3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。
4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。
双曲线的简单几何性质教案
课题：双曲线的简单几何性质（1）一．教学目标：1.知识与能力了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率.2.过程和方法通过观察、类比、探究来认识双曲线的几何性质.3.情感态度与价值观通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系．二．教材分析：本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
三．学情分析：学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆的几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。
通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础上，拓展延伸，构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质的思想方法有更深刻的认识。
四．重点难点：重点：双曲线的简单几何性质难点：由双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程五．教学过程：1.导入新课：大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT ）在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率等）这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 2.学案反馈：通过批改学案来了解学生对本节新课的理解和掌握情况，并对学案反馈出的问题做课堂讨论和解决。
同时通过速记、提问方式加强记忆。
3.探究活动：通过阅读教材5856P P -,完成下表合作探究一：已知双曲线方程求性质.144169122近线方程顶点坐标、离心率、渐、焦点坐标、的实半轴长、虚半轴长：求双曲线例=-y x自主学习——组内展开讨论——展示——小组评价 .43,450,40,4-0,50,5-34191622x y a c e b a y x ±======-渐近线方程：离心率））、（顶点坐标（））、（焦点坐标（，虚半轴长可得实半轴长程解：把方程化为标准方类题通法：1.求双曲线性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点位置，这样便于直接的写出a ，b 的数值，进而求出c 。
【参考教案】《双曲线的简单几何性质》(人民教育出版社)
一、教案内容：《双曲线的简单几何性质》1. 教学目标（1）理解双曲线的定义及标准方程。
（2）掌握双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。
（3）能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的定义及标准方程。
（2）双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。
3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。
4. 教学过程（1）导入：通过复习椭圆的相关知识，引导学生思考双曲线的定义及性质。
（2）新课讲解：介绍双曲线的定义、标准方程及基本几何性质。
（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对双曲线性质的理解。
（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。
（5）总结拓展：引导学生思考双曲线在实际问题中的应用。
5. 课后作业（1）复习双曲线的定义及标准方程。
（2）练习双曲线的性质分析。
二、教案内容：《双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系》1. 教学目标（1）掌握双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（2）能够运用焦点与实轴、虚轴的关系解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。
4. 教学过程（1）导入：复习双曲线的定义及基本几何性质。
（2）新课讲解：介绍双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对焦点与实轴、虚轴关系的理解。
（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。
（5）总结拓展：引导学生思考焦点与实轴、虚轴关系在实际问题中的应用。
5. 课后作业（1）复习双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（2）练习运用焦点与实轴、虚轴关系解决实际问题。
三、教案内容：《双曲线的顶点与渐近线》1. 教学目标（1）掌握双曲线的顶点与渐近线。
（2）能够运用顶点与渐近线解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的顶点与渐近线。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。
2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。
知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。
4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。
性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。
6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。
应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。
8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。
巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。
11. 鼓励学生提问和解答疑惑。
教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。
- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。
- 计算器，用于计算实例。
教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。
- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。
- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。
教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。
- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。
注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。
- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。
- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。
双曲线的几何性质说课稿省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
课时分配:
1节
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目标：1.知识目标（1）掌握双曲线几何性质。
。
（2）了解离心率大小对双曲线形状影响 及双
曲线与渐进线位置关系。
2。能力目标（1）培养学生分析、概括探究问题能力；
（2）培养学生数形结合数学思想和方法能力。
3。情感目标: 使学生在成功体验中取得成就感,进而激发学习
数学兴趣. ---------------------------------------------------------------------------------------------
第1页
教学程序设计
教与学方法
“双曲线几何性质”说课教案
布置作业 课堂小结 学习例2 学习例1 几何性质 揭示课题 教学目标 教学重点与难点 教材所处地位
教材分析
一、教材分析
1、教材所处地位
本节课主要讲双曲线几何性质 ,是在学生学习过椭圆几何性质 基础上进行。经过双曲线性质讨论，可使学生对由方程讨论 曲线性质（即由数到形）思想方法有更深刻认识。所以这节课是培 养学生数形结合数学思想和方法——研究几何基本思想和方法以及 概括、归纳能力和逻辑思维能力主要内容，对培养学生探索精神和 创新精神能力都有主要意义。
- 重点:引导学生探求双曲线几何性质 难点:数形结合思想利用
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《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。
强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。
2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。
3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。
4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。
5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。
引导学生通过实例验证双曲线的对称性。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。
2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。
3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。
2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。
3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。
教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。
利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
数学教案-双曲线的几何性质
数学教案－双曲线的几何性质1. 引言在高中数学课程中，双曲线是重要的内容之一。
本教案将帮助学生了解双曲线的几何性质，包括双曲线的图像特征、焦点与准线的关系以及双曲线的切线方程等内容。
通过本教案的学习，学生将更好地理解和应用双曲线的几何性质。
2. 双曲线的定义双曲线是一类二次曲线，其定义通过焦点与准线之间的距离差等于常数来描述。
双曲线可分为两支，其图像形状类似于打开的弓形，两支曲线相互对称。
3. 双曲线的图像特征双曲线的图像特征包括离心率、焦点位置以及渐近线。
3.1 离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。
对于双曲线，离心率大于1，它的两个焦点在x轴上，曲线从（e，0）和（-e，0）分别延伸；离心率小于1，焦点在y轴上，曲线从（0，e）和（0，-e）分别延伸。
3.2 焦点位置双曲线的焦点是离心率与准线之间距离差为常数的固定点。
根据离心率的大小，焦点有不同的位置。
3.3 渐近线双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支无限接近，但永远不会相交。
渐近线的方程可以通过求极限来得到。
对于双曲线的两支，右支的渐近线为y=x/e，左支的渐近线为y=-x/e。
4. 焦点与准线的关系焦点与准线是双曲线的两个重要元素，它们之间有一定的关系。
4.1 焦点到准线的距离关系对于双曲线上任意一点P(x, y)，其到焦点F1的距离减去到准线L的距离的差为常数。
即PF1-PL=2a，其中a为常数。
4.2 焦点与准线的联立方程焦点与准线的位置可以通过联立方程来求解。
设焦点的坐标为(F1, 0)和(F2, 0)，准线的方程为y=±a/e，其中e为离心率，a为焦点到准线的距离。
5. 双曲线的切线方程双曲线的切线方程可以通过求导得到。
设双曲线的方程为y2/a2 - x2/b2 = 1，对其求导可以得到斜率的表达式。
然后将斜率代入点斜式方程，即可得到切线方程。
6. 总结通过本教案的学习，我们了解了双曲线的几何性质，包括双曲线的图像特征、焦点与准线的关系以及双曲线的切线方程。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及几何性质，能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现双曲线的几何性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在实际生活中的应用。
二、教学重点1. 双曲线的定义及标准方程。
2. 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等。
三、教学难点1. 双曲线几何性质的理解和应用。
2. 双曲线方程的求解。
四、教学准备1. 教师准备：双曲线的教学课件、教案、例题及练习题。
2. 学生准备：预习双曲线相关知识，准备课堂讨论。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习椭圆的知识，引出双曲线的学习，激发学生的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义及标准方程：引导学生了解双曲线的定义，讲解双曲线的标准方程及求解方法。
3. 分析双曲线的几何性质：引导学生观察双曲线的图形，分析双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等几何性质。
4. 例题讲解：挑选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用双曲线的几何性质解决问题。
5. 课堂练习：为学生提供一些有关双曲线的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线的几何性质及其在实际问题中的应用。
7. 布置作业：布置一些有关双曲线的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 学生对双曲线的定义、标准方程及几何性质的掌握程度。
2. 学生运用双曲线性质解决问题的能力。
3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。
七、教学建议1. 注重双曲线几何性质的讲解，让学生充分理解并掌握。
2. 多举例子，让学生在实际问题中感受双曲线的应用。
3. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。
双曲线的几何性质数学教案设计
双曲线的几何性质数学教案设计一、教学目标1. 理解双曲线的定义和标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、离心率等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义和标准方程介绍双曲线的定义，即所有到两个固定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合。
推导双曲线的标准方程，即\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > 0, b > 0\)）。
2. 双曲线的焦点和准线解释双曲线的焦点概念，即双曲线上每个点到两个焦点的距离之差等于双曲线的离心率。
推导双曲线的焦点坐标，即\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)。
介绍准线的概念，即与双曲线对称的直线，其方程为\(x = \pm\frac{a^2}{c}\)。
3. 双曲线的离心率定义双曲线的离心率\(e\) 为\(e = \frac{c}{a}\)。
解释离心率与双曲线的形状的关系，即\(e > 1\) 表示双曲线开口向外，\(e < 1\) 表示双曲线开口向内。
4. 双曲线的渐近线介绍双曲线的渐近线概念，即当\(x\) 趋于无穷大或无穷小时，双曲线的曲线趋近于一条直线。
推导双曲线的渐近线方程，即\(y = \pm\frac{b}{a}x\)。
5. 双曲线的对称性和周期性解释双曲线的对称性，即双曲线关于\(x\) 轴和\(y\) 轴对称。
介绍双曲线的周期性，即双曲线在\(x\) 轴和\(y\) 轴上具有无限周期。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索双曲线的几何性质，激发学生的学习兴趣和主动性。
2. 使用图形和实例进行直观的解释和演示，帮助学生理解和记忆双曲线的几何性质。
3. 组织小组讨论和合作，鼓励学生之间的交流和思考，培养学生的团队合作能力。
四、教学评估1. 课堂讲解和提问：通过观察学生在课堂上的参与和回答问题的表现，评估学生对双曲线几何性质的理解程度。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的基本几何性质，包括渐近线方程、离心率、焦距等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与标准方程2. 双曲线的渐近线方程3. 双曲线的离心率4. 双曲线的焦距5. 双曲线与其他几何图形的关系三、教学重点与难点：1. 重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。
2. 难点：双曲线渐近线方程的推导，离心率、焦距的计算。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 注重个体差异，鼓励学生提问和发表见解。
五、教学过程：1. 导入：回顾椭圆的几何性质，引导学生思考双曲线的定义及其与椭圆的区别。
2. 新课：讲解双曲线的定义与标准方程，引导学生理解双曲线的图形特点。
3. 探究：让学生自主探究双曲线的渐近线方程，教师给予指导。
4. 讲解：讲解双曲线的离心率和焦距的计算方法，结合实际例子进行演示。
5. 应用：布置练习题，让学生运用双曲线的几何性质解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 练习题解答：评估学生在练习题中的表现，了解其对双曲线几何性质的掌握程度。
4. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高其分析和解决问题的能力。
七、教学资源：1. 教案、PPT课件2. 数学教材3. 练习题及答案4. 几何画图软件（可选）八、教学进度安排：1. 第一课时：双曲线的定义与标准方程2. 第二课时：双曲线的渐近线方程3. 第三课时：双曲线的离心率4. 第四课时：双曲线的焦距5. 第五课时：双曲线与其他几何图形的关系九、教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
双曲线的简单几何性质 精品教案
双曲线的简单几何性质【教学目标】1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质。
2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念。
3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题。
4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养。
【教学重难点】教学重点：双曲线的渐近线、离心率。
教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入1．范围、对称性由标准方程2222 1 x y a b-=，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图像，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线，双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。
2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。
3．渐近线过双曲线2222 1 x y a b-=的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形。
矩形的两条对角线所在直线方程是 b y x a =±（0 x y a b±=），这两条直线就是双曲线的渐近线。
4．等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e等轴双曲线可以设为：22(0) x y λλ-=≠，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。
5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为 b y x a =±(0) kbx k ka=±>，那么此双曲线方程就一定是：22221(0) ()()x y k ka kb -=±>或写成2222 x y a bλ-= 6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。
双曲线的简单几何性质 精品教案
双曲线的简单几何性质第三课时（一）教学目标1．掌握直线与双曲线位置关系的判定，能处理直线与双曲线截得的弦长，与弦的中点有关的问题．2．能综合应用所学知识解决较综合的问题，提高分析问题与解决问题的能力． （二）教学过程 【设置情境】练习：求下列直线和双曲线的交点坐标（课本P108．5）①02=-y x ，152022=-y x ②01634=--y x ，1162522=-y x ③01=+-y x ，322=-y x 答案：①（6，2），（14332-，）②（425，3）③()12--， 说出上边各例直线与双曲线的位置关系．不少学生会认为直线01=+-y x 与双曲线322=-y x 相切，让学生动手画图，很显然此时直线与双曲线相交，且只有一个交点．为什么会出现这种情况呢？ 【探索研究】直线与双曲线的位置关系通过对第③小题的研究发现直线01=+-y x 与双曲线的渐近线平行，因而此时相交且只有一个公共点．从而得出结论直线与双曲线相切—只有一个公共点（只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要条件，但不是充分条件）．直线与双曲线相离—没有公共点． 【例题分析】例 1 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围．（课本P132第13题）解：由⎩⎨⎧=--=4122y x kx y 得()()*=-+-052122kx x k 即此方程无解．由()⎪⎩⎪⎨⎧<-+=∆≠-0120401222k k k 得25>k 或25-<k则k 的取值范围为25>k 或25-<k ． 引申：（1）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值范围． 解析：直线与双曲线有两个公共点()*⇔式方程有两个不等的根()25250120401222<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-⇔k k k k 且1±≠k （2）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取值范围． 解析：此时等价于（﹡）式方程只有一解当012=-k 即1±=k 时，（﹡）式方程只有一解当012≠-k 时，应满足()0120422=-+=∆kk解得25±=k 故k 的值为1±或25±（3）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的右支有两个公共点，求k 的取值范围． 解析：此时等价于（﹡）式方程有两个不等的正根()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-->-+⇔015012012042222k k k k k 即251110112525<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->><<-><<-k k k k k k 或或 （4）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左支有两个公共点，求k 的取值范围．（125-<<-k ） （5）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 两支各有一个交点，求k 的取值范围．解析：此时等价于（﹡）式方程有两个相异实根即0152<--k 即11<<-k ． 例2 直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点．当k 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．可由一位学生演板，教师讲评指出有关二次方程知识的应用．解：由方程组：⎩⎨⎧=-+=13122y x kx y 得()022322=---kx x k因为直线与双曲线交于A 、B 两点 ∴()038422>-+=∆k k解得66<<-k ．设()11y x A ，，()22y x B ，，则：22132k k x x -=+，32221-=k x x ， 而以AB 为直径的圆过原点，则OB OA ⊥， ∴02121=+y y x x ．()()()111212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ．于是()()01121212=++++x x k x x k ，即()0132321222=+-+-⋅+k kkkk． 解得1±=k 满足条件．故当1±=k 时，以AB 为直径的圆过原点．例3 已知双曲线方程1222=-y x ，试问过点()11，A 能否作直线l ，使与双曲线交于1P 、2P 两点，且点A 是线段1P 、2P 的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．由学生讨论完成，教师给予提示． 解：假设存在直线l 满足条件．显然斜率不存在时，直线1=x 不满足条件．设()11+-=x k y l ：，代入双曲线方程整理得：()()032122222=-+--++k k x k k x k若022=-k 即2±=k ，则l 与渐近线平行，没有交点．∴022=-k 设()111y x P ，、()222y x P ，则：()221212k k k x x --=+由于()11，A 是1P 2P 的中点．∴()1212221=--=+k k k x x 解得2=k ． 这时方程为03422=+-x x ，02416<-=∆，即直线l 与双曲线无交点． 故这样的直线l 不存在．例 4 已知1l 、2l 是过点()02，-P 的两条互相垂直的直线，且1l 、2l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为1A 、1B 和2A 、2B ．（1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若22115B A B A =，求1l 、2l 的方程． 由教师讲解，弦长的求法要分步演算．解：（1）依题意，两直线的斜率都存在，由于()211+=x k y l ：与双曲线有两个交点，则下述方程组有两组不同解：()()012221≠⎪⎩⎪⎨⎧=-+=k x y x k y 消去y 得()0122212121221=-++-k x k x k于是 ()⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆≠-013401212k k ①同理由()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=121221x y x k y 得()0222121221=-++-k x x k ()⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆≠-0134012121k k 解①②得1k 的取值范围是()()3113333113，，，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--- （2）设()11y x A ，，()22y x B ，，则212121122k k x x -=+ 12212121-=k k x x ∴()()()()[]212212122121211411x x x x k x x k B A -++=-+=()()()221212111314k k k --+=同理()()()22121412121221361k k k k k B A --++=由22115B A B A =得()()()()()()2212141212122121211361511314k k k k k k k k --++⋅=--+解得21±=k 当 21=k 时，()221+=x y l ：，()2222+-=x y l ：， 当21-=k 时， ()221+-=x y l ：， ()2222+=x y l ：． （三）随堂练习1．设双曲线1322=-y x C ：的左准线与x 轴的交点是M ，则过点M 与双曲线C 有且只有一个交点的直线共有（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数条2．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，4=AB ，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若过双曲线1322=-y x 的右焦点2F ，作直线l 与双曲线的两支都相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________________．答案：1．C 2．C 3．()()180120600，，∈α2．注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常是转化为二次方程，运用判别式、根与系数关系以及两次方程实根分布原理来解决．（五）布置作业1．设双曲线()0012222>>=-b a by a x ，的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应焦点为F ，若ABF ∆为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．22．直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率2=k ，若l 与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2>e B ．31<<e C ．51<<e D ．5>e3．若过点()18，P 的直线与双曲线4422=-y x 相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线A 、B 的方程是________________．4．直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点，当α为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？5．过双曲线()0012222>>=-b a by a x ，上的点P 向x 轴作垂线恰好通过双曲线的左焦点1F ，双曲线的虚轴端点B 与右焦点2F 的连线平行于PO ，如图．（1）求双曲线的离心离；（2）若直线2BF 与双曲线交于M 、N 两点，且12=MN ，求双曲线方程．答案：1．D ；2．D ；3．0152=--y x ；4．63<<α或36-<<-α；5．（1）2=e （2）422=-y x（六）板书设计。
高中数学232 双曲线的几何性质 教案
§双曲线的几何性质要点精讲1.本节用双的标准方程研究其几何性质，目的有二：①掌握双曲线的基本性质，掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义，以及a,b,c,e之间的相互关系；②通过对方程的讨论，领悟解析几何是怎样用代数方法来研究曲线的性质的．2.研究曲线的X围运用的是函数思想，可以将y解出来，通过研究定义域、值域确定双曲线的X围(当然应分别讨论x轴上方、下方的情形)．3.‘‘离心率’’这个名词是很形象的：在固定a后，焦点距离中心越远，双曲线的开口越大.4.在运用双曲线的定义解题时，离心率确定双曲线的形状，离心率越大，双曲线的开口越大.典型题解析【例1】双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，且与圆x2＋y2＝5交于点P(2,－1)，如果圆在点P的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线，求双曲线的方程．【解析】【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为16，准线方程为29±=y ； (2)虚轴长为12，离心率为45； (3)顶点间的距离为6，渐近线方程为x y 23±=． 【分析】要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a 和b ． 【解】（１）由准线方程为29±=y ，可知双曲线的焦点y 在轴上, 设所求双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.29,1622c a c 解得6=a ， 8=c ．所以 283664222=-=-=a c b ．因此，所求双曲线的方程为1283622=-x y ． （２）当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为2222by a x -=1．由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.45,122a c b 解得8=a ，10=c ．∴3664100222=-=-=a c b ．所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为1366422=-y x ． 同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为1366422=-x y ． 【点评】因此，所要求的双曲线的方程为1366422=-y x 和1366422=-x y ． （3）方法一：当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为2222by a x -=1由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.23,122a b a 解得3=a ，29=b ．所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为1481922=-y x ． 同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为14922=-x y ． 因此，所要求的双曲线的方程为1481922=-y x 和14922=-x y ． 方法二：设以x y 23±=为渐近线的双曲线的方程为)0(9422≠=-λλy x 当λ＞０时，642=λ，解得，λ＝49． 此时，所要求的双曲线的方程为1481922=-y x ．当λ＜０时，692=-λ，解得，λ＝－１． 此时，所要求的双曲线的方程为14922=-x y ．因此， 所要求的双曲线的方程为1481922=-y x 和14922=-x y ． 【点评】已知渐近线方程为x a by ±=,可设双曲线λby a x =－2222,然后用待定系数法试求λ.【例3】(1)求证：双曲线)0,(2222≠λ∈λλ=-R b y a x 与双曲线12222=-by a x 有共同的渐近线．(2)求与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线·且经过点M(3，－2)的双曲线方程． 【解析】【例4】一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在 B 处迟2 s ．若声速为340 rn ／s ． (1)爆炸点在什么曲线上?(2)已知A ，B 两地相距800 m ，试求这条曲线的方程． 【解析】 (1)设M 为爆炸点，由题意得MA －MB=340×2=680．因为爆炸点离A 点比离B 点距离更远，所以爆炸点在以A ，B 为焦点且距B 较近的双曲线的一支上(如图)． (2)如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系xoy ．设M(x ，y)为曲线上一点．由于MA －MB =680，得2a=680，即a=340． 由于AB=800，得2c=800，即c=400．所以b 2=c 2－a 2=44400 因为MA －MB=680>0，所以x ＞0．因此，所求曲线的方程为x 2115600―y 244400=1(x ＞0)【点评】确定爆炸点或出事地点的位置，在军事上或抢险救灾时都有重要作用．从本例看出，利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置．要有几个观测点才能确定爆炸点的位置呢? 如果再增设一个观测点C ，利用B 、C （或A 、C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的方程、性质在实际问题中的应用．【例5】已知：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线的夹角为2θ ,离心率为e ．求证：cos e1=θ．【分析】【点评】【解】【例6】如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值X 围. 【解析】如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记A ()0 ,c -，C ⎪⎭⎫⎝⎛h c , 2，E ()00 ,y x ，其中||21AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=++-=λλλλλλ11221200h y c c c x ， 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =．由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ace =代入双曲线方程得 14222=-b h e ，①11124222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ② , 由①式得14222-=e bh ③ . 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故1312+-=e λ．【点评】由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e .所以双曲线的离心率的取值X 围为[]10 , 7．【点评】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力.规律总结1. 双曲线中有关的参数主要有四个：实轴的长2a ，虚的长2b ，半焦距c ，离心率e ．在求双曲线的标准方程时，已知条件常常和这些系数有关，而这些系数又不是相互独立的，它们之间有以下两个关系：222=+c b a 和ac e =2. 双曲线的几何性质集中体现在双曲线的中心、顶点、焦点、对称轴、准线和离心率上；它们又通过参数a ， b ， c ，ac ，c a 2来描述的．3. 双曲线)0>,0>(1=2222b a by －a x 上的若点P （00,y x ）在右支上的两个焦半径分别为011+==ex a PF r 与==22PF r a －ex 0,若点P （00,y x ）在左支上的两个焦半径分别为)+(==011ex a －PF r 与==22PF r －(a －ex 0).4. 对直线和双曲线的位置关系与方程组的转换、两交点存在与判别式△＞0及韦达定理的转换.。
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双曲线的几何性质
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．
(二)能力训练点
在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．
(三)学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．
二、教材分析
1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．
(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．
(解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．)
3．疑点：双曲线的渐近线的证明．
(解决办法：通过详细讲解．)
三、活动设计
提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．
四、教学过程
(一)复习提问引入新课
1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．
2．双曲线的两种标准方程是什么？
再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．
(二)类比联想得出性质(性质1～3)
引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页>
(三)问题之中导出渐近线(性质4)
在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计
仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．
接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？
下面，我们来证明它：
双曲线在第一象限的部分可写成：
当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字
母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精
再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．
(四)顺其自然介绍离心率(性质5)
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：
变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
(五)练习与例题
1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．
由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．
焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．
本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：
化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
这就是双曲线的标准方程．
由此例不难归纳出双曲线的第二定义．
(六)双曲线的第二定义
1．定义(由学生归纳给出)
平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=
叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
2．说明
(七)小结(由学生课后完成)
将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．
五、布置作业
1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．
(1)16x2-9y2=144；
(2)16x2-9y2=-144．
2．求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
曲线的方程．
点到两准线及右焦点的距离．作业答案：
距离为7
六、板书设计。