4概率加法公式

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4讲加法法则概率论课件

P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1

而前面的加法法则只是公理(3)的一种特殊情况
2013-7-10 26
(MBA试题)
若A B, A C , P( A) 0.9, P( B C ) 0.8, 则P( A BC ) (
(A)0.4 (B)0.6
)
(4) P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 0.7 0.3
2013-7-10 34
例9观察某地区未来5天的天气情况, 记Ai 为事件:“有i天不下雨”, i=0,1,2,3,4,5. 求下列各事件的概率: (1) 5天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (3) 至多三天不下雨.
因此P( B) 0.9122 0.0855 0.9977
2013-7-10 4
例3 对光顾一个超市的顾客的购买情况进行统计, 总共观察了1000名顾客, 其中花了 400元以上的有50名, 花的钱在100元到400 元的有500名, 试估计花钱超过100元的概率.
2013-7-10
5
解假设A={花钱超过100元}, B={花钱在100 元到400元之间}, C={花钱超过400元}, 利用频率来估计概率, 则B,C互不相容, A=B+C
500 50 P( B) 0.5, P (C ) 0.05 1000 1000 P( A) P( B C ) P ( B ) P (C ) 550 500 50 0.55 1000 1000 1000
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
A1
S
A2
A3
A4
11

原创1：3.1.4概率的加法公式

去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请
问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他
乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可
则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与
B的并(或和)
如下图中阴影部分所表示的就是A∪B.
A
B
A
B
例2.判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由。
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加
演讲比赛，其中
（1）恰有1名男生和恰有2名男生；
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07.
即小明考试不及格的概率是0.07.
例5. 某战士射击一次，问：
（1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则A的概率为多少？
（2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7 ，那么事件C=“
中靶环数小于6”的概率为多少？
（3）事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？
此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率. 因
此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为
易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验
是否满足它的前提条件“彼此互斥”.
例1中事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A：“
出现奇数点”的概率与事件B：“出现2点”的概率之和
，即
1 1 2
P(C)=P(A)+P(B)=
任取1张：
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

15事件和与事件积的概率【教师版】

事件和与事件积这节课我们学什么1.掌握事件和与事件积的概率的求法；2.理解事件独立的概念，并掌握独立事件积的概率的求法.知识框图知识梳理1.和事件（1）和事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B至少有一个出现”叫做事件A与事件B的和．（2）事件和的概率（概率加法公式）：()()()()P A B P A P B P AB=+-．（3）互斥事件：在同一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫做互不相容事件．（4）互斥事件和的概率：如果事件A、B互斥，那么()()()P A B P A P B=+．2.积事件（1）积事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B同时出现”叫做事件A与事件B的积．（2）独立事件：如果事件A出现和事件B出现，互相之间没有影响，即其中一个事件的发生对另一事件发生的概率没有影响，那么就称事件A和事件B互相独立．如果A与B是独立的，则A与B、A与B、A与B也是互相独立的．（3）独立事件积的概率：如果事件A、B互相独立，那么()()()P AB P A P B=⋅．（4）推广：如果事件nAAA、、、21相互独立，则)()()(2121nnAPAPAPAAAP=）（（5）“事件nAAA、、、21至少出现一个”这一事件的对立事件是“nAAA、、、21都不出现”，即12121'''n nP A A A P A A A+++=-（）（）)'()'()'(121nAPAPAP-=)](1[)](1)][(1[121nAPAPAP----=3.总结：典型例题分析1.事件和概率例1、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率)(B A P U 为多少？.【答案：)(B A P ＝11()+()=+=524P A P B 726】例2、某校高二(1)班45名同学都订阅了不同的报刊，其中订阅中学生报有30名同学，订阅中学生外语报有25名同学，10名同学即订了中学生报又订阅了中学生外语报。

概率加法公式的简单推导

（二）三个事件的概率加法公式设Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ的事件概率
可作如下推导：
Ｐ（ＡＵＢＵＣ）＝Ｐ［（ＡＵ（Ｂ）ＵＣ】（２）
（ＡＢＣ）＋Ｐ（ＡＢＤ）＋Ｐ（ＡＣＤ）＋Ｐ（ＢｃＤ）一Ｐ（ＡＢＣＤ），（９）（四）五个事件的概率加法计算公式设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ为任意三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ的事件概率可作如下推导：
Ｐ（ＡｕＢｕＣ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）一Ｐ（ＡＢ）一Ｐ（ＡＣ）
Ｐ（ＢＣ）＋Ｐ（ＡＢＣ）通过对具体例题的讲解，对加法公式在使用过程中的一些技巧给出了详细的说
Ｐ（ＡＵＢＵＣＵＤＵＥ）＝ｅｌ（ＡＵＢＵＣＵＤ）ＵＥ１＝Ｐ（ＡｕＢｕＣｕＤ）＋Ｐ（Ｅ）一Ｐ［（ＡＵＢＵＣＵＤ）Ｅ】（１０）又因为Ｐ『（ＡＵＢＵＣＵＤ）Ｅ］＝Ｐ（ＡＥＵＢＥＵＣＥＵＤＥ），利用公式（９）得：
芜湖
２４１０００）
摘要：基于两个事件的概率加法公式，推导出了３￣５个事件的概率加法计算公式。通过总结多个事件概率加法公式的一般规律，得到ｎ个事件的概率加法公式。
关键词：概率；加法公式；归纳法
中图分类号：Ｇ６４２．４１
明。本文将利用简单的两个事件概率加法公式，推导出３～５个事件的概率加法计算公式，通过总结归纳多个事件概率加法公式的一般规律，给出ｎ个事件的

人教B版必修三3.1.4概率加法公式

3、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 30% ，两人下成和棋的概率为50%，那么甲负于乙的概率为( 20% ). 4、从装有大小相同的2个红球，1个白球，2 个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。 1/5 5、某小组由男生3名，女生3名，现从中选出2 人去校院开会，其中至少有1名女生的概率是多少？ 4/5 对立事件：全为男生
例1.判断下列给出的每对事件，（1）是否为互斥事件，（2）是否为对立事件，并说明理由。从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1~10各4张）中，任取1张：（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。
三.范例
例3 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所示：
年降水量 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) （单位:mm)
概率 0.12 0.25 0.16 0.14
1.求年降水量在［100,200）（㎜）范围内的概率； 2.求年降水量在［150,300）（mm)范围内的概率。解:(1)记这个地区的年降水量在[100,150)，[150,200)，[200,250)， [250,300)(mm)范围内分别为事件为A、B、C、D。这4个事件是彼此互斥的。根据互斥事件的概率加法公式，有 (1)年降水量在［100,200）(mm)范围内的概率是答:…… P（A∪B）=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37 (2)年降水量在［150,300）(mm)内的概率是答: … P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.

人教B版必修3高中数学3.1.4《概率的加减公式》ppt同步课件

第三章概率
§3.1 事件与概率
§3.1.4 概率的加法公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
学习目标 1.了解事件的并(或和)的含义及记法． 2．理解互斥事件和对立事件的定义． 3．掌握判断两个事件互斥或对立的方法以及两者的区别与联系． 4．会应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P( A )＝1－P(A)解决实际问题.
规律技巧利用概率加法公式求概率时，一定先判断所涉及事件是否互斥.
变式训练2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率为0.16，在80～89分的概率为0.52，在70～79分的概率 0.12，在60～69分的概率为0.1，分别计算小明在数学考试中取得80分以上的概率和小明及格的概率．
解根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，记B＝“考试成绩在90分以上”，C＝“考试成绩在80～89分”，D＝“考试成绩在70～79分”，E＝“考试成绩在60～69分”，根据互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率便可获解．
2．互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B. ①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅，且A∪B＝U(U为全集)，即A＝∁UB或B＝∁UA； ③对互斥事件A与B的和A∪B，可理解为集合A∪B.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．

概率

概率①必然事件；我们把在条件S下，下定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件；②不可能事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件；③随机事件；在条件S下可能发生也可能不发生的事件.例1、从100个同类产品中（其中有2个次品），任取3个，其中；（1）三个正品；（2）两个正品，一个次品；（3）一个正品，两个次品；（4）三个次品；（5）至少一个次品；（6）至少一个正品。

以上六种事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是一般的随机事件？例2、盒中只装有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球。

（1）“取出的球是黄球？是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球“是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少？概率的基本性质（1）事件的关系与运算①包含关系：如果事件A 发生，则事B 一定发生，这时我们就说事件B包含事件A，记作BA（或AB）。

②相等事件：如果BA，且AB，那么称事件A与事件B 相等，记作A=B。

③并（和）事件：若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B的并事件（或称A与B的和事件），记作AB（或A+B）。

④交（积）事件：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B 的交事件（或称积事件），记作AB（或AB）。

⑤互斥事件：若AB为不可能事件，即为AB=，那么称事件A与事件B互斥。

概率的几条基本性质①概率P（A）的取值范围： 0≤P（A）≤1。

②概率的加法公式：P（AB）=P（A）+P（B）。

③对立事件的概率公式；若事件A与B互为对立事件，则AB为必然事件，所以P（AB）=1，又P（AB）= P（A）+P（B），P（A）=1- P（B）。

例3、一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环。

概率论的加法公式

概率论的加法公式摘要：1.引言2.加法公式的定义3.加法公式的性质4.加法公式的证明5.加法公式的应用6.结论正文：1.引言概率论是研究随机现象的理论，它为我们提供了一种量化和描述不确定性的方法。

在概率论中，加法公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。

本文将介绍概率论的加法公式，包括其定义、性质、证明以及应用。

2.加法公式的定义加法公式是指，对于任意两个事件A 和B，它们的联合概率可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

其中，P(A) 表示事件A 的概率，P(B) 表示事件B 的概率，P(A∩B) 表示事件A 和B 的交集概率。

3.加法公式的性质加法公式具有以下几个性质：(1) 完备性：对于任意事件A，有P(A)=P(A∪Φ)，其中Φ表示全集。

(2) 可数性：对于任意可数个事件A1，A2，…，An，有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。

(3) 分配律：对于任意事件A、B、C，有P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(A∪C)+P(B∪C)。

4.加法公式的证明为了证明加法公式，我们需要引入一个重要的概念——事件的和事件。

设A 和B 是两个事件，A∪B 表示事件A 和事件B 的和事件，即包含在事件A 中或者包含在事件B 中的所有可能结果的集合。

我们可以通过以下步骤证明加法公式：(1) 证明P(A∪B)A∪B(2) 证明P(A∪B)A∩B(3) 证明P(A∩B)A∪B(4) 得出P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)5.加法公式的应用加法公式在实际应用中有很多重要作用，例如在概率论的计算、风险管理、数据分析等领域都有广泛的应用。

通过加法公式，我们可以更方便地计算多个事件同时发生的概率，从而更好地描述和分析随机现象。

6.结论概率论的加法公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。

概率论与数理统计教程第四版课后答案-文档资料

i 1 1 i j n n n 1 P ( A A A ) ( 1 ) P ( A A A ) i j k 1 2 n

1 i j k n
,A 若事件 A 1,A 2, n 互不相容，则
P A A A P A P A P A 4 1 2 n 1 2 n
m m n m n
其中 pq1 。
6
第一章
一、几种概率
1、统计概率
2、古典概率
随机事件及其概率
M P( A) N
随机事件 A 所占的几何度量（ A ） 3、几何概率 P 试验的总的几何度量 P (AB ) P (A| B ) 4、条件概率 P (B )
( m ) C p q 5、贝努利概率 P n n
3.事件运算的性质
(1). A A ,
A A , A A ;
B C AB AC , (2). A
(3). A B AB , AB A B .
i 1 n n
Ai Ai ,
i 1
i 1
Ai Ai .
i 1
n
n
3
(三) 概率的定义概率的定义事件 A 发生的可能性大小概率的统计定义
第一章
一、基本内容
随机事件及其概率小结
(一)随机试验与样本空间 1.随机试验具有下列特点的试验称为随机试验 ( 试验 ): （1）试验在相同的条件下可重复进行；并且可能的结果不止一个；（2）试验前知道试验的所有可能结果，（3）试验前不知道那一个结果会出现。 2.样本空间与样本点
样本空间随机试验的所有可能的结果所组成的集合，记作Ω；样本点样本空间Ω中的每个元素，即试验的每一可能的结果，记作ω。

3.1.3-4频率于概率以及概率的加法公式

例3.判断下列给出的每对事件，（1）是否为互斥事件，（2）是否为对立事件，并说明理由。从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1~10各4张）中，任取1张：（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
是互斥事件，不是对立事件；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
既是互斥事件，又是对立事件；
3.1.3 频率与概率
投掷硬币的试验：
虽然我们不能预先判断出现正面向上，还是反面向上。但是假定硬币均匀，直观上可以认为出现正面与反面的机会相等。即在大量试验中出现正面的频率接近于0.5. 历史上有些学者做过成千上万次的投掷硬币的试验。结果如下表：
抛硬币试验
实验者棣莫佛蒲丰出现正面的试验次数(n) 次数(m) 2048 4040 1061 2048 出现正面的频率(m/n) 0.5181 0.5069
m n
注意点： 1.随机事件A的概率范围随机事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1
在n次试验中，事件A发生的频数m满足0 m n, m 所以0 1。即：0 p ( A) 1 n 必然事件时：p ( A) 1；当A是不可能事件时：p ( A) 0
2.频率与概率的关系 (1)联系: 随着试验次数的增加, 频率会在概率的附近摆动,并趋于稳定. 在实际问题中,若事件的概率未知, 常用频率作为它的估计值. (2)区别: 频率本身是随机的,在试验前不能确定, 做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同. 而概率是一个确定数,是客观存在的,与每次试验无关.
费
勒
10000
12000 24000
4979
6019 12012
0.4979
0.5016 0.5005

人教版数学高一B版必修3教案3.1.4概率的加法公式

示范教案整体设计教学分析教材利用两个例题引入了互斥事件、对立事件的概念，并给出了概率的加法公式．值得注意的是：举例引入和说明互斥事件的概念，可以用掷骰子出现不同点数的试验来解释，也可以用掷硬币出现正面或反面向上的试验来说明．关键是在同一试验中，事件A 和事件B 不可能同时发生，则事件A 和事件B 就是互斥事件．三维目标1．了解两个互斥事件的概率加法公式．2．通过学习概率加法公式，提高学生的归纳、推断能力．3．与集合知识联系，培养学生普遍联系的思想．重点难点教学重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式．教学难点：互斥事件与对立事件的区别和联系．课时安排1课时．教学过程导入新课思路1.(1)集合有相等、包含关系，如{1,3}＝{3,1}，{2,4}{2,3,4,5}等；(2)在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1＝{出现1点}，C 2＝{出现2点}，C 3＝{出现1点或2点}，C 4＝{出现的点数为偶数}，….师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识——概率的基本性质．思路2.全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是27和15，则该省夺取该次冠军的概率是27＋15，对吗？为什么？为解决这个问题，我们学习概率的基本性质．推进新课新知探究提出问题看下面例子：抛掷一颗骰子，观察掷出的点数.设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现2点”，已知P (A )＝12 ，P (B )＝16，求“出现奇数点或2点”的概率. (1)事件A 与B 能同时发生吗？(2)用文氏图表示A ∪B.(3)讨论：已知A ，B 是互斥事件，P (A ∪B )与P (A )＋P (B )相等吗？(4)设事件D 为“出现偶数点”，则事件A 与D 是互斥事件，那么A 与D 还有什么特点？讨论结果：(1)这里的事件A 和事件B 不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．设事件C 为“出现奇数点或2点”，它也是一个随机事件．事件C 与事件A ，B 的关系是：若事件A 和事件B 中至少有一个发生，则C 发生；若C 发生，则A ，B 中至少有一个发生．我们称事件C 为A 与B 的并(或和)．一般地，由事件A 和B 至少有一个发生(即A 发生，或B 发生，或A ，B 都发生)所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并(或和)，记作C ＝A ∪B.事件A ∪B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．(2)下图中阴影部分所表示的就是A ∪B.(3)在n 次试验中，事件A 出现的频数是n 1，事件B 出现的频数是n 2，则事件A ∪B 出现的频数正好是n 1＋n 2，所以事件A ∪B 的频率为n 1＋n 2n ＝n 1n ＋n 2n，而n 1n 是事件A 出现的频率，n 2n是事件B 出现的频率．因此，如果用μn 表示在n 次试验中事件出现的频率，则总有μn (A ∪B)＝μn (A)＋μn (B)．由概率的统计定义，可知 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). ①一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A 1∪A 2∪…∪A n ”发生(是指事件A 1，A 2，…，A n 中至少有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P(A 1∪A 2∪…∪A n )＝P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．①′公式①或公式①′叫做互斥事件的概率加法公式．所给例中事件C ：“出现奇数点或2点”的概率是事件A ：“出现奇数点”的概率与事件B ：“出现2点”的概率之和，即P(C)＝P(A)＋P(B)＝12＋16＝23. (4)A 与D 不能同时发生，且必有一个发生，即A ∪D ＝Ω.像这样不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A .下图中的阴影部分表示事件A 的对立事件．由于A 与A 是互斥事件，所以P(Ω)＝P(A ∪A )＝P(A)＋P(A )，又由Ω是必然事件得到P(Ω)＝1.所以，P(A)＋P(A )＝1，即P (A )＝1－P (A ). ②这个公式为我们求P(A)提供了一种方法．当我们直接求P(A)有困难时，常可以转化为求P(A)．应用示例思路1例在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09.计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率、小明考试及格的概率及小明考试不及格的概率．分析：根据互斥事件的概率加法公式来计算取得80分以上和及格的概率，利用对立事件的概率求不及格的概率．解：分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E.这4个事件是彼此互斥的．根据公式①小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69；小明考试及格的概率，即成绩在60分以上的概率．由公式①得P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.小明考试不及格的概率为1－P(B∪C∪D∪E)＝1－0.93＝0.07.点评：由于P(A)＝1－P(A)，可以通过求P(A)的方法来求P(A)，这就是通常所说的间接法．思路2例从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品；(4)至少有1件次品和全是正品．解：依据互斥事件的定义，即事件A 与事件B 在一定试验中不会同时发生，知：(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们并不是必然事件，所以它们不是对立事件．同理可以判断：(2)中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件．(3)中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件；(4)中的2个事件既互斥又知能训练1．下列说法中正确的是( )A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件答案：D2．抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)＝12，P(B)＝12，求“出现奇数点或偶数点”的概率．分析：事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，并且是相互独立事件，可以运用概率的加法公式求解．解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C ，则C ＝A ∪B ，因为A 、B 是互斥事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝12＋12＝1.出现奇数点或偶数点的概率为1. 3．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A 、B 、C 、D ，则有P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝512；P(C ∪D)＝P(C)＋P(D)＝512；P(B ∪C ∪D)＝1－P(A)＝1－13＝23，解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14. 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14、16、14. 4．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A ＝“抽到的是一等品”，事件B ＝“抽到的是二等品”，事件C ＝“抽到的是三等品”，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：(1)事件D ＝“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件E ＝“抽到的是二等品或三等品”．解：(1)事件D 即事件A ＋C ，因为事件A ＝“抽到的是一等品”和事件C ＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得P(D)＝P(A ＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.(2)事件E 即事件B ＋C ，因为事件B ＝“抽到的是二等品”和事件C ＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得P(E)＝P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.拓展提升某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？解：用A 表示事件“对这次调整表示反对”，B 表示事件“对这次调整不发表看法”，则A 和B 是互斥事件，并且A ＋B 就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝37100＋36100＝73100＝0.73，因此，随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.课堂小结本节课学习了互斥事件、对立事件的概念，以及利用概率加法公式解决有关问题．作业本节练习B 1、2.设计感想本堂课通过掷骰子试验，定义了许多事件，并根据集合的运算定义了事件的运算，给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式，在运用时要切实注意它们的使用条件，不可模棱两可，搞清互斥事件和对立事件的关系，思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练，对刚学的知识是一个巩固和加强，同学们要反复训练，安排的题目既有层次性，又有趣味性，适合不同基础的学生，因此本节课授完后，同学们肯定受益匪浅．备课资料备选习题1．一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？解：事件A 和B 互斥，因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A 和B 不是对立事件．2．回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么？(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25＋0.50＝0.75，为什么？(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为122.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1－122＝34，这样做对吗？说明道理．解：(1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥．(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件．(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1.3．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.24,0.28,0.19，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)小于8环的概率．分析：先分析有关事件是不是互斥事件或对立事件，然后应用公式计算．解：(1)P(射中10环或9环)＝P(射中10环)＋P(射中9环)＝0.24＋0.28＝0.52；(2)P(不小于8环)＝P(8环)＋P(9环)＋P(10环)＝0.19＋0.28＋0.24＝0.71，又因为“小于8环”与“不小于8环”是对立事件，所以，P(小于8环)＝1－P(不小于8环)＝1－(0.24＋0.28＋0.19)＝0.29.。

第三章学案4 古典概型概率的一般加法公式

n
;
②如果随机事件A包含的基本事件数为m,同样地,由互如果随机事件A包含的基本事件数为m,同样地, m,同样地
m 所以在古典概型中, .所以在古典概型中, n
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事 A包的本件件含基事数 P(A)= 试的本件数 .这一定义称为概率的古验基事总
典定义. 典定义. 2.概率的一般加法公式(选学) 2.概率的一般加法公式(选学) 概率的一般加法公式 (1)事件A (1)事件A与B的交(或积) 事件的交(或积) 由事件A 所构成的事件D 称为事件A 由事件A和B 同时发生所构成的事件D,称为事件A与B AB) D=A∩B(或D=AB) . 的交(或积),记作的交(或积),记作 ), (2)记的两个事件, (2)记A,B是Ω的两个事件,则有 )+P P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B) ,这就是概率的一般加法公式. 加法公式.
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第二个质量第一个质量
2.5 (2.5,2.5) (5,2.5) (10,2.5) (20,2.5)
5 (2.5,5) (5,5) (10,5) (20,5)
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【解析】(1)不是古典概型,因为这个试验的基本事件空解析】(1)不是古典概型, 不是古典概型间Ω={发芽,不发芽},但“发芽”与“不发芽”这两个基本 ={发芽,不发芽},但发芽” 不发芽” 发芽 }, 事件出现的机会一般是不均等的. 事件出现的机会一般是不均等的. (2)不是古典概型因为所测得重量可从［不是古典概型, g］ (2)不是古典概型,因为所测得重量可从［495 g,505 g］内任取一值,所有可能的结果有无限多个. 内任取一值,所有可能的结果有无限多个. (3)不是古典概型由于所刻的每个眼一样大, 不是古典概型, (3)不是古典概型,由于所刻的每个眼一样大,结果是刻点的面较“ 点的面较“ 1点的面较“重”,刻6点的面较“轻”,根据物体平衡的稳固性知,出现6点的可能性大于出现1点的, 性知,出现6点的可能性大于出现1点的,从而六个基本事件的发生不是等可能的.(试想想标准的骰子应如何刻?) .(试想想标准的骰子应如何刻发生不是等可能的.(试想想标准的骰子应如何刻?) 【评析】关键看这个试验是否具有古典概型的两个特评析】有限性和等可能性. 征——有限性和等可能性. 有限性和等可能性

概率论与数理统计

一、填空：1、正常情况是给你A或A-,及B或B-,或者AB或A-B-之类的概率然后让你求和他们有关的另一个概率~要记住一下公式：1几乎份份卷子都有的：PAB_=PA-B=PA-AB=PA-PAB2乘法公式：ΡAB=ΡAΡB|A3加法公式：PA+B=PA+PB-PAB4不相容：PAB=05独立：PAB=PAPB分割线2、求均值和方差：这种题看情况吧,不是每年都有~~~~第一类~~~题目X、Y服从分布,其均值和方差分别为：μ1,μ2,σ12,σ22Z=aX+bY+ca\b\c为常数,且正负不定求EZ=_________,DZ=___________EZ=aμ1+bμ2+cDZ=a2σ12+b2σ22~~~~第二类~~~~如果不幸,会有参数……若X,Y~Nμ1,μ2;σ12,σ22;ρZ=aX+bY+ca\b\c为常数,且正负不定求Z~____________Z的分布Z~Naμ1+bμ2+c；2σ12+b2σ22+abσ1σ2ρ仔细算哈~看清楚哪里有平方哪里没有平方,以及ab的符号~3、会有一道最大似然估计法的题目,大家认真看看书哈~我看不懂那个……羞~4、可能会有一道方差的参数检验~自个看看书哈~212页的表格其他的填空和选择比较没有规律性~难以总结三、计算题全概公式及逆概公式,正常是求概率~最经典就是求合格率~要做做题体会1设事件Ai=……,事件B=……这个做两道题就知道要具体设什么东西了2正常是求∑PB|A i=∑PA i PB当然题目是会变化的~做题时灵活变通下哈Tips:全概公式：逆概公式:第四第五正常都会涉及积分的……我不会积分~所以不总结~羞~不过,杨淑玲奶奶让我们把习题六做一遍~估计有一道那里的题目第六题计算题距估计量及点估计量吧~貌似而已~我只做到距估计量的题目,点估计似乎今年会出~自己翻翻书研究下点估计量吧~是~的内容 ~距估计量~1有多少个参数就写多少个μi ,i=参数的个数μi =EX i =∫∞-∞x i fxdx~~~~~~~~~~~我不会积分~悲剧2然后把上面的方程组解出,用μi 组成的式子来表示参数 3μ^1=1/n ∑X i =X — μ^n =1/n ∑X i n4把3的结果代入2中参数的式子~ 5所以参数的距估计量为4的结果自个做份题来研究下吧`我做的题目是按这个步骤来嘀~做两道题~你一定会懂怎么做的第七~计算题~参数的区间估计的内容翻开书,看看191的表格一定要记牢那一堆的式子~其实有规律可循的加油哦~这10分一定能全拿~1首先~区分大样本还是小样本~n>=50是大样本 2待估的为EX=μ,或者 ,DX=σ2,3区分DX=σ2已知或未知,或者EX=μ已知或未知4回忆191页的表格~写下对应的分布T/U/χ2=…A …~t/N/χ2…B … 5算与…A …有关的数,如√n,√n-1,S,S,X — 6查表：t/N/χ2…B …在相应的α下为多少~根据191的表确定相应的α,做套题你就能理解我说什么了 7回忆191页的表,写出置信区间…C …,…D … 8把5和6的结果代到7中9则7的结果为所求μ,σ2的置信度为1-α的置信区间;八、计算题：参数检验单个正态分布的均值检验牢记209页的表格~ 又一个１０分啊～１H 0: H 1: ……根据题目来定~也是做几道题就知道要写啥的啦 2构造检验统计量 U/T=…A … 回忆209的表格3 算与…A …有关的数,如√n,√n-1,S,S,X —…… 4把3代入2中求…A …5查表U/T 相应的的α下为多少~同第七题~根据209的表确定相应的α,做套题你就能理解我说什么了6比较4和5的结果的大小,根据209页的表及原假设H 0的拒绝域来判断拒绝还是接受H 07由于拒绝or 接受H 0,认为……结合题目~概率论与数理统计试题分享作者：已被分享7次一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内;错选、多选或未选均无分;1．设A与B是任意两个互不相容事件,则下列结论中正确的是A． PA=1-PBB． PA-B=PBC． PAB=PAPBD． PA-B=PA2．设A,B为两个随机事件,且,则 A． 1B． PAC． PBD． PAB3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是A．B．C．D．4．设离散型随机变量X的分布律为则A．B．C． D．5．设二维随机变量X,Y的分布律为且X与Y相互独立,则下列结论正确的是A．a=,b=B．a=,b=C．a=,b=D．a=,b=6．设二维随机变量X,Y的概率密度为则P{0>X<1,0<Y<1}=A．B．C． D．17．设随机变量X服从参数为的指数分布,则EX=A．B．C．2 D．48．设随机变量X与Y相互独立,且X~N0,9,Y~N0,1,令Z=X-2Y,则DZ= A．5 B．7C．11 D．139．设X,Y为二维随机变量,且DX>0,DY>0,则下列等式成立的是A．EXY=EX·EYB．CovC．DX+Y=DX+DYD．Cov2X,2Y=2Cov X,Y10．设总体X服从正态分布N,其中未知,x1,x2,…,x n为来自该总体的样本,为样本均值,s为样本标准差,欲检验假设,则检验统计量为A． B．C．D．二、填空题本大题共15小题,每小题2分,共30分请在每小题的空格中填上正确答案;错填、不填均无分;11.设A,B为两个随机事件,若A发生必然导致B发生,且PA=,则PAB=_____.12．设随机事件A与B相互独立,且PA=,PA-B=,则=_______.13.已知10件产品中有2件次品,从该产品中任意取3件,则恰好取到一件次品的概率等于______.14.已知某地区的人群吸烟的概率是,不吸烟的概率是,若吸烟使人患某种疾病的概率为,不吸烟使人患该种疾病的概率是,则该人群患这种疾病的概率等于______.15．设连续型随机变量X的概率密度为则当时,X 的分布函数Fx=______.16．设随机变量,则=______.附：17．设二维随机变量X,Y的分布律为则______.18．设随机变量X的期望EX=2,方差DX=4,随机变量Y的期望EY=4,方差DY=9,又EXY=10,则X,Y的相关系数=______.19．设随机变量X服从二项分布,则=______.20．设随机变量X~B100,,应用中心极限定理可算得______.附：21．设总体为来自该总体的样本,,则______.22．设总体,为来自该总体的样本,则服从自由度为______的分布.23.设总体X服从均匀分布,是来自该总体的样本,则的矩估计=______.24.设样本来自总体,假设检验问题为,则检验统计量为______.25.对假设检验问题,若给定显着水平,则该检验犯第一类错误的概率为______.三、计算题本大题共2小题,每小题8分,共16分26.设随机变量X与Y相互独立,且X~N,Y~N1,4.1求二维随机变量X,Y的概率密度fx,y;2设X,Y的分布函数为Fx,y,求F0,1.27.设一批产品中有95%的合格品,且在合格品中一等品的占有率为60%.求:1从该批产品中任取1件,其为一等品的概率;2在取出的1件产品不是一等品的条件下,其为不合格品的概率.四、综合题本大题共2小题,每小题12分,共24分28.设随机变量X的概率密度为试求:1常数.29.设某型号电视机的使用寿命X服从参数为1的指数分布单位:万小时.求:1该型号电视机的使用寿命超过tt>0的概率;2该型号电视机的平均使用寿命.五、应用题10分30.设某批建筑材料的抗弯强度,现从中抽取容量为16的样本,测得样本均值,求μ的置信度为的置信区间.附:。

3.1.4概率加法公式1

班级：___ 姓名：________一、新知导学1．互斥事件、事件的并、对立事件不可能同时发生的两个事件叫做__________ (或称为_________事件)。

由事件A 和B 至少有一个发生(即A 发生，或B 发生，或A 、B 都发生)所构成的事件C ，称为____________ (或和)。

记作_________(或C=A+B)。

事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件所组成的集合。

不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为__________。

事件A 的对立事件记作A 。

2.若A 、B 是互斥事件。

在n 次试验中，事件A 出现的频数是n 1，事件B 出现的次数是n 2，则事件A B 出现的频数为________，所以事件A B 的频率为_________。

用n μ表示在n 次试验中事件出现的频率，则总有n μ(A B)=_____________，由概率的统计定义可知P(A B)=____________。

3.如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，那么事件12n A A A 发生(是指事件n A A A ,,,21 中至少有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的_______，即P(12n A A A )=______________，称为互斥事件的概率加法公式。

4.一般地，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件。

对立事件的概率公式为__________________________。

二、课前自测1、判断下列各对事件是否为互斥事件。

某小组有3名男生和5名女生,从中任选2名同学去参加英语竞赛,(1)恰有1名男生与恰有2名男生；______；(2)至少有1名女生与全是女生。

_______2、给出以下四个命题：(1)将一枚硬币抛掷二次，设事件A ：“二次都出现正面”，事件B ：“二次都出现反面”．则事件A 与事件B 是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A 与事件B 是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A ：“所取3件中最多有2件是次品”．事件B ：“所取3件中至少有2件是次品”．则事件A 与事件B 是互斥事件．其中真命题的个数是（）.A ．0B ．1C ．2D ．3。

高中数学选修常用公式

高中数学选修(理科)常用公式(全国1卷版)(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中（理科）数学选修部分常用公式（全国卷版）一、常用逻辑用语1．四种命题：（1）原命题：若p 则q （2）逆命题：若q 则p（3）否命题：若p ⌝则q ⌝ （4）逆否命题：若q ⌝则p ⌝（互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假）2．如果p q ⇒，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件注意：（1）小范围⇒大范围，大范围⇒小范围，（2）“p 的充分不必要条件是q ”⇔“q 是p 的充分不必要条件”⇔“q p ⇒，p q ⇒”3．复合命题p q ∧、p q ∨、p ⌝的真假性（p ⌝即命题的否定）：（1）当p 和q 为一真一假时，p q ∧为假，p q ∨为真；（2）p 和p ⌝的真假性相反4．全称命题与特称命题. 若p ：,()x M q x ∀∈成立，则p ⌝：00,()x M q x ∃∈⌝成立二、圆锥曲线定义动点M 到两定点12,F F 的距离之和为2a （122F F a <），即：122MF MF a +=，（c a <）图形标准方程 22221x y a b +=(0)a b >> 22221y x a b +=(0)a b >> 范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ b x b -≤≤，a y a -≤≤长轴长 2a 短轴长 2b焦点、焦距 (,0)c ±、2c (0,)c ±、2c 顶点 (,0)a ±，(0,)b ±(,0)b ±，(0,)a ±离心率 ce a=（01e <<）准线2a x c =±2a y c=±焦半径10MF a ex =+，20MF a ex =-10MF a ey =+，20MF a ey =-12MF F ∆ 面积公式 122tan2MF F S b α∆=（其中12F MF α=∠）通径的长 22b a2．双曲线定义动点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为2a （122F F a >）即：122F F M M a -=（c a >）图形标准方程 22221x y a b-= 22221y x a b-= 范围 x a ≤-或x a ≥，y ∈R x ∈R ，y a ≤-或y a ≥实轴长 2a 虚轴长 2b焦点、焦距 (,0)c ±、2c (0,)c ±、2c 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率 ce a=（1e >）准线 2a x c =±2a y c=±焦半径10F e M x a =+，20F e M x a =-10F e M y a =+，20F e M y a =-12MF F ∆ 面积公式122tan2MF F b S α∆=（其中12F MF α=∠）通径的长 22b a小秘密焦点到渐近线的距离为b ；双曲线上的点到两渐近线的距离之积为2ab c ⎛⎫ ⎪⎝⎭注意：直线与圆锥曲线相交的弦长公式：（和韦达定理结合使用）22212121211()4AB k x x k x x x x =+⋅-=+⋅+- 快速公式：21AB k ∆=+A2121212221111()4AB y y y y y y k k=+⋅-=+⋅+- 快速公式：211AB k ∆=+A（其中A 是指消去y 或x 后得到一元二次方程中的二次项系数）定义动点P 到定点F 的距离等于到定直线l 的距离即：PF PP '=，（F 到l 的距离为p ）标准方程22y px =(0)p > 22y px =-(0)p > 22x py =(0)p > 22x py =-(0)p >图形范围 0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤对称轴 x 轴y 轴焦点准线 (,0)2p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =焦半径 02pPF x =+ 02pPF x =- 02pPF y =+ 02pPF y =- 焦点弦公式12()AB p x x =++ 12()AB p x x =-+ 12()AB p y y =++ 12()AB p y y =-+焦点弦的秘密三个圆：以AB 为直径的圆与准线相切；以AF 、BF 为直径的圆都与坐标轴相切.角平分线：设M 为准线与坐标轴的交点，则x轴（或y 轴）是AMB ∠的角平分线1cos p AF α=-，1cos p BF α=+，22sin p AB α=，22sin AOB p S α∆=，1. 概念：)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim lim x x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆.瞬时速度()v s t '=. 瞬时加速度()a v t '=.（注意这个物理意义）2. 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-. 3. 几种常见函数的导数（1）0='C （C 为常数）.（2）1()n n x nx -'=.（3）x x cos )(sin ='.（4）x x sin )(cos -='.（5）x x 1)(ln ='；1(log )ln a x x a'=. （6）x x e e =')(；a a a x x ln )(='.最好记住这三条常用的公式：211()x x '=- '=(ln )1ln x x x '=+4. 导数的运算法则：（1）[()]()Cf x Cf x ''= （2）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+ （4）2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''-'= 5. 复合函数的求导法则：若)(g ),(x u u f y ==，则()()x y f u g x '''=6. 函数的单调性：设函数)(x f y =在某个区间(,)a b 可导，若()0f x '>，则)(x f y =在(,)a b 上单调递增；若()0f x '<，则)(x f y =在(,)a b 上单调递减．逆命题：若()f x 在(,)a b 上是增函数，则'()0f x ≥；在(,)a b 上是减函数，则'()0f x ≤.7. 求函数)(x f y =极值的方法与步骤：（1）求导数()f x '；（2）求方程()0f x '=的根；（3）画出x 、()f x '、()f x 的分布表格，并判断极大值、极小值四、推理与证明 1. 推理（1）合情推理：包含归纳推理（由特殊到一般的推理）和类比推理（由特殊到特殊的推理）.（2）演绎推理：三段论（大前提、小前提和结论），由一般到特殊的推理. （3）合情推理得到的结论不一定正确，需要证明.演绎推理得到的结论一定正确（大前提和小前提正确的情况下）. 2. 证明（1）直接证明：综合法（条件⇒结论）与分析法（结论⇒条件（恒成立））（2）间接证明：反证法（反设⇒矛盾⇒推翻反设）（3）数学归纳法：① 证明当n 取第一个值0n （0n ∈*N ）时结论成立.② 假设当n k =（k ∈*N ，且0k n ≥）时结论成立，证明当1n k =+时结论也成立. 由①②可知，对任意0n n ≥，且n ∈*N 时，结论都成立. 五、计数原理1. 排列数：!(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+=-2. 组合数：(1)(2)(1)!!!()!mn n n n n m n C m m n m ---+==- 3. 组合数的性质：（1）m n mn nC C -=；（2）11m m m n n nC C C -+=+ （3）0122n n n n n n C C C C ++++=； 13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=（4）11m m n n n C C m--=； 1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅ （5）1121r r r r r r r r n n C C C C C ++++++++=； 4. 二项式定理：011()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++（1）展开式中的通项（第1r +项）：1r n r rr n T C a b -+= （2）二项式系数：r n C （1,2,,r n =），若n 为偶数，则展开式的中间一项12n T +的二项式系数最大；若n 为奇数，则展开式的中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数最大；（3）二项式系数和与各项系数和二项式系数和：2n 各项系数和的计算方法：令()n a b +中的变量等于1例如：41(2)x +的二项式系数和为4216=，各项系数和为441(2)3811+==（令1x =）六、概率1. 古典概型与几何概型（1）古典概型的概率()mP A n=，基本事件有限，每个基本事件出现的可能性相同.m 表示事件A 包含的基本事件数，n 表示所有基本事件数. （2）几何概型的概率()AP A μμ=，基本事件无限，每个基本事件出现的可能性相同.A μ表示事件A 发生区域的几何度量，μ表示总区域的几何度量（如长度、面积、体积）2. 互斥事件与对立事件（1）概念理解：互斥事件——A B =∅；对立事件——A B =∅且()()1P A P B +=.（2）关系：对立的两个事件一定互斥，互斥的两个事件不一定对立.（3）概率加法公式：若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B =+. 3. 相互独立事件,A B 及其同时发生的概率：()()()P AB P A P B =.4. 条件概率：设A 与B 为两个事件，且()0P A >，则()(|)()P AB P B A P A =，其中(|)P B A 表示事件A 发生的条件下事件B 发生的概率.5. 离散型随机变量及其分布列（1）分布列性质：0i p ≥，1211ni n i p p p p ==+++=∑.（2）随机变量X 的数学期望（均值）：11221ni i n n i EX x p x p x p x p ===+++∑.（3）随机变量X 的方差：21()ni i i DX x EX p ==-∑2221122()()()n n x EX p x EX p x EX p =-+-++-.（4）随机变量X 的均值与方差的性质：()E aX b aEX b +=+； 2()D aX b a DX +=.（5）二项分布（独立重复实验）：~(,)X B n p ，EX np =，(1)DX np p =-在n 次试验中恰好成功k 次的概率()(1)k kn k n P X k C p p -==-，0,1,,k n = 注意：X 表示试验成功的次数（6）超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则()k n k M N MnN C C P X k C --==，其中,n N M N ≤≤ 6. 正态分布：2~(,)X N μσ，其中μ表示总体平均值，σ表示标准差（1）正态总体函数()22()2x f x μσ--=　，(),x ∈-∞+∞ ①在正态分布中，当0μ=，1σ=时，叫做标准正态分布，记作~(0,1)X N .②函数()f x 的图象关于x μ=对称，()0f x >，()max f x =③函数()f x 的图象与x 轴围成的总面积为1，()()0.5P X P X μμ≤=>= ④σ越大，函数()f x 的图象越“矮肥”；σ越小，函数()f x 的图象越“高瘦”（2）几个重要的概率：()0.6826P X μσμσ-<<+= (22)0.9544P X μσμσ-<<+= (33)0.9974P X μσμσ-<<+=七、数系的扩充与复数的引入 1. 数系：*N N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆⊆2. 复数的概念：形如a bi +(,)a b R ∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，21i =-，a 与b 分别叫做复数a bi +的实部和虚部.3. 复数a bi c di +=+的充要条件是a c =且b d =. 特例0a bi +=⇔0a b ==.4. 对于复数a bi +，当0b =时，它是实数；当0a =且0b ≠时，它是纯虚数.5. 复数的模：向量OZ 的模，叫做复数z a bi =+的模，即z a bi =+= 6. 复数所在象限的确定：z a bi =+对应点(,)a b ，判断点(,)a b 所在的象限. 7. 共轭复数：z a bi =+的共轭复数为z a bi =-.8. 复数加、减法法则：(a bi +)±(c di +)=()()a c b d i ±+±. 9. 复数乘、除法法则：(a bi +)(c di +)=()()ac bd bc ad i -++.a bi c di +=+22()()()()()()a bi c di ac bd bc ad ic di c di cd +-++-=+-+. 八、统计案例1. 回归直线方程为ˆˆˆybx a =+用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式： 1122211()()ˆˆˆ()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybay bx x x x nx====---==---∑∑∑∑=，（ˆˆˆy bx a =+必过样本中心点(),x y ）2. 残差公式：ˆˆi i i ey y =-；衡量模型拟合效果的一个指标：相关指数22121ˆ)1)niii nii y yR y y ==-=--∑∑((残差平方和21ˆ)ni ii y y =-∑(越小，2R （201R ≤≤）越接近于1，回归效果越好. 2R 与r 的区别：2R 为相关指数，r 为相关系数，0r <时为负相关，0r >时为正相关，11r -≤≤，r 越接近于1，变量间的相关性就越强.3. 独立性检验的解题步骤：（1）写出列联表；（2）据公式代数求解2K 的值；（3）根据观测值2K 查表，如果20K k ≥，就推断两变量有关系，犯错误概率不超过P （即有1P -的把握推断两变量有关系）；否则就认为在犯错误的概率不超过P 的前提下不能推断两变量有关系2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++，（上表中的概率P 是指犯错误．．．的概率）九、坐标系与参数方程选讲1. 极坐标系的公式：222cos ,sin ,,tan (0)yx y x y x xρθρθρθ===+=≠. （θ表示极点O 和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角） 2. 参数方程：（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程：cos sin x a r y b r αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）；（α表示圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角）（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程：cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）；*（3）抛物线22y px =的参数方程：222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数）；*（4）双曲线22221x y a b -=的参数方程：sec tan x a y b αα=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1sec cos αα=）；（5）直线00tan ()y y x x α-=-的参数方程：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（t 表示点()00,P x y 到直线l 上的任意一点(,)M x y 的有向距离）圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角）3. 空间直角坐标系：已知向量a =111(,,)x y z ，b =222(,,)x y z（1）空间向量的平行与垂直：a ∥b ⇔111222x y zx y z ==（222,,0x y z ≠）a ⊥b ⇔a b 0=⇔1212120x x y y z z ++=（2）空间向量的模、距离公式：a=AB =（3）点(,,)x y z 关于x 轴对称的点为(,,)x y z --，关于y 轴对称的点为(,,)x y z --关于z 轴对称的点为(,,)x y z --，关于原点(0,0)对称的点为(,,)x y z ---关于平面xOy 对称的点为(,,)x y z -，关于平面yOz 对称的点为(,,)x y z -，关于平面xOz 对称的点为(,,)x y z -，十、空间的角与空间的距离（向量法）：设直线a 与b 的方向向量分别为,a b ，平面α与β的法向量分别为12,n n （1）异面直线a 与b 所成的角θ：则cos θ⋅=⋅a b a b，(0,]2πθ∈（2）直线a 与平面α所成的角θ：111sin cos ,θ⋅=<>=⋅ a n a n a n ，[0,]2πθ∈（3）二面角l αβ--的平面角θ：1212cos θ⋅=⋅n n n n ，[0,]θπ∈注意：二面角的平面角需要根据实际图形，判断“锐角”还是“钝角” （4）点P 到平面α的距离：11PA d ⋅=n n ，其中Aα∈十一、补充公式与定理1. 斜率k 、比率λ、离心率e ，11eλλ-=+（焦点在x 轴上的所有圆锥曲线都成立，若焦点在y 轴，则改为11e λλ-=+2. 斜率12k k 为定值的两个定理：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的关于原点对称的两定点为,A B ，点M 是椭圆上的动点，直线PQ 交椭圆于,P Q 两点，点N 是PQ 的中点，则22MA MB b k k a =-，22PQ ON b k k a=-；双曲线()222210,0x y a b a b-=>>关于原点对称的两定点为,A B ，点M 是双曲线上的动点，直线PQ 交双曲线于,P Q 两点，点N 是PQ 的中点，则22MA MB b k k a =，22PQ ON b k k a=.（以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y 轴上，则,a b 的位置互换）3. 神奇的置换缔造完美的切线（适用于圆和圆锥曲线）（1）曲线上任意一点()11,P x y 的切线方程为：将原曲线方程按照以下方式“21x x x →，21y y y →，()()()21x a x a x a -→--，()()()21y b y b y b -→--，12x x x +→，12y y y +→”置换得到. （2）过曲线外任意一点()00,P x y 引曲线的两条切线，切点A ,B 所在的直线方程为：将原曲线方程按照以下方式“20x x x →，20y y y →，()()()20x a x a x a -→--，()()()20y b y b y b -→--，02x x x +→，02y y y +→”置换得到.4. 求点A 关于直线0x y m ++=（0x y m -+=）的对称点A '可以用“x ,y 交叉置换法”快速求解. 例如求()3,2A 关于30x y -+=的对称点()00,A x y '，①把30x y -+=进行交叉置换0033x y y x =-⎧⎨=+⎩，②()3,2A 代入即可求得()00,A x y '为()1,6A '-.（注意：当对称轴的斜率1k =±时才可以用此绝技，否则只能用传统的解方程组的方法）.115. 复杂的导数问题常考“整体法”，关键是要想到整体函数()g x ，常见的()g x 有()()()()()g x xf x g x xf x f x ''=⇒=+；()()()()()2f x xf x f x g x g x x x'-'=⇒=； ()()()()()()()2222g x f x x g x x f x xf x x xf x f x '''=⋅⇒=+=+⎡⎤⎣⎦； ()()()()()x x g x e f x g x e f x f x ''=⇒=+⎡⎤⎣⎦；()()()()()x xf x f x f xg x g x e e '-'=⇒=.。