高考数学圆锥曲线常用二级结论
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
圆锥曲线最最常用二级结论总结
圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。
经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
关于圆锥曲线的各种二级结论
关于圆锥曲线的各种二级结论圆锥曲线是高中数学中一个非常重要的内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在学习圆锥曲线的同时，我们还需要掌握它的一些二级结论，这些结论将更好地帮助我们理解、掌握圆锥曲线。
一、椭圆的二级结论
1. 椭圆的离心率小于1，离心率越小，椭圆越圆。
2. 对于任意一条线段 AB，以椭圆的焦点 F1、F2 为圆心，以 AB 长度为直径的圆，称为椭圆的内接圆。
3. 对于任意一条线段 AB，以椭圆的长轴的两个端点为圆心，以线段 AB 长度为直径的圆，称为椭圆的外接圆。
4. 一条连接椭圆的两个焦点的线段，称为椭圆的主轴，长轴的长度为 2a，短轴的长度为 2b。
5. 椭圆的面积为S = πab。
二、双曲线的二级结论
1. 双曲线的离心率大于1，离心率越大，双曲线的两翼越开。
2. 双曲线是非闭合的曲线，它有两个分离的无限远点，称为双曲线的渐近点。
3. 双曲线的两支在无限远处渐进于两条直线，称为渐近线。
4. 双曲线的面积无限大。
三、抛物线的二级结论
1. 抛物线是一种非闭合曲线，它在顶点处为最小值或最大值。
2. 抛物线的对称轴为通过顶点，并垂直于焦点连线的一条直线。
3. 抛物线的离心率等于1。
4. 抛物线的面积为 S = (2/3) a^2。
以上就是圆锥曲线的一些二级结论，通过对这些结论的掌握，我们可以更好地理解和掌握圆锥曲线，从而在数学学习中取得更好的成绩。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
圆锥曲线的常用二级结论
圆锥曲线的常用二级结论圆锥曲线是由平面上一固定点（焦点）和一条固定直线（准线）构成的几何图形。
它们包括椭圆、双曲线和抛物线。
在学习圆锥曲线的过程中，常用的二级结论有以下几个：一、椭圆的性质1. 椭圆的离心率小于1：椭圆是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之和等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是椭圆的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，椭圆的离心率小于1。
2. 椭圆的两个焦点在长轴上：椭圆的两个焦点与长轴垂直，并且它们都在长轴上。
3. 椭圆是对称图形：椭圆具有对称性，即如果将它绕着中心旋转180度，它仍然保持不变。
4. 椭圆的周长公式：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，则椭圆周长公式为C=π(a+b)。
二、双曲线的性质1. 双曲线的离心率大于1：双曲线是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之差等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是双曲线的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，双曲线的离心率大于1。
2. 双曲线有两条渐近线：双曲线有两条渐近线，它们与双曲线趋近于无限远时重合。
3. 双曲线不具有对称性：与椭圆不同，双曲线不具有对称性。
4. 双曲线的渐近线方程：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，则它的两条渐近线方程分别为y=±(b/a)x。
三、抛物线的性质1. 抛物线是对称图形：抛物线具有轴对称性，即如果将它绕着轴旋转180度，它仍然保持不变。
2. 抛物线焦点和准线相等距离：抛物线是由平面上所有点到一条直线（准线）的距离等于这些点到一个固定点（焦点）的距离的所有点构成的集合。
它的焦点和准线相等距离。
3. 抛物线方程：设抛物线方程为y=ax^2+bx+c，则它的焦点坐标为(-b/2a,1/4a)，准线方程为y=-1/4a。
4. 抛物线与直线交点坐标：如果抛物线与直线y=kx+m相交，则交点坐标为(x,y)=(k^2a+bk+c-m,-ka^2-kb+m)。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是数学中的一个重要分支，研究圆锥曲线的性质和特点对于解决实际问题具有重要意义。
在研究圆锥曲线的过程中，我们常常会遇到一些二级结论，它们对于理解和应用圆锥曲线的知识起到了关键的作用。
本文将介绍一些圆锥曲线常用的二级结论，并探讨其应用。
一、椭圆的二级结论椭圆是圆锥曲线中的一种。
通过对椭圆的研究，我们可以得到以下几个常用的二级结论：1. 椭圆的离心率范围为0到1，离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，则椭圆越扁平。
这个结论告诉我们椭圆的形状是由其离心率确定的。
当离心率接近于0时，可以认为椭圆近似于一个圆；而当离心率接近于1时，椭圆则会变得更加扁平。
2. 椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和是一个常数，等于长轴的长度。
这个结论称为椭圆的焦点定理，它表明椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数。
这个常数即为椭圆的长轴的长度。
这个结论在许多实际问题中都有着重要的应用，比如卫星轨道的设计等。
3. 椭圆的切线与其法线垂直。
这个结论告诉我们椭圆上任意一点的切线和法线是垂直的。
利用这个性质，我们可以求解椭圆上某一点的切线方程和法线方程，进而研究椭圆曲线的切线和法线的性质。
二、双曲线的二级结论双曲线是圆锥曲线中的另一种。
通过对双曲线的研究，我们可以得到以下几个常用的二级结论：1. 双曲线的离心率范围大于1，离心率越大，则双曲线越扁平。
这个结论与椭圆的结论类似，不同之处在于双曲线的离心率始终大于1。
离心率越大，双曲线越扁平。
2. 双曲线的两个焦点至双曲线上任意一点的距离之差是一个常数，等于双曲线的距离。
这个结论称为双曲线的焦点定理，它表明双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个常数。
这个常数等于双曲线的距离。
3. 双曲线上的切线和法线不垂直。
与椭圆不同的是，双曲线上的切线和法线不垂直。
这个性质给了我们研究双曲线其他性质的线索。
三、抛物线的二级结论抛物线是圆锥曲线中的另一种。
圆锥曲线二级结论高中
圆锥曲线二级结论高中
圆锥曲线是高中数学中的重要内容之一，其二级结论也是备考中不可或缺的一部分。
这些结论可以帮助考生简化解题过程、加快解题速度，从而提高考试成绩。
以下是一些常见的圆锥曲线二级结论:
1. 过曲线上的点 P(x,y) 的切线方程为 y = mx + b，其中 m 为切线与曲线的斜率，b 为切线与曲线的截距。
2. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式为：|AB| = |AC| ×√
(1-e^2),其中 A、B、C 分别表示直线与曲线相交的三点，e 为直线的倾斜角度。
3. 涉及到曲线上的点 A、B 及线段 AB 的中点 M 的关系时，可以利用点差法：设 MP = x，则 MP + PM = 2x，即 x = (MP + PM) / 2。
4. 圆锥曲线的两类对称问题：曲线关于点成中心对称的曲线是本身;曲线关于直线成轴对称的曲线是圆。
这些二级结论在高考圆锥曲线题目中经常会被用到，掌握它们可以帮助考生更好地应对高考考试。
同时，考生也应该注重对这些结论的推导和熟练掌握，以在实际考试中快速、准确地运用它们。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
数学圆锥曲线二级结论汇总
数学圆锥曲线二级结论汇总一、离心率公式离心率 e 是描述圆锥曲线形状的重要参数，对于椭圆，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是椭圆长轴的半径。
对于双曲线，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是双曲线实轴的半径。
二、焦点弦长公式焦点弦长是过圆锥曲线焦点的弦的长度，其公式如下：L = 2b^2/a其中，L 是焦点弦长，b 是半短轴长度，a 是半长轴长度。
三、切线长公式切线长是过圆锥曲线上的点作切线的长度，其公式如下：T = a*sqrt(1-k^2)其中，T 是切线长，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
四、中点弦公式中点弦是过圆锥曲线上的中点的弦，其公式如下：x = (1-k^2)x0^2/[(1+k^2)a^2] - 2x0(y0/a)/[1+k^2] + y0^2/[(1+k^2)*a^2]其中，x0 和 y0 是中点的坐标，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
五、渐近线方程渐近线是描述圆锥曲线接近其极限位置的线，其方程如下：y = ±(b/a)*x其中，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于双曲线，b 和 a 分别是实轴和虚轴长度。
六、焦半径公式焦半径是描述圆锥曲线上任意一点到焦点的距离的公式，其公式如下：|PF1| = a - ex, |PF2| = a + ex, |PF1| = |PF2| - 2*ex其中，P 是圆锥曲线上的任意一点，F1 和 F2 分别是左右焦点，e 是离心率。
对于椭圆和双曲线，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于抛物线，p 是焦点到准线的距离。
数学圆锥曲线二级结论
数学圆锥曲线二级结论
数学圆锥曲线的二级结论主要包括以下几个内容：
1. 曲线相关定理：包括焦点、准线、直角等定理。
例如，椭圆的焦点定理指出，椭圆上任意一点到焦点的距离之和是一个定值。
2. 极坐标方程：用极坐标方程表示圆锥曲线。
例如，椭圆的极坐标方程为$r = \frac{p}{1-e\cdot\cos\theta}$，其中$r$为极径，$p$为半焦距，$e$为离心率。
3. 集中思路：圆锥曲线的性质与方程的意义。
例如，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为横轴
半径，$b$为纵轴半径。
根据这个方程可以得到双曲线的离心
率$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，并且根据离心率可以确定双
曲线的形状。
4. 曲线的性质：包括切线、法线、渐近线、对称性等。
例如，椭圆的切线与法线切点形成的角度为直角；双曲线的两支曲线的渐近线方程为$y=\frac{\pm b}{a}x$。
5. 常见问题：周长、面积、焦距、离心率等计算问题。
例如，椭圆的面积为$S=\pi a b$，焦距为$f=\sqrt{a^2-b^2}$。
总的来说，数学圆锥曲线二级结论是指对圆锥曲线的进一步研究，包括基本定理的推导、曲线的性质和相关问题的解答等。
这些二级结论可以帮助我们更深入地理解和运用圆锥曲线。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论包括：
1. 离心率与焦距之间的关系：离心率e是焦点到准线的距离与焦距的比值，对于椭圆和双曲线来说，离心率e小于1；对于抛物线来说，离心率e等于1。
2. 曲线方程：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1，抛物线的标准方程为y² = 4ax。
3. 曲线的对称性：椭圆关于x轴、y轴对称；双曲线关于x轴、y轴对称以及关于原点对称；抛物线关于y轴对称。
4. 焦距和半长轴、半短轴之间的关系：椭圆的焦距为2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² - b²；双曲线的焦距为
2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² + b²；抛物线的焦距为2a，其中a为焦点到准线的距离。
5. 抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点位于焦点到准线的中垂线上，焦点和准线的距离相等。
6. 椭圆的准线和双曲线的渐近线：椭圆的准线是它的对称轴，双曲线的渐近线是两条对称轴，与椭圆和双曲线的切线垂直。
以上是一些圆锥曲线常用的二级结论，这些结论对于研究和解题有很大的帮助。
圆锥曲线中常用的二级结论+课件-2024届高三数学二轮复习
b4 a2
+
4c2
=
16 ，
将 c2 = a2 + b2 代入上式化简可得 b2 = 4a − a2 = − a − 2 2 + 4 ，
∴ 当 a = 2 时， b2 取得最大值，最大值为4，
∴ c2 = 4 + 4 = 8 ， ∴ a = 2 ， c = 2 2 ，
∴
双曲线的离心率
e
=
c a
=
2.
.
3.过抛物线 y2 = 2px p > 0 的焦点 F 且倾斜角为 θ 的直线交抛物线于 A ， B 两点，
则两焦半径长分别为 p ， p ， 1
1−cos θ 1+cos θ AF
+
1 BF
= 2，
p
AB
=
2p sin2θ
，
S△AOB
=
p2 2sin
θ
.
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专项培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论
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专项培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论
3
一、圆锥曲线的通径
1.椭圆通径:过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为
2b2 a
.
2.双曲线通径:过焦点且与实轴垂直的弦，通径长为
2b2 a
.
3.抛物线通径:过焦点且与其对称轴垂直的弦，通径长为 2p .
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专项培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论
∠NGA = ∠NGB .
3.已知抛物线 y2 = 2px p > 0 ,过抛物线对称轴上任意一点 N a, 0 的一条弦端点
A , B 与对应点 G −a, 0 的连线所成的角被对称轴平分，即 ∠OGA = ∠OGB .
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是一个非常重要的数学话题，它被广泛地应用于各种科学领域中。
在圆锥曲线的研究中，有很多二级结论是非常重要的。
这些结论与圆锥曲线的方程有关，可以帮助我们更好地理解这些曲线的性质和特点。
下面，我们将介绍一些常用的二级结论。
1. 判别式在研究二次曲线的性质时，很重要的一个问题是如何判断其类型。
一个二次曲线的类型取决于其方程的系数。
比如，二次曲线的方程可以表示为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E和F都是常数。
二次曲线的类型如下：如果B² - 4AC > 0，则为双曲线。
如果B² - 4AC = 0，则为抛物线。
如果B² - 4AC < 0，则为椭圆。
这个判别式非常有用，可以帮助我们快速地判断一个二次曲线的类型。
在实际应用中，我们可以用这个结论来分析椭圆、双曲线和抛物线这些曲线的性质。
2. 焦半径公式圆锥曲线中最常见的二次曲线就是椭圆和双曲线。
在研究这些曲线的性质时，焦半径公式是非常重要的一个结论。
对于一个椭圆或双曲线，假设其焦点为F1和F2，离心率为e，焦距为2a，则任何一点P到F1和F2的距离之和等于2a。
即：PF1 + PF2 = 2a这个式子可以用来计算与椭圆或双曲线相关的各种参数。
比如，我们可以用这个式子计算出椭圆的周长和面积。
在应用中，我们经常需要用这个结论来计算椭圆和双曲线的各种参数。
3. 长短轴公式对于一个椭圆，它有两个特殊的轴，分别称为长轴和短轴。
这两个轴对于椭圆的性质有很大的影响。
在研究椭圆的性质时，长短轴公式是非常重要的一个结论。
对于一个椭圆，设其长轴长为2a，短轴长为2b，则有以下两个关系式：a² = b² + c²其中，c是椭圆的焦距，即焦点到中心的距离。
这个结论可以帮助我们计算椭圆的长轴和短轴长度。
在实际应用中，我们经常需要用这个结论来计算各种椭圆的参数。
高考数学-圆锥曲线常考的93个二级结论
圆锥曲线常考的93个二级结论一、椭圆1. P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，1F 是椭圆的一个焦点，则1PF 的取值范围是[,]a c a c -+.2.P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，1F 、2F 是椭圆的左右焦点，则12PF PF ⋅的取值范围是22[,]b a .3.P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，1F 、2F 是椭圆的左右焦点，则12PF PF ⋅的取值范围是2222[,]b c a c --.4.P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，其中21,F F 是椭圆的左右焦点，θ=∠21PF F ，则122tan2F PF S b θ∆=.1222F PF C a c ∆=+.5.P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，其中21,F F 是椭圆的左右焦点，则P 为短轴端点时12F PF ∠最大.6.P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，其中12,A A 是椭圆的左右顶点，则P 为短轴端点时12A PA ∠最大.7.已知椭圆12222=+by a x ()0>>b a ，若点B A ,是椭圆上关于原点对称的两点，M 是椭圆上异于,A B 的一点.若MB MA ,的斜率分别为21,k k ，则2122b k k a⋅=-.8.若AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-. 9.若l 是椭圆22221x y a b +=不垂直于对称轴的切线，M 为切点，则22l OM b k k a ⋅=-.10.过圆2222x y a b +=+上任意点P 作椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上任意不同两点,A B 作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=+. 12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.14.设12,A A 为椭圆的左、右顶点，则12F PF ∆在边2PF （或1PF ）上的旁切圆，必与12A A 所在的直线切于2A （或1A ）.15.椭圆22221x y a b+=()0>>b a 的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于12,P P 时11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b-=.16.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.17.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b+=. 18.若点()00,M x y 在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过,A B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00221x x y ya b+=. 19.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 20.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 21.若PQ 是椭圆22221x y a b+=()0>>b a 上对中心张直角的弦，则22221111||||OP OQ a b+=+. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值22ab. 23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值2222a b ab+. 24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是2422228[,2](+)a b b a b . 25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是2222282(+)[,]+ab a b a b a. 26.设()000,y x P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上的一个定点，21P P 是动弦，则21P P 为直角弦的充要条件是21P P 过定点⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-022*******,y b a b a x b a b a M .27.若AB 是过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则2AB NF e=. 28. 若,A B 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点，点P 是直线x t =（,0t a t ≠≠）上的一个动点（P 不在椭圆上），直线PA 及PB 分别与椭圆相交于,M N ，则直线MN必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭.29.过椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点F 作一条直线与椭圆相交于,M N ，与y 轴相交于P ，若PM MF λ=，PN NF λ=，则λμ+为定值，且222a bλμ+=-.30.过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F 作一条直线与椭圆相交于,M N ，与相应准线相交于P ，若PM MF λ=，PN NF μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.31.若MN 是垂直椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，若PE EM λ=，PF FN μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.32.若MN 是垂直椭圆22221x y a b +=（0a b >>）长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，A 为长轴顶点，若OE EA λ=，OF FA μ=，则λμ+为定值，且1λμ+=-.33.若,M P 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）上任意两点，点M 关于x 轴对称点为N ，若直线,PM PN 与x 轴分别相交于点()(),0,,0A m B n ，则mn 为定值，且2mn a =.34.若,A B 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点(),0P m 是x 轴上的定点，直线PB 交椭圆C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点，且定点为2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭.35.过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .36.AB 为椭圆的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上.注：本文以焦点在x 轴上的椭圆为例，焦点在y 轴时上述结论未必完全一致，请慎用.二、双曲线1.P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 左上一点，若F 是左焦点，则PF 的取值范围是[,)c a -+∞，若F 是右焦点，则PF 的取值范围是[,)c a ++∞.2.P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的任意一点，1F 、2F 是双曲线的左右焦点，则12PF PF ⋅的取值范围是2[,)b +∞.3.P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的任意一点，1F 、2F 是双曲线的左右焦点，则12PF PF ⋅的取值范围是2[,)b -+∞.4.P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，其中21,F F 是双曲线的左右焦点，θ=∠21PF F ，则122tan2FP F b S θ∆=.5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，若点B A ,是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于B A ,的一点.若MB MA ,的斜率分别为21,k k ，则2122b k k a⋅=.6.AB 是双曲线22221x y a b-=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.8.以焦半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设P 为双曲线上一点，则12F PF ∆的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.10.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于12,P P 时11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b+=.11.若00(,)P x y 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上，则过P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 12.若00(,)P x y 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外 ，则过P 作双曲线的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b-=. 13.若00(,)P x y 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 内，则被P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14.若00(,)P x y 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 内，则过P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-. 15.设()000,y x P 为双曲线()012222>>=-b a by a x 上的一个定点，21P P 是动弦，则21P P 为直角弦的充要条件是21P P 过定点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+022*******,y b a b a x b a b a M .16.P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值22ab . 18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值2222a b ab +.19.过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点F 作一条直线与椭圆相交于,M N ，与相应准线相交于P ，若PM MF λ=，PN NF μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.20.若MN 是垂直双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，若PE EM λ=，PF FN μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.21.若MN 是垂直双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，A 为长轴顶点，若OE EA λ=，OF FA μ=，则λμ+为定值，且1λμ+=-.22.若,M P 是双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）上任意两点，点M 关于x 轴对称点为N ，若直线,PM PN 与x 轴分别相交于点()(),0,,0A m B n ，则mn 为定值，且2mn a =.23.若,A B 是双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点(),0P m 是x 轴上的定点，直线PB 交双曲线C 一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点，且定点为2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭.24.从双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.25.双曲线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ，则MQ 必与该双曲线相切，且MF PQ ⊥.26.若AB 是过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点F 的一条弦（非通径，且为单支弦），弦AB 的中垂线交x 轴于M ，则2AB MF e=三、抛物线1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与y 轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y 轴作垂线，垂足为M ，则以OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段AB 为抛物线2:2(0)C y px p =>的一条焦点弦，则112AF BF p+=. 6.设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点的弦AB 的倾斜角为α，则焦点弦222sin 2sin AOB p p AB S αα∆==，.7.若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2124p x x =，212y y p =-.8.抛物线方程为22(0)y px p =>，过(2,0)p 的直线与之交于A 、B 两点，则OA OB ⊥.反之也成立.9.抛物线22y px =上一点00(,)x y 处的切线方程为00()y y p x x =+.10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上. 11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值12p. 14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是2[8,)p +∞，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是[8,)p +∞.16.过直线x m =（0m ≠）上但在抛物线22y px =（0p >）外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 必过定点(),0N m -，且有2AB MN p k k m=. 17.过抛物线22y px =（0p >）的对称轴上任意一点(),0M m -（0m >）作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 所在的直线必过点(),0N m .18.若MN 是垂直抛物线22y px =（0p >）对称轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，若PE EM λ=，PF FN μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.19.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作一条直线与椭圆相交于,M N ，与相应准线相交于P ，若PM MF λ=，PN NF μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.20.MN 是垂直抛物线22y px =（0p >）对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，A 为长轴顶点，若OE EA λ=，OF FA μ=，则λμ+为定值，且112λμ+=.21.若,A B 是抛物线2:2C y px =（0p >）上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点(),0P m 是x 轴上的定点，直线PB 交抛物线一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点，且定点为(),0Q m -.22.抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ，且MF PQ ⊥.23.抛物线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ，则MQ 必与该抛物线相切，且MF PQ ⊥.24.若AB 是过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于M ，则2ABMF =.25.设()00,N x y 为抛物线px y 22=上的一个定点，AB 是动弦，则AB 为直角弦的充要条件是AB 过定点()002,x p y +-.26.若,A B 是抛物线22y px =（0p >）上异于顶点O 的两个动点，若OA OB ⊥，过O 作OM AB ⊥，则动点M 的轨迹方程为2220x y px +-=（0x ≠）.27.若,A B 是抛物线22y px =（0p >）上异于顶点O 的两个动点，若OA OB ⊥，则()2min 4AOB S p ∆=.28.过抛物线22y px =（0p >）上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ，则MA MB k k λ=（0λ≠）的充要条件是直线AB 过定点002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 29.在抛物线22y px =（0p >）的对称轴上存在一个定点(),0M p ，使得过该点的任意弦AB 恒有222111p MA MB +=. 30.抛物线22y px =（0p >）上两点A 、B 连线斜率若存在即为2A Bp k y y =+. 31.抛物线22y px =（0p >）上一点A 处切线的斜率若存在即为A p k y =. 注：本文以22y px =为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
一、椭圆
1. 椭圆的一般式：
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
(x² / a²) + (y² / b²) = 1
其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
3. 椭圆的离心率：
其中 e 表示椭圆的离心率。
4. 椭圆的焦点坐标：
如果椭圆的焦距为 2c，则椭圆的焦点坐标为(±c,0)。
5. 椭圆的几何意义：
椭圆是一个平面曲线，其形状类似于拉伸的圆形。
在数学中，椭圆被广泛应用于计算、图形学和物理学。
二、双曲线
2. 双曲线的标准式：
双曲线有两条渐近线，它们在双曲线两侧无限接近双曲线，但永远不会穿过它。
三、抛物线
其中 a、b 和 c 分别表示抛物线的系数，抛物线面向的方向可以通过 a 的正负性来
判断。
如果抛物线面向的方向垂直于 x 轴，其焦点坐标为 (0, 1 / (4a))。
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高考数学圆锥曲线常用二级结论春雷滚滚电劈石击雷电交加小雨阴雨连绵牛毛细雨秋雨连绵随风飘洒大雨倾盆大雨狂风暴雨大雨滂沱瓢泼大雨大雨淋漓暴雨如注风秋风送爽金风送爽北风呼啸微风习习寒风刺骨风和日丽雾大雾迷途云雾茫茫雾似轻纱风吹雾散云消雾散云彩云满天天高云淡乌云翻滚彤云密，布霞彩霞缤纷晚霞如火朝霞灿烂丹霞似锦星最远的地方：天涯海角最远的分离：天壤之别最重的话：一言九鼎最可靠的话：一言为定其它成语一、描写人的品质：平易近人宽宏大度冰清玉洁持之以恒锲而不舍废寝忘食大义凛然临危不俱光明磊落不屈不挠鞠躬尽瘁死而后已二、描写人的智慧：料事如神足智多谋融会贯通学贯中西博古通今才华横溢出类拔萃博大精深集思广益举一反三三、描写人物仪态、风貌：憨态可掬文质彬彬风度翩翩相貌堂堂落落大方斗志昂扬意气风发，威风凛凛容光焕发神采奕奕四、描写人物神情、情绪：悠然自得眉飞色舞喜笑颜开神采奕奕欣喜若狂呆若木鸡喜出望外垂头丧气无动于衷勃然大怒五、描写人的口才：能说会道巧舌如簧能言善辩滔滔不绝伶牙俐齿，出口成章语惊四座娓娓而谈妙语连珠口若悬河六、来自历史故事的成语：三顾茅庐铁杵成针望梅止渴完璧归赵四面楚歌负荆请罪精忠报国手不释卷悬梁刺股凿壁偷光七、描写人物动作：走马——花欢呼雀跃扶老携幼手舞足蹈促膝谈心前俯后仰奔走相告跋山涉水前赴后继张牙舞爪八、描写人间情谊：恩重如山深情厚谊手足情深形影不离血浓于水志同道合风雨同舟赤诚相待肝胆相照生死相依九、说明知事晓理方面：循序渐进日积月累温故——新勤能补拙笨鸟先飞学无止境学海无涯滴水穿石发奋图强开卷有益十、来自寓言故事的成语：夏天的，景色鸟语蝉鸣万木葱茏枝繁叶茂莲叶满池秋天秋高气爽天高云淡秋风送爽秋菊怒放秋菊傲骨秋色迷人秋色宜人金桂飘香秋天的景色果实累累北雁南飞满山红叶五谷丰登芦花飘扬冬天天寒地冻北风呼啸滴水成冰寒冬腊月瑞雪纷飞冰天雪地冬天的景色冰封雪盖漫天飞雪白雪皑皑冰封大地冰天雪地早晨东方欲晓旭日东升万物初醒空气清醒雄鸡报晓晨雾弥漫晨光绚丽中午烈日当头丽日临空艳阳高照万里无云碧空如洗傍晚日落西山夕阳西斜残阳如血炊烟四起百鸟归林华灯初上夜幕低垂日薄西山夜晚夜深人静月明星稀夜色柔美夜色迷人深更半夜漫漫长夜城镇风光秀丽人山人海车水马龙宁静和谐村庄草木苍翠竹篱瓦舍山幽路辟小桥流水大楼、饭店直指青云古色古香青砖素瓦耸入碧云工厂机器轰鸣铁流直泻热气腾腾钢花飞溅商店粉饰一新门可罗雀冷冷清清错落有致馆场富丽堂皇设施齐全气势雄伟金碧辉煌学校风景如画闻名遐迩桃李满天下车站、码头井然有序杂乱无章布局巧妙错落有致街道宽阔平坦崎岖不平拥挤不堪畅通无阻花花红柳绿花色迷人花香醉人花枝招展百花齐放百花盛开百花争艳，绚丽多彩五彩缤纷草绿草如，标准答案一、填空题。
（每空1分，共22分）1、4120500000 41.205 2092 2、3、12 4、14 32 7:7、1080cm2 8、， 6 9、2a2 10、3 11、3:2 12、558 810 13、20 14、18 二、判断题。
（对的打“√”，错的打“×”），（共5分）15、×16、√17、√18、×19、√三、选择（将正确答案的字母填入括号里）。
（5份）20、A 21、B 22、B 23、C 24、B 四、计算。
（30分）28、3、3 、2 6、6 第(1)题画图正确计2分，数对表示正确计2分29、表面积：8×8×6＋4×4×4＋2×2×4体积：8×8×8＋4×4×4＋2×2×2 30、d=16.56÷（1＋3.14)＝4dm r=2dm 容积:3.14×224= 六、解决问题。
（21分）一、指导思想，《义务教育课程标准实验教科书语文四年级上册》是《中共中央国务院关于深化教育改革，全面推进素质教育的决定》的精神为指导准(实验稿)为依据编写的。
本册教科书进一步加大改革力度，从选文到练习设计，从编排结构到呈现方式，有不少新的突破。
，，二、教材分析本册共有课文27篇，其中精读课文20篇，略读课文7篇。
每组教材包括导语、的成语包罗万象琳琅满目美不胜收目不暇接无奇不有无穷无尽无所不包丰富多彩五花，八门眼花缭乱洋洋大观一应俱全应有尽有应接不暇比比皆是星罗棋布不可计数层出不穷绰绰有余多多益善多如牛毛俯拾皆市举不胜举漫山遍野含有“云”字的成语九霄云外腾云驾雾壮志凌云风云变幻风起云涌行云流水过眼云烟烟消云散风卷残云浮云蔽日孤云野鹤烘云托月含有“雨”字的成语大雨倾盆血雨腥风风雨交加风调雨顺枪林弹雨风雨同舟风雨无阻未雨绸缪和风细雨狂风暴雨满城风雨滂沱大雨春风化雨风雨飘摇斜风细雨含有“水”字的成语水，流湍急水平如镜高山流水千山万水水滴石穿水乳交融滴水不漏杯水车薪洪水猛兽流水无情描写说的成语直言不讳无所顾忌拐弯抹角真心诚意故弄玄虚侃侃而谈滔滔不绝闲言碎语虚情假意推心置腹旁敲侧击喋喋不休慢条斯理含糊其词唠唠叨叨自圆其说振振有辞肆无忌惮大言不惭娓娓动听绘声绘色对答如流描写人的容貌或体态的成语闭月羞花沉鱼落雁出——，芙蓉明眸皓齿美如冠玉倾国倾城国色天香弱不禁风鹤发童颜眉清目秀和蔼可亲心慈面善张牙舞爪，愁眉苦脸冰清玉洁头垢面雍容华贵文质彬彬威风凛凛老态龙钟虎背熊腰如花似玉容光焕发其貌不扬落落大方骨瘦如柴大腹便便面黄肌瘦描写人的语言的成语口若悬河对答如流滔滔不绝谈笑风生高谈阔论豪言壮语夸夸其谈花言巧语描写人心理活动的成语忐忑不安心惊肉跳心神不定心，猿意，马心慌意乱七上八，下心急如焚描写骄傲的成语班门弄斧孤芳自赏居功自傲，目中无人妄自尊大，忘乎所以惟我独尊自高自大自鸣得意自我陶醉，，自，，命不凡目空一切描，写谦虚的，成语不骄不，躁——功成不居戒骄戒躁洗——恭听虚怀若谷慎言谨行描写学习的成语学无止境学而不厌真，才实学学而不倦，，发奋图强废寝忘食争分夺秒孜孜不，倦笨鸟先飞闻鸡起舞自强，，不息只争朝夕不甘示弱全力以赴力争上游披荆斩棘描写人物品质的成语奋不顾身舍己为人坚强不屈赤胆忠心不屈不挠忠贞不渝誓死不二威武不屈舍死忘生肝胆相照克己奉公一丝不苟两袖清风见礼忘义永垂不朽顶天立地豁达大度兢兢业业卖国求荣恬不知耻贪生怕死厚颜无耻描写人物神态的成语神采奕奕眉飞色舞昂首挺胸惊慌失措，，漫不经心垂头丧气没精打采愁眉苦脸大惊失色炯炯有神，含有夸张成分，的成语怒发冲冠一目十行一日千里一字千金百发百中一日三秋一步登，，天千钧一发不毛之地不计其数胆大包天寸步难行含有比喻成分的成语观者如云挥金如土铁证如山，爱——如命稳如，泰山门庭若市骨瘦如柴冷若冰霜如雷贯耳守口如瓶浩如烟海高手如林春天，阳春三月春光明媚春回大地春暖花开春意盎然春意正浓，风和日丽春花烂漫春天的景色鸟语花香百鸟鸣春百花齐放莺歌燕舞夏天的热赤日炎炎烈日炎炎骄阳似火挥汗如雨大汗淋漓3、书名号里还要用书名号时，外面用双书名号里面用单书名号。
描写谦虚的成语不骄不躁功成不居戒骄戒躁洗耳恭听虚怀若谷慎言谨行描写学习的成语学无止境学而不厌真才实学学而不倦发奋图强废寝忘食争分夺秒孜孜不倦笨鸟先飞闻鸡起舞自强不息只争朝夕不甘示弱全力以赴力争上游披荆斩棘描写人物品质的成语奋不顾身舍己为人坚强不屈赤胆忠心不屈，不挠忠贞不渝誓死不二威武不屈舍死忘生肝胆相照克己奉公一丝不苟两袖清风见礼忘义永垂不朽顶天立地豁达大度兢兢业业卖国求荣恬不知耻贪生怕死厚颜无耻描写人物神态的成语神采奕奕眉飞色舞昂首挺胸惊慌失措漫不经心垂头丧气没精打，采愁眉苦脸大惊失色炯炯有神含有夸张成分的成语怒发冲冠一目十行一日千里一字千金百发百中——一日三秋一步登天千钧一发不毛之地不计其数胆大包天寸步难行含——比喻成分的成语观者如云挥金如土铁证如山爱，财如命稳如泰山门庭若市骨瘦如柴冷若冰，霜如雷贯耳守口如瓶浩如烟海高手如林春天阳春三月春光，明媚春回大地春暖花开春，意盎然春意正浓风和日丽春花烂漫春天的景色鸟语花香百鸟鸣春百花齐放莺，歌燕舞夏天的热赤日炎炎烈日炎炎骄阳似火挥汗如雨，大汗淋漓夏天的景色鸟语蝉鸣万木葱茏，枝繁叶茂莲叶满池秋天秋高气爽天高云淡秋，风送爽秋菊怒放秋，菊傲骨秋，色迷人秋色宜人金桂飘香秋天的景色果实累累北雁南飞满山红叶五谷丰登芦花飘扬冬天——天，寒地冻北风呼啸滴水成冰寒冬腊月瑞雪纷飞冰天雪，地冬天的景色冰封雪盖漫天飞雪白雪皑皑冰封大地冰天雪地早晨东方欲晓旭日东升万物初醒空气清醒雄鸡报晓晨雾弥漫晨光绚丽中午烈日当头丽日临空艳阳高照万里无云碧空如洗傍晚日落西山夕阳西斜残阳如血炊烟四起百鸟归林华灯初上夜幕低垂日薄西山夜晚夜深人静月明星稀夜色柔美夜色迷人深更半夜漫漫长夜城镇风光秀丽人山人海车水马龙宁静和谐村庄草木苍翠竹篱瓦舍山幽路辟小桥流水大楼、饭店直指青云古色古香青砖素瓦耸入碧云工厂机器轰鸣铁流直泻热气腾腾钢花飞溅商店粉饰一新门可罗雀冷冷清清错落有致馆场富丽堂皇设施齐全气势雄伟金碧辉煌学校，风景如画闻名遐迩桃李满天下车站、码头井然有序杂乱无章布局巧妙错落有致街道宽阔平坦崎岖不平拥挤不堪畅通无阻花花红柳绿花色迷人花香醉人花枝招展百花齐放百花盛开百花争艳绚丽多彩五彩缤纷草绿草如茵一碧千里杂草丛生生机勃勃绿油油树苍翠挺拔郁郁葱葱枯木逢春秀丽多姿青翠欲滴林海雪原耸入云天瓜果蔬菜清香鲜嫩青翠欲滴果园飘香果实累累果实饱满鲜嫩水灵鸽子、燕子象征和平乳燕初飞婉转悦耳莺歌燕舞翩然归来麻雀、喜鹊枝头嬉戏灰不溜秋叽叽喳喳鹦鹉鹦鹉学舌笨嘴学舌啄木鸟利，嘴如铁钢爪如钉鸡鸭鹅神气活现昂首挺胸肥大丰满自由自在引吭高歌马腾空而起狂奔飞驰膘肥体壮昂首嘶鸣牛瘦骨嶙峋行动迟缓俯首帖耳膘肥体壮车川流不息呼啸而过穿梭往来缓缓驶离船一叶扁舟扬帆远航乘风破浪雾海夜航追波逐浪飞机划破云层直冲云霄穿云而过银鹰展翅学习用品美观实用小巧玲珑造型优美设计独特玩具栩栩如生活泼可爱惹人喜爱爱不释手彩虹雨后彩虹彩桥横空若隐若现光芒万丈雪大雪纷飞大雪封山鹅毛大雪漫天飞雪瑞雪纷飞林海，雪原风雪交加霜雪上加霜寒霜袭人霜林尽染露垂露欲滴朝露晶莹日出露干雷电电光石火雷电大作惊天动地春雷滚滚电劈石击雷电交加小，雨阴雨连绵牛毛细雨秋雨连绵随风飘洒大雨倾盆大雨狂风暴雨大雨滂沱瓢泼大雨大雨淋漓暴雨如注风秋风送爽金风送爽北风呼啸微风习习寒风刺骨风和日丽雾大雾迷途云雾茫茫雾似轻纱风吹雾散云消雾散云彩云满天天高云淡乌云翻滚彤云密布霞彩霞缤纷晚霞如火朝霞灿烂丹霞似锦星最远的地方：天涯海角最远的分离：天壤之别最重的话：一言九鼎最可靠的话：一言为定其它成语一、描写人的品质：平易近人宽宏大度冰清玉洁持之以恒锲而不舍废寝忘食大义凛然临危不俱光明磊落不屈不挠鞠躬尽瘁死而后已二、描写人的智慧：料事如神足智多谋融会贯通学贯中，西博古通今才华横溢出类拔萃博大精深集思广益举一反三三、描写人物仪态、风貌：憨态可掬文质彬彬风度翩翩相貌堂堂落落大方斗志昂扬意气风发威风凛凛容光焕发神采奕奕四、描写人物神情、情绪：悠然自得眉飞色舞喜笑颜开神采奕奕欣喜若狂呆若木鸡喜出望外垂头丧气无动于衷勃然大怒五、描写人的口才：能说会道巧舌如簧能言善辩滔滔不绝伶牙俐齿，出口成章语惊四座娓娓而谈妙语连珠口若悬河六，、来自历史故事的成语：三顾茅庐铁杵成针望梅止渴完璧归赵四面楚歌负荆请罪精忠报国手不释卷悬梁刺股凿壁偷光七、描写人物动作：走马——花欢呼雀跃扶老携幼手舞足蹈促膝谈心前俯后仰奔走相告跋山涉水前赴后继张牙舞爪八、描写人间情谊：恩重如山深情厚谊手足情深形影不离血浓于水志同道合风雨同舟赤诚相待肝胆相照生死相依九、说明知事晓理方面：循序渐进日积月累温，故——新勤能补拙笨鸟先飞学无止境学海无涯滴水穿石发奋图强开卷有益十、来自寓言故事的成语：夏天的景色鸟语蝉鸣万木葱茏枝繁叶茂莲叶满池秋天秋高气，爽天高云淡秋风送爽秋菊怒放秋菊傲骨秋色迷人秋色宜人金桂飘，香秋天的景色果实累累北雁南飞满。