三角函数资料总结

三角函数

1.任意角的三角函数

在角α的终边上任取．．

一点),(y x P ，记：

r OP ==1-8所示

正弦：sin ,y

x R r α=

∈ 余弦：cos ,x

x R r

α=

∈ 正切：tan ,,2

y x k k Z x π

απ=

≠+∈ 余切：cot ,,x

x k k Z y

απ=

≠∈ 图1-8 正割：sec ,,2

r x k k Z x π

απ=

≠+∈ 余割：csc ,,r x k k Z y απ=≠∈

以上六种函数都称为三角函数，其中正弦、余弦、正切、余切曲线如图1-9所示：

10

5

1.0

0.5

图1-9

显然正弦、余弦函数的最小正周期是2π， 正切、余切函数的最小正周期是π。 2同角三角函数的基本关系式

倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

105

6

42105

6

42105

0.5

商数关系：αααcos sin tan =

，α

α

αsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 2

2

=+αα，αα2

2

sec tan 1=+，αα2

2

csc cot 1=+。 3、诱导公式

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。 ⑵

απ

+2

、

απ

-2

、

απ+23、απ

-2

3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。 4、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-

βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=

+

β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=

-

5、二倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*

α

α

α2

tan 1tan 22tan -=

6、万能公式

ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α

α

α2

tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。 7、和差化积公式

2

cos

2

sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+ 2

sin

2

cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=-

2

cos

2

cos

2cos cos β

αβ

αβα-+=+ 2

sin

2

sin

2cos cos β

αβ

αβα-+-=-

8、积化和差公式

[])sin()sin(2

1

cos sin βαβαβα-++=⋅ [])sin()sin(2

1

sin cos βαβαβα--+=⋅ [])cos()cos(2

1

cos cos βαβαβα-++=

⋅ [])cos()cos(2

1

sin sin βαβαβα--+-

=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

9、辅助角公式

)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a

其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，

2

2sin b a b +=

ϕ，2

2cos b a a +=

ϕ，a

b =

ϕtan 。

反三角函数

前面所讲三角函数在其定义域内都是周期函数，并不是单值函数，其映射不是单射，因此在其定义域内不存在反函数。但我们可以限制自变量取值，使其在一定范围内成为单值函数，这样就存在反函数。例如限制[,]22

x ππ

∈-，函数sin y x =为单值函数，[1,1]y ∀∈-，

存在唯一确定[,]22x ππ

∈-

，使得sin y x =，这时的反函数记为sin ,[,]22

y arc x x ππ

=∈- 类似可定义其他三角函数的反函数，各种反三角函数见下表1-1：

表1-1

注记：根据原函数和反函数的图形关于直线y x =对称，自己画出反三角函数的大致的图形。

双曲函数:

双曲正弦: sh 2x x

e e x --=;

双曲余弦: ch 2x x

e e x -+=;

双曲正切: sh th ch x x

x x

x e e x x e e ---==+. 如图所示 双曲函数公式

sh()x y shxchy chxshy ±=±; ch()x y chxchy shxshy ±=±;

22ch 1x sh x -=;

sh2x 2shxchx = 22ch2x=ch x sh x +.

反双曲函数:

双曲函数,(0),y shx y chx x y thx ==≥=的反函数依次为

O

x

y

y =th x