初中数学网格问题的思考
对初中数学教育教学的几点思考
四、潜移默化润物无声
1、寓于“数形结合”思想中的二次函数复习课 2、寓于“分类讨论”思想中的等腰三角形复习课 3、“手脑并用”话相似——基于美学理念下的相似 三角形复习课 4、以不变应万变——图形变换中的问题解决之赏析 5、让“图”说话——一次函数图像信息题剖析 „„
复习课 新的视角· 新的高度·新的经验 站在系统的高度，重新审视； 纳入知识的长河，主动构架； 进入研究的层面，回味感悟。
《闲暇——文化的基础》
德国哲学家约瑟夫· 皮珀（Josef Pieper）
闲暇”这个字眼的含意，在历史上的发展始 终传达着同样的讯息，其意思指的就是“学习和 教育的场所”，在古代，称这种场所为“闲暇” ，而不是如我们今天所说的学校。 诚然，现在的学校已是天底下最忙碌最无闲 暇之趣之所在也。
事实上：
且满足 y1 y 2 y3 1 . 求这个二次函 数的解析式.
有没有这样的一种境地：师生共同进入一 种忘我的痴迷状态，沉浸于数学本体的领略与 探索之中，数学问题犹如强大的磁石吸引着每 一个人，并将他们拖进她的磁场。没有任何的 桎梏，也没有任何的羁绊。人人均为数学学习 和研究的同志者和合作者。
Enjoy
Everybody！
勾股定理
古希腊大数学家欧几里德的面积分割证明法
如图，一次函数y=kx+b经过点A(-2,4),B(6,0).
(4)关于x的不等式kx+b<0
y
A
的解集是___________. 4 (5)关于x的不等式kx+b >4
-2 0
B 6
x
的解集是___________. (6)关于x的不等式0<kx+b≤4的 解集是____________. (7)若y=kx+b，且2<y≤7,则x的 取值范围是____________.
初中中考中的格点图形问题
授课设计教师学生科目数学上课时间课次 1授课内容中考中的格点图形问题授课重难点解题方法授课设计：近来几年来，有关格点问题已成为中考的亮点，这类问题题型多样，形式爽朗，主要观察同学们的直觉推理能力和问题研究能力．格点问题操作性强、兴趣性浓，表现了新课标的“在‘玩’中学，在学中思，在思中得”的崭新理念．下面就中考中的几类格点问题归纳以下，望能对学习有所帮助．一、格点中的对称问题例 1 （绍兴市）如图 1，在网格中有两个全等的图形 (阴影部分 )，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1) 、(2) 中画出两种不同样的拼法．图1图2二、格点中的画图问题例 2 （黑龙江鸡西市）如图3，在网格中有一个四边形图案．（1）请你画出此图案绕点 O 顺时针方向旋转 900， 1800，2700的图案，你会获取一个美丽的图案，千万不要将阴影地址涂错；图 3图4（2）若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点 A 的对应点依次为 A1、 A2、A3，求四边形 AA1A2A3的面积；(3)这个美丽图案可以说明一个出名结论的正确性，请写出这个结论．三、格点中的坐标问题例3 （苏州市）如图 5．围棋盘的左下角表现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示．纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的地址可记为(C，4)，白棋②的地址可记为( E， 3) 则白棋⑨的地址应记为＿＿＿．图 5四、格点中的相似问题例 4 （福州市罗源平潭）如图成的相似三角形有（）A ． 4 对B ． 3 对C． 2 对6，在 7×12 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组DD ．1 对A C F析解：本题是一道以网格为背景的结论研究性问题， B E J H在正方形网格中画了一只可爱的小狐狸，增强了题目G I R L的兴趣性．由网格的特色结合勾股定理，可以获取三角图6形三边的长，从而利用“三边对应成比率，两三角形相似”的判断来求解．．五、格点中的位似问题例5 （广东省）如图 7，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 与△ A′B′C′是关于点 O 为位似中心的位似图形，它们的极点都在小正方形的极点上．（1）画出位似中心点 O；（2）求出△ ABC 与△ A/B/C/的位似比；（ 3）以点 O 为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ ABC的位似比等于．C/ C/C1B/ C B/ CA/BA/B1 BA A1 A O 图 7 图 8六、格点中的面积问题例 6 （浙江湖州市）一青蛙在如图8×8 的正方形（每个小正方形的边长为 1）网格的格点（小正方形的极点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为 5 ，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点 A，则所组成的封闭图形的面积的最大值是_______．图 9析解：本题以青蛙这一幽默且有益的动物为背景设计题目，增加了题目的兴趣性．解题时涉及无理数、勾股定理的应用、图形面积的计算等知识．只要正确画出图形，再运用割补法即可求得面积为 12．七、格点中等腰三角形问题例 7 （重庆市）以下列图，A、 B 是 4×5 网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为晰标出使以Ａ、B、C 为极点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的地址．1，请在图中清A AB B图10 图11析解：依照网格的特色及等腰三角形的有关知识易得，AB 只能为一腰，且AB= 13 ，由勾股定理即可知点C1、 C2、 C3吻合要求（如图11）．八、格点中的拼图问题例 8 （北京市）请阅读以下资料：问题：现有 5 个边长为画出切割线并在正方形网格图1 的正方形，排列形式如图①，请把它们切割后拼接成一个新的正方形．(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．要求：小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞ 0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5 ，解得x= 5 ．由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③ 所示的新正方形．图①图②图③图④图⑤图12请你参照小东同学的做法，解决以下问题：现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图④，请把它们切割后拼接成一个新的正方形．要求：在图④中画出切割线，并在图⑤的正方形网格图 (图中每个小正方形的边长均为 1)中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写解析过程．析解：本题是一道综合型网格作图试题，涉及到无理数、勾股定理等知识，主要观察同学们的计算能力、着手操作能力．类比小东的作法，可设新正方形的边长为x(x>0)，便有 x2=10 ，解得 x=10 ．由此可知，新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图②所示的切割线，拼出如图③所示的新正方形．图 13图14温州历年中考中的格点问题19．（ 2009?温州） ( 本题 8 分 ) 在所给的 9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个极点以及对角线交点都在方格的极点上．(1) 在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数； (2) 在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数． ( 注：图甲、图乙在答题纸上 )19、（ 2011?温州）（本题8 分）七巧板是我们祖先的一项优异创立，用它可以拼出多种图形，请你用七巧板中标号为○1 ○2 ○3的三块板（如图1）经过平移、旋转拼成图形。
初中数学精品教学设计：网格图形引思考,问题活动促生长
网格图形引思考，问题活动促生长一、案例缘起《义务教育数学课程标准（2011年版）解读本》中提出：“对几何直观的培养，需要：在教学中使学生逐步养成画图习惯；重视变换——让图形动起来；学会从'数'与'形'两个角度认识数学；掌握、运用一些基本图形解决问题.”格点问题能够较好的考查学生识图、分析、归纳、想象、画图、推理、探究等能力，涉及格点的题型构思巧妙，题目呈现新奇，具有很强的可操作性，可以与基本作图、勾股定理、相似三角形、三角函数等知识相结合，代数和几何内容自然融合在一起，体现数形结合思想、转化思想、分类讨论思想等运用.现以《格点问题》为例设计一个中考数学复习课案例，以网格为背景，研究格点与初中几何内容相结合的问题，以书本一个网格中作矩形为生长元进行知识、能力、思维、问题的生长，考查勾股定理及逆定理、全等三角形、相似三角形、三角函数、平行四边形等知识在格点问题中的应用.本节课的选题、环节设计凸显培养学生的几何直观力，促进学生思维拓展，培养学生数学思想方法综合运用的能力.二、案例过程原题呈现：（书本八下5.1矩形（1）课后练习）（1）如图1，判断如图5×5方格内四边形ABCD 是不是矩形，请说明理由.（2）以DE 为一边作一个矩形，要求另外两个顶点也在方格顶点上.功能分析：本题是书本习题，学生比较容易从图中通过尝试作图，得出答案，通过几何直观力就可以判断图画的是否准确。
题目特点：简单易操作，因此很适合作为本案例的生长元，从而拓展、生长，达到知识、能力、思维的生长目的。
教学示范：作图后，通过追问引发学生思考，并且让知识、思维进行生长：追问1：通过观察图1，你会判断怎样的两个格点线段是互相垂直的关系？追问2：互相垂直的两条格点线段长度有怎样的数量关系？追问3：有哪些不同的方法可以证明BC ⊥CD ？探索不同解法：解法1：如图2，可利用网格特征证明三角形△FCD ∽△GBC ，从而证明∠BCD =90°；解法2：如图3，可求得BC ，CD ，BD 长度，再利用勾股定理的逆定理证△BDC 是直角三角形；解法3：如图4，可建立直角坐标系来证明垂直关系：以C 为原点建立直角坐标系，得：B (4，-2)，D （-1，-2），求出直线BC ：x y 21-=，直线CD ：x y 2=，根据1-=⋅CD BC k k ，得到BC ⊥CD .案例评析：通过观察网格图形中各边的垂直关系和数量关系，让学生发散思维，培养学生的几何直观能力，考查学生数形结合思想的运用.通过设置追问引发学生直观感受垂直关系后，再来思考如何证明垂直，培养学生猜测再证明，深入探究的习惯.寻找多种不同的证明方法，让学生的知识、思维再生长，深入了解网格的特征，将网格问题与其它知识相结合来解决问题，掌握格点图形的特殊性与延续性.图2 图3 图4图1拓展1：（2020.温州）如图5，在64⨯的方格纸ABCD 中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A ，B ，C ，D 重合.（1）在图5-1中画格点线段EF ，GH 各一条，使点E ，F ，G ，H 分别落在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且EF GH =，EF 不平行GH .（2）在图5-2中画格点线段MN ，PQ 各一条，使点M ，N ，P ，Q 分别落在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且5PQ MN =. 功能分析：本题主要考查学生网格中格点作图的能力，考查勾股定理、平行线的性质等内容，题目较简单，学生可以独立完成（答案不唯一，如图6所示作为其中一种答案）.但在解答后有很多值得教师引导学生思考的方向.教学示范：就此题与学生一起进一步归纳方法并探究拓展.追问1拓展题的4×6的网格中可以画哪些长度的格点线段？追问2：符合怎样条件的线段长度才能在网格中画出格点线段呢？追问3：在网格中画出斜边长一个固定长度，如26的格点直角三角形，两条直角边的长分别是多少？依据勾股定理可以求出网格中任意一条格点线段的长度，引发学生逆向思考，再与学生一起总结归纳：符合22b a x +=（a 、b 是正整数）的线段可以作为直角三角形的斜边，如225126+=，以1，5为边画一个“正直角三角形”.由问题引入中总结的两条垂直的“斜格点线段”长度是整数比例，因此可以得到符合))(2222b a n m x ++=（（a 、b 、m 、n 均为正整数）的线段可以作为直角三角形的斜边，如)32)(11(262222++=，可以画出以13，13或22，23为直角边画出一个“斜直角三角形”.如图7，若从几何作图的角度可以以AB 为斜边画圆，与网格交于格点即可以作格点直角三角形.案例评析：通过问题设计和分析整理的过程体会数形结合思想的运用，让学生整理网格中画格点直角三角形的方法，并思考作图的多样性.让问题成为学生能力生长的途径，达到知识、能力、思维的生长.图5-1 图13 图5-2图6图7拓展2：（2018.扬州）问题呈现：如图8，在边长为1的正方形网格中，连结格点D ，N 和E ，C ，DN 和EC 相较于点P ，求tan ∠CPN 的值.方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连结格点M ，N ，可得MN //EC ，则∠DNM =∠CPN ，连结DM ，那么∠CPN 就变换到Rt △DMN 中.问题解决：（1）直接写出图8-1中tan ∠CPN 的值为 ；（2）如图8-2，在边长为1的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P ，求cos ∠CPN 的值；思维拓展：如图8-3，AB ⊥BC ，AB =4BC ，点M 在AB 上，且AM =BC ，延长CB 到N ，使BN =2BC ，连结AN 交CM 的延长线于点P ，用上述方法构造网格求∠CPN 的度数.功能分析：本题涉及网格中三角函数的计算，以及构造网格，应用方法思维拓展解题，考查平行四边形的性质和判定、平行线的性质、三角函数等知识点，体现转化思想的应用，通过此例的分析解答、拓展追问可以促进学生发散思维，达到生长数学、深度学习的目的.教学示范：教学中让学生独立审题，并解答第（1）问，然后对原题中的“方法归纳”进行追问.追问1：图8-1中MN //EC 的理由是什么？追问2：从几何直观角度观察网格中符合怎样条件的格点线段是平行的？追问3：“方法归纳”中将∠CPN 变换到Rt △DMN 的过程是通过构造平行线，将“非格点角”∠CPN 变换到“格点角”∠DNM 的位置，那么若网格足够大，是否可以作其它平行于EC 的格点线段，将∠CPN 变换位置呢？追问4：是否还可以作DN 的平行线将∠CPN 进行位置变换呢？针对题目中总结的将角变换位置的方法和思路，再次进行问题拓展：让学生思考还可以设计怎样的问题将题目进行拓展和运用.问题1：如图9，在5×5的网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，F 均为格点，线段AB ，EF ，CD 分别交于点P ，Q ，R ，请判断△PQR 的形状，并说明理由.问题2：求sin ∠PQR 的值.问题3：通过平移格点线段还能解决什么问题呢？可以让学生小组合作进行画图，展开思考.案例评析：通过问题串的形式将知识串联，图形直观呈现，转移应用.问题拓展环节更是可以让学生深入了解并掌握构造平行线可以将非格点图转化为格点图形，帮助解决三角函数、图形形状等问题，感受转化思想的运用.本题的分析解答、追问、问题设计、解答再总结的过程带领学生进行知识、能力、问题的生长，再次感受思维的生长。
一道中考网格作图题多样性解法的探究与思考
一道中考网格作图题多样性解法的探究与思考作者：许柱周斌来源：《中学数学杂志(初中版)》2022年第06期【摘要】义务教育课程标准（2022年版）的变化之一，增加了学业质量标准和考试命题建议，明确提出了素养立意的命题原则.文章通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究，谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.【关键词】网格作图；多样性；数学素养网格是义务教育阶段研究“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”的工具.教学从能用直尺或三角板在网格中画平行线、垂线，到借助网格探究平移、旋转和轴对称等图形变换特征以及研究函数的图象和性质，让学生积累丰富的活动经验，掌握相应的基本技能.为此，以网格作图为背景的考试命题成为了近几年的新方向.网格作图的要求是：只使用无刻度直尺，利用格点来作图.本文通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究，谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.1 试题呈现（2022年江苏省宿迁市第27题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D，M均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图1的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB，CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC=12，在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC=tan∠DCE，所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD.【拓展应用】（1）如图2是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明；（2）如图3是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P，使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明.2 解法探究史宁中教授指出，“数学的结论往往是‘看’出来的.”［1］“看”需要凭借良好的直觉，而直觉需要活动经验的积累.网格作图是通过直接找格点或通过格点找间接的点，即借助无刻度的直尺作直线（线段）或直线（线段）与直线（线段）的交点来完成，故写作法时，要体现出网格中所取的格点.2.1 正确作法赏析对于【操作探究】：tan∠DCE=DECE=12.对于【拓展应用】（1）：方法一构造垂线弗莱登塔尔指出，“学习数学唯一正确的方法就是‘再创造’.”“再创造”是将“操作探究”中所隐藏的新知识、新技能及数学方法等内容，通过阅读去发现或创造出来.“拓展应用”中“在BM 上找出一点P，使PM=AM”，所用到的知识是垂径定理（过点A作半径OM的垂线）；方法是从“操作探究”中的体验获得的“用无刻度的直尺画两条互相垂直的线段”知识技能迁移得出较为直接的（1）问思路1.思路1：如图4，在网格中取格点C，连接AC并延长交圆O于点P（也可取格点G，连接AG或CG交圆O于点P）.方法二构造平行线网格中线段之间存在特殊的位置关系（平行和垂直），故基于原有的知识经验，过由若干个相邻方格组成的矩形的对角线所作的直线（线段），与按相同的方式作出的另一条直线（线段）互为平行线，再利用两直线平行，同位角相等以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进而得出（1）问思路2.思路2：如图5，在网格中取格点C，连接BC并延长交圆O于点P（也可取网格右下角格点H，连接HB或HC并延长交圆O于点P）.方法三构造垂直平分线网格中亦可以作出特殊的四边形（菱形、正方形），因此，可以利用特殊四边形的对角线互相垂直平分，推得角相等，进而得出（1）问的思路3，4，5等.思路3：如图6，在网格中取格点F，E，Q，连接MQ，作射线EF交MQ于点N，作射线ON交圆O于点P.思路4：如图7，在网格中取格点N，C，E，连接EN，MB相交于点Q，連接CQ并延长交圆O于点P.思路5：如图8，在网格中取格点G，N，C，E，F，连接EF，GN相交于点D，作射线OD交圆O于点P.方法四构造相似三角形题目条件中所给的点A，B，M均为格点，因此△ABM为格点三角形.因为AB为直径，则△ABM是边长之比为1∶2∶5的格点直角三角形.为此，我们可以构造两直角边比为1∶2的直角三角形得出（1）问中的思路6，7，8，9，10等.思路6：如图9，在网格中取格点E，F，连接EF并延长交圆O于点P.思路7：如图10，在网格中取格点C，连接AC并延长交圆O于点P（类似思路1，证明方法不同）.思路8：如图11，在网格中取格点F，C，连接CF交圆O于点P（也可以取D，E，连接CD，CE，DE，DF，EF或延长可得点P），这里通过两点控制变量，有6种方法得出点P.思路9：如图12，在网格中取格点D，C，连接CD交圆O于点P.思路10：（间接法）如图13，在网格中取格点E，N，C，D，连接BC交圆O于点Q，连接QO并延长交圆O于点P.方法五利用三角函数《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）对于三角函数知识要求为，利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值.由于学生提前了解高中相关三角函数的知识，故得出（1）中的思路11，12等.思路11：如图14，在网格中取格点E，F，C，连接MC，EF并延长交于点H，连接OH 交圆O于点P.简证：利用高中三角函数知識，求出∠AOM与∠MOP正切值都等于43，得出点P就是所求的点.思路12：如图15，在网格中取格点N，E，连接EN交MO于点Q，连接AQ并延长交圆O于点P.简证：这种作法需要利用高中知识作图，但证明既可以利用高中知识，也可以利用初中知识.由图直接得出tan∠AEN=43，用高中三角函数诱导公式，可得tan∠AOM=tan（∠EOM－∠EOA）=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同侧顶角相等的两个三角形，四点共圆”，得A，E，O，Q四点共圆，再利用“圆的内接四边形对角互补”，得出∠AQO=∠AEO=90°，根据垂径定理，可证明PM=AM.若利用初中知识证明，须以点O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设E（－3，0）、N（1，3）、M（－1，3）、A（－3，1），可先求出直线yEN=34x+94，yOM=－3x，得点Q（－35，95），根据点A（－3，1），可求得yAQ=13x+2，所以kOM·kAQ=－1，所以OM⊥AQ，根据垂径定理可得PM=AM.对于【拓展应用】（2）：思路1：如图16，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：连接OA，类比操作探究，可证OA⊥MD，求得∠AMP=∠ABM.）思路2：如图17，连接MO并延长交圆O于点E，在网格中取格点F，连接EF并延长交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（类似还可以在网格中取格点G，连接EG交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P.）思路3：如图18，在网格中取格点D，连接BD并延长交圆O于点E，连接EM交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（可证格点△AMB≌△ADB，推出∠EBA=∠MBA，证得∠AME=∠MBA.）思路4：如图19，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：证得两个阴影三角形相似，得∠AMD=∠MBA，类似（2）问思路1，证法不同.）思路5：如图20，在网格中取格点C，N，连接CN交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.也可以在网格中取格点C1，C2，C3，N1，连接任意两点（或延长）交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.2.2 典型错误剖析错解1：审题不清.拓展应用题（1）误作PM与PB相等.如图21，在网格中取格点C，连接OC并延长交圆O于点P.错解2：作近似点.如图22，在网格中取格点C，连接OC交圆O于点P.通过计算不难得出，点P是非常接近所求作的点.使用三角函数诱导公式可以求得tan∠AOM=3－131+3×13=43，tan∠MOC=tan（∠MON+∠EOC）=tan∠MON+tan∠EOC1－tan∠MON·tan∠EOC=13+341－13×34=139.因为tan∠AOM≠tan∠MOC，所以PM≠AM.错解3：增加网格.如图23，由于条件中所给定的网格不能够完成6×2矩形的构造，在自行添加的网格中取格点C，连接BC交圆O于点P（简证：连接AC，根据OM∥BC，得∠MOA=∠CBA）.尽管点P就是所求的点，但在自行添加网格的条件下找出的格点是“不守规矩”的作法.因题目所限定的作图工具为无刻度的直尺，故可以通过原图的格点构造网格外新的点，作出点P（如图24，利用格点M，C，E，D，作射线MC，ED）.3 素养表现课标（2022年版）总目标是：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［2］（以下简称“三会”）.2022年宿迁中考第27题考查学生在操作探究的基础上，借助网格中的格点，用无刻度的直尺作图，着重考查以下五个素养：（1）几何直观.拓展应用（1），在BM上找出一点P，使PM=AM，由于题目属于网格作图，只有利用网格中的格点才可以作出满足条件的图形.根据题目结论可知，若PM等于AM，必定有OM⊥AP.利用直尺可以直观的找到符合OM⊥AP且经过格点的点（思路1中的C，G）.试题的命制也充分考虑评价公平性，为防止学生答题过程中的无意识操作，利用“投机取巧”也可以做对，故题目要求写出作法，并给出证明.提出明确的答题指令，杜绝“无意识的操作”也能做对的现象，变为“有目标的思考”并表达.（2）模型观念.模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.从“操作探究”到“拓展应用”，由指定任务出发，通过阅读理解、自主探究、解决问题，获得新知识、新方法.最后，利用“操作探究”所获得的数学模型来解决“拓展应用”这一类问题，模型观念重点考查学生体会和理解数学及数学应用的能力.（3）推理能力.一方面，中考试题命制要有区分度，在“操作探究”环节，因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12，故推理得出在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=12.另一方面，网格作图和尺规作图类似，多运用逆向逻辑推理.如拓展应用（1），先把结论PM=AM看作条件，推理得出应该有的结论（OM⊥AP），进而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合条件的点P.（4）运算能力.运算能力是“三会”中学会用数学的思维思考现实世界的重要表现形式之一.操作探究环节，借助格点的特性，构造直角三角形，通过观察，计算相关三角函数值得出结论.特别是在拓展应用环节1，考生利用原有的知识经验（思路12），通过构造平面直角坐标系，计算证明格点P就是所求作的格点，尽管繁琐，但考查了学生用代数的方法推出几何结论的能力.拓展应用环节2，学生通过严谨的计算，若满足AM2=AP·AB，则AP=22.先算出数值，后定位置，故直接连接小正方形的对角线，确定点P位置.思路11：如图14，在网格中取格点E，F，C，连接MC，EF并延长交于点H，连接OH 交圆O于点P.简证：利用高中三角函数知识，求出∠AOM与∠MOP正切值都等于43，得出点P就是所求的点.思路12：如图15，在网格中取格点N，E，连接EN交MO于点Q，连接AQ并延长交圆O于点P.简证：这种作法需要利用高中知识作图，但证明既可以利用高中知识，也可以利用初中知识.由图直接得出tan∠AEN=43，用高中三角函数诱导公式，可得tan∠AOM=tan（∠EOM－∠EOA）=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同侧顶角相等的两个三角形，四点共圆”，得A，E，O，Q四点共圆，再利用“圆的内接四边形对角互补”，得出∠AQO=∠AEO=90°，根据垂径定理，可证明PM=AM.若利用初中知识证明，须以点O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设E（－3，0）、N（1，3）、M（－1，3）、A（－3，1），可先求出直线yEN=34x+94，yOM=－3x，得点Q（－35，95），根据点A（－3，1），可求得yAQ=13x+2，所以kOM·kAQ=－1，所以OM⊥AQ，根据垂径定理可得PM=AM.对于【拓展应用】（2）：思路1：如图16，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：连接OA，类比操作探究，可证OA⊥MD，求得∠AMP=∠ABM.）思路2：如图17，连接MO并延长交圆O于点E，在网格中取格点F，连接EF并延长交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（类似还可以在网格中取格點G，连接EG交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P.）思路3：如图18，在网格中取格点D，连接BD并延长交圆O于点E，连接EM交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（可证格点△AMB≌△ADB，推出∠EBA=∠MBA，证得∠AME=∠MBA.）思路4：如图19，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：证得两个阴影三角形相似，得∠AMD=∠MBA，类似（2）问思路1，证法不同.）思路5：如图20，在网格中取格点C，N，连接CN交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.也可以在网格中取格点C1，C2，C3，N1，连接任意两点（或延长）交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.2.2 典型错误剖析错解1：审题不清.拓展应用题（1）误作PM与PB相等.如图21，在网格中取格点C，连接OC并延长交圆O于点P.错解2：作近似点.如图22，在网格中取格点C，连接OC交圆O于点P.通过计算不难得出，点P是非常接近所求作的点.使用三角函数诱导公式可以求得tan∠AOM=3－131+3×13=43，tan∠MOC=tan（∠MON+∠EOC）=tan∠MON+tan∠EOC1－tan∠MON·tan∠EOC=13+341－13×34=139.因为tan∠AOM≠tan∠MOC，所以PM≠AM.错解3：增加网格.如图23，由于条件中所给定的网格不能够完成6×2矩形的构造，在自行添加的网格中取格点C，连接BC交圆O于点P（简证：连接AC，根据OM∥BC，得∠MOA=∠CBA）.尽管点P就是所求的点，但在自行添加网格的条件下找出的格点是“不守规矩”的作法.因题目所限定的作图工具为无刻度的直尺，故可以通过原图的格点构造网格外新的点，作出点P（如图24，利用格点M，C，E，D，作射线MC，ED）.3 素养表现课标（2022年版）总目标是：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［2］（以下简称“三会”）.2022年宿迁中考第27题考查学生在操作探究的基础上，借助网格中的格点，用无刻度的直尺作图，着重考查以下五个素养：（1）几何直观.拓展应用（1），在BM上找出一点P，使PM=AM，由于题目属于网格作图，只有利用网格中的格点才可以作出满足条件的图形.根据题目结论可知，若PM等于AM，必定有OM⊥AP.利用直尺可以直观的找到符合OM⊥AP且经过格点的点（思路1中的C，G）.试题的命制也充分考虑评价公平性，为防止学生答题过程中的无意识操作，利用“投机取巧”也可以做对，故题目要求写出作法，并给出证明.提出明确的答题指令，杜绝“无意识的操作”也能做对的现象，变为“有目标的思考”并表达.（2）模型观念.模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.从“操作探究”到“拓展应用”，由指定任务出发，通过阅读理解、自主探究、解决问题，获得新知识、新方法.最后，利用“操作探究”所获得的数学模型来解决“拓展应用”这一类问题，模型观念重点考查学生体会和理解数学及数学应用的能力.（3）推理能力.一方面，中考试题命制要有区分度，在“操作探究”环节，因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12，故推理得出在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=12.另一方面，网格作图和尺规作图类似，多运用逆向逻辑推理.如拓展应用（1），先把结论PM=AM看作条件，推理得出应该有的结论（OM⊥AP），进而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合条件的点P.（4）运算能力.运算能力是“三会”中学会用数学的思维思考现实世界的重要表现形式之一.操作探究环节，借助格点的特性，构造直角三角形，通过观察，计算相关三角函数值得出结论.特别是在拓展应用环节1，考生利用原有的知识经验（思路12），通过构造平面直角坐标系，计算证明格点P就是所求作的格点，尽管繁琐，但考查了学生用代数的方法推出几何结论的能力.拓展应用环节2，学生通过严谨的计算，若满足AM2=AP·AB，则AP=22.先算出数值，后定位置，故直接连接小正方形的对角线，确定点P位置.。
初中数学专题复习网格问题
网 格 问 题1. 已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. （1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1.（2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形.2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．（1）求图（一）中四边形ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．DCBA图（一） 图（二）3. 如图，在55 的正方形网格中，每个小正 方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画 出图形．（1）从点A 出发的一条线段AB ，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上， 且长度为22；（2）以（1）中的AB 为边的一个等腰三角形ABC ，使点C 在格点上，且另两边的长 都是无理数；（3）以（1）中的AB 为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都 在格点上，各边长都是无理数．图2 F E A B C 图1 （第3题图）4. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1．（1）“小猪”所占的面积为多少？（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE 对称的图案（只画图，不写作法）；（3）以G 为原点，GE 所在直线为x 轴，GB 所在直线为y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A 的坐标是（_______，_______）．5. 图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格. △ABC 是格点三角形(顶点在网格交点处),请你完成下面两个问题:(1) 在图(1)中画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2, 且△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是2, △A 2B 2C 2与△ABC 的相似比是22.(2) 在图(2)中用与△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次), 拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词.【解说词】6. 如图，有一条小船，（1） 若把小船平移，使点A 平移到点B ，请你在图中画出平移后的小船；（5分） （2） 若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后，再航行到点B ，但要求航程最短，EC D GB FA试在图中画出点P 的位置（3分）7. ⑴如图6，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A 得到图形B ，再由图形B 得到图形C （对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；⑵如图6，如果点P 、P 3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P 2的坐标； ⑶图7是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O 顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度.图7图68. 在如图10所示的平面直角坐标系中，已知△ABC 。
中考数学复习专题之格点问题
A．
B．
C．
D．
解析： 该题考查相似三角形的判断定理，利用网格长度和 勾股定理计算出各条边的长度，再利用对应边成比 例达到判断相似的目的。
【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sinα的值是( ).
3 4
A.
4
3
B. D.
3
4 5
．
C. 5
解析: 该题在网格中考查锐角的 正弦的意义，首先要用勾 股定理计算直角三角形斜 边的长．
解析该题一道人性化的操作型开放题只要理解了轴对称图形的意义选取一条适当的直线作对称轴就可以画出符合题意的图2006年江西中考题请在由边长为正三角形组成的虚线网格中画出一个所有顶点均在格点上且至少有一条边长为无理数的等腰三角形该题画法很多只要利用等腰三角形的轴对称性结合网格特点再考虑到题目中的条件即可
解析: 从题目的语气看，似乎要画直线AB与CD 夹 角的平分线，但是网格中没有画出直线AB与 CD 的夹角，图形的特殊性就在于AC//BD， 又已知AB=CD，因此四边形ABDC是等腰梯 形，线段BD的垂直平分线就是这个等腰梯形 的对称轴．如图，M、N分别为BD、AC的中 点，直线MN上的点到直线AB、CD的距离相 等．恰好点M是格点，以MB为斜边的直角三 角形的直角边长为3和1，这样，斜边在直线 MN上，直角边为3和1的格点直角三角形有3 个，符合题意的点有4个．选C．
C1 C2 C3
B
【例17】已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所 示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点， 线段PC把Rt△OAB分割成两部分． 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似？ （注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相 y 应的点C的坐标）
初中网格中的数学问题赏析
初中网格中的数学问题赏析在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是相等的，每个小正方形的顶点叫做格点，我们把以格点的连线为边的图形叫格点图形.近年来，各地的中考试卷中频频出现这类与格点有关的数学问题，由于这类与网格有关的中考题大部分具有开放性，设计又新颖，能很好地考查学生的思维水平和思维能力，故很受命题者的青睐.但课本、作业本中这类问题的例题和习题却并不多见，在此，特作梳理，与大家一起赏析.一、网格中的三角形1. （2010·湖南）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）.A． 6 B． 7 C． 8 D． 9分析根据题意，结合图形，分两种情况讨论（如下图）：① AB为等腰△ABC 底边，符合条件的C点有4个；② AB为等腰△ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个.故选C.本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.本题是利用网格提供的相等线段来构图.2. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）.A. 5B. 4C. 3D. 2分析 A、B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A、B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4，即可使△ABC的面积为2个平方单位.符合条件的点坐标分别为：C（3，1），C（0，3），C（4，3），C（1，5）.本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况，数学分类思想是一种重要的数学思想.二、网格与三角函数1. （2010·贵州）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为 .分析过点C向上作垂线与AB相交于点D，则∠B是Rt△BCD的一个内角，邻边和斜边均由图可知，所以很容易求出cos∠B的值.或是过点A作垂线交BC的延长线于D，也可求出.本题主要考查了余弦函数的定义，正确理解定义是解题的关键.本题是利用网格提供的垂线，构建直角三角形.2. （2010·四川）如图，∠D的正切值等于 .分析根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形边的比的问题.先利用同弧所对圆周角相等，得出∠D=∠A，然后利用正切等于对边比上邻边即可求出.本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边.从网格中很容易找到相关的直角三角形.三、网格与面积1. （2006·苏州）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为平方单位.分析根据图形，可以直接写出点A的坐标是（2，-1）.分别过A、B、C三点作垂线，形成一个大矩形，求出大矩形的面积，用大矩形的面积减去三个直角三角形的面积，剩余的面积即为△ABC的面积.此类题要求学生要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积.有关面积的割补法是解决不规则图形面积的常用方法.本题充分利用网格的特点，构建规则图形.2. （2009·吉林）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是 .分析先用大正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积，△ABC的面积又等于AC乘以AC边上的高的一半，按这一等量关系列出方程，解出方程即可得出AC边上的高.四、网格与相似如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.（1）?摇判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）?摇P，P，P，P，P，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）.分析答案为：△DPP、△DPP、△DPP.本题主要考查学生识图、构图能力和对三角形相似判定知识的理解，对学生的观察力有一定的挑战性.网格中的相等线段以及相等的角对构图起到关键性的作用.五、网格与圆1. （2010· 河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 .分析连接BC，弦AB、BC垂直平分线的交点即为圆心.本题主要考察学生对垂径定理的理解，和残圆确定圆心的方法.本题是由网格特点直接看出线段的垂直平分线.2. （2010·江苏）．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形.O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（结果保留根号及π）.分析连接AB、AC，分别作它们的垂直平分线，两线交点即为圆心.利用勾股定理求出圆的半径，由图可知扇形OAB圆心角为90°，利用弧长公式即可求出弧长.本题考查了勾股定理及弧长公式的应用.解题的关键是正确地求出扇形的圆心角及半径.3. 如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,3）、B（-2,-2）、C（4,-2），则△ABC外接圆半径的长度为 .分析先求出线段AB、 AC、 BC的长度，再利用余弦定理求角A的余弦值，从而得到角A的正弦值.再利用正弦定理，即可求得直径.半径为2.连接OC因为C（4，-2），利用勾股定理得半径的长等于根号下，等于，化简为2.六、网格中的运动（2010·江苏）如图在网格图中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A相内切，应将⊙B由图示位置向左平移个单位长度.分析⊙B与⊙A可以在右边相内切，也可以在左边相内切.当⊙B与⊙A在右边相内切，移动距离为4个单位长度，当⊙B与⊙A在左边相内切，移动距离为6个单位长度.故答案为：4或6.本题主要通过圆的移动来考查圆与圆的位置关系；题目中小圆向左移动，通过观察，可知两圆内切的两种情况，分别求出移动的距离.七、网格与图形的变换1. （2010·辽宁）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）以直线BC为对称轴作△ABC的轴对称图形，得到△ABC，再将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△ABC，请依此画出△ABC、△ABC；（2）求线段BC旋转到BC过程中所扫过的面积（计算结果用π表示）；（3）求点C旋转过程所经过的路径长.分析（1）根据对称的性质，画出图形；（2）BC旋转到BC的过程中，旋转角为90°，半径为4，由弧长公式计算即可.所以B点所经过的路线长度是2π.本题考查了学生画一个图形的对称图形以及弧长公式的应用的能力.2. （2010·湖北）如图，在方格纸上△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的.如果用（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，那么点P的位置为（）.A. （5，2）B. （2，5）C. （2，1）D. （1，2）分析连接AD、CF，再做这两线段的垂直平分线，交点就是点P.根据点A、点B 的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点P的坐标.此题属于中等难度题，主要考查的知识点是旋转及其相关的性质，旋转的中心在连接对应点的垂直平分线上，做出两条垂直平分线，它们的交点就是旋转的中心点.3. （2010· 甘肃）如图均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点（小正方形的顶点）上.（1）在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.分析第（1）题可以将点A向下平移四格得到点D，或是将点A向右平移两格得到点D.第（2）题可以将点A向右平移一格得到点E，两题方法均不唯一，此题比较灵活地考查了等腰梯形、平行四边形、矩形的对称性，是道好题.八、网格与概率一只蚂蚁在如图所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为 .分析先确定黑色区域的面积与总面积的比值，此比值即为所求的概率.本题主要考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率.网格对化不规则图形为规则图形提供了帮助，方便学生求出阴影部分的面积.九、网格与规律（2006·温州）在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形，第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是，第三个“L”形图形的周长是，则第n个“L”形图形的周长是 .分析第1个“L”形图形的周长是8＝4＋4，第2个“L”形图形的周长是12＝4＋2×4，第3个“L”形图形的周长是16＝4＋3×4，……，第n个“L”形图形的周长是4＋n×4，即4n＋4．本题也可以这样来分析：平移“L”形的上面和右下的两边，第1个“L”形图形周长变成一个正方形周长加上4，即4＋4，第2个“L”形图形周长为4＋2×4，第3个“L”形图形周长为4＋3×4，第n个“L”形图形的周长是4＋n×4.用整式描述几何图形的规律在近几年的中考题中经常出现，这类题目把几何和整式结合起来考查，使试题难度增大.它既考查学生的识图能力，又考查学生的判断推理能力.通过以上分析，我们不难发现：网格中的数学问题，往往是把网格的特点与数学问题有机结合起来.网格可以提供相等的线段、相等的角、垂线、平行线、化不规则图形为规则图形等.还能够很方便地进行图形的翻折、平移、旋转等.同学们在解决这类问题时，既要有札实的数学基础，灵活运用相关数学知识，还要注意结合网格的特点来分析和解决问题.。
一文搞定初中数学网格问题
一、网格题型在中考数学中的10大考点梳理网格问题，近年来在一些省市的中考试卷中频频出现，这类问题虽然出现在小网格中，却隐藏着大智慧，从中可以开发智力，发展思维．笔者以中考试题为例，说明小网格中的大智慧．一、正方形网格（一）全网格形全网格形是指有完整的网格的题型．1．网格中求坐标例1：如图1，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A t(2，0)，A2（1，－1），A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为________．分析：由于2012是4的倍数，故A1~A4；A5～A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即求得纵坐标为1006．答案：(2，1006)2．网格与等腰三角形例2：如图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点°已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点G的个数是()(A)6(B)7(C)8(D)9分析：有两种情况：①AB为等腰△ABC底边，C在A B的中垂线上，因此，符合条件的C点有4个；②AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个，应选C．本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．3．网格与直角三角形例3：如图3，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度）．若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有()(A)4个(B)6个(C)7个(D)9个分析：根据题意可知：如图4，以原三角形AB边为公共边的三角形有4个，分别如图上D1，D2，D3，D4；以原三角形BC边为公共边的三角形有2个，分别如图上D5，D6；以原三角形AC边为公共边的三角形只有1个，如图上D．符合要求新三角形有7个，选C例4：如图5是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出_______个．分析：如图6，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABC、△ABM、△AB H和原三角形全等，所以可画出6个．5．网格与相似例5：图7所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()[来源学*科*网][来源学科网Z XX K]分析：根据勾股定理，得BC＝，AB，AC；根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BC：AB＝1：2．在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1：2，选B．例6：如图8，在3×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求图中点A到P Q的距离A H的长．分析：连结A P，AQ组成一个三角形．你可以用长方形面积减去三个直角三角形求得[来源学科网]出△A P Q的面积，而S△A P Q＝12P Q×A H，P Q的长用勾股定理计算，求得答案为755．7．网格中求三角函数[来源:Z xx k.C o m]例7：如图9，在正方形网格中有△ABC，则s i n∠ABC的值等于()（A）31010（B）1010（C）13（D）10分析：首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，最后根据锐角三角函数的定义求出s i n∠ABC的值，选B．8．网格与圆例8：如图10，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，点A 、B 、C 、E 也都在格点上，CB 与⊙O 相交于点D ，连结ED ，则∠AED 的正切值等于_______．分析：本题是锐角三角函数的定义和圆周角的运用，解答本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等把求∠AED 的正切值转化成求∠ACB 的正切值．tan ∠AED ＝tan ∠ABC ＝12AC AB ．（二）局部网格形局部网格形指是网格图案的一部分，需要通过添线补全网格的题型．例9：如图11(1)，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为()(A )90°(B )60°(C )45°(D )30°分析：先把局部网格补全成如图11(2)所示，易见△ACD 与△CBE 全等，可得出AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝45°．选C ．二、长方形网格例10：如图12，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5[来源学科网]分析：底和高分别是4和1的有两个，底和高分别是2和2的有两个，选C．二、中考网格型试题赏析近几年中考中，网格型试题可谓大放异彩，这类试题构思精巧、形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要的数学思想，当网格作为背景与双曲线、抛物线、圆、三角形结合时，更会出现许多让人意想不到的思路、方法，使我们在解题中感受到无穷的乐趣，本文撷取其中的几例进行解析，供参考．一、网格与双曲线结合例1：在边长为1的4×4方格上建立直角坐标系（如图1），在第一象限内画出反比例函数16y x =、6y x =、4y x=的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为1的10×10方格上建立直角坐标系（如图2），在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出()条．(A )12(B )13(C )25(D )50分析：易知系数k 为合数，且能分解成两个均不超过10的正整数的乘积的形式．如4＝1×4＝2×2，则反比例函数4y x=的图象经过以下3个格点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．6＝1×6＝2×3，则反比例函数6y x =的图象经过以下4个格点：(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)．经过尝试，符合条件的k 值共有13个，分别为：4，6，8，9，10，12，16，18，20，24，30，36，40．所以，经过方格中的三个或四个格点的反比例函数的图象最多可以画出13条．故选B ．二、网格与抛物线结合例2：已知图3中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？()(A )6(B )7(C )8(D )9分析：我们先解决如下问题：对于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，当x 取任意整数时，函数值y 都是整数？（为叙述方便，不妨假设抛物线开口向上．）当x ＝0时，y ＝c ；当x ＝l 时，y ＝a ＋b ＋c ．∴c 为整数，a ＋b ＋c 为整数，∴a ＋b 必为整数，又∵当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＝2a ＋2(a ＋b )＋c 是整数，∴2a 必为整数，∴a 应为12的整数倍，即a ＝12，1，32，2，…从对称的角度考虑，建立如图4所示的平面直角坐标系．(1)若抛物线的顶点在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线过原点．所画抛物线y ＝ax 2（n ＝12，1，32，2，…）最多能经过5个格点．(2)若抛物线的顶点不在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线），＝ax 2＋bx ＋c 过原点和(1，0)．所画抛物线y ＝ax (x －1)（a ＝12，1，32，2，…）最多能经过8个格点．此时a ＝12，这8个格点分别为：(－3，6)，（－2，3），（－1，1），(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)．[来源学&科&网Z&X &X &K]综上所述，抛物线最多能经过81个格点中的8个，故选C ．三、网格与圆结合例3：请你在12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．分析：从对称的角度考虑，建立如图5所示的平面直角坐标系．(1)如图5，若圆心在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过原点，所画圆最多能经过12个格点，此时圆的半径为5．这12个格点分别为：(0，5)，(3，4)，(4，3)，(5，0)，[来源学§科§网](4，－3)，（3，－4），（0，－5），（－3，－4），(－4，－3)，（－5，0），（－4，3），（－3，4）．(2)如图6，若圆心不在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过（12，12），所画圆最多能经过16个格点，此时圆的半径为2，这16个格点分别为：(2，6)，(4，5)，(5，4)，(6，2)，（6，－1），（5，－3），（4，－4），（2，－5），（－1，－5），（－3，－4），（－4，－3），(－5，－1)，（－5，2），（－4，4），（－3，5），（－1，6）．综上所述，所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．四、网格与三角形结合例4：如图7，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1网格中，点A 、B 、C 均落在格点上．(1)△ABC 的面积等于____；(2)若四边形DEF G 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图7所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法．分析：(1)S △ABC ＝12×4×3＝6；(2)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形面积是最大的．如图8，在△ABC 中，AB ＝c ，AB 边上的高CN ＝h c ，△ABC 的面积为S ，正方形的一边DE 落在AB 上，其余两个顶点F 、G 分别在BC 、AC 上．设正方形DEF G 的边长是x．所以，图8中正方形一边落在AB 边上，另两个顶点落在其他两边上时，121212744x ==+；图8中正方形一边落在BC边上，另两个顶点落在其他两边上时，图8中正方形一边落在AC 边上，另两个顶点落在其他两边上时，[来源学科网Z|X X|K]∴当正方形一边落在BC边上时，正方形DEF G的面积最大．画法一：如图9，在AB上任取一点P，作P Q⊥BC于点Q，以P Q为一边在△ABC内部画正方形P QMN；作射线BN交AC于点D，过点D作D G⊥BC于点G，作DE⊥D G交AB 于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为矩形，∵D G⊥BC，NM⊥BC，∴D G//NM，画法二：如图10，取格点P，连结P C，过点A画P C的平行线，与BC交于点Q，连结P Q 与AC相交得点D；过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画P C的平行线，与CB相交得点G、F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为平行四边形，[来源学科网]由格点P的位置易判断P C＝CB，且P C⊥CB，∴D G⊥CB，∴平行四边形DEF G为矩形。
初中数学精品教案： 网格问题
《0101网格问题》微设计学习目标:1.理解格点弦图的结构及所含数学知识；2.通过作图和计算设计所要求的格点弦图；3.探寻外正方形边长为x的主要格点弦图，并总结方法.学习重点：探寻外正方形边长为x的主要格点弦图.学习难点：当格点弦图中内正方形是斜方向时，根据外正方形边长求内正方形边长，是本节课难点.学习过程：一、问题背景网格是同学们从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，且以网格为背景的试题构思精巧，形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要数学思想。
正因如此，近几年高频出现以网格为背景的选择、填空压轴题，这类压轴题综合性强，有一定的难度，本节课我们以一道中考压轴题为例，一起来探寻网格试题的解题思路，总结解题经验。
二、例题解析（2018·湖州市中考第16题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD65EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD65EFGH的面积的所有可能值是（不包括5）．1.思路探寻问题1：请仔细审题，观察格点弦图，思考正方形EFGH与格点直角三角形DGC有什么关系？（意图：通过问题1引导学生理清弦图中两个正方形与直角三角形之间的关系，从而将正方形EFGH的可能性转化为格点直角三角形DGC的可能性，对学生思考的方向只有指向性.）问题2：你还能再画出一个以65为斜边长，但区别于图1中△GCD的格点直角三角形吗？（意图：如图2-1和2-2，在网格图中画这种直角边为纵向和横向的直角三角形是学生的思维习惯，所以通过在网格图中尝试画图，结合对弦图的理解，学生容易画出四个直角边为1和8的格点直角三角形围成一个新弦图，从而得到正方形EFGH的面积是49，但受图1的影响，往往会忽略直角边为4和7的情况.）图2-1 图2-2在原网格图基础上，可以作出如图2-1的格点直角三角形，若以此直角三角形构成格点弦图，则正方形EFGH的边长为8-1=7，面积为49.但是仔细审题“当格点弦图中的正方形ABCD的边长为65时”，发现65不一定按照图1的格点线段，通过勾股定理发现2222=+=+，所以长651847为65的格点线段还可以如图2-2所示，则以此直角三角形构成格点弦图，则正方形EFGH的边长为7-4=3，面积为9.问题3：除了直角边为横纵方向，在网格中，是否还存在类似图1的斜方向直角边与斜边CD构成格点直角三角形？（意图：如图3，突破思维定势，引导学生进行分类，按直角边的方向分为“横纵”和“斜”两种情况.但还存在几种情况？直角边各是多少？怎么求？这些问题都是难点，学生通过画图难以准确解决.）问题3：仔细观察图1中的格点直角三角形GCD ，两条直角边的长具有怎样的数量关系？在网格中，怎么样的两条线段可以互相垂直？（意图：如图4，从已有的格点图出发，观察分析，总结网格图中两条格点线段互相垂直所满足的条件，为后续寻找其它弦图情况奠定基础.）在图1中，:3:2GD GC .如图4，根据“SAS ”，可以证明△PQG ≌△GLM ，∠PGM =90°，也就是说，在网格中，若格点直角三角形的一条直角边长为5的整数倍，则另一条直角边也必须是5的整数倍，为了方便，这里我们记5为“网格元长度”，类似这样的“网格元长度”还可以是2，10，13等，这些数的平方为两个正整数的平方和，为了方便，这里记为“平方和数”.问题4：可否借助方程，计算斜边长为65的所有“斜格点直角三角形”的直角边长？问题5：那么正方形EFGH 的面积的所有可能值是多少？（意图：借助问题3中总结的规律，结合勾股定理和方程，对所有可能进行量化讨论，最终确图3图4定斜边长为65的所有“斜格点直角三角形”的直角边长，如图5-1和图5-2所示.） 假设斜边长的65的“斜格点直角三角形”的直角边长都为整数倍的元长度x ，分别为mx 和nx （m ，n 为正整数），则满足222265m x n x +=，()22265m n x +=，此时22m n +以及2x 都是“平方和数”，因为65513=⨯，且22512=+和221323=+都是“平方和数”，所以斜边长的65的“斜格点直角三角形”的直角边长可以为25和35或者13和213，如图5-1和图5-2所示.若以图5-2的格点直角三角形构格点弦图，则则正方形EFGH 的边长为2131313-=，面积为13.综上所示，当格点弦图中的正方形ABCD 的边长为65时，正方形EFGH 的面积的所有可能值是49或9或13.2.方法归纳问题1：若格点弦图内部正方形的边是纵横方向的，则定义这类格点弦图为“内正格点弦图”，若“内正格点弦图”中外正方形的边长为x ，则x 需满足什么条件？问题2：若格点弦图内部正方形方向是斜的，则定义这类格点弦图为“内斜格点弦图”，若“内斜格点弦图”中外正方形的边长为x ，则x 需要满足什么条件？（意图：并再次通过数形结合，利用勾股定理和方程，对格点弦图内外正方形边长进行分析，总结出格点弦图内外正方形边长的一般规律.）根据以上思路分析，假设构成“内斜格点弦图”的直角三角形的直角边为整数倍的格点元长度22a b +（其中a ，b 为正整数），直角边长分别为22m a b +，22n a b +（其中m ，n 为正整数），若“内斜格点弦图”中大正方形的边长为x ，则22222()()x m n a b =++，既x 的平方必须能分解成两个“平方和数”的因数.图5-1 图5-2问题3：除了以上计算的方法，在网格问题中，我们还可以运用哪些比较特殊的方法？（意图：网格题有它的特殊性，具有较强的可操作性，在本题中，既可以直接作图找到所有的“内正格点弦图”，也可以借助圆规帮助探寻所有的“内斜格点弦图”.）3.拓展延伸时，小正方形的面积的所有可能值是 .若格点直角三角形的直角边是纵横方向，则存在2222125510211=+=+，所以直角边可以是5和10或者2和11，此时弦图中小正方形的面积可以是25或81；若格点直角三角形的直角边是斜方向，则存在()()22221255251234=⨯=++，所以直角边可以是5和10或者和25或5.25或81或5.三、解后反思。
初中数学专题复习网格型问题(含答案)
专题训练22 网格型问题一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列图形中只能用其中一部分平移可以得到的是 （ ）2．如图，方格纸上一圆经过（2 , 5）、（2 , -3）两点，且此两点为圆与方格纸横线的切点，则该圆圆心的坐标为（ ）A ．（2, -1）B ．（2, 2）C ．（2, 1）D ．（3, 1）3．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（ ）A.5B.4C.3D.24.如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是（ ）A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25.如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()a b ，,那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）Ａ.(2)a b --， Ｂ.(2)a b --， C.(22)a b --， Ｄ.(22)b a --， 6. 下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是 （ ）ABCD（第2题）（第3题）DACB(第4题)（第5题）x (小时)(千米)y 012345153045甲乙（第14题）7．已知：如图ABC △的顶点坐标分别为(43)A --，，(03)B -，，(21)C -，，如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达1B 点，若设ABC △的面积为1S ，1AB C △的面积为2S ，则12S S ，的大小关系为（ ）A ．12S S >B ．12S S =C ．12S S <D ．不能确定8. 如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=2x的图像，则关于x 的方程kx+b=2x的解为( ) A.x l =1，x 2=2 B.x l = -2，x 2= -1 C.x l =1，x 2= -2 D.x l =2，x 2= -1 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.如图，∠1的正切值等于__________．10. 线段AB 、CD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，O 为坐标原点。
关于网格图形问题
关于网格图形问题我们知道，能够完全重合的两个图形，叫做全等形。
请你把下面4×4的正方形方格图形沿着虚线分割成两个全等的图形。
〖解〗：分割方法如下：〖反思〗：1、还有其它分割方法吗？2、从上面的分割方法中，你能发现分割的规律吗？题目：在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线与点G，一等腰三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B，（1）、在图1中，请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想。
（图1）（2）、当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一直角边仍与AC边在同一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA交BA于点E，此时，请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE+DF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想。
（图2）（3）、当三角尺在（2）、的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）（图3）〖点评〗：本题以图形的平移为素材，要求学生发现并证明自己所得的结论，将合情推理与逻辑推理融为一体，突出对数学思考的考察。
本题选自《2008年安徽省初中毕业学业考试纲要》数学试题样卷，仅题目文字就超过300字，又出现动点和平移问题，实在可以称之为一个“庞然大物”，如果你是一位初中生，千万不要被它吓到。
仔细审题，你会发现实际考察平时学习的两个小问题：1、等腰三角形两腰上的高相等（应用三角形的全等或三角形的面积公式证明）；2、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于腰上的高（综合应用等腰三角形的性质、三角形的全等、矩形的判定和性质或三角形的面积公式证明）。
所以，在第一轮数学复习时，要注意概念复习和基础题的复习，不要脱离课本，注重数学思想和数学方法的复习。
对一些比较典型的题目，进行一题多思，一题多变，培养我们分析问题和解决问题的能力，以适应中考的需要。
格点问题解法探析
格点问题解法探析龚㊀杰(江苏省南通市海门区海南中学㊀２２６１００)摘㊀要:格点问题是一种具有创新意味的题目ꎬ是检验学生数学学习能力深度的检验标尺ꎬ是数学综合知识与方法的典型代表ꎬ值得一线教师深思和探究.关键词:格点ꎻ创新ꎻ学习能力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)３５－００１１－０３收稿日期:２０２２－０９－１５作者简介:龚杰(１９８３.２－)ꎬ女ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀格点问题是数学创新题的重要题型之一ꎬ如何熟练掌握并灵活解答这类问题ꎬ值得我们进行深入探究.以下就格点问题进行探索.１作指定边上的高ꎬ三等分三角形的面积例１㊀如图１是由小正方形组成的６ˑ６网格ꎬәＡＢＣ的三个顶点Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ都在格点上.用无刻度的直尺ꎬ运用所学的知识作图(保留作图痕迹).(１)在图１中作әＡＢＣ的高ＣＤꎻ图１(２)在图２㊁图３中ꎬ分别用两种不同的方法ꎬ将әＡＢＣ分割成三个面积相等的三角形.图２图３分析㊀(１)如图１ꎬ取点Ｅꎬ连接ＣＥꎬ交ＡＢ于点Ｄꎬ用ＳＳＳ证明әＥＢＣɸәＢＦＡꎬ利用互余原理证明.(２)方法１㊀取ＢＣ的中点ꎬ构造三角形ＡＢＣ的一条中线ꎻ利用三角形中位线定理ꎬ确定ＡＢ的中１１点ꎬ确定另外一条中线ꎬ中线的交点就是三个三角形的公共顶点ꎬ与三角形ＡＢＣ的顶点构成的三角形就是所求.方法２㊀如图３ꎬ连接ＡＤꎬ则ＣＦ＝ＦＥ＝ＥＤ＝１ꎬ利用平行四边形的判定ꎬ平行线分线段成比例定理ꎬ确定ＡＣ的三等分点ꎬ利用等底同高的三角形面积相等ꎬ实现解题目标.解㊀(１)如图ꎬ取点Ｅꎬ连接ＣＥꎬ交ＡＢ于点Ｄꎬ则ＡＦ＝ＣＢ＝４ꎬＦＢ＝ＢＥ＝２ꎬＡＢ＝ＣＥ＝２２＋４２＝２５ꎬ所以әＥＢＣɸәＢＦＡꎬ所以øＢＡＦ＝øＥＣＢꎬ因为øＡＢＦ＋øＢＡＦ＝９０ʎꎬ所以øＡＢＦ＋øＥＣＢ＝９０ʎꎬ所以øＢＤＣ＝９０ʎꎬ于是ＣＤ即为所求的高.(２)方法１㊀如图２ꎬ取ＢＣ的中点Ｄꎬ连接ＡＤꎬ则ＡＤ是三角形ＡＢＣ的中线ꎬ取ＢＧ的中点Ｈꎬ设Ｈ所在直线与ＡＢ的交点为Ｍꎬ因为ＨＭʊＡＧꎬＢＨ＝ＨＧꎬ所以ＨＭ是әＡＢＧ的中位线ꎬ于是Ｍ是ＡＢ的中点ꎬ连接ＣＭ交ＡＤ于点Ｆꎬ则әＡＢＦ㊁әＡＣＦ㊁әＢＣＦ即为所求.方法２㊀如图３ꎬ连接ＡＤꎬ则ＣＦ＝ＦＥ＝ＥＤ＝１ꎬ连接ＥＧꎬ交ＡＣ于点Ｍꎬ因为ＡＧ＝ＤＥ＝１ꎬＡＧʊＤＥꎬ所以四边形ＡＧＥＤ是平行四边形ꎬ所以ＡＤʊＧＥ.连接ＦＨꎬ交ＡＣ于点Ｎꎬ因为ＧＨ＝ＥＦ＝１ꎬＧＨʊＥＦꎬ所以四边形ＥＧＨＦ是平行四边形ꎬ所以ＡＤʊＮＦꎬ所以ＭꎬＮ是ＡＣ的三等分点ꎬ则әＡＢＭꎬәＭＢＮꎬәＮＢＣ即为所求.点评㊀画图时ꎬ把握好如下几个关键点:准确理解等腰三角形的性质ꎬ灵活选择三角形全等ꎬ是解题的基础.灵活运用平行四边形的判定和性质ꎬ也是画图时重要依据之一ꎬ也是画图时需要思考的重要方向ꎻ准确把握和运用三角形中位线定理也是画图的重要知识支撑ꎬ也是知识综合能力重要体现.２作指定底边的等腰三角形例２㊀如图４ꎬ在１０ˑ１０的正方形网格中ꎬ点ＡꎬＢ均在格点上ꎬ请按要求画图.图４在图中找一点Ｃꎬ使得әＡＢＣ是以ＡＢ为底的等腰三角形.分析㊀以最左下端点为原点ꎬ以水平格线为ｘ轴建立平面直角坐标系ꎬ确定ＡꎬＢ的坐标ꎬ设Ｃ(ｘꎬｙ)ꎬ根据ＣＡ＝ＣＢꎬ建立方程ꎬ化简得到点Ｃ的运动直线解析式ꎬ根据点Ｃ是格点ꎬ确定方程的整数解ꎬ从而确定等腰三角形的位置.解㊀如图４ꎬ以最左下端点为原点ꎬ以水平格线为ｘ轴建立平面直角坐标系ꎬ则点Ａ(５ꎬ５)ꎬ点Ｂ(６ꎬ２)ꎬ设Ｃ(ｘꎬｙ)ꎬ因为ＣＡ＝ＣＢꎬ所以(ｘ－５)２＋(ｙ－５)２＝(ｘ－６)２＋(ｙ－２)２ꎬ㊁所以ｙ＝ｘ＋５３ꎬ因为点Ｃ是格点ꎬ所以ｘꎬｙ都是整数.当ｘ＝１时ꎬｙ＝２ꎬ此时得到Ｃ３(１ꎬ２)ꎬ连接Ｃ３ＡꎬＣ３Ｂꎬ则әＣ３ＡＢ即为所求ꎻ当ｘ＝４时ꎬｙ＝３ꎬ此时得到Ｃ１(４ꎬ３)ꎬ连接Ｃ１ＡꎬＣ１Ｂꎬ则әＣ１ＡＢ即为所求ꎻ当ｘ＝７时ꎬｙ＝４ꎬ此时得到Ｃ２(７ꎬ４)ꎬ连接Ｃ２ＡꎬＣ２Ｂꎬ则әＣ２ＡＢ即为所求ꎻ当ｘ＝１０时ꎬｙ＝５ꎬ此时得到Ｃ４(１０ꎬ５)ꎬ连接Ｃ４ＡꎬＣ４Ｂꎬ则әＣ４ＡＢ即为所求ꎻ选择一种位置ꎬ画图如图４.点评㊀画图时ꎬ要把握好如下几点:正确理解等腰三角形的判定ꎬ这是画图的基础所在ꎻ学 ２１会把点的位置确定转化为点的坐标来求解ꎬ借助方程的整数解实现解题目标ꎬ这种数学思维显得很重要.３画菱形㊁正方形例３㊀如图５ꎬ在每个小正方形的边长均为１的方格纸中ꎬ有线段ＡＢ和线段ＣＤꎬ点Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ均在小正方形的顶点上.图５(１)在方格纸中西出以ＡＢ为对角线的正方形ＡＥＢＦꎬ点Ｅ㊁Ｆ在小正方形的顶点上ꎻ(２)在方格纸中面出以ＣＤ为一边的菱形ＣＤＭＮꎬ点Ｍ㊁Ｎ在小正方形的顶点上ꎬ且菱形面积为８ꎻ请直接写出әＥＦＮ的面积.分析㊀(１)先计算ＡＢ＝２５ꎬ后计算正方形的边长为１０ꎬ利用勾股定理的逆定理判定有一个角是直角即可.(２)根据菱形的边长为１０ꎬ画出符合题意的图形即可ꎬ不是唯一的ꎬ面积为底乘以高计算.解㊀如图５ꎬȵＡＢ＝４２＋２２＝２５ꎬʑ正方形的边长为１０ꎬ作线段ＡＥ＝ＥＢ＝ＢＦ＝ＦＡ＝１０ꎬʑ四边形ＡＥＢＦ是菱形ꎬ因为ＡＦ２＋ＦＢ２＝１０＋１０＝２０＝(２５)２＝ＡＢ２ꎬ所以øＡＦＢ＝９０ʎꎬ故四边形ＡＥＢＦ是正方形即为所求.(２)如图５ꎬ菱形的边长为１０ꎬ作线段ＣＤ＝ＤＭ＝ＭＮ＝ＮＣ＝１０ꎬ所以四边形ＣＤＭＮＦ是菱形ꎬʑәＥＦＮ的面积为１２ˑ２ˑ４＝４.点评㊀通过问题的解决ꎬ有如下几点感悟:灵活运用勾股定理ꎬ用直尺画图即可ꎻ画图也有结论的开放型特点ꎬ解答时ꎬ需要展开视野ꎬ深刻思维ꎬ在作图中培养数学发散思维的能力ꎻ作图与计算是两种能力的有机交融ꎬ作图是动手操作能力ꎬ计算是数学最基础最基本的计算能力ꎬ作图讲究技能ꎬ计算也要讲究技巧ꎬ这也提醒大家ꎬ常态学习中ꎬ要重视和运用每一个知识点ꎬ不能因为思维定势ꎬ思维习惯ꎬ计算习惯ꎬ而错失历练发散思维的好机会.４解后反思首先ꎬ格点正方形问题题型新颖ꎬ在考试中会让学生耳目一新ꎬ颇感兴奋ꎻ其次ꎬ格点图形简单ꎬ考查知识明确ꎬ解答时需要用如下方法解决:通常把格点正方形的边长看成１ꎬ便于计算ꎻ格点线段ꎬ连接格点所得到的线段ꎻ格点线段一定是某个直角三角形的斜边ꎻ运用勾股定理一定可求格点线段的长度ꎻ运用勾股定理逆定理可以判定格点三角形的形状ꎻ把特殊三角形ꎬ特殊四边形的性质ꎬ判定和性质ꎬ往往也是解题的重要思考方向ꎬ甚至是解题的首选.参考文献:[１]周云云ꎬ左效平.中考格点问题分类例析[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２１(１９):２７－２９.[２]崔璐ꎬ丁福军.以数学史名题为载体的中考试题特征分析 以２０１７－２０２０年浙江省中考卷为例[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２１(１９):２４－２７.[３]余小芬.研究中考试题的几个视角[Ｊ].中学数学杂志ꎬ２０１８(０８):５７－６１.[责任编辑:李㊀璟]３１。
人教版初中数学八年级上册第十三章 课题学习 最短路径问题
l
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
作法：
B
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； A
C
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
l
则点C 即为所求．
B′
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. C
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形，
C′ D ′
于是AD=FD′, 同理，BE=GE′，
E E′
由两点之间线段最短可知，GF最小.
BG
课堂检测
13.4 课题学习 最短路径问题/
拓广探索题
巩固练习
13.4 课题学习 最短路径问题/
如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河 边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人 设计出最短的放牧路线.
解：如图AP+AB即为最 短的放牧路线.
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
知识点 2 利用平移知识解决造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）？
解：连接AB,与直线l相交于一点C.
A
C
根据“两点之间，线段最
l
短”，可知这个交点即为所求.
B
探究新知
13.4 课题学习 最短路径问题/
最新初中数学-网格作图题
专题复习(三)网格作图题1．(2016·合肥模拟)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)，按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2.(1)以A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB1C1D1；(2)以A为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，且放大到原来的两倍，得到四边形AB2C2D2.2．(2016·蜀山区二模)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出B1点的坐标；(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，写出B2点的坐标．3．(2016·安徽二模)如图，已知A(2，3)，B(1，1)，C(4，1)是平面直角坐标系中的三点．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；(3)若△ABC中有一点P坐标为(x，y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．(3)根据题意，可得P的对应点P2的坐标为(－x，y－3)．4．(2016·芜湖模拟)如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在网格的格点上．将△ABC向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转：第1次，将△ABC绕点B 顺时针旋转90°得到△A1BC1；第2次，将△A1BC1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B1C2；第3次，将△A1B1C2绕点C 2顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2；第4次，将△A 2B 2C 2绕点B 2顺时针旋转90°得到△A 3B 2C 3，依次旋转下去．(1)在网格中画出△A′B′C′和△A 2B 2C 2； (2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好为△A′B′C′.解：(1)△A′B′C′和△A 2B 2C 2的图象如图所示.(2)通过画图可知，△ABC 至少在第8次旋转后得到△A′B′C′.5.如图，△ABC 的三个顶点和点O 都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1.(1)将△ABC 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；(2)请画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2和△ABC 关于点O 成中心对称；(3)在(1)、(2)中所得到的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成轴对称吗？若成轴对称，请画出对称轴；若不成轴对称，请说明理由．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1，即为所求．(2)如图所示，△A 2B 2C 2，即为所求．(3)如图所示，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成轴对称，直线a ，b 即为所求．6．(2016·阜阳校级二模)如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 在小正方形的顶点上．将△ABC 向下平移2个单位得到△A 1B 1C 1，然后将△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 1.(1)在网格中画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 1；(2)计算线段AC 在变换到A 2C 1的过程中扫过区域的面积．(重叠部分不重复计算)解：(1)如图，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 1为所作．(2)线段AC 在变换到A 2C 1的过程中扫过区域的面积S ＝2×2＋90·π·（22）2360＝4＋2π.7．(2016·昆明)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；(3)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．解：(1)如图所示．(2)如图所示．(3)找出A关于x轴的对称点A′(1，－1)，连接BA′，与x轴交点即为P.如图所示，点P坐标为(2，0)．8．(2016·濉溪县模拟)如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，3)，B(－1，0)，C(4，0)．(1)经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，请直接写出此时点C 的对应点C1坐标；(不必画出平移后的三角形)(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；(3)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为1∶4，请你在网格内画出△AB2C2.解：(1)∵经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，∴A点向下平移3个单位再向左平移3个单位，故C1坐标为(1，－3)．(2)如图所示，△A′BC′即为所求，A′点的坐标为(－4，4)．(3)如图所示，△AB2C2即为所示．15．（2010年浙江省东阳县）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b= n，可以使：（a+c）⊕b= n+c，a⊕（b+c）=n－2c，如果1⊕1=2，那么2010⊕2010= ．【关键词】阅读理解【答案】-200722．（2010年山东省青岛市）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【关键词】函数的应用【答案】解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+-352b x a=-=. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． ······· 3分（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.···· 6分（3）法一：∵10a =-<0，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵x ≤32， ∴当30≤x ≤32时，w ≥2000． 设成本为P （元），由题意，得： 20(10500)P x =-+ 20010000x =-+ ∵200k =-<0， ∴P 随x 的增大而减小. ∴当x = 32时，P 最小＝3600. 答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．1．（2010年浙江省东阳市）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a ⊕b = n ，可以使：（a+c ）⊕b= n+c ，a ⊕（b+c ）=n －2c ，如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 = ▲ ．关键词：阅读理解答案：-20071、（2010年宁波市）《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础，它是下列哪位数学家的著作（ ）法二：∵10a =-<0， ∴抛物线开口向下.∴当30≤x ≤40时，w ≥2000．∵x ≤32，∴30≤x ≤32时，w ≥2000．∵10500y x =-+，100k =-<， ∴y 随x 的增大而减小. ∴当x = 32时，y 最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小， 成本越小， ∴201803600⨯=（元）.。
环环设问把握本质 步步探究提升素养——“无刻度直尺网格作图———垂直平分线”的课堂实录与思考
教学导航２０２２年７月下半月㊀㊀㊀环环设问把握本质㊀步步探究提升素养无刻度直尺网格作图 垂直平分线 的课堂实录与思考◉湖北省武汉市吴家山第二中学㊀李幽兰㊀尹姝畅◉湖北省武汉市吴家山第三中学㊀万建光㊀㊀摘要:本文中记录了人教版八年级上册数学 无刻度直尺网格作图 垂直平分线 这堂课的课堂实况,课堂上,教师结合学生所学知识循序渐进地探究无刻度直尺画线段的垂直平分线的几种作法,重视学生几何素养的培养,重建知识的架构和方法的生成．关键词:无刻度直尺网格作图;垂直平分线;旋转;平移１引言我国著名数学家华罗庚曾说过: 形缺数时难入微,数缺形时少直观． 几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用．无刻度直尺网格作图题,就是只能用无刻度的直尺在网格中取点㊁画直线㊁射线或线段,画出符合题目要求的图形．随着素质教育的不断深入以及试题改革的不断发展,无刻度直尺作图题逐渐受到命题人关注,在近几年的中考试题中频频出现．２内容与地位无刻度直尺网格作图这类题目需要学生具备较强的几何知识的思维能力和综合运用能力,既考查学生的几何直观㊁推理能力,又考查学生的应用能力和创新能力,促进学生的核心素养的形成[１]．«义务教育数学课程标准»中明确要求,学生能用尺规作出一条线段的垂直平分线,过一点作已知直线的垂线．本节课是基于人教版八年级数学上册前三章内容的期中复习专题课,将三角形全等的性质与判定㊁线段垂直平分线的性质与判定㊁等腰三角形的性质等知识有机融合,探究作线段垂直平分线的基本方法,培养学生识图与作图的能力．３教学目标与重难点本节课的教学目标:(１)掌握运用无刻度直尺作已知线段垂直平分线的基本方法;(２)解决线段垂直平分线的作图问题,增强学生几何直观及操作的能力;(３)渗透转化的数学思想,提升学生几何综合素养．本节课的重难点:掌握运用无刻度直尺作已知线段垂直平分线的基本方法．４课堂实录４．１导思求学师:同学们,今天这节课我们一起来学习 无刻度直尺网格作图 垂直平分线 ,首先回顾一下线段垂直平分线的定义．生１:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线．师:回答正确．作线段的垂直平分线,必须抓住两个要点:中点和垂直． 磨刀不误砍柴工 ,在学习如何作线段垂直平分线之前,我们先来弄清楚怎样在网格中作出线段的中点和垂线．基本作图１:作线段的中点．在正方形网格中,有如图所示(图１㊁图２)的线段A B ,请用无刻度直尺作出线段A B 的中点C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示．图１㊀图２学生发现作法,教师点评:根据格线的平行或垂直关系取格点构造 ８字形三角形全等是网格中作线０２Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２２年７月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀段中点的基本方法．构造８字形的取点方式不唯一,作线段中点的方法也不唯一．基本作图２:过已知点作线段的垂线．请在图３㊁图４中用无刻度直尺分别过点B 和点C 作BD ʅA B ,CE ʅA B ．图３㊀图４图５师:如图３,当线段A B 在格线上时,点B 所在的竖格线上的点都满足B D ʅA B ,点C 所在的竖格线上的点都满足C E ʅA B ．如图４,当线段A B 不在格线上时,如何作垂线呢在作图前,我们先来思考一下,如图５,如果将矩形A G B F 绕点B逆时针旋转９０ʎ,得到矩形DM B C ,则旋转前后的对角线A B 和B D 有什么位置关系为什么?师生活动:学生观察思考,易说明A B ʅB D ,直线B D 即为过点B 所求的垂线．追问:那么如何过线段外格点C 作C E ʅA B生２:可以将刚才得到的线段B D 平移,平移后的线段还是与A B 垂直,点B 向下移２格是点C ,所以点D 向下移２格就是点E ,连接C E ,直线C E 即为所求A B 的垂线C E ．师:非常精彩!我们观察到线段A B 横２格,纵３格 ,它的垂直线段B D 和C E 都是 横３格,纵２格 ,所以我们可以归纳得出:线段 横a 纵b 的垂直线段为线段 横b 纵a ．设计意图:通过两个基本作图,学生掌握网格中线段在格线上㊁线段不在格线上的中点作法和过一点作其垂线的基本方法,为下一环节作线段垂直平分线做好准备．４．２共研释疑问题１㊀请作出线段A B 的垂直平分线C D ．(见图１)生３:图６可以直接取A B 的中点C ,点C 所在的竖格线即为线段A B 的垂直平分线．师:回答非常棒!抓住垂直平分线定义中的两个关键要素:中点和垂直．这就是我们在网格中作线段垂直平分线的基本方法和基本思路．方法(１):取中点作垂线．图６㊀图７追问:对于图７,线段A B 的长度为５个单位长度,它的垂直平分线怎么画呢?中点怎么取?垂线怎么画生４:(展示作图)可以构造８字形全等三角形来取中点,作垂线的话可以同样方式再取一个满足条件的点．图８师:活学活用不错哦!既然我们可以取出垂直平分线上(与线段两端点距离相等)的１个点,那么我们也可以取出２个这样的点,而且不限于在格线上,在方格内可以通过连小正方形对角线的方式找到其中心(如图８),因此得到方法(２):取２个到线段端点距离相等的点再连线．问题２㊀当线段A B 不在格线上,如何作它的垂直平分线?师:我们可以很容易画出线段的中点和垂线,有什么方法使线段的垂线经过中点呢?师生活动:学生小组讨论,交流作法,然后展示(如图９Ｇ１,９Ｇ２)．图９Ｇ１㊀图９Ｇ２教师对学生的作法给予正面评价,指出需注意的问题,引导学生比较这几种方法,总结出作线段垂直平分线的方法(３):平移已知垂线经过中点．注意找到线段平移前后对应点的对应关系．问题３㊀如果改变网格的行列数,又怎样作线段A B 的垂直平分线呢?图１０Ｇ１㊀图１０Ｇ２１２Copyright ©博看网. All Rights Reserved.教学导航２０２２年７月下半月㊀㊀㊀师生活动:学生独立思考,交流讨论,展示作法．引导学生联系前面总结的方法,作出线段A B 的一条垂线E F ,然后平移这条垂线经过中点C ,得到所要求的垂直平分线,如图１０Ｇ１;进一步引导学生将әA C E 绕点C 顺时针旋转９０ʎ得到әD C F ,确定点D 的位置,连C D 即可,如图１０Ｇ２．这就是方法(４):旋转三角形作垂线．设计意图:通过问题１,２,３的作图,学生掌握在网格中用无刻度直尺作线段垂直平分线的基本方法,即主要是平移和旋转这两大图形变换的应用．其中图１０Ｇ１和图１０Ｇ２可转化为基本作图,渗透化归的思想方法．学生在动手实践和小组交流中感知无刻度直尺作图的解题特点,经历知识和方法的生成过程,从而探究发现和总结方法．图１１４．３拓展应用(２０２１武汉中考第２０题)如图１１是由小正方形组成的５ˑ７网格,每个小正方形的顶点叫做格点,矩形A B ＧC D 的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示．在图１２中,先画әB C D 的高C G ,再在边A B 上画点H ,使B H ＝DH．图１２师生活动:学生交流作法,展示作法,如图１２．教师引导学生明确解题思路,对学生的作法给予肯定评价,掌声鼓励,并做相关补充．设计意图:这道题目是２０２１年武汉中考第２０题第(２)问,虽然有一定难度,但通过本节课内容的铺垫和学习后,学生较易读懂题目的意图,明确解题思路,攻克中考题目,体会成功的喜悦,感受 学习有用的数学 ．４．４总结归纳师:通过本节课的学习,简单谈谈你的收获．师生活动:学生分享收获,学生之间互相补充,教师积极引导㊁评价．设计意图:回顾这节课学习的知识和方法,加深对所学知识的理解,培养学生善于总结的良好习惯．５教学启示与思考５．１注重知识的生长点 与 延伸点 选择恰当的问题是学生有效参与课堂的关键．虽然学生熟悉线段垂直平分线,然而要在网格中用无刻度直尺作出线段垂直平分线还是存在较大难度．在设计这堂课时,教师由浅入深,引导学生紧扣垂直平分线的定义,分线段在网格的格线上和不在格线上两种情况探讨,最后减少网格数逐步增加难度,总结平移和旋转两大基本方法．让学生在环环递进的问题中体会图形的联系与变化,在动手实践过程中积累活动经验㊁展现思考过程㊁交流收获体会㊁激发创造潜能．从低起点的问题先导㊁系统化地建构联系,到螺旋式上升的变式拓展,多维度的深度融合,契合学生的最近发展区,实现知识的生成习得与延伸拓展．５．２注重知识的理解生成与应用内化数学知识的教学,应注重学生对所学知识的理解,体会数学知识之间的关联．对于尺规作图,学生不仅要知道作图的步骤,而且还要知道实施这些步骤的理由．为了帮助学生真正理解数学知识,教师从考虑教学内容的特点出发,组织学生开展作图操作活动,引导学生思考分析,运用知识判断不同情形的不同作法,总结概括方法,思考几种方法之间的联系,建立起学生的学习经验与数学知识生成过程之间的联系,让学生真正理解知识,印象深刻．５．３注重教会学生学习方法和总结方法授人以鱼不如授人以渔．传授学生知识,不如传授学生学习方法;传授学生学习方法,不如引导学生自己总结方法[２]．本节课的目的并不局限于教学内容,教师以知识为载体,教会学生思考和分析问题的方法,培养学生解决问题的能力,养成总结的习惯．６结语教师要善于将教师的 教 和学生的 学 结合起来,在环环设问和步步探究中发挥学生的主观能动性,提升学生的思维能力和几何素养,重视学生知识的架构和方法的生成,让学生成为学习的主人．参考文献:[１]陶增元．无刻度直尺作图的解题思路分析[J ]．初中数学教与学,２０２０(１３):３２Ｇ３４．[２]曹磊．教会学生学会 主动 学习 浅谈中学生数学学习指导[J ]．新智慧,２０１９(３５):１０１．Z ２２Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
初中数学网格问题
网格题型10大考点梳理网格问题，近年来在一些省市的中考试卷中频频出现，这类问题虽然出现在小网格中，却隐藏着大智慧，从中可以开发智力，发展思维．笔者以中考试题为例，说明小网格中的大智慧．一、正方形网格（一）全网格形全网格形是指有完整的网格的题型．1．网格中求坐标例1：如图1，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A t(2，0)，A2（1，－1），A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为________．分析：由于2012是4的倍数，故A1~A4；A5～A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即求得纵坐标为1006．答案：(2，1006) 2．网格与等腰三角形例2：如图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点°已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点G的个数是( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9分析：有两种情况：①AB为等腰△ABC底边，C在A B的中垂线上，因此，符合条件的C点有4个；②AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个，应选C．本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．3．网格与直角三角形例3：如图3，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度）．若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有( )(A)4个(B)6个(C)7个(D)9个分析：根据题意可知：如图4，以原三角形AB边为公共边的三角形有4个，分别如图上D1，D2，D3，D4；以原三角形BC边为公共边的三角形有2个，分别如图上D5，D6；以原三角形AC边为公共边的三角形只有1个，如图上D7．符合要求新三角形有7个，选C 4．网格与全等例4：如图5是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出_______个．分析：如图6，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABC、△ABM、△AB H和原三角形全等，所以可画出6个．5．网格与相似例5 ：图7所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )分析：根据勾股定理，得BC＝，AB＝2，AC＝10；根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BC：AB＝1：2．在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1：2，选B．6．网格中求距离例6：如图8，在3×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求图中点A到P Q的距离A H的长．分析：连结A P，AQ组成一个三角形．你可以用长方形面积减去三个直角三角形求得出△A P Q的面积，而S△A P Q＝12P Q×A H，P Q的长用勾股定理计算，求得答案为755．7．网格中求三角函数例7：如图9，在正方形网格中有△ABC，则s i n∠ABC的值等于( )（A）31010（B）1010（C）13（D）10分析：首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，最后根据锐角三角函数的定义求出s i n∠ABC的值，选B．8．网格与圆例8：如图10，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，点A、B、C、E也都在格点上，CB与⊙O相交于点D，连结ED，则∠AED的正切值等于_______．分析：本题是锐角三角函数的定义和圆周角的运用，解答本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等把求∠AED的正切值转化成求∠ACB的正切值．tan∠AED＝tan∠ABC＝12 ACAB．（二）局部网格形局部网格形指是网格图案的一部分，需要通过添线补全网格的题型．例9：如图11(1)，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°分析：先把局部网格补全成如图11(2)所示，易见△ACD与△CBE全等，可得出AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠ABC＝45°．选C．二、长方形网格例10：如图12，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5分析：底和高分别是4和1的有两个，底和高分别是2和2的有两个，选C．二、中考网格型试题赏析近几年中考中，网格型试题可谓大放异彩，这类试题构思精巧、形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要的数学思想，当网格作为背景与双曲线、抛物线、圆、三角形结合时，更会出现许多让人意想不到的思路、方法，使我们在解题中感受到无穷的乐趣，本文撷取其中的几例进行解析，供参考．一、网格与双曲线结合例1：在边长为1的4×4方格上建立直角坐标系（如图1），在第一象限内画出反比例函数16yx=、6yx=、4yx=的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为1的10×10方格上建立直角坐标系（如图2），在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出( )条．(A)12 (B)13 (C)25 (D)50分析：易知系数k为合数，且能分解成两个均不超过10的正整数的乘积的形式．如4＝1×4＝2×2，则反比例函数4yx=的图象经过以下3个格点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．6＝1×6＝2×3，则反比例函数6yx=的图象经过以下4个格点：(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)．经过尝试，符合条件的k值共有13个，分别为：4，6，8，9，10，12，16，18，20，24，30，36，40．所以，经过方格中的三个或四个格点的反比例函数的图象最多可以画出13条．故选B．二、网格与抛物线结合例2：已知图3中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9分析：我们先解决如下问题：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，当a、b、c满足什么条件时，当x取任意整数时，函数值y都是整数？（为叙述方便，不妨假设抛物线开口向上．）当x＝0时，y＝c；当x＝l时，y＝a＋b＋c．∴c为整数，a＋b＋c为整数，∴a＋b必为整数，又∵当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝2a＋2(a＋b)＋c是整数，∴2a必为整数，∴a应为12的整数倍，即a＝12，1，32，2，…从对称的角度考虑，建立如图4所示的平面直角坐标系．(1)若抛物线的顶点在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线过原点．所画抛物线y＝ax2（n＝12，1，32，2，…）最多能经过5个格点．(2)若抛物线的顶点不在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线），＝ax2＋bx＋c过原点和(1，0)．所画抛物线y＝ax(x－1)（a＝12，1，32，2，…）最多能经过8个格点．此时a＝12，这8个格点分别为：(－3，6)，（－2，3），（－1，1），(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)综上所述，抛物线最多能经过81个格点中的8个，故选C．三、网格与圆结合例3：请你在12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．分析：从对称的角度考虑，建立如图5所示的平面直角坐标系．(1)如图5，若圆心在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过原点，所画圆最多能经过12个格点，此时圆的半径为5．这12个格点分别为：(0，5)，(3，4)，(4，3)，(5，0)(4，－3)，（3，－4），（0，－5），（－3，－4），(－4，－3)，（－5，0），（－4，3），（－3，4）．(2)如图6，若圆心不在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过（12，12），所画圆最多能经过16个格点，此时圆的半径为130，这16个格点分别为：(2，6)，(4，5)，(5，4)，(6，2)，（6，－1），（5，－3），（4，－4），（2，－5），（－1，－5），（－3，－4），（－4，－3），(－5，－1)，（－5，2），（－4，4），（－3，5），（－1，6）．综上所述，所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．三、相似在网格中的构建与应用在近几年的各类考试中，网格背景题深受命题者的关注与青睐。
例谈格点问题的解题策略
例谈格点问题的解题策略作者：周卫国来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2018年第20期摘要：寻求“格点”问题解法的关键是抓住题目关键词，挖掘出题目所含条件的作用，把非格点转化为格点问题处理，合理利用题目已知条件，多种知识处理问题。
这也是解决数学问题基本方法。
关键词：抓住题目关键词;化归思想;合理处理已知条件中图分类号：G633.63;;;;;;;;; 文献标识码：A;;;; 文章编号：1992-7711（2018）20-068-2“格点”问题是初中数学中一类重要题型，很多数学问题都可利用格点问题出现。
近几年中考中，常常出现以“格点”为背景的数学问题，但学生对格点问题往往掌握的不好，得分率不高。
如何利用“格点”，并在这类问题中，理清头绪，解决问题，这需要教师教学时提炼解题策略，引导学生学会分析问题，利用“格点”解决问题。
下面本文从三个方面来谈谈“格点”问题的解题策略：策略一、寻找问题突破口，抓住题目关键词例1 （2017泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）。
若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC 的外心，则点C的坐标为;;; 。
[解题过程] 本题的关键词：外心。
外心是三角形外接圆的圆心，外心是三角形三条中垂线的交点。
本题的解决应充分利用外心的性质：点P在线段AB的中垂线上。
解决方法：以点P 为圆心，AP长为半径画圆，圆P在第一象限内的格点即为所求点C，答案为：（1，4）（6，5）（7，4）。
[解后反思] 本题的解题策略在于如何用好“外心”，而点C的横坐标、纵坐标均为整数即为“格点”。
可学生在解答时，往往缺乏分析思路，分析不了外心的作用，同时学生即使会分析也会出现漏解的情况。
因此，培养学生分析问题的能力，比解决一道题目更重要：如何用好外心是解决本题的关键。
【变式练习】（17盐城）如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A′B′C′的位置，则点B运动的最短路径长为;; 。
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初中数学网格问题的思考作者：徐姗姗
来源：《新高考·新世纪智能·升学考试》2019年第02期
网格是学生很熟悉的图形，是考查学生数形结合思想方法的运用能力和动手操作能力的一个很好的载体.它同时具有很强的操作性，这和新课标的理念相符合.借助网格这个载体，我们可以研究与数学相关的很多问题.格点问题形式多样，能考查学生多方面知识的整合和运用，
已经逐渐成为中考试卷中一个亮点.在近几年的数学中考试卷中，许多省市采用了一些网格新
试题，这些试题答案往往不唯一，且有较强的开放性，有利于培养学生的探究意识和创新精神.网格问题以正方形网格为背景，因此不需要繁杂的计算和繁难的证明，试题背景公平，题型灵活，操作性强，趣味性浓.最近以网格为载体的有关相似形、圆或平面直角坐标系的综合题频
繁出现.
具体表现形式为：
1. 利用网格自身的特点，进行图案的设计和图形的变换、作图，利用勾股定理计算线段的长度或图形的面积，探究图形的变化规律等.利用网格做图形变换，直观且易行.画变换后的图，关键是确定图形的关键点，然后根据图形变换的性质，作出关键点的对应点，这种以局部代整体的作图方法，是图形变换作图中的最常用的方法，
2. 以网格为载体，综合考查数学知识的应用.
3. 在网格中考中常出现利用网格计数的问题考察分类讨论的数学思想，在分类讨论时，应注重理解和掌握分类的原则、方法和技巧，做到不重复、不遗漏.
4. 利用网格的特殊性計算.利用网格的作图和计算，涉及勾股定理、三角函数、平行线等
知识和方法，思路新颖巧解题结，此类题要注意运用网格中隐含的平行垂直、相等的角和相等的线段.
5. 利用网格设计图案.新课标要求欣赏现实生活中的轴对称和轴对称和中心对称，结合现
实生活中典型的实例，了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称和中心对称进行图案设计.
6. 利用网格进行证明和探究.
下面，归纳数学中的几个格点问题：
一、格点中的相关线段与弧长计算问题，
在“网格”中经常用勾股定理求线段的长度，再利用所求的线段长度来解决相关的问题.而“网格”中的旋转变换又给弧长的计算提供了广阔的舞台.。