专题圆锥曲线基本量运算
第5.1讲 圆锥曲线
∵OP⊥AB，∴kAB＝－2， 则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)． x 2 y2 ∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为 ＋ ＝1. 5 4 答案 x2 y2 ＋ ＝1, 5 4
椭圆的定义、标准方程及几何性质 (1)定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)标准方程： x2 y2 ①当焦点在 x 轴上时， 2＋ 2＝1(a>b>0)； a b y 2 x2 ②当焦点在 y 轴上时， 2＋ 2＝1(a>b>0)． “分母谁大在谁家” a b (3)几何性质： c ①离心率：e＝ ＝ a b2 1－ 2 ∈(0,1)； a
【例2】►函数y＝ 解析
sin x 的最大值为______，最小值为______． 2＋cos x
sin x－0 y＝ 表示点P(cos x，sin x)与点 cos x－－2
A(－2,0)连线的斜率，而点P在单位圆上，如右图， 3 过A作单位圆的切线AB，AC.易知kAB＝ ，kAC＝ 3 － 3 3 3 分别为斜率的最大值和最小值，那么y的最大值为 ，最小值为－ . 3 3 3 3 3 3 － 3
2
)．
1 C．b ＝ 2
2
D．b2＝2
解析
由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝
0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2 －a ＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝ 5×2 1 ＝ . 2 答案 C
4
a4－5a2 2 11 ＝ a，解得a2＝ ，b2 2 5a2－5 3
b x 2 y2 2 － x.与椭圆方程 2 ＋ 2 ＝1联立，解得x＝± a.因为PF1⊥x轴，F1为左焦 a a b 2 点，所以x＝－ 2 2 a，从而－ a＝－c，即a＝ 2 c.又|F1A|＝a＋c＝ 10 ＋ 2 2
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇高中数学圆锥曲线知识点总结5篇教育的现代化和大众化是推进知识普及和人才培养的重要策略。
科学科研的公正性和透明度是科研活动的重要保障。
下面就让小编给大家带来高中数学圆锥曲线知识点总结，希望大家喜欢!高中数学圆锥曲线知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x ，y+y )。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ 0时，λa与a同方向;当λ 0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
圆锥曲线中的方法与运算
圆锥曲线中的方法与运算1. (与名师对话第51练) 已知抛物线221y x =-,点(2,0)A , 问是否存在过点A 的直线l ,使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围. 解: 设直线l 的方程为(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即0k =可取.若0k ≠,则直线PQ 的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,21,y x m ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩可得,22210y y kb +-+=. ∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点,∴ 244(21)0,k kb =--+> 即 2120k kb -+>.设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则1202y y y k +==-, ∴ 2120()()2y y x k km k k km k km +=-+=--+=+, ∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2(2)k k km +-, 由 0k ≠可得, 21k m k-=,∴ 212k k -+21k k-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<. 综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<.2. (与名师对话第51练)已知椭圆22:4580E x y +=, 点A 是椭圆与y 轴的交点, F 为椭圆的右焦点, 直线l 与 椭圆交于B,C 两点.（1） 若点M 满足1(),22OM OB OC AF FM =+=,求直线l 的方程;（2） 若0AB AC ⋅= ,D 在BC 上,且0AD BC ⋅=,求动点D 的轨迹方程.分析: 题(1)是个定状态的问题: 由2AF FM =可知,点M 是定点,且由 1()2OM OB OC =+是线段BC 的中点, 由此可求得直线BC 即直线l 的方程.解(1) 由椭圆22:4580E x y +=可知A(0,4), F(2,0).∵ 2AF FM =, ∴ (2,0)-(0,4)=2[(00,x y )-(2,0)], ∴ 003,2,x y ==-即M(3,-2).∵ 1()2OM OB OC =+, ∴ 点M 是线段BC 的中点,∴ 直线BC 即直线l 的斜率为65. (可以有四中方法:①202F l a k k b =-,②点差法,③设k 法,④设而不求法求得).∴ 直线l 的方程为6(3)25y x =--,即65280x y --=. 分析: 题(2)是一个动状态的问题:①点D 随AB 的变化而变化,从而点D 的坐标是刻画直线AB 的变化的量的参数(斜率k )的函数, ②可设BC 的方程为y kx b =+(k 存在), 从而点M 是直线AM(直线AD 用参数k 刻画)与直线BC 的交点,在由BAC ∠是直角得参数k 与b 的关于式,消参数k 与b 即得点D 的方程.解法(一) 设直线AB 的斜率为k ,则直线AC 的斜率为1k-. 直线AB 的斜率为方程为4y kx =+,由方程组224,4580,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得,22(54)400,k x kx ++=∴ 24054B k x k =-+, 22162054B k y k -=+， 同理得240k 45C x k =+, 22162045C k y k -=+.∴ 2222222162016204(1)5445404095445BCk k k k k k k k k k k --+--++==--+++， ∴ 直线BC 的方程为, y =24(1)9k k --(x +240)54k k ++22162054k k -+，y =24(1)9k k --x +2222160(1)16209(54)54k k k k --+++，y =24(1)9k k --x -224(54)9(54)k k ++， y =24(1)9k k--49x -.∵ 直线AD 的方程为, 2942(1)ky x k =-+-,∴由y =22(1)9k k -49x -与2942(1)k y x k =-+-移项相乘消去k 可得24()(4)9y y x +-=-, 即 2221620()()(4)99x y y +-=≠.说明: 本解法用的是参数法中的特殊方法--------交轨法.解法(二): 设直线l 的方程为y kx m =+, 则直线AD 的方程为14y x k=-+. (显然由方程y kx m =+和方程14y x k =-+消去k 和m 即可得点D 的轨迹方程, 这里 我们必须给出k 和m 的关系式,将0AD BC ⋅=这一几何条件转化为代数形式即可得k 和m 的关系式)由方程组22,4580,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得,222(54)105800k x kmx b +++-=, 设1122(,),(,)B x y C x y , 则2121222105,5454km m x x x x k k -+==++.∵ 0AD BC ⋅=, ∴ AD BC ⊥,∴ 1212(4)(4)0x x y y +--=, 1212(4)(4)0x x kx m kx m ++-+-=, 221212(1)(4)()(4)0k x x k m x x m ++-++-=,2(1)k +22554m k ++(4)k m -21054km k -+2(4)0m +-=化简得,2932160m m --=. 解得,4m =(舍去)或49=-. ∴ 方程y kx m =+即为49y kx =-, 由方程49y kx =-和方程14y x k=-+消去k 得, 220()(4)9y y x +-=-, 即 2221620()()(4)99x y y +-=≠. 3. (与名师对话第51练)已知直线l 过点M (1,0),且与抛物线22x y =交于,A B 两点,O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:1122OP OA OB =+.（1）求点P 的轨迹C 的方程;（2） 若曲线C 的切线的斜率为λ,满足:MB MA λ=,点A 到y 轴的距离为a ,求a 的取值范围.分析：由1122OP OA OB =+可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹.解(1) 显然直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为: 1y k x =-（）,由方程组212y k x x y =-⎧⎨=⎩（），，消去y 整理得2220x kx k -+=,设1122(,),(,)A x y B x y , 122x x k +=,∴ 122p x x x k +==, 21p y k k k k =-=-（）, 消去k 得点P 的轨迹C 的轨迹方程为: 2y x x =-.∵ 2480k k ->, ∴ 0k <或2k >,∵ 点P 在y 轴的右侧, ∴ 2x k =>,故点P 的轨迹C 为抛物线2y x x =-上的一段弧.分析: 点A 到y 轴的距离为a 就是点A 的横坐标的绝对值.因为曲线C的切线的斜率为λ,所以λ='21y x =-,由2x >知,3λ>,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.解(2): 设1122(,),(,)A x y B x y ,则由MB MA λ=可知,22(,)(1,0)x y -=λ[11(,)(1,0)x y -],∴211(1)x x λ-=-,21y y λ= ,∴ 211x x λλ=-+, 2221x x λ=, ∴ 2211[(1)]x x λλλ--= ∵ 1λ≠,∴ 211210x x λλλ-+-=,方法(一) 1212x λλ==3λ>),∴ 11(3)a x λ==±>,∴ a ∈(13-(1,13⋃+. 方法(二) 211(1)x λ-=, (3λ>),∴ 1103λ<<, 0<21(1)x -13<, ∴ 11x ≠且11133x -<<+∴ a ∈(13-(1,13⋃+.4. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为22x py = (0)p >,过点M (0,)m 且倾斜角 为θ(0<θ<2π)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且212x x p =-. （1）求m 的值;（2）若点M 分AB所成的比为λ,求λ关于θ的函数关系式.分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线的方程为y kx m =+.由方程组22y kx m x py =+⎧⎨=⎩，，消去y 整理得2220x pkx pm --=, 则122x x pm =-,∵ 212x x p =-, ∴ 2pm -2p =-, 2p m =. 分析: 由2p m =可知过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线为2p y kx =+.先建立关于k 的函数关系式,再转换为关于θ的函数关系式. 解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,∴ AM MB λ= , 1122(0,)(,)[(,)(0,)]22p px y x y λ-=-,1212,(),22x x p p y y λλ=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩由(1)可知212122,x x pk x x p +==-,由方程组1212212,2,,x x x x pk x x p λ⎧=-⎪+=⎨⎪=-⎩可消去12,,x x p 得,222(21)10k λλ-++=.∵ 0<θ<2π, ∴ 1λ<,故2212k λ=+-222(1sin )2tan 12tan cos θθθ-+-==1sin 1sin θθ-+.5. (与名师对话第51练) 已知方向向量为(1v =的直线l 过点(0,-2)和椭圆C:22221x y a b+= (0)a b >>的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（1）求椭圆C 的方程;（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OM ON ⋅=cot MON ∠ 0(O ≠为原点)? 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为221189x y +=，F 是它的左焦点，M 是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.(1) 求OFM 的重心G 的轨迹方程;(2) 若OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角OGP ∠最大, 求点G 的坐标.解(1): 设点)y ,x (G (y ≠0) , M(x 1,y 1)由题设可知,F(-) 则11333x yx y -==，, ∴ 1333x x y =+=1，y , ∴ OFM 的重心G 的轨迹方程为22112x y ++=（）(0y ≠). (2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆22112x y ++=（）的两个焦点.下面证明当点M 与椭圆22112x y ++=（）的短轴的端点重合时张角OGP ∠最大. 方法(一) 用椭圆的定义设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r ，则由椭圆的定义可知1r +2r =22.在MOP ∆中, 21222212r r OP r r OGP COS -+=∠=21222124r r r r -+=2121221224)(r r r r r r --+=21212224)22(r r r r --=2142r r +-≥4)(42221r r ++- (当且仅当21r r =时,等于号成立) =0∴ 当21r r =,即点M 与短轴的端点重合时张角OGP ∠最大, 最大角为090,这时点M 的坐标为(-1,1)、（-1，-1）.方法(二) 用椭圆的焦半径公式将椭圆22112x y ++=（）平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为2212x y +=,原张角OGP ∠就是在点P 处的两条焦半径的夹角.设点P 的坐标为(00x y ，),则2200124cos x x F PF +-∠=））=22000011[02]12122222x x x x =⋅∈--2，（） 当00x =时,12cos 0F PF ∠=, 当2002]x ∈（，时, 12cos 01]F PF ∠∈（，, 故12cos [01]F PF ∠∈，, 12F PF ∠的最大值为090,这时相应点P 的坐标为(0,±1),在椭圆的原位置相应点P 的坐标为(-1,±1).7. (与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，的距离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19-. (1) 求动点P 的轨迹方程;(2) 若已知点D (0,3),点M N ，在动点P 的轨迹上,且DM DN λ=,求实数λ的取值范围;(3) 若已知点D (1,1), 点M N ，在动点P 的轨迹上,且MD DN =,求直线MN 的方程.分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,设其方程为22221x y a b+= (0a b >>).可以证明(仿例6)当动点P 在椭圆的短轴的端点时12cos F PF ∠的值最小,这时2122222010cos 12a F PF a a-∠==-, ∴ 210119a -=-, 29a =. ∴ 24b =, ∴ 动点P 的轨迹方程为22194x y +=. 分析: 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线, 直线MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为3,y kx =+这时要k 作讨论),也可以用t 表示(直线的方程为(3)x t y =-,这时不需要对t 作讨论).下面用直线方程3y kx =+求解.解法(一): 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线.若直线MN 的斜率不存在,则155λλ==或. 若直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为3,y kx =+则由方程组223,4936,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得,22(94)54450k x kx +++=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则1212225445,9494k x x x x k k -+==++. 又由DM DN λ=可得, 12x x λ=,∴ 12225454,(1)94(1)94k k x x k k λλλ--==++++, ∴ 2222(54)(1)(94)k k λλ=++24594k + ∴2(1)λλ=+22259454(9)324324k k k +⋅=⋅+. ∵ 22(54)445(94)0k k ∆=-⨯+≥, ∴ 259k ≥. ∴25136(1)4λλ<≤+, ∴ 115,555λλ<<≠且, 综上所述,155λ≤≤. 分析：用点,M N 的坐标表示直线MN 的变化.解法(二): 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线.设1122(,),(,)M x y N x y ,则2211194x y +=,2222194x y +=. ∵ DM DN λ=, ∴ 12x x λ= , 1233y y λλ=-+,∴22222(33)194x y λλλ-++=, 222222294x y λλλ+=.∴22(33)4y λλ-+-222214y λλ=-, 223(233)(1)14y λλλλ-+-=-, ∴ 1λ=或23(233)14y λλλ-+=+, 213522,06y λλλ--≤=≤>解得155λ≤≤.8. 抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<,过抛物线C 上一点00P x y （，） (00x ≠)作斜率 为12k k ，的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点(P A B 、、三点各不相同),且满足210k k λλλ+=≠≠（0且-1）.(1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(2) 设直线AB 上一点M 满足:BM MA λ=,证明线段PM 的中点在y 轴上;(3)当1λ=时,若点P 的坐标为(1,-1),求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.分析: 将a 看作常量. 解(1): 抛物线C 的方程为21(0)x y a a =<, 故抛物线C 的焦点坐标为(104a，),准线方程为14y a=-. 分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与12k k λ、、相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.解(2): 由题设可知,直线PA 的方程为:100y k x x y =-+（）,由方程组1002y k x x y y ax =-+⎧⎨=⎩（），，可得,211000ax k x k x y -+-=,即2211000ax k x k x ax -+-=, ∴ 110k x x a =-, 同理 220kx x a=-, ∵ BM MA λ= , ∴ 21M M x x x x λ-=-（）, 121M x x x λλ+=+=12001kk x x aa λλ-+-+（）（）∵ 210k k λλλ+=≠≠（0且-1）, ∴ M x =-0x , ∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在y 轴上. 分析:解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为2y x =-, 111x k =-+（）,又1λ=,故211x k =-,∴ 21111A k k -++（（），-（））, 21111B k k --（，-（））∴ 1124AB k k = （，）,211122AP k k k =++ （，）, ∵ PAB ∠为钝角, P A B 、、三点各不相同, ∴ 0,AP AB ⋅<即有1124k k ⋅（，）211122k k k ++（，）0<,112(2)k k ++21114(2)0k k k +<,111(2)(21)0k k k ++< ∴ 111202k k <--<<或,∴ 211(1)y k =+, 111202k k <--<<或, ∴ 111114y y <--<<-或. 9.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在X 轴上,一条经过点3（且方向向量为2a =- （的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,交X 轴于M 点,又2AM MB = . (1) 求直线l 的方程;(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围.解(1): 直线l的方程为32y x =---（）分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a b ，的不等式,向量等式 2AM MB = 可以转化为一个关于a b ，的等式.解(2):由方程组2222223,y x b x a y a b ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩）可得2222222405b a y y b a b +-+-=（）. 设设1122(,),(,)A x y B x y ,则2221212222255b a b y y y y b a b a -+==++，. 由2AM MB = 可知, 122y y = ,∴1225y b a =+2225y b a =+∴ 222232545b b a =+（）2222245b a b b a -+, ∴ 222251409a a b a -=>-（） ∵22222224()4()()05b a b a b =-+-> , ∴ 22545a b +>, ∴ 222225(1)0,9545,a a a a b ⎧->⎪-⎨⎪+>⎩ ∴ 22222225(1)0,95(1)55,9a a a a a a a ⎧->⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩ 219a <<. ∵ 22,b a < ∴ 2222251449a a b a a -=<-（）, ∴ 224199a a <>或,∴ 24119a <<, 13a << ∴223a <<,即椭圆C 的长轴长的取值范围为(2,)3. 10.自点(0,1)A -向抛物线C:2y x =作切线AB,切点为B ,且点B 在第一象限,再过线 段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F,直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点.(1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标;(2) 证明()PQ AB R λλ=∈ .解(1): 设切点B 的坐标为00(,)x y ,过点B 的切线的方程为20002()y x x x x =-+,∵ 切线过点(0,1)A -, ∴ 200012()x x x -=-+, 01x =,∵ 点B 在抛物线上, ∴ 01y =,∴ 切线AB 的方程为21y x =-, 切点B 的坐标为(1,1).分析: 即证明AB ∥PQ .(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点M 的坐标为1(,0)2,设直线l 的方程为1()2y k x =-, 222211223344(,),(,),(,),(,)E x x F x x P x x Q x x . 由方程组21(),2,y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2102x m x m -+=, 故12121,2x x m x x m +==. 2243434343(,)()(1,)PQ x x x x x x x x =--=-+ .∵ A,E,P 三点共线, ∴ 2331x x +=2111x x +,131x x = , 同理241x x =, ∴ 21211111()(1,)PQ x x x x =-+ =12121212122()(1,)(1,2)x x x x x x x x x x m-+-= 由(1,2)AB = 可知, 122()()x x PQ AB R mλλ-==∈ 其中.11. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有2OP OQ OR =⋅ (O 为坐标原点);(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围.(1) 证明: 设直线OP 的方程为y kx =, 直线AR 的方程为()b y x a a=-, AQ 的方程为()b y x a a=--. 由方程组(),,b y x a a y kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得 (,)ab kab R ak b ak b ----, ∴ OR =(,)ab kab ak b ak b ----, 同理OQ =(,)ab kab ak b ak b++, ∴ OQ OR ⋅ =(,)ab kab ak b ak b ----⋅(,)ab kab ak b ak b ----=222222(1)a b k a k b+-. 设(,)P m n , 由方程组22221,,x y a b y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2m =22222a b b a k -,2n =222222k a b b a k - ∴ 2OP =222222(1)a b k b a k +-. ∵ 直线OP 过原点, ∴ 2220b a k ->, ∴ 2OP OQ OR =⋅ . (2) 解: 由题设知, 222222(1)a b k b a k +-=4ab , 22240,4b ab k ab a-=>+ 又222b k a <, ∴ 2244b ab ab a -+22b a <, (恒成立)) 解得4a b <, ∴4e >.。
高考数学复习考点题型专题讲解21 圆锥曲线的基本问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题21 圆锥曲线的基本问题高考定位 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6 答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立.故选C.2.(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )A.2B.2 2C.3D.3 2 答案 B解析 法一 由题意可知F (1，0)， 抛物线的准线方程为x ＝－1.设A (y 204，y 0)，则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1，又|BF |＝3－1＝2，故由|AF|＝|BF|，可得y24＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2). 不妨取A(1，2)，故|AB|＝（1－3）2＋（2－0）2＝22，故选B.法二由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.又抛物线通径长为4，所以|AF|＝2为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝（－2）2＋22＝22，故选B.3.(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )A.32B.22C.12D.13答案 A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以k AP·k AQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14(*).因为点P在椭圆C上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14，所以e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.4.(2022·北京卷)已知双曲线y 2＋x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，则m ＝________.答案 －3解析法一 依题意得m <0，双曲线的方程化为标准方程为y 2－x 2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m ＝－3.法二 依题意得m <0，令y 2－x 2－m ＝0，得y ＝±1－m x ，则±1－m＝±33，解得m ＝－3.5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE 的周长是________. 答案 13解析 如图，连接AF 1，DF 2，EF 2，因为C 的离心率为12，所以c a ＝12，所以a ＝2c ，所以b 2＝a 2－c 2＝3c 2.因为|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2c ＝|F 1F 2|， 所以△AF 1F 2为等边三角形，又DE ⊥AF 2，所以直线DE 为线段AF 2的垂直平分线， 所以|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，且∠EF 1F 2＝30°， 所以直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，代入椭圆C 的方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，得13x 2＋8cx －32c 2＝0.设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c 213，所以|DE |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32c 213＝48c 13＝6， 解得c ＝138，所以a ＝2c ＝134， 所以△ADE 的周长为|AD |＋|AE |＋|DE |＝|DF 2|＋|EF 2|＋|DE |＝4a ＝13.热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|).(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (0＜2a ＜|F 1F 2|).(3)抛物线：|PF |＝|PM |，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值.例1 (1)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点与虚轴的上端点，F (2，0)是双曲线C 的右焦点，直线AB 与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的标准方程为________.(2)(2022·成都二诊)已知抛物线C 以坐标原点O 为顶点，以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为焦点，直线x －my－2p ＝0与抛物线C 交于两点A ，B ，直线AB 上的点M (1，1)满足OM ⊥AB ，则抛物线C 的方程为________.答案 (1)x 22－y 22＝1 (2)y 2＝2x解析 (1)由题意得A (a ，0)，B (0，b )，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，而k AB ＝－b a，∴－b 2a2＝－1，∴a ＝b ，又F (2，0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， ∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线C 的标准方程为x 22－y 22＝1.(2)由已知直线OM 的斜率为1，则AB 的斜率为－1，所以m ＝－1，又M (1，1)在直线AB 上， ∴1＋1－2p ＝0，∴p ＝1. ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；(3)圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.训练1 (1)(2022·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x(2)(2022·怀仁二模)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为________. 答案 (1)B (2)x 29－y 227＝1解析 (1)由抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4， 可得3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，故选B.(2)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，可得a ＝3，离心率为2，所以c ＝6，则b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.所以双曲线C 的标准方程为x 29－y 227＝1.热点二 椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2(0<e <1)，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a2(e >1). (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).考向1 离心率问题例2 (1)(2022·济南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B.32C.12D.22(2)(2022·浙江卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2.若|FB |＝3|FA |，则双曲线的离心率是________. 答案 (1)A (2)364解析 (1)可画出如图所示图形.△MF 1F 2为等边三角形，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，QF 1⊥MF 2，∠F 1F 2Q ＝60°， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|QF 2|＝c ，|QF 1|＝3c ， ∴|QF 1|＋|QF 2|＝(3＋1)c ＝2a ，∴ca＝3－1， 即e ＝3－1.故选A.(2)结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点F (－c ，0)且斜率为b 4a 的直线方程为y ＝b4a(x ＋c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 4a （x ＋c ），y ＝b a x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c3，y ＝bc 3a ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，bc 3a .因为|FB |＝3|FA |，所以FB →＝3FA →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，bc 3a ＝3(x 1＋c ，y 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－5c9，y 1＝bc9a ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a .将⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 92a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫bc 9a 2b 2＝1，结合离心率e ＝c a得e 2＝8124， 又e >1，所以双曲线的离心率为364. 考向2 椭圆、双曲线的几何性质例3 (1)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线C 上一点，PF 2⊥x 轴，tan∠PF 1F 2＝34，则双曲线的渐近线方程为( )A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.3x ±y ＝0D.x ±3y ＝0(2)(2022·南通质检)椭圆C ：x 218＋y 2b 2＝1(b 2<18且b >0)的上、下顶点分别为A ，C ，如图，点B 在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D 在椭圆内，平面四边形ABCD 满足∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且S △ABC ＝2S △ADC ，则该椭圆的短轴长为________.答案 (1)C (2)6解析 (1)因为点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a，|F 1F 2|＝2c ，所以tan∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，整理得2b 2＝3ac ， 所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4－9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9＝0，解得ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故选C. (2)根据题意可得A (0，b )，C (0，－b )，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).连接BD ，由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可得，点A ，B ，C ，D 均在以BD 为直径的圆E (E 为BD 中点)上，又原点O 为圆E 上的弦AC 的中点，所以圆心E 在AC 的垂直平分线上，即圆心E 在x 轴上， 所以y 1＋y 2＝0. 又S △ABC ＝2S △ADC ， 所以x 1＝－2x 2，故圆心E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 14，0，所以圆E 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －x 142＋y 2＝916x 21＋y 21，将(0，b )代入圆E 的方程，结合x 2118＋y 21b 2＝1可得b 2＝9，所以b ＝3，短轴长为6.规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后用a ，c 代换b ，进而求ca的值或范围.2.求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.训练2 (1)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在y 轴上，且△MF 1F 2为正三角形.若线段MF 2的中点恰好在双曲线E 的渐近线上，则E 的离心率等于( ) A.5B.2 C.3D. 2(2)(2022·张家口一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过原点O 的直线l交椭圆C 于点A ，B ，且2|FO |＝|AB |，若∠BAF ＝π6，则椭圆C 的离心率是________. 答案 (1)B (2)3－1解析 (1)不妨设M 在y 轴的正半轴上， 设M (0，t )，t >0，由于△MF 1F 2为正三角形，所以t ＝3c ，故M (0，3c )，则MF 2的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2， 因为N 在渐近线y ＝b ax 上，所以3c 2＝b a ×c 2，即b a ＝3，e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选B. (2)因为直线AB 过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA |＝|OB |， 所以|AB |＝2|OA |，设右焦点F ′，连接BF ′，AF ′， 又因为2|OF |＝|AB |＝2c ， 可得四边形AFBF ′为矩形，在Rt△ABF 中，|AF |＝2c ·cos∠BAF ＝2c ·32＝3c ， |BF |＝2c ·sin∠BAF ＝2c ·12＝c ，∴|AF ′|＝|BF |＝c ，由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝c a＝3－1.热点三 抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α是弦AB 的倾斜角，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α. (3)1|FA |＋1|FB |＝2p.(4)以线段AB 为直径的圆与准线x ＝－p2相切.例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( ) A.18B.2 C.14D.4 (2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A.p ＝4 B.DF →＝FA → C.|BD |＝2|BF | D.|BF |＝4 答案 (1)B (2)ABC解析 (1)依题意F 点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M 在准线上的射影为K ， 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， ∵FM →＝55MN →，∴|FM ||MN |＝55， 可得|MK ||MN |＝55， 则|KN |∶|KM |＝2∶1， ∴k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，∴－4p＝－2，求得p ＝2.故选B.(2)如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形， ∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确； ∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D错误.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.训练3 (1)(2022·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l经过F与抛物线交于A，B两点，点P在抛物线的准线上，且PF⊥AB，线段AB的中点为Q.若|PQ|＝4，则|AB|＝( )A.4B.4 2C.8D.8 2(2)(2022·广州模拟)过抛物线y2＝4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若AB→＝2BF→，则线段BC的中点到准线的距离为( )A.3B.4C.5D.6答案(1)C (2)B解析(1)由A，B向准线作垂线，垂足分别为C，D，因为PF⊥AB，可知P是线段CD的中点，PQ 是梯形ABDC 的中位线，又由抛物线的定义可知|AB |＝2|PQ |＝8，故选C. (2)由抛物线的方程可得焦点F (1，0)，渐近线的方程为：x ＝－1， 由AB →＝2BF →， 可得|AB ||BF |＝2， 如图所示：作BB ′垂直于准线于B ′， 而|BB ′||AB |＝22，∴∠ABB ′＝45°， 所以直线AB 的斜率为1， 所以直线AB 的方程为x ＝y ＋1， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝y ＋1，整理可得：x 2－6x ＋1＝0，可得x 1＋x 2＝6，所以线段BC 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝4，故选B.一、基本技能练1.(2022·温州模拟)双曲线y 2－2x 2＝1的离心率是( )A.52B.62C.3D. 5 答案 B解析 双曲线方程化为y 21－x 212＝1，则a 2＝1，b 2＝12，从而e ＝1＋b 2a 2＝62，故选B. 2.设经过点F (1，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点.若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB |＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C解析 因为抛物线为y 2＝4x ，所以p ＝2， 设A ，B 两点横坐标为x 1，x 2， 因为线段AB 中点的横坐标为2， 则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋2＝6，故选C.3.(2022·烟台一模)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝－2D.x ＝－4 答案 B解析 由抛物线的方程可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，不妨设P 在x 轴上方，则y 2＝2p ×8，可得y p ＝4p ， 则S △OFP ＝12|OF |·y p ＝12×p2×4p ＝22，解得p ＝2，所以准线方程为x ＝－p2＝－1，故选B.4.“1<k <5”是方程“x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为k ＝3时，x 2k －1＋y 25－k＝1表示圆，故充分性不成立.若x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆，则⎩⎨⎧k －1>0，5－k >0，k －1≠5－k ，∴1<k <5且k ≠3，∴必要性成立. 故“1<k <5”是“方程x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.5.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与x 轴正半轴所成夹角为π3，则C的离心率为( )A.233B.2C.3D.3 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ，由题意可得a b ＝tanπ3＝3， 则b a ＝33， 所以e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233，故选A.6.(2022·西安二模)直线y ＝kx (k >0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在第一、第三象限分别交于P ，Q 两点，F 2是C 的右焦点，有|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3，且PF 2⊥QF 2，则C 的离心率是( ) A.3B. 6 C.3＋1 D.6＋1 答案 C解析 由对称性可知四边形PF 1QF 2为平行四边形， 又由PF 2⊥QF 2得四边形PF 1QF 2为矩形， ∴|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ， 又|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3， ∴|QF 2|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选C.7.(2022·石家庄模拟)已知椭圆M：x2a2＋y2＝1(a>1)的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若|OP|＝|PF|＝32，则M的方程为( )A.x22＋y2＝1 B.x23＋y2＝1C.x24＋y2＝1 D.x25＋y2＝1答案 B解析不妨设F为椭圆M的右焦点，则其左焦点为F1，连接AF1，∵O为FF1中点，P为AF中点.∴OP为△AFF1的中位线.∴|AF1|＝2|OP|＝3，|AF|＝2|PF|＝ 3.∴|AF1|＋|AF|＝23＝2a，∴a＝ 3.∴椭圆M的方程为x23＋y2＝1，故选B.8.(2022·南京调研)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 D解析记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内切圆圆心为D，边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ，N ，E ，易知C ，E 横坐标相等，|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |，由|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|－(|AN |＋|NF 2|)＝2a ，得|MF 1|－|NF 2|＝2a ， 即|F 1E |－|F 2E |＝2a ，记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)， 于是x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，得x 0＝a ， 同样圆心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴，设直线l 的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°－θ2，在△CEF 2中，tan∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan∠OF 2D ＝tan θ2＝r 2|EF 2|，由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线l 的斜率为tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝21－12＝22，故选D.9.(多选)(2022·福州模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C上一点，则( )A.C 的离心率为22B.△PF 1F 2的周长为5C.∠F 1PF 2<90°D.1≤|PF 1|≤3 答案 CD解析 对于A ，由椭圆方程知：a ＝2，c ＝4－3＝1，∴离心率e ＝c a ＝12，A 错误；对于B ，由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2， ∴△PF 1F 2的周长为4＋2＝6，B 错误；对于C ，当P 为椭圆短轴端点时，tan ∠F 1PF 22＝c b ＝33，∴tan∠F 1PF 2＝2tan∠F 1PF 221－tan 2∠F 1PF 22＝2331－13＝3，∴∠F 1PF 2＝60°，即(∠F 1PF 2)max ＝60°， ∴∠F 1PF 2<90°，C 正确；对于D ，∵|PF 1|min ＝a －c ＝1，|PF 1|max ＝a ＋c ＝3， ∴1≤|PF 1|≤3，D 正确. 故选CD.10.(多选)(2022·菏泽模拟)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有( )A.准线l的方程是y＝－2B.以线段MF为直径的圆与y轴相切C.|ME|＋|MF|的最小值为5D.|ME|－|MF|的最大值为2答案BC解析抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为l：x＝－2，故A错误；设M(m，n)，MF的中点为N，可得|MF|＝m＋2＝2·m＋2 2，即N到y轴的距离是|MF|的一半，则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；设M在准线上的射影为H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，当E，M，H三点共线时，|ME|＋|MH|取得最小值，为3＋2＝5，故C正确；由|ME|－|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，为（3－2）2＋（1－0）2＝2，故D错误.故选BC.11.已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－1，则p＝________.答案 2解析 y 2＝2px 准线方程为x ＝－p2，则－p2＝－1，∴p ＝2.12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，且其虚轴长大于1，则双曲线C的一个标准方程可以为________. 答案x 2－y 24＝1(答案不唯一)解析 依题意，不妨取b ＝2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝2，c ＝ 5.所以满足题设的一个标准方程为x 2－y 24＝1.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南通适考)在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF 1→＝λF 1B →，则( ) A.△ABF 2的周长为定值B.AB 的长度最小值为1 C.若AB ⊥AF 2，则λ＝3D.λ的取值范围是[1，5] 答案 AC解析 AF 1→＝λF 1B →，则A ，B ，F 1三点共线，△ABF 2周长＝4a ＝8是定值，A 正确.AB min ＝2·b 2a＝2≠1，B 错误；∵AB ⊥AF 2，则AF 1⊥AF 2，A 在上、下顶点处，不妨设A (0，2)，则AB ∶y ＝x ＋2，⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1.解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－423，y ＝－23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，－23，λ＝－2－23＝3，C 正确； 令AB ：x ＝my －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎨⎧x ＝my －2，x 24＋y 22＝1消x 可得(m 2＋2)y 2－22my －2＝0，则y 1＋y 2＝22mm 2＋2， y 1y 2＝－2m 2＋2，－y 1＝λy 2，当m ＝0时，λ＝1，当m ≠0时，λ（1－λ）2＝m 2＋24m 2>14，∴3－22<λ<3＋22，D 错误.故选AC.14.(多选)(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A.||PA 1|－|PA 2||＝2aB.若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5C.若双曲线C 为等轴双曲线，则直线PA 1的斜率与直线PA 2的斜率之积为1D.若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2，则∠PA 1A 2＝π10答案 BCD解析 对于A ：在△PA 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边， 故||PA 1|－|PA 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误； 对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0， 设焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m －c ×b a ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a 2－b 2c ，n ＝2abc，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，2ab c ， 由题意该对称点在双曲线上，故（a 2－b 2）2a 2c 2－（2ab ）2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2， 所以e ＝1＋b 2a2＝5， ∴e ＝5，故B 正确；对于C ：双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2，所以x 20－a 2＝y 20， 故k PA 1·k PA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确；对于D ：双曲线为等轴双曲线，即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2， 设∠PA 1A 2＝θ，∠A 1PA 2＝3θ， 则∠PA 2x ＝4θ，根据C 项中的结论kPA 1·kPA 2＝1， 即有tan θ·tan 4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数， 故θ＋4θ＝π2，所以θ＝π10，即∠PA 1A 2＝π10，故D 正确.故选BCD.15.(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上任意一点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，圆I 与PF 1的切点为M ，PI 与x 轴的交点为N ，则以下结论正确的有( ) A.PF 1→·PF 2→有最大值a 2 B.内切圆I 面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2C.若|PM |＝12|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率为 12D.若∠F 1PF 2＝2π3，则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |答案 BCD解析 对A ：PF 1→·PF 2→＝PO →2－c 2≤b 2，故A 不正确；对B ：由等面积法，内切圆I 的半径r ＝S △PF 1F 2a ＋c ≤bca ＋c ，所以内切圆面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2，故B 正确；对C ：|PM |＝12|F 1F 2|＝c ，2|PM |＋2c ＝4c ＝2a ，椭圆C 的离心率为12，故C 正确；对D ：若∠F 1PF 2＝2π3，由角平分线性质得则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |，故D 正确.故选BCD. 16.(多选)(2022·无锡模拟)已知双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦距与双曲线C 1的焦距相同，且椭圆C 2的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交C 2于A ，B 两点，若点A (1，y 1)，则下列说法中正确的有( ) A.双曲线C 1的离心率为2 B.双曲线C 1的实轴长为12C.点B 的横坐标的取值范围为(－2，－1)D.点B 的横坐标的取值范围为(－3，－1) 答案 AD解析 双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，则可设双曲线C 1的方程为x 2－y 23＝λ，∵过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴双曲线C 1方程为4x 2－43y 2＝1，即x 214－y234＝1，可知双曲线C 1的离心率e ＝ca＝2，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误； 由14＋34＝1，可知椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 不妨设A (1，y 1)(y 1>0)，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋y 21b 2＝1，∴y 1＝b 2a ，直线AB 的方程为y ＝b 22a(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 22a （x ＋1），x2a 2＋y2b 2＝1，消去y 并整理得(a 2＋3)x 2＋2(a 2－1)x －3a 2－1＝0， 根据韦达定理可得1·x B ＝－3a 2＋1a 2＋3，可得x B ＝－3a 2＋1a 2＋3＝－3＋8a 2＋3，又a 2>1，∴a 2＋3>4，0<8a 2＋3<2， ∴－3<x B <－1，故选项C 错误，选项D 正确，故选AD.17.(2022·北京石景山区一模)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为________. 答案 0(答案不唯一)解析 当m ＝0时，PF 1→·PF 2→＝0，则PF 1→⊥PF 2→，由椭圆方程可知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，因为c >b ，所以以F 1F 2为直径的圆与椭圆有4个交点. 使得PF 1→·PF 2→＝0成立的点恰好有4个. 所以实数m 的一个取值可以为0.18.(2022·湖州质检)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，设椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＋e 22的最小值为________.答案 1＋32解析 由题意，可设椭圆长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2， 不妨设P 为双曲线右支上一点，由椭圆和双曲线的定义可知 ⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，则|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2， 又∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理可得(2c )2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ3， 整理得4c 2＝a 21＋3a 22，即1e 21＋3e 22＝4，则14e 21＋34e 22＝1， 所以e 21＋e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14e 21＋34e 22(e 21＋e 22)＝1＋e 224e 21＋3e 214e 22≥1＋2e 224e 21·3e 214e 22＝1＋32. 当且仅当e 224e 21＝3e 214e 22，即e 2＝43e 1时取等号.。
圆锥曲线的运算技巧总结
圆锥曲线的运算技巧总结龚胜良1.已知椭圆上一点P 00(,)x y ,求过这点的直线l 与椭圆的另一个Q 11(,)x y .方法：将直线l 与椭圆联立得到一个一元二次方程,利用韦达定理求出1x ,再代入直线l ,从而得到1y .2.若过P 00(,)x y 且斜率为k 的直线l 与椭圆联立的相关表达式中.又有过该点且斜率为1k-的直线1l 与椭圆联立的表达式,只需将第一个表达式中的k 换为1k -即可.3.许多情况不宜将直线写成点斜式,这样代入曲线计算量会变大（当然做整体处理计算量也不见得很多,具体见2010年辽宁高考数学理),常常设直线l :y kx m =+,再将点代入直线.4.当过一点P 00(,)x y 引曲线C 的切线（切线有很多条）时,将切线设为一条与曲线相联立,从而得到了关于斜率k 高次方程,将k 解出,若为二次用韦达定理.5.在圆锥曲线中,遇到面积比、线段比时.面积比通过找同底或等高或同角,转化为线段比,线段比通过作梯形或三角形转化为横坐标或者纵坐标的绝对值比,这样问题变简单,计算量变小.6.要会灵活设直线.当斜率为k ,过点M (,0)m 设直线为1x y m k =+.注意用弦长公式时不要弄混.7.当求证:过定点,定值,关系式恒成立时，直接计算或证明计算量很大,那么我们就先讨论直线斜率不存在时,定值,定点,关系式怎么样.再讨论斜率为0时,定值,定点,关系式怎么样.如果情况是一致的,那就上述得到的情形来假设k 存在且不为0时也成立,接下来就证明该结论即可.8.设直线l 与曲线交于A ,B .1l 为A ,B 的垂直平分线且交曲线于C ,D .两点,l 的斜率为k ,11l k k=- 现设1l :代入曲线得到中点,中点在l 上,得到一元二次方程1∆>0,计算量变小很多（1l :x ky b =-+）9.判断直线与椭圆的位置关系时,利用点到直线的距离等于半径.10.许多学生记不下来双曲线的焦半径公式.遵循:左加右减,同负异正（左右指焦点,同异指焦点与曲线的支是否对应）12,F F 为左右焦点,1122(,),(,)P x y Q x y 为曲线的左右两支 11()PF a ex =-+ 21PF a ex =-12QF a ex =+ 22()QF a ex =--11.注重点差法在圆锥曲线中的应用12.相切0∆=有一交点,容易解出交点,也方便计算.13.12||||x x α-=,去掉绝对值得到两根之差12x x - 14.要充分利用向量（线段相等或成倍数关系）。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线中向量乘积过定点问题
圆锥曲线中向量乘积过定点问题《圆锥曲线中向量乘积过定点问题》简介：圆锥曲线是数学中非常重要和广泛应用的一类曲线。
其中的一个有趣问题是在圆锥曲线上通过两个给定点的向量乘积是否会经过一个固定点。
本文将介绍圆锥曲线、向量乘积以及相关定点问题的解答。
一、圆锥曲线的定义和特点圆锥曲线是平面上的一条曲线，其形状可以是椭圆、双曲线或抛物线。
圆锥曲线的定义可以由焦点和准线（或直角）进行描述。
其中，焦点是曲线上的一个点，准线是与曲线相切且通过焦点的直线。
椭圆和双曲线有两个焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点，比如在椭圆中任意两点的向量乘积永远过椭圆的焦点，而在双曲线中通过焦点的向量乘积则不会在曲线上，而是在双曲线的准线上。
这些性质使得圆锥曲线在数学中有广泛的应用。
二、向量乘积的概念在二维空间中，向量可以表示为具有两个分量（x，y）的有序对。
向量乘积是指两个向量按照一定规则进行乘法运算后得到的结果。
在圆锥曲线中，我们可以通过向量乘积来研究向量在曲线上的变化情况。
具体而言，对于给定的曲线上的两个点P和Q，其向量分别为→P和→Q。
那么向量乘积的结果为→P × →Q，其结果是一个新的向量。
根据向量乘积的定义，向量乘积的长度表示P和Q之间的距离，而向量乘积的方向则表示了P和Q之间的夹角。
三、乘积过定点的问题在圆锥曲线中，一个有趣的问题是，如果在曲线上选择两个点P和Q，那么它们的向量乘积是否会通过一个固定的点O（定点）？答案是：对于椭圆，通过焦点O的向量乘积一定会经过点O；对于双曲线，通过焦点O的向量乘积则不会经过点O，而是将焦点O延伸到曲线的准线。
这个结论可以通过几何和向量运算来证明。
通过几何推导，我们可以发现在椭圆中，任意两点的向量乘积都会经过焦点O。
而在双曲线中，由于焦点在准线上，所以通过焦点的向量乘积将延伸到双曲线的准线。
结论：通过两个给定点的向量乘积是否经过一个固定点是圆锥曲线中一个有趣的问题。
圆锥曲线的基本量计算
第2讲 圆锥曲线的基本量计算 课时讲义1. 高考对圆锥曲线基本量的计算主要围绕曲线的方程、离心率、双曲线的渐近线等展开，考查学生的运算能力．2. 高考对圆锥曲线基本量的考查题型：(1) 离心率的计算；(2) 曲线方程的求解；(3) 在大题中考查基本量的计算．1. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为________．2. 双曲线x 2m－y 2＝1(m>0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则m ＝________3.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y b22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为________．4. 以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为____________．, 一) 方程的求解与基本量计算, 1) 求分别满足下列条件的椭圆的标准方程． (1) 经过P(－23，0)，Q(0，2)两点；(2) 与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的焦点且经过点(2，－3)．若抛物线y 2＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y23＝1(a>0)的右焦点，则实数a 的值为________．, 二) 离心率的计算, 2) (2018·南通中学练习)已知点F 是双曲线x a 2－y b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．, 三) 焦点三角形, 3) 设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P的中点，OM ＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，点P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1) 求椭圆离心率的取值范围；(2) 求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．1. (2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x a 2－y b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F(c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．2. (2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为________．3. (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则MN ＝________．4. (2018·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点 (3，12)，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1) 求椭圆C 及圆O 的方程；(2) 设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.① 若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；② 直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A(－2，0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．课本回顾。
高考数学专题复习讲练测——专题八 直线与二次曲线 专题复习讲练 4 圆锥曲线
§ 4 圆锥曲线一、复习要点1 本节复习的主要内容有：（1）进一步熟练圆锥曲线基本量的计算；（2）利用直线与圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步熟练掌握解决直线与圆锥曲线位置关系问题的思想方法，如公共点的个数问题、弦长问题、弦的中点问题，有关的垂直关系问题、对称问题、存在性问题等；（3）根据已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或圆锥曲线方程问题．2 本节的重点是利用直线和圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线位置关系的思想方法．利用方程，通过代数推理研究直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，运算量大，代数推理能力要求高，因而也成为本课时复习中的一个难点．直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考解析几何命题的热点，且常常作为压轴题或把关题在高考试题中出现．3 在本节的复习中，应注意如下复习策略：熟练掌握有关直线和圆锥曲线的基础知识，解决直线与圆锥曲线问题的基本方法、基本技能．在熟练掌握常规方法的基础上，要不断探索，优化解题过程，简化运算，正确进行代数推理，提高解题速度和准确率．注意以下几点：（1）有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义及焦半径公式的运用，以简化运算；（3）有关弦的中点问题，应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算；（4）有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，整体处理；（5）有关圆锥曲线关于直线ｌ的对称问题中，若A、A′是对称点，则应抓住ＡＡ′的中点在ｌ上及ｋＡＡ′²ｋｌ＝－1这两个关键条件解决问题；（6）有关直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”．二、例题讲解例1 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过它的右焦点F２引倾斜角为（π／4）的直线ｌ交椭圆于M、N两点，M、N两点到椭圆右准线的距离之和为（8／3），它的左焦点F１到直线ｌ的距离为，求椭圆的方程．图8-11讲解：本题是根据已知直线与椭圆的位置关系，求椭圆的方程．因椭圆的位置确定，因而方程的形式确定，故可用待定系数法求解．如图8-11，设所求椭圆的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，其中ａ＞ｂ＞0．Ｆ１（－ｃ，0），Ｆ２（ｃ，0），ｃ＝，则直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ－ｃ．由F１到ｌ的距离为，求得ｃ＝1.若设M（ｘ１，ｙ１）、N（ｘ２，ｙ２），则ｄ１＝（ａ２／ｃ）－ｘ１，ｄ２＝（ａ２／ｃ）－ｘ２． ∵ ｃ＝1，∴ ｄ１＋ｄ２＝2ａ２－（ｘ１＋ｘ２）．据已知有2ａ２－（ｘ１＋ｘ２）＝（8／3）． ①欲求椭圆方程，已知ｃ＝1，所以只需求得ａ，由①知，只要将ｘ１＋ｘ２用a 表示即可.要寻求ｘ１＋ｘ２与ａ的关系，须从直线与椭圆的方程组成的方程组入手．由（ａ２－1）ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２（ａ２－1）， ｙ＝ｘ－1，消去ｙ，得（2ａ２－1）ｘ２－2ａ２ｘ＋ａ２（2－ａ２）＝0． 从而ｘ１＋ｘ２＝2ａ２／（2ａ２－1）． ② ②代入①解得ａ２＝2，则ｂ２＝1． 故所求椭圆方程为（ｘ２／2）＋ｙ２＝1．本题也可以由焦半径公式，得 ｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝2ａ－（1／ａ）（ｘ１＋ｘ２），再据椭圆第二定义，得｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝（8／3），建立关于a 的方程．本题在得到｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝（8／3ａ）后，还可以利用弦长公式建立关于a 的方程，但运算量大．后两种方法请同学们试试看，比较其优劣．例2 已知双曲线的一个焦点在坐标原点，与该焦点相应的准线方程是x=1,直线l 与双曲线交于P １、P ２两点.若线段P １P ２的垂直平分线方程为x+y=0,且｜P １P ２｜=2，求双曲线的方程．讲解：据已知条件，所求双曲线方程是非标准形式．但由已知焦点位置和相应准线知实轴在x 轴上，且中心为（c,0），故可用待定系数法求解．若设P １P ２的方程为y=x+m ，与双曲线方程联立，用弦长公式求解，参数较多，运算量大，故从求点P １、P ２的坐标入手．设所求双曲线的方程为（（x-c ）２／a ２）-（y ２／b ２）=1（其中a ＞0,b ＞0,c=.如图8-12.据题意，c-1=（a ２／c ），图8-12即c ２=c+a ２, ∴c=b ２．设P 1（x 0,y 0）,则 P 2（-y 0,-x 0）. ∵｜P １P ２｜=2,∴=2．∴x0+y=2. ①又P１（x,y）、P２（-y,-x）都在双曲线上，∴（（x-c）２／a２）-（y２／b２）=1，（（-y-c）２／a２）-（（-x）２／b２）=1.两式相减，并注意到b２=c,得x0-y=2. ②联立①、②，解得x0=2,y=0，∴P１（2，0），P２（0，-2），将此两点的坐标分别代入双曲线方程，得（（2-c）２／a２）=1,（c２／a２）-（4／b２）=1.将c=b２代入，解得a２=（4／9）,b２=（4／3）．故所求双曲线的方程为（9（x-（4／3））２／4）-（3y２／4）=1．例3 直线ｌ：ａｘ－ｙ－1＝0与双曲线 Ｃ：ｘ２－2ｙ２＝1相交于P、Q两点．（1）当实数a为何值时，｜ＰＱ｜＝2?（2）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．讲解：（1）若设P、Q的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），则（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２）是方程组ａｘ－ｙ－1＝0，①ｘ２－2ｙ２－1＝0 ②的实数解，根据此方程组有两个不同解的条件及弦长确定实数a的值．将①代入②消去y，得（1－2ａ２）ｘ２＋4ａｘ－3＝0．③若1－2ａ２＝0，即ａ＝±（／2）时，直线ｌ与双曲线的渐近线平行，ｌ与C只可能有一个交点，∴1－2ａ２≠0． 当1－2ａ２≠0，即ａ≠±（／2）时，由方程③的判别式Δ＞0，得－（／2）＜ａ＜（／2）．又ｘ１＋ｘ２＝－4ａ／（1－2ａ２），ｘ１ｘ２＝－3／（1－2ａ２），④由弦长公式及④，得｜ＰＱ｜＝²．由已知｜ＰＱ｜＝2，解得ａ２＝－（1／2）（舍去），或ａ２＝1.∴ａ＝±1，满足－（／2）＜ａ＜（／2）．故所求实数a的值为±1．（2）反证法 假设存在实数a的值，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则由OP⊥ＯＱ，得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又ｙ１ｙ２＝（ａｘ１－1）（ａｘ２－1），∴（1＋ａ２）ｘ１ｘ２－ａ（ｘ１＋ｘ２）＋1＝0．将（1）中的④代入，解得ａ２＝-2，这与a为实数矛盾.故不存在实数a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点．本题在得到方程③后，应注意两点：1°对二次项系数是否为零要分类讨论；2°当1－2ａ２≠0时，应有Δ＞0这一条件，否则会“对而不全”．例4 如图8-13所示，设抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、Ｂ两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥ｘ轴．证明直线ＡＣ经过原点Ｏ．图8-13讲解：证明直线AC经过原点O，即证明A、Ｏ、Ｃ三点共线．证明三点共线的方法甚多，常用的有斜率法、方程法、距离法等，这里我们只给出两种思路．其他的请读者自己思考．思路1．斜率法．∵Ｆ的坐标为（（ｐ／2），0），∴直线ＡＢ的方程可设为ｘ＝ｍｙ＋（ｐ／2），代入抛物线方程，得ｙ２－2ｐｍｙ－ｐ２＝0．若记Ａ（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１ｙ２＝－ｐ２．又∵ＢＣ∥ｘ轴，且点C在准线ｘ＝－（ｐ／2）上，∴Ｃ点的坐标为（－（ｐ／2），ｙ２），∴ｋＣＯ＝ｙ２／－（ｐ／2）＝2ｐ／ｙ１＝ｙ１／ｘ１，即ｋＣＯ＝ｋＡＯ，∴直线ＡＣ经过点O．思路2．距离法（同一法）．记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为E，过A作AD⊥ｌ，D为垂足．则AD∥ＦＥ∥ＢＣ，连结AC与ＥＦ相交于点N，则（｜ＥＮ｜／｜ＡＤ｜）＝（｜ＣＮ｜／｜ＡＣ｜）＝（｜ＢＦ｜／｜ＡＢ｜），（｜ＮＦ｜／｜ＢＣ｜）＝（｜ＡＦ｜／｜ＡＢ｜）．又由于｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜，｜ＢＦ｜＝｜ＢＣ｜，∴｜ＥＮ｜＝（｜ＡＤ｜²｜ＢＦ｜／｜ＡＢ｜）＝（｜ＡＦ｜²｜ＢＣ｜／｜ＡＢ｜）＝｜ＮＦ｜．即N为ＥＦ的中点，与抛物线的顶点O重合，∴直线ＡＣ经过原点O．该题实质为抛物线焦点弦的一个性质定理．抛物线的焦点弦还有一些常用性质，如，设AB为抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点弦，且A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线AB的倾角为θ，则ｙ１ｙ２＝－ｐ２，｜ＡＢ｜＝（2ｐ／ｓｉｎ２θ），（1／｜ＡＦ｜）＋（2／｜ＦＢ｜）＝（2／ｐ），等等．另外，该命题还可进一步引申为：设Ａ、Ｂ为抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上两点，C在其准线上，且BC∥ｘ轴，则Ａ、Ｏ、Ｃ三点共线的充要条件为Ａ、Ｆ、Ｂ三点共线．其中，充分性为2001年全国高考试题，必要性为1997年陕西省高中毕业会考试题．三、专题训练1 椭圆的两个焦点和中心将两条准线间的距离四等分，则一焦点与它的短轴的两端点连线的夹角是（）．Ａ．45°Ｂ．60°Ｃ．90°Ｄ．120°2．椭圆C：（ｘ２／4）＋ｙ２＝1关于直线ｌ：ｙ＝ｘ－3对称的椭圆Ｃ′的方程是（）．Ａ．（ｘ－3）２＋（（ｙ＋3）２／4）＝1Ｂ．（ｘ＋3）２＋（（ｙ－3）２／4）＝1Ｃ．（（ｘ－3）２／4）＋（ｙ＋3）２＝1Ｄ．（（ｘ＋3）２／4）＋（ｙ－3）２＝13．过双曲线（ｘ２／9）－（ｙ２／16）＝1的右焦点F作倾斜角为（π／4）的弦AB，则AB的中点到F的距离是（）．Ａ．80／7Ｂ．80／7Ｃ．80／7Ｄ．40／74．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点弦AB的长为ｍ，顶点为O，则△OAB的面积为（）．Ａ．（ｐ／2）Ｂ．（ｐ／4）Ｃ．（ｐ／4）Ｄ．无法计算5 若直线ｙ＝ｋｘ＋1（ｋ∈Ｒ）与椭圆（ｘ２／5）＋（ｙ２／ｍ）＝1恒有公共点，则实数ｍ的取值范围是__________．6 直线ｙ＝1－ｘ交椭圆ｍｘ２＋ｎｙ２＝1于M、N两点，弦MN的中点为P.若ｋＯＰ＝（／2），Ｏ为坐标原点，则（ｍ／ｎ）＝__________．7 给出下列四个命题：①椭圆（ｘ２／16）＋（ｙ２／λ）＝1的离心率为（1／2），则λ=12；②已知双曲线3mｘ２-mｙ２＝3的一个焦点的坐标是（0，1），则m=-4;③已知抛物线y＝（1／2）x２-2x+（m／2）的准线是y=-1,则实数m=3；④椭圆（x２／25）+（y２／9）＝1上一点M到左焦点F１的距离是2，N是MF１的中点，O是坐标原点，则｜ON｜=2．其中所有正确的命题的序号是_______．8 已知抛物线ｙ２＝4ａｘ（ａ＞0）的焦点为A，以B（ａ＋4，0）点为圆心，｜ＢＡ｜为半径，在ｘ轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同的两点Ｍ、Ｎ，点P是MN的中点．（1）求｜ＡＭ｜＋｜ＡＮ｜的值；（2）是否存在实数ａ，使｜ＡＭ｜、｜ＡＰ｜、｜ＡＮ｜成等差数列？若存在，求出ａ；若不存在，说明理由．9．已知直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ与椭圆C：ｘ２＋（ｙ２／3）＝1交于A、B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点．（1）当直线ｌ与直线ｘ＋ｙ＝0平行（不重合）时，求直线OM的斜率；（2）如果｜ＯＭ｜＝1，证明ｂ２＝（ｋ２＋3）２／（ｋ２＋9），并求线段AB的长取最大值时直线ｌ的方程．10 已知双曲线3ｘ２－ｙ２＋24ｘ＋36＝0的右焦点为F，右准线为ｌ，椭圆C以F和ｌ为相应的焦点及准线，过点F作倾斜角为（π／4）的直线ｍ交椭圆C于两点A、B，以AB为直径作圆Ｏ′．（1）若圆Ｏ′过椭圆C的中心，求椭圆C的方程；（2）当椭圆C的中心在圆Ｏ′内时，求这个椭圆离心率ｅ的取值范围．。
圆锥曲线的定点、定值问题(解析版)
2020上学期期末复习专题1 圆锥曲线的定点、定值问题（教师版）一．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.二．题型归纳题型1 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线2y ＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为2y ＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ,42，B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t t ,42. 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以214422-=-⋅t t t t ，化简得2t ＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A ()A A ,y x ，B ()B B ,y x ，联立⎩⎨⎧+==bkx y x y 42，消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.所以B A y y ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以21-=⋅B B A A x y x y ，整理得B A x x ＋2B A y y ＝0.即024422=+⋅B A B A y y yy ，解得B A y y ＝0(舍去)或B A y y ＝－32.所以B A y y ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．【跟踪训练1-1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-530，.【总结归纳】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与 点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[解] (1)设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，则N(x 0,0)．∵NP ―→＝ 2 NM ―→，∴(x －x 0，y)＝2(0，y 0)，∴x 0＝x ，y 0＝y 2.又点M 在椭圆上，∴142922=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：由(1)知F 为椭圆x 29＋y 28＝1的右焦点，当直线l 1与x 轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝2b 2a ＝163，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB|＝163，|CD|＝6，∴1|AB|＋1|CD|＝1748. 当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 29＋y28＝1消去y ，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，则Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＝2 304(k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，∴|AB|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝481＋k 28＋9k 2.同理可得|CD|＝481＋k 29＋8k 2.∴1|AB|＋1|CD|＝8＋9k 248k 2＋1＋9＋8k 248k 2＋1＝1748.综上可得1|AB|＋1|CD|为定值． 【跟踪训练2-1】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为定值，并求出该定值．【解】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2<x 0<2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)． 因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－2＋x0y(x －x 0)，y ＝－y0x 0－2(x －2)，解得E ⎝⎛⎭⎫45x 0＋25，－45y 0， 所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.法二：设M (2cos θ，sin θ)(θ≠k π，k ∈Z )，则D (2cos θ，0)，N (2cos θ，－sin θ)， 设BE ―→＝λBN ―→，则DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝DB ―→＋λBN ―→＝(2－2cos θ，0)＋λ(2cos θ－2，－sin θ) ＝(2－2cos θ＋2λcos θ－2λ，－λsin θ)．又AM ―→＝(2cos θ＋2，sin θ)，由AM ―→⊥DE ―→，得AM ―→·DE ―→＝0，从而[(2－2cos θ)＋λ(2cos θ－2)](2cos θ＋2)－λsin 2θ＝0，整理得4sin 2θ－4λsin 2θ－λsin 2θ＝0， 即5λsin 2θ＝4sin 2θ.，所以λ＝45，所以S △BDE S △BDN ＝|BE ||BN |＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.【总结归纳】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：题型三 探索性问题例3.已知圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值．若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 因为圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)， 所以设圆心坐标为(m,2m －6)，半径为r ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m ＋6)2＝r 2.则(1－m )2＋(2－2m ＋6)2＝r 2且(4－m )2＋(－1－2m ＋6)2＝r 2， 即(m －1)2＋(8－2m )2＝r 2且(m －4)2＋(5－2m )2＝r 2， 解得m ＝4，r ＝3.所以圆M ：(x －4)2＋(y －2)2＝9.(2) 设P (x ，y )，R (a ，b )，则(x －4)2＋(y －2)2＝9，即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11. 又PQ 2＝x 2＋y 2－1，PR 2＝(x －a )2＋(y －b )2＝x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2， 故PQ 2＝8x ＋4y －12，PR 2＝(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11.又设PQPR ＝t 为定值，故8x ＋4y －12＝t 2[(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11]． 因为上式对圆M 上任意点P (x ，y )都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧8＝(8－2a )t 2，4＝(4－2b )t 2，－12＝(a 2＋b 2－11)t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，b 1＝1，t 1＝2或⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a 2＝25，b 2＝15，t 2＝103.综上，存在点R (2,1)或R ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15满足题意．跟踪训练3：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2) 以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点M (2,0)．由题意可知直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 1x 1－2. 直线BM 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 2x 2－2. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N (x 0,0)，则等价于PN →·QN →＝0恒成立．又因为PN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 1x 1－2，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 2x 2－2，所以PN →·QN →＝x 20＋2y 1x 1－2·2y 2x 2－2＝x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝0恒成立． 又因为(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4k 2－41＋4k 2－28k 21＋4k 2＋4＝4k 21＋4k 2，y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k2，所以x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝x 20＋－12k 21＋4k 24k 21＋4k 2＝x 20－3＝0，解得x 0＝±3. 故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(±3，0)．圆锥曲线定点定值问题作业1. 如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1) 求点A ，B 所在的曲线L 的方程；(2) 过L 上点C (－2,0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l ∥OA .求证：CD ·CEOA 2为定值．解析：(1) 因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8，所以A ，B 两点到M ，N 的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1.曲线L 的方程为x24＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为点C (－2,0)在曲线L 上，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 2＋21＋4k2，4k 1＋4k 2，E (0,2k )， 所以CD ＝41＋k 21＋4k2，CE ＝21＋k 2. 因为OA ∥l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线L 的方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4. 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k 21＋4k2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值．说明：本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴是短轴的两倍，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2恰好构成等比数列． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断OA 2＋OB 2是否为定值．若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.此时Δ＝16(2－m 2)>0，即m ∈(－2，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝±2m ，x 1x 2＝2m 2－2.又OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34(x 21＋x 22)＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2＝5， 所以OA 2＋OB 2是定值，且为5.3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值． 解 (1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2y ＝－x ＋c⇒b 2x 2＋a 2(－x ＋c )2＝a 2b 2，(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2， OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线，3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0,3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即 x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝3b 2，c ＝a 2－b 2＝6a 3，e ＝c a ＝63.(2)证明：a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，设M (x ，y )为椭圆上任意一点，OM →＝(x ，y )，OM →＝mOA →＋nOB →，(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，点M (x ，y )在椭圆上，(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. ∴x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝12c 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝38c 2，∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，将x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入得 3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1.3.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线y ＝－14x 于点N ，若NA →＝mAM →，NB →＝nBM →，求证：m ＋n 为定值，并求出此定值. 解 (1)因为长轴长为8，所以2a ＝8，a ＝4， 又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形， 所以b ＝32a ＝23，由于椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N ⎝⎛⎭⎫x 0，－14x 0， 由NA →＝mAM →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 0，y 1＋14x 0＝m (1－x 1，3－y 1)，所以x 1＝m ＋x 0m ＋1，y 1＝3m －14x 0m ＋1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋x 0m ＋1，3m －14x 0m ＋1， 因为点A 在椭圆x 216＋y 212＝1上，所以得到⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 0m ＋1216＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －14x 0m ＋1212＝1，得到9m 2＋96m ＋48－134x 20＝0；同理，由NB →＝nBM →，可得9n 2＋96n ＋48－134x 20＝0， 所以m ，n 可看作是关于x 的方程9x 2＋96x ＋48－134x 20＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－969＝－323，为定值.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，－3)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．解析：(1) 设椭圆的焦距为2c .由椭圆经过点(0，－3)得b ＝ 3. ①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a ＋c ＝a 2c －c . ② 又a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③可得a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2) 法一：当直线l 的斜率为0时，则M (2,0)，N (－2,0)，设P (x 0，y 0)，则PM ·PN ＝|(x 0－2)(x 0＋2)|.因为点P 在椭圆外，所以x 0－2，x 0＋2同号，又PF 2＝(x 0－1)2，所以|(x 0－2)(x 0＋2)|＝(x 0－1)2，解得x 0＝52. 当直线l 的斜率不为0时，因为y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，PM ＝1＋m 2|y 1－y 0|，PN ＝1＋m 2|y 2－y 0|，PF ＝1＋m 2|y 0|.因为点P 在椭圆外，所以y 1－y 0，y 2－y 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋m 2)(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝(1＋m 2)[y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20]＝(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4， 代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4＝(1＋m 2)y 20，整理得y 0＝32m ，代入直线方程得x 0＝52.所以点P 在定直线x ＝52上．法二：当直线l ⊥x 轴，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM ·PN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋32.又PF 2＝y 20，所以PM ·PN ＝PF 2不成立，不合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与椭圆x 24＋y 23＝1联立并消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16k 4＋108k 2＋108>0， 所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM ＝1＋k 2|x 1－x 0|，PN ＝1＋k 2|x 2－x 0|，PF ＝1＋k 2|x 0－1|. 因为点P 在椭圆外，所以x 1－x 0，x 2－x 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋k 2)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝(1＋k 2)[x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2.代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝(1＋k 2)(x 20)(x 20－2x 0＋1)， 整理得x 0＝52，所以点P 在定直线x ＝52上．。
圆锥曲线专题(定值)
2、直接法解题步骤
第一步设变量：选择适的量当变量，一般情况先设出直线的方程：y=kx+b或x=my+n、点的坐标；
第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)用引入的变量表示出来；
(三) 常见条件转化
1、对边平行：斜率相等，或向量平行；
2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；
3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；
4、直角三角形中线性质：两点的距离公式
5、点与圆的位置关系：(1)圆外：点到直径端点向量数量积为正数；(2)圆上：点到直径端点向量数量积为零；(3)圆内：点到直径端点向量数量积为负数．
第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数．
(二) 常见定值问题的处理方法
1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；
2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；
3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．
(四) 常用的弦长公式：
（1） 若直线AB的方程设为y=kx+b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|=sqrt(1+k^(2))⋅|x1−x2|=sqrt(1+k^(2))⋅sqrt((x1+x2)^(2)−4x1x2)=sqrt(1+k^(2))⋅(sqrt(Δ))/(|a|)
圆锥曲线数学运算
圆锥曲线数学运算
圆锥曲线是指由一个平面截取圆锥而成的曲线。
圆锥曲线有三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
1.椭圆的数学表达式为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中，a和b是椭圆的长轴和短轴。
2.抛物线的数学表达式为：y^2=4ax
其中，a是抛物线的抛物线性。
3.双曲线的数学表达式为：x^2/a^2-y^2/b^2=1
其中，a和b是双曲线的长轴和短轴。
圆锥曲线的数学运算涉及到许多常见的数学公式，例如：
1.二次方程的求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
2.韦达定理：ax^2+bx+c=0的根之和=-b/a，根之积=c/a
3.数列求和公式：Sn=(a+l)/2*n
4.几何体体积公式：V=(1/3)*底面积*高
5.几何体表面积公式：S=底面积+2*侧面积。
高考数学-解析几何.圆锥曲线(知识点归纳)
高考专题：解析几何常规题型及方法高考核心考点1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 121221-=，x y 222221-=。
两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 12121212120+--+-=。
又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x yy y x x ---=·。
又k y y x x y x =--=--121212，代入得24022x y x y --+=。
当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。
因此所求轨迹方程是24022x y x y --+=说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
高三暑期第8讲.圆锥曲线的概念与基本量.尖子班
D． x2 y2 1 或 x2 y2 1
16 25
25 16
2、
椭圆 x2 12
y2 3
1 的左、右焦点分别为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在
y
轴
上，那么 PF1 是 PF2 的（ ）
A． 7 倍
B． 5 倍
C． 4 倍
D． 3 倍
3、 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A 、 B 两点，若 △ABF2 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A． 3 2
B． 2 2
C． 2 1
D． 2
4、 若椭圆 x2 y2 1（ m 0 , n 0 ）与曲线 x2 y2 m n 无交点，则椭圆的离心率 e 的取 mn
值范围是（ ）
A．
3 2
,
1
B． 0 ,
3 2
C．
2 2
,
1
D． 0 ,
2 2
5、
过椭圆 C
：
x2 a2
A． 2
B． 1 5 2
C． 3 1 2
D． 5 1 2
7、
如图，
F1
，
F2
分别是双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1a ，b 0 的左、右焦点， B 是虚轴的端点，直
线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P ，Q 两点，线段 PQ 的垂直
平分线与 x 轴交于点 M ．若 MF2 F1F2 ，则 C 的离心率是
y2
2 px
（
p
0 ）的焦点 F
恰好是椭圆
x2 a2
y2 b2
(完整word版)圆锥曲线专题
圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（2）从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1。
设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0,圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由Ax+0(,)0{By c f x y +==,消元。
如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0,当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。
a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点;b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2。
“点差法”的常见题型求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ〉0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则所得弦长｜P 1P 2｜ ＝ 或|P 1P 2｜＝ .(2）当斜率k 不存在时,可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式)．1＋k 2|x 1－x 2|1＋1k 2|y 1－y 2|4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝1中，以P(x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝－错误!;在双曲线错误!－错误!＝1中，以P（x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝错误!；在抛物线y2＝2px (p〉0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设错误!＝λ错误!.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2)若λ∈错误!，求｜PQ|的最大值．[思维启迪］（1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值．解析：（1)证明设P(x1，y1),Q（x2,y2），M（x1,－y1）．∵错误!＝λ错误!，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y错误!＝λ2y错误!，y错误!＝4x1,y错误!＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1），λx2（λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝错误!，x1＝λ,又F(1，0），∴错误!＝（1－x1，y1）＝(1－λ，λy2）＝λ错误!＝λ错误!，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F。
高考圆锥曲线的基础典型题型
高考圆锥曲线的基础典型题型2014.1.19-23 解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一.直线和圆锥曲线位置关系问题是解析几何问题大题的难点问题，通常在解决直线和圆锥曲线问题上，往往要做三步，一就是联立方程组，二就是求判别式，并且判别符号..第三，运用韦达定理，如果这三步做完了，就是解不等式，或者求函数的值域或定义域的问题了. 具体如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、切线)的研究与讨论仍然是重中之重.由于导数的介入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”.(2)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现.(3)与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会“披着”向量的“外衣”.(4)函数、方程与不等式与《解析几何》问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”.(5)有几何背景的圆锥曲线问题一直是命题的热点.(6)数列与《解析几何》问题的携手是一种值得关注的动向.【命题特点试题常见设计形式】求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥.（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决;<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值（5）求曲线的方程问题<1>曲线的形状已知-----这类问题一般可用待定系数法解决；<2>曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）【高考考点】：1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离等，也要注意斜率的存在与否）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、熟练掌握三大曲线的定义和性质；8、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题；9、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。
圆锥曲线中的方法与运算
圆锥曲线中的方法与运算1. (与名师对话第51练) 已知抛物线221y x =-,点(2,0)A , 问是否存在过点A 的直线l ,使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围. 解: 设直线l 的方程为(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即0k =可取.若0k ≠,则直线PQ 的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,21,y x m ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩可得,22210y y kb +-+=. ∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点,∴ 244(21)0,k kb =--+> 即 2120k kb -+>. 设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则1202y y y k +==-, ∴ 2120()()2y y x k km k k km k km +=-+=--+=+, ∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2(2)k k km +-, 由 0k ≠可得, 21k m k-=,∴ 212k k -+21k k-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<. 综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<.2. (与名师对话第51练)已知椭圆22:4580E x y +=, 点A 是椭圆与y 轴的交点, F 为椭圆的右焦点, 直线l 与 椭圆交于B,C 两点.（1） 若点M 满足1(),22OM OB OC AF FM =+=,求直线l 的方程;（2） 若0AB AC ⋅= ,D 在BC 上,且0AD BC ⋅=,求动点D 的轨迹方程.分析: 题(1)是个定状态的问题: 由2AF FM =可知,点M 是定点,且由 1()2OM OB OC =+是线段BC 的中点, 由此可求得直线BC 即直线l 的方程.解(1) 由椭圆22:4580E x y +=可知A(0,4), F(2,0).∵ 2AF FM =, ∴ (2,0)-(0,4)=2[(00,x y )-(2,0)], ∴ 003,2,x y ==-即M(3,-2).∵ 1()2OM OB OC =+, ∴ 点M 是线段BC 的中点,∴ 直线BC 即直线l 的斜率为65. (可以有四中方法:①202F l a k k b =-,②点差法,③设k 法,④设而不求法求得).∴ 直线l 的方程为6(3)25y x =--,即65280x y --=. 分析: 题(2)是一个动状态的问题:①点D 随AB 的变化而变化,从而点D 的坐标是刻画直线AB 的变化的量的参数(斜率k )的函数, ②可设BC 的方程为y kx b =+(k 存在), 从而点M 是直线AM(直线AD 用参数k 刻画)与直线BC 的交点,在由BAC ∠是直角得参数k 与b 的关于式,消参数k 与b 即得点D 的方程.解法(一) 设直线AB 的斜率为k ,则直线AC 的斜率为1k-. 直线AB 的斜率为方程为4y kx =+,由方程组224,4580,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得,22(54)400,k x kx ++=∴ 24054B k x k =-+, 22162054B k y k -=+， 同理得240k 45C x k =+, 22162045C k y k -=+.∴ 2222222162016204(1)5445404095445BCk k k k k k k k k k k --+--++==--+++， ∴ 直线BC 的方程为, y =24(1)9k k --(x +240)54k k ++22162054k k -+， y =24(1)9k k --x +2222160(1)16209(54)54k k k k --+++，y =24(1)9k k --x -224(54)9(54)k k ++， y =24(1)9k k--49x -.∵ 直线AD 的方程为, 2942(1)ky x k =-+-, ∴由y =22(1)9k k -49x -与2942(1)k y x k =-+-移项相乘消去k 可得24()(4)9y y x +-=-, 即 2221620()()(4)99x y y +-=≠.说明: 本解法用的是参数法中的特殊方法--------交轨法.解法(二): 设直线l 的方程为y kx m =+, 则直线AD 的方程为14y x k=-+. (显然由方程y kx m =+和方程14y x k =-+消去k 和m 即可得点D 的轨迹方程, 这里 我们必须给出k 和m 的关系式,将0AD BC ⋅=这一几何条件转化为代数形式即可得k 和m 的关系式)由方程组22,4580,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得,222(54)105800k x kmx b +++-=, 设1122(,),(,)B x y C x y , 则2121222105,5454km m x x x x k k -+==++. ∵ 0AD BC ⋅=, ∴ AD BC ⊥,∴ 1212(4)(4)0x x y y +--=, 1212(4)(4)0x x kx m kx m ++-+-=, 221212(1)(4)()(4)0k x x k m x x m ++-++-=,2(1)k +22554m k ++(4)k m -21054km k -+2(4)0m +-=化简得,2932160m m --=. 解得,4m =(舍去)或49=-. ∴ 方程y kx m =+即为49y kx =-, 由方程49y kx =-和方程14y x k=-+消去k 得, 220()(4)9y y x +-=-, 即 2221620()()(4)99x y y +-=≠. 3. (与名师对话第51练)已知直线l 过点M (1,0),且与抛物线22x y =交于,A B 两点,O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:1122OP OA OB =+.（1）求点P 的轨迹C 的方程;（2） 若曲线C 的切线的斜率为λ,满足:MB MA λ=,点A 到y 轴的距离为a ,求a 的取值范围.分析：由1122OP OA OB =+可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹.解(1) 显然直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为: 1y k x =-（）,由方程组212y k x x y =-⎧⎨=⎩（），，消去y 整理得2220x kx k -+=,设1122(,),(,)A x y B x y , 122x x k +=,∴ 122p x x x k +==, 21p y k k k k =-=-（）, 消去k 得点P 的轨迹C 的轨迹方程为: 2y x x =-.∵ 2480k k ->, ∴ 0k <或2k >,∵ 点P 在y 轴的右侧, ∴ 2x k =>,故点P 的轨迹C 为抛物线2y x x =-上的一段弧.分析: 点A 到y 轴的距离为a 就是点A 的横坐标的绝对值.因为曲线C 的切线的斜率为λ,所以λ='21y x =-,由2x >知,3λ>,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.解(2): 设1122(,),(,)A x y B x y ,则由MB MA λ=可知,22(,)(1,0)x y -=λ[11(,)(1,0)x y -],∴211(1)x x λ-=-,21y y λ= ,∴ 211x x λλ=-+, 2221x x λ=, ∴ 2211[(1)]x x λλλ--= ∵ 1λ≠,∴ 211210x x λλλ-+-=, 方法(一) 11x ==3λ>), ∴11(3)a x λ==±>,∴ a∈(1(1,1⋃.方法(二) 211(1)x λ-=, (3λ>),∴ 1103λ<<, 0<21(1)x -13<, ∴ 11x ≠且111x <<+ ∴ a∈(13-(1,13⋃+.4. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为22x py = (0)p >,过点M (0,)m 且倾斜角 为θ(0<θ<2π)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且212x x p =-. （1）求m 的值;（2）若点M 分AB所成的比为λ,求λ关于θ的函数关系式.分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线的方程为y kx m =+. 由方程组22y kx m x py =+⎧⎨=⎩，，消去y 整理得2220x pkx pm --=, 则122x x pm =-,∵ 212x x p =-, ∴ 2pm -2p =-, 2p m =. 分析: 由2p m =可知过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线为2p y kx =+.先建立关于k 的函数关系式,再转换为关于θ的函数关系式. 解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,∴ AM MB λ= , 1122(0,)(,)[(,)(0,)]22p px y x y λ-=-,1212,(),22x x p p y y λλ=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩由(1)可知212122,x x pk x x p +==-,由方程组1212212,2,,x x x x pk x x p λ⎧=-⎪+=⎨⎪=-⎩可消去12,,x x p 得,222(21)10k λλ-++=.∵ 0<θ<2π, ∴ 1λ<,故2212k λ=+-222(1sin )2tan 12tan cos θθθ-+-==1sin 1sin θθ-+.5. (与名师对话第51练) 已知方向向量为(1v =的直线l 过点(0,-2)和椭圆C:22221x y a b+= (0)a b >>的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（1）求椭圆C 的方程;（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OM ON ⋅=cot MON ∠ 0(O ≠为原点)? 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为221189x y +=，F 是它的左焦点，M 是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.(1) 求OFM 的重心G 的轨迹方程;(2) 若OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角OGP ∠最大, 求点G 的坐标.解(1): 设点)y ,x (G (y ≠0) , M(x 1,y 1)由题设可知,F(-) 则11333x yx y -==，, ∴ 1333x x y =+=1，y , ∴ OFM 的重心G 的轨迹方程为22112x y ++=（）(0y ≠). (2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆22112x y ++=（）的两个焦点.下面证明当点M 与椭圆22112x y ++=（）的短轴的端点重合时张角OGP ∠最大. 方法(一) 用椭圆的定义设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r ，则由椭圆的定义可知1r +2r =22.在MOP ∆中, 21222212r r OP r r OGP COS -+=∠=21222124r r r r -+=2121221224)(r r r r r r --+=21212224)22(r r r r --=2142r r +-≥4)(42221r r ++- (当且仅当21r r =时,等于号成立)=0∴ 当21r r =,即点M 与短轴的端点重合时张角OGP ∠最大, 最大角为090,这时点M 的坐标为(-1,1)、（-1，-1）.方法(二) 用椭圆的焦半径公式将椭圆22112x y ++=（）平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为2212x y +=,原张角OGP ∠就是在点P 处的两条焦半径的夹角.设点P 的坐标为(00x y ，),则2200124cos x x F PF +-∠=））=22000011[02]12122222x x x x =⋅∈--2，（） 当00x =时,12cos 0F PF ∠=, 当2002]x ∈（，时, 12cos 01]F PF ∠∈（，, 故12cos [01]F PF ∠∈，, 12F PF ∠的最大值为090,这时相应点P 的坐标为(0,±1),在椭圆的原位置相应点P 的坐标为(-1,±1).7. (与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，的距 离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19-. (1) 求动点P 的轨迹方程;(2) 若已知点D (0,3),点M N ，在动点P 的轨迹上,且DM DN λ=,求实数λ的取值范围;(3) 若已知点D (1,1), 点M N ，在动点P 的轨迹上,且MD DN =,求直线MN 的方程.分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,设其方程为22221x y a b+= (0a b >>).可以证明(仿例6)当动点P 在椭圆的短轴的端点时12cos F PF ∠的值最小,这时2122222010cos 12a F PF a a-∠==-, ∴ 210119a -=-, 29a =. ∴ 24b =, ∴ 动点P 的轨迹方程为22194x y +=. 分析: 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线, 直线MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为3,y kx =+这时要k 作讨论),也可以用t 表示(直线的方程为(3)x t y =-,这时不需要对t 作讨论).下面用直线方程3y kx =+求解.解法(一): 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线.若直线MN 的斜率不存在,则155λλ==或. 若直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为3,y kx =+则由方程组223,4936,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得,22(94)54450k x kx +++=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则1212225445,9494k x x x x k k -+==++. 又由DM DN λ=可得, 12x x λ=,∴ 12225454,(1)94(1)94k k x x k k λλλ--==++++, ∴ 2222(54)(1)(94)k k λλ=++24594k + ∴ 2(1)λλ=+22259454(9)324324k k k +⋅=⋅+. ∵ 22(54)445(94)0k k ∆=-⨯+≥, ∴ 259k ≥. ∴25136(1)4λλ<≤+, ∴ 115,555λλ<<≠且, 综上所述,155λ≤≤. 分析：用点,M N 的坐标表示直线MN 的变化.解法(二): 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线.设1122(,),(,)M x y N x y ,则2211194x y +=,2222194x y +=. ∵ DM DN λ=, ∴ 12x x λ= , 1233y y λλ=-+,∴22222(33)194x y λλλ-++=, 222222294x y λλλ+=.∴22(33)4y λλ-+-222214y λλ=-, 223(233)(1)14y λλλλ-+-=-, ∴ 1λ=或23(233)14y λλλ-+=+, 213522,06y λλλ--≤=≤>解得155λ≤≤.8. 抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<,过抛物线C 上一点00P x y （，） (00x ≠)作斜率 为12k k ，的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点(P A B 、、三点各不相同),且满足210k k λλλ+=≠≠（0且-1）. (1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(2) 设直线AB 上一点M 满足:BM MA λ=,证明线段PM 的中点在y 轴上;(3)当1λ=时,若点P 的坐标为(1,-1),求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.分析: 将a 看作常量. 解(1): 抛物线C 的方程为21(0)x y a a =<, 故抛物线C 的焦点坐标为(104a，),准线方程为14y a=-. 分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与12k k λ、、相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.解(2): 由题设可知,直线PA 的方程为:100y k x x y =-+（）,由方程组1002y k x x y y ax =-+⎧⎨=⎩（），，可得,211000ax k x k x y -+-=,即2211000ax k x k x ax -+-=, ∴ 110k x x a =-, 同理 220kx x a=-, ∵ BM MA λ= , ∴ 21M M x x x x λ-=-（）, 121M x x x λλ+=+=12001kk x x aa λλ-+-+（）（）∵ 210k k λλλ+=≠≠（0且-1）, ∴ M x =-0x ,∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在y 轴上. 分析:解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为2y x =-, 111x k =-+（）,又1λ=,故211x k =-,∴ 21111A k k -++（（），-（））, 21111B k k --（，-（））∴ 1124AB k k = （，）,211122AP k k k =++（，）, ∵ PAB ∠为钝角, P A B 、、三点各不相同, ∴ 0,AP AB ⋅<即有1124k k ⋅（，）211122k k k ++（，）0<,112(2)k k ++21114(2)0k k k +<,111(2)(21)0k k k ++< ∴ 111202k k <--<<或, ∴ 211(1)y k =+, 111202k k <--<<或, ∴ 111114y y <--<<-或. 9.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在X 轴上,一条经过点3（且方向向量为2a =- （的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,交X 轴于M 点,又2AM MB =. (1) 求直线l 的方程;(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l的方程为3y x =--）分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a b ，的不等式,向量等式 2AM MB =可以转化为一个关于a b ，的等式.解(2):由方程组2222223,y x b x a y a b ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩）可得2222222405b a y y b a b +-+-=（）. 设设1122(,),(,)A x y B x y ,则22212122222455b a b y y y y b a b a -+==++，. 由2AM MB =可知, 122y y = ,∴1225y b a =+2225y b a =+∴ 222232545b b a =+（）2222245b a b b a -+, ∴ 222251409a a b a -=>-（） ∵22222224()4()()05b a b a b =-+-> , ∴ 22545a b +>, ∴ 222225(1)0,9545,a a a a b ⎧->⎪-⎨⎪+>⎩ ∴ 22222225(1)0,95(1)55,9a a a a a a a ⎧->⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩ 219a <<. ∵ 22,b a < ∴ 2222251449a a b a a -=<-（）, ∴ 224199a a <>或, ∴ 24119a <<, 13a << ∴223a <<,即椭圆C 的长轴长的取值范围为(2,)3. 10.自点(0,1)A -向抛物线C:2y x =作切线AB,切点为B ,且点B 在第一象限,再过线段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F,直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点.(1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标;(2) 证明()PQ AB R λλ=∈ .解(1): 设切点B 的坐标为00(,)x y ,过点B 的切线的方程为20002()y x x x x =-+,∵ 切线过点(0,1)A -, ∴ 200012()x x x -=-+, 01x =,∵ 点B 在抛物线上, ∴ 01y =,∴ 切线AB 的方程为21y x =-, 切点B 的坐标为(1,1).分析: 即证明AB ∥PQ.(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点M 的坐标为1(,0)2,设直线l 的方程为1()2y k x =-, 222211223344(,),(,),(,),(,)E x x F x x P x x Q x x . 由方程组21(),2,y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2102x m x m -+=, 故12121,2x x m x x m +==. 2243434343(,)()(1,)PQ x x x x x x x x =--=-+ .∵ A,E,P 三点共线, ∴ 2331x x +=2111x x +,131x x = , 同理241x x =, ∴ 21211111()(1,)PQ x x x x =-+ =12121212122()(1,)(1,2)x x x x x x x x x x m-+-= 由(1,2)AB = 可知, 122()()x x PQ AB R mλλ-==∈ 其中. 11. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有2OP OQ OR =⋅ (O 为坐标原点);(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围.(1) 证明: 设直线OP 的方程为y kx =, 直线AR 的方程为()b y x a a=-, AQ 的方程为()b y x a a=--. 由方程组(),,b y x a a y kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 得 (,)ab kab R ak b ak b ----, ∴ OR =(,)ab kab ak b ak b ----, 同理OQ =(,)ab kab ak b ak b++, ∴ OQ OR ⋅ =(,)ab kab ak b ak b ----⋅(,)ab kab ak b ak b ----=222222(1)a b k a k b+-. 设(,)P m n , 由方程组22221,,x y a b y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2m =22222a b b a k -,2n =222222k a b b a k -∴ 2OP =222222(1)a b k b a k +-. ∵ 直线OP 过原点, ∴ 2220b a k ->, ∴ 2OP OQ OR =⋅ . (2) 解: 由题设知, 222222(1)a b k b a k +-=4ab , 22240,4b ab k ab a -=>+ 又222b k a <, ∴ 2244b ab ab a -+22b a <, (恒成立))解得4a b <, ∴ e >.。
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圆锥曲线
1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23
＝1的焦距是________． 2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23
－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．
3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2
与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．
一 圆锥曲线的定义和几何性质
例1 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞
c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于32
(a －c )，则椭圆的离心率的取值范围为________． (2)如图，已知点A ，F 分别是x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与右焦点，过A ，F 作与x 轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P ，Q ，R ，S ，若S △ROS ＝2S △POQ ，则双曲线的离心率是__________．
(3) 已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，
B 两点，交
C 1的准线于C ，
D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2
的标准方程为________．
跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 2
3m
＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是________．
(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a
2－y 2＝1与抛物线y 2＝－12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________________．
(3)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若AB ∶BF 2∶AF 2＝3∶4∶5，则椭圆C 的离心率为________．
二 直线与圆锥曲线
例2 点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n
＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点． (1)求椭圆的方程；
(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形．
①求直线BC 的斜率；
②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．
跟踪演练2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线y ＝kx (k ＞0)交于A ，B 两点(从左至右)，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D .
(1)若椭圆的离心率为22
，点B 的坐标为(2，1)，求椭圆的方程； (2)若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，求椭圆的离心率．
课堂精炼
1．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其中一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为____________．
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A
1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的
交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．
3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，
Q 两点(点P 在x 轴上方)．
(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；
(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
A 组 专题通关
1．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________． 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．
3．若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则此双曲线的离心率为________．
4．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)焦点到相应准线距离等于实轴长，则双曲线离心率________． 5．设F 1，F 2分别为椭圆x 23
＋y 2＝1的焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．
6．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x 4
的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________．
7．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35
. (1)求C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为45
的直线被C 所截线段的中点坐标．
8．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.
(1)求椭圆C 的焦距；
(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．
B 组 能力提高
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．
10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －
c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为________．
11．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________________．
12．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 216
＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有________个．
13．椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24
＝1有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b ＝________.
14．已知椭圆方程为x 216＋y 212
＝1，若点M 为右准线上一点，点A 为椭圆C 的左顶点，连结AM 交椭圆于点P ，则PM AP
的取值范围是____________． 15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12
，且点⎝⎛⎭⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627
，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．
16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22
－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求OA →·OB →的取值范围．。