专题圆锥曲线基本量运算

圆锥曲线

1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23

＝1的焦距是________． 2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23

－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．

3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2

与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．

一 圆锥曲线的定义和几何性质

例1 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞

c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于32

(a －c )，则椭圆的离心率的取值范围为________． (2)如图，已知点A ，F 分别是x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与右焦点，过A ，F 作与x 轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P ，Q ，R ，S ，若S △ROS ＝2S △POQ ，则双曲线的离心率是__________．

(3) 已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，

B 两点，交

C 1的准线于C ，

D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2

的标准方程为________．

跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 2

3m

＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是________．

(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a

2－y 2＝1与抛物线y 2＝－12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________________．

(3)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若AB ∶BF 2∶AF 2＝3∶4∶5，则椭圆C 的离心率为________．

二 直线与圆锥曲线

例2 点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n

＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点． (1)求椭圆的方程；

(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形．

①求直线BC 的斜率；

②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．

跟踪演练2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线y ＝kx (k ＞0)交于A ，B 两点(从左至右)，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D .

(1)若椭圆的离心率为22

，点B 的坐标为(2，1)，求椭圆的方程； (2)若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，求椭圆的离心率．

课堂精炼

1．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其中一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为____________．

2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A

1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的

交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．

3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2

3

＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，

Q 两点(点P 在x 轴上方)．

(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；

(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

A 组 专题通关

1．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________． 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．

3．若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则此双曲线的离心率为________．

4．双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)焦点到相应准线距离等于实轴长，则双曲线离心率________． 5．设F 1，F 2分别为椭圆x 23

＋y 2＝1的焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．

6．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x 4

的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________．

7．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35

. (1)求C 的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为45

的直线被C 所截线段的中点坐标．

8．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.

(1)求椭圆C 的焦距；

(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．