统计学主要计算公式

统计学主要计算公式(第三章)1111k i i ki i k i k i i i f f f f ====⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⋅∑∑∑∑∑N i i=1i i 一、算术平x 简单x=Nx 均数加权x=频数权数x=x 1i iHiiiim m x m mx x==∑∑∑∑二、调和平均数⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩G G 简单x 三、几何平均数加权x11/2/2m e m m e m f S M L i f f S M U if -+⎧-=+⨯⎪⎪⎨-⎪=-⨯⎪⎩∑∑下限公式四、中位数上限公式 10122012d M L i d d d M U i d d ⎧=+⨯⎪+⎪⎨⎪=-⨯⎪+⎩下限公式五、众数上限公式()()x x x x f fAD AD ⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩∑∑∑六、平均差简单=N加权=σσσσ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩七、标准差简单加权简捷公式简单加权100%100%AD ADV x V xσσ⎧⨯⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩平均差系数＝八、离散系数标准差系数＝统计学主要计算公式(第五章)()()11n n t t n ααααααμμμμμμ--⎧±±⎪⎪⎪⎪±±⎨⎪⎪⎪±±⎪⎩222222一、参数估计(随机抽样)1.总体均值估计－单总体正态总体，方差已知＝x z ＝x z 正态总体，方差未知＝x ＝x 非正态总体，足够大＝x z ＝x z()1211211)))pn n p t S S n ααμμμμμμ+-⎧-±⎪⎪⎪⎪-±⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎪-±⎪⎩2122122221222.总体均值之差估计－双总体正态总体，方差已知-＝（x x 正态总体，方差未知但相等-＝（x x 非正态总体，,n 足够大-＝（x x z12ˆˆˆˆP P P P ααα⎧±±⎪⎪⎪⎨⎪⎪-±⎪⎩22111122221223.总体成数估计单总体：np,nq 大于5＝p z ＝p z 双总体（成数之差）,n p ,n q 和n p ,n q 大于5-＝（p p ）z22212222************//n S S S S S S F F αααασσχχσσ--⎧-<<<<⎪⎪⎪⎨⎪<<⎪⎪⎩22224.总体方差估计n-1单总体：双总体（方差之比）221121.11ˆˆˆˆLLh h hh h h st h h h h h N x S NS N Np x p S p q μ==⎧±==⎪⎨⎪⇒⇒⇒⎩∑∑st st st 二、参数估计(其他抽样方式)分层抽样（等比例）均值估计＝x x 成数估计x22112.11()1ˆˆrr ibi i i i i x S x x r r x p x p μ==⎧±==-⎪-⎨⎪⇒⇒⎩∑∑整群抽样均值估计＝x x 成数估计2200ˆ220000(1ˆˆ2.ˆˆ3.,,,ˆˆ,,,b n n n n n NpqS pqN R n r n r S N R n r n r pqαασσσσσσσ==∆∆+⇒∆⇒∆⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒22x x2x p 2222三、样本容量1.纯随机抽样Z Z 均值估计=重复）（不重复）成数估计分层抽样（等比例）均值估计成数估计整群抽样均值估计成数估计001002001000010000100(1)20010(1)01.(((((nnH H Z Z HH H Z Z HH H Z Z HH H t t Ht H H t t Hαααααμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ--⎧≠≥>≥<≤-⎪⎩≠≥>≥四、假设检验均值检验正态总体方差已知：＝：拒绝双侧）：＝：拒绝单侧）：＝：拒绝单侧）正态总体方差未知（单总体）：＝：拒绝双侧）：＝：拒绝单侧0010(1)0(30nH H t t Hn sαμμμμσ-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<≤-⎪⎪⎩⎪≥⇒⎪⎪⎩）：＝：拒绝单侧）非正态总体，同正态总体方差已知，若方差未知：01211202012112001211200121120(1)2((((nH H Z Z Hx xH H Z Z HH H Z Z HH H t t Hx xt Hααααμμμμμμμμμμμμμμμμ-⎧≠≥⎪>≥<≤-≠≥2.均值之差检验两个正态总体方差已知：＝：拒绝双侧）：＝：拒绝单侧）：＝：拒绝单侧）两个正态总体方差未知但相等：＝：拒绝双侧）（双总体）：12112(1)0012112(1)012((nnH t t HH H t t Hn nααμμμμμμμμ--⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪>≥⎨⎪⎪⎪<≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩p2212＝：拒绝单侧）：＝：拒绝单侧）S两个非正态总体，大，同两个正态总体方差已知，未知用S，S估计001002001000010002120202120(ˆ(((ˆˆ(H H p Z Z Hp pH H p Z Z HH H p Z Z HH H p Z Z HP PZ H H p Z Z HHααααα⎧≠≥⎪-⎪>≥⎨⎪<≤-⎪⎩≠≥->≥111113.成数检验单总体：：p＝p：p拒绝双侧）Z=：p＝p：p拒绝单侧）：p＝p：p拒绝单侧）两成数之差检验：p＝p：p拒绝双侧）=：p＝p：p拒绝单侧）：p2120(H p Z Z Hα⎧⎪⎪⎨⎪<≤-⎪⎩1＝p：p拒绝单侧）0102201020100111122101222122((((1,1)(1,1)(H H Z Z HH H Z Z HH H Z Z HH H F n n F F n n HSFSααααασσσσχσσσσσσσσσσσσσ-⎧≠≥⎪⎪>≥⎨⎪<≤⎪⎩≠--≤≤--22220022222002222002222224.方差检验(正态总体）单总体：：＝：拒绝双侧）(n-1)S=：＝：拒绝单侧）：＝：拒绝单侧）两方差之比检验：＝：拒绝=011112001111210(1,1)((1,1)(H H F F n n HH H F F n n Hαασσσσσσσσ-⎧⎪⎪>≥--⎨⎪<≤--⎪⎩222222222222双侧）：＝：拒绝单侧）：＝：拒绝单侧）统计学主要计算公式(第六章)2()()1::(2)xyx yx yx x y y r n xy x y n xy x yr t rt t n ασρσσσσρρρρ--=--===≠=>-∑∑∑∑01一、相关系数1.公式：＝2.显著性检验H H 拒绝原假设2222222222222222()ˆ//ˆˆ()()1()()2.ˆ()()()ˆ()n xy x y b n x x a y n b x ny y y y a y b xy ny r y y y y y ny b r y y b x x x x y y ε⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩⎧--+-==-=⎪---⎪⎨⎪=-=--=⎪-⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑二、一元线性回归1.模型：y=a+bx+ 拟合优度检验判定系数121122221.ˆ0:0ˆˆ(2):00:0ˆ()/1(2)(1,2)ˆ()/21b b b b b H t t t n H H R y y r n F F F F n y y n r ααβββσσσββ=≠==>-=≠=≠--==≥----∑∑000三、模型显著性检验回归系数b 检验－H ：＝拒绝原假设2.F 检验H ：或H ：R 或拒绝原假设002002222ˆ2.)(2)ˆ3.(2)()ˆ()xy xy E y yt n S y yt n S bx x y y αα==±-=±--=-∑∑xy 四、模型估计1.估计标准误S 平均值的估计（特定值的估计统计学主要计算公式(第七章)21222201122112)(1)()2.(1)(1)e e r c ij ij j i ij i i ij H f f k f H H O E n n E E n r c ααχχχχχχχ==⎧⎪-⎨>-⎪⎩⎧⎪⎪⎪-⨯⎨==⎪⎪⎪>--⎩∑∑∑000020一、检验H ：服从某种分布：不服从某种分布(如均匀分布）1.拟合优度检验（＝拒绝H H ：两变量之间独立：两变量之间不独立H ：两变量之间没有差别：两变量之间有差别独立性检验拒绝H01210.50.51.ˆ2.p T TH P H P S Z Z H T T U Z Z αασ⎧⎪≠⎪⎪⎨⎪⎪=≥⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩0p 0二、成对比较检验：＝：符号检验小样本：一种符号明显居多，拒绝H p-p 大样本：Z ＝拒绝H S H ：两样本没有显著差别：两个样本有显著差别n(n+1)威尔科克森带符号检验小样本：T=较小的值>T 接受H 2大样本：检验具体公式给出 111221212022(1)(1)22UUU H n n n n n n n n U U H U Z U U Z Z U Z ααασ-++=+=+>⎧-⎪=⎨⎪⎩0A B 三、检验H ：两现象没有差异：两现象有差异小样本：U U 较小的接受大的大样本：公式给出检验小的01121220,20b rH H n n r r r r E r n n Z Z ασ<-<<四、游程检验：样本具有随机性，：样本不具有随机性小样本、游程个数r 接受原假设－（）大样本、中>检验＝010101221:2:3:61(1)i i i i i i i i i i i i i s H x y H x y H x y H x y H x y H x y d r r n n α=->-≥∑s 五、等级相关检验（）和相互独立，：和相互不独立（）和相互独立，：和相互正相关（）和相互独立，：和相互负相关小样本<30例假设（2）r 拒绝原假设大样本30 Z 检验 Z ＝r统计学主要计算公式(第八章)1t tx y y y -⇒⇒一、自相关系数的计算计算公式同一元相关()2110121:0ntt i nti ee H H d eρρ-==-=≠∑∑二、回归模型的自相关检验：＝d L d U 2 4-d U 4-d Ld 21321211121n n n n n a a a a a a a n a a a a a a f f f a f f a c b ---⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧++++⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎪⎨⎨⎪+++⎪⎪+++⎪⎪⎪⎪⎪⎪++⎪⎩⎩⎪⎪=⎪⎩∑L L L i 12n-11三、动态分析水平指标时期=n 2绝对数间隔相等 =序时平均数时点222间隔不等=相对数、平均数 0)(1)a a a a n n ⎧⎪⎪⎨-⎪⎪+⎩∑n 0i -水平法＝n 平均增长量2(总和法= 1X ⎧==⎪⎨⎪⎩四、动态分析速度指标水平法平均发展速度方程法(P298)平均增长速度＝平均发展速度－/(/C T S C I T S I T S C I T S C⨯⨯⨯⎧⎨⎩⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯五、时间序列分析分解模型Y=T S C I(乘法模型)长期趋势T 测定：y=a+bt同月平均/总平均季节变动S 测定：（同月平均－趋势增量b ）/总平均循环变动的测定：移动平均计算得到）不规则I 的变动： 01'201201101ˆˆˆˆˆˆˆ(1)(1)(1)t t t t tt t t t y y b b t y yb b t b t y ab b b y ya y a a a a -⎧⎪∆=+⎪⎪∆=++⎨⎪⎪=⎪⎩=++++=+-=-+-L t t-1t t-1t-2t-nt+1t t 六、时间序列预测一阶差分大致相同，趋势外推法模型测定二阶差分大致相同， （同回归模型）y环比发展速度大体相同，y 自回归预测y（同回归模型）y y y 移动平均n指数平滑y ＝ay y y 201(1)(1)n a a a a ++-++-L t-1t-2t-n-1y y 统计学主要计算公式(第九章)10001101q p q p p q p q⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑q p 数量指数K 一、综合指数质量指数K000011111q q P p k q p K q p q p K q p k kw K ⎧⎪⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑数量指数（加权算术）二、平均数指数质量指数（加权调和）固定权数＝w1110101111111101111///f f f f f f f f f f f f fffff f f f ff ff ---⨯∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑101010100三、总平均数指数可变构成指数xx xx 固定构成指数x x x x 结构影响指数x x x x 三者关系可变构成指数＝固定构成指数结构影响指数11101100011100100011011111001101111011011100100(p q q p p q p q q p p qp q p q q p q p p q p q A B C A B C A B C A B CA B C A B C A B C A B CA B C A B CA B C ⨯==⨯+-=⨯⨯-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑pq 四、指数因素分析两因素：总额指数＝数量指数质量指数K 绝对数关系：－＝（－）（）三因素：绝对数关系：000110100111110)()()A B C A B C A B C A B C A B C +-+-∑∑∑∑∑∑1001001⨯=⨯五、指数应用计算期居民消费价格指数测定通货膨胀率＝－基期居民消费价格指数货币购买力指数＝居民消费价格指数职工平均工资指数职工实际工资指数＝居民消费价格指数职工平均工资指数货币购买力指数。