完整word版,人教高一数学指数函数讲义

第四节、指数函数

、初中根式的概念;

如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；

(一)指数与指数幕的运算

1.根式的概念

一般地，如果x" a，那么x叫做a的n次方根，其中n >1,且n € N .

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的n次方根用符号n a表示。

.式子R'a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号一：a表示•正的n次方根与负的n 次方根可以合并成土：a ( a>0)。

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作n0 0

思考：x a n=a 一定成立吗?

结当n是奇数时，n a n a

当n是偶数时，n a n| a |

a (a 0)

a (a 0)

(2) . x2 2xy .(x y)7=

2 •分数指数幕

正数的分数指数幕的意义 规定：

m

a n Va m （a 0, m, n N *, n 1）

-1 1 *

a n

r 尸帛

（a

°，

m,n N ,n 1）

a 7 va

0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义

指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理 数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕.

3 •有理指数幕的运算性质

(1) r r

a ・a

s

a

(a 0,r,s Q)

；

(2) r s

(a )

rs

a (a 0,r,s

Q)

；

(3) r

(ab)

r s

a a

(a 0,b 0,r

无理指数幕：-般地，无理数指数幕a （a 0,是无理数）是一个确定的

实数•有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕.

对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算， 一般要将根式化为 分数指数幕，利用分数指数幕的运算性质来进行计算。

2

例2、化简（1）丰匚（旦

a 2?V

b 2

(2) 2?3a

a ?2 , x 0

x

(, a R ), 若 f[ f ( 1)] 1,则 a=(

2 x ,x 0

例 3 、已知函数 f （ x ）

例4、已知102x 25，则10- x（）

二、指数函数及其性质

（一）指数函数的概念

一般地，函数y a x（a 0,且a 1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。

注意：（1）指数函数y a x中a x的系数为1;

（2）底数a是大于0且不等于1的常数。

（3）指数就是自变量x，是变量。

例5、函数y （2a2 3a 2）a x为指数函数，求a的取值范围。

（二）指数函数的图象和性质

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质.

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.

底数之间有什么样的规律？

4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗?

总结：（1）指数函数对于0 a 1和a 1，函数增减性完全相反，因而在做题时, 千万不要忘记分类讨论的思想；

（2） 指数函数恒过（0,1 ）点；

（3） 对于在同一坐标系中底数不同的指数函数，在 y 轴右侧，图像从上

到下，相应的底数由大变小，而在y 轴左侧，图像从下到上，相应底数由大变小。 所以指数函数的值按逆时针的方向变大。

（4） 函数y a x 和y Q ）x 关于y 轴对称。

a

例6、a,b,c,d 是不等于1的实数，右图为分别以a 、b 、c 、d 为底的指数函数 的图像，贝U a 、b 、c 、d 四个数的大小关系为（ ）

A 、a b 1 c d

B 、b a 1 d c

1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:

1

(1)

（1）

(3)

2x 3x

(5) 5x

2 .从画出的图象中你能发现函数

1

y 2x 的图象和函数y （；）x 的图象

有什么关系？可否利用y 2x 的图象画出

y

日的图象?

3.从画出的图象（y 2、y 3x 和y 5x ）中，你能发现函数的图象与其

C 、1 abed

D abide

例 7、（1）

函数f (x)

4 a x 1恒过定点 P ,则P 点的坐标是（

)

(2) 函数f （x ） a x 1

( a 0,且a

1）的图像恒过点A ，

下列函数图象不

过

点A 的是（ )

A 、y

x B

、y x 2

C 、y 2x

1

D

、y og 2(2x)

例8、比较指数的大小（五三：p27）

画图比较:

（1）比较1.7 2.5和1.7-3的大小

比较1.703和1.50'3的大小

比较1.703和0.83'1的大小 对于三个数的比较，先两两比较，根据值的大小，一般是与0或者1作比较来分 组，再分别比较；而对于指数底数都不相同的幕比较大小， 则可以通过一些中间 值来比较。