二次函数图像的变换
二次函数图像的变化规律及应用
二次函数图像的变化规律及应用引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像呈现出一种独特的形态，具有丰富的变化规律和广泛的应用。
本文将从图像的变化规律和应用两个方面，对二次函数进行深入的探讨。
一、图像的变化规律1. 平移变换二次函数的图像可以通过平移变换而得到不同的形态。
平移变换是指在坐标平面上将图像整体向左、右、上、下平移的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当平移向右时，a保持不变，b不变，c减小；当平移向左时，a保持不变，b不变，c增大；当平移向上时，a增大，b不变，c增大；当平移向下时，a减小，b不变，c减小。
通过平移变换，我们可以观察到二次函数图像在平面上的移动轨迹，进而掌握其变化规律。
2. 缩放变换缩放变换是指在坐标平面上将图像整体放大或缩小的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当缩放因子为k时，a不变，b不变，c增大（或减小）k倍。
缩放变换可以改变二次函数图像的大小和形状，通过观察不同缩放因子下的图像，我们可以总结出二次函数图像的缩放规律。
3. 翻折变换翻折变换是指在坐标平面上将图像关于某一直线进行对称的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当翻折轴为x轴时，a不变，b变号，c不变；当翻折轴为y轴时，a变号，b不变，c不变；当翻折轴为直线x=k时，a不变，b变号，c变号。
翻折变换可以改变二次函数图像的位置和形状，通过观察不同翻折轴下的图像，我们可以总结出二次函数图像的翻折规律。
二、图像的应用1. 最值问题二次函数的图像呈现出一个开口朝上或朝下的抛物线形态，通过观察图像的顶点，我们可以得出二次函数的最值。
当抛物线开口朝上时，顶点为最小值；当抛物线开口朝下时，顶点为最大值。
最值问题在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学中，我们可以通过最值问题求解物体的最高点或最低点。
2. 零点问题二次函数的图像与x轴的交点称为零点，也叫根或解。
通过观察图像与x轴的交点，我们可以求解二次函数的零点。
二次函数的像变换规律
二次函数的像变换规律二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中有着广泛的应用。
像变换是二次函数的一种重要操作，通过对函数的像进行变换，可以获得新的函数图像。
本文将介绍二次函数的像变换规律，以帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 平移变换平移变换是将函数图像沿着坐标轴进行移动的操作。
对二次函数来说，平移变换包括水平平移和垂直平移两种情况。
1.1 水平平移水平平移是将函数图像在横轴方向上的移动。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，将其变为y = a(x - h)^2 + bx + c的形式，可实现水平平移。
其中，h为平移的距离，若h为正值，则向右平移；若h为负值，则向左平移。
1.2 垂直平移垂直平移是将函数图像在纵轴方向上的移动。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，将其变为y = ax^2 + bx + (c + k)的形式，可实现垂直平移。
其中，k为平移的距离，若k为正值，则向上平移；若k为负值，则向下平移。
2. 缩放变换缩放变换是通过改变二次函数的系数，使得函数图像在坐标轴上扩大或缩小。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，a的取值决定了函数图像的开口方向和形状，而a的绝对值的大小则影响图像的扁平或瘦长程度。
2.1 改变a的绝对值当a的绝对值越大时，函数图像越瘦长；当a的绝对值越小时，函数图像越扁平。
具体而言，当|a| > 1时，函数图像相比y = x^2更瘦长；当0 < |a| < 1时，函数图像相比y = x^2更扁平。
2.2 改变b的值对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，b的取值决定了函数图像在x轴方向上的平移。
当b > 0时，函数图像向右平移；当b < 0时，函数图像向左平移。
3. 翻转变换翻转变换是改变函数图像的开口方向，可以将上凹变为上凸，或将上凸变为上凹。
二次函数图象的变换
二次函数图象的变换这里研究二次函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换.二次函数图象的平移变换二次函数的图象作平移变换时,其开口方向和开口大小不会发生改变,故平移前后a 的值不变;改变的是顶点坐标和对称轴.一般地,二次函数k ax y +=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向上平移k 个单位长度得到的;二次函数k ax y -=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向下平移k 个单位长度得到的.抛物线k ax y +=2的对称轴是y 轴,顶点坐标是()k ,0.如例图（1）所示.一般地,二次函数()2h x a y -=的图象是由二次函数2ax y =的图象沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度得到的.抛物线()2h x a y -=的对称轴是直线h x =,顶点坐标是()0,h .如例图（2）所示.一般地,二次函数()k h x a y +-=2的图象是由二次函数2ax y =的图象先沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度,再向上（0>k ）或向下（0<k ）平移k 个单位长度得到的.抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线h x =,顶点坐标是()k h ,.如下页例图所示.二次函数图象的对称变换如果两个二次函数的图象关于x 轴对称,那么它们的开口方向相反,开口大小相同,对称轴相同,顶点坐标关于x 轴对称,与y 轴的交点关于x 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值互为相反数.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ---=2;②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y ---=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称.如例图（3）所示.xy y = x 2 ()2 1y = x 2 ()2 + 1图 （3）O–1–21234–1–2–3–41234如果两个二次函数的图象关于y 轴对称,那么它们的开口方向相同,开口大小相同,与y 轴的交点相同,对称轴关于y 轴对称,顶点坐标关于y 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值相等.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ++=2②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y +-=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于y 轴对称.如例图（4）所示.图 （4）x 2 )2 + 1二次函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对二次函数c bx ax y ++=2图象的翻折变换,可以得到函数c bx ax y ++=2的图象和函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即可得到函数c bx ax y ++=2的图象如下页例图（5）所示.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧,即可得到函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.如下页例图（6）所示.图 （5）图 （6）高中知识点在同一平面直角坐标系中,通过对函数)(x f y =图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =和)(x f y =的图象.（1）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可;（2）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可. 例题讲解例1. 把抛物线2x y -=向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为【 】（A ）()312---=x y （B ）()312-+-=x y（C ）()312+--=x y （D ）()312++-=x y分析 将函数的图象左右平移时,其解析式将发生有规律的变化——遵循自变量“左加右减”,函数值“上加下减”的原则.将二次函数的图象左右平移,其图象的开口方向和开口大小保持不变,所以平移前后a 的值不变,改变的是图象的顶点坐标和对称轴.其中顶点坐标的改变遵循“左减右加”的原则.解析 由题意可知,平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .另外,抛物线2x y -=的顶点坐标为()0,0,平移后函数图象的顶点坐标为()3,1-,所以由顶点式可知平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .所以选择答案【 D 】.例2. 函数()1122---=x y 的图象可由函数()3222++-=x y 的图象平移得到,平移的方法是【 】（A ）先向右平移3个单位,再向下平移4个单位 （B ）先向右平移3个单位,再向上平移4个单位 （C ）先向左平移3个单位,再向下平移4个单位 （D ）先向左平移3个单位,再向上平移4个单位分析 首先,要确定函数()3222++-=x y 的图象是平移的对象,平移后得到抛物线()1122---=x y .解析将函数()3222++-=x y 的图象先向右平移3个单位,得到函数()3122+--=x y 的图象,再向下平移4个单位,得到函数()1122---=x y 的图象.∴选择答案【 A 】.例3. 抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位后得到抛物线x x y 422+-=,则平移前抛物线的解析式为________________.分析 把抛物线x x y 422+-=向左平移3个单位,在向上平移2个单位,即可得到平移前的抛物线.解析 ∵()2124222+--=+-=x x x y∴平移前抛物线的解析式为()()4222231222++-=+++--=x x y .即4822---=x x y .例4. 已知二次函数()1322+-=x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线()k h x a y +-=2关于x 轴对称的抛物线为()k h x a y ---=2;（2）抛物线()k h x a y +-=2关于y 轴对称的抛物线为()k h x a y ++=2.解析 （1）()1322---=x y ;（2）()1322++=x y .例5. 已知二次函数122--=x x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为c bx ax y ---=2;（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线为c bx ax y +-=2. 解析 （1）122++-=x x y ;（2）122-+=x x y .例6. 已知二次函数5432+-=x x y .（1）图象关于x 轴对称后再关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________; （2）图象关于y 轴对称后再关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________. 分析 （1）（2）中的两条抛物线关于原点对称:若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为()k h x a y -+-=2;若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为c bx ax y -+-=2. 解析 （1）5432---=x x y ; （2）5432---=x x y .例7. 画出函数12-=x y 的图象.分析 把二次函数12-=x y 的图象沿x 轴进行翻折变换,即可得到函数12-=x y 的图象,具体做法是:先画出二次函数12-=x y 的图象,保留x 轴及其上方的图象,然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可得到函数12-=x y 的图象. 解析 函数12-=x y 的图象如下图所示.。
二次函数图像的变换与解析式
二次函数图像的变换与解析式二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用领域，如物理学、经济学等。
在学习二次函数时，我们不仅需要掌握其图像的变换规律，还需要了解其解析式的推导方法。
首先，我们来讨论二次函数图像的变换。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过改变a、b、c的值来实现图像的平移、翻转和缩放等变换。
首先，当a的值发生变化时，二次函数的图像会发生缩放。
当a>1时，图像会变得更加瘦长；当0<a<1时，图像会变得更加扁平；当a<0时，图像会上下翻转。
这是因为a决定了二次函数的开口方向和大小。
其次，当b的值发生变化时，二次函数的图像会发生平移。
当b>0时，图像会向左平移；当b<0时，图像会向右平移。
这是因为b决定了二次函数图像的对称轴位置。
最后，当c的值发生变化时，二次函数的图像会发生上下平移。
当c>0时，图像会向上平移；当c<0时，图像会向下平移。
这是因为c决定了二次函数图像与y 轴的交点位置。
除了上述变换规律外，我们还可以通过组合这些变换来实现更加复杂的图像变换。
例如，如果我们希望将二次函数图像向左平移2个单位，并且同时使图像更加瘦长，我们可以将b的值设为-2，a的值设为2。
接下来，我们来讨论二次函数的解析式。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法来推导其解析式。
首先，我们将二次函数写成完全平方的形式，即y = a(x + p)^2 + q。
其中p和q 为常数，需要根据实际情况进行确定。
然后，我们展开完全平方的式子，得到y = a(x^2 + 2px + p^2) + q。
接下来，我们将展开后的式子进行化简，得到y = ax^2 + 2apx + ap^2 + q。
最后，我们将化简后的式子与原始的二次函数进行比较，得到a、b、c与p、q 之间的关系。
通过解方程组，我们可以求解出p和q的值，进而得到二次函数的解析式。
二次函数的变换规律
二次函数的变换规律二次函数是高中数学中的重要内容，它是一种常见的数学函数形式。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的变换规律，即通过对函数中的参数进行变化，能够改变函数的形状和位置。
在本文中，我将详细介绍二次函数的变换规律，以加深对该主题的理解。
1. 平移变换平移变换是指通过改变二次函数的平移量，使函数图像在坐标平面上上下左右移动。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在平移变换中，平移量为h和k，表示在横轴和纵轴上的平移距离。
1.1 沿x轴平移二次函数沿x轴正方向平移h个单位，相当于将函数图像向左移动h个单位；沿x轴负方向平移h个单位，相当于将函数图像向右移动h个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = a(x-h)² + bx + c，其中h代表横轴的平移量。
1.2 沿y轴平移二次函数沿y轴正方向平移k个单位，相当于将函数图像向上移动k个单位；沿y轴负方向平移k个单位，相当于将函数图像向下移动k个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = ax² + bx + (c-k)，其中k代表纵轴的平移量。
2. 缩放变换缩放变换是指通过改变二次函数的参数a和导致函数图像的纵向和横向的缩放。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在缩放变换中，缩放因子为p和q，表示纵向和横向的缩放比例。
2.1 纵向缩放当缩放因子p大于1时，二次函数的图像会纵向收缩；当p在0和1之间时，二次函数的图像会纵向拉伸。
缩放后的函数可表示为f(x) = pax² + bx + c，其中p表示纵向缩放因子。
2.2 横向缩放当缩放因子q大于1时，二次函数的图像会横向拉伸；当q在0和1之间时，二次函数的图像会横向收缩。
缩放后的函数可表示为f(x) =a(qx)² + bx + c，其中q表示横向缩放因子。
3. 翻转变换翻转变换改变了二次函数图像的方向。
初中数学 二次函数的图像的平移变换对开口方向有何影响
初中数学二次函数的图像的平移变换对开口方向有何影响
二次函数的图像的平移变换是指对二次函数的自变量x和因变量y进行变换，使得图像在平面上的位置发生平移。
平移变换对于二次函数图像的开口方向有以下影响：
1. 开口方向不变：平移变换不会改变二次函数图像的开口方向。
开口方向可以是向上开口（凹形）或向下开口（凸形）。
平移变换只会改变图像的位置，而不会改变开口方向。
2. 顶点的位置发生改变：平移变换会改变二次函数图像的顶点的位置。
顶点是二次函数图像的最高点（向下开口）或最低点（向上开口），它的坐标表示为(xv, yv)。
平移变换会使顶点的横坐标和纵坐标发生改变，从而改变图像的位置。
3. 平移方向和距离：平移变换会改变二次函数图像的位置。
平移的方向可以是水平方向或垂直方向，平移的距离可以是正数或负数。
水平方向的平移会使图像沿着横轴左右移动，而垂直方向的平移会使图像沿着纵轴上下移动。
4. 图像的形状和性质不变：平移变换不会改变二次函数图像的形状和性质。
开口方向、顶点的位置、对称轴、最小值或最大值等特征都保持不变。
平移变换只是改变了图像的位置，而不影响图像的形状和性质。
总结起来，平移变换对二次函数图像的开口方向没有影响。
平移变换会改变图像的位置，包括顶点的位置和整个图像沿着横轴或纵轴的移动。
然而，平移变换不会改变图像的形状和性质。
了解这些影响可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的图像。
二次函数的像变换
二次函数的像变换二次函数是数学中的一种特殊函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——拱形或抛物线，且拥有一条对称轴。
在学习二次函数时，我们会涉及到像变换，即通过对函数图像进行平移、缩放或翻转等操作，从而改变函数图像的位置、大小和方向。
一、平移变换平移变换指的是将函数图像沿x轴或y轴方向进行移动，可以使图像向左、向右、向上或向下平移。
1. 向左平移将函数图像沿x轴的正方向平移k个单位，可记作f(x - k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向左平移k个单位后的新函数为y = a(x + k)^2 + b(x + k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
2. 向右平移将函数图像沿x轴的负方向平移k个单位，可记作f(x + k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向右平移k个单位后的新函数为y = a(x - k)^2 + b(x - k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
3. 向上平移将函数图像沿y轴的正方向平移k个单位，可记作f(x) + k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向上平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c + k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
4. 向下平移将函数图像沿y轴的负方向平移k个单位，可记作f(x) - k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向下平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c - k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
二、缩放变换缩放变换指的是改变函数图像的大小，可以使图像变窄或变宽，变高或变矮。
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
>
m
<
>
/m
<
类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
>
m
<
关于 轴
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
为相反数，
>
/m
<
系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
二次函数像的平移与缩放
二次函数像的平移与缩放二次函数是学习高中数学中重要的一部分，它们具有许多有意义的性质。
其中一个非常有趣的性质是二次函数的平移和缩放。
通过平移和缩放，我们可以改变二次函数的图像位置和大小，使得它们更符合我们的需求。
在本文中，我们将讨论二次函数图像的平移和缩放，并探索如何通过这些变换来改变函数的性质。
一、平移变换平移是指通过对二次函数的自变量（即x）进行加减常数的操作，使得函数的图像在坐标平面上沿x轴或y轴方向移动。
平移变换仅影响函数的图像位置，而不改变其形状。
1. 沿x轴平移当我们对二次函数进行沿x轴平移时，我们将函数的自变量（即x）的值加上或减去一个常数。
具体来说，若要将函数图像向左平移h个单位，则我们可以通过将所有x替换为x-h来实现；若要将函数图像向右平移h个单位，则将所有x替换为x+h即可。
例如，对于二次函数y=x^2，我们希望将其向右平移2个单位。
通过将x替换为x-2，我们得到平移后的函数y=(x-2)^2。
这样，原来函数的图像将平移2个单位向右。
同理，当我们希望将函数图像向左平移3个单位时，可以将x替换为x+3，得到新函数y=(x+3)^2。
这样，原来函数的图像将平移3个单位向左。
2. 沿y轴平移与沿x轴平移类似，当我们对二次函数进行沿y轴平移时，我们将函数的值加上或减去一个常数。
具体来说，若要将函数图像向上平移k 个单位，则我们可以通过将所有y替换为y-k来实现；若要将函数图像向下平移k个单位，则将所有y替换为y+k即可。
例如，对于二次函数y=x^2，我们希望将其向上平移3个单位。
通过将y替换为y-3，我们得到平移后的函数y=x^2-3。
这样，原来函数的图像将平移3个单位向上。
同理，当我们希望将函数图像向下平移4个单位时，可以将y替换为y+4，得到新函数y=x^2+4。
这样，原来函数的图像将平移4个单位向下。
二、缩放变换缩放是指通过乘以或除以一个常数来改变二次函数图像的大小。
缩放变换会影响函数图像的形状和大小，但不会改变其位置。
《二次函数的图像变换》
《二次函数的图像变换》
二次函数的图像变换是一种用来描述函数变化规律的重要内容，它是数学分析中不可或缺的一部分。
本文将主要介绍二次函数图像变换的基本原理，以及如何利用此变换来有效地描述函数的变化规律。
二次函数的图像变换是指利用一组特定的二次函数f(x)来对原
函数y=f(x)的图像进行变换，使得原函数的图像发生变化。
一
般来说，二次函数的图像变换可以分为三种：平移、拉伸/缩
放和旋转。
首先，我们来看平移变换，即将图像上每一点沿着特定方向移动一段距离。
使用二次函数实现图像平移变换时，只需要对原函数中的参数进行一定的调整就可以实现。
比如，可以通过调整函数中的常数项C来实现图像的水平平移变换。
接下来，我们再来看拉伸/缩放变换。
它是指将函数图像中每
一点沿着竖轴或者横轴方向进行缩放变换，使得函数图像发生变形。
利用二次函数进行拉伸/缩放变换时，可以通过调整函
数中a和b参数来实现，a控制纵轴变换，b控制横轴变换。
最后，我们再来看旋转变换，它是指将函数图像绕着原点旋转一定角度，使得图像转变方向。
二次函数的图像旋转变换可以通过调整函数中d参数来实现，d为旋转角度的对数，值越大，图像旋转越快，比如d=1时，将会旋转45度。
以上就是二次函数的图像变换的基本原理及方法，它是一种常
用的工具，可以用来实现函数图像的各种变形。
这样在数学分析过程中，可以更好地利用它来描述函数的变化规律，也就是说，它有助于我们更好地理解函数及其变化规律。
初中数学 二次函数的图像的平移变换如何影响图像的位置
初中数学二次函数的图像的平移变换如何影响图像的位置
二次函数的图像的平移变换是通过改变二次函数的参数来实现的，其中包括改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变二次函数的平移方向。
以下是对二次函数图像的平移变换如何影响图像位置的详细解释：
1. 改变顶点的横坐标：将二次函数的顶点从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的横坐标实现。
如果我们将顶点的横坐标加上一个正数a，那么图像会向右平移 a 个单位；如果我们将顶点的横坐标减去一个正数a，那么图像会向左平移 a 个单位。
2. 改变顶点的纵坐标：将二次函数的顶点的纵坐标从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的纵坐标实现。
如果我们将顶点的纵坐标加上一个正数b，那么图像会向上平移b 个单位；如果我们将顶点的纵坐标减去一个正数b，那么图像会向下平移b 个单位。
3. 改变平移方向：除了改变顶点的横坐标和纵坐标，我们还可以通过改变二次函数的平移方向来实现图像的平移变换。
当a 的值为正数时，二次函数图像向右平移；当 a 的值为负数时，二次函数图像向左平移。
同样地，当b 的值为正数时，二次函数图像向上平移；当b 的值为负数时，二次函数图像向下平移。
通过改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变平移方向，我们可以实现二次函数图像的平移变换。
这些变换会影响图像的位置，使图像在坐标平面上移动到新的位置。
理解和运用平移变换的概念和方法，有助于我们分析和解释二次函数图像的位置和变化。
需要注意的是，平移变换只会改变二次函数图像的位置，而不会改变图像的形状。
图像的形状由二次函数的系数决定。
平移变换是一种基本的图像变换，也是了解和应用二次函数图像的重要工具之一。
二次函数与三次函数的图像变换
二次函数与三次函数的图像变换在数学中，函数是数与数之间的一种对应关系。
它描述了输入值（自变量）和输出值（因变量）之间的关系。
二次函数和三次函数是常见的数学函数，它们都可以通过图像变换来进行研究和探索。
本文将介绍二次函数和三次函数的图像变换。
一、二次函数的图像变换二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数形式，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像可以通过平移、缩放和翻折等变换得到。
1.平移变换：y = ax^2 + bx + c + m将二次函数的图像上下平移m个单位，可以通过在原函数上或下方添加m来实现。
正的平移值表示向上平移，负的平移值表示向下平移。
平移变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是位置发生改变。
2.缩放变换：y = a(x - p)^2 + q将二次函数的图像沿x轴缩放p倍，y轴缩放q倍，可以通过在自变量和因变量前添加对应的系数来实现。
当p>1时，图像水平方向收缩；当p<1时，图像水平方向拉伸。
当q>1时，图像竖直方向收缩；当q<1时，图像竖直方向拉伸。
缩放变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是大小发生改变。
3.翻折变换：y = -ax^2 - bx - c将二次函数的图像关于x轴翻折，可以通过在原函数前添加负号来实现。
翻折变换后的图像与原图像形状一致，只是关于x轴对称。
二、三次函数的图像变换三次函数是形如y = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数形式，其中a、b、c、d为常数。
三次函数的图像可以通过平移、缩放和翻折等变换得到。
1.平移变换：y = ax^3 + bx^2 + cx + d + m将三次函数的图像上下平移m个单位，可以通过在原函数上或下方添加m来实现。
平移变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是位置发生改变。
2.缩放变换：y = a(x - p)^3 + q将三次函数的图像沿x轴缩放p倍，y轴缩放q倍，可以通过在自变量和因变量前添加对应的系数来实现。
二次函数的变换
二次函数的变换引言二次函数是一种重要的数学函数之一，既有数学意义，也有实际应用价值。
通过一些基础的变换，我们可以得到更多的二次函数图像，这些变换方式不仅方便了我们的计算，也可以拓展我们的思维，提高我们的数学素养。
一、平移变换在二次函数图像中，如果我们希望将图像向左或向右平移，可以考虑在函数中加上一个常数。
例如，对于$f(x)=x^2$函数，当我们将其写成$f(x-a)=(x-a)^2$时，其图像就会向右平移a个单位。
反之，如果我们写成$f(x+a)=(x+a)^2$，那么图像就会向左平移a个单位。
这个变换的实际应用是很广泛的，比如在地图上移动坐标轴。
二、缩放变换在二次函数图像中，如果我们需要缩放图像，那么我们可以改变函数中二次项系数的值。
例如，对于$f(x)=x^2$函数，当我们将其写成$f(kx)=kx^2$时，其图像就会沿x轴方向缩放k倍。
当我们将其写成$f(x/k)=\frac{1}{k}x^2$时，其图像就会沿y轴方向缩放k 倍。
这个变换的实际应用比较广泛，例如在计算机图像处理中，可以对图像进行缩放。
三、翻转变换在二次函数图像中，如果我们需要翻转图像，那么我们可以改变函数的系数。
例如，对于$f(x)=x^2$函数，当我们将其写成$f(-x)=x^2$时，其图像就会以y轴为对称轴进行翻转。
反之，如果我们写成$f(-x)=-x^2$，那么图像就会以x轴为对称轴进行翻转。
这个变换的实际应用比较多，例如在研究物理现象时，可以通过翻转图像得到更多的信息。
四、平移、缩放和翻转的组合变换在二次函数图像中，我们还可以通过组合上述变换来得到更多的图像。
例如，对于$f(x)=x^2$函数，我们希望将其变成以点(-a,b)为顶点，开口向上的二次函数。
那么我们可以进行如下组合变换：$f(x-a)=x^2$，然后将图像沿y轴方向缩放为$\frac{1}{b}$倍，最后将其沿x轴翻转。
这样，我们就可以得到所需的二次函数图像。
二次函数图像的变换
二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。
其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。
而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。
图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。
笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。
因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。
1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。
顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。
例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。
2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。
二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。
顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。
但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。
高中数学二次函数的图像变换规律与应用
高中数学二次函数的图像变换规律与应用二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。
掌握二次函数的图像变换规律以及应用，对于解题和理解数学概念都非常有帮助。
本文将详细介绍二次函数的图像变换规律，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像变换规律1. 平移变换平移变换是指将二次函数图像沿着坐标轴的方向进行移动。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过改变a、b、c的值来实现。
例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像向右平移2个单位。
根据平移变换的规律，我们只需将x的值减去2，即可实现平移。
因此，新的二次函数为y = (x-2)^2。
2. 纵向拉伸和压缩纵向拉伸和压缩是指将二次函数图像在纵向上进行拉长或压缩。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，纵向拉伸和压缩可以通过改变a的值来实现。
例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在纵向上拉伸2倍。
根据纵向拉伸和压缩的规律，我们只需将a的值改为2，即可实现纵向拉伸。
因此，新的二次函数为y = 2x^2。
3. 横向拉伸和压缩横向拉伸和压缩是指将二次函数图像在横向上进行拉长或压缩。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，横向拉伸和压缩可以通过改变x的值来实现。
例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在横向上压缩为原来的一半。
根据横向拉伸和压缩的规律，我们只需将x的值改为原来的两倍，即可实现横向压缩。
因此，新的二次函数为y = (1/2)x^2。
二、二次函数图像变换的应用1. 最值问题二次函数的图像变换可以帮助我们解决最值问题。
例如，考虑二次函数y =x^2 + 2x + 1，我们可以通过平移变换将其图像向左平移1个单位，得到新的二次函数y = (x+1)^2 + 2x + 1。
这样，我们可以发现新的二次函数的最小值为1，即原函数的最小值为1-1=0。
例析二次函数的图像变换
例析二次函数的图像变换
函数的变换是数学领域最重要的议题之一，能实现各种图像的变换是研究函数的重要内容之一。
本文主要以二次函数的图像变换为例，探讨二次函数的图像变换有哪些，以及简单介绍其有趣的性质。
二、二次函数的具体定义
二次函数又称二次多项式，是指将特定的字符按照一定的规则用幂函数组合而成的数学函数。
形式表示为 y=ax2+bx+c（其中 a≠0），其中a、b、c为实数或复数。
三、二次函数的图像变换
1、翻转：
当a>0时，函数图像随着x的增加而上升，而随着x的减少而下降。
当a<0时，函数图像的变换则会使图像上下翻转，随着x的增加而下降，而随着x的减少而上升。
2、投影：
当b≠0时，函数的图像沿着b的方向投影变换，当b>0时，投
影向横轴的右边变换，当b<0时，投影向横轴的左边变换。
3、平移：
当c≠0时，函数图像沿着c的符号方向平移，当c>0时，图像
上移，当c<0时，图像下移。
四、二次函数的有趣性质
1、比较容易解决的性质：
（1）函数图像的坐标轴对称；
（2）当a>0时，图像的过每一个顶点都是抛物线；
（3）当a<0时，图像的过每一个顶点都是双曲线。
2、有趣而具有挑战性的性质：
（1）求二次函数的极值：利用求导求出二次函数的极值；
（2）求函数的根：利用二次函数的因式分解法求出函数的根。
五、总结
本文主要以二次函数的图像变换为例，介绍了二次函数的具体定义及其图像变换的方式，还介绍了二次函数的有趣性质，包括容易解决的性质和有趣又具有挑战性的性质。
这些性质使二次函数变得更加有趣。
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二次函数图像的变换
第一环节 【知识储备】
一、二次函数图象的平移变换
（1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成2
()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出
二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图
所示：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++； 3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；
()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-；
4. 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，
对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开
口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
第二环节 【新知探究】
【问题一】 平移变换
求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。
跟踪练习
（1）抛物线22(1)3y x =-+是由抛物线22y x =怎样平移得到的？
（2）若抛物线2
y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。
【问题二】 对称变换
（1）求与抛物线 关于y 轴对称的抛物线的解析式； （2）求与抛物线
关于x 轴对称的抛物线的解析式．
变式练习
求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线x ＝－1对称后所得到图象对应函数解析式。
()2211y x =-+2
245y x x =-+
【问题三】 旋转变换
求抛物线223y x x =+-绕着顶点旋转
的到抛物线解析式。
变式练习 求抛物线223y x x =+-绕着原点旋转
的到抛物线解析式。
第三环节 【知识反馈】
1．把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是 。
2. 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线y ＝1对称后所得到图象对应函数解析式。
3.抛物线2
y ax bx c =++向左平移1个单位，再向上平移2个单位，最后绕着顶点旋转180°得到抛物线22y x =，则a= ,b= ,c= 。
1800180
课时作业
一、选择题
1．将抛物线22y x =如何平移得到抛物线22(14)21y x =--（ ）
A ．向左平移14个单位，再向上平移21个单位。
B ．向左平移14个单位，再向下平移21个单位。
C ．向右平移14个单位，再向上平移21个单位。
D ．向右平移14个单位，再向下平移21个单位。
2．要从抛物线2211(1)322y x y x =-=-+-得到的图象，则抛物线212
y x =-必须（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位。
B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位。
C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位。
D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。
3．把抛物线2y ax bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式是235y x x =-+，则有（ ）
A ．b=3，c=7
B ．b=－9，c=－5
C ．b=3，c=3
D ．b=－9，c=21
4．把抛物线23y x =向右平移一个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A ．23(1)2y x =--
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =++
D ．23(1)2y x =-+
5．与抛物线1542--=x y 形状相同，开口方向相同，而顶点在抛物线15
42--=x y 的顶点上方3个单位的抛物线所对应的函数是（ ）
A ．3542+-
=x y B.3542--=x y C.2542+-=x y D.25
42--=x y 二、填空题
1．将函数22(3)y x =-的图象向右平移16个单位，再向上平移23个单位，得到的图象的解析式是 。
2．若抛物线2245y x x =--向左向上各平移4个单位，再绕顶点旋转180°，得到新的图象的解析式是 。
3．将抛物线223y x x =-+向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的解析式为 。
将抛物线223y x x =-+向 平移 个单位，再向 平移 个单位，便可得到2y x =的图象，抛物线223y x x =-+关于x 轴对称的抛物线的解
析式为 。
4.把函数23x y -=的图象沿x 轴翻折,得到的图象的解析式是
5．抛物线2y ax bx c =++向左平移2个单位，再向上平移3个单位，最后绕着原点旋转180°得到抛物线2
23y x x =-+，则a= ,b= ,c= 。
三、解答题
1.已知函数()212y x =-+，
⑴ 求绕顶点旋转180后的函数关系式；
⑵ 求绕原点旋转180后的函数关系式。
2.求把二次函数 的图象关于下列直线y ＝1对称后所得到图象对应函数解析式。
3．将抛物线2143y x x =---向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到22y ax bx c =++． （1）求,,a b c 的值；
（2）设抛物线2y 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，求ABC ∆面积．
2
23y x x =+-。