线性代数习题-[第一章]行列式
线性代数课后习题答案第一章 行列式
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(2)ba c ac b c b a ; 解ba c a cbc b a=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a cb a ; 解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2;解逆序数为4:41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);解逆序数为2)1(-nn:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项 分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:(1)7110025*******214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解 265232112131412-26503212213041224--=====cc 041203212213041224--=====rr000003212213041214=--=====r r .(3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b ec b e c b ad f ---=a b c d e fa d fbc e 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---.解dc b a100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++=====d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cdc ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3. (2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b ba a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得) 022122212221222122222=++++=d d c c b ba a .(4)444422221111d c b a d c b a d c b a=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明444422221111d c b a d c b a d c b a)()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++-++------=)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ). (5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n +⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1,则D n 按第一列展开, 有111 00 10 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得nnnn a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明DD D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明 因为D =det(a ij ), 所以nnn n n n nnnn a a a aa a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a DD n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=.D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算 下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n行展开))1()1(10 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=an-a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上 , 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解 根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a na a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112;解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开)nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+.再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)d e t (⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121n n n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 0011332212132 11113121121110 00011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n nn a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i nn a a a a a a a a 1111131********0010000 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 2841120351*******1512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==DD x , 222==DD x , 333==D D x , 144-==D D x .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为665510006510006510065100065==D ,15075100165100065100650000611==D , 114551010651000650000601000152-==D ,7035110065000060100051001653==D , 39551000601000051000651010654-==D ,2121105100065100651100655==D ,所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)=(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.令D=0,得λ=0,λ=2或λ=3.于是,当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.。
线性代数习题集(带答案)
第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).n!(A) k (B) n k (C) k2n(n 1) (D) k23. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!0 0 0 14．11( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 20 0 1 05.011( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22x x 1 16．在函数1 x 1 2f (x) 中3 2 x 33x 项的系数是( ).0 0 0 1(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 217. 若a a a11 12 131D a a a ，则21 22 232a a a31 32 332aa13a33a11a312a122a3211D 2a a a 2a ( ).1 21 23 21 222a31(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2a a11 ，则128．若 aa a21 22 a12a11ka22ka21( ).2 (D) k2a (A)ka (B) ka (C) k a9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 28 7 4 310. 若6 2 3 1D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).1 1 1 14 3 7 5(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 03 04 011. 若1 1 1 1D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).0 1 0 05 3 2 2(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0x 1 x2kx312. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 kx2x30 有非零解.kx1 x2x3( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0二、填空题21.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.3．四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.2 n4．若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.1 1 1 05.行列式11111.0 0 1 00 1 0 00 0 2 06．行列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a 11 a1(n1)a1n7．行列式a21a2(n1) 0 .an10 0a11a12a13a11a133a123a128．如果D a a a M21 22 23 ，则D a a 3a 3a .1 21 23 22 22a 31 a32a33a31a333a323a329．已知某5 阶行列式的值为5，将其第一行与第 5 行交换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新行列式的值为.31 1 1 x 110．行列式11 x11x 1111. x 1 1 1 11 1 11 1 111．n 阶行列式.1 1 112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.1 2 3 413．设行列式5 6 7 8D ，A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，4 3 2 18 7 6 5则4A41 3A42 2A43 A44 .a b c a14．已知c b a bD ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b ac ca cb d1 2 3 43 34 4D ，A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式，则15．设行列式 61 5 6 71 12 2A41 A ，A43 A44 .4241 3 5 2n 11 2 0 016．已知行列式D 1 0 3 0 ，D 中第一行元的代数余子式的和为1 0 0 n.kx1 2x2x317．齐次线性方程组2x1 kx20 仅有零解的充要条件是.x 1x2x3x12x2x318．若齐次线性方程组2x2 5x30有非零解，则k = .3x1 2x2kx3三、计算题b a 2a 3a c dab2b3bcd ac2c3cbd ad2d3dbc;2．xyxyxyxyxyxy1.；x a1 a2an210 1 x 1 a1 x a2an211 0 1 x 3．解方程0x 1 1 0 ；4．a1a2x an21；1 x 1 0 a1 a2a x31a 1 a2a3an115a1 1 11 a 11 15. 1 1 a 12( a j 1,j 0,1, , n)；1 1 1 an1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 11 1 1 (n 1) b1 1 1 1 x a1a2anb 1 a1a1a1a1x a2an7. b1 b2a2a2；8．a1a2x an;b 1 b2b3ana1a2a3x2 1 0 0 01 2 x1 x x1 2x x1 n1 2 1 0 09. x2x11 22xx x2 n ; 10.0 1 2 0 0xnx1xnx21 2 xn0 0 0 2 10 0 0 1 21 a a 0 0 01 1 a a 0 011．D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 a6四、证明题21 1a a 12a a21 1b b 12b b 1．设abcd 1，证明：021 1c c 12c c21 1d d 12d d .a 1b x1a x1b1c1a1b1c12． a2 bx2ax2b2c2(1 2 x ) a2b2c2.a 3b x3a x3b3c3a3b3c31 1 1 1a b c d3． 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)2 2 2a b c d .4 a4b4c d41 1 1a 1 a2an4．2a12a22nanai(a aj i) .i 1 1 i j nna12n2a2 nan2na1na2nna1 1 15．设a, b, c两两不等，证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.3 b3 c3 a7参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B二．填空题1. n ;2.“”;3. a14 a22 a31a43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1) !n 1 n ;n( n1)7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1n) ; 12. 2 ;n113. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7k k1三．计算题3 y3 1．(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ； 2. 2(x ) ；n 13. x 2,0,1;4. (xk 1 a k )n n15. (a 1) (1 ) ;6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;k a1k 0 k 0 k7.nn b a( 1) ( ) ; 8.k kn n( x a k ) (x a ) ;k k 1 k 1 k 1 n9. 1x ; 10. n 1;kk 12 a411. (1 a)(1 a ) .四. 证明题(略)8第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( ) 。
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
线性代数章节练习题
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。 （1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵
(完整版)行列式习题1附答案.doc
⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。
⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。
；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。
线性代数第一章n阶行列式练习题
线性代数第一章n阶行列式练习题填空01111．设n阶行列式D =10111a131?11?10?11?01?111110，则D的值为．1a11a122a113a12?a114a13?a122．设行列式D =a21a22a23a31a32a33= a ，则行列式D1 =2a213a22?a214a23?a222a313a32?a314a33?a32= ．3．设行列式D =1234234567894567，则D的第3列元素的代数余子式之和为． 4．设f=x1?2101?x11312x14?323x?443xx ，则f的展开式中??的系数为，的系数为，常数项为．5．方程1?2231x2313x4114x= 0 的根x = ．6．当满足条件时线性方程组选择??x1?x2?x3?x4?0??x??x?x?x?0?1234???x1?x2??x3?x4?0??x1?x2?x3??x4?0 只有零解．1．设4阶行列式D =a100b10a2b200b3a30b400a4，则D的值为．a1a2a3a4?b1b2b3b；a1a2a3a4?b1b2b3b；；．?2．设D为n阶行列式，Aij 为D的元素aij 的代数余子式，则．?ai?1n nijAij?= 0；?ai?1ijAij?= D； ?aj?1n n1jA2j?= D ； ?aj?1ijAij?= 0．a11a12?a1na1na1,n?1?a11a21a22?a2n3．设行列式D =a2na2,n?1?a21= aan1an2?ann，则行列式D1 =nannan,n?1?an1= ．n2a ；－a ；a ； a ．4．设f=x?2x?1x?2x?32x?22x?12x?22x?33x?33x?24x?53x?5 4x4x?35x?74x?，则方程f= 0的根的个数为．1 ；；；．a1a1a15．方程a2a3a4?xa4a4a4= 0a2a3?xa2?xa3a2a3a1?x的根为．a1?a2，a3?a；0 ，a1?a2?a3?a4；a1a2a3a，0 ；0 ，?a1?a2?a3?a4．6．设D为n阶行列式，下列命题中错误的是．2n 若D中至少有?－?n?＋?1个元素为0 ，则D = 0 ；若D中每列元素之和均为0 ，则D = 0 ；若D中位于某k行及某l列的交点处的元素都为0 ，且k?＋?l?＞?n ，则D = 0 ；若D的主对角线和次对角线上的元素都为0 ，则D = 0 ．1．答案n?1 ．提示将D化为上三角行列式即得．．答案 4a ．提示利用行列式性质、5变化行列式D1 即得．．答案 0 ．提示A13?A23?A33?A43?=123423451111456．4．答案－、1、－．提示x、x3的系数由4个主对角元的乘积?x2x 确定，常数项为f．5．答案 x = －、1 、．提示将方程左边的行列式化为上三角行列式后展开即得．．答案??≠?1且≠ －．提示齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式等于0 ．选择 1．答案．提示利用行列式的Laplace展开定理即得．．答案．提示由定理1.2即得．．答案．提示利用行列式性质2变化行列式D1 即得．．答案．提示先利用行列式性质5将方程f= 0左端的行列式化简，再利用行列式定义判断多项式f的次数．5．答案．提示将方程左边的行列式化为上三角即得．6．答案．提示命题是错误的．反例：100100000010010= 1 ．一. 判断题1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为n?1. 正确答案：!解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a11a2j2?anjn，其中j2j3?jn是n?1级全排列的全体，所以共有!项. 方法由行列式展开定理a11a12a22?an2a1na2n?ann?a11A11?a12A12a1nA1n，a21?an1而a12A12a1nA1n中不再含有a11，而A11共有!项，所以含有a11的项数是!.注意：含有任何元素a的项数都是!.ij2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij 等于零.a11a12a22?an2a1na2n?ann3、?、n列都加到第一列，则行中的2、解答：将a21?an1列式中有一列元素全为零，所以aij等于零.a10a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a2a4b3b2a33.00b4.解答：方法1按第一列展开 a100b40a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a4?a1b4b1a2a4b3b2a3?a1a4a2b3b2a3?b1b4a2b3b2a3.方法交换2，4列，再交换2，4行a10a2b300b2a30b100a4??a100b4b100a40b2a300a2b30?a1b400b1a40000a3b200b3a2D00b4=a1b4b1a2a4b3b2a3.方法Laplace展开定理：设在n行列式 k个行，由这k中任意取定了行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。
线性代数练习册练习题—第1章 行列式
第1章 行列式及其应用一、填空题1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2．排列36715284的逆序数是 。
3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = ， s = ，t = . 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ，则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8．行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则 .11．行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k .二．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x （ ）.（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = （ ）.（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是（ ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 （ ）. （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为（ ）.（A ）3,2==l k ，符号为正 （B ）3,2==l k ，符号为负 （C ）2,3==l k ，符号为正 （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是（ ）.(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7．如果133********21131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D （ ）. （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 8．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （ ）. （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-9． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =（ ）. （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 10．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是 （ ）.（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于 （ ）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a --（C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是（ ）.（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----= （D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为 （ ）. （A ）3,2,1 （B ）2,2,1- （C ）2,1,0 （D ）2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （ ）. （A ）a （B ）a - (C)a 2 （D ）a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则 （ ）.（A ）0≠λ且1≠λ （B ）0=λ或1=λ （C ）0=λ （D ）1=λ三、判断题。
行列式习题1附答案
级班命题人或命题小组负责人签名: 教研室（系）主任签名：一、填空题«线性代数》第一章练习题1、 （631254） ____________ 82、 要使排列（3729m14n5为偶排列，则m =___8 __ , n = ____ 6 ____x 11 「入 3 23、关于x 的多项式x x X 中含x 3,x 2项的系数分别是-2,4122x4、 A 为3阶方阵，A 2，则3A* ________________ 1085、 四阶行列式det （a j ）的次对角线元素之积（即aga 23a 32a 41） 一项的符号为 +6、 求行列式的值（1）1234 2469 234469=__1000__1 2 1⑵ 24 2 =010 14 131 0 2000 12001⑶0 12002 2003 =20052004 20051 2⑷行列式213 40中元素0的代数余子式的值为 27、 1 5 25 1 7 49 1 8 641 11 1 423 516 4925 64 827 125: ___ 1680 ________8、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5,则|A*|=__125.1| 2A| =__80__，| A |=0 1 19、 1 0 1 =2;1 1 0bx ay 010、若方程 组 cx az bcy bz a有唯一解，则abcM _______0 1 2 22 2 2 0 121 3 0 01 0 0 0O11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上行列式^不变 12、行列式a 12a 13 a 22a 23a 32 a 33a 42 a 43a 11 a 21a 31 a 41a 14 a 24 a 34a 44的项共有4! 24 项，在&11&23&14&42a 34 a 12a 43a 21中,X 2 X 3 013、当a 为1 1或2时，方程组x 12x 2 ax 3 0有非零解。
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
行列式习题答案
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 学号 第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,24．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数1-5章习题1
线性代数习题集第一章行列式一、判断题1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( )2. 213210 124121 012342=-.( )3. 13434121.42042=-( )4.123213123213123213.a a ab b bb b b a a ac c c c c c=( )5.123123123123123123.a a a a a ab b b b b bc c c c c c---------=---( )6. n阶行列式n D中元素ij a的代数余子式ij A为1n-阶行列式. ( )7. 312143 245328 836256=.( )8.111213212223313233a a aa a aa a a122r r+111213211122122313313233222+++a a aa a a a a aa a a( )9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( )10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. ( )二、选择题1．若12532453r sa a a a a是5阶行列式中带正号的一项，则,r s的值为（）．A.1,1r s ==B.1,4r s ==C.4,1r s ==D.4,4r s ==2.下列排列是偶排列的是（ ）A. 4312B. 51432C. 45312D. 6543213.若行列式210120312x --=-， 则x =( ).A.–2B. 2C. -1D. 14.行列式0000000000a bc d e f的值等于（ ）. A. abcdef B. abdf - C. abdf D. cdf5.设abc ≠0，则三阶行列式00000d c b a的值是（ ）.A ．aB ．-bC ．0D ．abc 6.设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）.A ．-3B ．-1C ．1D ．37.设非齐次线性方程组123123123238223105ax x x ax x x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则,a b 必须满足（ ）..0,0A a b ≠≠ 2.,03B a b ≠≠ 23.,32C a b ≠≠ 3.0,2D a b ≠≠ 8. 215152521112223030223-=---是按（ ）展开的.A ．第2列B ．第2行C ．第1列D ．第1行9.设111211212ni i inn n nna a a D a a a a a a =则下式中（ ）是正确的. 1122.0i i i i in in A a A a A a A +++= 1122.0i j i j ni nj B a A a A a A +++=1122.i i i i in ni C a A a A a A D +++= 1122.i j i j ni nj D D a A a A a A =+++10. 349571214的23a 的代数余子式23A 的值为（ ）.A. 3B. -3C. 5D. -5 三、填空题1． 排列36715284的逆序数是________.2． 四阶行列式中的一项14322341a a a a 应取的符号是_______. 3.若,0211=k 则k=___________. 4.行列式1694432111中32a 元素的代数余子式A 32=____________.5.598413111=__________. 6.行列式0001001010000100=______.7.行列式0004003002001000=__________. 8.非零元素只有1n -行的n 阶行列式的值等于__________.9. 1231231238,a a a b b b c c c =则123123123222c c c b b b a a a ---=__________. 10.n 阶行列式nD 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系是ij A =__________，n D 按第j 列展开的公式是n D =__________.四、计算题1.写出五阶行列式中含1325a a 并带有正号的所有项.2.计算四阶行列式1002210002100021的值.3.求4阶行列式1111112113114111的值.4.计算行列式D =1111123414916182764的值.5. 计算行列式122224242λλλ--+---+6.计算n 阶行列式011110111101111.7. 计算n 阶行列式 00 n a D a⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;8. 计算n 阶行列式 n x a a a xaD a ax⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅五、证明题1.33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bzzxy++++++=++++2.2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++六.用克拉默法则解方程1. 12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩； 2.121232343454556156056056051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪+=⎩.七. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？第二章 矩 阵一、判断题1.若A 是23⨯矩阵，B 是32⨯矩阵，则AB 是22⨯矩阵. ( )2.若,AB O =且,A O ≠则.=B O ( )3. 12103425X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解110122534X -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ( ) 4.若A 是n 阶对称矩阵，则2A 也是n 阶对称矩阵. ( ) 5. n 阶矩阵A 为零矩阵的充分必要条件是0.A = ( )6. 若,A B 为同阶可逆矩阵，则11()kA kA --=. ( )7. 42042069126232110110⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. ( )8. n 阶矩阵A 为逆矩阵的充分必要条件是0.A ≠ ( )9.设,A B 为同阶方阵，则 A B A B +=+. ( )10.设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.( ) 二、选择题1. 若,A B 为n 阶矩阵，则下式中（ ）是正确的.22.()()A A B A B A B -+=- .(),=.-=≠B A B C O A O B C 且，必有222.(+)+2+B A B A AB B = .D AB A B =2.若,s n n l A B ⨯⨯，则下列运算有意义的是（ ）..T T A B A .B BA .+C A B .+T D A B3.若,m n s t A B ⨯⨯，做乘积AB 则必须满足（ ）..=A m t .=B m s .=C n s .=D n t4.矩阵1111A --⎛⎫=⎪⎝⎭的伴随矩阵*=A （ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115.设2阶矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则*=A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 6. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 7. 设2阶方阵A 可逆，且A -1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A=（ ）.A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3172 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21738. n 阶矩阵A 行列式为,A 则kA 的行列式为（ ）.A. kA B. n k A C. k A D. -k A9. 设,A B 为n 阶矩阵满足=,AB A 且A 可逆，则有（ ）..==A A B E .=B A E .=B B E .,D A B 互为逆矩阵10.设A 是任意阶矩阵，则（ ）是对称阵..(+)T T A A A .+T B A A .T C AA .T T D A AA三、填空题1.设矩阵120210001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100021013B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则2+=A B _____________2.设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B=,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB =___________. 3.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31，则A TB =____________. 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321(1，2，3)=__________. 5.n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=__________. 6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 7.设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3202，则A *A =_____________.8.设矩阵A=⎪⎭⎫⎝⎛4321，则行列式|A 2|=__________. 9.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，且det(A)=ad-bc≠0，则A -1=__________ .10. 设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 1O A B O -⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.四、计算题1．已知110123011,124,111021A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求()TA B +.2.计算下列乘积1).431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;2).3(123)21⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；3).)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛；4).13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭；5).111213112312222321323333()a a a xx x x a a a xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.3.求矩阵方程.1)25461321X-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2)211113210432111X-⎛⎫-⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎪-⎝⎭;3)142031121101X⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;4）010100143100001201001010120X-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.设矩阵21=53A⎛⎫⎪⎝⎭，13=20B⎛⎫⎪⎝⎭，求矩阵方程=XA B的解X.5.设321=111101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣，求-1A .6.设101=210,325A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭求-1A7.设101=210325A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求-1A .8.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2500380000120025A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2600140000540023B . 求：AB BA 和9. 设A 为3阶矩阵, , 求-1(2)-5A A *.10.设(1,2,1),28,A diag A BA BA E *=-=- 求.B11.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A |及4A .五、证明题1. 设,A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明TB AB 也是对称矩阵.2.设,A B 为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =.3.设为n 阶矩阵A 满足235,A A E O --=试证A E +可逆，且()14A E A E -+=-.4. 设A 为n 阶矩阵，且2,A A =且A E ≠，证明A 是不可逆矩阵.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（ ）(A) r n = (B) r n <(C) r n ≥ (D) r n >2．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ ）(A) ()r A m < (B) ()r A n < (C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<3．设A 是m n ⨯矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（ ）(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解 (C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解4．已知12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解，12,αα是导出组0AX =的基础解系，12,k k 为任意常数，则AX b =的通解是（ ） (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββααα++-+(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5．设A 为m n ⨯矩阵，则下列结论正确的是（ ）(A) 若0AX =仅有零解 ，则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解 ，则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =仅有零解(D) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =有非零解6．线性方程组123123123123047101x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （ ）(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解 二、判断题1．若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量， 则αβ-是方程组0Ax =的解。
(完整word版)线性代数练习题行列式
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0,则=x ［ C ] （A ）2 （B ）2- (C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ］（A ）（13，5) （B ）(13-,5） (C)(13,5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是 ［ C ] （A ）0 （B ）1 (C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ［ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B)655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a (D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为［ B ］ (A ）3,2==l k ，符号为正; (B)3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n 〉2）阶行列式的值必为零的是 ［ BD ] （A ） 行列式主对角线上的元素全为零 (B ） 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 （C ） 行列式零的元素的个数多于n 个 （D ） 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8，5 s = 5,2,8 ，t = 8,5，2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数练习册(第1章)
第一章习题一（行列式的基本概念）一、填空题1. 按自然数从小到大为标准次序，排列2413的逆序数是 .2. 按自然数从小到大为标准次序，排列4637251的逆序数是 .3. 按自然数从小到大为标准次序，排列()n n 2241213 -的逆序数是 .4.若排列4153972j i 为偶排列，则=i ，=j . 5. 四阶行列式中含有因子2311a a 的项是 . 6. 在5级行列式中，项4524513213a a a a a 前带的符号是 . 二、解答题 1. 求行列式的值.（1） 200146213-；（2） 987654321.2. 证明（1）))()((111222a c c b b a c b a c b a---=.（2）()32211122b a b b a a b aba -=+.（3）()()4242313144312211000000y y x x y y x x x y x y y x y x --=.第一章习题二（行列式的性质）一、填空题1.行列式403212101的值是 .2. 行列式211312707458-的值是 .3. 行列式322000000111d d c dc b a = .；=dcb a .二、解答题1. 计算下列各行列式：（1）71100251020214214.（2）2605232112131412-.（3）efcfbf de cd bdae ac ab ---. 2. 证明（1）2222222224c b a b a bccabc a c ab ca ab c b =+++.（2）()()()()()()()()()()()()03213213213212222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a .（3）()()()()()()()d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a dc b a+++------=444422221111.第一章习题三（行列式按行或列展开）一、填空题1．设4阶行列式1221304312107301----=D ,则（1)D 的代数余子式14A = ； （2) 1413121122A A A A -+-= ；2．行列式12334152--=aD 的代数余512=A ，则a = .3．行列式xd d d x c c c x b b b x a a a D 3213213213214=，则=+++41312111A A A A .二、解答题1.设1121013=z y x ，求111314111zy x ---.2. 计算n 阶行列式n222232222222221.3．证明1221100001001n nn n x xD x a a a a a x----=-+12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++++≥.4．计算行列式00100200100000n D n n =-.5．计算n 阶行列式0001000000000001000n a a a D a a=.第一章习题四（克拉默法则）一、填空题1.如果线性方程组的系数行列式D ，则线性方程组一定有解且解是 .2.如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ，则齐次线性方程组没有 解.3.当=λ 时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+02,0,02,043214131x x x x x x x x λλ有非零解.二、解答题1.用克拉默法则解线性方程组.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+-=+--=+-.5534,12523,432,543321421431432x x x x x x x x x x x x2.已知齐次线性方程组()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--=++-0124,02,0332132321x x x x x x x x λλλ有非零解，求λ的值.3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02,0,0321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？4.问λ取何值时，齐次线性方程组()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--01,032,0421321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？5（思考题）． 计算行列式βααββαβααββααββα+++++=10000010001000n D .。
线性代数第一章作业及其答案
第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是（）(A)D 的所有元素非零(B)D 至少有n 个元素非零(C)D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（）A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3D．k≠-1或≠33．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（）A.m -nB.n -mC.m +nD.–(m +n )4.设行列式==1111034222,1111304zy x zyx则行列式（）A.32B.1C.2D.385．下列行列式等于零的是（）A .100123123- B.031010300-C．100310-D．261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A．-2B．-1C．1D．27．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k=（）A.-2B.-1C.1D.28．（考研题）行列式0000000ab a bc dc d=（）A.()2ad bc - B.()2ad bc -- C.2222a db c- D.2222b c a d-二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为。
2.行列式1112344916中位于（3，2）元素的代数余子式A 32=。
3.设1578111120963437D --=--，则1424445A A A ++=。
4．已知行列式212300111a=-，则数a =。
5．若a ,b 是实数，则当a =且b =时，有000101ab ba-=--。
6.设13124321322)(+--+-+=x x x x f ，则2x 的系数为。
7.五阶行列式000130003201830207530026=。
线性代数习题
13、设行列式 D=
3 6 9 12 2 4 6 8 1 2 0 5 6 4 3 3
，则 A41 2 A42 3 A44 =_____.
14.确定排列 217986354 的奇偶性_____（奇排列/偶排列）.
a 15.若 11 a 21
3a11 a12 1 ，则 3a 21 a 22 0
10.求解方程
1 x 1 1 0。 1 1 x 1 1 1 1 x
3
a b
b
b ... b
11.计算行列式 Dn b
b
a b ... b b a ... b ... ... ... ... ... b ... b a
1 10 1 2 12. 计算四阶行列式 3 5 1 2
1 3 6 4
1 1 . 1 1
5. 设 A 为 4 阶方阵，且 A 2 , A =_____. A. 2 C. 8 B. 4 D. 16
6
6. 设 A, B 分别为 n 方阵， 是实数，则下列等式错误的是_____.
A. A B A B C. AT A
B. AB A B D. 2 A 2n A
.
)
1 17.计算 2 1 2 3 _____. 3 1 0 2015 18、设 A ，则 A _________ 1 1 2 1 19、设 A ，则 A =_________ 3 4
二、选择题 1、 A 和 B 均为 n 阶方阵，且 ( A B) 2 A 2 2 AB B 2 ，则必有 （A） A E （B） B E （C） A B （D） AB BA 2、设 A 为方阵，如果有矩阵关系 AB AC ，则必有 。 （A） A 0 （B） B C 时 A 0 （C） A 0 时 B C （D） A 0 时 B C
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式；
5．利用数学归纳法计算行列式；
6．利用递推公式计算行列式；
7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；
8．利用加边法计算行列式；
9．综合运用上述方法计算行列式.
1.3 例题分析
例 1.1 排列 14536287 的逆序数为 ( )
(A) 8 (B) 7
因此
(−1Байду номын сангаасt a1n−1a2n−2 Lan−11ann ，其中
t = (n −1)(n − 2) ， 2
( 2007 −1)( 2007 − 2 )
D = (−1) 2 2007!= −2007!．
此题也可以按行(列)展开来计算．
例 1.11 计算 n 阶行列式
2 1 1L1
1 2 1L1
Dn = 1 1 2 L 1
⎪⎪a ⎨
21
x1
⎪
+
a22 x2 MM
+L+ MM
a2n xn M
=
0
⎪⎩an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = 0
的系数行列式 D ≠ 0 ，则方程组只有唯一零解．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行
列式 D = 0 ．
1.2.5 一些常用的行列式
1．上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.
⎧D i = j
jk
=
ai1 Aj1
+ ai2 Aj2
+ ... + ain Ajn
=
⎨ ⎩
0
i≠ j
其中 Ast 是 ast 的代数余子式.
1.2.４ 克拉默法则 １．如果线性非齐次方程组
线性代数习题参考答案
第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i= ，j= 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）201141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2． 证明下列恒等式(1) ()33ax by ay bzaz bx x y z D ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3)1111221100001000001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+ (提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。
《线性代数》单元自测题
《线性代数》基础习题第一章 行列式一、 填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有负号的项，则i = ，j = 。
2． 在四阶行列式中，带正号且同时包含因子23a 和31a 的项为__ ___。
3． 在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取 。
4．已知xx x x x x f 42124011123313)(--=，则)(x f 中4x 的系数为 。
5． 行列式=600300301395200199204100103__ __。
二、 计算下列各题：1．计算63123112115234231----=D 。
2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值。
3．计算ab b a b a b a D n 000000000000=4．计算nD n 222232222222221=5．计算ab b b b a b bb b a bb b b a D n = 6．计算4443332225432543254325432=D 7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值。
第二章 矩阵一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221,则R(A)= 。
2．设A 是3阶方阵，且m A =，则1--mA = 。
3．=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20092010100001010534432121001010100 。
4．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A 。
5．设A 为3阶方阵，1A =-，A 按列分块为()321A A A A =，()32122A A A B =，则*B = 。
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习题1—1 全排列及行列式的定义
1． 计算三阶行列式123
4
56789。
2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。
3． 利用行列式的定义计算下列行列式：
⑴0
004003002001
0004
D
⑵0
0000000052
51
42413231
2524232221
151********a a a a a a a a a a a a a a a a D =
⑶0
001
0000
200
0010
n
n D n -=
4． 利用行列式的定义计算210111()0211
1
1
x
x x f x x x
-=
中34
,
x x 的系数。
习题1—2 行列式的性质
1． 计算下列各行列式的值：
⑴
2141
012112025
62
-
⑵ef
cf
bf
de cd bd
ae ac ab
---
⑶
2
2
2
2
2
2
2
2
22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
2． 在n 阶行列式nn
n n n
n
a a a a a a a a a D 2
1
222
2111211
=
中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=，
证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值：
⑴x
a
a
a x a a a x
D n
=
⑵n
n a a a D +++=
11
1
1
1111121
()120n a a a ≠
习题1—3 行列式按行（列）展开
1． 已知ij A 是行列式1
22
30
5
4
03
--的元素ij a （3,2,1,=j i ）的代数余子式，求32
3127A A +的值。
2． 按第三列展开下列行列式，并计算其值：
1
1
111110101
d
c
b a ------
3． 计算下列n 阶行列式的值
⑴a
a a a
D n 0
1
0000
00
100
=
⑵x
y y
x y x y x D n 0000000
00
000
=
4． 试用数学归纳法证明：
n n n n n n n
n a x a x a x a x a a a a x x x
D ++++=+---=
----1111
2
2110000
0100001
习题1—4 克拉默法则
1． 用克拉默法则解下列方程组：
⑴⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=+--=-+4452227253
2z y x z y x z y x
⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-+=---=-++8
232422383226232t z y x t z y x t z y x t z y x
2． 判断齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=+-=-+028*******z y x z y x z y x 是否仅有零解？
3． 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(z y x z y x z y x λλλ有非零解？
4． λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=-+=-+0200z y x z y x z y x λλ仅有零解？。