行星地轨道及位置地数学解法.doc
轨道卫星运动位置计算
轨道卫星运动位置计算轨道卫星的位置计算是航天领域中的重要任务之一，它对于实现通信、导航、气象监测等功能起着至关重要的作用。
本文将介绍轨道卫星运动位置计算的基本原理和方法。
一、轨道卫星的运动模型轨道卫星的运动可以用开普勒运动模型来描述。
开普勒运动模型假设行星围绕太阳运动，且太阳是一个质点，不考虑行星之间的相互作用。
同样，我们也可以假设卫星围绕地球运动，且地球是一个质点，不考虑卫星之间的相互作用。
根据开普勒第一定律，轨道卫星围绕地球运动的轨道是一个椭圆。
椭圆的两个焦点分别为地球的中心和轨道中心。
卫星在轨道上运动时，地球的位置可以通过确定轨道的半长轴、半短轴、离心率和轨道的倾角等参数来计算。
二、轨道卫星位置计算方法轨道卫星的位置计算方法主要包括传统方法和现代方法。
传统方法主要是利用开普勒的数值解来计算卫星的位置。
现代方法主要是利用数值计算方法和遥测数据来进行计算。
1.传统方法传统的轨道卫星位置计算方法主要有两种：开普勒法和摄动法。
开普勒法是根据开普勒第三定律和数值解方法来计算卫星的位置。
它首先确定半长轴、离心率和轨道的倾角等参数，然后通过数值积分的方法来模拟卫星的运动，得到卫星的位置和速度。
摄动法是在开普勒法的基础上考虑了一些外力的作用，如地球引力、月球引力和太阳引力等。
这些外力会对卫星的轨道产生一定的影响，通过考虑这些影响可以提高计算的精度。
2.现代方法现代方法主要是利用数值计算方法和遥测数据来计算轨道卫星的位置。
数值计算方法主要是利用数值积分的方法来模拟卫星的运动。
通过数值计算模型，可以根据卫星的初始位置和速度来计算卫星在未来一些时刻的位置和速度。
遥测数据是通过各种测量手段来获取的卫星的相关数据，如卫星的位置、速度和加速度等。
通过分析这些数据，可以获得卫星的运动状态，并进一步计算出卫星的位置。
在实际的轨道卫星位置计算中，通常会结合使用传统方法和现代方法，以提高计算的准确性和稳定性。
三、轨道卫星位置计算的应用轨道卫星的位置计算应用广泛，主要包括通信、导航、气象监测和科学研究等领域。
第五章 小行星轨道方程计算问题
第五章 小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法5.1 小行星轨道方程问题 5.1.1 问题的引入一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上的5个点的坐标数据如下表：5.1.2 模型的分析由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆的一般方程为：221234522210a x a xy a y a x a y +++++=，需要确定系数,1,2,3,4,5;i a i =利用已知的数据，不妨设()1,2,3,4,5;i i x y i =欲确定系数i a 等价于求解一个线性方程组：221121131415122122223242522213233334353221424434445422152553545552221022210222102221022210a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧+++++=⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪+++++=⎪⎪+++++=⎩ 可写成矩阵的形式：AX b = 其中，2211111122222222223333332244444422555555222222222222222x x y y x y x x y y x y A x x y y x y x x y y x y x x y y x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12345a a X a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11111b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 5.1.3 模型的假设假设：(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律；(2)以上所测得数据真实有效。
第5章 卫星轨道计算
在求解卫星位置时，第一需要利用o文件中每个历元 的历元时刻t。在计算某时刻卫星位置时，这里的某时刻 便是o文件历元时刻t。第二需要利用读取的每个历元不同 的卫星PRN号。根据PRN号和历元时刻 t 在广播星历n文件 中搜索相同的卫星PRN号、合适的历元时刻，利用其对应 的数据，计算卫星位置。
4.卫星坐标计算算法步骤
4.1 算法 ⑧计算经过摄动改正的升交距角 道倾角
、卫星矢径
和轨
⑨计算卫星在轨道平面坐标系的坐标
2021/8/10
4.卫星坐标计算算法步骤
4.1 算法 ⑩计算观测时刻升交点经度
的值都可以从卫星电文中获取。 ⑪计算卫星在地心固定坐标系中的直角坐标
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4.卫星坐标计算算法步骤
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时刻的升交点
3.卫星轨道计算
3.3 卫星坐标计算 总结：计算卫星位置需要广播星历中以下参数
其中 为纬度幅角，轨道半径，轨道倾角的正余弦调和项改正， 单位为弧度，是由于摄动力而引起的改正项。
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4.卫星坐标计算算法步骤
4.1 算法 ①计算卫星运行的平均角速度 n
②计算归化时间
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4.卫星坐标计算算法步骤
4.2 重要MATLAB函数说明 （3）dt = check_t(time)
time—儒略日； 返回值—修复后的儒略日。 （4）X = satpos(tx_GPS, Eph(:,k)) tx_GPS上节所述的归化时间，用儒略日表示的； Eph(:,k)Eph星历矩阵中的某一列数据； 返回值卫星在地心地固坐标系中坐标。
行星运动和轨道问题
行星运动和轨道问题一、行星运动的基本概念1.行星：太阳系中的地球、水星、金星、火星、木星、土星、天王星、海王星等天体。
2.公转：行星围绕太阳运动的过程，公转方向与自转方向相同，均为自西向东。
3.自转：行星自身绕轴旋转的过程。
4.轨道：行星运动的路径，呈椭圆形，太阳位于椭圆的一个焦点上。
5.周期：行星完成一次公转或自转所需的时间。
二、行星运动定律1.开普勒第一定律（轨道定律）：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律（面积定律）：行星在相同时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律（周期定律）：行星公转周期的平方与其半长轴的立方成正比。
三、万有引力定律1.提出者：牛顿2.内容：任何两个物体之间都存在相互吸引的力，该力的大小与两个物体的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
3.公式：F = G * (m1 * m2) / r^2，其中F为万有引力，G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
四、行星轨道的稳定性1.牛顿引力理论：行星轨道是稳定的，因为万有引力提供了向心力，使行星保持在轨道上运动。
2.开普勒定律：行星运动的规律性使得轨道稳定性得以维持。
3.量子力学：在微观层面，行星轨道的稳定性与量子力学的原理有关。
五、太阳系的形成与演化1.太阳系的形成：大约46亿年前，一颗恒星爆炸产生的物质 cloud在引力的作用下逐渐凝聚形成太阳，同时形成围绕太阳运动的行星和其他天体。
2.太阳系的演化：随着时间的推移，行星和其他天体不断演变，如地球上的生命起源、月球的形成等。
六、人类对行星运动的探索1.古代：天文学家通过观测行星运动，制定了太阳历和行星表。
2.近现代：开普勒、牛顿等科学家提出了行星运动的定律和万有引力定律，揭示了行星运动的奥秘。
3.现代：航天技术的发展，人类发射了各种探测器，对太阳系行星进行了详细的研究。
行星运动和轨道问题是天文学中的重要内容，涉及到行星运动定律、万有引力定律、太阳系的形成与演化以及人类对行星运动的探索等方面。
万有引力行星运动与轨道分析
万有引力行星运动与轨道分析万有引力是所有物体之间普遍存在的一种相互作用力，它是由大量的天体相互吸引而产生的力量。
在宇宙中，行星的运动和轨道受到万有引力的影响。
本文将对万有引力行星运动和轨道进行分析。
一、引力定律根据牛顿的引力定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离平方成反比。
引力公式可以表示为F=G*(m1*m2)/r^2，其中F为引力，G为引力常量，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
二、开普勒定律开普勒定律是描述行星运动的重要定律。
根据开普勒第一定律，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律说明了行星在不同位置的运动速度是不同的，它在离太阳较近的位置运动速度较快，在离太阳较远的位置运动速度较慢。
开普勒第三定律指出，行星绕太阳运行的周期的平方与它们离太阳的平均距离的立方成正比。
三、行星运动的特点根据开普勒定律，行星的轨道是椭圆形的，离开椭圆的轨道将不再符合天体力学定律。
行星运动的轨道不仅受到太阳的引力影响，还受到其他行星和天体的引力干扰。
这些干扰使得行星运动的轨道变得复杂，但总体上仍然遵循开普勒定律。
四、行星运动的轨道分析在进行行星运动的轨道分析时，我们可以利用牛顿的万有引力定律和开普勒定律来计算行星轨道的各种参数。
首先，我们需要知道太阳和行星的质量以及它们之间的距离。
通过观测和测量，科学家已经得出了行星和太阳的质量，并可以通过测量行星到太阳的距离来进行计算。
然后，我们可以通过万有引力定律来计算行星受到的引力大小。
根据引力的大小，行星将受到一个向太阳的引力，这将使它保持在轨道上运动。
根据开普勒定律，我们可以了解到行星的轨道形状、行星在轨道上的运动速度以及行星绕太阳运行的周期。
通过数学计算和物理模型，我们可以绘制出行星运动的轨道图。
轨道图可以用来显示行星在不同位置的运动速度、轨道形状以及行星之间的相对位置。
利用轨道图，我们可以更好地理解行星的运动规律以及它们之间的相互关系。
小行星轨道问题
四. 小行星的轨道问题（交纸质文档）一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万哩）。
他在不同的时间对小行星作五次观测，得到轨道上五个点的坐标分别为（5.764，0.648），（6.286，1.202），（6.759，1.823），（7.168，2.526）与（7.408，3.360）。
由开普勒第一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程并画出其轨迹图。
解：设行星的椭圆轨道方程为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0;（1）将上述九个点的坐标一一代入椭圆轨道方程，得到一个关于a,b,c,d,e,f 的其次线性方程组，这个方程组有九个方程，如果这个方程组的秩等于5，那么在这九个方程中随便找五个方程解出a,b,c,d,e,f，就得到椭圆的方程式。
（2）如果这个方程组的秩大于5，那么不妨设g(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f; 将上述九个点的坐标分别代入g(x,y),得到9组等式，然后再将这9组等式平方后相加，记为s;根据最小二乘法原理，：令s分别对a，b，c，d，e，f求导后的代数式等于零。
得到一个由五个五元一次方程构成的方程组，解这个方程组求出参数值，这就是椭圆方程中各参数的最小二乘估计，由这组估计值所确定的椭圆方程能够保证误差的平方和最小。
小行星的轨道模型问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.1222122212221222122255542535522514544243442241353423333223125242232222211514213112211y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+b Y a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[].02221=++C DY X λλ所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CD b 2λ=;椭圆半焦矩:22b a c -=. 计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得).2165.0,6351.1,6942.0,3440.0,6143.0(),,,,(54321---=a a a a a从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值.0005.1,3080.021==λλ.12165.06351.12165.06942.03440.06351.13440.06143.0154532321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a D .8203.1-=D于是,椭圆长半轴1834.19=a ,短半轴9045.5=b ,半焦距2521.18=c .小行星近日点距和远日点距为.4355.37,039313=+==-=c a H c a h最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为84.7887.文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
行星运动轨迹问题的解析
行星运动轨迹问题的解析行星是宇宙中最神秘的天体之一，它们的运动轨迹一直是人们探究的热点问题之一。
早在古代，人类就开始观察天体运动，并尝试推导其规律。
而如今，我们已经通过科学方法对行星运动轨迹的问题进行了深入的探索，掌握了其中的奥秘。
下面，我将从不同角度出发，对这个问题进行深入探讨。
一、天文学原理天文学的基本原理早在古代就已经形成了。
在欧洲，世界上第一台现代天文望远镜是伽利略发明的。
有了望远镜，人类对天体的观察范围大大提高，同时也促进了人们对宇宙运动的认识。
在天文学中，我们通过质点的匀速直线运动来描述天体在宇宙中的运动轨迹。
而行星的运动轨迹则是通过地球和其他星体之间的引力交互作用得出的。
二、基础理论行星运动轨迹问题的解析需要借助数学工具。
众所周知，开普勒三定律是研究行星运动轨迹最基础的理论。
具体来说，这三个定律分别是:1. 行星绕太阳的轨道是椭圆；2. 行星在轨道上的速度在不同位置不同，但天文学家发现轨道半径相同的行星其公转周期也相同；3. 此外，更准确的公式是，半长轴的平方与公转周期的平方成正比，即T^2 = k a^3，其中T为公转周期，a为半长轴长度，k为一个常数。
三、近似方法在研究行星运动轨迹问题时，我们不需要一直使用数学公式去推导轨迹方程。
实际上，通过一些近似方法，我们可以得到比较精确的结果。
例如，在描述行星轨道形状时，如果我们认为行星公转所受的引力是圆心对称的，那么我们就可以用古老的牛顿万有引力定律来推导行星轨道的方程。
四、数值模拟最后，我们还可以使用计算机软件来模拟行星运动轨迹问题。
类比于物理中的“N体问题”，我们可以将行星看作质点，通过数值模拟软件如Matlab来求解其运动轨迹。
这种方法不仅可以得到数值上的答案，而且对于行星运动特点的直观认识也很有帮助。
总之，行星运动轨迹问题的解析是一项复杂的工作，需要掌握扎实的物理和数学知识，但是总的来说具有很高的学术价值。
通过研究行星运动轨迹问题，我们不仅可以更深入地了解宇宙世界，更重要的是对科学方法、理论研究等方面的理解和掌握都有很大促进作用。
行星运动的数学模型及轨道分析
行星运动的数学模型及轨道分析引言：行星运动一直以来都是人们关注和研究的话题之一。
通过数学建模和轨道分析，我们可以更深入地了解行星运动的规律和特性。
本文将探讨行星运动的数学模型以及轨道分析的方法。
一、行星运动的数学模型行星运动的数学模型是基于牛顿万有引力定律的。
该定律表明，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
根据这一定律，我们可以用以下公式表示行星的运动：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F表示两个物体之间的引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是行星和太阳的质量，r是行星和太阳之间的距离。
数学模型的关键是求解行星的运动轨迹，通常使用数值模拟的方法。
将行星的质量、初始位置和速度输入计算机程序，利用欧拉法或其他数值计算方法，我们可以得到行星在各个时间点上的位置和速度，并通过连续的计算得到整个行星运动轨迹。
二、行星轨道的分析行星轨道分析的目的是了解行星运动的规律和特性。
通过分析行星的轨道，我们可以研究行星的运动周期、轨道形状以及行星之间的相互影响。
1. 运动周期行星的运动周期是指行星绕太阳完成一次运动所需的时间。
根据开普勒第三定律，行星的运动周期与它的轨道半长轴的立方成正比。
因此，通过观测行星的运动轨迹，我们可以计算出它的运动周期，并进一步了解行星运动的规律。
2. 轨道形状行星的轨道形状通常是椭圆。
根据开普勒第一定律，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
通过测量行星在不同时刻的位置和速度，利用椭圆的方程，我们可以确定行星的轨道参数，如椭圆的长轴、短轴以及离心率等，从而推测行星的轨道形状。
3. 相互影响行星之间的相互影响是行星运动的另一个重要方面。
根据牛顿引力定律，行星之间的引力会影响它们的运动轨道。
特别是在行星相互靠近的时候，它们的轨道可能会发生变化。
通过数值模拟和轨道计算，我们可以研究行星之间的相互作用，进一步了解行星运动的规律。
实验五行星的轨道和位置优秀课件
有初始条件：
r t 0 r0 t0 0
d
r
dt
t0 0
(5 .6 ) (5 .7 )
(5 .8 )
d d t
t0
v0 r0
(5 .9 )
问题（5.4）~（5.9）就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。
四数学模型
将式（5.4）乘以 r ,
即得
d dt
r2
d
dt
0
从而 r2
d
乐经良
万有引力定律
“自然哲学的数学原理” (1687 牛顿) 天王星－乐师(Herschel)发现的行星 (1781) 海王星－笔尖上的行星 (Adams 1845, Leverrier 1846) 冥王星－离太阳最远、未知数最多的行星 2006年8月24日国际天文学联合大会决定： 冥王星降级为“矮行星” (大行星的定义) 太阳只有八大行星！
I 行星的轨迹
五解析方法
请尝试推导出行星r的 轨道p 方程？
1 ecos
( p,e 是常数,根据相关已知数据导出)
改写前面积分表达式成为
r
2d
C1t
1
1
d
0 (1 - ecos )2
C1 p2
T1
给出时间T1，要求位置即求出θ1与r，较难！
乐经良
五解析方法
现在回到开始的问题，对地球而言，
乐经良
二实验目的
本实验主要涉及常微分方程。 通过实验复习： 微分方程的建模和解法， 数值积分的计算。 另外，还将介绍： 建立数学模型时复坐标系的选取， 基于压缩映像的求根方法， 微分方程的Runge-Kutta法
乐经良
三 实际问题
地球距太阳最远处(远日点)距离为 1.521×1011 m,此时地球绕太阳运动(公转)的速 度为2.929×104 m/s,试求:
行星运动轨迹的一种简单推理方法
L=T V = （11）
则：
= = （12）
将（11）带入（12）并化简可得：
=const（13）
= （14）
如果对（14）进行一次积分并整理带入初始条件可得：
2GM( )= 系统的能量守恒，因此可以不列拉格朗日方程而根据能量方程直接给出。对于（13），带入初始条件可得： = ，易得这就是行星的角动量守恒，对应于开普勒行星运动的第二定律，也就是行星和恒星的连线在相同的时间扫过相同的面积。
将（19）除以（20）并整理可得：
=± （21）
设：
2q= （22）
则（22）带入（21）并整理可得：
=± （23）
现在对（23）进行研究如下：
1、如果 ，则必然有S=q。
也就是：
= （24）
S=q 也就是：
= （25）
很明显，（24）（25）表明万有引力正好能提供向心力，行作匀速圆周运动，高中时候已经研究很多，在此不作说明。
r= （29）
因为在极坐标中圆锥曲线统一方程（对应于远日点，至于为什么，在此省略）为：
r= （30）
那么应该将（29）化成：
r= （31）
可得 e= 大于0小于1，因此其轨迹应该为椭圆。
至于关于椭圆的各个参数，讨论较为简单，在此省略
=
=
由以上所有计算而可得出两个重要方程：
2GM( )= + （15）
= （16）
如何解（15）和（16）是问题的关键之一。我们不关心r，θ和时间t之间的关系，关心的是r和θ之间的关系，这才是求得轨迹方程的关键。
设：
r= （17）
则：
=- （18）
将（18）带入（15）（16）并整理可得：
轨道卫星运动位置计算
轨道卫星运动位置计算
1）计算平均角速度n
已知卫星轨道长半轴a，利用计算平均角速度。
2）计算平近点角M和偏近点角E
已知卫星过近地点时刻τ和卫星轨道离心率e，利用平近点交M 和时间t的关系式计算平近点角M。
利用开普勒方程计算偏近点角E。
3）计算卫星向径的模r
利用式计算。
4）计算卫星真近点角f
利用计算。
5）计算卫星在轨道平面直角坐标系中的坐标（x’,y’）
利用式计算，其中r已计算出，如下
注意此处可以通过偏近点角E和椭圆参数直接计算坐标。
6）卫星在天球坐标系中的位置
由轨道倾角i，升交点赤经Ω和近升角距ω三个轨道参数，可以计算出卫星在天球坐标系中的位置。
此处R下标1、2、3对应的为x’、y’、z’的坐标轴，负号表示顺时针旋转。
7）卫星在瞬时地球坐标系中的位置
上面所求的坐标或速度，一般为惯性坐标系J2000.0。
要实现天球坐标系到地球坐标系的转换，应该首先考虑岁差和章动的影响先转换到瞬时真天球坐标系中。
但在实际应用中，如GPS导航电文的轨道根数提供的轨道根数，所求的上述结果已对应于瞬时天球坐标系，因而只需进行Z轴旋转GAST(t)，就转换到瞬时地球坐标系。
8）卫星在协议地球坐标系中的位置
若考虑极移的影响，有
以上就完成了卫星位置的计算。
物质运动规律中行星轨道分析方法
物质运动规律中行星轨道分析方法行星是宇宙中的天体，它们环绕太阳运行，形成各自稳定的轨道。
了解行星轨道的运动规律对于研究宇宙的结构和演化具有重要意义。
在天文学中，有多种方法可以分析行星轨道，本文将介绍其中几种常用的方法。
一、开普勒定律分析法开普勒定律是行星运动规律中的基本原则，描述了行星的轨道形状和运动速度与距离的关系。
根据开普勒第一定律，行星绕太阳运动的轨道形状是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
而根据开普勒第二定律，行星在其轨道上的运动速度与距离太阳的距离成反比。
利用开普勒定律分析行星轨道的方法主要有两种。
第一种是通过观测行星位置随时间变化的数据，绘制出其运动轨迹，进而确定行星轨道的形状和太阳的位置。
第二种方法是通过测量行星的视运动周期，结合开普勒第二定律，计算出行星与太阳的平均距离。
二、牛顿力学分析法牛顿力学是经典力学的基础理论，适用于描述宏观物体的运动规律。
在行星轨道分析中，可以利用牛顿力学的基本公式，根据行星与太阳之间的万有引力相互作用，来推导行星的运动规律。
首先，根据牛顿第二定律，行星受到的合外力等于质量乘以加速度，而行星的加速度又与太阳对它的引力相关。
其次，根据牛顿万有引力定律，太阳对行星的引力与两者质量和距离的平方成正比。
通过这些基本公式，可以建立行星的运动方程，进而计算行星轨道的形状和运动速度。
三、数值模拟分析法行星轨道的分析不仅可以通过理论计算和观测数据来完成，还可以利用数值模拟方法进行研究。
数值模拟方法通过将行星系统建模，并运用计算机算法模拟行星与太阳之间的相互作用，来预测行星在不同条件下的轨道演化。
数值模拟方法的优势在于可以模拟复杂的物理过程，并考虑到各种可能的因素，比如其他行星的引力干扰、恒星间的相互作用等。
通过调整模拟参数，可以研究不同情况下行星轨道的稳定性和演化趋势。
四、观测分析方法除了以上的理论和数值方法，观测分析也是研究行星轨道的重要手段。
观测方法可以通过望远镜观测行星位置和运动轨迹的变化，进而推断行星轨道的性质。
行星位置计算
日月、行星位置计算高健北京师范大学天文系摘要：本文给出从地面站观测时，日、月和行星的位置计算过程。
关键词：历表：JPL-DE405；行星：视位置计算=============================================================一、日月、行星位置的计算1.1 计算步骤概要1、输入观测时间（格林尼治UTC），并给定测站在WGS-84下的大地经纬度L、B和大地高H。
2、利用JPL-DE405月球/行星历表，得到观测瞬时日月和行星在太阳系质心坐标系（ICRS）下的位置和速度，并计算得到日月和行星在站心J2000.0平赤道坐标系下的位置和速度。
同时，也计算日月和行星到测站的距离。
3、利用日月和行星在站心J2000.0平赤道坐标系下的位置和速度转换得到日月和行星在站心真赤道坐标系下的位置和速度，并转换得到观测瞬时日月和行星在站心地平坐标系下的方位角A和地平高度h。
4、输出观测瞬时，从测站观测到的日月和行星的位置坐标（站心J2000.0平赤道坐标系下的赤经α和赤纬δ，站心地平坐标系下的方位角A和地平高度h）。
1.2 日月、行星轨道运动特性及位置来源太阳系是由太阳、8颗大行星和一些矮行星（如冥王星）以及它们的卫星、众多的小天体（小行星、彗星和流星体）以及行星际物质组成的天体系统。
地球是其中的一颗大行星，而月球是地球唯一的自然卫星。
太阳是太阳系中最重要的天体，其他天体都在它的引力作用下运动。
大行星在太阳的引力作用下，以椭圆轨道绕太阳公转，而太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。
虽然行星绕太阳运动的规律已经研究的比较清楚，但由于行星之间也存在着引力作用，与其它太阳系天体之间也有相互的摄动作用，因此行星绕太阳公转运动的轨道是在不断变化的，简单的二体运动轨道和行星平根数不能满足高精度研究的需要。
而要精确地描述行星绕太阳的运动，需要建立完善的运动方程。
虽然建立这样的多体运动方程并不太难，但要求解这一运动方程是需要花费许多人力和物力的。
行星轨道动力学的数值模拟
行星轨道动力学的数值模拟行星轨道动力学是天体力学的分支之一，研究的是行星在引力场中的运动规律。
通过运用数学方法对这些规律进行模拟，可以更好地理解和预测行星的运动。
本文将介绍行星轨道动力学数值模拟的基本原理和方法，并探讨其应用领域和局限性。
1. 数值模拟的基本原理行星轨道动力学数值模拟主要基于牛顿力学和引力定律。
根据牛顿第二定律F=ma，行星在引力场中受到合外力的作用会产生加速度，进而改变其速度和位置。
而根据万有引力定律F=G*m1*m2/r^2，行星之间的相互作用是基于其质量和距离的。
为了模拟行星轨道的运动，需要对行星的位置和速度进行数值计算。
通常将运动轨迹离散化，将连续的运动过程划分为多个时间步长。
通过迭代计算每一个时间步长内行星的位置和速度，可以逼近实际的运动轨迹。
数值模拟可以通过多种方法实现，其中常用的有欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
2. 数值模拟的方法（1）欧拉法欧拉法是行星轨道动力学数值模拟中最简单的方法之一。
该方法通过将时间步长分割为若干小段，根据当前位置和速度计算出下一个时间步长内的位置和速度。
然而，欧拉法有一定的局限性，因为它只考虑了当前状态的影响，未能充分考虑到加速度的变化。
（2）改进的欧拉法为了解决欧拉法的局限性，改进的欧拉法引入了中间状态的计算。
它在每一个时间步长内先计算一次当前位置和速度的中间状态，然后再计算下一个时间步长内的最终状态。
改进的欧拉法能更好地逼近真实轨道，但仍存在一定的误差。
（3）四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是行星轨道动力学数值模拟中最常用的方法之一，通过计算多个中间状态来逼近真实轨道。
该方法对每一个时间步长内的位置和速度进行四次计算，并通过加权平均获得最终结果。
相比于欧拉法和改进的欧拉法，四阶龙格-库塔法的精度更高，误差更小。
3. 应用领域和局限性行星轨道动力学的数值模拟在多个领域有重要的应用价值。
首先，它可以帮助研究人员更好地理解太阳系中行星的运动规律，揭示宇宙的奥秘。
行星轨道的计算
得代入、则令两端同时乘以得代入、则令左边：)5()7()6()7........(..........)(2)(22))(()()()()6........(..........)5........(..........)(2sin )4........(..........sin sin )(sin 2sin (sin )2(cos ])(cos 2)2([sin )(sin )1()3()2()3........(..........2222)()()2........(..........sin ||)1........(..........)(sin cos ])(cos 2[sin )(sin )(sin )(cos 2cos )(sin sin )(cos 2cos )(sin )(sin cos 2cos sin )sin (cos cos sin cos )cos (sin )sin (sin )sin (sin )sin (2222322222232223222222111222212242224222522224225222215222222152222522313121222122222222222222222222222222222222222222θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθαθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθd u d u d du u d r d d u d u d du u d u d u d du d du u d du u d du u d du u d dr d r d d du u d du d dr u r r u r r m GML d dr r d r d r m L GMr r m rL d dr r m L d r d r m L Lm r d dr r m L r d dr r Lm d dr r m L d r d r Lm d dr r m L dtd d dr r m L dt d d dr r Lm dt dr r Lm r Lm dt d dtd r Lm dtd dtd mr mrv mrv L L L v r m L dt d r dt d r d dr dt d dt d d r d dt d dt d r dt d d dr dtd r dt d d r d dt d d dr dt d d dr dt d dtd r dt d d dr dt d r dt dr dt d dt d r dt r d dt d r dt dr dt d dtd r dt r d dt dr dt d dt d r dt dr dt r d GMr dtr d GMmr dtr d m ----------------------------------------------=-=-='-+'-='-='=-====+-=--=----++-+-=-=-=-='='======⨯=-+++=-+++=-++'=-++=-+++='+=-=-=)10.......(....................sin cos )8(sin cos 101)9.......(....................0)8.......(....................)(2)(222*22222*222222222122222212222222223m GML B A U U u B A U iu d u d m GML U m GML u d u d u m GML d u d u u u m GML d u d u u u m GML d du u u d u d u d du u ---------------++=+=+=±=+=+==+-=-+-=-+-=---θθθθλθθθθθθθ通解为所以通解解为特征方程为其齐次方程为。
太阳系行星轨道计算方法
太阳系行星轨道计算方法太阳系是地球上最接近的行星系，由太阳、八大行星以及许多其他小行星、彗星、太阳风等组成。
在这些行星中，每一个都有自己特定的轨道，这些轨道是重要的因素，能够影响行星之间互动的力量和引力，同时也是研究行星的基石。
因此，了解太阳系行星轨道计算方法是十分重要的。
今天我们就来学习一下太阳系行星轨道计算方法。
太阳系行星轨道的基础知识在学习太阳系行星轨道计算方法之前，我们需要了解一些基础知识。
天体力学是研究天体在物理学意义下的运动和相互作用的学科。
研究者需要了解万有引力定律和他们运用该理论的四个基本方程，即：牛顿定律、万有引力定律、运动定律、角动量守恒定律。
现代行星理论称行星运动是围绕一主星运动的运动问题。
主星是太阳，行星是木星等。
根据开普勒第一定律，行星绕太阳公转的运动是椭圆轨道，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，行星绕太阳分别绕行完整的椭圆轨道。
而根据开普勒第二定律，行星以等面积速率绕行太阳，在相等的时间内，行星沿椭圆轨道从太阳距离最远处到最近处所扫过的面积相等。
根据开普勒第三定律的公式，T^2= a^3 / (m_1 + m_2 )，T代表公转周期，a代表半长轴的长度，m_1和m_2代表两个天体的质量。
行星轨道计算方法根据以上理论，我们可以推导出太阳系行星轨道计算的方法：1. 计算太阳引力太阳引力是影响行星运行的最主要因素，因此第一步是计算太阳引力对行星的作用。
太阳对行星的引力可以用下面的公式表示：fg = G * m1 * m2 / r2其中，G是万有引力常数，m1和m2是行星的质量和太阳的质量，r是它们之间的距离。
2. 计算行星加速度行星的加速度可以使用牛顿第二定律来解决。
F = m * a其中，F是行星所受的太阳引力，m是行星质量，a是它的加速度。
因此，我们可以通过计算行星受到的引力来计算行星的加速度。
3. 计算位移和速度一旦我们计算出了加速度，我们就可以使用运动定律来计算行星的位移和速度。
数学实验——行星的轨道和位置
行星的轨道和位置一、实验目的本实验主要涉及常微分方程。
通过实验复习：微分方程的建模和解法，数值积分的计算。
另外还将介绍：建立数学模型时复坐标系的选取，微分方程的Runge-Kutta 法。
二、实际问题水星距太阳最远处（远日点）距离为6.982×1010m ，此时地球绕太阳运动（公转）的速度为3.886×104m/s ，试求： （1）水星距太阳的最近距离； （2）水星绕太阳运转的周期；（3）画出水星绕太阳运行的轨道曲线；（4）在从远日点开始的第50天结束时水星的位置； （5）对以上（2）（4）两问各使用不少于两种方法求出结果，其中一种方法指定为Runge-Kutta 法。
三、数学模型设太阳中心所在位置为复平面之原点O ,在时刻t ,行星位于()θi re t Z = ……………………………（１）所表示的点P 。
这里()t r r =，()t θθ=均为t 的函数，分别表示()t Z 的模和辐角。
于是行星的速度为dtd ire e dt dr dt dZ i i θθθ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dt d ir dtdre i θθ 其加速度为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt d dt dr dt d r i dt d r dt r d e dt Z d i θθθθ22222222 (2)而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为2r mMG，方向由行星位置P 指向太阳的中心O ，故为θi e r 2m MG -，其中()kg M 3010989.1⨯=为太阳的质量，m 是行星的质量，()2211/10672.6kg m N G ⋅⨯=-为万有引力常数。
依Newton 第二定律，我们得到222-dt Z d m e r mMG i =θ (3)将式（5.2）代入式（5.3），然后比较实部与虚部，就有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+22222202r MG dt d r dtr d dt d dt dr dt d r θθθ………………（4,5） 这是两个未知函数的二阶微分方程组。
行星的轨道和位置
行星的轨道和位置高路（船舶海洋与建筑工程学院5120109107）一、背景介绍16世纪以前，人们都认为行星绕太阳旋转的轨迹是圆。
17世纪初，在丹麦天文学家T.Brache观察工作的基础上，Kepler提出了震惊当时科学界的行星运动三大定律：1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等；3.行星运动周期的平方与其轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。
对这三条定律的分析和研究导致Newton发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有引力定律，Kepler的行星运动三大定律得到了理论上的推导。
由于行星间引力的存在，基于万有引力定律的计算表明：行星的轨道应该是稍偏于以太阳为焦点的椭圆。
计算结果与天文学家测得的实际结果在木星、土星等行星的轨道上相当吻合，然而在天王星的轨道上却存在着不容忽视的误差。
当时人们只发现了太阳系的七大行星，天王星是其中最后发现的（1781年），于是科学家们猜想：还存在影响天王星运行轨道的其他行星。
1864年，Adams（英）与Leverrier（法）分别推算出这颗可能存在的行星的位置，同年，天文学家就在他们推算的方位上找到了海王星。
由于这颗行星的发现首先依赖于根据万有引力定律的计算，因此它被称为“铅笔尖上的行星”。
此后，仍是类似的猜想和推算导致了质量较小的冥王星被发现，这充分说明了Newton万有引力定律这样一个数学模型的正确性和重要性。
二、实际问题水星距太阳最远处（远日点）距离为6.982×1010m，此时地球绕太阳运动（公转）的速度为3.886×104m/s，试求：（1）地球距太阳的最近距离；（2）地球绕太阳运转的周期；（3）在从远日点开始的第50天结束时，地球的位置与速度。
三、数学模型设太阳中心所在位置为复平面之原点O,在时刻t,行星位于()θi reZ=……………………………（１）t所表示的点P 。
地球在轨道位置的公式计算
地球在轨道位置的公式计算
福建仙游 严清才 提 要
本文根据现代中国天文年历和天文资料数据， 经过 30 多年研究分析， 计算发现 地轴倾斜运动造成北纬测站在轨道上改变位置 1668 千米， 春分日和秋分日黄经偏差 －2″.3，力学时与世界时不同步力学时偏差 1 m ，其它位置黄经偏差－32″～＋56″之
P
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闭合进动。
一、天文学的发展和成就
人类文明史证明，科学技术进步取决于人类社会存在的物质条件，最早产生 和发展起来的科学部门，往往是与生产和生活实践关系最密切的那些知识领域。 天文学正是与人类文明同时发端的一门古老科学。不难想象，人类在文字记载之 前，由于农牧业生产和实际生活的需要，就开始注意某些显著的天象了，如掌握 季节变化，记录时间和确定方向，都离不开对日月辰运行的观测，自有了文字之 后，天文学便在人类文明的发祥地萌芽诞生了。 希腊有位天文学家喜帕恰斯（公元前 190 年ꆫ前 125 年）是古代方位天文学 的奠基人，他通过自己的辛勤观测和对前人观测资料的分析，算出了一年较准确 长度，测得白道与黄道交角约为 5 ° ，发现其交点每 19 年沿黄道移动一周，还发现
严 清 才
2013年10月福建仙游
目
前言
录
一、天文学的发展和成就 …………………………………………………………… 1 二、各种因素影响地球位置计算…………………………………………………… 4 1. 黄经岁差ρτ ……………………………………………………………………4 2.地轴章动 b………………………………………………………………………5 3.光行差 K…………………………………………………………………………6 4.轴直动的世界时和轴倾动的力学时……………………………………………7 5.地轴倾动Φ………………………………………………………………………8 6.地轴左右倾动Φ1………………………………………………………………12 7.地轴前后倾动Φ2………………………………………………………………14 8.地轴章动中地轴左右倾动Φ3 和地轴前后倾动Φ4……………………………15 9. 二至日和二分日的地轴倾动 Φ 与视赤纬关系………………………………18 10.平角度 S………………………………………………………………………19 11.节气日新黄经章动 A1…………………………………………………………20 12.当日新黄经章动 A2……………………………………………………………21 13.每日地轴倾动差 W……………………………………………………………22 14.真实位置与视位置的区分……………………………………………………24 三、二十四个节气的中心差和时刻以及日数计算…………………………………29 1. 节气的中心差 V………………………………………………………………29 2. 节气的时刻 T…………………………………………………………………33 四、地球轨道的各项计算……………………………………………………………40 1.椭圆轨道的向径、面积速度、线速度、角速度………………………………40 2.偏心圆轨道向径、线速度、面积速度、角速度………………………………43 3.轨道的偏心率和比值 …………………………………………………………46 五、地轴倾斜运动和地轴垂直运动区分……………………………………………49 1.地轴倾斜运动的后果 …………………………………………………………49 2.地轴垂直运动的成果 …………………………………………………………51 六、地轴直的行星远和近日点无进动计算和解释 …………………………………52 1.水星远和近日点无进动计算和解释…………………………………………52 2. 地球远和近日点无进动计算和解释 ………………………………………55
星-地空间几何
第七章 星－地空间几何卫星应用任务，如卫星遥感、卫星通信和卫星导航等的系统设计、运行分析，都与卫星和地球之间的空间几何有关。
这些几何关系表现在卫星的轨道位置、卫星的姿态，与地面观察点的位置和地球自转相位的相互关系。
7.1 星下点轨迹星下点轨迹是卫星星下点在地球表面通过的路径，是卫星轨道运动和地球自转运动的合成。
卫星星下点是卫星向径与地球表面交点的地心经、纬度，卫星轨道定义在赤道惯性坐标系，由卫星的位置坐标(,,)x y z 可得赤经α和赤纬δ：arctan ,y x α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ 12222arctan ()z x y z δ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠或由轨道要素得出赤经α和赤纬δ。
由图5.6的直角球面三角形，有NDS arctan(tan cos )i αθ=Ω+arcsin(sin sin )i δθ= （7.1）式中，f θω=+是卫星离升交点的角距，真近点角f 由求解开普勒方程得出。
卫星的地理经度λ等于卫星赤经与格林威治的恒星时角之差，即00[(e G t t )]λαω=−+−0G 为起始时刻格林威治恒星时角；e ω，57.292115810e ω−=×rad/s 为地球自旋转速。
卫星的地心纬度ϕ与地理纬度ϕ′的关系，如图7.1所示。
地球的椭球模型是， 192地球沿子午线的截面是个椭圆，其半长轴为赤道半径，其半短轴为地球的极半径。
椭圆的偏率e a e b e α和偏心率定义为 e 2222,e e e e e e ea b a b e a a α−−== 有基本常数：16378.145, (1)6356.76, , 0.08182298.257e e e e a km b af km e α==−=== ϕ和地理纬度ϕ′地心纬度的转换式为7.2 可见覆盖区由地面观察卫星的可见范围受卫星高度角（又可称为仰角）的限制，地面观测点与卫2tan (1)tan e ϕαϕ′=−图7.1 地心纬度与地理纬度193星之间的视线方向在当地仰角应大于5o ，地面站覆盖区是以地面观测点P 为中心的可观区，星下点在此圈内的卫星都为可观。
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实用文案行星的轨道和位置的数学解法作者：石磊a，林川 b指导教师：乐经良 C 教授a : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032 班 (5030309885) , 电话： 54740807b : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032 班 (5030309880) , 电话： 54741769c : 上海交通大学理学院数学系摘要：本文主要涉及常微分方程及对微分方程的建模与求解，数值积分的计算；利用多种微分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置。
研究基于压缩映象的求根方法和微分方程的 Runge-Kutte 法。
特别对 Runge-Kutte 法进行较深入的讨论。
并通过数值方法解微分方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道，编制软件。
关键词：微分方程数值方法Runge–Kutte法问题的重述17 世纪初，在丹麦天文学家 T.Brache 观察工作的基础上， Kepler 提出了震惊当时科学界的行星运行三大定律：1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等；3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。
对这三条定律的分析和研究导致 Newton 发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有引力定律， Kepler 的行星运行三大定律得到了理论上的推导。
数学模型设太阳中心所在位置为复平面之原点O，在时刻t ，行星位于Z (t ) re i（4.1）所表示的点P。
这里r r (t),(t ) 均是t的函数，分别表示Z (t ) 的模和辐角。
于是行星的速度为dZ dr e i ire i d e i dr ir ddt dt dt dt dt其加速度为d 2Z i d 2rd 2d 2r dr di rdt 2erdt 22dt 2dtdt dt(4.2 ）而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为mMG ，方向由行星位置 P 指向太阳的r 2中心 O ，故为mMG e i ，其中 M 1.989 1030 ( kg) 为太阳的质量 ,m 是行星的质量，r 2G 6.672 1011( N m 2/ kg 2) 为万有引力常数。
依 Newton 第二定律，得到mMG e im d 2 Z（ 4.3 ）r 2dt 2将（ 4.2 ）代入（ 4.3 ），然后比较实部和虚部，有r d 2 2 dr d 0dt 2dt dtd 2rr d2MGdt 2 dtr 2(4.4)(4.5)如设 t0 时，行星正处于远日点， 远日点位于正实轴上， 距原点 O 为 r 0 , 行星的线速度为 v ,那么就有初值条件：r t 0r 0t 0dr dt ddtt 00 (4.6 ） (4.7 ） (4.8 ）v 0 t 0r 0(4.9 ）方程 (4.4) ~ (4.9)就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。
将式（ 4.4 ）乘以 r ，即得d r 2 d 0dt dtr 2 d C 1(常数）（ 4.10 ）dt其中C 1r 0 v 0这样，有向线段OP 在时间t 内扫过的面积等于t t 12dC 1 ttrdt(4.11)2dt2而这正是 Kepler 第二定律。
将式 (4.10) 改写后代入式 (4.5)2d 2 rC 1MGdt 2 r 3r 2由此得到 行星运动的较为简单形式的数学模型：d 2 r2C 1MG dt 2 r3r2 d C 1 dtr 2 r t 0r 0dr0 dtt 0t 0实验任务1． 在求解方程 (4.24) 时, 试用矩形法、梯形法和 Simpson 法来计算数值积分，并对所得的结果加以比较？ 解答：由于行星的运动满足 Kepler 第二定律式 (4.11), 改写该式为r 2d C 1 tp 2tC 1 12decos如果要求 t T 1 时相应的和 r ，则意味着首先要解方程F C 1T 1p2其中F1d(4.24)1 ecos2利用矩形法计算次积分，并带入水星数据，得Clear r0,v0, h,c1, p, e,F, T1, k,1, 2, r,, v ;h0.0001;r0 0.698210 11; v0 3.88610 4 ; M 1.98910 30; G 6.672 10 11 ;c1 r0 v0;p c1 2M G; e 1p r0;T150 24 3600;k0;For F 0, F c1 T1p 2, k, 1k h;F F h 1 e Cos 12 ;r p 1 2; e Cos 1 ;c1 rvr;Printh, " ", k 1, "",1, "", r, "",, " ", v, "" ;计算得到数据hn1r角速度v0.05753.754.74679*10^1 1.20416*10^- 57158.860.01378 3.784.76145*10^1 1.19675*10^- 56982.760.0057573.7854.76396*10^1 1.19549*10^- 56952.760.00137903.794.76649*10^1 1.19422*10^- 56922.40 60.0005 7580 3.79 4.76649*10^1 1.19422*10^- 56922.40 60.0001 37905 3.7905 4.76675*10^1 1.19409*10^- 56919.40 60.00005 75811 3.79055 4.76677*10^1 1.19408*10^- 56919.10 60.00001 379060 3.7906 4.76680*10^1 1.19407*10^- 56918.80 6利用梯形法计算此积分并代入水星数据，得Clear r0, v0, h, c1, p, e, F, T1, k, 1, 2, r, , v ;h 0.05;r0 0.6982 1011;v0 3.886 104;M 1.989 1030;G 6.672 10 11;c1 r0 v0;p c1 2M G;e 1 p r0;T1 50 24 3600; k 0;For F 0, F c1 T1 p 2 , k, 1 k h; 2 k 1 h;F F h 2 1 e Cos 1 2 1 e Cos 2 2 ;r p 1 e Cos 2 ;c1 r 2;v r;Print h, " ", k 1, " ", 2, " ", r, " ", , " ", v, " " ; 计算得到数据：h n r角速度v10.05753.84.77162*10^1 1.19166*10^- 56861.360.01379 3.84.77162*10^1 1.19166*10^- 56861.360.0057583.7954.76905*10^1 1.19294*10^- 56892.060.0013790 3.7914.76700*10^1 1.19397*10^- 56916.460.000575813.7914.76700*10^1 1.19397*10^- 56916.460.000137906 3.79074.76685*10^1 1.19404*10^- 56918.260.00005758123.790654.76682*10^11.19405*10^-56918.560.000013790613.790624.76681*10^1 1.19406*10^- 56918.76用 Simpson 法计算，并代入水星数据Clear r0, v0, G, M, h, c1,p, e, F, T1, k,1,2,3, r,, v ;h 0.0001; 10 11 ; r00.6982v0 3.88610 4; M 1.98910 30; G 6.672 10 11;c1 r0 v0;p 2M G;c1 e 1 p r0;T1 50 24 3600;k0;For F 0, F c1 T1 p 2, k, 1 k h; 2 k 0.5 h;3 k 1 h;F F h 61 e Cos1 241 eCos221e Cos3 2;rp1 e Cos 2;c1 r 2;vr;Print h, " ", k 1, " ", 2, " ", r, " ", , " ", v, " " ;计算得到数据：h nr 角速度v10.05 75 3.775 4.75896*10^1 1.19801*10^- 57012.60 60.01 379 3.795 4.76905*10^1 1.19294*10^- 56892.00 60.005 758 3.7925 4.76777*10^1 1.19358*10^- 56907.20 60.001 3790 3.7905 4.76675*10^1 1.19409*10^- 56919.40 60.0005 7581 3.79075 4.76688*10^1 1.19403*10^- 56917.90 60.0001 37906 3.79065 4.76682*10^1 1.19405*10^- 56918.50 60.00005 75812 3.79063 4.76681*10^1 1.19406*10^- 56918.70 60.00001 379061 3.79062 4.76681*10^1 1.19406*10^- 56918.70 6从上面计算得到的数据进行比较可以明显看出，矩形法在所取步长下未得道精确数据，梯形法在步长为 0.00001 时得到精确数据，而 Simpson 法在步长为 0.00005 就得到了精确数据。
显然，梯形法比矩形法精确， Simpson 法又比梯形法精确，而我们随后将要用的 Runge-Kutte 法则比 Simpson 法更精确。
分别利用矩形法，梯形法，Simpson 法计算此积分，并带入冥王星数据得到数据：矩形法r 角速度vh n10.05 12 0.6 7.04384*10^12 5.47844*10^-1 3858.930.01 64 0.64 6.99164*10^12 5.56056*10^-1 3887.740.005 128 0.64 6.99164*10^12 5.56056*10^-1 3887.740.001 643 0.643 6.98764*10^12 5.56693*10^-1 3889.970.0005 1287 0.6435 6.98697*10^12 5.56799*10^-1 3890.340.0001 6435 0.6435 6.98697*10^12 5.56799*10^-1 3890.340.00005 12871 0.64355 6.98690*10^12 5.56810*10^-1 3890.380.00001 64359 0.64359 6.986685*10^1 5.56818*10^-1 3890.412 0梯形法r 角速度vh n10.05 12 0.6 7.04384*10^1 5.47844*10^-1 3858.932 00.01 64 0.64 6.99164*10^1 5.56056*10^-1 3887.742 00.005 128 0.64 6.99164*10^1 5.56056*10^-1 3887.742 00.001 643 0.643 6.98764*10^1 5.56693*10^-1 3889.972 00.0005 1287 0.6435 6.98697*10^1 5.56799*10^-1 3890.342 00.0001 6435 0.6435 6.98697*10^1 5.56799*10^-1 3890.342 00.00005 12871 0.64355 6.98690*10^1 5.56810*10^-1 3890.382 00.00001 64359 0.64359 6.98685*10^1 5.56818*10^-1 3890.412 0Simpson 法r 角速度vh n10.05 12 0.65 6.97826*10^1 5.58190*10^-1 3895.192 00.01 64 0.65 6.97826*10^1 5.58190*10^-1 3895.192 00.005 128 0.645 6.98497*10^1 5.57119*10^-1 3891.462 00.001 643 0.644 6.98630*10^1 5.56905*10^-1 3890.712 00.0005 1287 0.644 6.98630*10^1 5.56905*10^-1 3890.712 020.00005128710.6436 6.98684*10^1 5.56820*10^-1 3890.4120.00001643590.64366.98684*10^1 5.56820*10^-1 3890.412 02．水星到太阳的最远距离为 0.6982*10 11m ，此时水星绕太阳运行的线速度为3.886*10 4m/s ，试求：1） 水星到太阳的最近距离； 2） 水星绕太阳运行的周期；3） 求从远日点开始的第 50 天（地球天）结束时水星的位置。