行星地轨道及位置地数学解法.doc

实用文案

行星的轨道和位置的数学解法

作者：石磊a，林川 b

指导教师：乐经良 C 教授

a : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032 班 (5030309885) , 电话： 54740807

b : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032 班 (5030309880) , 电话： 54741769

c : 上海交通大学理学院数学系

摘要：本文主要涉及常微分方程及对微分方程的建模与求解，数值积分的计算；利用多种微

分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置。研究基于压缩映象的求根方法和微

分方程的 Runge-Kutte 法。特别对 Runge-Kutte 法进行较深入的讨论。并通过数值方法解微分

方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道，编制软件。

关键词：微分方程数值方法Runge–Kutte法

问题的重述

17 世纪初，在丹麦天文学家 T.Brache 观察工作的基础上， Kepler 提出了震惊当时科学界的

行星运行三大定律：

1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；

2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等；

3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。

对这三条定律的分析和研究导致 Newton 发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有

引力定律， Kepler 的行星运行三大定律得到了理论上的推导。

数学模型

设太阳中心所在位置为复平面之原点O，在时刻t ，行星位于

Z (t ) re i（4.1）所表示的点P。这里r r (t),(t ) 均是t的函数，分别表示Z (t ) 的模和辐角。

于是行星的速度为

dZ dr e i ire i d e i dr ir d

dt dt dt dt dt

其加速度为

d 2

Z i d 2

r

d 2

d 2

r dr d

i r

dt 2

e

r

dt 2

2

dt 2

dt

dt dt

(4.2 ）

而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为

mMG ，方向由行星位置 P 指向太阳的

r 2

中心 O ，故为

mMG e i ，其中 M 1.989 1030 ( kg) 为太阳的质量 ,m 是行星的质量，

r 2

G 6.672 10

11

( N m 2

/ kg 2

) 为万有引力常数。

依 Newton 第二定律，得到

mMG e i

m d 2 Z

（ 4.3 ）

r 2

dt 2

将（ 4.2 ）代入（ 4.3 ），然后比较实部和虚部，有

r d 2 2 dr d 0

dt 2

dt dt

d 2r

r d

2

MG

dt 2 dt

r 2

(4.4)(4.5)

如设 t

0 时，行星正处于远日点， 远日点位于正实轴上， 距原点 O 为 r 0 , 行星的线速度为 v ,

那么就有初值条件：

r t 0

r 0

t 0

dr dt d

dt

t 0

0 (4.6 ） (4.7 ） (4.8 ）

v 0 t 0

r 0

(4.9 ）

方程 (4.4) ~ (4.9)

就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。

将式（ 4.4 ）乘以 r ，即得

d r 2 d 0

dt dt

r 2 d C 1

(常数）

（ 4.10 ）

dt

其中

C 1

r 0 v 0

这样，有向线段

OP 在时间t 内扫过的面积等于

t t 1

2

d

C 1 t

t

r

dt

(4.11)

2

dt

2

而这正是 Kepler 第二定律。

将式 (4.10) 改写后代入式 (4.5)

2

d 2 r

C 1

MG

dt 2 r 3

r 2

由此得到 行星运动的较为简单形式的数学模型：

d 2 r

2

C 1

MG dt 2 r

3

r

2 d C 1 dt

r 2 r t 0

r 0

dr

0 dt

t 0

t 0

实验任务

1． 在求解方程 (4.24) 时, 试用矩形法、梯形法和 Simpson 法来计算数值积分，

并对所得的结果加以比较？ 解答：由于行星的运动满足 Kepler 第二定律式 (4.11), 改写该式为

r 2

d C 1 t

p 2

t

C 1 1

2

d

ecos

如果要求 t T 1 时相应的

和 r ，则意味着首先要解方程

F C 1T 1

p

2

其中

F

1

d

(4.24)

1 ecos

2