上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷

上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷

2020.05

一、填空题（本大题共12题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 若球的表面积为2cm 16，则球的体积为 3cm ；

2. 已知圆的参数方程为⎩

⎨⎧=+=θθ

sin cos 26y x ，则此圆的半径是 ；

3. 设i 2021b z +=（i 为虚数单位），若22029=⋅z z ，则实数=b ；

4. 已知P 为双曲线1124:2

2=+Γy x 上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为的两焦点，若

21PF F ∠是直角，则点P 的坐标为 ；

5. 已知O 是坐标原点，点)1,1(-A ，若点),(y x M 为平面区域⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则

OA OM ⋅的取值范围为 ；

6. 从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是 ；（结果用数值表示）

7. 在ABC △中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则A 的取值范围是 ； 8. 已知等差数列}{n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是 ； 9. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线M A 1与DN 所成角的大小是 ；

10. 集合}04

22

2|{≤--=x

x x A ，}2|||{≤-=a x x B ，若∅=B A ，则实数a 的取值范围是 ；

11. 三个同学对问题“已知+∈R n m ,，且1=+n m ，求n

m 1

1+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：

n

m m n n n m m n m n m ++=+++=+211，可用基本不等式求解；

乙：

)

1(1

111m m mn mn n m n m -=

=+=+，可用二次函数配方法求解； 丙：

n

m

m n n m n m n m ++=++=+2))(11(11，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当=x 时，2

221001x x a y -+=（100<a ）有最小值；

12. 在平面直角坐标系内有两点)1,(-m A ，)1,2(-B ，2

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）

A. 1.5小时

B. 1.0小时

C. 0.9小时

D. 0.6小时

14. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角

x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，

垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数)(x f ，则

)(x f y =在],0[π上的图像大致为（ ）

A. B. C. D.

15. 设函数)1(log )(x

a a x f -=，其中0>a ，且1≠a ，若*

∈N n ，则=+∞→a

a a n n f n )

(lim （ ）

A. 1

B. a

C.

a 1 D. a

1

或a 16. 已知等差数列}{n a 与等比数列}{n b 的首项均为1，且公比1≠q ，若存在数对),(t k ，

*∈N t k ,，使得t k b a =，称这样的数对),(t k 为}{n a 与}{n b 相关数对，则这样的数对),(t k 最

多有（ ）对

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长2=AB ，侧棱41=BB ，过点B 作

C B 1的垂线交侧棱1CC 于点E ，交C B 1于点F 。

（1）求EC 的长；

（2）求B A 1与平面BED 所成的线面角。

18. 已知向量)23sin ,23(cos x x a =，)2cos ,2(sin x

x b -=（πk x ≠，Z k ∈），令=)(x f

b

a b a ⋅+)(λ（R ∈λ）。

（1）化简b

a b a x f ⋅+=

)()(λ，并求当1=λ时方程2)(-=x f 的解集；

（2）已知集合2)()(|)({=-+=x h x h x h P ，D 是函数)(x h 与)(x h -定义域的交集且D 不是空集，判断元素)(x f 与集合P 的关系，说明理由。

19. 甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0>b ），固定部分为1000元。

（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

20. 直线0332:1=-+y x L 上的动点P 到点)0,9(1T 的距离是它到点)0,1(T 的距离的3倍。

（1）求点P 的坐标；

（2）设双曲线122

22=-b

y a x 的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且01=⋅TT PF ，求双曲线

的方程；

（3）点)0,1(T 关于直线0=+y x 的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为)0(≠k k

的直

线L 与（2）中的双曲线122

22=-b

y a x 交于不同的两点M 、N ，且满足||||QN QM =，若存在，

求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由。