解析几何一题多变--转化

y 2 (2 2k 2 ) y 1 0, y1 y2 2 2k 2 , y1 y2 1.
x2 例 6、抛物线 y 与过点 M (0, 1) 的直线 l 相交于 A 、 B 两点， O 为 2
坐标原点，若直线 OA 与 OB 的斜率之和为 1，求直线 l 的方程.
得 x 2kx 2 0 ，
2
y O M B x
所以 x1 x2 2k , x1 x2 2 ，以下有两种方法， 方法 1： 1
A
y1 y2 kx1 1 kx2 1 ， x1 x2 x1 x2
y1 kx1 1,
或
y2 kx2 1, x1 x2 2k 2k 2k k， x1 x2 2 x12 y1 , 2 所以， l : y x 1 . x22 y2 , 2
x2 例 6、抛物线 y 与过点 M (0, 1) 的直线 l 相交于 A 、 B 两点， O 为 2
坐标原点，若直线 OA 与 OB 的斜率之和为 1，求直线 l 的方程.
x2 y , 分析：依题意，设 l : y kx 1 ，由 2 y kx 1,
x2 y , 分析：依题意，设 l : y kx 1 ，由 2 y kx 1,
得 x 2kx 2 0 ，
2
y O M B x
A
所以 x1 x2 2k , x1 x2 2 ，以下有两种方法， 方法 2：
1 1 2 x12 x2 y y 1 1 2 2 2 x1 x2 x1 x2 1 1 ( x1 x2 ) (2k ) k 2 2
（2）设点 C (0, ) ，若以 CA ，CB 为邻边的平行四边形是菱形，求直线 l 的方程；
3 4
对角线互相垂直--- kEH g k= - 1
联立—韦达定理求中点---斜率之积=-1
x2 y 2 1 ，直线 l 经过点 M (1,0) ，且与椭圆交于 A、B 两点． 例. 如图，已知椭圆 4
C B F
A
思路 2：点 B 既在圆上又在椭圆上
uu r uur 设 K---联立---韦达定理计算 CAg CB ---推断角 B

多年的难点，没有进步 适当的揭示方程的思想 (未知量、方程、消元) 用方程的思想解析“解析几何” 如果时间来得及，可以考虑分层次推进 有的学校在高二解决解析几何问题
坐标原点，若直线 OA 与 OB 的斜率之和为 1，求直线 l 的方程. y O M B x
x2 y , 分析：依题意，设 l : y kx 1 ，由 2 y kx 1,
得 x wenku.baidu.com 2kx 2 0 ，
2
2 所以 x1 , x2 k k 2 ，
（3）设直线 l 与 y 轴交于点 N ，且 | AM | | BN | ，求直线 l 的方程；
思路 1：中点重合
思路 2： AB = MN
设 k---联立求弦长 AB；两点间距离求 MN---解方程
N
x2 y 2 1 ，直线 l 经过点 M (1,0) ，且与椭圆交于 A、B 两点． 例. 如图，已知椭圆 4
（4）若 SOMA : SOMB 1 : 2 ，求直线 l 的方程；
思路 1： MB = 2 MA
思路 2： yB = - 2 yA
设 K---联立消 x ---韦达定理+转化共三个方程
x2 y 2 1 ，直线 l 经过点 M (1,0) ，且与椭圆交于 A、B 两点． 例. 如图，已知椭圆 4
k 1 k k 2
2
k
1 k k 2
2
1，
解得
k 1.
所以， l : y x 1 .
解析几何重在转化方向的选择
x2 y 2 1 ，直线 l 经过点 M (1,0) ，且与椭圆交于 A、B 两点． 例. 如图，已知椭圆 4
（1）若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线 l 的方程；
x1 x2 + y1 y2 = 0
联立---韦达定理---解方程---求斜率 k
x2 y 2 1 ，直线 l 经过点 M (1,0) ，且与椭圆交于 A、B 两点． 例. 如图，已知椭圆 4
A
A(k k 2 2, k 2 k k 2 2 1) ， B(k k 2 2, k 2 k k 2 2 1) ，
k 2 k k 2 2 1 k 2 k k 2 2 1 所以 1， 2 2 k k 2 k k 2
所以， l : y x 1 .
y1 kx1 1, y2 kx2 1,
，
x , 2 2 x2 y2 , 2 y1
2 1
或
y 2 (2 2k 2 ) y 1 0, y1 y2 2 2k 2 , y1 y2 1.
x2 例 6、抛物线 y 与过点 M (0, 1) 的直线 l 相交于 A 、 B 两点， O 为 2
（5）设点 P(1,2) ，若 PM 平分 APB ，求直线 l 方程．
思路： kPB + kPA = 0
x2 y2 + = 1，直线 l 经过点 F( - 1,0 ) ，且与椭圆交于 A、B 两点． 例. 如图，已知椭圆 4 3
是否存在直线 l ，使点 B 在以 AC 为直径的圆上？
思路 1：与点 A 无关--- kBC + kBF = 0