第7讲第2篇第4节群同态

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近世代数第7讲

第7讲§4 群的同态与群的同构（2课时）(Homomorphism and Isomorphism of the groups)本讲的教学目的和要求:对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构.通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同,着无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的基本方法.由于在第一章中,对于一般代数体系的比较问题以有了说明,这里将具体的在群里讨论同态,同构,要求同学们掌握:1、对同态(构)这种代数现象有更透彻,深沉的了解.2、对群而言,同态在传递代数性质方面会有什么新的不同和补充.3、熟悉一批常量的同态(构)的群例.本讲的重点和难点:与第一章中代数体系同态(构)不同的是,群是一个更具体的对象,故具有特殊的性质.因此,熟悉群同态中代数性质 “传递”到同态的有关问题是本讲的重点,掌握其定理的证明方法是其难点. 本讲的教法和教具采用启发式教学法,并继续使投影仪.注意: 根据本讲知识结构的重要,增设了 “群同构”的内容.一,群同构定义1.设{}}{o G o G ,,和都是群.如果存在双G G →:ϕ使G b a ∈∀,在G 上,都有)()()(b a b a ϕϕϕ =（即ϕ保运算）则称ϕ是同构映射.同时称G 与G 同构,记为G ≅G ,也称G 是G 的同构象.明示:对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.结论 1. 设: G →G 是群同构映射,那么ϕ的逆映射ϕ1-:G →G 也是群的同构映射.【证明】: 由第一章已知, ϕ1-:G→G 必是双射,现须证ϕ1-能保运算即可．事实上，注意到ϕ1-ϕ＝G 1，且 ∀ a ，b ∈G ，则必存在a ，b ∈G 使ϕ()a ＝a ，ϕ()b ＝b ，且ϕ1-()a ＝a ，ϕ1-()b ＝b ．于是ϕ1-()b a ＝ϕ1-()()(b a ϕϕ )=ϕ1-))((b a ϕ==-)(1b a ϕϕ G 1==b a b a )()()(11b a --ϕϕ ∴ ϕ1-()b a =)()(11b a --ϕϕ ⇒ϕ1-保运算.即ϕ1-是同构映射.结论2 设ϕ1:G 12G → 和 ϕ2:2G 3G →都是群同构映射,那么 ϕ1ϕ2: 也是群同构映射。

同态与不变子群

第15 讲§11 同态与不变子群（Homomorphism and normal subgroup)本讲的教学目的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任一个不G。

由此，我们变子群，都可极其自然地得到一个新的群——商群N都不会怀疑与商群具有密切的联系。

而本节的基本内容就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理。

该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位。

在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。

群G的同态象G可以设想是G的一个“粗略”的模型；忽略了G中的某些元素间的差异而又维持了中的运算关系。

都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（ⅰ）G到G有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（ⅱ）G到G有满同态，则意味着G就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到G有非单非同态，则在同构意义下意味着G的一个商群与的一个子群一样。

上述存在的关系就是本节的重点。

为此需要弄清：1、每一个同态核都是不变子群（这与同态是否为单、满无关）2、利用自然同态得到：每个同态象都是商群，如何理解。

3、真正了解“同态三角形”的可交换问题。

4、子群（不变子群）的同态象和同态完全原象之间的联系。

本讲的重点和难点：本节是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。

所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。

一、群同态及同态核定义1：设G G →:ϕ是一个群同态映射，（即G b a b a ab ∈∀=,)()()( ϕϕϕ），那么G 的单位元e 的全部原象（逆象）作成的集合})(|{e x G x =∈ϕ叫做ϕ的核，记为)(ϕKer 。

即 })(|{)(e x G x Ker =∈=ϕϕ.结论1：设G G →:ϕ是群同态映射，那么G Ker )(ϕ. 证明：设)(ϕKer N =.N e e e ∈⇒=)(ϕ .∴∅≠N . N y x G N ∈∀≤,:)(.故e e e y x xy ===)()()(ϕϕϕ.∴N xy ∈.N x ∈∀.e e x x ===---111))(()(ϕϕ.∴N x ∈-1.由上知G N ≤.G g N x G N ∈∈∀,)( .e g g g e g g x g gxg ====----)()()()()()()()(1111ϕϕϕϕϕϕϕϕ∴N gxg ∈-1由上知G N 结论2：设)(ϕKer N =是G G →:ϕ的群同态映射的核，那么ϕ是单同态 }{e N ⇔.证明：N x ∈∀⇒ )(. ∴e x =)(ϕ.而显然N e ∈且e e =)(ϕ.于是 )()(e x ϕϕ=.但ϕ是单射e x =⇒.由x 的任意性知}{e N =.)(⇐ 设G y x ∈,且有e y x y x =⇒=-1)()()()(ϕϕϕϕ,即e xy =-)(1ϕ ∴ e xy e N xy =⇒=∈--11}{.即y x =. ∴ϕ是单射.二、群的同态基本定理（FHT ）定理1 设G 为群，而N 是G 的任一个不变子群，那么必有群同态满射N G G →:ϕ，其中：xN x =)(ϕ.证明：显然xN x G x =∈∀)(.ϕ（这里与教材一致，用左陪集的形式出现）是一个映射，（因为以x 为代表元的做陪集的唯一确定的）又因为N G aN ∈∀ ，那么ϕϕ⇒=aN a )(是满射最后, )()()()(,,y x xNyN N xy xy G y x ϕϕϕ===∈∀∴)()()(y x xy ϕϕϕ= 即N G G →:ϕ一个群同态满射，即N G G ～，或者说，N G 是G 的同态象，及G 与N G 同态。

群同态基本定理.

1 Ng1 Ng 2 g1 g 2 N 1 f ( g1 g 2 ) f ( g1 ) f ( g 2 ) 1 N N f ( g1 ) N f ( g 2 )
( Ng1 Ng 2 ) ( Ng1 g 2 ) N ( f ( g1 g 2 )) N ( f ( g1 ) f ( g 2 )) N f ( g1 ) N f ( g 2 ) ( Ng1 ) ( Ng 2 ) (3) 单射 ( Ng1 ) ( Ng 2 ) N f ( g1 ) N f ( g 2 )
则在 f 之下 (1) G的一个子群G1的像H1是H的子群 (2) G的一个不变子群G2的像H2是H的不变子群 (3) H的一个子群H3的逆像G3是G的子群
(4) H的一个不变子群H4的逆像G4是G的不变子群
证明：(1) h1, h2 H1, g1, g 2 G1 ，使h1=f(g1) h2=f(g2)
h H , h bl 则a l G且f (a l ) bl
满态
例4 如果G和H都是有限群，其阶互素，则只存在一个G→H的同态映射证明：设 f 是G→H的同态映射，令k=kerf 由同态基本定理知:
|G| G / k Im f , G / k | Im f | |k| Im f G
Im f 是H的子群，由Lagrange 定理： Im f ( G , H ) 1 Im f 1 g G, f ( g ) eH
H
例5 设G与G 群同态， N 是G 的一个不变子群， N是N 的逆像，则 : G / N G / N (群同态基本定理的推广形式) 证明：令 f 为 G G 的群同态满射，由定理5知 : N是不变子群定义： G / N G / N , ( Ng ) N f ( g ), 则是一一映射 (1) 映射 (2) 同态

D2-4群的同态ppt课件

1:GG也是群的同 . 构映射证明：由第一章已 1:G知 G ，必是双射
现须证1保持运算即可。
事实上，注意 1到 IG, 且a,bG,
则必 a ,b G 存使 (a 在 )a ， (b )b ,
且 1(a)a ， 1(b)b,于是 , 1(a b) 1((a) (b))1((ab))
Z { , 3 , 2 , 1 ,,0 ,1 ,2 ,3 , } Z { 1 n |n 0 Z } { ,1 3 ,1 0 2 ,1 0 1 ,1 0 0 ,1 0 1 ,1 0 2 ,1 0 3 , 0 }
作映：射 Z ： Z ，其 (n 中 )1： n 0
显然，是双射。
事实上，且 a,bG1,
21 (a b )2 (1 (a )1 (b ) )21(a)2(1(b)
21保运,算即21是同构映. 射
结论3：
在群之间的 ”同作构为“关 “ , ” 系必时}是2模的剩余类 U2 加 {1，群 1}是，方x程 21的全部单位 W根 {偶，， }，又奇设
其中这三个数集运合算上表的分代别为
[0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0]
• 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
偶奇偶偶奇
奇奇偶
作映： Z 射 2 U 2 ，：其 [0 ]1 中 ,[1 ] ： 1 ，： U 2 W ，其 1偶中 1 ，：奇
群的一种具体实现而已。 e a G {e,a},运算表为： e e a
aa e
因而，只要我们掌握了这个二阶群的一般模式{G，°}，前面的三个二阶群中，任何一个不外都是把这个模式用某种具体的符号和名称实现出来的一种具体形式。这似乎有点举一反三，触类旁通的意味吧。

有限群的另一定义--群同态--变换群

有限群的另一定义群同态变换群定理1 一个有乘法的有限集G 是群⇔1、关于乘法是半群；2、消去律成立. 证明：“⇐”设G=},,{1n a a ，G b a ∈∀,,构造},,(1'n aa aa G =，由半群的定义可知G G ⊆'，由消去律,当j i aa aa j i ≠≠时，所以'G G =，即'G b ∈,所以k aa b =,即方程b ax =在G 里有解,同理方程b ya =在G 里有解，所以G 是一个群。

因此也可用半群和消去律来定义有限群。

由有限集A 的代数运算可用一个运算表给出：nmn n m m mn d d d d d d d d d a a a a a a 2122221112112121 从表上可看出代数运算的许多性质,如1、是代数运算⇔表中所有A d ij ∈；2、适合交换律⇔表中关于主对角线对称的元相等；3、适合左（右)消去律⇔A 中每个元在表的各行(列)都出现且只出现一次；4、i a 是A 的左（右)单位元⇔i a 所在的行(列）与顶行(左列)一致；5、i j a a 是的左(右)逆元⇔j a 所在的行与i a 所在的列相交处是单位元。

因此利用运算表可以帮助我们判断一个有限集合是否构成群,但结合律的检验比较麻烦，不能从表中看出。

在第一章中，我们讨论了集合的同态映射，这里我们要在两个群中讨论同态映射。

定义：若G ,G 1是两个群，若存在一个G 到G 1的同态满射，则称G 与G 1同态。

定理2 G 是一个群，群G 与G 1对它们的乘法运算同态，则G 1也是群. 证明：设ϕ是G 到G 1的同态满射，则G x x x G y y y ∈∃∈∀3211321,,,,,使332211)(,)(,)(y x y x y x ===ϕϕϕ,所以1212121)()()(G x x x x y y ∈==ϕϕϕ；又有321321321321321)())(()()())()()(()(y y y x x x x x x x x x y y y ===== ϕϕϕϕϕϕ；由G是一个群，x ex xe G x G e ==∈∀∈∃都有使,设1')(G e e ∈=ϕ，则1G y ∈∀有y x xe e x ye ====)()()()('ϕϕϕϕ，y x ex x e y e ====)()()()('ϕϕϕϕ，所以G 1有单位元；G x G y ∈∃∈∀,1使1'11)(,)(G y x G x y x ∈=∈∃=--ϕϕ使，使''e yy =，同理''e y y =,所以G 1中每一个元都有逆元。

离散数学第七讲群、环、域

17
三、子群
定义7: 设〈G , *〉是一个群, S是G的非空子集, 并满足以下条件: (1) 对任意a、b∈S有a * b∈S ; (2) 对任意a∈S有a-1 ∈S; (3) e∈S, e是〈G ,*〉的么元, 则称〈S ,*〉是〈G ,*〉的子群。如〈I ,+〉是〈R ,+〉的子群，〈N ,+〉不是。
的群同态如果g一个子集k的每一元素都被映入h再没有其它元素映入e的同态h的核kerh形成群g如果abkerh那么habkerh即kerh对运算1kerh四群同态24定义10的子群我们称集合ah为元素ag所确定的子群称为左陪集ah的表示元素
6.7
一、群的定义和性质
群
定义1：群〈G , * 〉是一代数系统, 其中二元运算* 满足: (1) 运算*是可结合的； (2) 存在么元e (3) 对每一a∈G, 存在一个元素a-1 , 使 a-1 * a = a * a-1 = e 如〈Q, ×, 1〉不是群（0无逆元）〈Q+, ×, 1〉是群
16
二、置换群和循环群
定理11：设〈G, *〉是由g∈G生成的有限循环群, 如果 |G|=n,则gn =e, G = {g, g2, g3, …, gn = e} 且n是使gn =e 证: (2) 再证{g, g2, g3, …, gn}中的元素全不相同。若有gi= gj, 不妨设i＜j, 于是gj-i=e。但j-i＜n, 这与n是使gn =e 由于〈G , *〉是群, 所以G= {g, g2, g3, …, gn}, 又由(1)得gn =e。证毕。
如〈I, +〉是阿贝尔群。
2
一、群的定义和性质
例1：①〈Q+, ×, 1〉

19代数学基础(3)同态基本定理PPT课件

16
循环群的结构
定理: 设G是由a生成的循环群, 则 1.若ord(a)=∞, 则G≌(Z, +); 2.若ord(a)=n, 则G≌(Zn, +).
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循环群的性质
• 循环群的子群为循环群; • 设G=<a>是一个m阶循环群, k是一个正整数,
则ord(ak) = m/(k,m).
提问与解答环节
1
群同态基本定理
2
群的同态与同构
• 如果存在群G到G’的映射f, 满足 f(ab)=f(a)f(b), 那么称f是G到G’的同态映射;
• 如果f是一个满射, 那么称G和G’同态, 记为G ～ G’;
• 如果f是一个双射, 那么称G和G’同构, 记为G ≌G’.
3
能否对一般的子群定义商群?
• H≤G • 定义: (aH)(bH) = (ab)H ?
19
• 群G/N称为G关于其正规子群N的商群.
9
群同态基本定理
• 定理: 设f: G1→G2是群的满同态映射, 记 Ker(f) = {a∈G1|f(a)=e, e为G2的单位元}, 那么:
1.Ker(f)⊳G1; 2.G1/Ker(f) ≌ G2.
10
例子
• f: Z →Zn, f(a) = a modn • ker(f)=nZ • Z/nZ≌ Zn
11
循环群
12
循环群
• 定义: 群G是称为一个循环群, 如果存在a∈G, 对任意的b ∈G, 都存在整数i , 使得b=ai. a称为G的生成元. G称为由a生成的群.
• 记为G=<a>
13
例子(1)
• Zn • Zn=<1>

《群同态基本定理》课件

《群同态基本定理》PPT 课件
让我们一起探索群同态的基本定理，深入理解它的性质、定义和作用。
群同态的基本概念
什么是群？
群是一种代数结构，具有封闭性、结合律、存在单位元和逆元。
什么是同态？
同态是一种保持代数结构相似性的映射。
群同态是什么？
群同态是一种满足特定条件的群之间的同态映射。
群同态的性质
群同态基本定理
1
第一同构定理
如果f是G到H的一个满同态，那么同态核
第二同构定理
2
ker(f)为G的一个正规子群，而f(G)和 G/ker(f)同构。
如果N是G的一个正规子群，那么对于G的
任意子群H，NH/N和H/(N∩H)同构。
3
第三同构定理
如果N是G的一个正规子群，那么G/N的子群全体与G的包含N的子群全体之间存在一个一一对应。
电路设计
在电路设计中，群同态可用于设计编码器和解码器。
群同态的定义
1 满性
2 保持运算
对于任何一个群H，同态f: G→H必须是一对一的。
对于任何群元素x和y，同态f(x*y) = f(x) * f(y)。
3 保持单位元
4 保持逆元
f(e) = e'，其中e是G的单位元，e'是H的单位元。
f(x^-1) = f(x)^-1。
群同态基本定理的证明
第一同构定理证明
证明有三部分：
1. 证明f(G)是H的子群； 2. 证明核心ker(f)是G的正
规子群； 3. 证明f(G)和G/ker(f)同构。
第二同构定理证明
通过证明两个同态，使得它们的核分别为N和H∩N，利用第一同构定理即可得证。
第三同构定理证明

离散数学第7章群、环和域

所以，(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，故<R,*>是一个半群。 7.1.2 独异点定义7.1.3 设G,*是半群，如果运算*的单位元eG，
则称半群G,*为含幺半群或独异点。
第7章群、环和域
若G,*为独异点，且*是可交换的，则称G,*为可换的独异点。
例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P (A)上是封闭的，并运算∪的单位元P (A)，所以半群<P (A),∪>是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交运算∩的单位元AP (A)，所以半群<P (A),∩>也是独异点。显
第7章群、环和域
⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b)–1=b–1*a–1 证明：⑴ 因a*a–1=a–1*a =e，故(a–1)–1=a ⑵ 因(a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1
=a*e*a–1=a*a–1=e 又
(b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e
第7章群、环和域
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第7章群、环和域
第7章群、环和域
7.1半群和独异点
7.1.1广群和半群代数系统<S,*>又称为广群。定义7.1.1 设<S,*>是代数系统，*是S上的二元运算，如果*满足结合律，则称代数系统<S,*>为半群。
例如，代数系统<I,＋>、R,·、<P(a),∪>、<P(a),∩>、
则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。整数加法群I,＋中的加法运算是可交换的，所以，整
数加法群是阿贝尔群，群R-0,·中的乘法运算也是可交换的，所以，R-0,·也是阿贝尔群。

第7讲群的作用

• 是GLn(C ) 在Mn(C )上的群作用.
2014-9-7 5
• 例3 A∈GLn(C), X∈Mn(C), 映射 () ◦ x =◦(◦x) • GLn(C) ×Mn(C) Mn(C) , • (A,X) A ◦X=XA
e◦x=x
• 是GLn(C) 在Mn(C)上的群作用吗 ? • 第一条是满足的, 而验证第二条的结果是 XAB=XBA, 这个等式不一定成立. 而映射 • GLn(C)×Mn(C) Mn(C) , • (A,X) A ◦X=XA-1, • 是群作用.
• 为了更广泛地讨论，将“同构”换为“同态”。为此，引入“作用”概念。第7讲群的作用
2014-9-7 1
• 定义1.4.1 • 设G是群,M是非空集合,如果映射 f: G SM 是群同态,则称 f 为G在M上的一个作用. • 当 f 是单同态时, 则称作用是忠实的。 • 对于a∈G, x∈M,记f(a)(x)为 a◦x［或ax］，于是有映射 ◦ ：Ｇ×ＭＭ，(a, x) a ◦ x. (◆ ) • 由于f(e)是SM 的单位元,即M上的恒等变换, ? 则 • e ◦ x = x ( x ∈M) （１） • 由同态 f 保持运算, 则 , ∈G, x ∈M 有 • () ◦ x = ◦(◦x)．（２） • 反之, 给定一个Ｇ×Ｍ到Ｍ的映射“◦”，且满足(1)和 (2),那么, 就可以定义一个相应的作用 f: G SM
2014-9-7 6
• 例4 设 • M={X∈Mn(C): XT=X}, • 则映射
e◦x=x
() ◦ x =◦(◦x)
• GLn(C) ×M M , (A,X) A ◦X=AXAT • 是GLn(C) 在M上的群作用. • 例5 设 M=Mn(C), 则映射

第七章群论

第七章群论
§1群的基本概念和一般理论
一、群的定义和例子
群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：
1.封闭性
G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中元素。
单位元素是E。
上面讨论的五个粒子，对群元素的乘法而言是对易的，即AB=BA。例(1)(2)(3)很显然，例(4)(5)也可以从乘积表中看出。但是从群的定义，我们知道对易性不是群的必要条件，即不是所有的群都具有对易性的，我们称这些具有对易性的群为对易群(Abel群)。注
下面举一个非对易群的粒子。
(5) NH3分子(C3v)
由N原子，向三角形作垂直线，是一个三重轴，用C3表示，存在转 = 120º这样一个对称操作；另外，转240º=120º× 2也能使图形复原，故还有对称操作，加上不懂；E，一共6个对称操作：E，C3 ，，
注：Abel(1801—1829)：奠定群论数学基础的年轻数学家之一。217
G={E, , , , , }是一个点群，称为，其乘积表如下：
称为的逆元素。逆元素可以是该元素本身。
下面我们举几个群的例子
（2）G={所有大于0的实数}
集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。
满足封闭性和缔合性是显然的。1是单位元素，任一实数m的逆元素为。
(3) G={0,±1, ±2, ±3……±n…}
集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。此例中“乘”的意思是加。
（3）两个镜像反映相乘，结果是旋转。如
（4）一个镜像反映和一个旋转相乘，结果是镜像反映。如 =

同构及同态离散数学ppt课件

引理1
设N是群G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。证明：因为N是正规子群，故 Nb=bN，今设A=aN，B=bN，则 AB=aNbN=abNN=abN，所以AB也是N的陪集。
群的第二同态定理
定理6.5.3 设N是群G的正规子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一个群。命 σ：a→aN，a ∈G, 则σ是G到上的一个同态映射，且σ的核就是N。称为G对于N的商群，记为G∕N。若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。
例. （R*，·）与（R，+）不可能同构。证明：用反证法。假设（R*，·）与（R，+）同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有 σ：1 0， -1 a， a ≠ 0。从而， σ(1)=σ((-1)·(-1)) =σ(-1)+σ(-1)=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a ≠ 0矛盾。故，原假设不对，（R*，·）与（R，+）不可能同构。
6.5.2 同构映射
定义. 设G是一个群，K是一个乘法系统， σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ(G)上的1-1映射，则称σ是同构映射。称G与σ(G)同构，记成G σ(G)。
例. 群（R+，·）和（R，+）是同构的。因为若令 σ：xlogx，x∈R+，则σ是R+到R上的1-1映射，且对任意a,b∈R+， σ(a·b)=log(a·b)=log a + log b=σ(a)+σ(b)。故σ是（R+，·）到（R，+）上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数，若取σ(x)=log2 x，或若取σ(x)=log10 x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。

应用密码学-2016-(第7讲) new

４、关于乘法与加法满足分配律：则有运算规则：
a(bc) (ab)c
a(b c) ab ac (b c) ba bc
(a b)c ac bc c(a b) ca cb
环的定义
第七讲环与域
第 • 例子：七讲环与域
第七讲环与域
a0 a1x
an xn (a R, n Z )
形式的R 的元叫做R上的一个多项式，a 叫做多项式的系数。其中 0 i
x R0
系数是R上的所有多项式构成一个集合记为
R[ x]
定义加法与乘法运算如下：
加法
(a0 a1 x
an x n )+ ( b0 b1 x
, ) | ai R}
其中只有有限个a 不等于零.则定义加法和乘法可证明其为交换环。 i 2、利用可以得到一个包含R的环P：
P
3、证明P包含R上的未定元。
§ 5、多项式环
第七讲环与域
定义一个有形式
i1i2

in
ai1i2
, xn
i1 i2 x in 1 x2
in xn
的元叫做R上的则R上的所有多项式环记作
bn x n )
(a0 b0 ) (a1 b1 ) x
(an bn ) x n
§ 5、多项式环
第七讲环与域
乘法
(a0 a1 x c0 c1 x
其中
am x m )( b0 b1 x cn m x n m
bn x n )
0a a0 a a a a a 0 (a) a ac bc ba

课件：6.4 同态及同构_20141010

练习：
• 设G是模8整数加群，求由4生成的循环子群H, 并给出H的左、右陪集。
G={0,1,2,3,4,5,6,7} , 模8加运算
H={0, 4} H有4个右陪集： {0, 4}，{1, 5} , {2, 6} , {3, 7} H有4个左陪集： {0, 4}，{1, 5} , {2, 6} , {3, 7}
培集的性质
从（5）还可推出：（6）aH=bH的充分必要条件是a-1b∈H。证明：必要性.
由b∈bH,及aH=bH知， b∈aH,故a-1b∈H。
充分性. 由a-1b∈H，知， b∈aH, 故由性质（5），知 aH=bH。
陪集的性质
（7）任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。证明：如果aH和bH相交，则它们包含公共元素c，即c∈aH，且c∈bH。因此，由（5）得aH=cH，且bH=cH。故， aH=bH。
例写出三次对称群的所有子群。 S3={（1）,(1 2),（1 3）,（2 3）,（1 2 3）,(1 3 2)} 由Lagrange定理，子群的元数只能为1,2,3,6 元数为1的子群({（1）}, ·) 元数为2的子群(元数为质数的群一定为循环群) 以(12)为生成元：(｛（1）,（1 2）｝，·) 以(13)为生成元：( ｛（1）,（1 3）｝，·) 以(23)为生成元：( ｛（1）,（2 3）｝，·) 元数为3的子群一定为循环群以(123)为生成元： {（1）,（1 2 3）,（1 3 2）}，·) 元数为6的子群: S3
{I, (1 3)}, {(12),(123) }, {(23),(123)
• 解：由(1 32)生成的循环子群: H={I, (12 3), (132)}
H有2个右陪集： {I, (12 3), (132)}，{(1 2), (1 3), (2 3)} H有2个左陪集： {I, (12 3), (132)}，{(1 2), (1 3), (2 3)}

群同态基本定理与同构定理

In our classes, all the mobile phones should be switched off !
2016/1/28
上课啦！
2016/1/28
The class is begin!
第二章群论
§9群同态基本定理与同构定理
(2 课时)
（Homomorphism and normal subgroup)
2016/1/28
:G N G N
aN aN
( a G )．
下证是商群 G N 到 G N 的一个同构映射． 1) 是映射.设 aN bN (a, b G) ，则 a b N ．由于是
1
同态满射，故
(a) (b) (a b) ( N ) N ,即 a b N ．
2016/1/28
aN" 习惯上称作说明 1：（1）对上述的同态满射 " a
是群的自然同态。之所以这样称呼，除了的对应法则极其自然外，还告诫我们 G 与 G N 之间的同态满射还有其余的。（2）由定义 1 知，自然同态 G ~ G N 必有同态核，易知，自然同态的同态核恰是 N 。因为
2016/1/28
本讲的教学目的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任一个不变子群，都可极其自然地得到一个新的群——商群 G N 。由此，我们都不会怀疑不变子群与商群具有密切的联系。而本节的基本内容就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理。该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位。在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。群 G 的同态象 G 可以设想是 G 的一个“粗略”的模型；忽略了 G 中的某些元素间的差异而又维持了其中的运算关系。 2016/1/28