常用坐标系之间的关系与转换

7.5 常用坐标系之间的关系与转换

一、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系

大地坐标系用大地纬度企丈地经度L 和丈地髙H 来表示点的位置°这种坐标系是经 典大地

测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。同时，这种坐标系 还是研究地球形状和大小的 种有用坐标系°所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要 的作用.

空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮®坐标系，一般用X 、化Z 表 示点

BSSTSTT 逐碇SS 範菇飞両H 绕禎扭转冻其轨道平面随时通过 地球质心。对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。现今，利用卫星大地测量的手段*可以迅速地测定点

的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。同时经过数学变换，还可求岀点 的大地坐标I 用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法 发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展’具有重要的意义。

、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换

如图7- 23所示’尸点的位置用空间 大地

直角坐标〔X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐

标为(E, L)a 将该图与图？一5

上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。

加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相

当于图7-23中的OJVP 平面.其中 PPz=Z.相

当于图7-5中的j7；OP 3相当 丫于图7-5中的

仏两平面的经度乙可视为

相同，等于"叽 于是可以直接写岀

X=jrcQsi f Y=jrsinL, Z=y

将式(7-21).式(7-20)分别代入上式, 井考虑

式(7-26)得

X=Ncos^cosZr ”

Y =NcQsBsinL > (7—78)

Z=N (1—护〉sin^ ；

BB 7-23

1.由大地坐标求空间大地直角坐标

当已知椭球面上任一点P 的大地坐标(B, L)时，可以按式(7-78)直接求该点的 空间大地

直角坐标(X, Y, Z)。

如果P 点不恰好位于椭球面，例如位于大地高为H 的H 点处，此时由大地坐标求空间

大地直角坐标的公式则为

X=

y=

z=

L=arctan §

利用上式可直接由空间大地直角坐标X 、Y 求出大地经度厶。

为了求岀B 和H,还应对公式作些变化，以适应迭代计算的需要。 由公式(7-79)第一、

三式得 (N 十H) ZcosL

・ a” = (1_e2)

式中，cos 厶仍由式(7-79)得出

cos.—(N +H )COS B~ yy2_|_y2

代入前式

又由式(7-79)得 H = --------- 7：— N

cosB

式(7-81).式(7-82)就是求3、H 的迭代公式。迭代开始时设

N Q = Q

随后，每次迭代按下列公式进行

N { — —— __ —

V 1—，sin 叨—

cosB —

(N+H) cosBcos L

] (N 十H) cosBsinL

、 〔N (1—e 2) +刃〕sinBJ

2.由空间大地直角坐标求大地坐标 当已知X 、y 、Z 反求B 、L 、H 时，可以采用直接解法或迭代解法。

由公式(7-79)第…、二两式得

(7-79) (7-80)

B=arctan

VX^Y 2 (7-81)

(7-82)

B 0=arctan

Ho=+ W+Z2_ 应 2 VX 2^Y 2

厂〕

宜至b-B—和Hi-H—小于要求的限值为止。一般，在要求H精确至0.001m、占精确至0.0000/时，需要迭代4次。

三、不同空间大地直角坐标系的换算

利用“GPS”定位所获取的点位属于空间大地直弟坐标系。可是由于各国所采用的参考椭球及其定位不同，参考椭球中心也不和地球质心重合，所以世界上存在着各不相同的空间大地直角坐标系。为了将“GPS”定位成果转换成各自需用的成果，就出现了不同空间大地直角坐标系的换算。这在“GPS”定位的数据处理中，应用十分广泛.

在高等数学的解析几何里，曾经论证了二维直角坐标系中，当坐标轴旋转角度。时(图7-24),用旧系坐标表示新系坐标的公式为

.. > (7-33)

丁弄=—日sma-F^ia costfj

在三维空间直角坐标系中，新、旧两坐标系的变

换需要在3个坐标平面上，分别通过3次转轴才能完

成。

如图7-25所示.2个空间大地直角坐标系

和0 —心Yirr Z e ,它们的原点一致，但相应的坐标轴

互不平行，存在微小差异。按以下

步骤进行转轴可以将o—心丫旧乙日转换成o-x新

第一*保持OZ时轴不动，绕其将OX" ox日轴錠转微小角度殳，旋转后的坐标轴设为OX\ OY\ OZ\则有

X* —X^ cose.+Yjg sine f

Y1= —X|日sin®十F旧cose s ZT日<7-84)

图7—

25

第二，保持

OF 轴不动，绕其将OZJOX ，轴旋转微小角度旋转后的坐标轴设为OX"、

OY\ OZ\ 则有

X"= X ，cos®—Z'sin^Y

r=r > (7-85)

Z"=X'sin£Y+Z'cos&Y,

第三，保持OX"轴不动，绕其将0严、OZ"轴旋转微小角度匕，旋转后的坐标轴设为 OX*、

OY 祈、OZ 輪,则有

X^=X n *=y"coss+Z"sin£x [

(7-86)

= 一y"sinEx+Z"cos&x

这样，将O 一X 旧Y 旧Z 旧分别绕3个坐标轴旋转了 3个微小角度£z 、弘5,使其和 O —天新丫新Z 新重合。£x 、£丫、£z 称为欧勒角。

将式(7—84)代入式(7—85),再代入式(7 — 86),由于馭、£丫、£乙是秒级微小量，略 去其

正弦、余弦函数展开式中2次及以上各项，得

当新、旧2个坐标系的原点不相一致时，还需根据坐标轴的平移原理，将旧系原点移

至新系原点，其变化公式为

式中，X 。、y 。、Z 。称为3个平移参数，是旧坐标系原点在新坐标系中的3个坐标分量。

若再考虑两个坐标系的尺度比例也不一致，即存在有尺度变化的参数，设为虹则有

Xgf=Xo+ (1+上)Xia+®YiB—£Y Z(.日

丫新=丫。+ (1+“)丫旧一叨^+谄旧》

(7—88)

Zjfi=Zo+ (1+&) Zig+Cy^S -€X Y|0 .

上式即为布尔莎公式。公式中存在7个参数：3个平移参数X 。、丫。和Z 。，3个旋

转参 数昭为、切1个尺度变化参数虹习惯上称这种换算法为七参数法。七参数法除布尔莎 公式外，还有莫洛琴斯基公式和范士公式等。

由公式(7-88)可知，由一个坐标系换算成另一个坐标系，必须知道其转换参数。转 换

参数可以通过联测一些公共点获得，因为通过公共点联测，可以得到这些公共点在新、IB 2个坐标系中的坐标值，于是就可以利用公式(7-88)求出转换参数。当公共点数较多时, 观测方程式个数就大丁所求参数个数，这时还可根据测董平差原理列立观测值的误差方程 式，组成并解算法方程，求得转换参数。

(7-87)

Xgj =X|日+£疔旧r£yZ 日

2新=2旧十£丫乂旧一5丫旧

X 新=Xo+X|日+£疔口 — £丫乙日