第五讲 抽样定理
抽样定理
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
sam 2m
X ( j) 1
混叠 (aliasing)
m 0 m
X (e jW )
X [ j( sam )] ...
1 T
X ( j)
X [ j( sam )] ...
sam
samm
0
m sam
sam
为什么进行信号抽样
输入 x(t)
x[k] 离散 y[k]
A/D
系统
D/A
用数字方式处理模拟信号
输出 y(t)
离散信号与系统的主要优点：
(1) 信号稳定性好: 数据用二进制表示，受外界影响小。 (2) 信号可靠性高: 存储无损耗，传输抗干扰。 (3) 信号处理简便: 信号压缩，信号编码，信号加密等 (4) 系统精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。 (5) 系统灵活性强: 改变系统的系数使系统完成不同功能。
连续时间信号的时域抽样
什么是信号抽样 为什么进行抽样 抽样定理的理论推导 抽样定理内容 抽样定理的应用
5 非周期信号的频域分析 p 1
什么是信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 2
什么是信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 3
[x,Fs,Bits]=wavread(‘myhreat’); play(x) Fs=22,050 ; Bits=16
5 非周期信号的频域分析 p 5
如何进行信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 6
如何进行信号抽样
x[k ] x(t ) t kT
如何选取抽样间隔T？
5 非周期信号的频域分析 p 7
信号抽样的理论推导
x(t) tkT x[k ]
3.11 抽样定理
f s (t )
1
s
n
f (t nTs )
说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。 频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时 间只占据 tm , tm ) 的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值 F (n s ) ( 唯一地表示，抽样间隔为 s ，它必须满足条件 T
1 Fs ( ) Ts
n
F ( n )
s
C C
s m c m ，则有 F ( ) Fs ( ) H ( ) 理想低通滤波器的冲激响应为 h(t ) Ts C Sa (C t ) s 2 若选 c ，则 Ts s c 2
f s t
第
5 页
Fs
0
Ts
t
s
m
0
m
s
C h (t ) Ts C Sa (C t ) Ts
c
H
Ts
0
t
0
F
f t
c
0
t
0
m
X
二、连续时间信号的重建
因为
第
6 页
Ts 所以，选理想低通滤波器的频率特性为 H ( ) 0
若选定 而冲激抽样信号为
f s (t ) f (t ) p(t )
n
f (t ) (t nTs )
n
f (nTs ) (t nTs )
X
第
二、连续时间信号的重建
则连续低通滤波器的输出信号为
抽样定理
抽样定理定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续的全部信息。
抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。
这是抽样中必不可少的步骤。
07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时间间隔为T<=1/2f m的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。
什么是A/D转换和D/A转换？什么是A/D转换和D/A转换？一。
什么是a/d.d/a转换：随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。
通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。
由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。
压力。
位移。
图像等),要使计算机或数字仪表能识别。
处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。
处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。
这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。
将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。
转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。
抽样定理
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，它是模拟信号数字化的理论基础，包括时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理，也称为香农采样定律和奈奎斯特采样定律，是信息论特别是通信和信号处理中的重要基础结论。
E.T.惠特克（统计理论发表于1915年），克劳德·香农和哈里·奈奎斯特对此做出了重要贡献。
此外，V。
A. Kotelnikov也对该定理做出了重要贡献。
采样是将信号（即空间中的连续函数）转换为数字序列（即空间中的离散函数）。
采样后的离散信号通过保持器后，获得具有零阶保持器特性的阶跃信号。
如果信号受频带限制，并且采样频率高于信号最高频率的两倍，则可以从采样样本中完全重建原始连续信号。
限带信号转换的速度受到其最高频率分量的限制，也就是说，其在离散时间采样和表达信号细节的能力非常有限。
抽样定理意味着，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的一半），那么这些离散采样点就可以完全代表原始信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量将导致混叠。
大多数应用都需要避免混叠，混叠的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程中应遵循的定律也称为抽样定理和抽样定理。
抽样定理解释了采样频率和信号频谱之间的关系，这是连续信号离散化的基本基础。
抽样定理最早是由美国电信工程师H. Nyquist于1928年提出的，因此被称为Nyquist抽样定理。
1933年，苏联工程师科特尔尼科夫首次严格地通过公式表达了这一原理，因此在苏联文学中被称为科特尔尼科夫抽样定理。
1948年，信息理论的创始人C.E. Shannon 清楚地解释了这一原理，并将其正式引用为一个定理，因此在许多文献中也称为Shannon抽样定理。
抽样定理有很多表达式，但是最基本的表达式是时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理广泛应用于数字遥测系统，时分遥测系统，信息处理，数字通信和采样控制理论中。
信号抽样与抽样定理
（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，
抽样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱 F ( ) E Sa 0
2
m0 Sa 2 m
( ns m0 )
四、频域抽样与频域抽样定理
f 0 t
E
F0 ( )
E
2
0
a
E
2
t
2
0
2
f1 t
b
F1
E 0
T 0
2
T
c
E
2
t
2
0
2
d
f s t
E 0 Ts
T
Fs
二、时域抽样定理
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 , m m
的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值
样间隔 Ts 不大于 2f
1
m
f (nTs ) 唯一地表示，只要抽
，其中 f m为信号的最高频率，
或者说，抽样频率 f s 满足条件
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 f s 2 f m 称为奈奎斯特频率， 1 1 把最大允许的抽样间隔 Ts 称为奈奎斯特间隔 。 fs 2 fm
如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失
真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精 辟的回答。
抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十 分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、 数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么 可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。
抽样定理
抽样定理
我们所熟知的抽样，是在数学数据处理中的从总体中抽样。
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分。
抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0~之内（fh为模拟信号的最高频率）。
为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生折叠噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400Hz，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为=6800Hz，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率=8000Hz，这样就留出了8000-6800=1200Hz 作为滤波器的防卫带。
应当指出，抽样频率不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低），所以只要能满足，并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为～，带宽。
如果，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，若，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108kHz）就属于带通型信号。
对于低通型信号来讲，应满足的条件，而对于带通型信号，如果仍然按照这个抽样，虽然能满足样值频谱不产生重叠的要求，但是无
疑太高了（因为带通信号的高），将降低信道频宽的利用率，这是不可取的。
5 抽样课件内容
第五章抽样【本章内容要点】·抽样的意义与原则·概率抽样的基本原理·抽样的一般程序与设计原则·抽样的方法·样本规模与抽样误差【本章重点】·概率抽样方法·样本规模的确定【本章教学内容】第一节抽样的意义与作用一、抽样的基本概念（一）总体和样本1、总体总体是具有某种共同性质或特征的许多元素所组成的集合。
·属性总体·变量总体2、元素构成总体的每一个成员，它是收集信息的基本单位。
3、样本从总体中按一定方式抽取出来的一部元素所组成的集合。
·样本容量·样本可能数（二）抽样、抽样单位和抽样框1、抽样从调查总体中，按一定方式选择或抽取一部分元素组成样本的过程。
2、抽样单位一次直接的抽样所使用的基本单位。
3、抽样框（抽样结构）对可以选择作为样本的总体元素列出名册或排序编号，以确定总体的抽样范围和结构。
（三）参数值和统计值1、参数值（总体参数）参数值是关于总体中某一变量的综合描述。
【变量总体的参数值】【算术平均数】【简单算术平均数】【例】现有5 位老人的月退休金分别为：783 元、896 元、984 元、1 295元、1 137元，求这五位老人的平均月退休金。
【加权算术平均数】()X μ→或总体集中趋势2σσ→和总体离散趋势=总体标志总量算术平均数总体单位总量121...1n n i i xx x x x x n n n=+++===∑∑783896984129511375095101955x x n ++++====∑解：（元）11221121......ni in ni nnii x fxf x f x f x f x f f f ff==+++===+++∑∑∑∑【例】某地区100户居民按月水电费支出分组的资料如下表所示，求该地区100户居民的平均月水电费支出。
某地区100户居民月水电费支出情况统计表解： 某地区100户居民平均月水电费支出计算表【例】某班男、女生（各12人）上学期统计学考试成绩分别为： 女生：72、76、77、78、80、81、81、84、84、85、87、87； 男生：50、63、63、70、74、82、88、95、95、97、97、98。
抽样定理
抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义介绍抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。
为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。
应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。
）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为f0～fh，带宽B=fh - f0.如果f0<B，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型信号。
抽样信号与抽样定理
(2)通过冲激抽样的方法在数字信号处理中有着广泛的应用。 （点抽样；均匀抽样）
２）冲激抽样
若抽样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激抽样” 或“理想抽样”。设Ts为抽样间隔，则抽样脉冲为
p ( t ) ( t ) ( t nT T s)
由于T(t)的傅立叶系数为： T s 1 2 1 jn t w s P ( t ) e dt T n T s T T s s 2 所以冲激抽样信号的频谱为：
m
n
fs(t)
Fs(w)
t Ts
h(t)
H(w) 卷积 1
wm ws
相乘 wc
Ts f(t)
F(w)
Ts
wm
由抽样信号恢复原连续信号
取主频带 F() ：F () F () H () s 时域卷积定理：
n
fs( t) f( nT ( t nT s) s)
1 F w ) F ( w nw s( s) T s
上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数， 所以F(w)是以ws为周期等幅地重复，如下图所示：
F(w) Fs(w) 1/Ts
-wm
wm
w
-ws
ws
w
抽样前信号频谱
抽样后信号频谱
下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和 小结：
* 抽样率的选择 s m m
s 2 m
结语：抽样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。
若 0时 矩 形 脉 冲 冲 激 信 号
表示为一系列的冲激函 数：
(1)如果抽样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时 候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分 析简化。
信息光学07-抽样定理
comb(x/X)
gs(x)x0.源自0x =x
0 #
§1.4 抽样定理
1、函数的抽样：二维情形
§1.4 抽样定理 抽样函数gs(x,y)的频谱
x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y
Gs ( f x , f y )
经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的 频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加.
§1.4 抽样定理 二、函数的抽样
抽样后函数gs(x,y)的频谱
n m Gs(fx, fy) G f x , f y X Y n m 如果G (fx, fy)频带无限制, 则这
函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内.只要 信号存在于有限的时空范围,就会有所有的频率分量. 严格的限带函数在物理上是不存在的.
但是,实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带. 高频分量携带的能量甚少.由于忽略高频分量, 所引入的误差 可以忽略, 故可近似看作限带函数.
因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义.
n m
g s x, y hx, y g x, y
f y fx rect hx,y F rect 2B 2 B x y 4 Bx By s inc2 Bx x sinc2 By y g nX,m Yδx nX,y m Y
第一章复习 二、基本技能
简单和复合孔径的数学描述：矩孔、圆孔、单缝、多缝、线光栅、 位相板等； 脉冲函数的运算，卷积和相关的运算，图解表示； 常用基本函数的傅里叶变换和逆变换，利用傅里叶变换的性质和 定理求较复杂函数的傅里叶变换，图解表示。
第5讲抽样定理-PPT精选文档
原函数的复原
f f y x 选 取 矩 形 函 数 ： H f ,f r e c t r e c t 作 为 滤 波 函 数 ， x y 2 B 2 B x y 即 可 复 原 原 函 数 的 频 谱 。
f f y x 即 ： Gf ,f Gf ,f r e c t r e c t Hf x,fy s x y s x y 2 B 2 B x y G fx,fy
X Y X f n , Y f m G ff ,y x y x
n m
m n f , f G f ,f y x y x X Y n m n m f ,f G f ,f x y x y X Y n m
惠 特 克 － 香 农 定 理 （ W h i t t a k e r S h a n n o n ）
对 于 有 限 带 宽 （ 限 带 ） 函 数 ， 可 以 用 离 散 的 抽 样 值 恢 复 一 个 连 续 的 函 数 。
抽样的数学模型
最 简 单 的 操 作 方 法 ： 利 用 二 维 梳 状 函 数 与 被 抽 样 函 数 相 乘 ， 得 到 抽 样 函 数 。 即 y x g xy , c o m b c o m b gxy , s X Y
第一章
二维线性系统分析
1.4 抽样定理
陈世华
Department of Physics Southeast University 2019-8-29
抽样的实际意义
实 际 情 况 下 ， 物 理 量 是 连 续 地 分 布 在 时 间 和 空 间 上 的 ， 而 我 们
抽样定理说明介绍
演示
n
抽样序列的各个冲激响应零点恰好落在抽样时刻 上。就抽样点迭加的数值而言，各个冲激响应互相不 产生“串扰” 。
退出
当s 2m时，只要选择m c s m 即可正确恢
复f t波形。
当s
2
时
m
，不
满
足
抽
样定理，f
s
t
的
频
谱
出
现
混叠
，
在时域图形中，因Ts过大使冲激响应Sa函数的各波形在时
间轴上相隔较远，无论如何选择c都不可能使迭加后的波
1
2
F
n
P
1 TS
F
n
n s
理想低通滤波器：
频域：H T0s
c c
时域：ht
Ts
c
Sa c
t
f t
f s (t) ht
f (nTs ) (t nTs ) Ts
n
c Βιβλιοθήκη Sa ctTs
c
f (nTs )Sa c
n
t nTs
退出
f t
上式表明：
T 1 0 11 0
2T t1 t0
若脉码速率f 1 ，相应的 T
单个Sa波形表达式为
Sa π t ，它的频谱函数 T
为矩形,频带B 1 。 2T
所占带宽减半。
在T的整数倍各时刻其抽样值为零，因而 接收端以此处为抽样判决点，保证不会出 现误判。
退出
的范围，则信号f(t)可用等间隔的抽样值来唯一地表示.其
1
抽样间隔必须不大于 2 f,m 即
或者说最低抽样频率为
2
f
。
m
Ts
抽样定理
E Fs ( ) Ts 上式表明:
n s Sa( ) F ( n s ) 2 抽样性 周期性 n
信号在时域被抽样后，它的频谱 Fs () 是连续信 号的频谱 F () 以取样角频率 s 为间隔周期地重复 而得到的。在重复过程中，幅度被取样脉冲p(t)的 傅立叶系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列 的形状。 (p152 图3－50)
F ()
1
Fs ()
Es
－m
m
w
抽样后频谱
抽样前频谱
m
s
由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时， 幅度以Sa函数的规律变化。从 Fs ()的频谱图可见 抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个 经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率 及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而 呈Sa函数分布。但因矩形脉冲占空系数很小，所以 其频谱所占的频带几乎是无限宽。
§3.10~3.11 抽样与抽样定理
本次课讨论的内容为 :
一、信号的时域抽样 二、抽样定理 三、连续信号的恢复(内插公式) 四、时域抽样和频域抽样的类比
一. 取样的目的及所遇到的问题
模 拟 信 号 输 入
模 拟
抽 样
量 化
数字信号 处理器
信 号 输 出
A/ D 转换器
D/ A 转换器
数字信号处理系统简单框图
E n s dt Sa Ts 2
1 p( ) 2 Pn ( n s ) Fs ( ) F ( ) * p ( ) 2 n
E Fs ( ) Ts
理想取样
n s Sa F ( n s ) 2 n
上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数， 所以 F () 是以 s 为周期等幅地重复，如下图所示：
4_9抽样定理
注
[注] 注 a. 定理指的是理想状态: 定理指的是理想状态: 理想低通滤波器. 1. 理想低通滤波器. 实际采样时会有误差. 2. 实际采样时会有误差. 3. f (t ) = Ts
ωc
π
n = ∞
有无穷项. ∑ f (nT ) Sa[ω (t nT ) ] 有无穷项.
三,频域取样定理
频域取样定理: 一个在时域区间( tm,tm )以外为0的有限时间信号f ( t )的 频谱函数F ( jω ),可唯一地由其在均匀频率间隔f s ( f s < 上的样点值F ( jnω s ) 确定. nπ 1 F ( jω ) = ∑ F j Sa (ω tm nπ ),式中tm = tm 2 fs n =∞
则h ( t ) =
ωc Sa (ω c t ) Ts g 2ω (ω ) π
t ga = gab(t ) b
π ωc ω s t ω t Sa = Sa s ωc π 2 2
∞ n =∞ s
fs (t ) = f (t ) s (t ) = f (t )
∑ δ ( t nT ) = ∑ f ( nT ) δ ( t nT )
f (t )
fs (t )
A/ D
量化编码
p(t )
f (n)
数字 滤波器
g(n)
D/ A
g(t )
一,信号的取样 二,时域取样定理
一,信号的取样
乘法器
f (t )
f S (t )
s ( t ):取样脉冲序列
fs(t) 取样信号 T 取样周期 s 1 fs = 取样率 T s ωs 取样角频率
抽样定理
采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker （1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。
如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。
采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用[1]。
抽样定理
p( t ) = δ T ( t ) =
n = −∞
∑ δ(t − nT )
s
∞
δ
− 2 Ts − T S 0
T
(t )
Ts
2 Ts
t
周期信号的频谱
X (e ) = 2π 2π ω1 = T
jω
n = −∞
∑ C δ (ω − nω )
n 1
∞
DSP课本上 课本上
X (e ) = 2π
jΩ
n = −∞
m =∞ m = −∞
∞
x(nTs ) = Let
∑ f (mT )δ (nT
s m =∞ m = −∞
s
− mTs )
s
f s (t ) =
∑ f (t )δ (t − mT )
= f (t ) ∑ δ (t − mTs )
m = −∞
m =∞
then x(nT ) = f s (t ) t = nT = f s (t )
s
7.2 抽象信号与抽样定理
• 连续信号的数字化
f (t )
连续信号
抽样信号 数字信号 量化编码
抽样 f (t )
抽样脉冲 p(t )
fs(t )
×
fs(t )
p(t )
电子开关 P(t )
f (t )
f (t )
fs(t ) fs(t )
0 Ts
0
t
t
p (t )
τ
0
当τ → 0 时
Ts
t
fs( t )的数学模型fs( t ) = f ( t ) ⋅ p( t )
由频域卷积定理
Ts 2Ts
t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
——因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分
抽样定理证明图解（1）
抽样定理证明图解（2）
空间带宽积
若限带函数 g(x, y) 在频域中 f x Bx , f y By 以外恒为零，
根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为
N SW XYBx By
当图象是复函数，每一个抽样值为一个复数，要由两个实数表示。 自由度增大一倍，
N SW XYBx By
抽样定理例题（1）
若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”f x, y x ， 系统对线脉冲的输出响应称为线响应 Lx 。如果系统
的传递函数为 H f x , f y ，求证：线响应的一维傅里叶
FL xFδ xhx,yδ f y H f x ,f y H f x ,
这就是系统传递函数沿 f x 轴的截面分布
证毕。
抽样定理例题（1）解续
这里要注意的一点是
F x f y
这是二维傅里叶变换的特点，另一个变量是隐含着的。
从这一题中我们还要引伸出一个重要的概念，即二维传递函数测 量可以通过一维线响应，即线扩散函数来测量和计算。因为两维 的测量在过去没有图像传感器时是相当困难的，而转换成一维信 号就可以用全部光能积分随时间变化的线响应来实现了。
c
2By
y
结果得到无数 函数与SINC函数的卷积和
原函数的复原(2)
最后卷积的结果,愿函数为
gx, y Bx By XY gnX , mY sin cBx x - nX sin c By y mY
n m
若取最大允许的抽样间隔，即 X ，并且 Y ，则
2Bx
2By
gx,
y
第五讲 抽样定理
抽样定理的由来和意义
• 实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是 连续变化的。
• 在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散分布 的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离散的
• 这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原 先的连续变化的物理量是否相同？
SW XYBx By
空间带宽积的意义
空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来 描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息 的能力。
空间带宽积决定了图象最低必须分辨的象素数，如数码相机的技术 指标
空间带宽积表达图象的自由度或自由参数数
图象是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为
根据卷积定理，在空间域得到
gs x, y hx, y gx, y
对上式左边两个因子分别进行化简有
gs
x,
y
comb
x X
comb
y Y
gx,
y
XY gnX , mY x nX , y mY n m
hx,
y
F rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
4Bx By
sin
c2Bx xsin
G
n m
fx
n X
,
fy
m Y
抽样函数的原函数的复原图
奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔
假如函数 g(x, y) 是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个
有限区域内不为零
若包围该区域的最小矩形在 f x 和 f y 方向上的宽度分别为 Bx 和 By
欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使
• 是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？
• 本书用的是惠特克—香农（Whittaker-Shannon）抽样定理的 二维形式
函数的抽样
最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘
如果被抽样的函数为gx, y ，抽样函数可表示为 gs x, y
gs
x,
y
comb
x X
comb
变换等于系统传递函数沿 f x 轴的截面分布 H f x , 。
抽样定理例题（1）解
证明：
线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 y 方向函数值不变，是常
数1。
f x, y x1
系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为
Lx L x δx hx, y
线响应的一维傅里叶变换则为
n
m
g
n 2Bx
,
m 2By
sinc2Bx x
-
n 2B x
sinc2By
y
m 2By
可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必要的条 件)
抽样定理的意义
抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽 样点函数值，在数学上就是插值公式
抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说， 由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现
抽样函数
抽样函数的频谱
利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频谱
Gs fx ,f y
F comb
x X
comb
y Y
G
fx,fy
XYcombXfx comb Yfy G f x , f y
n m
fx
n X
,
fy
m G Y
fx,fy
y Y
gx,
y
梳状函数是函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在平
面 x, y上在 x ，y 两方向上间距为 X 和 Y 的 函数 与该函数
的乘积
任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数的“大 小”要被该函数在 函数位置上的函数值所调制。换句话说，每
个 函数下的体积正比于该点函数的数值
1 X
2Bx
1 Y
2By
或者说抽样间隔必须满足
X
2Bx
Y 2By
式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特 （Nyquist）抽样间隔
原函数频谱的复原
要原函数的复原首先要恢复其频谱
在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度 Bx 和 By ,位 于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。
在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波”
用频域中宽度
和
的位于原点的矩形函数为
Bx
By
H fx,fy
滤波过程可写作
rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
Gs
fx,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy
rect
fx 2B
x
rect
fy 2B
y
G
fx,fy
原函数的复原(1)
做反变换就可直接得到原函数
X
Bx
Y
By
XY
Bx By
XYBx By
式中 XY表示函数在空域覆盖的面积,Bx By 表示函数在频域中覆
盖的面积。在该区域的函数可由数目为 似表示。
XYB
x
B的y 抽样值来近
问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？
空间带宽积 SW 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积之积：