辽宁省沈阳四校协作体高一数学上学期期中联考

辽宁省沈阳四校协作体11-12学年高一数学上学期期中联考2011-2012学年度(上)四校协作体期中考试高一年级数学试卷考试时间：120分钟 考试分数：150分试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1－12题 60分）第二部分：非选择题型（13－22题 90分）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题（每小题5分，共60分，选项中只有一个正确的答案，将答案涂在答题卡上） （1）在全集U 中，集合C B A =⋂，则在右图中阴影区域表示的集合是（ ）A ．A C UB ．C C U C ．C B C U ⋃)(D ．B A C U ⋂)(（2）在下面的四个选项中,( )不．是函数1)(2-=x x f 的单调减区间A.)2,(--∞B.)1,2(-- C. )1,1(- D. )0,(-∞（3）一个偶函数定义在]7,7[-上,它在]7,0[上的图象如右图,下列说法正确的是( ) A.这个函数仅有一个单调增区间 B.这个函数有两个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值是7D.这个函数在其定义域内有最小值是 -7（4）所有的幂函数图象都经过一个点,这个点的坐标是( )A.)0,0(B. )1,0(C. )0,1(D. )1,1( （5）函数()xf 2的定义域为[]11,-，则()x log f y 2=的定义域为（ ）A. []11,-B. ]4,2[C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221,D. []41,（6）三个数99.02011，201199.0，2011log 99.0的大小关系为( )A. 2011log 99.0<201199.0< 99.02011B. 2011log 99.0<99.02011<201199.0C. 201199.0<2011log 99.0<99.02011D. 201199.0<99.02011<2011log 99.0（7）用“二分法”求函数()3222f x x x x =+--的一个正数零点，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5（8）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若某函数()x f 的图象恰好经过n 个格点，则称该函数()x f 为n 阶格点函数.给出下列函数：①x y =； ②12+=x y ；③1232++=x x y ；④25x y =； ⑤x y lg =；⑥31x y =.则其中为一阶格点函数的是（ ）A. ①④⑥B. ②③C. ③⑤D. ②⑤（9）已知x x g a x f a x log )(,)(2==- (1,0≠>a a 且)，若0)2011()2011(<-⋅g f ，则)(x f y =，与)(x g y =在同一坐标系内的大致图形是( )A. B. C. D.（10）据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2011年的湖水量为m,从2011年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为 ( )A.m y x ⋅=509.0 B.m y x⎪⎭⎫ ⎝⎛=500499 C.m y x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=501.01 D.m y x ⋅=509.0 （11）已知函数2()32,()2f x x g x x x =-=-.构造函数()y F x =，定义如下：当()()f x g x ≥时，()()F x g x =；当()()f x g x <时，()()F x f x =.那么()y F x =（ ）A ．有最大值3，最小值-1B ．有最大值3，无最小值C ．有最大值7-D ．有最大值727-，最小值323-（12）当(1,2)x ∈时，不等式x x x a log 212+<+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)1,0(B ．(]1,2C ．)2,1(D ．[),2+∞第Ⅰ卷(非选择题 共90分)二、填空题（每小题5分，共20分，将你的答案写在答题纸相应的横线上）（13）化简2lg 8lg )5lg 2)(lg 28log 32(log 1log 21241+-+的值为 .（14）已知集合{}4,3,2,1=A ，集合{}5,4,3=B .若令B A N B A M ⋃=⋂=,，那么从M 到N 的映射有 个.（15）设函数1lg )1()(+=x xf x f ，则)100(f 的值为 .（16）函数22321)(x x x f --⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调递增区间．．．．为 . 三、解答题（共70分，其中第17题10分，其余各题各12分）（17）记函数)2lg()(-=x x f 的定义域为集合A ，函数29)(x x g -=的定义域为集合B ． （Ⅰ）求B A 和B A ；（Ⅱ）若C A p x x C ⊆>-=,}0|{，求实数p 的取值范围．（18）已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.0)(<x f （Ⅰ）判断)(x f 的奇偶性，并证明之； （Ⅱ）判断)(x f 的单调性，并证明之.（19）已知函数21222y a ax x =--+（11≤≤-x ）的最小值为)(a f ．（Ⅰ）求)(a f 的表达式；（Ⅱ）当[2,0]a ∈-时，求13log ()Q f a =的值域．（20）已知函数()log (1)(01)xa f x a a =-<<（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ） 讨论()f x 的单调性；（Ⅲ） 解不等式1(2)()f x f x ->.（21）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（)(t f 越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=402038072010240100100242t t t t t t t f ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※（Ⅰ） 讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（Ⅱ） 讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（Ⅲ）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目？（22）已知函数4()log (41)()xf x kx k R =++∈为偶函数.（I ）求k 的值；（II ）若方程)2(log )(4a a x f x-⋅=有且只有一个根，求实数a 的取值范围.2011-2012学年度(上)四校协作体 高一年级数学试卷答案及评分标准一.(13)3 (14)25 (15)53(16)]1,1[- 三．（17）解（Ⅰ）依题意，得{}2|>=x x A ， …………………………2分}33|{}09|{2≤≤-=≥-=x x x x B ， …………………………………4分 ∴B A {}32|≤<=x x ，B A ={}3|-≥x x ． ……………………………………6分（Ⅱ）由0->p x ，得p x >，而C A ⊆，∴2≤p ， ……………………10分 (18)解 （Ⅰ）函数)(x f 为奇函数. ………………………………2分因为函数)(x f 的定义域为R,而在)()()(y f x f y x f +=+中,令y 为x -,则有)()()0(x f x f f -+=…………………………………………………………4分 又将y x ,都取0代入得0)0(=f ,即: )()(x f x f -=又由x 在R 中的任意性可知, 函数)(x f 为奇函数. ……………………6分（Ⅱ）函数)(x f 在R 上为单调减函数…………………………………………8分 因为在R 上任取21,x x ,且令021>-=∆x x x由=-=∆)()(21x f x f y )()(2221x f x x x f -+-)()()()(22x f x f x f x f ∆=-+∆= ……………………………10分 又由题可知当x ＞0，0)(<x f ,故0)(<∆x f ,从而0<∆y , 这样就说明了函数)(x f 在R 上为单调减函数. ………12分(19)解 （Ⅰ）有题意222()2122a a y x a =---+（－1≤x ≤1）， ① 当12a<-，即2a <-时，3)(|1min ===-=a f y y x ；…………………2分② 当112a-≤≤，即22a -≤≤时，122)(|22min +--====a a a f y y a x ；………4分③ 当12a>，即2a >时，a a f y y x 43)(|1min -====．……………6分 ∴23(2)()21(22)234(2)a af a a a a a <-⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪->⎪⎩．…………………………………8分（2）当[2,0]a ∈-时，21133log ()log (21)2a Q f a a ==--+，设22121(2)322a u a a =--+=-++，[2,0]a ∈-，则13u ≤≤，…………10分此时13log [1,0]Q u =∈-．∴13log ()Q f a =的值域为[-1,0]．…………………………………………12分(20)解 （Ⅰ）由题01a a x =>,因为10<<a ,所以0<x ,即()f x 的定义域为{}0|<x x ………………………………………2分 （Ⅱ）函数()f x 在)0,(-∞上是单调递增的. ……………………………4分 因为:令函数1)(-=xa x u ,因10<<a 故1)(-=xa x u 在)0,(-∞上是单调递减的, 又因为x x g a log )(=也是单调递减的,由复合函数的单调性知,复合函数()f x ))((x u g =在)0,(-∞上是单调递增的. ………………………………8分 （Ⅲ）由题知)1(log )(1+=-x a a x f,R x ∈…………………………………10分于是不等式1(2)()f x f x ->等价为112+<-x x a a 即:0)1)(2(<+-x x a a从而2log 2a aa x=<,所以2log a x >,又须02<x ,综上,原不等式的解集为{}02log |<<x x a …………………………………12分 （21）解（Ⅰ）当0<t ≤10时， f （t ）=-t 2+24t+100是增函数,且f （10）=f （24）=240, 当10< t ≤20时，f （t ）=240, 而当20<t ≤40时, f （t ）为减函数.所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；……………………4分 （Ⅱ） 求函数值比较，f （5）=195,f （25）=205,讲课开始后25分钟比讲课开始后5分钟学生的注意力更集中；……………………8分（Ⅲ）当0<t ≤10时， f （t ）=-t 2+24t+100 =180,则t =4，20<t ≤40,f （t ）=-7t+380=180,t=28.57,则学生注意力在180以上所持续的时间28.57-4=24.57>24, ……………………10分 所以，经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题. ………12分(22)解（I ） 由题)()(x f x f =-,即kx xx 21414log 4=++-,……………………2分 从而14)12(=+x k 在R x ∈上恒成立,即21-=k ……………………6分（II ）由题原方程化为x xxx aa 242142==-⋅+且02>-⋅a a x 即:令02>=t x有⎩⎨⎧>-=++-)2(0)1(01)1(2a at at t a ……………………8分函数1)1(2++-=at t a y 的图象过定点)2,1(),1,0(若方程(1)仅有一正根,只有如图的三种情况,可见: 1>a ,即二次函数1)1(2++-=at t a y 的开口向下都可,且该正根都大于1,满足不等式(2), …10当二次函数1)1(2++-=at t a y 的开口向上,只能是与x 轴相切的时候,此时1<a 且0=∆,即222--=a 也满足不等式(2) 综上: 1>a 或222--=a ……………………12分。