第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二一试二试题、答案及解析

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历届希望杯初二试题及答案

历届希望杯初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是质数？- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5答案：C2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8答案：A3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？- A. 16- B. 8- C. 4- D. 2答案：A4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？- A. 25π- B. 50π- C. 100π- D. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的立方根是2，这个数是______。

答案：82. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。

答案：5，-53. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。

答案：44. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是______厘米。

答案：55. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______度。

答案：90三、解答题（每题10分，共30分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长是10厘米，求这个长方形的面积。

答案：首先，我们知道长方形的宽是长的一半，即5厘米。

长方形的面积是长乘以宽，所以面积是10厘米乘以5厘米，等于50平方厘米。

2. 一个数列的前三项是2，4，8。

如果这个数列是一个等比数列，求第四项。

答案：等比数列的每一项都是前一项的固定倍数。

这里，每一项都是前一项的2倍。

所以，第四项是8乘以2，等于16。

3. 一个水池的容积是100立方米，如果每小时流入水池的水是5立方米，求需要多少小时才能填满水池。

答案：要填满100立方米的水池，每小时流入5立方米，需要的时间是100除以5，等于20小时。

结束语希望杯数学竞赛不仅考查学生的数学知识，更注重考查学生的逻辑思维和解决问题的能力。

通过这样的竞赛，学生能够更好地理解数学知识，提高自己的数学素养。

八年级数学希望杯第1-22届试题汇总(含答案与提示)

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C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3．已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5．设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

(2020年编辑)第二十二届()“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题(含答案)

第二十二届（2011年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题初中二年级一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内）1.如图1，数轴上的四个点A B C D 、、、分别代表整数a b c d 、、、.若1,1a b c b --=--=-，则d 的值是（）（A ）3- (B) 0 (C)1 （D ）4 1. 已知201020111,,20092011201020122011a b c ===⨯⨯，则（）（A ）a b c <<(B)c b a << （C ）b a c << （D ）c a b <<2. 下列各数中，最大的是（）（A ）37+ (B) 26+ （C ）20 （D ）114522+3. 已知a 是实数，并且2201040a a -+=则代数式228040200954a a a -+++的值是（）（A ）2009 (B) 2010 （C ）2011 （D ）2012 4. Giventwonon－zerorealnumbersaandb,satisfy()2242342a b a b a -+++-+=,then the value of a b + is ( )（A ）－1 (B) 0 （C ）1 （D ）25. If the linear function y ax b =+ passes through the point (－2, 0),but not the first Quadrant,then the solution set for ax b > is ( )（A ）2x >- (B) 2x <- （C ） 2x > （D ）2x < 6. 已知反比例函数k y x =的图像经过点1,b a -⎛⎫⎪⎝⎭，那么它可能不经过点（）（A ）1,b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (B) 1,a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）,1b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）,1b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭7. 已知a 是实数，关于x y 、的二元一次方程组235212x y ax y a-=⎧⎨+=-⎩的解不可能出现的情况是（）（A ）x y 、都是正数 (B) x y 、都是负数（C ）x y 是正数、是负数（D ）x y 是负数、是正数8. If a and b are non －zero real numbers and ()()1991991a b -+=,then the value for111ab-+ is ( )（A ）1 (B)100 （C ）－1 （D ）－1 9. 如图2是反比例函数ky x=在第二象限的图像，则k 的可能取值是（）（A ）2 (B)－2 （C ）12 （D ）12-11．在直角坐标系上，点(),11x y 关于电()22,x y 的对称点坐标是（）（A ）()2121,22x y x y -- (B) ()1212,22x y y x -- （C ）()12122,2x x y y -- （D ）()21212,2x x y y --12．一个长方体盒子的最短边长50cm ，最长边长90cm.则盒子的体积可能是（）（A ）45003cm (B) 1800003cm （C ）900003cm （D ）3600003cm 13．若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”.四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点.那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（）（A ）12 (B) 24 （C ）36 （D ）48 14．如图3，已知ABC 中，,AB AC BAC ACB =∠∠和的角平分线相交于D 点，130ADC ∠=︒,那么CAB ∠的大小是（）（A ）80︒ (B) 50︒ （C ）40︒ （D ）20︒ 15． GivenABC with 90ACB ∠=︒,15ABC ∠=︒,1AC =,then the length of BC is ( )（A ）23+ (B) 32+（C ）32- （D ）23+16．已知三角形三边的长分别为,,a b c ，且,,a b c 均为整数，若7,b a b =<，则满足条件的三角形的个数是（）（A ）30 (B)36 （C ）40 （D ）45 17．三角形三边的长分别为,,a b c ，且a ab cb c b c a++=+-，则三角形是（）（A ）等边三角形 (B) 直角三角形（C ）以a 为腰的等腰三角形（D ）以a 为底的等腰三角形 18．有4个命题：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；O 是四边形ABCD 内一点，若AO=BO=CO=DO ，则四边形ABCD 是矩形；若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛厦门市八年级获奖情况公布

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初二第22届希望杯”一试试题+解析

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在1、将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x 千克，则由此可列出方程为( ) A 、%)151)(x a (%)101(a -+=- B 、%15)x a (%10a ⨯+=⨯ C 、%15a x %10a ⨯=+⨯ D 、%)151(x %)101(a -=-2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a ，b 的关系是( ) A 、%a 1a 100b +=B 、%a 1100b +=C 、a 1a b +=D 、a100a100b +=3、当1x ≥时，不等式|2x |m 1x |1x |--≥-++恒成立，那么实数m 的最大值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数1x 2y -=与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有( )A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 6|1x 2|2≤-≤ is ( ) A 、8 B 、5 C 、2 D 、0(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)6、若三角形的三条边的长分别为a ，b ，c ，且0b c b c a b a 3222=-+-，则这个三角形一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等三角形 D 、等腰直角三角形7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A 、316 B 、38C 、4D 、5 (英汉词典：square 正方形；intersect …at … 与…相交于…) 8、1215-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 9、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0a y 2bx 01ay x 没有实数解，则( )A 、2ab -=B 、2ab -=且1a ≠C 、2ab -≠D 、2ab -=且2a ≠10、如图2，∠AOB=45°，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB 于点C ，若PC=2，则OC 的长是( )A 、7B 、6C 、222+D 、32+二、A 组填空题(每小题4分，共40分) 11、化简：5252549+=++；12、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+2y 3x 21k y 2x 3的解使2y 7x 4>+，则k 的取值范围是3k >；figure 1A O BP C 2 图213、如图3，平行于BC 的线段MN 把等边△ABC 分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN 和四边形MBCN 的周长相等，则BC 与MN 的长度之比是 4:3 ；14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩机运转时的功率是 130 瓦；15、已知自然数a ，b ，c ，满足c 12b 4a 442c b a 222++<+++和02a a 2>--，则代数式c1b 1a 1++的值是 1； 16、已知A 、B 是反比例函数x2y =的图象上的两点，A 、B 的横坐标分别是3，5.设O 为原点，则△AOB 的面积是1516；17、设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是 121 ；18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ； 19、A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 出发去B 。

第22届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐x 千克，则由此可列出方程（）A ．()()()110%115%a a x -=+-B ．()10%15%a a x ⋅=+⋅C ．10%15%a x a ⋅+=⋅D ．()()110%115%a x -=-【解析】选A ．加盐前后盐水中水的质量不变即可列式．2．一辆汽车从A 地均速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少%b ，则a b 、的关系是（） A ．1001%ab a =+B ．1001%b a =+C ．1a b a=+ D ．100100ab a=+【解析】 D ．由,A B 两地距离不变可以列式：()()1%1%1a b +-=，解之得：100100ab a=+．3．当1x ≥时，不等式12x m x ++--恒成立，那么实数m 的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 C ．原不等式可化为12m x x ++-≤，而由绝对值的几何意义知123x x ++-≥，于是1233x x ++-≥，当且仅当1x =时取等号．于是3m ≥，即最大值为3．4．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数21y x =-与y kx k =+的图象的交点是整点，则k 的值有（）个 A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】 C ．联立函数方程可知交点坐标为13,22k k k k +⎛⎫⎪--⎝⎭，仅需横坐标为整数即可．而13122k k k+=-+--，则21,3k -=±±，于是k 的值有4个．5．（英语意译）已知整数x 满足不等式2216x -≤≤，则x 的值是（） A ．8B ．5C ．2D ．0【解析】 C ．由21x -为奇数，有213,5x -=±±，仅有C 选项符合题意．此题x 的值有4个解．6．若三角形的三条边的长分别为a b c 、、，且22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 D ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【解析】 A ．()()()()()2223220a b a c b c b a b b c a b a b b c -+-=--=-+-=，于是a b =或者b c =．于是为等腰三角形．7．如图1，点C 在线段BG 上，四边形ABCD 是一个正方形，AG 与BD 、CD 分别相交于点E 和F ，如果5AE =，3EF =，则FG =（） A ．163B ．83C ．4D ．5图1ABCDFE G53【解析】 A ．由ABE DEF △∽△，知53AB DF =．不妨设5,3AB x DF x ==，于是2FC x =．又由FCG ABG △∽△，知216853FG FG FC x FG AG FG AB x ===⇒=+．8．1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（）A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】 C ．()()16882121213517257-=-+=⋅⋅⋅．于是4n =．9．若关于x y 、的方程组1020x ay bx y a ++=⎧⎨-+=⎩，没有实数解，则（）A ．2ab =-B ．2ab =-且1a ≠C ．2ab ≠-D ．2ab =-且2a ≠【解析】 A ．容易知道112a b a=≠-．于是2ab =-且22a ≠-，而后者显然成立．于是选A ．10．如图2，45AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，PC OB ⊥于点C ．若2PC =，则OC 的长是（）A ．7B ．6 C．2+ D．22图2OCP BA【解析】 C ．延长CP 交OA 于M，于是有PC OC PM PM AO ==⇒=于是2OC PC PM =+=+二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．【解析】2222==+12．若关于x y 、的方程组321232x y k x y +=-⎧⎨-=⎩的解使472x y +>，则k 的取值范围是___________．【解析】 3k >．由()()4723223242x y x y x y k +=⋅+--=->，知3k >．13．如图3，平行于BC 的线段MN 把等边ABC △分成一个三角形和一个四边形，已知AMN △和四边形MBCN 的周长相等，则BC 与MN 的长度之比是_____________．ABCM N 图3【解析】 4：3．不妨设1,MN BC x ==，于是AMN △的周长为3，四边形MBCN 的周长为()211x x -++．于是有()3221x x =-++，解得43x =．14．小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，…，又知8月份这台冰箱的耗电量是24．18度（1度=1千瓦时），则这台冰箱的压缩机运转时的功率是__________________瓦．【解析】 130．已知冰箱的运转时间占工作时间的515154=+，于是8月份的运转时间为124311864⋅⋅=小时．于是功率为24.181000130186⋅=．15．已知自然数a b c 、、满足222424412a b c a b c +++<++和220a a -->，则代数式111a b c++的值是___________________．【解析】 1．由()()()2222262a b c -+-+-<知2,2,6a b c ---中之多有一个绝对值为1，其余绝对值为0．而()()210a a -+>，知2a >，于是21a -=，即3a =．于是2b =，6c =．则代数式的值为1111a b c++=．16．已知A B 、是反比例函数2y x=的图象上的两点，A B 、的横坐标分别是3，5．设O 为原点，则AOB △的面积是________________．【解析】 1615．易知223,,5,35A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．分别过点,A B 做x 轴的垂线，垂足为,M N ．由2216352215AOB ABMN S S +==⋅=△．17．设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是_________________．【解析】 121．()()()()()22222543...45110A =-+-+-+++=．18．将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是__________________．【解析】 218．首尾两数的和与第38个数与第63个数的和相同．于是均为218．19．A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 地出发去B 地．甲先乘汽车到达A B 、之间的C 地，然后下车步行，乙全程骑自然车，结果两人同时到达．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么，C 地与A 地相距_______________km ．【解析】 10．不妨设,C A 两地之间的距离为x ，,C B 之间的距离为15x -，乙全程自行车的速度为v ，于是利用两者时间相等可列式：151522x x v v v -+=，解之得10x =．20．已知b c a c a bk a b c+++===，则直线y kx k =+必经过点______________________．【解析】 (10)-，．()1y k x =+，于是当1x =-时，0y =．于是答案为()1,0-．在条件下，当0a b c ++=时，直线表示1y x =--，否则直线表示22y x =+．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是____________或________．【解析】 75︒；100︒．当三角形三内角之比为2:2:5时，最大内角为51801009⋅=；当内角比为2:5:5时，最大内角为51807512⋅=．22．已知10个数12310x x x x ，，，，中，110x =，对于整数1n >，有1n n nx x -=，则12x x =____________，2310x x x =_______________．【解析】 2；384．由1n n x x n -=知：122x x =；344x x =；566x x =；．．．；91010x x =．于是()234101 (24681038410)x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅=．23．从甲、乙、两三名男生和A B 、两名女生中选出一名男生和一名女生，则所有可能出现的结果有_____________种；恰好选中男生甲和女生A 的概率是____________．【解析】 6；16．男生一共有3种选择，女生一共有2种选择，于是所有可能结果数为326⋅=．对于任何一种特定组合都是16的概率被选中．24．若关于x 的方程b b x a x a +=+的解是12b x a x a ==，，那么方程2211x a x a -=---的解是1x =___________，2x =__________________．【解析】a ；31a a --．原方程可写为221111x a x a ---+=-+--，于是12211,11x a x a --=--=-．化简即可．25．若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然数是__________和____________．【解析】37；15．由于他们乘积为111的倍数，而111有质因数37，于是这两数至少有一数为37或者其倍数74．于是容易判断出两数只能是37,15．。

第二十二届希望杯全国数学邀请赛八年级第1试与简答

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛 1试初二第_______________30 得分日上午8：30至11：2011年3月13以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字分)一、选择题(每小题4分，共40 母写在下面的表格总得2345678910题1DACACCC答CAA( ) 千克，则由此可列出方程为、将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x1%15%?(a?x)?a(1?10%)?(a?x)(1?15%)?10a、BA、%15?10%?x?a?a%)1510%)?x(1??a(1、C、 D( )的关系是则所用的时间减少b%，则a，b2、一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a%，a100100aa100?b?b?b?b、A C、、 D B、a?a1001?a%1?a%1?1x?|?2x?1|?x?1?m?|x|( )m、当3时，不等式的最大值是恒成立，那么实数4 3 D、、2 C、1 BA、kkx?1y?y?2x?与横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数4、在平面直角坐标系中，( )k的值有的图象的交点是整点，则个 D、5、2个 B、3个 C、4个A6??1|2?|2x is ( )The sum of all such integers x that satisfy inequality 5、0、2 D、A、8 B、5 C) 满足；inequality 不等式(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy32220b?c?bc?aab?( ) b，c，且，则这个三角形一定是6、若三角形的三条边的长分别为a， D、等腰直角三角形、等腰三角形 B、直角三角形 C、等三角形Aintersects AG ABCD is a square. the 7、As shown in figure 1，point C is on segment BG and quadrilateralBD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( )8165 4 D、 BA、、 C、A D 33 E 5 ) 与…相交于…square 正方形；intersect…at… (英汉词典：F3 151?2( ) n能分解成n个质因数的乘积，8、的值是G34 D、A、6 B、5 C、BCfigure 10?x?ay?1?( )没有实数解，则、若关于x，y的方程组9?0??2ya?bx?2?2a?a?1ab??2ab?2?ab?2ab??且 DA、C且、 B、、于点C，AOB°，OP平分∠，PC⊥、如图10OB2，∠AOB=45A( )，则OC的长是若PC=22?2232?、A、7 B、6 C、 D P 2 ) 分4分，共40二、A 组填空题(每小题O BC 549?2图?2?5； 11、化简：5?23x?2y?k?1?k?32y?74x?；，则k的解使的方程组，、若关于12xy的取值范围是?2?3x2?y?1AABC分成一个的线段MN把等边△13、如图3，平行于BC的周长相AMN和四边形MBCN三角形和一个四边形，已知△；MN的长度之比是 4:3 等，则BC与M N 、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，14 8月份分钟，再停机停机15分钟，再运转515分钟，……，又知CB3图 )，则这台冰箱的压缩度=1千瓦时这台冰箱的耗电量是24.18度 (1 130 瓦；机运转时的功率是1112222??02a???4a?4b?12ca?a?b?c?42的，满足和，则代数式15、已知自然数a，b，c cba；值是 12?y的面AOBO为原点，则△3，5.16、已知A、B是反比例函数设B的图象上的两点，A、的横坐标分别是x16；积是15；的最小值是 121 是11个连续整数的平方和，则A17、设完全平方数A 218，则首尾两个数的和是38个数与第63个数的和为个连续的偶数从小到大排成一行，其中第18、将100 218 ；地，然后下车步行，之间的C。

2011第二十二届“希望杯”数学竞赛初二一试试题

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试2011年3月13日上午8：30至10：00 得分一、选择题（每小题4分，共40分。

）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。

1、将a 千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x 千克，则由此可列出方程（）（A ）()()().%151%101-+=-x a a （B ）()%.15%10∙+=∙x a a （C ）%.15%10∙=+∙a x a （D ）()().%151%101-=-x a2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a ﹪，则所用的时间减少b ﹪，则a 、b 的关系是（）（A ）%1100a a b +=（B ）%1100a b += （C ）a a b +=1 （D ）aab +=1001003、当1≥x 时，不等式211--≥-++x m x x 恒成立，那么实数m 的最大值是（）（A ）1．（B ）2。

（C ）3。

（D ）4。

4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数12-=x y 与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有（）个（A ）2．（B ）3。

（C ）4。

（D ）5。

5、（英语意译）已知整数x 满足不等式6122≤-≤x ，则x 的值是（）（A ）8．（B ）5。

（C ）2。

（D ）0。

6、若三角形的三条边的长分别为a 、b 、c ，且.03222=-+-b c b c a b a 则这个三角形一定是（）（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等边三角形（D ）等腰直角三角形 7、如图1，点C 在线段BG 上，四边形ABCD 是一个正方形，AG 与BD 、CD 分别相交于点E 和F ，如果AE=5，EF=3，则FG=（）（A ）316。

（B ）38。

历届“希望杯”全国数学邀请赛八年级真题及答案

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．?2.C ．±2.D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( )A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 1 4. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( )A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式aa 1-⋅化为最简二次根式是[ ] (A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( )A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值，则这个值是( )A ．0.B ．1.C ．2.D ．4. 把f 1990化简后，等于( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x 1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度．6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______．8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个．9．x ，y ，z 适合方程组则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a 0-a 1+a 0-a 1-a 1+a 1-a 0+a 1-a 0+a 1=2a 0-3a 1+3a 1-2a 0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C ＞∠B ＞∠A ．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a ＜0，故选(C)．8．有△ABE ，△ABM ，△ADP ，△ABF ，△AMF 等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x ，y 取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC的度数是120度．5．∠COD度数的一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1988-+⨯，那么P的值是[ ]⨯⨯+198919891(19901991A．1987 B．1988. C．1989 D．19903．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，则[ ]A．M＞P＞N且M＞Q＞N. B．N＞P＞M且N＞Q＞MC．P＞M＞Q且P＞N＞Q. D．Q＞M＞P且Q＞N＞P4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1,则∠BDA=[ A．30°B．45°. C．60°. D．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A．是不存在的. B．恰有一种. C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1．△ABC中，∠CAB?∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______．22(2)0ab +-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3．已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4．ΔABC 中, ∠B=300三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5．设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a?b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a?b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．是一个定值．2．如图9，重合部分面积SA＇EBF证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A ＇B ＇与A ＇B 重合时，必有A ＇D ＇与A ＇C 重合，故知∠EA ＇B=∠FA ＇C ．在△A ＇FC 和△A ＇EB 中，∴S A ＇EBF =S △A ＇BC ．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n ．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n ．即 n 1=4，n 2=7∴ n 1×n 2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP 的长是[ ]A ．2;B ．3;C ．4;D ．52．方程x 2-5x+6=0的两个根是[ ] A ．1，6 ; B ．2，3; C ．2，3; D ．1，63．已知△ABC 是等腰三角形，则[ ]A ．AB=AC;B ．AB=BC;C ．AB=AC 或AB=BC;D ．AB=AC 或AB=BC 或AC=BC(1)B O344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角[ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ]A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ] A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大C．一正根、一负根且负根的绝对值小;D．没有实数根15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一半时间以每小时b公里的速度行走；乙以每小时a公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b公里的速度行走．若a≠b时，则[ ]到达N地．A．二人同时; B．甲先;C．乙先; D．若a＞b时，甲先到达，若a＜b时，乙先二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度．2.有理化分母=______________.3.0x=的解是x=________.4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______．5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k的值是______．6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x2-y2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，则∠B等于______度．(2) (3) (4) 10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出__条．11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，则∠BFC 等于__度．12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为______．13．在△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m ，n 的比是t(t ＞1)．若m+n=s ，则m ，n 中较小的数可以表示为( ) A.ts; Bs-ts; C.1ts s +; D.1s t+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( )A ．a ＜b ＜c.B ．(a-b)2+(b-c)2=0.C ．c ＜a ＜b.D ．a=b ≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( )A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 2;B. x 2y 2;C. x 2y 2;D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989××．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 22a b=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC 边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989××(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2的一个根，b是方程3y2的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2?b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH ，FG ．②过O 作EH 平行线交AB 于N ，过K 作FG 平行线交于AB 于M ．③连结EN 和FM ，则EN ，FM 就是新渠的两条边界线．又：EH ∥ON∴△EOH 面积=△FNH 面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

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第二十二届(2011年)“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题(含答案)

33．已知实数满足，则
34．计算
35．若点P的坐标满足，则点P的坐标为
21.已知函数的图像不经过第四象限，则满足题意的整数的个数是（）
（A）4 (B)5（C）6（D）7
22．If the figure 6 is composed of 24 equilateral triangles, then how many non－congruent distinct right triangles with vertices on the intersecting points are possible in this figure?( )
第二十二届（2011年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题
初中二年级
一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内）
1.如图1，数轴上的四个点分别代表整数 .若，则的值是（）
（A） (B) 0 (C)1（D）4
1.已知，则（）
（A） (B) （C）（D）
（A）3 (B)4（C）5（D）6
23．若在1,2,3,…,2010前任意添加一个正号或者负号，则（）
（A）它们的和是奇数
(B)它们的和是偶数
（C）若有奇数个负号，则它们的和是奇数；若有偶数个负号，则它们的和是偶数
（D）若有奇数个负号，则它们的和是偶数；若有偶数个负号，则它们的和是奇数
24．方程的整数解有几组？（）
13．若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”.四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点.那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（）
（A）12 (B) 24（C）36（D）48
14．如图3，已知中，的角平分

第21届希望杯初二第1试试题及答案

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．下列图案都是由字母m 组合而成的，其中不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【解析】 B ．B 中5个”m ”分布在正五边形上，不是中心对称图形．2．若230a a ≥≥，则（）A 3a aB 3a aC ．1a ≥D ．01a <<【解析】 B ．∵23a a ≥≥0，∴01a ≤≤3a a320102009xx --x 的取值范围是（）A ．2010x ≤B ．2010x ，≤且2009x ≠±C ．2010x ≤且2009x ≠D ．2010x ，≤且2009x ≠-【解析】 B ．2010020090x x -⎧⎪⎨-≠⎪⎩≥，解得2010x ，≤且2009x ≠±． 4．正整数a b c ，，是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ．()()124a bc b ca a b c +++=++=∵a b c +>，,,a b c 均为正整数，∴1a b c ++≥ 又12c +≥，∴1c +只能取2，3，4．若12c +=，即1c =，则12a b +=，于是6a b ==；若13c +=，即2c =，则8a b +=，于是4a b ==；若14c +=，即3c =，则6a b +=，于是3a b ==．综上，这样的三角形有3个．5．顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A ．任意的四边形B ．两条对角线等长的四边形C ．矩形D ．平行四边形【解析】 B ．顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形，每组对边都等于对应对角线长的一半．因此若得到的四边形为菱形，则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形．6．设p =a b c d ，，，是正实数，并且1a b c d +++=，则（）A ．5p >B ．5p <C ．4p <D ．5p =【解析】 A ．1a >=+，于是()()()()1111p a b c d >+++++++5=．7．Given a b c ，， satisfy c b a << and 0ac <，then which one is not sure to be correct in the following inequalities ？（） A ．b c a a>B ．0b ac->C ．22b ac c>D ．0a cac-< 【解析】 C ．∵a c >且0ac <，∴0a >，0c <∵b c >，0a >，∴b c a a >；∵b a <，0c <，∴0b ac ->； ∵a c >，0ac <，∴0a cac-<；因此只有C 不一定成立．8．某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区，A 区住员工30人，B 区住员工15人，C 区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（） A ．A 区 B ．B 区C ．C 区D ．A B C 、、区以外的一个位置【解析】 A ．以A 区为原点，从A 区往方向为正方向建立数轴，设停靠点的坐标为x ，那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300x x x +-+-，由绝对值函数的性质易知在0x =处，该函数值最小．9．ABC △的内角A 和B 都是锐角，CD 是高，若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ABC △是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析】 D ．∵22AC AD BC BD =，∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==，又由正弦定理sin sin AC BBC A=， ∴cos sin cos sin A B B A=，于是sin2sin2A B =，∴A B =或90A B +=︒． 10．某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（） A ．32秒B ．38秒C ．42秒D ．48秒【解析】 C ．设若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用x 秒，则1112456x=+，解得42x =（秒）．图1二、A 组填空题（每小题4分，共40分．）11．四个多项式：①22a b -+；②22x y --；③22249x y z -；④4221625m n p -，其中不能用平方差公式分解的是_______________．（填写序号）【解析】 ②．①()()22a b b a b a -+=+-；③()()2224977x y z xy z xy z -=+-； ④()()4222216254545m n p m np m np -=+-．12．若111111a b c b c d===---，，，则a 与d 的大小关系是a _______d ．（填“>”、“=”或“<”）【解析】 =．1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 13．分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________．【解析】 2-．222510111x x x x ++=--+ ()()225110x x x +++-=22640x x ++= 2320x x ++=1x =-（舍去）或2x =-14．甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离A 点200米处，而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了____________米．【解析】 750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈，则14400200m t k ⋅=⋅+，23400m t k x ⋅=⋅+（其中300400x <<）于是1240020040043k k x ++=，即()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<，∴123685k k <-<，因此12684k k -=．于是当12k =，21k =时，2k 最小，此时乙跑了400350750+=（米）．15．已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-，，，则它的周长是_____________．【解析】 12.3．421x x -=+时，1x =，此时三角形的三边长分别为2,2,9，矛盾；42156x x -=-时，1710x =，此时三角形的三边长分别为242724,,5105，周长为1231412.310x -==； 1156x x +=-时，2x =，此时三角形的三边长分别为6,3,3，矛盾．16．若29453737a b =-=-，，则336a ab b -+=______________．【解析】 8-．∵294523737a b +=--=-，∴2b a =-- 于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+--()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-17．直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则线段AB 上（包括端点A B 、）横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个．【解析】 5．59544y x =-即5495x y -=，于是y 必然整除5；另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴954y -≤≤0，于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上．18．已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-，则a =_______________．【解析】 0．原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>-∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩，解得43a =-（舍去）或0a =．19．当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97--这100个数时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________．【解析】 4950．2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2221213232x a x a x x x x -+-+⇔=-+-+()2134320a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨-+≠⎪⎩ ∴当()1134a a +⋅=+和()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解，即2a =-和1a =-时原方程无解．因此方程有解的概率为4950．20．十位数2010888abc 能被11整除，则三位数abc 最大是______________．【解析】 990．()()218800811b a c k ++++-++++=，∴b a c --能整除11∴而9abc bc ≤，此时9b c --能整除11，∴三位数abc 最大是990．（注：能被11整数的自然数的特点是：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍）三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________．【解析】 6，3．设长和宽分别为x 、y ，则()2x y xy +=，即()()224x y --= 因为x y ≠，∴24x -=，21y -=，于是长和宽分别为2和1．22．用[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]414253=-=-.，.．则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________．【解析】 196x =-；83x =-． ∵[]673x x +=，而[]1x x x -<≤，∴()31673x x x -<+≤，解得10733x <-≤-．因此13677x -<+-≤，∴67x +的可能取值为12-和9-，解得196x =-和83x =-．经验证，这两个解均为原方程的解．23．As in figure 2，in a quadrilateral ABCD ，we have its diagonal AC bisects DAB ∠，and21910AB AD BC DC ====，，，then the distance from point C to line AB is______________，and the length of AC is________________．（英汉词典：quadrilateral 四边形：bisect 平分）Fig 22191010D C BAEDCBA【解析】 8；17．如图，过D 作AC 的垂线，交AB 于E ，连结CE ，则AD AE =，CD CE = 于是CEB △中，10CE CD BC ===，12BE AB AE =-=，因此容易算得等腰三角形△CEB 底边上的高为8．∴22218912642252892AC ⎛⎫=++⋅=+= ⎪⎝⎭，17AC =．24．如图3，Rt ABC △位于第一象限内，A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB AC 、分别平行于x轴、y 轴，43AB AC ==，，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象与Rt ABC △有交点，则k 的最大值是____________，最小值是______________．【解析】 36148；1．当反比例函数的图象过A 点时k 最小，为1；当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大，此时∵()5,1B ，()1,4C ，直线BC 的方程为31944y x =-+∴方程2319044x x k -+-=的判别式3613016k -=，解得36148k =． 25．设011n A A A -，，，依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是_________________，此时正n 边形的面积是_____________．【解析】 23；1．设正n 边形的面积为n S ，则∵正n 边形的对角线共有()112n n -条，∴所有满足条件的凸边形共有()1n n -个，它们的面积之和为()112n n n S -⋅∴()146223711n n n S -==⋅⋅⋅ ∴711n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩，于是n 的最大值是23，此时正n 边形的面积是1．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛答案第二第1试1．答案（1）选择题（2）A 组填空题（3）B 组填空题。

第二十届希望杯全国数学邀请赛初二第2试参考答案及评分标准(WORD版)

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二第2试（每小题4分）（每小题4分，含两个空的小题，每空2分）三、解答题21.设所求的最简分数是n m ，()1,=n m ，n m <<0，15<n ，则 nn m n m 52552-=-，因为52≠n m ，且m ，n 是正整数，所以 125≥-n m .（1）当125=-n m 时，有125=-n m （当52>n m 时），或125-=-n m （当52<n m 时），所以 512+=n m 或512-=n m . 由m 是整数，知2n +1或2n -1（n <15）是5的倍数.（5分）要使nn m 5152=-最小，则n 应最大. 由2n +1或2n -1（n <15）是5的倍数，知n 最大取13，对应的m=5，此时65152=-n m .（8分）（2）当125>-n m 时，因为n <15，m ，n 是正整数，所以nnm n m 52552-=-≥6513511452>=⨯. 综上可知，52-n m 的最小值是651，此时对应的m =5，n =13，故135是最接近52，但分母小于15的最简分数. （10分）22.（1）依题意，函数y =3-x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当y =0时，x =1；当x =0时，y =3，所以点A 的坐标是（1，0），点B 的坐标是（0，3）于是 AB =22OB OA +=2. 在Rt △ABC 中，∠ABC =30º，AB =2.设AC =x ，则BC =2x ，由勾股定理，得222)2(2x x =+，得342=x ，332=x .所以 AC =332， S △ABC =21AB ·AC =332. （5分）（2）点P 在第二象限内，且P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,m ，则m<0，S 四边形AOPB = S △AOB +S △BOP =21×1×3+21×3×（-m ）=()m -123. 又S △APB = S 四边形AOPB - S △AOP =()23121123⨯⨯--m =()m 2143-，由△APB 与△ABC 的面积相等，得()3322143=-m ，解得 65-=m . （10分）（3）这样的点存在，一共有6个，分别是：以AB 为底边的等腰三角形有两个，这时，Q 点的坐标是（-1，0）或（0，33）；以AB 为一条腰的等腰三角形有四个，这时，Q 点的坐标是（0，23+），（0，23-），（0，3-），（3，0）. （15分）23.点A 和点B 之间的距离是5，所以它们之间的连线是直角三角形的斜边，设点C 的坐标是（a ，b ），则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.163942222b a b a ， ① 或者()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.931642222b a b a ，② （5分）对于①，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+.169691682222b b a a b a ，两式相减，得 01468=--b a ，因此 )74(31-=a b ，将它代入①的第二个式子，得0)2825)(4(91=--a a ，解得 4=a ，或2528=a ，对应的b 的值是3或2521-，所以点C 的坐标是（4，3）或⎪⎭⎫ ⎝⎛-25212528，. 对应的k 的值是12或625588-. （10分）对于②，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+.996161682222b b a a b a ，两式相减，得 068=-b a ，因此 a b 34=，将它代入②的第一个式子，得0)7225(91=-a a ，解得 =a 0，或2572=a ，对应的b 的值是0或2596.因为原点不可能在反比例函数的图象上，所以点C 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛25962572，，对应的k 的值是6256912. 综上所述，k 的值是12或625588-或6256912. （15分）。

第20届希望杯初二第1试试题及答案

初二年级第1试一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．在一次视力检查中，初二（1）班的50人中只有8人的视力达标，用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A ．64.8︒B ．57.6︒C ．48︒D ．16︒2．如图1，点B 在反比例函数k y x=的图像上，从点B 分别作x 轴、y轴的垂线，垂足分别是A ，C ．若ABC △的面积是4，则反比例函数的解析式是（） A ．8y x =-B ．8y x =C ．4yx=-D ．4yx=3．如果22a ab b ++=，且b 是有理数，那么（）A ．a 是整数B ．a 是有理数C ．a 是无理数D ．a 可能是有理数，也可能是无理数4．复印纸的型号有01234A A A A A ，，，，等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如3A ）的复印纸在长的方向对折后就得到两张下一个型号（得到4A ）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A ．1.414:1B ．2:1C ．1:0.618D ．1.732:15．The number of integer solutions for the system of inequalities 2321x a x -⎧⎨->-⎩，≥0about x is图1yxO CBAjust 6，then the range of value for real number ais （）A ． 2.52a -<-≤B ． 2.52a --≤≤C ．54a -<-≤D ．54a --≤≤（英汉词典：integer solution 整数解，system of inequalities 不等式组，the range of value取值范围）6．若分式232x x --的值是负数，则x 的取值范围是（） A ．223x <<B ．23x >或2x <- C ．22x -<<且23x ≠D ．223x <<或2x <-7．在100到1000的整数中（含100和1000），既不是完全平方数，也不是完全立方数的数有（）A ．890个B ．884个C ．874个D ．864个8．如图2，在正方形ABC D中，E 是D C 的中点，点F 在BC 上，E AF D A E ∠=∠，则下列结论中正确的（）A ．EAF FAB∠=∠B ．13FC BC=C ．AF AE FC =+D ．AFBC FC=+9．计算：()()233211471147++-，结果等于（） A ．58B ．387C ．247D ．32710．已知在代数式2a bx cx ++中，a b c ，，都是整数，当3x =时，该式的值是2008；当7x =时，该式的值是2009，这样的代数式有（） A ．0个B ．1个C ．10个D ．无穷多个二、A 组填空题11．某地区有20000户居民，从中随机抽取200户，调查是否已安装电话，结果如右表所示，则该地区已安装电话的户数大约是________________．图2F E DCBA12．若2145212x x +-=-，则2645x x -+的值等于______________．13．不等式12x x->的最大整数解是_______________．14．已知m 是整数，以4521m m +-，，20m -这三个数作为同一个三角形三边的长，则这样的三角形有__________________个． 15．当x 依次取1，2，3，…，2009，11112342009 ，，，，时，代数式221xx+的值的和等于___________． 16．由一次函数22y x y x =+=-+，和x 轴围成的三角形与圆心在点(11)，、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于_____________． 17．在R t ABC △中，90C ∠=︒，斜边AB上的高为h ，则两条直角边的和a b+与斜边及其高的和c h+的大小关系是a b +___________c h +.（填“）”、“〈”或“=”）18．Figure 3 is composed of squareABC Dand triangleBEC，where BEC ∠ is a right angle，Suppose the lengthof C Eis a ，and the length of BEis b ，then the distance between point Aand lineC Eequals to _______________．（英汉词典：be composed of 由……组成，right angle 直角，length 长度，distance 距离） 19．如图4，在ABC △中，A BB C>，BD 平分ABC ∠，若BD 将ABC△的周长分为4：3的两部分，则ABD △和D B C △的面积之比等于_____________．20．将n 个棋子放入10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不相同．若将()1n +个棋子放入11个盒子内，却找不到一种放法，能够使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不相同．则整数n 的最大值等于_____________，最小值等于_______________. 三、B 组填空题EDCBAFigure 3图4D CBA21．如果自然数a 和()b a b >的和、差、积、商相加得27，那么a =______________，b=____________．（拟题：李国威上海市青浦区教师进修学院 201700）22．若a b c b cc aa b==+++，则223a b c a b c +++-=_____________或______________．23．若以x 为未知数的方程212(1)1232aa x xx x +-=---+无解，则a =__________或___________或________________．24．对于正整数k ，记直线111k yx k k =-+++与坐标轴所围成的直角三角形的面积为k S ，则kS =___________，1234S S S S +++=___________________．25．将1111234100，，，，这99个分数化成小数，则其中的有限小数有____________个，纯循环小数有________________个（纯循环小数，是从小数点后第一位开始循环的小数）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BACAADCDBA提示1．周角为360︒，对应全体学生，则表示视力达标的扇形的圆心角为836057.650⨯︒=︒，选B ．2．点()B x y ，在第四象限，所以00x y ><，，且满足k y x=，即xy k =<，ABC△的面积12ABCS xy =，△由已知得1482xy xy ==，，则8k xy ==-，所以批比例函数的解析式是8y x =-，选A ．3．由题目条件得()()()()()22221312221212121bb b b b a b b b b ---+-===-++-=()2221232121b b b b +---，因为b 是有理数，则2321bb -和22121b b +-也都是有理数，而2是无理数，所以a 是无理数．选C ．4．设3A 型号的复印纸长为x ，宽为y ，对折后得到4A 型号的复印纸长为y ，宽为2x，由题意得2x y x y=，即222x y=，所以 :2:1 1.414:1x y =≈，选A5．译文：关于x 的不等式组20321x a x -⎧⎨->-⎩，≥的整数解恰好有6个，那么实数a 的取值范围是（）A ． 2.52a -<-≤B ． 2.52a --≤≤C ．54a -<-≤D ．32a -<-≤解解20x a -，≥得2x a ≥；解321x ->-，得2x <，所以不等式组的解是22a x <≤，由题意知不等式组恰好有6个整数解，所以这6个整数解应为 -4，-3，-2，-1，0，1，所以 524a -<-≤，解得 2.52a -<-≤，选A ．6．由题意，分式232x x --的值为负，则2x -和32x -异号．当320x ->，即23x >时，应当有202x x -<<，，解得22x -<<，又23x >，所以 223x <<；当320x -<，即23x <时，应当有202x x ->>，，解得2x >或2x <-，又23x <，所以2x <-．综上可知，x 的取值是范围是223x <<或2x <-，选D ．7．解法1 用()A n 表示不大于n 的非零自然数中既不是完全平方数也不是完全立方数的数的个数．由于36999104100010310004<<<=<<，，，所以 (99)99(942)88A =-+-=．由于3631100032100010310004<<=<<，，，所以 (1000)1000(31103)962A =-+-=故有(1000)(99)96288874A A -=-=．即在100到1000的整数中（含100和1000），既不是完全平方数也不是完全立方数的数有874个，选C ．解法2 因为2221001031100032=<<，，所以在100到1000之间的完全平方数有222210111231 ，，，，，共22个，又因为33341005100010<<=，，所以在100到1000之间的完全立方数有333356910 ，，，，共6个，其中3629327==即是完全平方米，也是完全立方数．所以，在100到1000的整数中（含100和1000），既不是完全平方数也不是完全立方数的数有901-22-6+1=874（个），选C ．8．如图5所示，从点E 作EG AF⊥，垂足为G ．在R t D AE △和R t G AE△中，AE AE DAE EAG=∠=∠，，所以 D AE G AE≅△△，所以AG AD BC EG ED EC====，，AEDAEG∠=∠．GABCDE F图5又在R t EFG △和R t EFC △中，EF EF EG EC ==，，所以 EFG EFC≅△△，FC GF FEG FEC =∠=∠，，所以 AF AG G F BC FC=+=+，D 选项正确．又AEAD BC>=，可知AFAE FC<+，C 选项错误．由AED AEG FEGFEC∠=∠∠=∠，，且这四个角之和等于180︒，所以 90AEF ∠=︒．令1AB =，在R t AFE △中，22254AE AD DE =+=，所以 225(1)4G F EF-=+， ①在R t EFC △中，222214EFEC FC FC=+=+ ②①+②，并由G FFC=得14FC =，故14FC BC =，B 选项错误．据此可知FAB DAE FAB EAF ∠≠∠∠≠∠，，A 选项错误．故选D ． 9．原式=()()3322227227272272+⨯++-⨯+=()()3322227272⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()()337272++-=()()()()3232223737237273723722+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯-=277674387⨯+⨯=，选B ．10．当3x=时，392008a b c ++=， ①当7x =时，7492009a b c ++=． ② ②-①，得4401b c +=．当b c ，都是整数时，上式左边总为偶数，不可能等于1．所以不存在这样的代数式，选A ．二、A 组填空题题号 11 12 1314 1516 17 1819 20 答案 950073x =-2120082π42+<a b+4：364：55提示11．抽取的200户居民中，已经安装电话的有60+35=95（户），则该地区的20000户居民中，已经安装电话的大约有95200009500200⨯=（户） 12．因为2145212x x +-=-，所以 2211470x x --=，即23210x x --=，所以 ()22645232177x x x x -+=--+=． 13．由12x x->得21x x ->，即()121x ->，因为 120-<，所以()121 2.41412x <=-+≈--，所以原不等式的最大整数解是3x =-． 14．由450210200m m m +>->->，，，解得1202m <<，因为m 是整数，所以 119m ≤≤，又由“三角形两边之和大于第三边”得452120452021212045m m m m m m m m m ++->-⎧⎪++->-⎨⎪-+->+⎩，，，解得2272624.3m m m ⎧>⎪⎪>-⎨⎪⎪<⎩，，得222473m <<，因为m 是整数，所以只能取34，．当3m =时，三角形三边的长分别是17517，，；当4m=时，三角形三边的长分别是21716，，．故满足题意的三角形共有2个． 15．当a 为实数时，把x a =与1x a=分别代入代数式221xx+中，得到的两个值的和是222222211111111aaa aaaa+=+=++++，所以，若将11112320092342009x = ，，，，，，，，代入代数式221xx+中求值，得到的所有值的和是2008，又当1x =时，22112xx=+所以，得到的所有代数式的值的和等于120082．16．由一次函数22y x y x =+=-+，和x 轴可以确定三条直线，每两条直线相交于一点，共得三个点（0，2）（-2，0），（2，0），它们构成了一个三角形，这个三角形的面积为4．由于点（1，1）在直线2y x =-+上，所以圆的一半与三角图6yx（2，0）（1，1）（0，2）（0，0）（-2，0）形重叠，如图6所示．所以，所求图形的面积为21π4π1422+⨯⨯=+．17．因为ABC △是直角三角形，所以222a b c+=，又1122ABC S ab ch==△，所以 ab ch=则()()2222222222a b a ab b c ch c ch h c h +=++=+<++=+，所以 a b c h+<+18．译文：图3由正方形ABC D 和三角形BEC 构成，其中BEC ∠是直角，记C E 的长为a ，BE 的长为b ，则点A 到直线C E 的距离等于___________________．解如图7所示，从点A 作AF CE ⊥，交线段C E 于点F ，交线段BC 于点H ；从点B 作BGAF⊥交AF 于G ，则四边形B E F G 是矩形，G FBE b==．因为 90BAG BH A ∠=︒-∠，90BC E C H F∠=︒-∠，又BH A C H F∠=∠，所以 BAG BC E∠=∠．在R t ABG △与R t C BE △中，90BAG BCE AB CB AGB BEC ∠=∠=∠=∠=︒，，所以 ABG CBE AG CE a ≅==，△△，所以 AF AG G F a b===+19．如图8所示，作DE AB⊥于E ，D FBC⊥于F ．因为BD是ABC ∠的平分线，GHF图7ABCDEF EBDE AB DF BC⊥⊥，，所以 DE DF=，则11:::22ABD D BC S S A B D EB C D E A B B C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△又 ::ABD DBC S S AD CD=△△，所以:():()4:3ABD DBC S S AB AD BC CD =++=△△．20．由题意，将n 个棋子放入10个盒子中，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不相同，按最少的放法，盒子内依次放入1，2，3，…，10个棋子，即至少需要1+2+3+…+10=55（个）棋子，所以55n ≥．同理，将1n +个棋子放入11个盒子内，找不到一种放法，使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的柜子数都不相同，则11231166n +<++++= ，即65n <．综上，得5565n ≤≤，取5564n ≤≤．三、B 组填空题题号 21 22 232425答案 6；2-5；14-2；32-；1-12(1)k k +；2514；39提示21．将两数a 和b 的和、差、积、商相加得27，因为27是整数，所以a 必是b 的整数倍，设a kb=（k 是整数），则有227kb b kb b kb k ++-++=，化简得2227kb kb k ++=，222(1)33271k b +=⨯=⨯，则 326k b a ===，，，或2700k b a ===，，（不符合题意，舍去）．所以 326k b a ===，，.22.令 a b ckb cc aa b===+++．当0a b c ++≠时，()122a b ck a b c ++==++，所以()12c a b =+，()()()()1222251332a b a b a b c a b ca b a b +++++==-+-+-⋅+．当0a b c ++=时，()c a b =-+，所以()()()()2221334a b a b a b c a b ca b a b +-+++==+-+++．23．当10x -≠且20x -≠时，将原方程去分母得()()()2121x a x a -+-=+，整理得 ()134a x a +=+，当1a≠-时，原方程的解为341a x a +=+．由于原方程无解，那么可能的情况是1a =-或求得的根是增根．当增根是1x =时，即 3411a a +=+，解得32a =-；当增根是2x =时，即 3421a a +=+，解得2a=-，所以a 的值为32-或-2或-1．24．直线111k yx k k =-+++与横轴的交点坐标为10k ⎛⎫⎪⎝⎭，，与纵轴的交点坐标为101k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以该直线与坐标轴所围成的直角三角形的面积是()121k S k k =+，所以该直线与坐标轴所围成的直角三角形的面积是()()112321kS k n k k ==+ ，，，，．123411111212233445S S S S ⎛⎫+++=+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭=11111111122233445⎛⎫-+-+-+- ⎪⎝⎭=25．25．⑴若p 为正整数，且1p是有限小数，则p 可以写成25mn⋅（m n ，是自然数）的形式．其中若0n =，则22100m ≤≤，得123456m =，，，，，．即248163264p =，，，，，共6个；若1n =，则1220m ≤≤，得01234m =，，，，，即510204080p =，，，，共5个；若2n =，则124m ≤≤，得012m =，，，即25p =，50，100共3个；若3n ≥，则不存在合理的m 的值．所以可以化为有限小数的分数共有6+5+3=14（个）．（2）若p 为正整数，且1p是纯循环小数，则p 的质因数一定没有2或5．在2到100的整数中，质因数含有2的数有50个，质因数含有5的数有20个，质因数同时含有2和5的数有10个，所以从2到100这99个整数中，质因数中不含有2且不含有5的整数有99-50-20+10=39（个）。

第一届希望杯数学邀请赛初二第二试试题及解答

第一届希望杯数学邀请赛初二第二试试题及解答
周春荔
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1991(000)004
【总页数】2页(P38-39)
【作者】周春荔
【作者单位】北京师范学院
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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.
D
C
18. 如图 6 边长为 2 3 的正方形 ABCD 内有一点 P，且PAB=30，PA=2，在正方形 ABCD 的边上有一点 Q，且△PAQ 为等腰三角形，则符合条件
A
的点 Q 有个.
2 P 30
图6
B
19. 已知 a，b，c 为实数，并且对于任意实数 x，恒有 | xa || 2xb |=| 3xc |，则 a：b：c= .
b 的取值 a
1 (x1)，那么 f ( f ( f ( f ( 2011) ))) = 1 x
2011個f
.
y 2 1
y ax
y 2 xb 3
15. 函数 y=ax 与函数 y=
2 xb 的图像如图 5 所示，则关于 x，y 的 3
. ；b= .
x 2 O 1
ax y 0 方程组的解是 3 y 2 x 3b
图5
16. 若 a，b 是自然数，且 a>b，2011=a(a1)b.那么 a=
17. 一个骰子，六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5，6.两次掷这个骰子，朝上一面的数依
mx ny 1 次记为 m，n.则关于 x，y 的方程组，有解的概率为 2 x y 3
BE：CE=3：1，则 DF：FC 等于 (A) 4：1 (B) 3：1 (C) 2：1 (D) 1：1
图3
10. 如图 4，a，b，c，d，e 分别代表 1，2，3，4，5 中的一个数.
b
若 bac 及 dae 除以 3 都余 1，则不同的填数方法有 (A) 2 种 (B) 4 种 (C) 8 种 (D) 16 种 .
(2) 如果一列数 a1，a2，…，am 一定是“3 阶可重复的”，求 m 的最小值. (3) 假设一列数不是“5 阶可重复的”且第 4 个数是 1，但若在这列数最后一个数再添加一个 0 或 1，均可使新的一列数是“5 阶可重复的”，那么原来的数列中的最后一个数是什么？说明理由.
第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛
4. 如果直线 y=2xm 与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于 4，则 m 的值是 (A) 3 (B) 3 (C) 4 (D) 4
5. 若 n1=2010220112，则 2n 1 = (A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 4021 6. 有四个命题: 若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，则这两个等腰三角形全等有一条边相等的两个等腰直角三角形全等有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等其中，正确的命题有 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个
A D C E B
图1
7. 如图 1，Rt△ABC 两直角边上的中线分别为 AE 和 BD，则 AE2BD2 与 AB2 的比值为 (A)
3 4
(B) 1
(C)
5 4
(D)
3 2
A F B
P E
D
8. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD=12, AB=5， P is any point on AD and PEBD at point E, PFAC at point F.
d
a c
e
二、填空题 (每小题 4 分，共 40 分)
11. 右表为甲、乙两人比赛投篮球的记录，以命中率(投进球数与投球次数的比值) 来比较投球成绩的好坏，若他们的成绩一样好.现有以下关系式： ab=5； ab=18；其中正确的是 a：b=2：1； a：18=2：3；
图4 学生甲乙投进球数 10 a 没投进球数 5 b 投球次数 15 18
figure 2
C
Then PEPF has a total length of (A)
48 13
(B)

60 13
(C) 5
(D)
70 13
9. 如图 3，正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴的正半轴上，C(2,1)，D(1,1). 反比例函数 y=
y D O A F E B C x
k 的图像与边 BC 交于点 E，与边 CD 交于点 F.已知 x
29 . The size relationship between B and C is 10
(D) uncertain
2. 已知 a2a=7，则代数式 (A) 3 (B)
1 a 1 a2 4 ． 2 2 的值是 a 2 a 2a 1 a 1
(D) 5
7 2
(C) 4
3. 一个凸四边形的四个内角可以 (A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直角，另一个是锐角或钝角 .
初二
第 2 试简答
(只填序号).
2 x y 4 x m k 12. 已知方程组的解为，又知点 A(m,n)在反比例函数 y= 的图像上，则 k 的值 x x y 5 y n
是 .
13. 等腰三角形的两个内角的度数之比为 a：b (a<b)，若这个三角形是钝角三角形，则范围是 14. 定义 f (x)= .
答案·解析
第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛
2011 年 4 月 10 日
初二
第2试
上午 9：00 至 11：00
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分.)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.
1. Given A：B= 3 2 ： 3 ，A= 2 ，C= (A) B>C (B) B=C (C) B<C
3 3 k 的图像交于点 Q，当四边形 APQO’的面积为 9 时，求的值. 2 x
23. (本题满分 15 分) 给定 m (m3)个数字组成的一列数 a1，a2，…，am，其中每一个数 ai (i=1，2，…，m)只能是 1 或 0.在这一列数中，如果存在连续的 k 个数和另一组连续的 k 个数恰好按次序对应相等，则称这一列数是“k 阶可重复的”. 例如由 7 个数组成一列数：0，1，1，0，1，1，0，因为 a1，a2，a3，a4 与 a4，a5，a6，a7 按次序对应相等，所以称这列数为“4 阶可重复的”. (1) 分别判断下面的两列数是否是“5 阶可重复的”？如果是，请写出重复的这 5 个数； 0，0，0，1，1，0，0，1，1，0； 1，1，1，1，1，0，1，1，1，1.
20. 一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶 5000 千米后报废；若安装在后轮，则行驶 3000 千米后报废.现有一辆新自行车，在行驶一定路程后，交换前后两轮的轮胎，再继续行驶，使得两个轮胎同时报废，那么该车最多行驶千米.
三、解答题每题都要写出推算过程.
21. (本题满分 10 分) 平面直角坐标系中，正方形 ABCD 四个顶点的坐标分别为(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1).设正方形 ABCD 在 y=| xa |a 的图像以上部份的面积为 S，试求 S 关于 a 的函数关系式，并写出 S 的最大值.
22. (本题满分 15 分) 若直线 l：y=x3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B.坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O’在反比例函数 y= 上. (1) 求反比例函数 y=
k 的图像 x
k 的解析式； x
(2) 将直线 l 绕点 A 逆时针旋转角 (0< <45)，得到直线 l’，l’交 y 轴于点 P，过点 P 作 x 轴的并行线，与上述反比例函数 y=