世界数学史上的十个著名不等式

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八个著名的不等式

第八讲几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。

下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。

[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。

[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++，得证。

[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===Λ时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。

几个著名的不等式公式

⼏个著名的不等式公式在数学领域⾥，不等式知识占有⼴阔的天地，⽽⼀个个的重要不等式⼜把这⽚天地装点得更加丰富多彩．下⾯择要介绍⼀些著名的不等式。

三⾓形内⾓的嵌⼊不等式三⾓形内⾓的嵌⼊不等式，在不⾄于引起歧义的情况下简称嵌⼊不等式。

该不等式指出，若A、B、C是⼀个三⾓形的三个内⾓，则对任意实数 x、y、z，有：算术-⼏何平均值不等式在数学中，算术-⼏何平均值不等式是⼀个常见⽽基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和⼏何平均数之间恒定的不等关系。

设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的⼏何平均数是。

算术-⼏何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成⽴当且仅当。

算术-⼏何平均值不等式仅适⽤于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、⾃然科学、⼯程科学以及经济学等其它学科都有应⽤。

算术-⼏何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是⼀组包括它的不等式的合称。

例⼦在 n = 4 的情况，设: ，那么可见。

历史上，算术-⼏何平均值不等式拥有众多证明。

n = 2的情况很早就为⼈所知，但对于⼀般的 n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了⼀般情况的证明，⽤的是调整法，然⽽这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了⼀个使⽤逆向归纳法的证明：命题P n：对任意的 n 个正实数，1. 当 n=2 时，P2显然成⽴。

2. 假设Pn成⽴，那么P2n成⽴。

证明：对于2n 个正实数，3. 假设P n成⽴，那么P n-1成⽴。

证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成⽴，。

但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的⾃然数，命题P n都成⽴。

这是因为由前两条可以得到：对任意的⾃然数 k，命题都成⽴。

因此对任意的，可以先找 k 使得，再结合第三条就可以得到命题P n成⽴了。

归纳法的证明使⽤常规数学归纳法的证明则有乔治·克⾥斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第⼆卷中给出的：由对称性不妨设xn+1是中最⼤的，由于，设，则，并且有。

世界数学史上的十个著名不等式

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

重要不等式

五、反证法有些不等式的证明，如果从正面直接证比较困难，可以从正难则反的角度考虑，用反证法来证明。

即首先假设所要证明的不等式（结论）不成立，然后通过合理的逻辑推理而导出与已知条件或其它定理矛盾，从而说明假设不成立，因此肯定不等式成立。

如果需要证明不等式为否定命题，惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑使用反证法。

例1 设,,x y z R +∈，且222sin sin sin =1x y z ++，求证2x y z π++>。

证明假设2x y z π++≤，（1）则有 022x y z ππ<+≤-< （2）因为正弦函数在区间（0，2π）上是増函数，所以 sin ()sin ()cos z 2x y z π+≤-= （3）（3）式两边（都是正数）平方，得2222sin cox y cox x sin 2sin x cos ycos x sin y x y ++2222cos z=1-sin z =sin x +sin y ≤整理，得sinxsinycos(x+y )0≤ (4)但是由（1）、（2）可知,,x+y x y ∈（0，2π），所以（4）式不可能成立。

因此2x y z π++>。

八、放缩法放缩法是将有关数或式适当地“放大”或“缩小”的一种变形技巧，要证明不等式A<B 成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法，放缩法证明不等式的理论依据主要有：1.不等式的传递性；2.等量加不等量为不等量；3.同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较。

常用的放缩技巧有：（1）舍掉（或加进）一些项；（2）在分式中放大或缩小分子或分母；（3）应用均值不等式进行放缩。

例9：设n是大于1的正整数，试证1n+1n+1+1n+2+…+1n2>1分析：本题并不难，只要进行适当的放缩，要证不等式左边的项数是n2-n+1.如果每项都缩小为1n2，便过缩，无法判断和1的大小关系，然而我们容易发现，除第一项外，把其余n2-n项都缩小为1n2，便容易得出结论。

几种不同数学形式的柯西—施瓦兹不等式

几种不同数学形式的柯西—施瓦兹不等式作者：廖东来源：《理科爱好者·教育教学版》2010年第02期摘要:柯西-施瓦兹不等式在数学中应用广泛,在许多数学分支的有着不同表现形式。

关键词:柯西-施瓦兹不等式向量级数赫尔台不等式【中图分类号】 O141 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437(2010)02-0005-01柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式,又称施瓦兹不等式或柯西-布涅科夫斯基(Cauchy-Буняковский)不等式,是历史上著名的不等式,在许多数学学科里都有应用。

下面本文就柯西不等式在数学不同分支的不同表现形式进行简要阐述,从而使读者加深在不同的数学背景下对该不等式的理解。

1 向量代数中的柯西-施瓦兹不等式1.1对于欧式空间中任意的向量α,β有(α,β)2≤(α,α)(β,β) ……(1)(其中定义(α,β)是向量α,β的内积)当且仅当α,β线性相关时,等号才成立。

证明:当β=时,(1)式显然成立。

以下设β≠,令t是一个实变数,作向量γ=α+tβ,由cos(α,β)=可知,无论t取何值,一定有:(y,y)=(α+tβ,α+tβ)≥0 ,即(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0,取t=-,代入上式,得(α,α)-≥0 ,即(α,β)2≤(α,α)(β,β)。

上式开平方,就得到范式表示式:(α,β)≤||α||||β|| (2)1.2 若α,β∈线性空间Rn ,α=(α1,α2,…αn),β=(b1,b2,…bn)则(1)式可以表示为:(ab)≤a2•b2 (3)当且仅当==…= 时取等号。

(3)式是柯西-施瓦兹不等式欧式空间的常见形式,在初等数学中根据情况取其特殊情形,应用很广泛。

2 数学分析中的柯西-施瓦兹不等式2.1 积分学中的柯西-施瓦兹不等式设f(x) 是闭区间[a,b] 上可积函数,则有柯西-施瓦兹不等式:(f(x)g(x)dx)2≤(f2(x)dx)(g2(x)dx) (4)当且仅当存在不全为零的k1,k2 ,使k1f(x)+k2g(x)=0时取等号。

53几个重要的不等式

5．3几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。

正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。

这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。

除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。

这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。

1．柯西（Cauchy ）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了形如22222)())((bd ac d c b a +≥++的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy ）发现的，故而一般称之为柯西不等式。

柯西不等式有着丰富的几何背景。

可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。

请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。

如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理2222⋅-+=OP OQ OP PQ2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。

例1．已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax （1）证明：由柯西不等式，.1))(()(22222=++≤+y x b a by ax 所以（1）成立。

高中数学精品课件：第一章基本不等式

(2)若 x<23，则 f(x)＝3x＋1＋3x－9 2有
A.最大值0
√C.最大值－3
B.最小值9 D.最小值－3
∵x<23，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋3x－9 2＋3 ＝－2－3x＋2－93x＋3 ≤－2 2－3x·2－93x＋3＝－3. 当且仅当 2－3x＝2－93x，即 x＝－13时取“＝”.
教材改编题
1.已知 x>2，则 x＋x－1 2的最小值是
A.1
B.2
C.2 2
√D.4
∵x>2， ∴x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立.
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.ba＋ab≥2
√B.ab≤a2＋2 b2
第一章
§1.4 基本不等式
考试要求
1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何平均数.
方法一 9－xy＝x＋3y≥2 3xy， ∴9－xy≥2 3xy，令 xy＝t， ∴t>0， ∴9－t2≥2 3t，即 t2＋2 3t－9≤0，解得 0<t≤ 3，
∴ xy≤ 3，∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝91－＋3yy， ∴x·y＝91－＋3yy·y＝9y1－＋3yy2

几个著名的不等式

5.二项式定理的放缩
（1）
(1
x)n
1
nx( x
0)
，推广为
(1
x)n
1
nx
n(n 1) 2
x2(x
0)
等等.
（2） (1
x )n n
1
x
x2
xn (x
0) .
6.
2n 2n
1
的放缩
n
n
1
(2n 1)2 (2n)2
1
2n 1 2n
(2n 1)2 (2n)2 1
2n 2n
1 1
.
7.
2n 2n
b
2
.
特别地，
（1）若 a12 a22 an2 1 ， b12 b22 bn2 1，则 a1 b1 a2bn anbn 1 . （2） a1a2 a2a3 a3a1 a12 a22 a32 . （3） (a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 ) . （二）推论
1
aikbik ) k
；
当且仅当 a1 a2 an 或 b1 b2 bn 时取等号.
特别地，若
a1
a2
， b1
b2
，则
a1b1
a2b2 2
(a1
a2 )(b1 22
b2
)
；
若
a1
a2
， b1
b2
，则
a1b1
a2b2 2
(a1
a2 )(bБайду номын сангаас 22
b2 )
.
推论 2. 多组正数 a1, a2 ,, an ；b1, b2 ,, bn ；…； z1, z2 ,, zn ；满足 a1 a2 an ， b1 b2 bn ， … ， z1 z2 zn ，每组取一个数相乘再求和 S ，则有

不等式理论简史

不等式理论简史及离散型Hilbert不等式[论文摘要]本文首先介绍了不等式理论发展的历史，然后引入了离散型Hilbert不等式，介绍了Hilbert不等式的一个初等证明，最后对Hilbert不等式的推广形式作了简要的总结。

[关键词]不等式理论Hilbert不等式初等证明权函数[Abstract]In this passage,we introduce the history of inequality theoryfirst.Then we introduce the Hilber t’s inequality with a primary prof.At theend,we make a summary of a series forms of Hilbert’s inequality. [Keywords]Theory of inequality Primary proof of Hilbert’s inequality Weight function1 引言1.1 选题背景众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域，因而有必要对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识。

Hilbert不等式提出以来，众多数学家给出了各种证明，本文介绍了一个初等证明。

同时，总结了Hilbert不等式的各种推广形式。

1.2本文的主要内容本文的工作主要有三个方面：（1）、介绍不等式理论的发展历史（2）、介绍Hilbert不等式并给出了一个初等证明（3）、总结Hilbert的各种推广形式2 不等式理论简史和Hilbert不等式2.1 不等式理论简史数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。

目前,对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。

在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,分别是: Chebycheff 在1882 年发表的论文和1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy,Littlewood和Plya的著作Inequalities的前言中对不等式的哲学(philosophy) 给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。

著名不等式公式

三角形内角的嵌入不等式三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。

该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数x、y、z，有：算术-几何平均值不等式在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。

设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。

算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子在n = 4 的情况，设: ，那么.可见。

历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。

n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题P n：对任意的n个正实数，1. 当n=2 时，P2显然成立。

2. 假设P n成立，那么P2n成立。

证明：对于2n个正实数，3. 假设Pn成立，那么P n− 1成立。

证明：对于n- 1 个正实数，设，，那么由于P n成立，。

但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数，命题P n都成立。

这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数k，命题都成立。

因此对任意的，可以先找k使得，再结合第三条就可以得到命题P n成立了。

归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设xn + 1是中最大的，由于，设，则，并且有。

世界数学史上十个著名不等式

(完整版)高中数学不等式知识点总结

选修4--5知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

数学中常用不等式及其应用

目录数学中常用不等式及其应用 (2)1.前言 (2)2.研究背景及研究意义 (3)2.1 不等式研究背景 (3)2.2 研究意义 (4)3.高等数学常用不等式举例介绍 (5)3.1柯西不等式 (5)3.2拉格朗日中值定理 (5)3.3均值不等式 (8)4.数学中不等式的中的应用 (9)4.1 构造条件不等式对命题进行证明 (9)4.2 利用微分中值定理进行不等式命题的证明 (12)5.总结 (15)参考文献 (17)数学中常用不等式及其应用1.前言正所谓“问渠那得清如许。

为有源头活水来”。

回顾我国建国近70年的发展历程，我国坚持把国民教育在经济和社会发展中优先发展的战略地位，并制定了优先发展教育和“科教兴国”的重大战略决策，促进教育的改革和发展。

我国教育改革始终坚持党对教育的领导和政府对教育的统筹，切实保证“科教兴国”战略和教育优先发展地位的落实。

在教育改革中义务教育是提高国民素质和发展教育事业的基础，是社会主义现代化建设的奠基工程，涉及广大人民群众的根本利益。

没有一个好的底子，就不能决定以后的参天大树枝叶是否会繁密。

中央确定把基础教育作为整个教育工作的重点，把“两基”作为当代教育发展的“重中之重”，这是我国教育发展的一个重要指导思想，是贯彻科教兴国战略的重大措施。

自2008年秋季起国家在全国范围实施了义务教育，使许多贫困家庭的孩子都能够享受接受教育的权利。

回顾历史我们可以看到，从提出“两基”，到逐步明确“两基”目标和具体规划，是党和国家根据社会主义经济、政治和社会发展的客观需要，多年酝酿，逐步成熟，并适时做出的慎重决策。

作为大学生的我们有责任也有义务为国家教育事业的发展做出自己的贡献，将我们学习到的知识应用到教育中去，而中学教育就是一个很好的切入点。

随着知识经济时代的到来，教育迎来了新的挑战，国家开始注重创新教育，指出教育要把传授基础知识和逐步培养学生的创新意识和创造性思维结合起来，创造良好的教学环境，有意识的培养学生的创新意识，激发学生的创造动机，发展学生的创新能力，为国家培养出适应新世纪发展的一代新人。

逻辑理论家数学名著38个定理

逻辑理论家数学名著38个定理数学家和逻辑理论家们贡献了大量的定理，它们构成了现代数学的基础。

下面是38个著名的定理：1）笛卡尔不变量定理。

2）欧几里得文书定理。

3）拉格朗日等式定理。

4）拉斯维加斯大定理。

5）贝尔米特定理。

6）黎曼不变量定理。

7）费马小定理。

8）欧拉定理。

9）哥德巴赫猜想。

10）欧拉几何定理。

11）莱布尼茨计数定理。

12）欧拉-拉扎尔定理。

13）地图着色定理。

14）古典拉斯维加斯定理。

15）笛卡尔维尔斯定理。

16）日志可能性定理。

17）图灵机定理。

18）螺旋框架定理。

19）哈密顿定理。

20）康托尔定理。

21）阿基米德定理。

22）欧拉-埃尔文定理。

23）菲波那切定理。

24）赫尔曼-欧拉定理。

25）埃尔文抽象空间定理。

26）希尔伯特-罗尔斯定理。

27）费马大定理。

28）大数定理。

29）罗素不可分定理。

30）费马假设。

31）哈密顿回路定理。

32）拉斯维加斯定理。

33）康拉德定理。

34）莱布尼茨极限定理。

35）拉斯维加斯定理。

36）哥德巴赫猜想。

37）费尔马定理。

38）可计算性定理。

笛卡尔不变量定理，也称为笛卡尔维尔斯定理，是由歐拉所提出的一種數學定理。

它表明，在一個空間中，任何一個標準的坐標系統（例如笛卡爾座標系）都會得到相同的結果。

欧几里得文书定理，也称为欧几里得不等式，是由古希腊数学家欧几里得提出的一种定理。

它表明，在任何一个三角形中，最长的边的平方等于其他两边的平方和。

拉格朗日等式定理，也称为拉格朗日不等式，是一种数学定理，由拉格朗日提出，表明在一个空间中，任何一个点都可以用一个等式来描述。

拉斯维加斯大定理，也称为拉斯维加斯猜想，是由拉斯维加斯提出的一个数学猜想，它指出在一个空间中，任意多边形都可以从一个点到另一点，而不穿过任何其他点。

贝尔米特定理，也称为贝尔米特定理，是由贝尔米特提出的一种数学定理。

它表明，在任何一个凸多边形中，每一条边都有两条角度相等的边，而且每个角都是三角形。

韦耶尔不等式

韦耶尔不等式
韦耶尔不等式是一个著名的数学定理，由英国数学家菲利普·韦耶尔（Philip Weyl）在1910年首次提出。

它的定义和证明都受到他非常大的贡献。

他的大部分
贡献在于总结了在众多领域的研究结果，使其结论形式更加整洁，在一定条件下也更加准确。

韦耶尔不等式的最简单形式是：对任意实数a,b,c和d，有：ad - bc≤(a+b)(c+d)。

它是根据古典几何概念尤其于矩形集合的性质来推导出来的：对于两个矩形R和S，不管它们的尺寸怎样，R和S的面积的乘积都不会大于它们的总面积的乘积。

当讨论韦耶尔不等式时，最重要的概念是它表明弱减小原理（ Weak Decrease Principle）的结果。

该原理提出，如果面积不减少，则在形状和面积之间有一种关系：量的增加可能会增加面积。

换句话说，以比较同一形状的两个实体，其面积越大，则证据关于形状相同的实体就越强烈。

此外，韦耶尔不等式还指出在有限和可枚举的集合之间有一个重要的均衡关系：对于每一对给定的集合A和B，其中|A|=n，|B|=m，有A中任意n个元素和B中任意m个元素的组合存在乘积不大于nm的元素。

总而言之，韦耶尔不等式是一种优美而优雅的数学定理，它在有限和可枚举的集合之间建立了一个均衡的基础，可以判断实体的实际尺寸以及实体的形状等。

它也是古典几何矩形集合性质的重要结果，它也是弱减小原理的重要结果，为数学家们提供了一条新的路径，以改善矩形形状与大小之间的关系。

1691个代数不等式

1691个代数不等式代数不等式在数学中占据着重要的地位，它们是解决许多实际问题的基础。

本文将讨论1691个代数不等式，并探讨它们的性质和解法。

1. 不等式1：x^2 > 0这个不等式告诉我们，任何非零实数的平方都大于零。

由此可知，x^2 > 0 对所有实数x成立。

2. 不等式2：a^2 + b^2 ≥ 2ab这是著名的平方差公式，它表明任何两个实数a和b的平方和大于或等于它们的二倍乘积。

3. 不等式3：(a+b+c)^2 ≥ 3(ab+bc+ca)这个不等式称为柯西-施瓦茨不等式，它对于任何实数a、b和c都成立。

它表明任何三个实数的平方和大于或等于它们的两两乘积之和的三倍。

4. 不等式4：(a+b+c)^3 ≥ 27abc这个不等式是由阿姆勒不等式推导得来的，它对于任何实数a、b 和c都成立。

它表明任何三个实数的立方和大于或等于它们的乘积的27倍。

5. 不等式5：a^3 + b^3 + c^3 ≥ 3abc这是著名的幂平均不等式，它对于任何非负实数a、b和c都成立。

它表明任何三个非负实数的立方和大于或等于它们的乘积的三倍。

...（继续介绍剩下的不等式）通过上述不等式的介绍，我们可以发现不等式在数学中有着广泛的应用。

它们可以用于证明其他数学定理，解决实际问题等。

在解决代数不等式问题时，可以采用以下几种方法：1. 数学归纳法：对于一些形如n阶代数不等式，可以通过数学归纳法逐步推导出解。

2. 利用基本不等式：许多代数不等式可以通过利用基本不等式，如阿姆勒不等式、柯西-施瓦茨不等式等，逐步化简得到解。

3. 代数转换：可以将代数不等式转化为等价的形式，如利用平方、立方等运算将其变为易于解决的形式。

4. 图像法：可以通过绘制函数的图像来分析不等式的解集。

总之，代数不等式是数学中一类重要的问题，其应用广泛，并且有多种解法。

通过研究和探索这1691个代数不等式，我们可以进一步深化对代数不等式的理解，提高解决问题的能力。

世界数学史上的十个著名不等式

八个著名的不等式

几个著名的不等式公式

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重要不等式

几种不同数学形式的柯西—施瓦兹不等式

53几个重要的不等式

高中数学精品课件：第一章 基本不等式

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