电磁场与电磁波第四章解读

设点电荷 q 位于介质1中，与介质1和介质2的分界面距离 为 d。在 q 的电场作用下，介质极化，出现极化电荷和极化面 电荷。空间任意点的电场由点电荷 q 与极化电荷共同产生。也 可以采用镜像法求解整个空间的电位分布。
第四章
静态场的边值问题
计算介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中、与源电荷镜面对称 位置处的像电荷 q’ 代替极化电荷，并认为整个空间充满介质 1，有
2 ( ) dV 0
V
故有 0， 于是 2 1 C。
对于第一类边界条件,
S
0 ,则 C = 0，所以 1 = 2，解是唯一的。
0 , 则 C 不一定为零。常数对梯度无贡献， 对于第二类边界条件, n S
这两个位函数将给出同一场矢量，解也是唯一的。
上半空间的电场由点电荷以及导体平面上的感应电荷分布共 同激发。z > 0 的上半空间除 q 所在点外，电势满足 2 = 0。 又因为导体平面接地，因此，在 z = 0 的平面上 = 0。 若假设导体平面不存在，而在 z = 0 的平面下与 q 对称地
放置一个电量为 -q 的点电荷，则上半空间内场方程保持不变， 且平面 z = 0 仍为 = 0 的等位面。因此，可以用 q 和 –q 两个 点电荷组成的电荷系统来代替原边值问题。


1 q q ( ) 4π 0 R R 1 q q ( ) 2 2 2 2 4π 0 r d 2rd cos r b 2rb cos
（4-2-2）
q’ 和 b 由球面电位为零的边界条件来确定。考虑球面上的两个 特殊点 = 0 和 = ，由式(4-2-2)，有
第四章
静态场的边值问题
所以，单位长金属圆柱与地面之间的电容为
C0
l 2π 0 2π 0 2π 0 ln d a ln d h ( h 2 a 2 )1 2 ln
a b a a
如果 h >> a，则
C0
2 π 0 2h ln a
4.2.4 介质平面镜像法
松方程和相同的边界条件，即在区域 V 内有
21
在边界面上有
1
S
, 22
1 n g (S ),
S
（4-1-1）
2 n g (S )
S
f ( S ), 2
S
f (S ) 或
（4-1-2） （4-1-3）
令
2 1，于是
q q 0, d a ab q q 0 d a ab
解之可得，像电荷的电量及其与球心的距离分别为 a a2 q q, b d d
（4-2-3,4）
满足上述第二关系式的像电荷的位置称为源电荷位置关于半 径为a 的圆的反演点。
第四章
静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
0,
2
S
0 或 0 n S
第四章
静态场的边值问题
在格林第一恒等式
V
2 ( ) dV d S S S
dS n
中令 = = ’，并利用式(4-1-3)，可知，对三类边界条件都有
求解边值问题的方法主要有解析法和数值法两大类。解析 法中最基本的是镜像法和分离变量法。
第四章
静态场的边值问题
4.1 唯一性定理
唯一性定理 在位场的三类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯 方程的解是唯一的。
证明（反证法 ）： 设在区域 V 内，有体电荷分布 (r)，在V 的边界面 S 上，电位的值 f (S) 或电位函数法向导数的值 g(S)已知。假定存在两个解 1 和 2，它们都满足泊
面都互为反演。 =1 所对应的等位面是与 l 和 l’ 均等距的平面。
第四章
静态场的边值问题
两平行线电荷电场的 等位面如右图所示。
若导体圆柱接地，即半径为 a 的圆柱面上任一点电位等于零， 有 所以
l d ln 2π 0 a R Rd l ln C l ln 2π 0 R 2π 0 Ra
第四章
静态场的边值问题
于是，上半空间中任一点处的电位：

1 q q q 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 （4-2-1） 4π 0 R R 4π 0 x y ( z h) x y ( z h)
其中，R、R’ 分别为源电荷、像电荷到场点的距离。 根据导体表面电场的边界条件 en•D = S，可得导体平面上的 感应面电荷分布：
1) 像电荷（像电流）只能位于所求解的场域之外的空间，而所得的 解只在场域内正确；
2) 像电荷（像电流）的个数、位置及其量值以使场域的边界条件得 以满足为准则来确定。
第四章
静态场的边值问题
4.2.1 导体平面镜像法
如右图，无限大接地导体平面上方与之 距离为处有一个电量为 q 的点电荷，求上半 空间的电位分布。

q 1 a ( ) 4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b 2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的 电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
a 像电荷必须有两个： q ，位于源电荷位置的反演点； q d a q q q ,位于球心。球外的电位由 q、q’ 和 q”共同激发。
1 2 4π 2
q q x y (z d )
2 2 2
( z 0)
将
a2 b d
代入，解得
l l
（4-2-7）
第四章
静态场的边值问题
将式(4-2-7)代入(4-2-6)，得柱外任一点的电位为

R （ R
l R ln C 2π 0 R
（4-2-8）
可见，当 为任一常数）时， 为常数。因此在 xy 平面内，等位线方程为
R 2 ( x b) 2 y 2 2 R2 (x d )2 y 2
R d a R a b
于是

l d a ln 2π 0 a b
因为线电荷 l 的位置关于圆柱面互为反演和关于地面对称，故有 a2 b , d b 2(h b) d 解得
d h (h2 a 2 )1 2 , b h (h2 a 2 )1 2
（4-2-6）
其中， R、R 分别为源线电荷和像线电荷到场点的距离； l 由柱面 为等位面这一边界条件来确定；C 的值与电位零点的选取有关。
在导体圆柱的圆周上取两特殊点 A 和 B，因为圆柱面为等位
面，故有
l 1 1 1 1 ln l ln C l ln l ln C 2π 0 a d 2π 0 a b 2π 0 d a 2π 0 a b
第四章
静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边
值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类： 第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
a2 将b d
代入，整理可得 2d 2 a2 2 (d 2 a 2 ) 2 2 [x 2 ] y [ 2 ] ( 1) d ( 1)d
上式为圆族方程。这表明，在密度分别为 l 的两根平行线电荷
产生的电场中，等位面是圆柱面族，且 l 和 l’ 的位置关于任一等位
S 0
qh z z 0 2π ( x 2 y 2 h 2 ) 3 2
导体表面上的总感应电荷：
d d qh qi S dS q 2 2 32 2π 0 0 ( h ) S
2π
第四章
静态场的边值问题
对于边界面为相互正交的两个无限 大接地导体平面情形，为保持两个平面 电位为零，必须设置三个像电荷，如右 图所示。
解：设金属圆柱单位长度带电为 l，电位为 ，则单位长金属圆柱与 地面之间的电容为
l C0
只要求出金属圆柱的电位，就可求得电容。 求金属圆柱的电位，可采用镜像法。 无限长带电金属圆柱对地面的像是位于地 面下方对称位置处、带有电荷 l’=l 的圆柱。
利用上面讨论结果，可将金属圆柱面和像
唯一性定理给出了定解的充分必要条件，它表明，对于静态 场的分布就唯一地确定。
场，当电荷（或电流）分布以及场域边界面上的边界条件已知时，
第四章
静态场的边值问题
4.2 镜像法
镜像法是求解静态场边值问题的一种间接解法，其理论依据是唯 一性定理。镜像法主要用于求解理想导体附近的电荷产生的电场或 铁磁质附近的电流产生的磁场。在这类问题中，场由区域内的电荷 （电流）以及界面上的电荷（电流）共同激发。镜像法的思想是， 在所求解场区域以外的空间中某些适当位置上，设置适当的像电荷 （像电流）来替代界面上的电荷（电流）的效果，这些等效电荷 （电流）与场域内的电荷（电流）共同作用结果满足场域边界面上 给定的边界条件，从而可以将界面移去，使所求解的边值问题转化 为无界空间的问题。运用镜像法必须遵循两条规则：
d
若导体球不接地且带有电量 Q，则当球外放置点电荷 q 后， 它的电位不为零，球面的净电荷为 Q 。为满足边界条件，像电 a q ，位于源电荷位置的反演点； q 荷仍为两个： q” = Q – q’，
位于球心。
d
第四章
静态场的边值问题
4.2.3 导体柱面镜像法
设半径为 a 的无限长导体圆柱外有一根与之平行的无限长线 电荷，距圆柱轴线为 d，如下图(a)所示。若电荷的线密度为 l， 求圆柱外的电位分布。
4.2.2 导体球面镜像法
设点电荷 q 位于一个半径为 a 的 接地导体球外，距球心为 d，如下图所 示。用镜像法求球外的电位分布。 像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。 设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章
静态场的边值问题
圆柱面看作是两根平行线电荷 l 电 场中的两个等位面。设线电荷 l 和 -l 与金属圆柱轴线的距离分别为 b 和 d，如上图所示。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第四章
静态场的边值问题
地面是与两线电荷等距的平面，且电位为零。由式(4-2-11)，可得 金属圆柱的电位为

l R ln 2π 0 R
其中，R+、R- 分别表示线电荷 l 和 l’ 到金属圆柱的圆周上任一点 的距离。对于金属圆柱上的点 A，有
1
1 q q ( ) 2 2 2 4π1 x 2 y 2 ( z d ) 2 x y (z d ) ( z 0)
(4-2-12)
计算介质 2 中的电位时，用位于源电荷所在位置处的像电荷 q 代替极化电荷，并认为整个空间充满介质 2，则有
第四章
静态场的边值问题
由对称性，像电荷也是无限长线电荷。设像电荷的线密 2 a 度为 l ，位于圆柱内，与轴线的距离为 b ，进行试探求 解。
d
第四章
静态场的边值问题
空间任意点的电位等效为由两根平行线电荷 l 和 l 共同产 生。利用例3.1.4的结果，柱外任一点的电位为
l l 1 1 ln π ln C 2π 0 R 2 0 R
C
（4-2-9） （4-2-10）
若以与 l 和 l均等距的平面为零位面，则式（4-2-8）中 的常数 C = 0，有 l R ln （4-2-11） 2π 0 R
第四章
静态场的边值问题
【例4.2.1】 半径为a 的无限长金属圆柱与地面平行放置，其轴线距
地面的高度为h。求单位长金属圆柱与地面之间的电容。