不用错位相减法求等差乘等比数列的求和

等差乘等比数列求和

若数列{}n C 的通项公式为n n n C a b =⋅其中数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q （1q ≠）的等比数列，则存在等差数列{}n x 使11n n n n n n a b x b x b ++⋅=-，

其中等差数列{}n x 的首项1x 和公差0d 分别为()

1112

2

1

11(1)

11a qd

a q

x d q q q

q -=

+=---- 11x d d q =

-,112

1

t ,,1x a qd

x d d t t t

q -===⋅-令则 下面来证明一下这两个式子，利用待定系数法： ()()11111111[(1)],{},)()(1),1(1),(1)n n n n

n n n n n n n x n x n x x n x x x x x x x x x x x c a b a n d b c x b x b x x d n dn a d b d n b d n d b q dn a d d n d qn d q q dn a d d d q n q d q d d d d q d q

a d q d q q a d d λλλλλλλλ++=⋅=+-⋅∴=-=++-=+-++∴+-=+---+-=-+--=-=

--=---=-+ 令数列为等差数列,

设则(则故即()()()

111122

1

1

12

2

,1,,11111

1,111x

x dq

q a d q

a d a dq dq

x d q q q q a qd

a qd d

x d d t t

t q

q

q λλ=-+--∴=

+=+=+------=

===⋅---所以即

利用定理，就可以很容易地得到前n 项和n S 公式

1122n S a b a b =++…+n n a b

=11222233()()x b x b x b x b -+-+…+11()n n n n x b x b ++-

=1111n n x b x b ++- （该式称为1式。方法1，此处已可得出答案）

2

111111111111

()(),((n x n x x n n n n x b d n x b q b d n b x q b x A b d B b x S A n B q B

S A n B q B =-+=-⋅-+=-=-=⋅+⋅-=⋅+⋅-令则有）这说明等差乘等比的和的形式就是）（继续推导可得，方法二）

二、应用举例

下面就利用上述所得裂项公式求几例差比型数列前n 项和。

例1. 求21322n S =++…+21

2

n n -

方法一：解：设1(21)2n n C n =-，则11a =，2d =，112

b = 1

2q =，t 2=

由裂项公式

111

642

x -=

= 04d dt ==

10(1)6(41)n x x n d n =+-=+- 164n x n +=+

于是n C 可裂为11n n n n n C x b x b ++=-

=1

11[64(1)]

(64)22n n n n ++--+ n S =1111n n x b x b ++- =3232

n n

+-

121

()()215

2411)22

15)443232n n n n

S an b b

S S a b b a b b a =-2,b =-3n S =+⋅-==

⎧+⋅-=⎪⎪⎨

⎪+⋅-=⎪⎩+=-

方法二：待定系数法

设由已知：，（有（2得故