北航2015-2016年工科数分(1)期末_A卷_答案
北京航空航天大学信号与系统模拟试题与答案
北京航空航天大学2015 ～2016 学年第 2 学期_信号与系统_期末考试试卷班级：__________；学号：______________；姓名：__________________；成绩：___________一、(15分)已知某连续LTI 系统的单位冲激响应为h(t)=sint*u(t)，求当输入信号为u(t)-2u(t-2pi)+u(t-4pi)时的输出响应y(t).11)(2+=s s H )21(1)(42s s e e s s X --+-= )21()1(1)(422s s e e s s s Y --+-+= )4()4cos(21)4()2()2cos()2(2)(cos 21)()(ππππππ----+--+---=t u t t u t u t t u t tu t u t y二、(15分)某连续时间LTI 系统是因果，稳定的。
其系统函数的零极点分布如图，已知当输入信号x(t)=|cos(t)|是，系统输出的直流分量为5/pi,(1)确定该系统的系统函数H （s ）(2)当输入信号x(t)=1时，求系统的输出y(t)|)cos(|)(t t x =的直流分量π2)21)(21)(4(2)2(5)(j s j s s s s H ++-++-= )(25)(t u t y =三、(15分)已知f(t)是一个因果信号，即f(t)=f(t)u(t),f(t)的频谱函数为F(jw)=R(jw)+jX(jw) 请导出由F(jw)的实部R(jw)确定虚部X(jw)和由虚部X(jw)确定实部R(jw)的关系式。
当函数)(t h 的傅里叶变换存在时，对)()(t u t h =两端进行傅里叶变换，并运用傅里叶变换时域卷积性质，得到]1)([)(21)(ωωπδωπωj H H +⊗= 令)()()(ωωωjX R H +=，则]1)([)]()([21)()(ωωπδωωπωωj jX R jX R +⊗+=+ ]1)()([2]1)()([21ωωωππωωωππ⊗-+⊗+=R X j X R 即])(21)(21[])(21)(21[)()(λλωλπωλλωλπωωωd R X j d X R jX R ⎰⎰∞∞-∞∞---+-+=+ 故])(1)(λλωλπωd X R ⎰∞∞--=])(1)(λλωλπωd R X ⎰∞∞---= 四、(10分)对图示离散时间LTI 系统，确定系数c1,c2,d,使该系统成为一个全通系统，且对所有的ω，该系统的幅频特性|H （e^jw)|=1)()()4()()(2112z Y z z W d c z z W c z dW =+++-- 2122)4()(zd c z c dz z H +++= d=1,c2=0,c1=-0.25五、(15分)序列x(n)通过一个单位脉冲响应为g(n)的LTI 系统，产生的输出为sigma(n);将sigma(n)反褶成sigma(-n)后，再让sigma(-n)通过一个同样的系统，产生输出w(n);再将w(n)反褶成最终的输出y(n)=w(-n),其过程如图所示。
北京航空航天大学第2学期《数字电子技术基础》期末考试试题(A卷) 答案
《 数字电子技术基础》期末考试A 卷标准答案及评分标准一、 1、评分标准：分步酌情给分。
2、解：D C B B D B D +++=D A A C B F∑=0)10,4,1(d评分标准：卡诺图画对得2分，化简后的式子得2分，约束方程1分3、按照波形酌情给分。
4、（1）a 图在OC 门输出高电平时发亮；b 图在OC 门输出低电平时发亮。
2分 （2）105.15R 155.151-≤≤- 即： 230Ω≤R 1≤350Ω100.3-5.15R 120.3-5.152-≤≤- 即： 270Ω≤R 2≤320Ω 求出R 1、R 2得2分5、s 10485.11RC .1t 3W -⨯== 4分二、有式子改写成标准式或写出真值表或画出卡诺图得6分，用八选一数据选择器画出电路图得6分。
从卡诺图可直接画出电路图三、A>B 时：[]B -=++=A 1B A S 反 6分 A<B 时：[]A -=++=B 1A B S 反 6分四、每个图6分 五、F A B C D74LS194状态图为：Q1Q2Q3111→110→101→010→100→001→011画出194状态图得10分。
Z输出的序列为：010011，010011 得3分六、（1）状态转换表写出转换表得4分（2）求激励方程XQQQQQD12121n22+==+求出D2得4分XQQXQQXQQXQQXQQD12121212121⊕⊕=+++=求出D1得4分XQXQZ12+=求出Z得3分七、（1）说出161的计数长度得6分。
（2）写出W、X、Y、Z函数表达式得6分。
（3）写出输出序列得4分。
北京理工大学2015学年第二学期《工科数学分析》期末考试卷及参考答案
4
九. (9 分) 把 f (x) = x ln(2 + x) 展成 x + 1的幂级数, 并指出收敛域. 十. (9 分) 证明 (2x cos y − y2 sin x)dx + (2 y cos x − x2 sin y)dy = 0 是全微分方程, 并求其通解.
5
∫∫ 十一. (9 分) 计算积分 I = S
……………….(7 分)
∑ = −(x + 1) + ∞ (−1)n ( 1 + 1 )(x + 1)n
n=2
n n −1
………….(8 分)
收敛域为 − 2 < x ≤ 0
……………….(9 分)
十.
∂Y = −2 y sin x − 2xsin y = ∂X
∂x
∂y
故所给方程是全微分方程
……………….(2 分)
= 1 − sin1
……………….(8 分)
三.
fx′ = 2x(2 + y2 )
f y′ = 2x2 y + ln y + 1
令 fx′ = 0
f y′ = 0
得x=0 y=1 e
……………….(2 分) ……………….(3 分)
fx′′2 = 2(2 + y2 )
fx′′y = 4xy
f y′′2
dy − dx xz dy
dz = dx + xy
1 dz
z dx dz =
0
dx dx
将点 P 代入得
1 + 3 +
dy
dx dy
− +
dz = dx 3 dz
dz dx =0
2017北航期末试卷A-评分标准
北京航空航天大学2016－2017 学年第二学期期末《机械原理》考试A（B）卷----评分标准班级____________任课教师___________姓名____________学号___________2017年6月19 日1. （本题14分）计算图示系统的自由度。
如有复合铰链、局部自由度、虚约束应注明。
若取图中绘有箭头的构件为原动件，试判断系统能否成为机构？为什么？ABCDE F GHI评分标准：E 处为复合铰链 （1分） H （或I ）为虚约束 （1分） B 处滚子为局部自由度 （1分）计算部分分解法1：，，（6分，每个2分）32362811L HF n P P =−−=⨯−⨯−= （公式2分，结果1分） 自由度数等于原动件数，所以该系统能成为机构（原因1分，结论1分）计算部分分解法2：，，（6分，每个2分）323729111L H F n P P k=−−−=⨯−⨯−−= （公式2分，结果1分） 自由度数等于原动件数，所以该系统能成为机构（原因1分，结论1分）2、（本题14分）在下图所示的机构中，已知原动件１以等角速度ω1沿顺时针方向转动，在图示瞬间，完成以下任务： （1）标出全部瞬心位置；（2）用瞬心法确定M 点的速度V M 的大小（只需写出表达式），并标出V M 的方向。
评分标准:(1)瞬心数目 (1)4(41)622n n −⨯−==各瞬心位置如图所示。
（标出每个瞬心2分，共12分） (2)13131M p AP v v l ω== 1分方向如图所示，竖直向下。
1分3、（本题15分）如图所示为某机床变速箱中操纵滑动齿轮的操纵机构。
已知滑动齿轮的行程H=12mm，lDE =20mm，lCD=24mm，lAD=50mm，其相互位置尺寸如图所示（图注长度尺寸单位为mm），当滑动齿轮在行程的左端时，要求操纵手柄为铅垂方向。
重新作图设计此机构：（1）确定lAB 和lBC（注：B点为示意图，并非实际位置）；（2）当单独考虑铰链四杆机构ABCD时，求该机构的最小传动角。
北航2015-2016年工科数分（1）期末_A卷_答案
北航2015-2016年⼯科数分（1）期末_A卷_答案北京航空航天⼤学2015－2016 学年第⼀学期期末考试《⼯科数学分析（Ⅰ）》（A卷）班号学号姓名主讲教师考场成绩2016年01⽉20⽇1. 下列命题中错误的是（D ）A. 若()f x 在区间(,)a b 内的原函数是常数，则()f x 在(,)a b 内恒为0;B. 若],[)(b a x f 在上可积, 则],[)(b a x f 在上必有界；C. 若],[)(b a x f 在上可积, 则()f x 在区间[,]a b 上也可积；D. 若],[)(b a x f 在上不连续，则],[)(b a x f 在上必不可积 . 2. 设()f x 满⾜等式120()2()d f x x f x x =-?，则1()d f x x ?=（ B ）A. 1;B. 1;9C. 1;-D. 1.3-3. 设函数()f x 可导，则（ C ） A.()d ();f x x f x =?B.()d ();f x x f x '=?C. ()d()d ();d f x x f x x=?D.()d ()d ().d f x x f x C x=+?4. 下列⼴义积分中，发散的是（ C ）A.1dx +∞； B.211dx x+∞?； C. 11sin d xx x+∞+?； D. 1sin d .x e x x +∞-?5. 瑕积分 31ln dxx x=?（ C ）A. l n l n 3;B. 0;C. ;+∞D. 1.1.22325x dx x x -++?解：2222223(22)52525(25)152525x x dx dxx x x x d x x dx x x x x -+-=++++++=-++++2221ln(25)512x x dx x =++-++?（） 251ln(25)arctan .22x x x C +?? =++-+建议：拆成两项2分，积分计算各2分。
工科数学分析期末考试_2015(试题)B
5.圆柱面 介于 和 之间的曲面面积为.
二、单项选择题（每题4分，共12分）
（多选不得分）
6．若二阶连续可微函数 满足 ，则（）
（Hale Waihona Puke ）只要 ，则 必为 的极小值点；（B）只要 ，则 必为 的极大值点；
（C）只要 ，则 必为 的极值点；
（D）只要 ，则 必不是 的极值点.
7.设曲线 是从 到 的上半圆周 ，则第二类曲线积分 化为第一类曲线积分为（）
12．求曲线积分 ，其中 （从 到 ）.
13.求齐次线性微分方程组 满足 的特解．
14.设 ，试求常数 的值使得 在区域 上与路径无关，并求 在 内的原函数.
15.证明：曲面 上任意一点处的切平面均通过某定点，其中 和 为常数，函数 有连续的一阶偏导数.
一、填空题（每题4分，共20分）
1.曲线积分 .
2.设 ，则 在（0,0）点.
A.连续；B.两个偏导数都存在；C.可微；D.沿任意方向的方向导数均为0.
（选择ABCD中的一个填空.)
3.若 为微分方程 的三个解，则该方程满足 的特解是.
4.在列向量场中，的散度为0.
（选择ABCD中的一个填空）
A. ；B. ；
（A） ；
（B） ；
（C） ；
（D） .
8．微分方程 的一个特解应具有形式是（）
(A) ；（B） ；
（C） ；（D） ．
三、解答题（第15题8分，其余每题10分，共68分）
9.计算三重积分 ,其中 是曲面 和平面 所围的区域.
10.求曲面积分 ，其中 ，取上侧.
11.设函数 具有二阶连续导数，函数 满足方程 ，若 ， ，求函数 的表达式.
北京航空航天大学工程热力学2015-2016试卷(正式)
北京航空航天大学2015－2016学年第一学期期末《工程热力学》考试卷班级______________学号 _________姓名______________成绩 _________2016年1月13日《工程热力学》期末考试卷注意事项： 1、闭卷考试，卷面总分100分，按要求答题。
2、单选题将最适合的选项写在题目答案横线内。
3、作图题、简答题、证明题、计算题将答案直接写在题后答题纸上。
题目：一、单选题……………………………………………………………( 分)二、作图题……………………………………………………………( 分)三、简答题……………………………………………………………( 分)四、证明题……………………………………………………………( 分)五、计算题……………………………………………………………( 分)－、单选题（40分，每小题2分）1. 在大气环境中，工质及气缸、活塞组成的系统经循环后，系统的输出功。
A. 需要减去排斥大气做的功;B. 不需要减去排斥大气做的功;C. 等于零;D. 无法计算。
2．气体常量RgA. 与气体种类有关，与状态无关；B. 与状态有关，与气体种类无关；C. 与气体种类和状态均有关；D. 与气体种类和状态均无关。
3．下面说法正确的是。
A．无约束的自由膨胀为一可逆过程；B．混合过程是一不可逆过程；C．准静态过程就是可逆过程；D．可逆过程是实际上不可实现过程。
4．准平衡过程是指___ ___的过程。
A. 过程中弛豫时间很长；B. 过程中不平衡势差无限小；C. 过程中温差无限小；D. 过程中压差无限小。
5绝对零度指的是：A．0 ℃； B. 273.15 ℃； C. -273.15 ℃； D. 0 o F。
6．压力表测量的压力是。
A．绝对压力；B．标准大气压；C．真空度；D．相对压力。
δ=+v适用于。
7．q du pdA.定压过程；B.准平衡过程；C.可逆过程；D. 理想气体的任意过程。
北航工科数分第一学期期中历年试卷讲评
本资料基于以下内容：2009年《工科数学分析》第一学期期中试题2010年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2011年《工科数学分析》第一学期期中试题2012年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2013年《工科数学分析》第一学期期中试题以上均为公开资料，可在课程中心下载或联系任课教师索取。
教师索取一.数列极限的计算二.数列极限的证明与应用数列极限的证明与应用三.函数极限的计算四.函数极限的证明与应用四函数极限的证明与应用五.导数的计算六.导数的证明与应用六导数的证明与应用*七.泰勒公式试卷基本结构第一大题包含8个小题，主要为极限计算、导数计算、导数的简单应用。
每题5分。
第二题至第七题为解答题，每题10分，可能包含1-2个小问。
主要为证明题。
.数列极限的计算一数列极限的计算很少直接考到。
即便考到，难度也很低，均属于中低难度送分题。
启示：不用太关注技巧性过高的数列极限计算，只需要掌握基本类型即可。
求数列极限的主要方法1.利用初等方法（有理化、恒等变形）2.利用重要极限3.利用单调有界定理，两边取极限4.利用夹逼定理5.利用Stolz定理6.转化为函数极限（Heine定理）例1：（2011年）一1注意定理的使用条件最后步的计算注意：Stolz定理的使用条件、最后一步的计算例2：（2013年）一1二.数列极限的证明与应用二数列极限的证明与应用主要考察：单调有界定理、柯西收敛定理单调有界定理主要涉及递推公式题目，柯西收敛定理直接通过其证明即可。
例1：（2009年）一1（年）例2：（2009年）一3（年）例3：（2009年）四（例4：（2010年）二（应用均值不等式证有界性。
利用有界性证明单调性。
应用均值不等式证有界性利用有界性证明单调性完全相似题目：（2012年）二例5：（2011年）三（重点讲解例6：（2009年）二（年）例7：（2010年）三（例8：（2012年）三（完全相似题目：（2011年）四仅把分母中的cos改为sin例9：（2013年）三（例10：（2013年）二（重点讲解三.函数极限的计算三函数极限的计算通过等价无穷小、洛必达法则、1的无穷次方方法计算函数极限或确定无穷小的阶。
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
f x e
'
e
cos x ln sin x
cos 2 x sin x cos x sin x ln sin x . sin x
dy dy dx cos t t sin t 4）解： . dx cos t t sin t dt dt
m 满足什么条件，函数在 x 0 可导.
2. 证明下面问题（10 分） 设 s 0, x1 0, xn1
1 s x , 证明数列 xn 单调有界，且极限为 s . n 2 x n
1 , 用 Cauchy 收敛定理证明 xn 收敛. 2n
5.
1) 用反证法证明. 假设存在 q a, b , g q 0 . 则根据拉格朗日中值定理
' g a g q g ' x1 a q 0 得到 g x1 0, x1 a, q
g b g q g ' x2 b q 0 得到 g ' x2 0, x2 q , b
7.
(10 分）证明下面问题 设 f x 定义在 a, b 上. 如果对 a, b 内任何收敛的点列 xn 都有 lim f xn 存在, 则
n
f 在 a, b 上一致连续.
8. (10 分）附加题 (下面两个题目任选其一) 1) 设函数 f
n 1 2 n cos x Cn cos 2 x 1 Cn cos n x , x Cn n1
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
北航2015级硕士研究生数理统计参考答案(B层)
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11nk k x x n ==∑。
（1n n -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。
（(3.1,5.4)）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
北航电路期末测试卷
电路分析试题（共 4 页 ）考试科目：电路分析院 系：电子信息工程学院请考生注意．．．．．：答题一律（包括填空题和选择题）答在答题纸或答题册上，答在试题上按零分计。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 一、 填空题：只写答案，不写过程。
（每空4分，共56分）1. 图1-1所示电路中，1A 电流源发出的功率 。
2. 图1-2所示电路中，电压源的电流i 为 A ，电流源的电压u 为 V 。
3. 在图1-3所示对称三相电路中，电流表读数均为1A （有效值），若因故发生A 相短路（即开关闭合）则电流表A 1的读数为 ，A 2的读数为 。
4. 图1-4所示电路处于谐振状态，已知I s =1A ，U 1=50V ，则电阻R 2 = Ω,电感电压U L = V 。
5. 图1-5所示电路在开关闭合前已处于稳态，t =0时闭合开关，则开关闭合后电容电压的初值u C (0+)= ，电感电流的初值i L (0+) = 。
10V +_3Ω2Ω 3Ω 5Ω1A图1-1 5sin2t V+_i2e -2t A0.1H 0.2F5Ω图1-2I sU 1 100Ω R 2U L-j100Ωj100Ω 图1-4+_u A 1 A 2ZZZ图1-3 A B C6. 图1-6所示含理想运算放大器的电路中，电流I = 。
7. 图1-7所示电路a 、b 端口的输入阻抗为 。
8. 图1-8所示零状态电路的冲激响应V e t u t C 210)(-=，则R 为 ，U s 为 。
9. 已知某动态电路的网络函数242042454)(22++++=s s s s s H ，该电路的冲激响应为 。
二、 简算题：要求写出计算过程（每小题7分，共56分）1. 某网络的基本割集矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01-00111-1-1- 100010001Q若已知连支电流[][]TT i i i 546654=A ，求树支电流i 1、i 2和i 3。
(整理)-2012-第二学期期末考试w.
北京航空航天大学2011－2012 学年第二学期期末考试《工科数学分析(II) 》试卷班号学号姓名成绩题号一二三四五六七八总分成绩阅卷人校对人2012年6月18日一． 计算题。
（35）1. 计算向量场32()()3A x z i x yz j xy k =-++-的旋度.解:2232(6)(13)33ij krotA xy y i y j x k x y z x z x yz xy ∂∂∂==--+-++∂∂∂-+-建议评分标准：如答案对，给5分，如果答案不对，旋度计算公式2分，三个分量各1分.2. 通过改变积分次序计算累次积分221210122y x x y y dye dx dye dx +蝌蝌.解:22221211211221(1)2y x x x x x y y xdye dx dye dx dxe dy xe dx e +===-蝌蝌蝌?建议评分标准：改变积分次序3分，结果2分3. 计算二重积分2222sin()Dx y dxdy a b +⎰⎰，其中2222{(,)|1 0}x y D x y y a b =+≤≥，且. 解：取广义极坐标变换cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩，则(,)(,)x y abr r θ∂=∂. 在广义极坐标系下，积分区域D 为{(,)|01,0}r r θθπ≤≤≤≤，因此原式=120sin (1cos1)2d abr r dr ab ππθ=-⎰⎰建议评分标准：广义极坐标变换2分，雅各比行列式1分，积分区域1分，结果1分.4. 求极限2222222331lim cos()x y z xyzr x y z r x y z edxdydz r ++++→++≤-+⎰⎰⎰.解：由积分中值定理，存在(,,),ξης 2222r ξης++≤，使得22222222223334cos()cos()3xy z xyzx y z r x y z e dxdydz r e ξηςξηςπξης++++++++≤-+=-+⎰⎰⎰因此，原式=2223044lim cos()33r e ξηςξηςπξηςπ++++→-+=.建议评分标准：积分中值定理3分，结果2分.5. 利用对称性计算三重积分2(cos())Vz x xy dxdydz +⎰⎰⎰，其中22222{(,,)|2,}V x y z x y z z x y =++≤≥+.解：由于积分区域V 关于yoz 平面对称，cos()x xy 为关于x 的奇函数，因此cos()0V x xy dxdydz =⎰⎰⎰. 下面计算2V z dxdydz ⎰⎰⎰，采用球极坐标系sin cos sin sin cosx r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，则此时2(,,)||sin (,,)x y z r r ϕϕθ∂=∂，被积区域V 为{(,,)|0,02,02}4r r πϕθϕθπ≤≤≤≤≤≤，因此原式=2222244cos sin (221)15d d r r dr πππϕθϕϕ=-⎰⎰⎰.建议评分标准：对称性2分，计算过程2分，结果1分.6. 利用对称性计算第一型曲面积分222xy yz zx dS x y z ∑++++⎰⎰，∑为球面2221x y z ++=.解：由于∑关于xoy 平面对称，222yz zx x y z +++为z 的奇函数，因此222=0yz zx dS x y z ∑+++⎰⎰，又由于∑关于xoz 平面对称，222xyx y z++为y 的奇函数，因此222=0xy dS x y z∑++⎰⎰，因此222=0xy yz zx dS x y z∑++++⎰⎰. (建议评分标准：过程及答案正确5分)7. 计算第二型曲面积分xydydz ∑⎰⎰，∑为221z x y z =+=与围成区域边界的外侧. 解法一：∑是一个封闭曲面，设∑所围区域为V ，则由Gauss 公式知0Vxydydz ydxdydz ∑==⎰⎰⎰⎰⎰.其中只需注意到V 是关于xoz 平面对称的，被积函数y 是关于变量y 的奇函数.建议评分标准：高斯公式3分，计算及结果2分.解法二：设221{(,,)|,01}x y z z x y z ∑==+≤≤，指向下侧，222{(,,)|1,1}x y z z x y ∑==+≤，指向上侧，22{(,)|1}xy D x y x y =+≤，则由对称性12=(2)20xyxyD D xydydz xy x dxdy xydxdy ∑-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而 2=0xydydz ∑⎰⎰，因此=0xydydz ∑⎰⎰.建议评分标准：第一块曲面积分3分，第二块2分.二． （15）计算下面问题1) 利用格林公式计算椭圆盘22222x xy y ε++≤（0ε>）的面积； 2) 计算第二型曲线积分22,22L xdy ydxx xy y -++⎰其中L 为包围原点的一条光滑封闭曲线，方向为逆时针.解：1）.222222=()x xy y x y y ++++，由此我们可以给出椭圆222:22L x xy y ε++=的一个参数方程c o s ,s i n x y y εθεθ+==，即c o s s i n, 02s i nx y εθεθθπεθ=-⎧≤≤⎨=⎩,因此椭圆盘22222x xy y ε++≤的面积为22011[(cos sin )(cos )sin (sin cos )]22Lxdy ydx d πεθεθεθεθεθεθθπε-=----=⎰⎰. 2).记22(,)22y P x y x xy y -=++，22(,)22xQ x y x xy y =++，容易验证22222222(0)(22)Q P y x x y x y x xy y ∂∂-==+≠∂∂++时. 为使用Green 公式，做辅助曲线222:22L x xy y εε++=，其中ε充分小使得L ε位于L 所包围的区域内部， L ε取定向为逆时针. 设L 包围区域为V ，L ε包围区域为V ε, 由Green 公式易知\()0L L V V Q PPdx Qdy dxdy x yεε-∂∂-=-=∂∂⎰⎰⎰， 因此22122LL L V xdy ydxPdx Qdy Pdx Qdy dxdy εεεπεε--=-===⎰⎰⎰⎰⎰，其中倒数第一个等式使用了1)的结论.建议评分标准：第1小题6分，第二小题9分，其中两个偏导数3分，辅助曲线3分，答案3分.三． （10）利用高斯公式计算第二型曲面积分()2z y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为()2201z x y z =+≤≤(0z ≥)，指向上侧.解: 作辅助曲面'22{(,,)|1,1}x y z z x y ∑==+≤，指向上侧，则∑与'∑构成一个封闭曲面，记它们所围区域为V . 则由Gauss 公式()'221100323332Vx y zz y dzdx zdxdy dxdydz dz dxdy zdz ππ∑-∑+≤++====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 而()'2z y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰=2211x y dxdy π+≤=⎰⎰，因此()3222z y dzdx zdxdy πππ∑++=-=-⎰⎰.建议评分标准：做辅助曲面3分，高斯公式3分，剩余两个计算各2分.四． （10）计算第二型曲面积分[2(,,)][2(,,)]2yf x y z x dydz xf x y z y dzdx zdxdy ∑++-++⎰⎰，其中(,,)f x y z 为连续函数，∑为曲面221x y z ++=在第一卦限的部分，指向上侧.解：∑投影到x o y 平面为22{(,)|1,0,0}xy D x y x y x y =+≤≥≥. ∑的表达式为221z x y =--，(,)xy x y D ∈. 因此22 [2(,,)][2(,,)]2[(2(,,))(2)(2(,,))(2)222]22xyxyD D yf x y z x dydz xf x y z y dzdx zdxdyyf x y z x x xf x y z y y x y dxdydxdyπ∑++-++=++-++--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰建议评分标准：投影到xoy 平面4分，公式正确4分，最后的计算2分 五． （15）利用斯托克斯公式计算222222(+z )d ()d (+y )d Cy x x z y x z +++òÑ,其中C 为曲面2222x y z bx ++=（0,0z b ≥>）与222x y ax += (0b a >>)的交线，若从 z 轴正向看去，C 为逆时针方向.解：设C 在球面2222x y z b x ++=上所围的区域为Γ，Γ取上侧. Γ的表达式为：222()z b x b y =---，22(,){(,)|2}xy x y D x y x y ax ∈=+≤. 由Stokes 公式知222222()d ()d ()d (22)(22)(22)=[(22)()(22)()(22)][(22)()(22)()(22)]2[2]22xyxyxy xyCxyD D D D y z x x z y x y z y z dydz z x dzdx x y dxdy y z z z x z x y dxdyx b yy z z x x y dxdyz z ybb dxdy zbdxdyp G+++++=-+-+---+--+--=-+-+-=+==ò蝌蝌蝌蝌蝌Ñ2a b建议评分标准：斯托克斯公式7分，剩余计算8分. 六． （15）设函数()(),f x g x 具有2阶连续导数,并且积分()()()()2(+2e +2)d 2()d 0x Cy f x y yg x x yg x f x y ++=⎰对平面上任一条封闭曲线C 成立. 求()(),f x g x .解：由积分与路径无关的等价条件知：()()()()2[2()]=[+2e +2]x yg x f x y f x y yg x x y∂∂+∂∂，因此()(),f x g x 应满足2'()2'()2()22()x yg x f x yf x e g x +=++，因此'()()g x f x =，'()()x f x e g x =+成立, 由'()''()f x g x =得''()()x g x e g x =+，解微分方程得121()2x x x g x xe C e C e -=++，1211()'()22x x x x f x g x xe e C e C e -==++-. 建议评分标准：积分与路径无关7分，得到两个常微分方程3分，求解5分.七． （10）附加题（以下二题任选其一）：1． 已知平面区域{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，()f x 为[0,1]上的连续函数，证明： （1）()()()();f y f x f y f x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰（2）()()2f y f x Lxe dy ye dx --≥⎰.证明：1). 由Green 公式知()()()()()f y f x f y f x LDxe dy ye dx e e dxdy ---=+⎰⎰⎰,()()()()()f y f x f y f x LDxe dy ye dx e e dxdy ---=+⎰⎰⎰,又由于D 关于直线y x =对称，有()()()()()()f y f x f x f y DDee dxdy e e dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰，因此()()()()f y f x f y f x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰成立.2）. 由1）的结论()()()()()()()()()()1(()())21 =()21422f y f x f y f x f x f y L DD f y f y f x f x DDxe dy ye dx e e dxdy e e dxdy e e e e dxdy dxdy ------=++++++≥=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰建议评分标准：第一小题6分，用了格林公式4分，对称性部分2分，第二小题4分.2．设(,)f x y 是2R 上的连续可微函数，且对圆221x y +=上的任一点均有(,)0f x y =，求极限2222201limx y r r x y xf yf dxdy x y →+≤+≤++⎰⎰.解法一：我们采用极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==，设(,)(c o s ,s i n )z f x y f ρθρθ==，则易知x yxf yf z ρρ+∂=∂. 因此 222212200121200002000001limlim lim lim (cos ,sin )(cos ,sin )=lim (cos ,sin )lim 2(cos ,sin )2(0,0).x y rr r r x y rr r r r xf yf z dxdy d d x y zd d f f r r d f r r d f r r f ππππθρρρρθρθθθθθρθθθπθθπ→+→+≤+≤→+→+→+→++∂=+∂∂==-∂-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二：记L 为单位圆周221x y +=，方向为逆时针，r L 为圆周222x y r +=，方向为顺时针. 则由Green 公式，2222222221(,)(,)rx y L L r x y xf yf x yf x y dy f x y dx dxdy x y x y x y +≤+≤+-=+++⎰⎰⎰，又由于在L 上均有(,)0f x y =，因此2222(,)(,)0Lx yf x y dy f x y dx x y x y-=++⎰，因此 222221002222(,)(,)(,)2(,)rrx y r x y L L xf yf dxdyx y x yf x y dy f x y dx f x y ds f x y x y x y π≤+≤++=-=-=-++⎰⎰⎰⎰其中00(,)r x y L ∈. 因此2220022001limlim 2(,)2(0,0).x y r r r x y xf yf dxdy f x y f x y ππ→+→+≤+≤+=-=-+⎰⎰建议评分标准：使用格林公式4分（对应计算了f 对r 的偏导数），将积分式化为Lr 上的积分4分，答案2分.。
北航2015-2016第一学年自控试题-A卷-试题答案
对上式进行拉氏变换即可得像函数 F(s)
1 1 2 2 1 1 2 e Ts 2 e Ts e 2Ts 2 e 2Ts s Ts s s Ts Ts (Ts 1)(1 e Ts ) 2 Ts 2 F ( s)
1 2 0 ，解得： d=-1 ，对应 d d3
-3
-1
0
将 s=j代入闭环特征方程中，得出与虚轴的交点为，=3，此时 K=54； （2）由根轨迹图可知，当 K<54 时，系统稳定； （3）当 4<K<54 时，系统有一对共轭的复根，系统对工作在欠阻尼状态； 若要求 e ss 0.2 ，当 r(t)=t 时， e ss 可得： K 45 由此可得，满足题意要求的 K 值范围为： 45 K 54 。
A- 4
A
（5）某负反馈系统的开环传递函数为 G ( s ) 线，并证明幅相频率特性曲线为半圆。 解： 系统的频率特性表达式为：
j
1 ，试画出系统的幅相频率特性曲 Ts 1
[G ]
1
G( j)
A()
1 Tj 1
1 (T) 2 1
0
() arctan T
3 j 在根轨迹上。
K* 1 中，解得 K*=12 s1 s 2 s4
3 j 代入模方程
K* K* 8 G( s) ( s 1)( s 2)( s 4) ( s 1)(0.5 s 1)(0.25 s 1) 由 K* K 8
可得 K=1.5 因此，根轨迹增益为 K*=12，开环增益 K=1.5。
2009-2010工科数学分析(2)期末考题
A北京航空航天大学2009－2010 学年第二学期期末《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩一、填空题（每题5分，共40分） 1) 求 ⎰⎰++Ddxdy yx y x 2222)sin(= )cos 12ππ-（其中}0|),{(22π≤+≤=y x y x D 。
2) 计算dxdydz z y x I 2)(++=⎰⎰⎰Ω=54π其中Ω为球体1222≤++z y x 。
3) 求 ⎰=L ds y || ）（12238-.)2,1()2,1(,4:2一段到从其中-=x y L4) 计算 ⎰L xydx = 0的一段弧到，上，从为抛物线其中)1,1()11(2B A x y L -=。
5) 计算曲面积分⎰⎰+SS y z d )(22=π22其中 S 为锥面22y z x += 界于0到1之间的部分。
6) 计算 ⎰⎰Sxydxdy = 81其中S 是球面1222=++z y x 在0,0,0≥≥≥z y x 的部分,取外侧.7) 设),,(z x y z x y F =ρ，则=)(F div ρ ）（222zxy z x y ++- =)(F rot ρ）（xz y 1,1,1- 8) dy y y y x e dx y y y x e r x x Lr )sin cos ()cos sin (1lim2++-⎰→= π2其中L 为圆心在原点半径为r 的圆周，方向沿逆时针方向。
二、（使用Green 公式计算，本题满分１0分） 计算,4.22yx xdyydx L++-⎰其中L 为 ,.42x y -=从点（2,0）到（-2,0）的一段。
解：令 22224,4yx x Q y x y P +=+-=,则当0422≠+y x 时, 有 .)4(422222yPy x x y x Q ∂∂=+-=∂∂--------------- 分2-------- 取椭圆 44:22=+y x ,上半部分记为l ，方向为逆时针，。
2015工科数分第一学期期末试题(A)解答
当 x 1 时， f ( x)
2 1 2(1 x 2 ) 0， 1 x 2 x 2 1 (1 x 2 ) 2 1 2(1 x 2 ) 4 ， 2 2 2 1 x 1 x (1 x ) 1 x 2
………………（3 分）
当 0 x 1 时， f ( x)
dy 1 dx =
2
………………（4 分）
故所求切线方程为 y x 1 。 （2）
………………（5 分）
d2y d dy dx ( ) 2 d dx d dx
( sin 2sin 2 )( sin sin 2 ) (cos cos 2 )( cos 2cos 2 ) … …（6 分） ( sin sin 2 )3
0
x
4
3 2 (sin 4 x ……（4 分）
0
1
3 1 5 3 1 5 3( ) 4 4 2 2 6 4 2 2 32
1 0
(2) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
V (1 x 2 )dx sin 6 xd cos3 x
a3 a x dx 3 M
a 2
a3 m a 1 a M m x 2 dx f ( ) x 2 dx a a 3 2 2 2
m
3 a3
a a
f ( x)dx M f ( ) 3 a3
………………（6 分）
由介值定理，存在 [a, a] ，使得
…………（8 分）
x (1 cos ) cos 解： （1）曲线的参数方程为 ， y (1 cos )sin
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北京航空航天大学2015－2016 学年第一学期期末考试《工科数学分析（Ⅰ）》（A卷）班号学号姓名主讲教师考场成绩2016年01月20日1. 下列命题中错误的是 （D ）A. 若()f x 在区间(,)a b 内的原函数是常数，则()f x 在(,)a b 内恒为0;B. 若],[)(b a x f 在上可积, 则],[)(b a x f 在上必有界 ；C. 若],[)(b a x f 在上可积, 则()f x 在区间[,]a b 上也可积 ；D. 若],[)(b a x f 在上不连续，则],[)(b a x f 在上必不可积 . 2. 设()f x 满足等式120()2()d f x x f x x =-⎰，则1()d f x x ⎰=（ B ）A. 1;B. 1;9C. 1;-D. 1.3-3. 设函数()f x 可导，则（ C ） A.()d ();f x x f x =⎰B.()d ();f x x f x '=⎰C. ()d()d ();d f x x f x x=⎰D.()d ()d ().d f x x f x C x=+⎰4. 下列广义积分中，发散的是（ C ）A.1dx +∞⎰； B.211dx x+∞⎰； C. 11sin d xx x+∞+⎰； D. 1sin d .x e x x +∞-⎰5. 瑕积分 31ln dxx x=⎰（ C ）A. l n l n 3;B. 0;C. ;+∞D. 1.1.22325x dx x x -++⎰解：2222223(22)52525(25)152525x x dx dxx x x x d x x dx x x x x -+-=++++++=-++++⎰⎰⎰⎰2221ln(25)512x x dx x =++-++⎰（） 251ln(25)arctan .22x x x C +⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭建议：拆成两项2分，积分计算各2分。
2.15631(sin cos x x x x -+⎰解：由对称性：15631sin cos 0,x x x -=⎰112=2=2原式x ππ-=⨯⎰（其中11=2x π-⎰可以看做圆心在原点，半径为１的上半圆的面积，也可以利用公式2arcsin +C 2a x x a+来计算.）建议：对称性3分，剩下计算3分。
3. 1⎰ 解：2,,2t x t dx tdt ===即则11110000122(2)22ln(1)22ln 211tdt dx t t t ==-=-+=-++⎰⎰⎰建议：根式带换3分，剩下计算3分。
4. 202ln(1)d lim(1cos )x x t tx x →+-⎰解：22030022ln(1)d ln(1)2=limlim 1122原式x x x t tx x xx x →→++⋅==⋅⎰ 建议：等价代换2分，变上限求导3分，结果1分。
5. 已知 21sin (),x tf x dx t=⎰求 1().xf x dx ⎰解：11112220000111222000111()()()()()2221111()2sin cos (cos11).2222xf x dx f x d x x f x x df x x f x dx x x dx x ⎡⎤==-⎣⎦'⎡⎤=-=-==-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰建议：分部积分2分，()f x '计算2分，结果2分。
三、 (本题8分)利用定积分定义，求极限.n →∞解：limln n →∞⎝⎭111lim ln1ln(1)ln(1)n n n n n →∞-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ -------2分 1ln(1)x dx=+⎰ -------2分110ln(1)1xx x dx x=+-+⎰11001ln 21ln 21ln(1)2ln 21,1dx x x ⎛⎫⎡⎤=--=--+=- ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰ -------2分ln lim ln 2ln 21limlim 4.n n n e eee→+∞⎝⎭→+∞→+∞-⎝⎭==== -------2分四、 (本题10分)求二阶线性非齐次常微分方程23x y y yxe -'''+-=的通解.解： 特征方程：.03-22=+λλ -------2分 容易求得两个特征根为：123, 1.λλ=-= -------1分对应齐次方程的通解为：.Y 321x xe C eC -+= -------1分因为1-不是特征根，我们设非齐次方程的特解.)(x e B Ax y -*+= -------2分带入方程，我们有(44).x x Ax B e xe ----=所以，1,0,4A B =-= -------2分 于是非齐次方程的特解为1.4x y xe *-=- -------1分 非齐次方程的通解为3121.4x x x y C e C e xe --=+- -------1分五、 (本题12分，每小题6分)判断下列广义积分的敛散性，若收敛，并判别是绝对收敛或条件收敛. （1）21ln arctan d ;x x x x ∞⎰＋ （2）1∞⎰＋. 解：注意到：).,(,ln ln arctan ln ∞∈∀=≤122222x x xx x x x x ππ -------2分对于任意的）（2,1∈α，我们有2212ln 1ln 11lim lim lim lim 0.1(2)2x x x x x x x x x x x x ααααα---→+∞→+∞→+∞→+∞====-- -------2分 因为）（2,1∈α，11dx xα+∞⎰收敛．由比较判别法，我们可知无穷积分21ln xdx x ∞⎰收敛.进而，xdx xxarctan ln ⎰+∞12绝对收敛．-----2分( 注：x →∞时，22ln ln arctan 2x x x x x π ，原广义积分与21ln x dx x ∞⎰具有相同的敛散性. )（2）1∞⎰＋. 解：首先，令[]A11()cos2sin 2sin 2,2F A xdx A ==-⎰1.|F(A)|≤ -------1分lim 0,x = -------1分由Dirchilet 判别法可知，无穷积分dx xx⎰∞1cos 收敛． -------1分 其次，注意到.2124cos 214cos 2cos 2cos 2xx x x x x x x x +=+=≥ -------1分类似于dx x x⎰∞1cos 的证明，我们可知无穷积分dx x ⎰+∞1x24cos 收敛． -------1分又因为无穷积分dx x⎰+∞121发散，于是，无穷积分dx xx⎰∞+1cos 发散．-------1分 进而，无穷积分dx xx⎰+∞12cos 条件收敛。
六、 (本题10分)过坐标原点(0,0)作曲线ln yx =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成一平面图形D ，计算（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积. 解：假设切点坐标为00(,)x y ， -------1分则由曲线方程及00(,)x y 处切线方程00000ln 11y x y x x =⎧⎪⎨==⎪⎩解得001x e y =⎧⎨=⎩ ， -------2分从而切线方程为1y x e=. -------1分则平面图形D 的面积为 101(ln )1;2e x x e S dx x dx e e =--=-⎰⎰ -------3分（积分公式2分，结果1分）D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为()22012e ()ln (2).3e e x V dx x dx e ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰-------3分（积分公式2分，结果1分）七、 (本题10分)设函数()[0,]f x π在上连续，满足()d 0,()cos d 0,f x x f x x x ππ==⎰⎰证明：函数()f x 在(0,)π内至少存在两个零点. 证明:方法一： 若()0,f x ≡则结论成立； -------1分若连续函数()f x 不恒为0，则()f x 必在(0,)π内存在零点. 否则若函数在区间[0,]π上不变号，这与已知条件0()d 0f x x π=⎰矛盾. -------2分( 或由积分中值定理,(0,)ξπ∃∈, 满足00()d ()(0)f x x f πξπ==-⎰, 即()0.f ξ=)假定()f x 在(0,)π内只有唯一零点0x , 0()0,f x = -------1分 则()f x 在0(0,)x 及0(,)x π上异号, -------1分 从而0()()(cos cos )g x f x x x =-在[0,]π上不变号, -------1分且()g x 不恒为0, 所以00()(cos cos )d f x x x x π-⎰严格大于0或小于0 , -------2分而由已知条件000()(cos cos )d ()cos d cos ()d 0f x x x x f x x x x f x x πππ-=-=⎰⎰⎰, 矛盾, -------1分所以假设不成立, ()f x 在(0,)π内至少存在两个零点. -------1分 方法二： 设0()()d ,x F x f t t =⎰-------1分则由已知条件知(0)()0,F F π== -------1分又由()[0,]f x π在的连续性可知()F x 在[0,]π上可导，且()(),F x f x '= -------1分则00()cos d cos d ()()cos ()sin d ()sin d ,f x x x x F x F x x F x x x F x x x πππππ===+=⎰⎰⎰⎰-------2分由积分第一中值定理,(0,)ξπ∃∈, 满足()sin d ()sin d 2()0F x x x F x x F ππξξ===⎰⎰. -------2分即(0,)ξπ∃∈(0)()()F F F ξπ==，-------1分在[0,],[,]ξξπ上分别应用罗尔定理，可得()F x '即()f x 在(0,)π内至少存在两个零点.-------2分八、 附加题(本题10分)设在()f x 在[0,1]上有连续的二阶导数，且(0)(1)0f f ==，又()f x 不恒为零， 证明：1[0,1]()d 4max ().x f x x f x ∈''≥⎰(提示：()f x 在(0,1)内取到最大值)证明：由条件知()f x 在(0,1)内取到最大值，假定0(0,1)x ∈为最大值点，即0[0,1]()max ().x f x f x ∈=-------1分在00[0,],[,1]x x 上分别对()f x 使用Lagrange 中值定理可得00(0,),(,1),x x ξη∃∈∈满足0000()(0)(1)()(),().01f x f f f x f f x x ξη--''==-- ------4分（每个公式2分）则1()d ()d ()d f x x f x x f x x ηηξξ''''''≥≥⎰⎰⎰ -------2分（每个不等式放缩1分）()()f f ηξ''=- -------1分 0000000()()11()()11f x f x f x x x x x -=-=+--00001()4().(1)f x f x x x =≥--------2分故有 1[0,1]()d 4m a x ().x f x x f x ∈''≥⎰。