不等式证明方法与技巧

2、两种形式
（1）三角换元
对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一 个变量不易用另一个变量表示，可考虑用三角代换， 将复杂的代数问题转化为三角问题．
（2）增量代换
在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字 母顺序(如a＞b＞c)的不等式,常用增量进行代换,代 换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思 路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简。
例4、 甲 、 乙 两 人 同 时 同 地沿 同 一 路 线 走 到 同 一 地点. 甲 有 一 半 时 间 以m速 度 行 走 ， 另 一 半 时 间以 速 度n行 走 ； 乙 有 一 半 路 程 以 速 度m行 走 ， 另 一 半 路 程 以 速度n行 走. 如 果m n， 问 甲 、 乙 两 人 谁 先 到达 指 定 地 点.
( a b)(2 ab ab)
ab
a b
a b a b ba
证明方法三：要证 : a b a b
ba
分
只需证 : a b ( a b) 0 ba
析 法
即证: a a b b ab( a b) 0
ab
只需证: a a b b (a b b a ) 0 ab
典型例题
例1、已知x y z 1,求证：x2 y2 z2 1 3
增量代换
例2、已知a1 a2 an 1,
求证
:
a12
a22
an 2
1 n
.
增量代换
例3、设实数x, y, m, n满足：x2 y2 3, m2 n2 1,求mx ny的最大值.
例4、已知1 x2 y2 2, 求证: 1 x2 - xy y2 3. 2
2
2
2
＞lga+lgb+lgc
三、分析法
1、定义
从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成 立的充分条件，直到得到一个明显成立的不等式 或一个比较容易证明的不等式为止，这种证明方 法叫做分析法。
2、证明思路
分析法的证题思路是执果索因，也就是从求证的不 等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把 证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的 问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可 以判定所证的不等式成立。这种方法在探求不等式 的证明思路时是最有效的方法之一。
4、设a,b,c为三个不全相等的正数,且abc 1, 求证 : a b c 1 1 1 .
abc
综合法
5、已知a 1, 0 求证 : loga (a ) log(a)(a 2).
分析综合法
四、换元法
1、定义
换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明显 的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式 子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用 换元法证明不等式时一定要注意新元的取值范围。
即证: (a b)( a b) 0 ab
即证: ( a b)2( a b) 0,成立 ab
a b a b ba
2、设a,b R,且a b 1 求证：a3 b3 3ab 1.
分析法
3、已知a, b, c R
abc
求证 : aabbcc (abc) 3 .
比较法（作商）
例5、已知是不全相等的正数，且a b c 1, 求证：ab bc ca 1
3
ab
例6、设a,b是不相等的正数，求证：aabb (ab) 2
二、综合法
1、定义
利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础， 再运用不等式的性质推导出所要证的不等式，这 种证明方法称为综合法。
2、证明思路
综合法的证题思路是由因导果，也就是从已知 的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的 不等式，直接推导出所要证的不等式。
例1、已知a 0, b 0, 2c a b 求证•:c- c2 ab a c c2 ab
例2、设a b c且a b c 0 求证 : b2 ac 3a
典型练习
1、若a、b均为正数,求证 : a b a b. ba
证明方法一： a b ( a b ) ba
已知a,b,c均为正数，证明下列不等式:
1、a(b2 c2 ) b(a2 c2 ) c(a2 b2 ) 6abc
2、bc ca ab a b c abc
3、b2 c2 a2 a b c abc
4、若a、b、c是不全相等得正数
求证：lg a b＋lg b c ＋lg c a
一、比较法
比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。
两种形式
①作差法： a b a b 0,a b a b 0;
②作商法： 当b 0时,a b a 1,a b a 1;
b
b
几点说明
①作较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断；
②作差法证题时, 通常是进行因式分解,利用各因式的符 号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断；
③作商法证题时,通常要考虑式子的正负,尤其是作为除 式式子的值必须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等 式时常用比商法。
例1、求证：x2 3 3x
例2、已知a, b, m都是正数，并且a b，求证： am a bm b
例3、已知a, b是正数，且a b，求证： a3 b3 a2b ab2
2、注意
考虑二次项系数是否可以为零
例1、求证：1 2
x2 x2
x 1 1
比
a a b b ab( a b) ab
较 法
a a b b (a b b a ) ab
(a b)( a b) ab
( a b)2( a b)
0
ab
a b a b ba
证明方法二： a b a a b b
ba
ab
综
合 法
( a b)(a ab b) ab
练习:
设x, y R,满足x2 ( y 1)2 1
总有x ຫໍສະໝຸດ Baidu c 0成立, c的取值范围是
A. 2 1,
B. , 2 1
C. 2 1,
D. , 2 1
五、判别式法
1、定义
是根据已知或构造出来的一元二次方程， 一元二次不等式，二次函数的根、解集、 函数的性质等特征确定出判别式所应满足 的不等式，从而推出要证的不等式的方法.