宏观经济学分析报告方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析报告
宏观经济学的研究方法与途径
宏观经济学的研究方法与途径宏观经济学是研究整体经济运行的学科，它关注的是国家、地区或全球范围内的经济现象和问题。
对于经济学家来说，研究宏观经济学是一项复杂而庞大的任务，需要运用多种方法和途径来分析和解释经济现象。
首先，宏观经济学的研究方法之一是统计分析。
通过收集和整理大量的经济数据，经济学家可以利用统计学方法来分析经济现象的规律和趋势。
他们可以计算经济增长率、通货膨胀率、失业率等指标，从而评估经济的整体状况和走势。
同时，统计分析还可以帮助经济学家研究不同经济变量之间的关系，例如利率和投资、消费和收入等。
通过这些统计数据和方法，经济学家可以揭示经济现象背后的规律和机制。
其次，宏观经济学的研究方法还包括建立经济模型。
经济模型是对经济系统进行抽象和简化的表达方式，它可以帮助经济学家理解和解释复杂的经济现象。
经济模型通常基于一定的假设和前提条件，通过建立数学方程或图形来描述经济变量之间的关系。
经济学家可以运用这些模型来分析政策的效果、预测经济发展趋势等。
例如，凯恩斯的总需求总供给模型可以解释经济周期和失业问题，新凯恩斯主义模型可以研究货币政策的影响等。
通过建立和运用经济模型，经济学家可以深入研究宏观经济问题，并提出相应的政策建议。
此外，宏观经济学的研究方法还包括实证研究和案例分析。
实证研究是通过对现实经济数据的观察和分析来验证或推翻经济理论的方法。
经济学家可以利用实证研究来检验经济理论的有效性，找出理论与实际之间的差距，并进一步完善经济理论。
案例分析则是通过对具体经济事件或经济体的深入研究，来揭示其背后的经济规律和机制。
例如，研究某个国家的经济改革经验，可以帮助经济学家了解改革的效果和影响，从而为其他国家的政策制定提供参考。
最后，宏观经济学的研究方法还可以包括实验研究和模拟分析。
实验研究是通过构建经济实验来观察和分析经济行为和决策的方法。
经济学家可以通过实验来研究人们对不同经济政策和环境的反应，从而提供政策制定的依据和建议。
宏观经济的理论和基本原理分析
宏观经济的理论和基本原理分析一、宏观经济的概念与意义宏观经济学的定义宏观经济学的意义宏观经济模型的历史演进宏观经济学的研究方法宏观经济学是经济学的一个重要分支，是研究国民经济运行总体规律的科学领域。
在宏观经济学中，人们关注的是整个经济体的总体现象、总体动态、总体稳态及总体政策等方面，是以宏观经济变量为研究对象的经济学领域。
宏观经济学的意义在于，可以帮助我们了解和掌握国民经济运行的总体规律、把握经济发展的大势、评估政策的宏观效果、开展国际贸易和金融合作，促进国民经济的持续、稳定、健康发展。
宏观经济模型的历史演进可以追溯到凯恩斯时代，随着经济学理论的不断发展，宏观经济学的模型逐渐从IS-LM模型、AS-AD模型、DSGE模型、新凯恩斯主义模型等不同的范式中形成。
宏观经济学的研究方法包括传统的计量方法、理论模型的分析方法、经验模型分析方法、实证分析方法等多种方法，不同的方法适用于不同的研究问题，可以协同使用，加深对研究对象的了解。
二、宏观经济的基本原理GDP的计算与意义通货膨胀的成因经济增长的驱动力失业的类型及政策应对财政与货币政策的制定GDP是国民经济的重要指标，是评估一个国家经济总量和经济增长的关键指标。
GDP的计算方式是以国内增加值为基础，包括消费、投资、出口、减去进口等分项，是了解经济运行基本情况的重要依据。
通货膨胀的成因包括民生需求推动、生产成本上涨、货币供应增加等多种因素。
通货膨胀的造成是消费能力下降、经济不稳定的重要因素。
针对通货膨胀的管控可以通过调节货币供应、促进供给侧改革、完善社会保障体系等多种措施。
经济增长的驱动力包括劳动力增长、资本积累、技术创新等因素。
经济增长的实质是生产率的提升，是整个国家经济发展的重要标志。
经济增长的发展还需加强教育培训、优化劳动力资源配置、完善创业政策等手段。
失业的类型及政策应对包括结构性失业和短期性失业，针对不同类型的失业，应采取不同的政策手段，以促进劳动力的就业。
宏观经济分析方法
宏观经济分析方法宏观经济分析是研究整体经济运行规律和变化趋势的一种方法。
它主要从宏观经济数据和宏观经济模型的角度出发，分析宏观经济的总体方向和整体运行状况。
宏观经济分析方法主要包括定量方法和定性方法。
定量方法是基于宏观经济数据进行分析的方法。
它通过统计数据的测量和分析，研究宏观经济变化的规律和趋势。
其中，主要的定量方法包括时间序列分析和横截面分析。
时间序列分析是以时间为序列的经济数据为基础，通过观察和分析数据的变化规律，预测和解释宏观经济现象。
常用的时间序列分析方法有趋势分析、季节调整、周期性分析、相关分析等。
例如，通过对GDP数据进行时间序列分析，可以研究经济增长的长期趋势和周期性波动。
横截面分析是以某一特定时间点上的经济数据为基础，通过比较不同地区、行业、个体之间的差异，研究宏观经济运行的结构性问题。
常用的横截面分析方法有对比分析、相关分析、回归分析等。
例如，通过对不同地区的失业率数据进行横截面分析，可以研究经济结构的差异和影响就业的因素。
定性方法是基于宏观经济模型进行分析的方法。
它通过构建宏观经济模型，对其中的假设、关系和机制进行推理和分析，从而研究宏观经济运行的机制和影响因素。
常用的定性方法包括宏观经济模型、计算模型、计量经济模型等。
宏观经济模型是基于宏观经济理论和经验研究结果构建的数学模型，用于解释和预测宏观经济现象。
它通过构建一系列的方程和变量，描述经济主体的行为和市场机制，研究经济运行的稳定性和变动性。
常用的宏观经济模型包括凯恩斯模型、AS-AD模型、DSGE模型等。
计算模型是通过数值计算的方式，研究宏观经济变量之间的关系和相互作用。
它将经济模型转化为计算机程序，在计算机中模拟经济过程，通过多次迭代和模拟得到结果。
常用的计算模型包括动态随机一般均衡（DSGE）模型、动态最优化模型等。
计量经济模型是通过实证研究，基于统计方法和经验数据，研究经济变量之间的关系和影响因素。
它通过收集和整理经济数据，进行数据分析和模型估计，得出相关经济关系的定量结果。
宏观经济三大经济模型
凯恩斯主义和古典主义的差别对比古典主义1、以供给为中心（萨伊定律）2、价格、工资、利息具有自由伸缩性3、市场自动出清凯恩斯主义：1、需求为中心2、工资、价格刚性3、市场非出清下面开始正式分析宏观经济了宏观经济关注的重要问题之一就是充分就业，而与充分就业水平有独特关联的是本期总产出价值或国民收入水平。
可以说凯恩斯宏观分析模式的焦点是国民收入水平的变动。
而国民收入等于本期产出的价值，本期投资等于本期产出中未作消费的那部分产出的价值，通过公式来看：Y=C+I, S=Y-C 可以得出S=I国民收入是因变数，决定它的是作为自变数的前期消费和投资或可进一步分解为消费倾向、资本边际效率和利息率等三个因素。
以后的大多数宏观经济分析都是以此为基础C=a + c Y ,I = x- yr我的学习思路是模型分析。
其实宏观经济的各种模型是具有历史性的，即建立一种模型是为了解释一定历史时期的经济现象，所以我们在学习宏观经济时要坚持历史唯物主义的方法，将模型与建立模型的历史背景结合起来学习。
我们经济科学出版的书，先是详细介绍了三个基本市场即产品市场，货币市场和劳动市场，张老师当时的目的可能是想让同学们先打好基础，再去分析模型，而高鸿业的红皮书是通过模型的过程中，需要时再来介绍这三个基本市场，我觉得这样比较有条理。
因为这三个市场是随着宏观经济的发展不断添加到模型中的，是有历史顺序的。
首先是凯恩斯时代的两个模型第一个模型是有效需求决定就业水平的模型通过此模型可以看出，通过改变总需求使AD线平移，可达到充分就业第二个模型是有效需求决定模型总需求：Y=C+I+G+X总供给：Y=C+S+T+M总需求=总供给：C+I+G+X=Y=C+S+T+M均衡条件：I=S+(T-G)+(M-X)I=S+(T-G) +(M-X) (总需求=总供给)I<S+(T-G) +(M-X) (总需求<总供给)（经济增长收缩）I>S+(T-G) +(M-X) (总需求>总供给)（经济增长扩张）凯恩斯认为I与S不容易改变，所以可以通过改变(T-G)，和(M-X)。
考研宏观经济学知识点与模型剖析
考研宏观经济学知识点与模型剖析在考研的经济学领域中，宏观经济学无疑是一座重要的知识山峰。
它不仅对于理解整体经济运行至关重要，也是考试中的重点与难点。
接下来，让我们深入剖析一下其中的关键知识点与常用模型。
一、宏观经济学的基本概念首先，我们要明白什么是宏观经济学。
宏观经济学研究的是整体经济的运行，关注的是经济总量，如国内生产总值（GDP）、失业率、通货膨胀率等。
国内生产总值（GDP）是衡量一个国家经济活动总量的重要指标。
它有三种计算方法：生产法、收入法和支出法。
生产法通过计算各个生产部门的增加值来得出 GDP；收入法是把生产要素在生产中所得到的各种收入相加；支出法是把消费、投资、政府购买和净出口相加。
失业率反映了劳动力市场的状况。
摩擦性失业、结构性失业和周期性失业是常见的失业类型。
摩擦性失业是由于劳动力市场的正常流动导致的；结构性失业是由于经济结构变化，劳动力的技能与需求不匹配造成的；周期性失业则与经济周期有关。
通货膨胀率衡量了物价水平的普遍上涨程度。
温和的通货膨胀有时被认为对经济有一定的刺激作用，但过高的通货膨胀会带来诸多问题，如降低货币的购买力、扭曲资源配置等。
二、宏观经济的主要目标宏观经济政策通常有四大目标：经济增长、充分就业、物价稳定和国际收支平衡。
经济增长意味着一个国家或地区在一定时期内生产的商品和服务的增加。
它通常用 GDP 的增长率来衡量。
持续的经济增长对于提高生活水平、增强国家实力具有重要意义。
充分就业并不意味着零失业，而是指失业率处于自然失业率水平。
自然失业率是指在没有货币因素干扰的情况下，让劳动力市场和商品市场自发供求力量起作用时，总需求和总供给处于均衡状态的失业率。
物价稳定要求避免出现过高的通货膨胀或通货紧缩。
稳定的物价有助于消费者和生产者做出合理的决策，促进经济的稳定发展。
国际收支平衡要求一个国家在国际经济交往中，其经常项目和资本项目的收支保持平衡。
失衡的国际收支可能会对国内经济产生不利影响。
宏观经济学的数学模型分析
宏观经济学的数学模型分析宏观经济学是研究整个国家或地区经济状况及其变化的学科。
它主要关注国民经济的总体运行规律，包括经济增长、物价水平、就业和失业、货币和银行信贷政策等方面。
为了深入理解和预测宏观经济的发展趋势，我们需要运用数学模型来分析和解释宏观经济现象。
数学模型是指用数学语言来描述和解释人类社会、自然界及其它现象的方式。
它是一个用于分析和预测宏观经济现象的有力工具。
在宏观经济学研究中，常用的数学模型有凯恩斯总体均衡模型、孟菲斯生产函数、费用函数、货币供应量模型等。
凯恩斯总体均衡模型是宏观经济学分析中最基本的模型之一。
它是由英国经济学家凯恩斯于1936年提出的，该模型可以用来解释市场失灵和政府干预等问题。
凯恩斯总体均衡模型有几个基本假设，如个人消费支出与收入成正比、投资支出与收益高度相关、政府开支能够影响经济总需求等。
该模型的主要特点是，解释经济体的总体均衡和失业等宏观经济问题、同时考虑了价格水平对经济体的影响、可以用来解释短期波动和长期变化等。
孟菲斯生产函数是由美国经济学家孟菲斯于1926年提出的。
该模型是从生产活动的角度来研究宏观经济增长。
它可以描述生产的规模与生产要素如资本、劳动力等的关系，主要包含一个产出函数和一个生产要素函数。
孟菲斯生产函数的主要特点是可模拟生产过程，包括劳动和资本的使用效率以及规模效益，同时该模型也能用来解释技术创新、人口结构等宏观经济现象。
费用函数是一种用来估算企业或行业提供一定产量所需要的成本的经济分析工具。
它的主要作用是用来分析经济体劳动力的需求和供应等问题，常常用于预测某一行业或职业发展的趋势。
费用函数的主要特点是可以考虑劳动力、资本投资等因素，同时也能够用来分析失业等宏观经济现象。
货币供应量模型是描述货币市场的重要模型之一。
该模型主要用来研究货币市场的供给和需求关系，以及货币供应量和利率之间的关系。
货币供应量模型的主要特点是，它可以用来描述货币供应量变化对通货膨胀和利率变化的影响，进而影响经济的总需求。
宏观经济学分析方法系列：(课堂放映版、11硕已讲)微分与差分动力(dynamic)系统
================= ================= 附录：宏观经济学分析方法：微分方程或差分方程动力（动态）系统（10、11硕已讲，精细订正版）经济分析中常常涉及大量的微分方程与差分方程，如Solow 经济中描述资本存量运动的Solow 方程，以及随后涌现出来的各种描述跨时变量运动的方程等等。
微分方程或差分方程的求解方法和解的性质是很重要的，是理解经济动态（特别是经济增长理论）的必要数学基础。
零、逆矩阵的求法对于一个矩阵A ，其逆矩阵1-A 是指满足关系A A I AA 11--==的惟一矩阵．注意只有当A 为方阵且非奇异时，逆矩阵1-A 才存在．逆矩阵乘上原矩阵简化为单位矩阵，所以，逆矩阵在线性代数中起着普通代数中的倒数的作用．求逆矩阵的公式为AdjA AA 11=-例1 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=413132514A 求其逆矩阵1-A ． 解：1．检查A 是否为方阵，因为只有方阵才可能有逆存在．这里A 为33⨯维的，A 是方矩阵．2．计算A 的行列式以确信0≠A ，因为只有非奇异矩阵才可能有逆存在．98351152)]3(3)1)(2)[(5()]3(1)4)(2[(1)]1(1)4(3[4≠=++=----+-----=AA 为非奇异的；3)(=A ρ．3．求A 的余子式矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=14616731171113321412541351131443544151133243124113C转置余子式矩阵以得到共轭矩阵．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='=14776311116113C AdjA4．以98/1/1=A 乘共轭矩阵，得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1429.00714.00714.00612.03163.01122.01633.00102.01327.0711********9831981198169819813147763111161139811A 5．作乘法1-AA 或A A 1-以检验答案的正确性．如果答案正确，两个积均应为单位矩阵I ．零、矩阵的特征根与特征向量到目前为止，我们能够利用主子式来检验海赛行列式和二次型的符号定性．符号定性也可以利用矩阵的特征根来检验．给定矩阵A ，如果能够找到一向量0≠V 及标量c ，使得 cV AV = (12．4) 则，标量c 称为特征根，向量V 称为特征向量．方程(12．4)也可表示为cIV AV =整理，得0)(=-cIV AV0)(=-V cI A (12．5)其中cI A -称为A 的特征矩阵．由于假设0≠V ，则特征矩阵cI A -必为奇异的，从而其行列式必为零．如果A 为33⨯矩阵，则0333231232221131211=---=-ca a a a c a a a a ca cI A在(12．5)中，由于0=-cI A ，则(12．5)有无穷个解V ．可以通过标准化V 的元素i v ，即要求i v 满足12=∑i v ，以得到惟一解．见例9． 如果1) 所有特征根c 为正的，则A 为正定的． 2) 所有特征根c 为正的，则A 为正定的．3) 所有的c 为非负的，且至少有一个0=c ，则A 为半正定的．4) 所有c 为非正的，且至少有一个0=c ，则A 为半负定的． 5) 有些c 为正，而另一些则为负，则A 为符号不定的．例8 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=6336A 求A 的特征根． 解：由于特征矩阵cI A -的行列式必为零，所以cc cI A ----=-6336 （12．6）390)3)(9(027120)3)(3()6)(6(212-=-==++=++=-----c c c c c c c c 由于二个特征根均为负，则A 为负定的．注意：(1) 21c c +必等于A 的对角线上的元素之和，(2)21c c 一定等于行列式A 的值．例9 继续例8，求第一个特征根91-=c 的特征向量： 解：将9-=c 代入(12．6)，033330)9(633)9(62121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡------v v v v （12.7）由于系数矩阵为线性相关的，则(12．7)有无穷多个解，矩阵与向量相乘得到两个完全相同的方程，03321=+v v以1v 求解2v 得12v v = (12. 8)再标准化(12．8)的解，使得12221=+v v (12．9)将12v v -=代入(12．9)，得到1)(2121=-+v v所以，1221=v ，2121=v . 取正平方根，5.0211==v ，由(12．8)，12v v -=.因此5.02-=v ，则第一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5.05.01V求第二个特征根32-=c 的特征向量： 将32-=c 代入(12．6)，03333)3(633)3(62121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡------v v v v乘积为03321=+-v v03321=-v v所以，21v v =.标准化12221=+v v 1)(2222=+v v 1222=v5.02=v 5.01=v所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.02v一、联立微分方程的矩阵解(I) （重点！10、11硕，讲）设有一个由n 个一阶自控线性微分方程所组成的方程组，其中任何一个导数都不是其他导数的函数．并且为了便于简化记号，这里我们限定2=n ．“自控”，就是指所有的ij a 和i b 都是常数。
宏观经济学分析方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析
x ⎰ x ( x ( x ．==================================附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化（08、09、10、11 硕已讲，精细订正版）一、动态最优化在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数y = y (x ) ，最优点 x * 的一阶条件是 y '(x *) = 0 .在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线 x * (t ) ．这个最大化的积分定义为独立变量 t 、函数 x (t ) 及它的导数 dx / dt 的函数 F 下的面积。
简言之，假设时间区域从 t 0 = 0 到 t 1 = T ，且用 &表示 dx / dt ，我们寻找最大化或最小化TF [t , x (t ), &t )]dt （20.1）这里假定 F 对 t 、 x (t ) 、 &t ) 是连续的，且具有对 x 和 &的连续偏导数．将形如(20．1)，对每一个函数 x (t ) 对应着一个数值的积分称为“泛函”．一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”Max ⎰π [t , p (t ), p &(t )]dtp min ⎰ C [t , x (t ), x &(t )]dtx x极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类 x (t ) ．（讲！）例 1一家公司当希望获得从时间 t = 0 到 t = T 的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格 p ，而且也依赖于价格关于时间的变化率如 dp / dt 。
假设成本是固定的，并且每个 p 和 dp / dt 是时间的函数，&代表 dp / dt ，公司的目标可以作如下数学表示T 0另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平 x (t ) 和生产的变化率dx / dt = &．假设这个公司希望最小化成本，且 x 和 &是时间 t 的函数，公司的目标可以写成t 1 t 0满足x (t 0 ) = x 0 ,且x (t 1) = x 1这些初始和终值约束称为端点条件．max B ⎰ e -β t⎧ ∞ [c (t )]1-ϑ⎪ c 1-ϑ ⎪⎩⎰ x ( d ⎛ ∂F ⎫dt ⎝ ∂x &⎭例 2 Ramsey 经济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式U = U (c ) 出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey 问题”—找出一条消费路径 c (t ) ，使家庭终生效用函数U = U (c ) 最大化：dt 0 ⎨ ⎪ ∞ ⎪ k 0 + ⎰0 (ω(t ) - c (t ))e(n +g )t -R (t )dt = 0二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个泛函t 1t 0F [t , x (t ), &t )]dt连接点 (t 0 , x 0 ) 和 (t 1, x 1) 的曲线 x * = x * (t ) 是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是∂F ∂x = ⎪(20．2a)称之为欧拉方程．尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程．x )x x xxt xx x )xx x )x 用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函数．(20．2a)的欧拉方程表示为F x (t , x , & = d dt[F &(t , x , &)] (20．2b)然后，用链式法则求 F &关于 t 的导数，并且省略自变“量”，得F x = F & + F & ( & + F &&(& (20．2c)这里， &= d 2 x / dt 2下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。
宏观经济学的基本原理与分析
宏观经济学的基本原理与分析宏观经济学是研究整体经济运行和宏观经济政策的学科。
通过对经济整体的分析，宏观经济学可以揭示经济发展的规律，为制定宏观经济政策提供决策依据。
本文将介绍宏观经济学的基本原理和分析方法。
一、宏观经济学的基本原理1. 总量关系原理：宏观经济学研究的是整个经济体，强调整体性。
其中，最重要的原理就是总量关系原理，即一个经济指标的变动将对其他经济指标产生影响，形成相互关联的关系。
2. 基本假设原理：宏观经济学在分析经济问题时，基于一些基本假设进行推导和分析。
比如，假设个体行为在大规模上是相似的，假设市场能够自由竞争等。
这些基本假设为分析提供了基础。
3. 均衡原理：宏观经济学研究的重要原理之一是均衡原理，即在一定的条件下，经济体内的各个要素达到平衡状态。
通过分析市场的供求关系，均衡原理可以揭示经济体运行的规律。
二、宏观经济学的分析方法1. GDP分析：GDP（国内生产总值）是衡量一个国家经济总量的指标，宏观经济学最关注的指标之一。
通过分析GDP的变动情况，可以了解经济增长速度、结构变化及经济状况等。
2. 通货膨胀分析：通货膨胀是指货币供应量增加导致价格普遍上涨的现象。
宏观经济学通过分析通货膨胀的原因和影响，为经济政策制定提供参考。
3. 失业率分析：失业率是一个衡量经济活力和社会稳定的重要指标。
宏观经济学通过研究失业率的变动趋势和影响因素，为政府采取相应的就业政策提供依据。
4. 货币政策分析：货币政策是宏观经济政策的重要组成部分。
通过研究货币政策的制定和执行，宏观经济学可以评估其对经济的影响，并提出相应的建议。
5. 政府财政政策分析：财政政策是指政府通过调整财政收支，影响经济运行和实现经济目标的手段。
宏观经济学通过研究财政政策的效果和影响，为政府制定合理的财政政策提供依据。
6. 国际贸易与汇率分析：国际贸易和汇率是宏观经济领域的重要变量。
通过分析国际贸易和汇率的变动，宏观经济学可以评估经济体在全球经济中的地位和竞争力。
经济统计学中的宏观经济模型与分析
经济统计学中的宏观经济模型与分析经济统计学是研究经济现象和经济活动的数量关系的一门学科。
而宏观经济模型是经济统计学的重要工具之一，用于描述和解释宏观经济现象和宏观经济活动的规律。
本文将从宏观经济模型的定义、构建和应用等方面进行论述，并探讨宏观经济模型在经济统计学中的重要性。
宏观经济模型是对宏观经济现象进行简化和抽象的数学表达方式。
它通过建立各种经济变量之间的关系，以及这些变量对经济现象的影响机制，来揭示经济运行的规律。
宏观经济模型通常包含多个方程式，每个方程式表示一个经济变量的动态或静态关系。
通过求解这些方程式，可以得到经济变量的数值解，从而对经济现象进行预测和分析。
宏观经济模型的构建是一个复杂而系统的过程。
首先，需要选择适当的经济变量作为模型的要素，这些变量通常包括国内生产总值（GDP）、消费、投资、通货膨胀率等。
其次，需要确定这些变量之间的关系，即建立宏观经济模型的方程式。
这些方程式可以基于经济理论或者经验研究的结果。
最后，需要对模型进行估计和验证，以确保模型的准确性和可靠性。
宏观经济模型在经济统计学中具有重要的意义。
首先，它可以用于经济预测和政策分析。
通过对宏观经济模型进行参数估计和模拟分析，可以预测经济变量的未来走势，为政府制定宏观经济政策提供参考。
其次，它可以用于经济结构分析和政策评估。
通过对宏观经济模型进行扩展和改进，可以研究不同的经济结构和政策对经济发展的影响，为经济体制改革和产业结构调整提供指导。
此外，宏观经济模型还可以用于经济风险评估和金融市场分析，对于预测和防范金融危机具有重要意义。
然而，宏观经济模型也存在一些局限性和挑战。
首先，宏观经济模型往往是建立在一定的假设和简化条件下的，因此其预测结果可能与实际情况存在一定的差异。
其次，宏观经济模型通常是静态的，对于动态变化和非线性关系的描述能力较弱。
此外，宏观经济模型的构建和应用需要大量的数据和计算资源，对数据质量和计算能力提出了较高的要求。
宏观经济政策的动态优化模型研究
宏观经济政策的动态优化模型研究随着市场经济的逐渐发展和国际化程度的提高，宏观经济政策的重要性越来越受到关注。
为了适应不断变化的经济形势，各国政府需要有效的宏观经济政策，以维持经济的稳定和发展。
本文将重点探讨宏观经济政策的动态优化模型，其中包括理论模型的构建、模型的解释和实证分析。
一、理论模型的构建宏观经济政策动态优化模型主要是建立在现代宏观经济学的基础之上的。
其核心思想是政府在制定宏观经济政策时应该考虑到经济的长期动态变化和风险，而不仅仅是眼前的利益。
因此，该模型需要考虑到一系列的因素，例如经济增长、通货膨胀、失业率等等。
在现代宏观经济学中，货币政策和财政政策被认为是最为基础的宏观经济政策。
货币政策主要通过控制货币供应量和利率来调节经济活动，而财政政策则主要通过政府的支出和税收来促进或抑制经济活动。
因此，在宏观经济政策的动态优化模型中，货币政策和财政政策也是需要被重点关注和研究的。
二、模型的解释在建立了宏观经济政策动态优化模型之后，我们可以对模型进行解释和分析。
例如，在通货膨胀率持续上升的情况下，若政府采取紧缩的货币政策，可能会导致加剧经济中的短期不确定性。
但是，如果政府采取过度宽松的货币政策，可能会导致通货膨胀率持续上升，进而加剧经济的长期不确定性。
因此，政府需要权衡短期和长期效应来制定最优的货币政策。
同样的，在制定财政政策时，政府也需要综合考虑多种不同因素。
例如，政府的支出可以促进经济增长，但是过度扩张的财政政策可能会导致通货膨胀。
因此，政府需要制定一种最优的财政政策，来实现长期的经济稳定和发展。
三、实证分析在对宏观经济政策动态优化模型进行解释和分析之后，我们还需要进行实证分析。
通过对不同政策的实证分析，我们可以确定最优的宏观经济政策。
在现代经济学中，经济学家们已经提出了多种不同的实证方法，例如计量经济学、实验经济学等等。
总之，在宏观经济政策的动态优化模型中，政府需要综合考虑多种不同因素来制定最优的政策。
宏观经济学 数学基础-1-变分法
【例 2】Ramsey 模型中消费者最优问题
7动态最优化的解是最优路径。 （一）动态最优化问题的基本要素
1
2
（三）泛函的变分
二、泛函的极值与变分法
3
# 变分问题就是求泛函的极大值或极小值，求泛函极值的方法就是变分法。 变分问题的一般形式：
三、泛函极值的必要条件（一阶条件——欧拉方程）
证明略
# 欧拉方程
（5-19）就是欧拉方程，可以看出欧拉方程是二阶微分方程，求泛函的极值就转化为 解这个二阶微分方程，它的解就是极值曲线 x*= x*(t)。利用欧拉方程解出极值曲线， 也就解出了动态最优化问题。
由欧拉方程有
2 y 12t 0
y 3t 2 c1
y t 3 c1t c2
6
再由两个约束条件确定 c1
c2 0 y t 3
需要说明的是，欧拉方程仅仅是一阶条件。和静态优化问题一样，一阶条 件只是说明了极值的特征。由于对本课程的学习而言，找到一阶条件就是够 了，所以我们不会涉及到二阶条件的讨论。有兴趣的同学可以参见蒋中一《动 态优化基础》。 此外，对于其他扩展形式下的泛函极值问题，也可参见蒋中一《动态优化 基础》以及 Kamien & Schwartz《Dynamic Optimization》。
4
注：
欧拉方程的推导：
5
四、泛函极值的充分条件（二阶条件）
五、例题
【例 1】：求极值曲线
V y (12ty y 2 )dt
2 0
s.t. y(0) 0 ， y(2) 8
解：
欧拉方程
Fy
dFy dt
d Fy 2 y ， dt
Fy 12t ， Fy 2 y ，
宏观经济学的研究方法探析
宏观经济学的研究方法探析宏观经济学作为经济学的一个重要分支，关注的是整个经济体系的运行和发展。
在研究宏观经济问题时，经济学家们常常采用多种方法来进行分析和探索。
本文将对宏观经济学的研究方法进行探析，以期更好地理解和应用这一学科。
首先，宏观经济学的研究方法之一是实证分析。
实证分析是通过收集和分析大量的实证数据来揭示经济现象和规律的一种方法。
经济学家们可以利用历史数据、统计数据等来构建经济模型，并通过对这些模型进行实证分析，从而得出一些关于经济运行和发展的结论。
实证分析的优势在于可以提供客观、可证伪的证据，从而使经济学研究更加科学和可靠。
其次，理论分析是宏观经济学研究的另一种重要方法。
理论分析是通过建立和运用经济理论来解释和预测经济现象的一种方法。
经济学家们可以利用各种经济理论，如供求理论、经济增长理论等，来构建宏观经济模型，并通过对这些模型进行理论分析，从而得出一些关于经济运行和发展的结论。
理论分析的优势在于可以提供深入的洞察力和预测能力，从而使经济学研究更加具有指导性和前瞻性。
此外，实证分析和理论分析常常相互结合，形成一种综合的研究方法。
实证分析可以为理论提供实证支持，而理论分析可以为实证研究提供理论指导。
通过综合运用这两种方法，经济学家们可以更全面地理解和解释宏观经济现象，从而为经济政策的制定和实施提供更科学、更有效的建议。
此外，宏观经济学的研究方法还包括比较分析和历史分析。
比较分析是通过比较不同国家、不同地区或不同时间段的经济现象和规律来揭示宏观经济问题的一种方法。
经济学家们可以通过比较不同国家的经济体系、不同地区的经济发展状况等，来发现宏观经济学中的共性和差异，并从中得出一些有关经济运行和发展的结论。
历史分析则是通过研究过去的经济事件和经济政策来揭示宏观经济问题的一种方法。
经济学家们可以通过研究历史数据和历史文献，来了解和分析过去的经济现象和规律，并从中得出一些有关经济运行和发展的结论。
综上所述，宏观经济学的研究方法是多样的，包括实证分析、理论分析、比较分析和历史分析等。
宏观经济学的基本概念和分析方法
宏观经济学的基本概念和分析方法宏观经济学是研究整个经济体系的经济现象和规律的学科，它研究的是对整体经济运行的总体规律进行描述、解释和预测的方法和理论体系。
在宏观经济学中，有一些基本概念和分析方法，本文将对它们进行介绍和解析。
一、宏观经济学的基本概念1. GDP（国内生产总值）GDP是衡量一个国家或地区经济总量的指标，它表示特定时间内该经济体系内所有最终产品和服务的市场价值总和。
GDP的计算包括消费、投资、政府支出和净出口。
2. 通货膨胀通货膨胀是指货币供应量过多，导致物价普遍上涨的现象。
通货膨胀会对经济产生多方面的影响，包括消费者购买力的下降、投资的压力增加等。
3. 失业率失业率是指劳动力中正在寻找工作但找不到工作的人数与劳动力总人数的比例。
失业率的高低可以反映一个经济体系的就业情况和经济活力。
4. 货币供应量货币供应量是指一个国家或地区流通中的货币总量，包括流通中的现金和非现金货币，如存款、债券等。
货币供应量的调控是影响经济运行和通货膨胀的重要手段。
二、宏观经济学的分析方法1. 国民生产总值分析法GDP分析法通过计算和分析国民生产总值以了解经济的整体表现。
这种方法可以揭示经济的增长率、结构调整和经济周期等信息，并且为制定宏观经济政策提供依据。
2. 收入分配分析法收入分配分析法用于研究和分析一国或地区的收入分配情况，并评估其对经济增长和社会稳定的影响。
这种分析方法可以揭示收入不平等问题，并为改善收入分配提供政策建议。
3. 多重均衡分析法多重均衡分析法是一种宏观经济分析方法，通过分析经济体系在不同均衡状态下的表现，来揭示经济运行和政策调控的机制。
这种方法能够帮助分析经济体系中的供求关系和市场机制。
4. 建模与预测方法宏观经济学中的建模与预测方法通过建立经济模型，预测经济指标的走势，帮助政府、企业和个人制定合理的决策。
这些方法包括时间序列分析、回归分析、计量经济模型等。
总结：宏观经济学是研究整个经济体系的经济现象和规律的学科，它的基本概念包括GDP、通货膨胀、失业率和货币供应量等，而分析方法则包括国民生产总值分析法、收入分配分析法、多重均衡分析法和建模与预测方法等。
宏观经济模型分析
宏观经济模型分析宏观经济模型分析是一种用于研究整体经济运行的工具，通过构建数学模型来分析经济系统中各个部分之间的相互作用和影响。
它利用数理逻辑、统计学和经济学原理，将经济现象量化并建立数学关系，以便更好地理解经济现象的本质和特征，并为政策制定者提供决策支持。
宏观经济模型一般包括几个基本组成要素：决策者，个体经济主体，市场机制和宏观经济变量。
其中，决策者包括政府、企业和家庭等，个体经济主体指的是在市场中参与交易的个体，市场机制是个体经济主体之间进行买卖、供求关系形成的机制，宏观经济变量指的是总需求、总供给、价格水平、国内生产总值、就业率等宏观经济指标。
凯恩斯总体经济模型是由凯恩斯提出的，它主要关注宏观经济中总需求和总供给之间的关系。
该模型假设市场经济存在着需求不足的问题，即总需求不足以满足总供给。
在这一模型中，政府通过财政政策和货币政策来调节总需求与总供给之间的关系，以实现经济增长和稳定。
动态随机一般均衡模型是现代宏观经济学中常用的分析工具。
它将经济系统看作是一个处于不断变化的均衡状态下的复杂系统，通过考虑各种决策者之间的相互作用和市场机制的运行来分析经济系统的稳定性和动态演化。
该模型具有较好的理论基础和数学性，能够比较准确地解释和预测宏观经济现象。
新古典主义增长模型是用于分析经济长期增长的一种模型。
该模型从生产函数、投资、人力资本和技术进步等方面入手，探讨经济增长的源泉和机制。
该模型认为技术进步和投资对经济增长起到重要的推动作用，同时人力资本的积累也对经济增长起到积极的影响。
宏观经济模型分析的目的在于提供对经济系统的深入理解，评估不同经济政策的效果，并为决策者提供决策参考。
通过构建和运行模型，可以预测经济指标的变化趋势，帮助政府预警风险和制定相应政策，也可以为企业提供市场预测和战略决策的参考。
总之，宏观经济模型分析是研究经济系统整体运行规律和政策影响的重要工具。
通过构建数学模型和运用经济学原理，可以更好地理解和解释经济现象，为决策者提供决策支持，为经济发展和稳定做出贡献。
宏观经济预测模型研究及应用分析
宏观经济预测模型研究及应用分析摘要：宏观经济预测是制定经济政策和决策的重要依据。
为了更准确地预测宏观经济变量的未来走势，经济学家们设计了各种宏观经济预测模型，并在实际应用中进行验证。
本文首先介绍了宏观经济预测模型的概念和分类，然后重点分析了几种常见的宏观经济预测模型，包括时间序列模型、因果关系模型和结构性模型，并对它们的优缺点进行了比较。
最后，通过实例分析，探讨了宏观经济预测模型在实际应用中的挑战与前景，并提出了一些建议。
1. 引言宏观经济预测是预测宏观经济变量（如国内生产总值、通货膨胀率、失业率等）的未来走势，对于制定经济政策和决策具有重要意义。
宏观经济预测的准确性和可靠性直接影响着政府决策者和企业家的决策效果。
为了更好地进行宏观经济预测，经济学家们设计了各种宏观经济预测模型，并不断进行研究和改进。
2. 宏观经济预测模型的概念和分类宏观经济预测模型是描述宏观经济变量之间关系的数学模型。
根据模型的形式和理论基础，宏观经济预测模型可以分为时间序列模型、因果关系模型和结构性模型。
2.1 时间序列模型时间序列模型基于历史数据来预测未来经济变量的走势。
常用的时间序列模型有ARIMA模型、GARCH模型和VAR模型等。
这些模型利用历史数据的趋势、周期和季节性等特征，进行预测。
2.2 因果关系模型因果关系模型试图通过建立宏观经济变量之间的因果关系来预测未来的经济变量。
常用的因果关系模型有回归模型、向量自回归模型和脉冲响应模型等。
这些模型通过考虑不同经济变量之间的相互作用，来预测宏观经济变量的未来走势。
2.3 结构性模型结构性模型试图建立一个包含经济系统结构和参数的模型，并通过对这些参数进行估计，来预测宏观经济变量的未来走势。
常用的结构性模型有DSGE模型和CGE模型等。
这些模型通过考虑各种经济因素和政策干预，来预测宏观经济变量的未来走势。
3. 宏观经济预测模型的比较不同类型的宏观经济预测模型各有其优缺点。
时间序列模型在预测短期经济变量上具有较好的效果，但对于长期预测则表现较差。
动态经济模型与宏观经济政策的优化分析
动态经济模型与宏观经济政策的优化分析在如今快速发展的全球化经济环境中，经济模型和宏观经济政策的优化分析变得尤为重要。
动态经济模型是一种描述经济系统随时间变化的数学模型，它能够帮助我们理解经济现象的演化规律和未来走势。
而宏观经济政策的优化分析则是指根据经济模型的分析结果，在不同的经济政策选择中找到最佳的政策方案，以实现经济稳定和增长的目标。
首先，我们来看一下动态经济模型的作用和应用。
动态经济模型可以通过对经济体系中各个关键变量之间的相互关系进行建模，进而预测未来的经济状况。
例如，通过构建一个考虑产出、就业、通货膨胀等因素的宏观经济模型，经济学家可以预测未来的经济增长速度、通货膨胀率和就业水平。
这些预测结果有助于政府和企业做出决策，制定相应的政策和战略。
此外，动态经济模型还能用于评估不同政策措施的影响，帮助决策者了解政策变化对经济的影响，从而指导相关政策的调整和优化。
然而，动态经济模型并不是完全准确的，它在实际应用中存在一定的局限性。
首先，模型的建立基于一系列假设，而这些假设未必与现实完全吻合。
例如，模型可能会假定人们的行为是理性且均衡的，但实际上人们可能受到情绪和认知等因素的影响。
其次，模型所使用的数据可能存在不确定性和误差。
经济系统的复杂性和变动性使得模型的预测也存在一定的不确定性。
因此，在使用动态经济模型进行分析时，我们需要谨慎对待模型结果，充分考虑其中的不确定性，并结合实际情况进行综合判断。
接下来，我们来谈一谈宏观经济政策的优化分析。
宏观经济政策是指政府通过调整财政、货币和外汇等政策手段来影响整体经济运行的政策。
优化分析的目标是找到最佳的政策组合，以实现经济稳定和增长的目标。
动态经济模型可以作为辅助工具，帮助决策者评估不同政策方案的效果，并选择最优策略。
在宏观经济政策的优化分析中，一个关键的问题是经济的稳定性与增长之间的权衡。
经济的稳定性是指经济波动较小，通货膨胀和失业率较低的状态；而经济的增长则是指国民经济总量的增加和生活水平的提高。
宏观经济数学建模问题分析
宏观经济数学建模问题分析宏观经济数学建模是经济学理论与数学方法相结合的研究领域，旨在通过建立数学模型来解决宏观经济问题。
本文将针对宏观经济数学建模中常见的问题进行分析，并依据数学方法提供解决方案。
一、经济周期模型经济周期是宏观经济中普遍存在的周期性波动。
经济周期模型旨在揭示经济波动的原因及其动力学性质。
其中，最经典的是RBC（Real Business Cycle）模型，该模型通过建立一个动态的一般均衡模型来解释经济波动。
RBC模型的基本假设是经济系统中的所有波动都归因于外部冲击，例如技术进步、政策变化等。
这些冲击将影响经济中的各个部门，进而引起整个经济系统的波动。
RBC模型的主要优点是可以定量考察不同外部冲击对经济波动的影响，并通过数学方法进行精确测量。
二、消费-储蓄模型消费-储蓄模型是用来研究个体或家庭如何在收入与消费之间进行选择的模型。
其中，最典型的是借助经济学家关于消费、收入和储蓄之间的一些基本规律建立的经济学模型。
在消费-储蓄模型中，人们通常假设个体或家庭在选择消费和储蓄时追求效用最大化。
为了解决这个问题，经济学家可以使用最优化方法，如拉格朗日乘子法或动态规划等数学工具来求解。
通过这些方法，可以得出个体或家庭的最优消费与储蓄决策，以及在不同条件下的最优消费与储蓄水平。
三、投资模型投资是经济中重要的决策行为，不仅关系到个体或企业的利益，也影响到整个经济系统的发展。
因此，建立有效的投资模型对于研究经济增长和优化资源配置具有重要意义。
投资模型可以基于不同的变量和假设，例如资本存量、技术进步率、人力资本等。
其中，最常用的是斯托拉格投资模型，该模型描述了企业在考虑资本存量和资本边际产出率等因素下如何进行投资决策。
解决投资模型问题的方法主要包括静态优化和动态规划等。
静态优化方法可以通过对某个时点上的投资决策变量进行最大化或最小化，来确定最优投资策略。
动态规划方法则将投资决策问题转化为一个序列决策问题，通过递归思路求解。
从宏观经济学分析范式讲起的经济周期分析法
从宏观经济学分析范式讲起的经济周期分析法
经济周期是经济运动的基本规律之一，指的是国家经济总量在一定时期内的循环变化，包括繁荣期、衰退期、萎缩期和复苏期。
经济周期的波动对经济发展影响巨大，因此经济
周期分析是宏观经济学研究的重要分支。
经济周期分析法是通过分析宏观经济变量的变化趋势，来预测经济周期的变化过程。
宏观经济学主要研究宏观经济变量的长期变化趋势，而经济周期分析法则强调其短期波动。
以下是几种常见的经济周期分析方法。
1. 平滑趋势法
平滑趋势法是通过对宏观经济变量进行平滑处理和趋势线拟合线性回归模型，对长期
趋势进行分析预测。
该方法适用于经济变量数据的抖动较小的情况下。
2. 波动率方法
波动率方法是通过分析宏观经济变量的波动率来判断经济景气程度。
该方法适用于短
期经济波动剧烈的情况下。
3. 突破点方法
4. 分析协调律方法
分析协调律方法是通过分析宏观经济变量之间的关系，找出变量之间的内在联系和影响，从而判断经济周期的变化过程。
该方法较为复杂，需要深入挖掘宏观经济变量之间的
关系。
以上仅是几种经济周期分析法中的几种，针对不同的宏观经济变量和波动情况，还有
很多其他的分析方法。
但总的来说，经济周期分析法通过对宏观经济变量的变化趋势进行
分析和预测，有助于制定更为精准的政策措施，为经济发展提供更好的方向和保障。
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================= ================= 附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化（08、09、10、11硕已讲，精细订正版）一、动态最优化在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数)(x y y =，最优点*x 的一阶条件是0)(='*x y .在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线)(t x *．这个最大化的积分定义为独立变量t 、函数)(t x 及它的导数dt dx /的函数F 下的面积。
简言之，假设时间区域从00=t 到T t =1，且用x &表示dt dx /，我们寻找最大化或最小化⎰Tdt t x t x t F 0)](),(,[& （20.1）这里假定F 对t 、)(t x 、)(t x &是连续的，且具有对x 和x&的连续偏导数．将形如(20．1)，对每一个函数)(t x 对应着一个数值的积分称为“泛函”．一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”．极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类)(t x ． （讲！）例1 一家公司当希望获得从时间0=t 到T t =的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p ，而且也依赖于价格关于时间的变化率如dt dp /。
假设成本是固定的，并且每个p 和dt dp /是时间的函数，p&代表dt dp /，公司的目标可以作如下数学表示 ⎰Tdt t p t p t Max 0)](),(,[&π另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平)(t x 和生产的变化率xdt dx &=/．假设这个公司希望最小化成本，且x 和x &是时间t 的函数，公司的目标可以写成⎰10)](),(,[min t t dt t x t x t C &满足1100)(,)(x t x x t x ==且这些初始和终值约束称为端点条件．例2 Ramsey 经济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式)(c U U =出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey 问题”—找出一条消费路径)(t c ，使家庭终生效用函数)(c U U =最大化：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-⎰⎰∞-+-∞-0))()((1)]([max 0)()(010dt e t c t k dt t c e B t R t g n t c ωϑϑβ二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个泛函⎰1)](),(,[t t dt t x t x t F &连接点),(00x t 和),(11x t 的曲线)(t x x **=是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂xF dt d x F & (20．2a)称之为欧拉方程．尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程．用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函数．(20．2a)的欧拉方程表示为)],,([),,(x x t F dtdx x t F x x &&&=(20．2b)然后，用链式法则求x F &关于t 的导数，并且省略自变“量”，得)()(x F x F F F xx x x t x x &&&&&&&++= (20．2c) 这里，22/dt x d x =&&下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。
图20-2证明：（重点！09、10、11硕，已讲）设)(t x x **=是图20-2中连接点),(00x t 和),(11x t 的曲线，并且它使下面泛函取得最大值⎰1)](),(,[t t dt t x t x t F & (20．3)即)(t x x **=为极值曲线，欧拉方程(20．2a)是)(t x x **=为极值曲线的一个必要条件．取)()(ˆt mh t x X +=*是)(t x x **=的相邻曲线，这里m 是任意常数，)(t h 是一个任意函数．为了使曲线Xˆ也通过点),(00x t 和),(11x t ，则X ˆ也满足端点条件：0)(0)(10==t h t h (20．4)一旦取定)(t x *和)(t h 之后，因)(t x *和)(t h 固定，则积分值⎰1)](),(,[t t dt t x t x t F &仅为m 的函数，不妨改写成⎰++=**1)]()(,)()(,[)(t t dt t h m t x t mh t x t F m g && (20．5)由于)(t x *使(20．3)中的泛函⎰1)](),(,[t tdt t x t x t F &实现最优化，所以(20．5)中的函数)(m g 仅当0=m 时（因为0=m 时的⎰++=**1)]()(,)()(,[)(t t dt t h m t x t mh t x t F m g &&才能还原为⎰10)](),(,[t t dt t x t x t F &）实现最优化，即有00==m dmdg(20．6)对(20．5)即⎰++=**1)]()(,)()(,[)(t t dt t h m t x t mh t x t F m g &&用链式法则求m F ∂∂/．由于F 是x 和x&的函数，依次又是m 的函数，代入(20．7)得 dt m h m x x F m mh x x F dm dg t t ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂+∂⋅∂∂+∂+∂⋅∂∂=**10)()(&&&由于h m mh x =∂+∂*)(且h m h m x &&&=∂+∂*)(，用条件(20．6)即00==m dmdg，有0)()(100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎰=dt t h x F t h x F dmdgt t m && (20．8)方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分， （注：分部积分公式即)(),(t v v t u u udv vu vdu bt a t bt a t ba ==-=⎰⎰====令)(,t h u xFF v x =∂∂==&& 所以，dt xFdt d dt dt dF dt dt dv dv x ⋅∂∂=⋅=⋅=)(&&dt t h dt dtdu du ⋅=⋅=)(& ）⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂==1010100)()()(0t t tt t t m dt t h x F dt d t h x F dt t h x F dmdg &&& 由(20．4)知，0)()(10==t h t h ，从而0)()(10==t h t h &&，于是上式中第二项去掉，合并其余两项，有⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂==100)(0t t m dt t h x F dt d x F dmdg& （20．9) 由于)(t h 是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条件为方括号中式子为零，即0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x F dt d x F & 或 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂xF dt d x F &这就是欧拉方程．定理证毕。
三、求候选极值曲线在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：1、设被积函数为F ，即),,(x x t F F &=．2、求F 对x 和x &的偏导数，记x x F x F F x F &&=∂∂=∂∂/,/．3、代入欧拉方程(20．2a)或(20．2b)．4、求x F &关于t 的导数．由于x F &是t ，x x &和的函数，且x x &和又是t 的函数，因此，需要用链式法则．5、如果没有导数项(x x &&&和)，立即解出x ；如果有xx &&&和项，直到作出所有导数的积分，然后求出x 。
在例3，例4中，给出了这个方法的例子．例3 设⎰+Tt dt xt e x 032)46(&，试用(20. 4)中所列程序及(20．2a)的记号，最优化这个泛函如下：1、设 x t e x F t &4632+=2、则t xFxe x Ft 4,123=∂∂=∂∂& 3、代入欧拉方程(20．2a)，有)4(123t dtdxe t =4、但4/)4(=dt t d ，代入上式，4123=t xe5、由于没有x &和x&&项，所以可直接求出x ，将这个解表成)(t x ， t e t x 331)(-=这个解满足动态最优化的必要条件，只能说明它是一个候选极值曲线．所以有必要使用充分条件检验。
见下一节．例4 泛函⎰-+22)5124(dt t xt x &满足4)2(1)0(==x x求上述泛函的候选极值曲线，现在用(20．2b)的记号．1、设 t xt xF 51242-+=& 2、则 x F t F x x &&812==且3、代入欧拉方程(20．2b)，x dtdt &812=4、记dtdxx =&，且x dt x d dt dx dt d &&==⎪⎭⎫ ⎝⎛22，xt &&812=5、由于有x&&，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个常数．xc t dt x tdt &&&8681212=+=⎰⎰再积分，xc t c t dt x dt c t 828)6(21312=++=+⎰⎰&&解出x ，8841)(212ct c t t x ++=代入边值条件，88)0(22==c c x 441)2(81)2(41)2(112==++=c c x代入式中，得解：12141)(3++=t t t x四、变分法的充分条件假设对于极值曲线，必要条件是满足的．1、如果泛函)](),(,[t x t x t F &在xt x &),(是联合凹的，则对于最大值情况，必要条件是充分的。