第五章(典型环节的频率特性)

在极坐标系中画出该向量。 ω从-∞→+∞变换时该向量在极坐标系中形成 的曲线，称为Nyquist曲线。 实频特性是ω的偶函数，虚频特性是ω的奇函数。为什么？
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -artan0.5 ω
G(s) =
1 0.5s+1 A(ω)=
ω
0 0
1
0.5
0.97
1
2
4
1 0.25 ω2+1 5 8 20
频率特性的定义： 线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零 初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复 数比。
1 G ( j ) 1 j 幅频特性和相频特性数据
(rad s 1 )
0
1 0
1 2 1 2 3 4 5
0.89 0 0.70 7 0.44 7 0.31 6 0.24 3 0.19 6 -26.5 -45.0 -63.4 -71.6 -76.0 -78.7
稳定后输出 C(t)=CmSin（t+）
三要素： 频率： 不变
幅值： M Cm 关系为： 幅角： 0 关系为：
0 G(s) |S j
Cm A( ) G(s) S j X
系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率特性。
幅频特性 相频特性
可见：A( ) G ( j )
（3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直 线近似表示。 （4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而 得到对数频率特性或传递函数。 3. 对数幅相特性曲线（Nichols图)
由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。
可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征 参数，作为评估系统性能的依据。
§5.1典型环节的频率特性 一、比例环节 比例环节的传递函数为：G(s)=K=const 频率特性表达式为： G( j ) K const
一、频率特性的定义 例：如图所示电气网络的传递函数为
U 2 ( s) 1 Cs 1 1 U1 ( s) R 1 Cs RCs 1 s 1
u1
R
i
C
u2
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t 其拉氏变换为：
U 1m U1 ( s) 2 s 2
U1m 1 2 输出拉氏变换为： U 2 ( s) s 1 s 2
例题中输入信号的复数表示为： U1me j 0
1 例题中输出信号的复数表示为：U1m e 1 j 它们之比为：G( j ) 1 A( )e j ( ) A( ) ( ) 1 j
1 j 1 j
1 1 1 ( ) arg tan A( ) 2 2 1 j 1 j 1
（1）任何信号都可以分解为叠加的谐波信号；
（2）频率特性是一种图解方法，根据开环频率特性判断闭环频 率特性； （3）对于某些无法求解的微分方程或传函，可通过实验测出其 频率特性，进而求传函； （4）频率特性主要是用于线性定常系统，频率特性与输入正弦 信号的幅值与相位无关。 本章涉及数学基础：傅里叶变换
( ) G ( j )
Cm X
总结：
频率特性可以分成：
j ( )
相频特性
G ( j ) A( ) e
幅频特性
G( j ) A()e
j ( )
A( ) cos jA( ) sin
虚频特性
实频特性
研究频率特性的意义 1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模 型，是研究自动控制系统的另一种工程方法。
第五章 线性系统的频域分析
§5.1
频率特性的概念
§5.2 典型环节的频率特性 §5.3 系统的开环频率特性 §5.4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 §5.5 利用开环频率特性分析系统性能 §5.6 利用闭环频率特性分析系统性能
本章重点
1.开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐 标图)； 2. 乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用； 3. 对数频率特性和闭环系统性能的关系； 4. 开环频率特性指标； 5. 闭环频率特性指标。
jt
dt C ( j ) c(t )e jt dt


经过傅氏反变换
1 c(t ) 2



G ( j ) R( j )e jt d
1 系统的单位脉冲响应为： g (t ) 2



G ( j )e jt d
频率特性
输入 r(t)=M Sin（t+0） 线性系统 通常令0=0
系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率 特性。
是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性 能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。 具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。
§5.1 频率特性的概念
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
G( j) A()e j ( )
G( j) A()e j ( )
M b1 A( )e j ( ) 2j
M b2 A( )e j ( ) 2j
css (t ) b1e
jt
b2e
jt
A( )M
e
j [t ( )]
e 2j
时域分析： 频域分析：
输入
c(t ) L1[G(s) R(s)]
r(t)=X Sint
系统
输出（稳定后）
c(t)=Cm Sin（t+）
在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量与输入量 复数之比称为频率响应。
人们发现频率特性虽然是一种稳态特性，但它既反映系 统的稳态性能，还可以研究系统的暂态性能。 问题：为什么人们如此重视频率特性的分析呢？
L() 20lg A()
L(ω)称为对数幅值，单位是dBΒιβλιοθήκη Baidu分贝)。
采用对数坐标图的优点： （1）将低频段展开，将高频段压缩。 （2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。
G( j) G1 ( j)G2 ( j)Gn ( j)
G1 ( j) A1 ()e j1 ( ) G2 ( j) A2 ()e
其拉氏反变换为：
U1m U1m u2 e sin(t arctan ) 2 2 2 2 1 1
t
其稳态响应为：
lim u2
t
U1m 1 2 2
sin(t arctan ) U1m
1 1 sin(t ) 1 j 1 j
b1 G ( s )
M M ( s j ) G ( j ) ( s j )( s j ) 2j s j
M M b2 G ( s ) ( s j ) G ( j ) ( s j )( s j ) 2j s j
G(jω)是一复数，可写为
0°

0 -90
A( )
()( )
1.0 0.6 0.4 0.2 0 0.8
( )
3 4 5
A( )
-20° -40° -60° -80°
1 2
1 2 3 4 5
频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。
G( j) P() jQ()
对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同 上式表明：
频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设 输入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
A( ) —幅值频率特性 Ye j Y j j ( ) e A( )e j0 Xe X ( ) —相角频率特性
十倍频程 十倍频程
2 0 l g | G ( j ω ) | ( d B )
0.1 0.2 0.3 1
十倍频程
十倍频程
2 3 10
十倍频程
20 30 100
ω(rad/s)
频率的对数分度
对数幅频特性： 指G(jω)的对数值20lg|G(jω)|和频率ω的关系曲线。 即纵坐标 对数相频特性： 指G(jω)的相角值φ(ω)和频率ω的关系曲线。 纵坐标是的单位是“ °”。采用线性刻度。
P() A() cos () Q() A() sin ()
A( ) P ( ) 2 Q ( ) 2
Q( ) ( ) arctan P( )
二、频率特性与传递函数的关系
线性定常系统的传递函数表达式为
C ( s) N ( s) N ( s) G( s) R( s) D( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) M 输入为r(t)=Msin(ωt)， R( s) 2 s 2 N ( s) M C ( s) 2 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) s 2
本章难点
• 开环频率特性的绘制； • 乃奎斯特判据的原理及其应用；
• 剪切频率及相角、幅值裕度的求取；
• 二阶系统频率特性指标和时域指标的换算；
• 典型二型系统频、时域指标的定性关系。
时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的 时域响应不易。 正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量 称为频率响应。
结论
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
相角问题
AA ① 稳态输出 迟后于输入的 角度为： B φ= 360o A ②该角度与ω有 关系 , ∴为φ(ω) ③该角度与初始 角度无关 , ∴ …
B B
j [t ( )]
A( )M sin[t ( )]
得到线性系统的幅频特性和相频特性：
A() G( j)
() G( j)
频率特性和传递函数的关系为
G ( j ) G ( s ) s j
系统的频率特性也是输入信号的傅氏变换和输 出信号的傅氏变换之比。 C ( j ) G( j ) R( j ) 其中 R( j ) r (t )e
j2 ( )
L( ) 20 lg A( ) 20 lg A1 ( ) 20 lg A2 ( ) 20 lg An ( ) L1 ( ) L2 ( ) Ln ( )
Gn ( j) An ()e
…
jn ( )
() 1 () 2 () n ()
2、根据系统的频率性能间接地揭示了系统的动 态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某 些环节或参数对系统性能的影响，指出系统 改进的方向。
3、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立 动态模型的系统很有好处。
频率特性的求解：
1 c ( t ) L [G(s) R(s)] 来求取 方法1：利用关系式 从输出的稳态响应中可得到谐波输出的幅值和相位。
φ o(ω)
A(ω)
-14.5 -26.6 -45 -63.4 -68.2 -76 -84
0.89 0.71 0.45 0.37 0.24 0.05
Re[G(jω)] 1 j Im[G(jω)]
0
2. 对数频率特性曲线（Bode图） 在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数 相频特性两条曲线所组成。 半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。
若无重极点，上式可写为
n ai b1 b2 C ( s) s j s j i 1 s pi
c(t ) b1e
j
b2e
j
j
ai e
i 1
j
n
pi t
若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：
lim c(t ) b1e
t
b2 e
方法2：将传递函数中的S换成
j 求取
方法3：实验法来求取
三、频率特性的几种图示方法 1. 幅相频率特性曲线 它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐 标图，又称Nyquist曲线。 系统的频率特性可表示为： G( j) A()e j ( ) 对某一固定频率ω1
G( j1 ) A(1 )e j (1 )