华师大版八年级上册数学《全等三角形》重难点专训

华师大版八年级上册数学《全等三角形》重难点专训

专训一：命题与定理

名师点金：命题贯穿于数学始终，是数学的基础知识，学习时，要会判断一句话是不是命题，能找出命题的条件和结论，会判断命题的真假，会用证明的方法去证明一个真命题．

命题的定义及结构

1．下列句子是命题的有()

①一个角的补角比这个角的余角大多少度？

②垂线段最短，对吗？

③等角的补角相等；

④两条直线相交只有一个交点；

⑤同旁内角互补．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．写出下列命题的条件和结论．

(1)平行于同一条直线的两直线平行；

(2)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；

(3)两点确定一条直线．

命题的真假

3．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请说明理由．

(1)一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；

(2)如果a是有理数，那么a2＋1＞0；

(3)如果AC＝BC，那么点C是AB的中点；

(4)如果等腰三角形的两条边长分别为5和7，那么这个等腰三角形的周长为17.

命题的证明

类型1 证明真命题

4.如图所示，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，∠BMN 与∠DNM 的平分线相交于点G.

求证：MG ⊥NG.

请补全下面的证明过程：

证明：∵MG 平分∠BMN(____________)，

∴∠GMN ＝12∠BMN(____________________)．

同理∠GNM ＝12∠DNM.

∵AB ∥CD(____________)，

∴∠BMN ＋∠DNM ＝________(____________)，

∴∠GMN ＋∠GNM ＝________(____________)，

∵∠GMN ＋∠GNM ＋∠G ＝________(________)，

∴∠G ＝________，

∴MG ⊥NG(____________)．

类型2 证明假命题

5．已知命题：“一个锐角与一个钝角的度数之和一定等于180°”，请你判断这个命题的真假，如果是假命题，请你用举反例的方法说明它是假命题．

专训二：全等三角形判定的三种类型

名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：S .S .S .，S .A .S .，A .S .A .，A .A .S .；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“H .L .”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．

已知一边一角型

题型1 一次全等型

1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.

求证：AD是△ABC的中线．

题型2 两次全等型

2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD.

已知两边型

题型1 一次全等型

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你的猜想的正确性．

题型2 两次全等型

4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.

已知两角型

题型1一次全等型

5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.

题型2两次全等型

6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB ＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.

专训三：活用“三线合一”巧解题

名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．

利用“三线合一”求角

1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．

利用“三线合一”求线段的长

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝BC，DE⊥AB于点E，若CD＝4，且△BDC的周长为24，求AE的长．

利用“三线合一”证线段相等

3．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：DE＝DF.

利用“三线合一”证垂直

4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.

利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)

5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.

利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)

6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.

专训四：轴对称图形性质的应用

名师点金：本章中除了等腰三角形之外，还有两类特殊的轴对称图形——线段和角，灵活运用它们的轴对称性可以求线段的长度，求角的度数，证明数量关系等．

求线段的长

1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12 cm，则BC＝________.