数学建模 期末考试监考安排

论文题目期末考试监考安排摘要本文针对监考安排问题，设置一般假设、确定约束条件，建立了非线性规划模型和整数规划模型，并且结合人工排考，进一步优化排考问题。

本文从时间安排，考场安排、监考安排三个方面建立数学模型，分别解决了考试时间，考场，考试专业以及监考教师安排的问题。

针对问题一、二，在假设具有同一门课程的专业同时考试的前提下（各课程考试人数见表二），用枚举法列举所有合理的考试时间模式（模式表见表一），采用非线性规划确定采用的考试模式。

在假设仅安排无限制的教师监考的前提下，建立考场安排与监考教师安排模型。

再结合人工排考将具有特殊情况的教师安排考试，求出最短考试时间为2天，并得出考场安排表，具体安排分别见表四、表五。

对于问题三，假设考试课程最多的专业每天均考一门，每场考试采用30个考场，因而我们得出共有12个考试时间段，建立优化模型，求出每门课程考试间隔，对部分考场安排结合人工排考，最终我们得出最短考试时间为6天，具体考试安排见表六。

此外，我们建立平均考场容量利用率的评价模型来评价各时间段考场安排的合理程度，得出本文所建模式的平均考场容量利用率约为93%，此利用率对于一整天而言考场利用率已经较大，但也存在数个考场利用率低于90%的情况，对延长考试总天数产生影响。

关键词：非线性规划模型；整数规划模型；枚举法一问题重述1.背景考场安排是高校考务管理活动的主要组成部分，由于排考冲突条件多，数据量大，人工排考无疑是一种繁复、琐碎的工作。

随着高校进一步扩招，人工排考的问题更显得突出。

研究自动排考算法，解决现阶段存在的问题，实现考试安排的快捷高效具有一定的现实意义。

黄勇等[1]应用数据库及信息技术提出了一种新的高校自动排考算法，解决了考试课程、考场及监考教师的自动安排。

马慧彬[2]等利用特征函数建立模糊集实现了教室安排的智能化算法。

尽管应用信息技术或智能搜索算法能够实现自动排考，但往往是一个可行解，不是最优解，没有考虑优化目标。

我们从数学方面分析该问题，以期能给各院系教务人员有所帮助，假设某学院期末考试现有的监考教师有80位，分可以监考不超过2场、3场考试以及无限制3种情况；考试课程有100门，并且各课程的考试时间有60、90、120分钟三种情况，同时在一个考场的每两门课程的考试间隔不少于20分钟；该学院有50个专业参与考试，各专业参加考试的课程见附件1的excel表格，同时假设每个专业内的学生所选的课程一致；该学院共有50个考场，考场容量分3种情况，分别可容纳30人、45人、60人。

每天的考试时间分为3个时间段，并且周一至周日都可安排考试。

2.问题在合考与不能合考两种情况下，求出考完所有课程的最短时间，各种情况下的教师被安排的监考场数应尽量平均，并分别做出期末考试的考场安排表。

为了便于学生的期末复习，规定每个专业一天只能考试一门课程，并且老师一天最多监考2场，2场考试不能在同一时间段，其他条件不变，求出期末考试的最短时间，并做出期末考试的考场安排表。

此外，结合所得知识给学校教务人员安排监考给予建议。

二问题分析首先，应当确定针对每个考场每天的考试时间段可行的组合模式，即在上午、下午、晚上各个考试时间段中，可以安排60min,90min,120min ，3种情况的组合。

其次考虑合理的组合模式，合理的考试时间组合模式是在每个考试时间段中剩余的时间，不应超过或等于每场考试的时间。

因而通过枚举法得出18种组合模式，如表一所示。

从而求出采取某种模式以及其采用天数，由此可确定考试时间段。

监考教师的安排属于任务分配问题。

受监考教师限制，每场考试至多采用40个考场考试，因此对于问题二在允许合考的情况下，应充分利用考场(存在两个D10-D50，一个D16-D50，其余全为D20-D50),从而减短考试时间。

对于问题三，假设有最多门考试课程的专业每天都能考一门，若每场考试采用30个考场，则每场考试的最大考场容量可为1500人。

符合若每天在两个时间段共进行两场考试，所有专业考生人数不超过其考场总容量。

因此，我们得出至多有12个时间段，建立模型求解后再结合人工排考优化考场安排。

三 模型假设1.假设具有相同课程的专业同时参加考试；2.每场考试需参加考试的学生均到场；3.每个安排有考试的考场均能正常进行考试。

四 符号说明b ：表示课程编号，b =1,2,3, (100)c ：表示专业编号，c =1,2,3， (50)d ：表示考场编号，d =1,2,3, (50)i ： 表示某种考试模式，i =1,2， (18)d P ：第d 个考场的容量；tb B ：表示第b 门课程在t 时间是否考试（取1表示是，取0表示否）；b R ：表示考第b 门课程的人数；i x ：表示采用第i 种考试模式（i =1,2，…，18）所需天数；id y ：表示第d 考场采用i 模式；0T ：表示安排所有考试的时间段集合{}01,2,34,5,6T ⊆，；atd h ：表示第a 位教师在t 时间段是否监考第d 个考场（取1表示是，取0表示否）； td z ：在时间t 考场d 是否使用（取1表示有，取0表示否）；tbd y ：表示时间t 课程b 在第d 考场考试；cb A ：表示第c 个专业是否有b 门考试课程（取1表示有，取0表示否）；T ：表示安排考试的时间段，T =1,2,3，…，12五 模型建立与求解1.问题一 在不合考前提下求出期末考试的最短时间1.1 模型建立用i x 表示采用第i 种考试模式（i =1,2，…，18）所用的天数，i x 是非负整数。

由此以采用某些合理考试模式所需的考试天数最少为目标，得到目标函数：181min i i z x ==∑，i x N ∈由于无特殊情况的监考教师为60人，因此我们假设给定的考场数量为30个，为使考场容量最大化，假设采用考场D21-D50，每场考试所有考场可容纳1500人考试。

为满足60min,90min,120min 各个考试时间段的考试人数要求，即考试人数不超过考场容量，有以下约束条件：1)采取某些合理考试模式下，参加考试时间为60min 科目考试总人数不应超过考场容量：35911131517167248101214161500432654323725i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x =======⎛⎫+++++++++≥ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑ ，i x N ∈2）采取某些合理考试模式下，参加考试时间为90min 科目考试总人数不应超过考场容量：3505091546101213161718211814150022234238400i i i i d d i i x x x x x x x x x x x =====⎛⎫++++++++++≥ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ ，i x N ∈3）采取某些合理考试模式下，参加考试时间为120min 科目考试总人数不应超过考场容量：461218151117150022050i i i i i i i i x x x x ====⎛⎫+++≥ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，i x N ∈，综上所述，建立模型：181min i i z x ==∑，i x N ∈..s t 35911131517167248101214161500432654323725i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x =======⎛⎫+++++++++≥ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑， i x N ∈3505091546101213161718211814150022234238400i i i i d d i i x x x x x x x x x x x =====⎛⎫++++++++++≥ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑，i x N ∈461218151117150022050i i i i i i i i x x x x ====⎛⎫+++≥ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，i x N ∈，1810i i x =〉∑，ix N ∈ 在完成考试时间段安排后，我们引进0-1变量tbd y 表示时间t 课程b 在第d 考场考试，取1表示是，取0表示否。

其中：(){}0(,),1,,1,2,3,100tb t b B t b t T b ∈=|B =∈=…，，{}1,2,3,,50d ∈…，在时间t 考场d 可能用也可能不用，用0-1变量td z 表示，取1表示是，取0表示否，0t T ∈，{1,2,330}d ∈……。

目标是在每个考试时间段t ，考场的利用率应尽可能高，即所有考场余量尽可能少，即()050=1,min (P z -R y )d td b tbd t T d t b B ∈∈∑∑∑。

要满足的约束条件为：1）保证每门课程都有考场，50=1=1tbd d y ∑；2）时间t 考场d 内的考生总数不超过考场容量，即(,)b tbd d td t b B R y P z ∈≤∑，{1,2,3}d ∈……50，0t T ∈ 综上所述，建立如下整数规划模型：(t,b)B ..b tbd d td s t R y P z ∈≤∑，{}1,2,350d ∈……，0t T ∈50=1=1tbd d y∑，0t T ∈，(,)t b B ∈{}0,1tbd y ∈，0t T ∈，(,)t b B ∈，{}1,2,350d ∈……{}=0,1td z ，0t T ∈，{}1,2,350d ∈……监考教师的安排属于任务分配问题。

第a 位教师在t 时间段是否监考第d 个考场，引进0-1变量用atd h 表示，取1表示监考，取0表示否。

目标是要保证各种情况下的教师监考场数尽量平均，也就是监考次数最多的教师与监考次数最少的教师的差值最小，即需要满足的约束条件为：1）在t 时间段，第a 位教师至多在一个考场监考，即50=11adt d h≤∑，0t T ∈，{}1,2,3,80a ∈…，2）每个考场的监考教师为2人，每个考场的容量为d P ，则在第t 时间段，第d 个考场的安排的监考教师为：80a=1=2atd d hP ∑g ，0t T ∈，{}1,2,3,d ∈…，503）情况1的监考教师需满足条件监考场数不超过2场，即050=1=12T atd t d h≤∑∑，{}1,2,3,10a ∈…，4）情况2的监考教师需满足条件监考场数不超过3场，即050=1=13T atd t d h≤∑∑，{}11,12,13,20a ∈…，综上所述，我们建立监考教师安排的模型如下：..s t 50=11adt d h≤∑，0t T ∈，{}1,2,3,80a ∈…，80a=1=2atd d hP ∑g ，0t T ∈，{}1,2,3,d ∈…，50 050=1=12T atd t d h≤∑∑，{}1,2,3,10a ∈…， 050=1=13T atd t d h≤∑∑，{}11,12,13,20a ∈…， 050=1=13T atd t d h≤∑∑，{}11,12,13,20a ∈…，{}0,1atd h ∈，0t T ∈，{}1,2,3,80a ∈…，，{}1,2,3,50d ∈…，1.2模型求解用LINGO 求解，程序见附录一，结果显示分别采用考试模式4、16、18的考试天数为1.242、0.125 、0.685 ，共计2.052天。