数学的基础研究
数学基础研究的前沿和设计方法
数学基础研究的前沿和设计方法数学是一门哲学性质极强的学科，其内在逻辑和抽象性质对人类认识和思维方式有着深远的影响。
数学的基础研究是数学发展的源头，其前沿和设计方法对于推动数学发展和应用具有重要的意义。
本文将从数学基础研究前沿和设计方法两个方面进行探讨。
一、数学基础研究的前沿1. 群论和拓扑学：群论是数学的一大分支，通过研究群的结构和性质来推进数学基础理论的发展。
近年来，群论和拓扑学的研究逐渐相互交织，构建了更为深入的数学理论。
例如，群的同调代数和拓扑空间的同调代数之间存在密切的关系，这种关系使得拓扑学的发展成为了群论的重要组成部分。
2. 算术几何：算术几何是数学基础研究中的一个极其重要的领域，试图将代数几何的理论和算术的性质更为密切地结合起来。
其中，代数数论和椭圆曲线理论是该领域的两个主要分支。
正在发展中的數學领域“整数分解”，是实践中使用了代数数论和椭圆曲线理论的機制，可以有效推动密码学、網絡安全等重要学科的研究。
3. 微分几何和偏微分方程：微分几何和偏微分方程是数学基础研究中的两个重要分支。
微分几何的发展已经推动了许多其他领域的研究，比如数学物理和数学生物学等。
偏微分方程是自然科学和工程科学中的一个重要工具，通过建立数学模型来研究各种自然现象。
最近的发展使得该领域能够更好地处理复杂现象，例如涡旋和紊流的建模、气体的运动和燃烧现象等。
二、数学基础研究的设计方法1. 抽象理论：抽象理论是数学基础研究中重要的一个设计方法，通过一定程度的抽象化，能够帮助我们更好地解决一些基础问题。
例如，通过刻画群的一般性质，我们可以推导出许多不同的关键结果。
抽象理论的设计方法是对问题进行深入分析，找到本质特征，尽可能提高问题的推广性和解决效率。
2. 计算机辅助方法：在现代数学基础研究中，计算机辅助方法已经成为了一个非常重要的资源。
数学家们可以利用计算机进行实验，针对某些特殊的例子进行分析和理解。
例如，在代数几何和数论中，计算机辅助算法已经被广泛应用，能够大幅提高研究的精度和速度。
数学基础(研究整个数学的理论基础及其相关问题的学科)
现状
现状
数学上，数学基础一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递 归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为真?占统治地位的数学范式 是基于公理化集合论和形式逻辑的。事实上，所有的数学定理都可以用集合论的定理表述。数学命题的真实性在 这个观点下，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。
在数学基础的研究中，鲁宾孙，P.J.科恩自称为形式主义者（希尔伯特本人不认为自己是形式主义者），他 们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统，“无穷集”，“无穷整体”等在客观上是不存在的。希尔 伯特的设想虽然没有实现，但却创立了证明论，又促进了递归论的发展，因此对数学基础的研究有很大的贡献。
古代由于科学技术发展水平的限制，无需专门研究数学基础，这种情况一直持续到牛顿、莱布尼兹创立微积 分的时代。非欧几何的出现使人们意识到必须为数学建立不依赖于直观的基础，必须研究数学的可靠性，特别是 无矛盾性，无公度线段的存在及集合论的悖论说明人们不能只依靠直观，而必须为数学建立严格的逻辑基础，解 决数学的哲学基础问题。因此数学基础是包括哲学方法论和逻辑等诸方面问题的学科，数学基础现已形成数学的 重要分支之一。
他们反对在无穷集合中使用排中律。他们不承认实无穷体，认为无穷是潜在的，只不过是无限增长的可能性。 可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。失去了数学的美，因 而不被大多数数学家接受。
形式主义
希尔伯特以D.希尔伯特为代表，可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。希尔伯特主张捍卫排中律， 他认为要避免数学中的悖论，只要使数学形式化和证明标准化。为了使形式化后的数学系统不包含矛盾，他创立 了证明论(元数学)。他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。1931年K.哥德尔证明了不完全性定理，表明 希尔伯特方案不能成功。后来许多人对希尔伯特方案加以改进。W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾 性。
高等数学基础理论与应用研究
高等数学基础理论与应用研究高等数学是一门研究数学基本概念、理论和方法的学科，它在许多领域中具有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
本文将重点研究高等数学的基础理论和应用，探讨其在实际问题解决中的重要性和价值。
一、高等数学基础理论研究1. 极限与连续极限理论是高等数学中的核心概念，它研究函数在自变量趋近某一值时的趋势。
通过研究极限的性质和计算方法，我们可以更好地理解函数的变化规律。
连续函数是极限的一个重要应用，它具有无间断性，在实际问题中起着重要的作用。
2. 微分与积分微分与积分是高等数学中的另外两个重要概念，它们是函数研究的基本工具。
微分研究函数局部的变化情况，积分则研究函数整体的某种特征。
微积分的理论与方法可以应用于许多实际问题的求解，如物理学中的运动学问题、经济学中的边际效应计算等。
3. 级数与无穷级数级数是由一系列数项按照一定规律相加而得到的数列总和，它在高等数学中具有重要地位。
级数的理论研究可以帮助我们理解无穷概念，并应用于各种实际场景，如物理学中的波动理论、经济学中的利润与成本估算等。
二、高等数学应用研究1. 物理学中的应用高等数学是物理学的重要工具之一。
在力学、电磁学、光学等领域中，数学方法被广泛应用于问题的建模、分析和求解。
例如，利用微分方程描述物体的运动状态，应用积分计算物体所受的外力和位移等。
2. 工程学中的应用高等数学在工程学中具有广泛的应用。
在土木工程、电子工程、材料工程等领域中，高等数学方法被用于解决各种复杂问题。
比如，利用微分方程建立结构的稳定性分析模型，应用级数求解电路中的信号波动等。
3. 经济学中的应用高等数学在经济学中也扮演着重要角色。
经济学研究中经常涉及到函数的最优化问题，利用微分学和积分学的方法可以求解最大化或最小化的目标函数。
此外，利用概率论和统计学方法可以对市场行为、经济波动等进行建模和预测。
4. 计算机科学中的应用高等数学在计算机科学中扮演着重要的角色。
数学学科的基础与重要性
数学学科的基础与重要性数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科，它作为一门学科对人类的发展具有深远的影响。
数学学科不仅是其他科学领域的基础，也是人类智力与创造力的重要标志。
本文将探讨数学学科的基础与重要性。
一、数学学科的基础数学作为一门学科，具有稳固的基础。
数学的基础主要包括以下几个方面。
1. 数字与计算：数字是数学的基本要素，所有的数学运算都离不开数字。
计算是数学的基础运算，它不仅有助于培养人们的逻辑思维能力，还能够帮助人们更好地理解和应用数学知识。
2. 数论与代数：数论是研究整数性质的数学分支，代数则是研究数与符号运算的学科。
数论和代数是数学学科中的两个重要分支，它们不仅构成了数学的基础，还为其他数学分支提供了理论支持。
3. 几何与拓扑学：几何研究空间与图形的属性和关系，拓扑学则是研究空间变形的学科。
几何和拓扑学是数学中的另外两个重要分支，它们为数学提供了空间思维的基础。
上述几个方面构成了数学学科的基础，它们相互依存、相互支持，构成了数学学科体系的框架。
二、数学学科的重要性数学学科在人类社会的发展中扮演着重要的角色。
数学学科的重要性主要体现在以下几个方面。
1. 培养逻辑思维能力：数学的学习需要进行严密的逻辑推理和思维能力的训练。
通过学习数学，人们能够培养出良好的逻辑思维能力，提高解决问题的能力，这对个人的思维能力和创造力的发展具有重要意义。
2. 促进科学技术的发展：数学作为科学研究的基石，对其他科学领域的发展具有重要影响。
物理学、化学、经济学等多个学科都以数学为基础，数学的发展推动了科学技术的进步。
3. 提升实际问题的解决能力：数学不仅有助于培养抽象思维，还能够帮助解决实际问题。
通过数学的学习，人们可以学会运用数学模型和方法来分析和解决各种实际问题，提高实际问题解决的能力。
4. 培养创新能力：数学的学习需要学生进行独立思考和创新，培养了学生的探究精神和创新能力。
数学的发展本身也离不开数学家们的创新思维和贡献。
经济学研究必备的数学基础
经济学研究必备的数学基础首先，微积分是经济学研究的基础。
微积分是研究变化和运动的数学工具，经济学中的许多概念都与变化和运动有关。
例如，经济学家研究市场需求和供给曲线的交点，来确定最优价格和数量的组合。
微积分可以帮助经济学家求解这些曲线的斜率和极值，从而得出相关结论。
另外，微积分还可以用来解析地研究经济学中的边际效应和边际成本等概念。
其次，线性代数也是经济学研究的重要数学基础。
线性代数是研究向量、线性方程组和线性变换的数学分支，经济学中许多问题可以通过线性模型来描述。
例如，经济学家常常用线性回归模型来分析两个或多个变量之间的关系。
线性代数可以帮助经济学家理解回归模型的参数估计和相关性分析，从而得出经济学上的结论。
另外，概率论与统计学也是经济学研究的必备数学基础。
概率论是研究随机事件的概率和分布的数学学科，而统计学是根据样本数据来推断总体特征的学科。
在经济学研究中，经济学家经常需要依靠数据来进行实证分析和定量分析。
概率论与统计学可以帮助经济学家理解经济现象的抽样变异性、数据的可靠性以及推断总体特征的方法。
例如，经济学家可以使用经济数据进行假设检验，从而推断出其中一种经济政策对经济增长的效果。
此外，还有其他一些数学工具也对经济学研究有帮助。
比如优化理论、差分方程和博弈论等。
优化理论可以帮助经济学家寻找最优决策方案，差分方程可以用来描述动态经济模型，博弈论可以用来分析决策者之间的相互作用和策略选择。
总结起来，经济学研究必备的数学基础包括微积分、线性代数和概率论与统计学。
这些数学工具可以帮助经济学家进行经济现象的分析和解释，从而得出相关的经济学结论。
除此之外，优化理论、差分方程和博弈论等数学工具也有助于经济学研究的深入和拓展。
因此，对于想要从事经济学研究的人来说，掌握这些数学基础知识是必不可少的。
对数学基础问题研究的认识与思考
（ Ｉ ） 在包 含 了 自然 数 的 任 一 形 式 系 统 中 ， 一 定 有这样的命 题 ， 它是真 的， 但不 能被证 明． （ 假设 系
Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ） 论文中就有了萌芽． 罗素与怀特黑德合 著的巨作《 数学原理》 （ Ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｉ ａ ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ） （ 现藏 于大不列颠博物馆） 则是逻辑主义的代表作． 逻 辑 主义学 派 的学者 们 试 图 “ 化 数 学 为逻 辑 ” ， 在 逻辑 的基 础 上建 立 整个 数 学 ， 他们 坚 信 数 学 是 由 纯 演绎 推理 组 成 的学 科． 比如 他 们认 为 自然 数 是 客 观存在 的， 而人要认识这种存在 ， 只要从一般的逻辑 出发就可以了． “ 数学 就是逻辑 ” ， 全 部数学可 以由 逻辑推 导出来——数学 概念可 以借 逻辑概念 来定 义， 数学定理可 以由逻辑公理按逻辑规则推 出． 至于 逻辑的展开， 则是依靠公理化方法进行 ， 即从一些不 定义的逻辑概念和不加证明的逻辑公理 出发 ， 通过 符号演算 的形式来建 立整个逻辑体 系． ” 逻辑 主 义数学家们 的工作证 明了数学可 以以集 合论 为基 础， 由此 引发 了公理 化集 合论 的蓬 勃发 展． 但是 逻辑 主义数学家们 的工作 由于“ 无穷公理 ” 这一关过不 去而趋 于停滞． 虽然逻辑 主义数学家们的工作遗憾
为 了给 数 学建 立 一 个 良好 的基 础 ， 很 多数 学 家 绞尽 脑 汁从 多个 视 角 进 行 尝 试 ， 确也 获 得 了诸 多 的
形 式 主义 又称公 理化 学 派 ， 大数学家 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 正 是形 式 主义 的代 表人 物． 为解决 数 学 危机 ， Ｈｉ ｂ ｅ ｒ ｔ 提 出了 自己的方案 ， 史称“ 希尔伯特纲领” ． 他 主张用
数学中的数论基础研究
数学中的数论基础研究数学是自然科学中的一门基础学科，它研究的是数、量、结构和变化等基本概念和它们之间的相互关系。
数学的研究范围非常广泛，其中数论是数学的一个分支，主要研究整数及其性质。
数论的研究有着极为重要的意义，它不仅是数学中的重要学科，而且与其他学科如密码学、算法设计、计算机科学等有着密切的联系。
本文将介绍数学中的数论基础研究。
一、质数与素数质数指只能被1和本身整除的整数。
例如2、3、5、7、11、13等都是质数。
素数与质数的概念很相似，但稍有不同。
素数是指只有两个正因数（即1和本身）的正整数。
可见，素数也是质数。
主要的区别是素数只有两个正因数，而质数还不一定是素数。
例如6就是质数，但不是素数，因为6可以被2和3整除。
在数论中，素数是十分重要的概念。
其中最重要的定理是欧几里德证明的欧几里得定理：“大于2的整数都可以表示成两个素数相乘的形式。
”二、求余定理大名鼎鼎的“求余定理”在中学数学中就已经出现，它在数论中也是十分重要的一个概念。
所谓求余定理，就是指在任意两个整数的相乘中，将这两个整数除以一个较小的数得到的余数是一样的。
例如，当我们对3取余时：4 * 7 = 2828 ÷ 3 = 9，余数为15 * 7 = 3535 ÷ 3 = 11，余数为26 *7 = 4242 ÷ 3 = 14，余数为0我们可以发现，4和5都比较接近，它们与7的乘积分别与3的商的余数是一样的，而6与7的乘积与3的商的余数为0。
这种性质在数论中非常重要，并且也有广泛的应用。
三、同余同余是指整数a、b、m满足a-b可被m整除的关系，可以用符号a ≡ b(mod m)表示。
例如，2 ≡ 5(mod 3)，表示2和5在模3意义下同余。
在数论中，同余是一个十分重要的概念，它使我们可以证明一些整数和的性质，例如鸽巢原理、费马小定理及其应用等。
四、费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它是指：如果p是一个质数，a是任何整数，那么ap-a被p整除。
数学简介简短
数学简介简短数学作为一门自然科学，是研究数量、结构、变化以及空间等概念和规律的学科。
它是人类思维的产物，涵盖了广泛的领域，从基础概念到复杂的推理和解决问题的方法。
数学在人类文明发展中扮演着重要的角色，它不仅有助于我们理解世界的本质，还能够用于解决各种实际问题。
下面简要介绍数学的几个主要分支和应用领域。
1. 基础数学基础数学是数学的基础，包括算术、几何、代数和逻辑等领域。
算术是研究数的性质和运算规则，几何研究空间的形状和属性，代数研究数和符号的关系，逻辑研究推理和证明的规则。
这些基础概念和工具是进行更高级数学研究的基础。
2. 微积分微积分是研究变化和极限的数学分支。
它包括求导和积分两个重要概念，可以用来描述和解决各种变化的问题，如速度、加速度和曲线的斜率等。
微积分在自然科学、工程学和经济学等领域具有广泛的应用。
3. 概率和统计概率和统计是研究随机现象和数据分析的数学分支。
概率研究事件发生的可能性，统计研究收集和分析数据的方法。
概率和统计广泛应用于金融、医学、社会科学等领域，可以帮助我们做出合理的决策和预测。
4. 线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支。
它应用于多个领域，如物理学、计算机图形学和密码学等。
线性代数的概念和方法有助于我们理解和解决与向量、矩阵和线性方程组相关的问题。
5. 数论数论是研究整数性质和数学结构的分支。
它关注数字之间的关系和性质，如质数、因子分解和数列等。
数论在密码学和编码理论等领域具有重要的应用。
除了以上几个主要分支外，数学还涉及其他领域，如拓扑学、数学逻辑和离散数学等。
它们各自研究不同的概念和结构，并在实际中具有广泛的应用。
总之，数学是一门既具有理论研究又具有实际应用的学科。
它帮助我们解决问题、推理和预测，对于推动科学技术的发展和丰富人类文明起着重要的作用。
无论是自然科学、工程学还是社会科学，数学都是不可或缺的一部分。
通过不断深入学习和研究数学，我们能够更好地理解和改善这个世界。
基础数学研究生课程
基础数学研究生课程
基础数学研究生课程涉及到数学的基础理论和方法，是数学研究生必修的课程之一。
该课程的学习旨在帮助学生掌握基础数学知识和理论，提高数学分析和推理能力，为后续的专业课程和研究打下坚实的基础。
基础数学研究生课程包括线性代数、微积分、复变函数、常微分方程、偏微分方程等主要内容。
其中，线性代数是数学的一大基础课程，它讲述了向量、矩阵、线性变换等基本概念和理论，是整个数学体系的基础。
微积分则是数学的另一大基础课程，涉及到导数、积分、微分方程等知识，是应用数学中必不可少的工具。
复变函数主要讲述了复数域上的函数和积分，常微分方程和偏微分方程则分别讲述了普通微分方程和偏微分方程的基本理论和方法。
除了基础课程的学习之外，研究生还需要了解数学的发展历史和现状，熟悉数学领域内的学术规范和研究方法。
在这个过程中，研究生需要阅读大量的数学文献和研究成果，加强自己的数学素养和研究能力。
总之，基础数学研究生课程是研究生阶段必修的课程，是数学学科中最为基础和重要的一部分。
通过学习该课程，研究生可以全面掌握数学的基本理论和方法，为后续的专业课程和研究打下坚实的基础。
数学基础研究 维特根斯坦
《数学基础研究》是后期维特根斯坦关于数学哲学的重要著作。
其主要内容是根据他后期的新的哲学理解，对当时流行的数学基础研究中的形式主义思潮、逻辑主义思潮、直觉主义思潮进行分析和批评。
维特根斯坦一生关注数学与逻辑的关系、数学与世界的关系等核心问题，在《数学基础研究》中，他深入地反思和批评了弗雷格和罗素的相关思想，并提出了自己的理解。
《数学基础研究》由三部分组成，第一部分是对数学基础研究的总体评价，第二部分是对数学基础的探讨，第三部分是对数学基础的总结。
维特根斯坦在书中指出，数学是语言的逻辑形式，是世界的结构，是世界的模型。
他认为数学的目的是为了描述和理解世界，而不仅仅是计算和预测。
因此，数学的基础必须是坚实的，否则整个数学体系就会崩溃。
维特根斯坦在《数学基础研究》中还探讨了数学与逻辑的关系。
他认为，数学和逻辑都是语言的逻辑形式，但数学和逻辑并不是相互独立的。
相反，数学和逻辑是相互依存的，数学的发展需要逻辑的支持，而逻辑的发展也需要数学的推动。
因此，数学和逻辑的基础也是相互依存的，必须同时得到重视和研究。
总的来说，《数学基础研究》是维特根斯坦对数学哲学的重要贡献之一。
它不仅对当时流行的数学基础研究进行了深入的探讨和批评，也对后来的数学哲学发展产生了深远的影响。
通过阅读《数学基础研究》，读者可以更深入地理解数学的哲学本质和维特根斯坦的哲学思想。
基础数学研究报告
基础数学研究报告摘要本研究报告主要探讨了基础数学领域的重要概念和定理，包括整数、有理数、实数、复数等数的性质和运算规则。
通过对这些基础概念的研究，我们可以更深入地理解数学的本质和应用范围。
引言数学作为一门基础学科，是我们理解和解决各种问题的重要工具。
基础数学是数学学科中最基础的一部分，也是接触数学的起点。
通过研究基础数学，我们可以建立起数学思维的基础，为日后深入学习数学打下坚实的基础。
整数整数是数学中最基本的概念之一，包括正整数、负整数和零。
整数的性质和运算规则对我们进行算术运算和解决实际问题非常重要。
我们首先研究了整数的四则运算，并探讨了整数的性质，如奇偶性、因数和倍数等。
然后，我们介绍了整数的除法运算和整除性质，包括最大公约数和最小公倍数的概念和计算方法。
最后，我们探究了整数的序关系和整数的绝对值。
有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数的性质和运算法则对我们进行分数计算和解决实际问题非常重要。
我们首先研究了有理数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法，并探讨了有理数运算规则。
然后，我们介绍了有理数的大小比较方法，包括相等、大于和小于等关系。
最后，我们讨论了有理数的乘方运算和有理数的倒数。
实数实数是可以用数轴上的点表示的数，包括整数、有理数和无理数。
实数包含了所有可能的数，并且实数的性质和运算规则对我们进行精确计算和解决实际问题至关重要。
我们首先研究了实数的性质，包括有界性和区间的概念，并探讨了实数的等于和不等于的关系。
然后，我们介绍了实数的四则运算和实数的大小比较方法。
最后，我们讨论了实数的绝对值和实数的平方根。
复数复数是由实数和虚数部分组成的数，包括实数和纯虚数。
复数的性质和运算规则对我们进行复数计算和解决实际问题非常重要。
我们首先研究了复数的性质，包括实部、虚部和共轭的概念，并探讨了复数的等于和不等于的关系。
然后，我们介绍了复数的四则运算和复数的大小比较方法。
数学所有的知识点总结
数学所有的知识点总结一. 数学的基本概念1. 数字和运算符：数学的基本概念包括数字和运算符，例如：整数、分数、小数、负数、集合、加、减、乘、除等。
2. 代数：代数是数学中的重要分支，涉及变量和常数的组合以及它们之间的关系。
代数包括方程、不等式、多项式、函数等。
3. 几何：几何是研究空间、形状、大小和位置关系的数学分支。
几何的基本概念包括点、线、面、角、三角形、四边形、圆等。
4. 概率与统计：概率与统计是研究随机事件和数据分布的数学分支，包括概率、随机变量、统计量、概率分布、抽样、参数估计等。
5. 微积分：微积分是研究变化和积分的数学分支，包括导数、微分、积分、微分方程、级数、极限等。
6. 数论：数论是研究整数性质和关系的数学分支，包括素数、因数分解、同余、模运算等。
二. 数学的重要定理和公式1. 皮亚诺公理：皮亚诺公理是数学中的基础公理，用于定义自然数的性质和关系。
2. 勾股定理：勾股定理是几何中的重要定理，描述直角三角形的边长关系，即$a^2 + b^2 = c^2$。
3. 费马大定理：费马大定理是代数中的重要定理，指出当n大于2时，$x^n + y^n =z^n$没有任何整数解。
4. 欧拉公式：欧拉公式是微积分中的重要公式，描述复数的指数形式，即$e^{i\theta} =\cos\theta + i\sin\theta$。
5. 斐波那契数列：斐波那契数列是数论中的经典数列，定义为$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$，其中$F(0) = 0, F(1) = 1$。
6. 微积分基本定理：微积分基本定理是微积分中的重要定理，描述了积分和导数的关系。
7. 黎曼猜想：黎曼猜想是数论中的重要猜想，指出所有非平凡的黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都是1/2。
8. 贝塞尔函数：贝塞尔函数是数学中的特殊函数，广泛应用于物理和工程领域。
9. 高斯-贝努利分布：高斯-贝努利分布是概率统计中的重要分布，描述二项试验中成功的次数。
基础数学研究生课程
基础数学研究生课程
基础数学研究生课程是研究生阶段数学学科的必修课程之一，主要涉及数学基础理论和方法。
这些课程不仅是研究数学的基础，同时也为学生进一步深入研究数学领域的高级课程打下了坚实的基础。
基础数学研究生课程包括微积分、线性代数、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、拓扑学等。
微积分是数学的重要分支，是研究生数学课程的必修科目。
线性代数涵盖了向量空间、线性变换和矩阵理论等内容，是研究生阶段数学学科的重要基础课程。
实变函数和复变函数是研究生数学课程中较为复杂的课程，主要涉及数学分析的理论和方法。
常微分方程和偏微分方程是数学学科的重要研究方向之一，涉及许多实际问题的数学模型和求解方法。
拓扑学则是研究空间形态和结构的学科，也是数学学科中的重要分支。
在研究生阶段，学生需要通过上述课程的学习和实践，加深对基础数学理论和方法的认识和理解，掌握数学学科的基本思想和方法，培养数学分析和解决问题的能力，为后续的高级课程和研究工作打下坚实的基础。
此外，还需要掌握相关的数学软件和工具，如Mathematica、Matlab等，以提高数学建模和计算能力，为将数学理论应用于实际问题解决奠定基础。
数学双基研究范文
数学双基研究范文数学双基是指在数学教育中以基础理论和实用技巧为双基，既注重培养学生的数学理论思维，又注重培养学生的数学实际运用能力。
在现代社会中，数学已经成为一门广泛应用于各个领域的科学。
因此，数学双基的研究对于培养学生的综合数学素养起着非常重要的作用。
首先，数学的基础理论研究对于培养学生的数学思维能力具有重要意义。
数学的基础理论是数学研究的核心，它包括了数学的基本概念、基本原理和基本方法。
通过研究数学的基础理论，可以帮助学生理解数学的本质，培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
数学的基础理论也是数学应用的基础，在深入研究应用问题时，基础理论提供了理论支撑和思维方法。
因此，在数学双基研究中，基础理论的研究是非常重要的。
其次，数学的实用技巧研究对于培养学生的数学实际运用能力具有重要意义。
数学的实用技巧是指在解决实际问题时所需要的数学方法和工具。
随着科技的发展和社会的进步，数学的应用领域越来越广泛。
数学的实用技巧研究可以帮助学生掌握数学的实际运用能力，培养学生在数学问题中的创新思维和解决问题的能力。
通过研究数学的实用技巧，可以让学生更好地理解数学的应用意义，更好地应用数学来解决实际问题。
然而，目前的数学教育普遍存在基础理论和实际应用之间的脱节现象。
许多学生在学习数学时只注重掌握基础理论，而忽视了实际应用的学习和训练。
这导致了学生在解决实际问题时缺乏实际运用能力，只能机械地套用公式和方法，而无法灵活地应用数学的知识解决实际问题。
因此，研究数学双基应该成为数学教育的重要议题。
为了实现数学双基的有效培养，需要从教学内容、教学方法和教育体制等多个方面进行研究和。
首先，在教学内容方面，应该合理安排基础理论和实用技巧的学习内容，注重基础理论的理解和实用技巧的应用。
其次，在教学方法方面，应该采用灵活多样的教学方法，如启发式教学、探究式教学和项目化教学等，帮助学生主动参与学习，积极运用所学的数学知识解决实际问题。
最后，在教育体制方面，应该建立完善的教育评价体系，注重培养学生的数学思维能力和实际运用能力，并对学生的数学双基进行全面评价。
数学的基础有哪些
数学的基础有哪些数学作为一门科学，是人类探索自然规律和解决实际问题的重要工具。
数学的基础是建立在一系列基本概念、原理和定理之上的，这些基础内容奠定了数学学科的基础，也是后续数学研究和应用的基础。
在本文中，我们将探讨数学的基础有哪些，包括集合论、逻辑推理、数和代数、几何、概率论与统计学等内容。
集合论集合论是数学的基础之一，它研究的是对象的集合和这些集合之间的关系。
集合可以看作是具有某种共同特征的对象的聚合体，而集合论则是研究集合的性质、运算及其相互关系的数学分支。
在集合论中，最基础的概念是空集和包含元素的集合。
集合中的元素可以是各种数学对象，如数、字母、函数等。
集合的运算有并集、交集和补集等。
除了这些基本概念外，集合论中还包括了集合的基数、幂集、子集等概念，为后续数学研究提供了基础。
逻辑推理逻辑推理是数学的另一个基础，它研究的是命题之间的关系以及从前提到结论的正确推理过程。
数学中广泛应用的逻辑推理包括命题逻辑、谓词逻辑、命题的合取与析取等。
在逻辑推理中，最基础的概念是命题，即可以判断真假的陈述。
命题逻辑研究的是命题之间的合取、析取、否定、蕴含等关系，谓词逻辑则引入了量词和谓词，使得逻辑推理更加丰富和精确。
逻辑推理在数学证明中起着至关重要的作用，是数学推理的基石。
数与代数数与代数是数学的另一大基础，它研究的是数的性质、运算规律以及代数结构。
数与代数包括了整数、有理数、无理数、实数、复数等概念，以及代数运算、方程、不等式、函数等内容。
在数与代数中，最基本的内容包括四则运算、整数性质、方程求解等。
代数结构是数学中的一种重要概念，它包括了群、环、域等代数结构，这些结构是数学分析、代数学以及其他数学分支的基础。
几何几何作为数学的一个重要分支，研究的是空间中的图形、尺寸、位置关系以及变换等内容。
几何包括了平面几何、立体几何、解析几何等不同的分支，是数学中的基础学科之一。
在几何中，最基本的内容包括点、线、面、角度等基本概念，以及平行线、相似三角形、圆等性质。
数论的基础研究
数论的基础研究数论是数学的一个重要分支，它研究的是整数及其性质。
作为数学基础的一部分，数论的研究对于其他数学学科的发展和应用有着重要的影响。
本文将从数论的历史渊源、数论的基本概念及其应用等几个方面进行探讨。
一、数论的历史渊源数论源远流长，可以追溯到古代文明。
早在古埃及和巴比伦文明时期，人们就开始研究整数及其性质，而这些研究可以看作是数论的起源。
随后，古希腊的数学家欧几里得在其《几何原本》中提出了诸多基本性质和定理，为数论的发展奠定了基础。
中世纪的数学家费马、欧拉、高斯等人，为数论的发展做出了巨大的贡献。
特别是高斯提出的整数的唯因子分解定理，在数论研究中扮演了重要的角色。
随后，数论逐渐成为独立的数学分支，并在19世纪至20世纪得到了更为广泛的发展。
二、数论的基本概念2.1 整数及其性质整数是数论研究的基本对象。
根据整数的性质，我们可以将整数分为偶数和奇数。
除此之外，还有质数、合数等概念。
质数指的是只能被1和自身整除的正整数，而合数指的是能够被除了1和自身以外的其他正整数整除的数。
质数与合数是数论研究的重要内容之一。
2.2 质因数分解质因数分解是数论中的基本概念之一。
质因数分解是指将一个正整数表示为若干个质数的乘积，并且质因数的次数都不大于1。
这一概念的提出和发展，为数论研究提供了重要的工具和方法。
2.3 同余关系同余关系是数论中的一个重要概念。
同余关系指的是两个整数在模n的情况下具有相同的余数。
通过同余关系，我们可以研究整数的性质、刻画整数的规律以及解决一些实际问题。
三、数论的应用数论在现代科学中具有广泛的应用。
1.密码学：数论在密码学的研究中扮演重要角色。
比如，RSA公钥密码体制就是基于数论的一个重要应用。
2.编码理论：数论中的同余关系和质因数分解等概念在编码理论中有重要应用。
3.算法设计：数论中的一些基本算法，如欧几里得算法、扩展欧几里得算法等，被广泛应用于计算机科学中。
总结数论作为数学的一个重要分支，研究的是整数及其性质。
《数学基础研究》〔奥〕维特根斯坦著读后感
《数学基础研究》〔奥〕维特根斯坦著读后感第一篇范文《数学基础研究》〔奥〕维特根斯坦著读后感《数学基础研究》是奥地利哲学家路德维希·维特根斯坦的重要著作，也是20世纪哲学史上的里程碑之一。
这本书深入探讨了数学的本质和基础，提出了“数学是逻辑的延伸”的观点，并对数学哲学的发展产生了深远影响。
维特根斯坦在书中提出了“数学是逻辑的延伸”的观点，认为数学的概念和运算都是基于逻辑的。
他认为，数学问题并不是通过计算得出答案，而是通过理解数学概念的本质来解决。
这一观点对于数学哲学的发展产生了深远影响，也对数学教育产生了重要启示。
维特根斯坦进一步指出，数学的基础并不是固定的，而是可以通过人类的思考和理解来不断发展的。
他认为，数学的发展需要不断的探索和思考，需要我们深入理解数学概念的本质，而不是仅仅停留在表面的运算和应用上。
维特根斯坦在《数学基础研究》中还深入探讨了数学符号的意义和使用。
他认为，数学符号并不是简单的标记，而是具有深刻的逻辑意义的。
他指出，数学符号的使用需要我们深入理解其背后的逻辑关系，才能正确地理解和运用数学知识。
总的来说，我认为《数学基础研究》是一本非常重要的著作，对于理解数学的本质和基础有着重要的帮助。
维特根斯坦的观点让我对数学有了更深入的认识，也让我对数学教育有了新的思考。
我相信，这本书对于数学哲学和数学教育的研究将会产生深远的影响。
第二篇范文《数学基础研究》〔奥〕维特根斯坦著读后感在20世纪哲学的浩瀚星空中，维特根斯坦的《数学基础研究》犹如一颗耀眼的明星，以其独特的光芒照亮了数学哲学的道路。
这本书不仅仅是对数学基础的探讨，更是一次对语言、思维和现实的深刻反思。
维特根斯坦以其独特的视角，将数学、哲学和语言紧密联系在一起，提出了“数学是逻辑的延伸”这一划时代的观点。
首先，维特根斯坦的视角独特之处在于，他将数学的本质归结为逻辑。
他认为，数学的运算和概念都是基于逻辑的，而非独立的实体。
这一观点颠覆了传统对数学的认知，将数学从神秘的高阁中拉回到了现实的世界。
数学基础研究
数学基础研究数学基础是数学学科的起点和基石，对于深入理解和掌握更高阶数学学科具有重要意义。
数学基础研究主要包括数学的基本概念、基本原理和基本方法的研究，以及数学基础思维的培养和发展。
数学基础研究首先包括对数学基本概念的研究。
数学基本概念是数学体系的基石，直接关系到后续学科的发展和应用。
例如，数学中的数、集合、函数、方程等都是数学基础概念，对于深入学习和研究数学学科起着至关重要的作用。
研究数学基本概念的内容包括其定义、性质、特点等方面的研究。
通过深入研究这些基本概念，可以揭示数学体系的内在结构和联系，为后续的学习和应用奠定坚实的基础。
数学基础研究还包括对数学基本原理的研究。
数学的基本原理是数学思维和推理的基础，对于发展数学学科具有重要意义。
例如，数学中的公理、定理、推论等都是数学基本原理，通过研究这些原理，可以揭示数学的逻辑结构和推理规律，提高数学思维和推理能力。
研究数学基本原理的内容包括推理方法、证明技巧、逻辑思维等方面的研究。
通过深入研究这些基本原理，可以培养和发展数学思维的能力，提高数学的理论水平。
数学基础研究还包括对数学基本方法的研究。
数学的基本方法是解决数学问题的关键，对于数学研究和应用具有重要意义。
例如，数学中的分析方法、代数方法、几何方法等都是数学基本方法，通过研究这些方法，可以发展数学分析、代数、几何等学科。
研究数学基本方法的内容包括方法表达、方法应用、方法转化等方面的研究。
通过深入研究这些基本方法，可以提高解决实际问题的能力，推动数学在其他学科和实际应用中的发展。
除了上述内容，数学基础研究还包括数学基础思维的培养和发展。
数学基础思维是数学学科研究和学习的核心能力，是数学家必备的基本素质。
数学基础思维主要包括抽象思维、逻辑思维、推理思维等方面的能力。
通过培养和发展这些思维能力，可以提高数学学习和研究的能力，为从事更高级的数学学科研究和应用打下坚实的基础。
总之，数学基础研究是数学学科发展的基础和关键，对于深入理解和掌握数学学科具有重要意义。
代数、几何、概率、统计等数学领域的基础研究和相关应用
代数、几何、概率、统计等数学领域的基础研究和相关应用
代数、几何、概率和统计是数学中的基础领域，它们在许多实际问题的建模和解决中发挥着重要作用。
代数研究了运算和结构，包括代数方程、群论、环论和域论等等。
代数的应用广泛，包括密码学、编码理论、信号处理、计算机科学、物理学等。
几何研究空间和形状的性质，包括欧氏几何、非欧几何和拓扑学等等。
几何的应用包括计算机图形学、计算机辅助设计、物理学、天文学等。
概率研究了随机事件的概率和统计规律，包括概率空间、随机变量、概率分布和统计推断等等。
概率的应用广泛，包括金融学、风险管理、粒子物理学、遗传学等。
统计研究了收集、分析和解释数据的方法和原理，包括描述统计、推断统计和回归分析等等。
统计的应用广泛，包括市场调研、医学研究、社会科学、环境科学等。
这些基础研究以及相关应用在数学学科以及其他科学领域中都具有重要意义，为理论研究和实际问题的解决提供了数学工具和方法。
数学基础理论与应用实证研究
数学基础理论与应用实证研究引言当我们谈论数学基础理论与应用实证研究时，我们将涉及到数学的两个重要方面：理论和应用。
数学作为一门学科，研究的是数量、结构、空间与变化等基本概念和规律。
它是自然科学和应用科学中的一个重要工具，也是许多其他领域的基础。
数学的基础理论是数学的核心，它是数学的基石，包括了数学的基本概念、公理、原理和定理等。
这些理论为我们建立了一套完备且一致的数学体系，为我们准确地描述和解决各种数学问题提供了基础。
然而，数学的价值不仅仅在于其基础理论，还在于它在各个领域中的应用。
数学的应用实证研究是将数学理论应用于实际问题的过程，它使我们能够从理论层面上解决各种实际问题。
数学应用实证研究的目标是通过建立数学模型来描述和解决复杂的实际问题，从而为决策和规划提供科学的依据。
数学基础理论基本概念和公理数学的基础理论包括了一系列基本概念和公理。
基本概念是数学的起点，它是我们理解和推导其他数学概念的基础。
例如，数、集合、函数等都是基本概念。
公理是数学的基本假设或原则，是我们用来推导其他数学概念和定理的依据。
例如，平行公理、三角形内角和定理等都是数学的基本公理。
原理和定理数学中的原理和定理是数学基础理论的重要组成部分。
原理是经过证明的基本规律或定理。
定理是根据一定的前提条件通过推理得出的数学命题。
原理和定理是数学理论的重要成果，它们为我们提供了一套完整且精确的数学体系。
数学分支数学基础理论又可以分为不同的分支，每个分支都研究数学的不同方面和问题。
代数学代数学是研究数和符号之间的关系、运算和结构的学科。
它的基本概念包括了代数运算、方程、函数、群、环、域等。
代数学的应用包括了密码学、编码理论、线性代数、微积分等。
几何学几何学是研究空间、形状和位置等几何概念和原理的学科。
它的基本概念包括了点、线、面、平面等，通过这些概念可以描述和推导各种几何关系和性质。
几何学的应用包括了建筑设计、地理信息系统、计算机图形学等。
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数学的基础研究一、基本概述数学基础（Foundation of Mathematics）是研究整个数学的理论基础及其相关问题的一个专门学科，即研究数学的基础，回答“数学是什么？”，“数学的基础是什么？”，“数学是否和谐？”等等一些数学上的根本问题的学科。
对于数学基础的关注和研究，可追溯至古代。
但在较长的历史阶段中，只限于对单科数学分支基础的讨论.至于作为整个数学理论基础的探索，尤其是“数学基础”作为一门专门学科的形成和诞生，乃是20世纪初的事.当时也是由于多种因素和研究活动的汇合，尤其是在作为整个经典数学之理论基础的集合论中出现悖论之后，才把数学基础问题的研究推向高潮，并进一步促进了数学哲学的发展，直至最终成为20世纪数学领域中深入的研究活动之一。
数学的基础研究的由来要追溯到数学的三次危机，正是三次数学危机的产物，使得数学的基础一步一步的浮出水面，虽然至今也无法给数学的基础下一个确切的定义，但不可否认的是在三次数学危机中产生了一系列重要的数学定义以及数学公理、定理，无疑都推动了数学的发展。
在数学研究的历史中，形成了诸多流派，其中有代表性的有三大流派，具体内容文章中会具体说明，每一个流派都有其代表性的成绩，这也使得数学的基础内容更加丰富，研究数学的基础，能让我们感知数学历史发展的魅力，形成数学严密的逻辑思维能力，可以说数学知识是牵一发而动全身，数学的基础研究在数学研究的历史中地位极其重要。
二、三次数学危机1、第一次数学危机第一次是公元前5世纪毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现不可共度线段：正方形的一边与其对角线不可公度，即发现不是有理数。
这次危机导致无理数及几何公理系统的建立——欧几里得几何原本诞生。
尽管原本还不是严格的公理系统，但它充分表明直观、经验不可全信，几千年来对几何学的研究，特别是后来对非欧几何的研究促使几何学走向严格的公理化。
严格公理化的几何就是几何基础也是数学基础的一部分。
在第一次数学危机中产生了亚里士多德的古典逻辑、欧式几何学《几何原本》以及非欧几何，这些重要的数学理论和著作都为数学的研究作出了巨大的贡献。
2、第二次数学危机⑴17世纪后半期I.牛顿和G.W.莱布尼兹创立了微积分学，但他们对无穷小的解释很难令人满意，英国主教G.贝克莱抨击当时的微积分，指出它在逻辑上有明显的问题，这便是第二次数学危机。
这次危机的出现使数学家们意识到不为微积分建立牢固的基础，只进行运算是不行的。
19世纪A.L柯西、K.魏尔斯特拉斯等创立了极限论，以极限为基础建立微积分学。
A.鲁宾孙于1960年创立了非标准分析，把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域，圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。
与此同时，传统逻辑发展为数理逻辑。
数理逻辑是数学基础的重要内容。
⑵芝诺悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。
第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。
因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。
这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。
第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。
这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。
当然他们无法解决这些矛盾。
⑶微积分的产生：到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。
经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。
他们的功绩主要在于：①.把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；②.有明确的计算微分法的步骤；③.微分法和积分法互为逆运算。
3、第三次数学危机数学上的第三次危机一般认为始于1902年B.A.W.罗素发现的悖论，后人称这个悖论为罗素悖论：以S表示所有不以自身为元素的集合的全体。
按照集合论的概括原则（构成集合的原则），S应该是一个集合。
问S是否是S的一个元素？如果S∈S，则按照S的定义应有S不属于S；如果S不属于S，则按S的定义又应有S∈S。
无论哪种情况都导致矛盾。
罗素悖论动摇了集合论，也动摇了当时的数学基础。
因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。
这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。
这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。
数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。
罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。
19世纪，数学的各个分支都得到了迅速的发展，亟待建立一种能以统括各个数学分支的理论基础。
这时康托尔系统地总结了长期以来数学的认识与实践，缔造了一门崭新的数学学科，即集合论。
由于集合论的思想方法渗透到各个数学分支，同时从集合论的基本概念和思想规定出发，能导出整个经典数学，因此，大家公认集合论可以作为整个经典数学诸分支学科的共同的理论基础。
4、三次数学危机对于自我的启示在这三次数学危机中，我看到数学与哲学——无论是个人的哲学还是时代的哲学之间存在着千丝万缕的联系。
正如哲学上说的：“世界观决定方法论。
”——一个人对一件事的看法决定他处理这件事的方法。
如希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用当时的任何一个数表示出来，希伯索斯勇于提出问题并认定这个问题是当时数学上的一个缺漏，希望能在众人的讨论中得到解决，但他的观点被认为是“荒谬”和违反常识的事，他遭到别人的打压，甚至最终被投入海中淹死。
这个悲剧很大一个程度取决于当时人们的数的认识还不够全面和深入，于是去处决那些“离经叛道”的“异类”。
同时，也可以看到每一次数学危机都是一次传统和新锐的斗争。
先觉者不断挑战这旧日的权威，顽固派不断想要扼杀新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之势，烧尽腐朽落后的东西，随大江的海浪一波一波滚滚向前。
所以，我们应该培养开拓创新、钻研探究、不畏权威、追求真理的精神，在自己从事的领域上开创一片新的天地。
三次数学危机也是三次数学革命，发现问题，提出问题之后就需要解决问题。
人们经过多年不懈的讨论和研究，攻克了一个又一个的难关，数学危机给数学发展带来的动力，不断促进着数学理论基础的完善和成熟。
三、数学基础研究的三大学派1、逻辑主义学派以罗素和A.N怀特海为代表。
他们认为所有数学概念都归结为自然数算术的概念，而算术概念可借助逻辑由定义给出。
他们试图建立一个包括所有数学的逻辑公理系统，并由此推出全部数学。
逻辑主义认为数学是逻辑的延伸，在罗素的公理系统中不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理。
如果没有这两条公理就无法推导出全部算术，更不用说全部数学。
当然，罗素的公理系统充分发展了数理逻辑的公理体系，并且在此基础上展示了丰富的数学内容，对数理逻辑和数学基础的研究起了极大的推动作用，贡献是很大的。
在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。
简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。
2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。
3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。
2、形式主义学派以 D.希尔伯特为代表，可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。
希尔伯特主张捍卫排中律，他认为要避免数学中的悖论，只要使数学形式化和证明标准化。
为了使形式化后的数学系统不包含矛盾，他创立了证明论(元数学)。
他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。
元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。
更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。
，元数学的主题之一就是：分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪的。
希尔伯特计划的主要思想就是：奠定一门数学的基础，应该严格的、数学的证明这门数学的协调性（即无矛盾性或一致性、相容性）；希尔伯特计划的数学内容就是数理逻辑中的证明论。
希尔伯特计划，将各门数学形式化，构成形式系统，然后用一种初等方法证明各个形式系统的相容性，即无矛盾性，从而导出全部数学的无矛盾性。
希尔伯特与贝尔奈斯合著的两卷《数学基础》是希尔伯特计划的代表作。
希尔伯特建议两条最基本的原则：1、形式主义原则：所有符号完全看做没有意义的内容，即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象，研究它们的结构性质；2、有限主义原则：即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。
应用数学方法于这样一个形式理论，避免涉及无穷的推断，这就排除了康托尔集合论的方法。
这个思想是只应用靠得住的方法，因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的，整个数学才有牢固的基础。
1931年K.哥德尔证明了不完全性定理，表明希尔伯特方案不能成功。
后来许多人对希尔伯特方案加以改进。
W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾性。
在数学基础的研究中，鲁宾孙，P.J.科恩自称为形式主义者（希尔伯特本人不认为自己是形式主义者），他们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统，“无穷集”，“无穷整体”等在客观上是不存在的。
希尔伯特的设想虽然没有实现，但却创立了证明论，又促进了递归论的发展，因此对数学基础的研究有很大的贡献。
3、直觉主义学派又称构造主义。
它的代表人物是L.E.J.布劳威尔。
直觉主义者认为数学产生于直觉，论证只能用构造方法，他们认为自然数是数学的基础。
当证明一个数学命题正确时，必须给出它的构造方法，否则就是毫无意义的，直觉主义认为古典逻辑是从有穷集合及其子集抽象出来的，把它应用于无穷数学就必然引起矛盾。
他们反对在无穷集合中使用排中律。
他们不承认实无穷体，认为无穷是潜在的，只不过是无限增长的可能性。
可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。
但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。
失去了数学的美，因而不被大多数数学家接受。
直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来；如果数学对象纯粹是精神上的构造还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢(如同直觉主义者会争论的一样)？这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。
例如，说A 或B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。