轴对称、等腰三角形经典练习题目

【知识点回顾】轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称。

这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。

轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。

2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半 【典型例题】例1. 如图，ABC ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：BC BD AD =+。

AD1 B 2E FC分析：从要证明的结论出发，在BC 上截取BD BF =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取BA BE =，连结DE ，易得，则有FD AD =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。

证明：在BC 上截取BD BF BA BE ==，，连结DE 、DF 在ABD ∆和EBD ∆中，BD BD 21BE BA =∠=∠=，，80DEF 100A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴∆≅∆∴，又 100A AC AB =∠=， 40)100180(21C ABC =-=∠=∠∴ 20402121=⨯=∠=∠∴ 而BF BD = 80)20180(21)2180(21BDF BFD =-=∠-=∠=∠∴ AD BD FC BF BC FC DF DE AD FC DF C FDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DFDE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴，即BC BD AD =+ 【随堂作业】1、下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）A ．有两个内角相等的三角形 B. 有一个内角是45°直角三角形C. 有一个内角是30°的直角三角形D. 有两个角分别是30°和120°的三角形 2、下列说法中正确的是 （ ）① 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 ② 角是轴对称图形 ③线段不是轴对称图形 ④ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④ 3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示 实际时间是 （ ） A ．21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：014、下列推理中，错误的是 ( )A ．∵∠A ＝∠B ＝∠C ， ∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB ＝AC ，且∠B ＝∠C ， ∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A ＝60°，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形5、等腰三角形两边的长分别为2cm 和5cm ，则这个三角形的周长是 ( ) A ．9cm B ．12cm C ．9cm 和12cm D ．在9cm 与12cm 之间6、若等腰三角形的一个外角为130°，则它的底角为________ .7、如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________CA 1DB2 38、如图，在等腰三角形中，，点是底边上一个动点，分别是的中点，若的最小值为2，则的周长是（ ） A ．B．C ．D ．9、在等边三角形ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，过D 作DE ∥BC 交AC 于E ，若 △ABC 的边长为a ，则△ADE 的周长为 ( )A ．2aB ．a 34C ．1．5aD ．a10、如图，在中，，，点为的中点，于点，则等于（ C ） A ．B．C ．D ．11、如图7—111，在Rt △ABC 中，B 为直角，DE 是AC 的垂直平分线，E 在BC 上，∠BAE ：∠BAC ＝1：5，则∠C ＝_________.12、如图7—112，∠BAC ＝30°，AM 是∠BAC 的平分线，过M 作ME ∥BA 交AC 于 E ，作MD ⊥BA ，垂足为D ，ME ＝10cm ，则MD ＝_________.13、已知：如图7—120，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，D 为BC 中点，E 、 F 分别为AB 、AC 上的点，且满足EA ＝CF ．求证：DE ＝DF ．14、已知：如图△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 是高，它们交于点H ，且AE=BE ，求证：AH=2BD ．HEA【课后作业】1、如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°2、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两 部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或8cm D. 以上都不对3、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个A 36°E DFBC4、如图, ∠MPN ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 则∠DCM ＝_______度。

5、 已知：在△ABC 中,∠A=20°,D 为AB 上一点,AD=DC,且 ∠ACD ∶∠BCD=2∶3,则 ∠ABC=_______．6、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，BP=CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．7、已知：如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 延长线于F ，连结AF ． 求证： ∠B=∠CAF.ACBPQPAECBD8、 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD 求证：AF=FCAB DFEC一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图案中是轴对称图形的是 ( )2．以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是 ( )3．到三角形的三个顶点距离相等的点是 ( )A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点4．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则 ( )A．PA＋PB>QA＋QB B．PA＋PB<QA＋QB C．PA＋PB＝QA＋QB D．不能确定5．等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为 ( ) A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°6．下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．47．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为 ( ) A．30° B．40° C．45° D．60°8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为 ( )A．7 B．11 C．7或11 D．7或109．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是 ( )A．40° B．35° C．25° D．20°10．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8 km，P，Q两地到l的距离分别为2 km，5 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是 ( )二、填空题（每小题3分，共24分）11．粗圆体的汉字“口”“天”等都是轴对称图形，请再写出至少三个以上这样的汉字_______．12．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，则△ABC是_______三角形．13．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20°，则其顶角的大小为_______．14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC＝2：1，则∠A＝_______．15．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，角平分线BE与CD相交于点F，如果不添加其他线和字母，那么图中等腰三角形有_______个．16．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C'的位置上，那么BC'的长为_______．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E是AD的任一点，若△ABC的面积为12 cm，则图中阴影部分的面积是_______cm．18．△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE，DF，BN三者的数量关系为_______．三、解答题（共46分）19．（6分）（2013．盐城）如图①是3x3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有几种？20．（6分）已知：如图，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE ＝AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．答案：考点精练1．82.5 2．30a 3．220 4．105°5．368 6．7秒或25秒 7．（2，•-23）8．10° 9．D 10．B 11．B 12．B13．7cm或11cm14．关系：DE=DB，∵CD=CE，∴∠E=∠EDC，又∵∠ACB=60°，∴∠E=30°，又∵∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，•∴DB=DE15．（1）①③或②③（2）已知①②求证△ABC是等腰三角形．证：先证△EBO≌△DCO．得OB=OC，得∠DBC=∠ECB．∴∠ABC=∠ACB．即△ABC是等腰三角形16．（1）△DEF是等边三角形，提示证△ADF≌△BED≌△CFE．即得△DEF是等边三角形（2）AD=BE=CF成立．证略．【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC ，∠2=13∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE ，即可得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB 时，∠BOC=90°+12∠A ； ∠1=13∠ABC ，∠2=13∠ACB 时，∠BOC=120°+13∠A ；∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n ∠ACB 时，∠BOC=1n n·180°+∠A ．【点评】在例1图中，若AE=1n AB ，AD=1nAC ．类似上题方法同样可证得BD=CE ．•上述规律仍然存在．会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．利用等腰三角形的性质证线段相等 例3．（2006年常德市）如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ． （1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 【分析】（1）把△ABP 绕点B 顺时针旋转60°即可得到△CBQ．•利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．【考点精练】一、基础训练1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．（1）（2）（3）2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，•若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．4．（2006年烟台市）如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．（4）（5）（6）5．（2006年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E 成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．6．（2006年诸暨市）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________．7．如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A•′的坐标为_______．8．（2006年江阴市）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20•°，且AE=•AD，则∠CDE=________．（7）（8）（9）9．（2005年常州市）如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）A．44° B．68° C．46° D．22°10．（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，•使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）A．L1B．L2C．L3D．L411．（2006年日照市）如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．•则∠A等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°（10）（11）12．（2006年怀化市）同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，•是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，•则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（）A．25° B．50° C．60° D．130°二、能力提升13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长．14．已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．• 试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．15．（2006年扬州市）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．三、应用与探究16．（2005年江西省）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、•CA上的点．（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．。