组合数学习题4(共5章)

第四章 生成函数

1. 求下列数列的生成函数： （1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4

}=

235

(11111)

1x x x x x +++-（）

（2）343,,,333n +?????????? ? ? ?????

???? 解：3n G n +?????? ?????=4

1(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=2

1

1x

-. （4）{1,k ,k 2,k 3,…}

解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…=

1

1kx -. 2. 求下列和式： （1）14+24+…+n 4

解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为

A(x)=235

(11111)1x x x x x +++-（）=0

k

k k a x ∞=∑， 此处a k =k 4

.令b n =14

+24

+…+n 4

，则b n =0n

k k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生

成函数为 B(x)= 0n

n n b x ∞

=∑=()

1A x x -=34

125(1111)i

i i x x x x x i ∞

=++++?? ???

∑. 比较等式两边x n 的系数，便得

14+24+…+n 4

=b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----???????? ? ? ? ?

????????

321

(1)(691)30

n n n n n =+++-

（2）1·2+2·3+…+n (n +1)

解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)=

3

2(1)x x -=0

k k k a x ∞

=∑，此处a k = n (n +1).

令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0

n

k k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成

函数为B(x)=

n

n n b x ∞

=∑=

()

1A x x -=

4

2(1)x

x -=032n

k k

k x x k =+??

??

?∑. 比较等式两边x n 的系数，便得

1·2+2·3+…+n (n +1)= b n =2(1)(2)

213n n n n n +++=-?? ???

. 3. 利用生成函数求解下列递推关系： （1）()7(1)12(2)(0)2,(1)7f n f n f n f f =---==???;

解：令A(x)=0()n n f n x ∞

=∑

则有A(x)-f(0)-f(1)x=

2()n

n f n x ∞

=∑=2

(7(1)12(2))n n

f n f n x

∞

=---∑

=2

1

7()12()n

n

n n x f n x x

f n x

∞

∞

==-∑∑

=7x(A(x)-f(0))-12x 2

A(x).

将f(0)=2，f(1)=7代入上式并整理，得

2

2711()(34)17121314n n

n x A x x x x x ∞

=-==+=+-+--∑. （2）()3(1)53(0)0n

f n f n f =-+?=???;

解：令A(x)=0()n n f n x ∞

=∑，则有

A(x)-f(0)= 1

(3(1)53)n n

n

f n x

∞

=-+?∑=0

3()153n

n n n n x f n x x x ∞∞

==+∑∑

=3xA(x)+15x ·

113x

-.

A(x)= 2

15(13)

x

x -

（3）()2(1)(2)

(0)0,(1)1

f n f n f n f f =-+-==??

?;

解：令A(x)=0

()n n f n x ∞=∑，则有

A(x)-f(0)-f(1)x=2(2(1)(2))n n

f n f n x ∞

=-+-∑=2

1

2()()n

n

n n x f n x x

f n x

∞

∞

==+∑∑

=2x(A(x)-f(0))+x 2

A(x).

将f(0)=0，f(1)=1代入上式并整理，得2

()12x A x x x

=--.

4. 设序列{n a }的生成函数为：

3

43(1)(1)

x

x x x --+-,但00b a =,110b a a =-, ……,1n n n b a a -=-,……,求序列{n b }的生成函数.

解：由00b a =,110b a a =-,……,1n n n b a a -=-,得0

n

k n k b a ==∑，所以A(x)=

()1B x x

-.

由此得B(x)=(1-x)A(x)= 3

431x

x x -+-，亦即序列{n b }的生成函数。 5. 已知生成函数2

39156x

x x

---,求对应的序列{n a }. 解：

2

39156x

x x ---=

5

2

8171

x x -

-+=1

1

521817x x --?

-+?

所以a n =-5·8n -2·(-7)n

.

6. 有红,黄,蓝,白球各两个,绿,紫,黑球各3个,从中取出10个球,试问有多少种

不同的取法？

解：M r =M y =M b =M w ={0,1,2}，M g =M p =M h ={0,1,2,3}，所以该取法的个数为

(1+x+x 2)4(1+x+x 2+x 3)3中x 10的系数，为678.

7. 口袋中有白球5个,红球3个,黑球2个,每次从中取5个,问有多少种取法？ 解：M w ={0,1,2,3,4,5}，M r ={0,1,2,3}，M b ={0,1,2}，所以从中取5个的取法个

数为(1+x+x 2)(1+x+x 2+x 3) (1+x+x 2+x 3+x 4+x 5)中x 5的系数，为12。

8. 求1,3,5,7,9这5个数字组成的n 位数个数,要求其中3和7出现的次数位

偶数,其它数字出现的次数无限制.

解：M 1=M 5 =M 9={0,1,2,3,…}，M 3 =M 7={0,2,4,…}

该排列的生成函数为

24232

(1...)(1...)2!4!2!

x x x x ++++++=14(e x +e -x )2e 3x =14(e 5x +e 3x +e x )

=140(5231)!

n n n

n x n ∞=+?+∑ 所以a n =

14

(5231)n n +?+.

9. 用3个1,2个2,5个3这十个数字能构成多少个偶的四位数？

解：因要组成偶的四位数，所以个位必为2，然后确定其它三位的排列即可.

M 1={0,1,2,3}，M 2 ={0,1}，M 3={0,1,2,3,4,5}，故生成函数为

2325

(1)(1)(1)2!3!2!5!

x x x x x x x ++++++++ .

其中3

3!

x 的系数为20，即可以组成20个偶的四位数。

10. 求由A,B,C,D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数目. 解：可把AB 看作一个整体，用E 表示，则

M A =M B =M C =M D ={0,1,2,…}，M E ={1,2,…}

故有224

(1)()2!2!

x x x x +++++ =e(4x)(e(x)-1)=e(5x)-e(4x)=5n -4n .

11. 从???{,,}n a n b n c 中取出n 个字母,要求a 的个数为3的倍数,b 的个数是

偶数,问有多少种取法?

解：由题意可知，M a ={0,3,6,…}，M b =M c ={0,1,2,…}，该取法的生成函数为

(1+x 3+x 6+…)(1+x+x 2+x 3)2

=3

11x -·421()1x x

-- 12. 把正整数8写成三个非负整数之和，要求n 1≤3,n 2≤3,n 3≤6.问有多少种

不同的方案？

解：由题意可知，M 1=M 2 ={0,1,2,3}，M 3={0,1,2,3,…,6}，则生成函数为 (1+x+x 2+x 3)2(1+x+x 2+x 3+…+x 6)

= 421()1x x --·711x x --=(1-2x 4-x 7+x 8+2x 11-x 15) ·3

1(1)x -

符合题意的方案数为x 8

的系数，为82421221222+++--+??????

? ? ???????

=13. 13. 在一个程序设计课程里,每个学生的每个任务最多可以运行10次.教员发

现某个任务共运行了38次.设有15名学生,每个学生对这一任务至少做一次.求观察到的总次数的组合数.

解：M 1=M 2 =…=M 15={1,2,3,…,10}，生成函数为

(x+x 2

+x 3

+…+x 10)15

=1015

15

1()1x x x

--，

其中x 38的系数为371527151714114214-+??????????

? ??? ?????????????

。

14. 用1角、2角、3角的邮票可贴出多少种不同数值的邮资？ 解：生成函数为G(x)=(1+x+x 2+…)(1+x 2+x 4+…)(1+x 3+x 6+…)

=

11x -·211x -· 3

11x

-=1+x+2x 2+3x 3+4x 4+… 15. 设多重集合=∞?∞?∞?∞?1234{,,,}S e e e e ,n a 表示集合S 满足下列条件的

n 组合数,分别求数列{n a }生成函数. （1）每个i e 出现奇数次（i ＝1,2,3,4）； （2）每个i e 出现4的倍数次i ＝1,2,3,4）； （3）1e 出现3或7次,3e 出现2,6或8次； （4）每个i e 至少出现6次（i ＝1,2,3,4）； 解：（1）由题意知，M 1=M 2=M 3=M 4={1,3,5,…}，故该组合数序列的生成函

数为(x+x 2+x 3+…)4=x 4·41(1)x -= x 4

·03n n n n x ∞

=+?? ???

∑=403n n n n x ∞+=+?? ???∑

. X n 的系数为13n -??

???

. （2）由题意知，M 1=M 2=M 3=M 4={0,4,8,…}，故该组合数序列的生成函

数为(1+x 4+x 8+…)4= 44

1

(1)

x -. （3）由题意知，M 1={3,7}，M 2= M 4={0,1,2,…}，M 3={2,6,8} 故该组合数序列的生成函数为

(x 3+x 7)(x 2+x 6+x 8)(1+x+x 2+…)2=(x 5+2x 9+x 11+x 13+x 15

) ·011n n n x ∞

=+?? ?

??

∑

. X n 的系数为

51911111311511

1

1

1

1

2n n n n n -+-+-+-+-+??????????

++++ ? ? ? ? ??

??

??

??

??

?

＝6n-56.

（4）由题意知，M 1=M 2=M 3=M 4={6,7,8,…}，故该组合数序列的生成函

数为(x 6+x 7+x 8+…)4=x 24·4

1(1)x -= x 24

·03n n n n x ∞

=+?? ???

∑=2403n n n n x ∞+=+?? ???∑

. X n

的系数为213n -??

???

. 16. 设多重集合=∞?∞?∞?∞? 123{,,,,}k S e e e e ,n a 表示集合S 满足下列条件的n 排列

（1）S 的每个元素出现偶数次； （2）S 的每个元素至少出现4次；

（3）S 的每个元素至多出现i 次（i =1,2,…,k ）； （4）S 的每个元素至少出现i 次（i =1,2,…,k ）； 解：（1）由题意知，M 1=M 2=M 3=…=M k ={0,2,4,…}，故该组合数序列的生成

函数为2

4

(1...)2!4!k x x +

+

+=()()2k

e x e x +-??

??

?

.

（2）由题意知，M 1=M 2=M 3=…=M k ={4,5,6,…}，故该组合数序列的生成 函数为

54(...)4!5!k

x x ++=3

212!3!

(())k x x e x --- =(-1)

i 0

(())[(1)(2)(3)]k i i k e k i x e e e i =-++?? ???

∑ =

00((1)[1(2)(3)])/!k

i i n i n

k n e e i x n ∞

==-++?? ???

∑∑ 0(1)[1(2)(3)]()k

n

n i n i e e k a k i i =-++??

=- ???

∑

（3）由题意知，M 1=M 2=M 3=…=M k ={0,1,2,…,i}，故该组合数序列的生

成函数为2(1...)2!!

i k

x x x i ++++.

（4）由题意知，M 1=M 2=M 3=…=M k ={i,i+1,i+2,…}，故该组合数序列的

生成函数为 1

(...)!(1)!

i i k x x i i ++++.

17. 用生成函数法证明下列等式：

（1）2122n n n n r r r r ++????????-+= ? ? ? ?-????????

证明：(1+x)n+2=(1+x)n ·(1+x)2=(1+2x+x 2) (1+x)n =x 2(1+x)n +2(1+x)n+1-(1+x)n

对比左右两边x r 的系数，左边=2n r +??

?

??，右边=122n n n r r r +??????+- ? ? ?-??????

， 整理得：2122n n n n r r r r ++????????

-+= ? ? ? ?-????????

.

等式得证.

（2）

0(1)q

j j q n q j n j r r q =+-??????-= ??? ?-??????

∑

证明：(1+x)n [(1+x)-1]q =x q (1+x)n ，

对比左右两边x r 的系数，

左边=00(1)(1)(1)q q

n

q j q j j q q x x j r n q j j -==++-+-=?????? ? ?????????

∑∑，右边=n r q -?? ???， 因此等式得证.

18. 设有砝码重为1g 的3个,重为2g 的4个,重为4g 的2个,问能称出多少种

重量？各有多少种方案？

解：由题意知，M 1={0,1,2,3}，M 2={0,1,2,3,4}，M 4={0,1,2}，故生成函数为 (1+x+x 2+x 3)(1 +x 2+x 4+x 6+x 8)(1+x 4+x 8)

=1+x+2x 2+2x 3+3x 4+3x 5+4x 6+4x 7+5x 8+5x 9+5x 10+5x 11+4x 12+4x 13+3x 14+3x 15+2x 16+2x 17+x 18+x 19

故共能称出20种重量，指数即为重量类型，系数为方案数. 19. 求方程x 1+2x 2+4x 3=21的正整数解的个数. 解：由题目可以看出，x 1为奇数，故生成函数为

(x+x 3+x 5+…)(x 2+x 4+x 6+…)(x 4+x 8+x 12+…)=(x 7+2x 9+x 11

)4022k k k x ∞

=+?? ???∑， 展开式中x 21的系数为20，亦即该方程正整数解的个数。

20. 23

31410203n n H x x x x +=++++++?? ?

??

（1）证明：02(1)2n

n n x H x ∞

=+-=?? ???∑ （2）求H 的表达式. 解：H 的生成函数为3n G n +??????

?????=4

1(1)

x -，所以 3

021(1)2(1)n

n n x H x x ∞

=+-==-?? ??

?∑. 21. 数1,2,3,… ,9的全排列中,求偶数在原来位置上,其余都不在原来位置上

的错排数目.

解：实际上是1，3，5，7，9这5个数的错排问题，总数为

5！-C(5,1)4!+C(5,2)3!-C(5,3)2!+C(5,4)1!-C(5,5)=44.

22. 求整数n 拆分成1,2,…,m 的和,并允许重复的拆分数.如若其中m 至少出

现1次,试求它的方案数和生成函数.

解：因为n 拆分成1，2，…，m 的和允许重复，故其生成函数为

G(x)=(1+x+x 2+…)(1+x 2+x 4+…)…(1+x m +x 2m +…)

=11x -·211x -·…· 11m

x

-

若要m 至少出现1次，则生成函数为

G 1(x)=(1+x+x 2+…)(1+x 2+x 4+…)…(x m +x 2m +…)

= 11x -·21

1x -·…· 1m m

x x

- 即：整数n 拆分成1到m 的拆分数，减去n 拆分成1到m －1的拆分数，即为拆分成1到m ，至少出现一个m 的拆分数。

23. n 个完全相同的球放到m 个有标志的盒子,不允许有空盒,问共有多少种

不同的方案？其中m ≤n .

解：令n 个球放到m 个有标志的盒子的方案数为a n ，由于不允许有空盒，因

此序列{a n }的生成函数为

G(x)=(x+x 2

+…)(x+x 2

+…)…(x+x 2

+…)= (1)

m

m

x x -. (1-x)-m =1+mx+

2(1)2!

m m x ++…

故其中x n-m 的系数为 (1) (1)

(1) (1)

(1)!

(1,1)

()!()!(1)!()!

m m m n m m m n n C n m n m n m m n m ++--+--=

=

=------ 即a n =C(n-1,m-1)

24. 求在8个字母A,B,C,D,E,F,G ,H 的全排列中,只有4个元素不在原来的位

置上的排列数.

解：8个字母中只有4个不在原来的位置上，其余4个字母保持不动，相当

于4个元素的错排，其数目为11

1

14!191!

2!3!

4!-

+

+

+

=??

??

?

. 故8个字母的全排列中有4个不在原来位置上的排列数应为C(8,4)·9=630.