第5讲.几何问题之角平分线题型Ⅰ(教师)

第五讲.几何问题之角平分线题型Ⅰ【教学目标】1.掌握角平分线的性质和判定；2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题；3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题；4.学习分析问题、解决问题的能力。

【知识、方法梳理】：一.知识要点详解：1.角平分线的性质定理：（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）定理的数学表示：如图1，已知OE 是AOB ∠的平分线，F 是OE 上一点，若 CF OA ⊥于点C ，DF OB ⊥于点D ，则CF DF =。

（3）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； （4）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

图1C图2CE2.角平分线性质定理的逆定理：（1）角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

（2）定理的数学表示：如图2，已知点F 在AOB ∠的内部，且FC OA ⊥于C ，FD OB ⊥于D ，若FD FC =，则点F 在AOB ∠的平分线上。

（3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。

（4）注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。

3.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

定理的数学表示：如图3，如果AP 、BQ 、CR 分别是ABC ∆的内角BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI EI FI ==。

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。

4.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法：（如下图示）1.已知角平分线，构造全等三角形；2.已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段；3.已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。

DB NP E DCBA三.角平分线性质定理之联想：1.由角平分线的性质联想两线段相等；2.由角平分线的轴对称性构造全等三角形；3.过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形。

【典例精讲】模块一.角平分线的对称性：基本图形例1.如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E F ，。

连接EF ，交AD 于点G 。

说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。

【分析】：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。

角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。

【解答】：EF AD ⊥，且EG FG =证明：Q AD 平分BAC ∠DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E F ，∴DE DF =在Rt DEA ∆和Rt DFA ∆中：Q DE DFAD AD =⎧⎨=⎩∴Rt DEA Rt DFA ∆≅∆ ∴ADE ADF ∠=∠在DGE ∆和DGF ∆中：Q DE DF GDE GDF DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DGE DGF ∆≅∆∴EG FG =，90DGE DGF ∠=∠=o ∴EF AD ⊥，且EG FG =。

►点评：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。

这样我们又多了一种证明线段相等的办法。

在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。

例2.如图，BE CF =，DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，BF 和CE 交于点D 。

求证：AD 平分BAC ∠。

【分析】：要证AD 平分BAC ∠，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。

而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。

【证明】：Q DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ∴90DEB DFC ∠=∠=o 在BDE ∆和CDF ∆中Q DEB DFC BDE CDF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDF ∆≅∆ ∴DE DF =又Q DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ∴AD平分BAC ∠。

►点评：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件DE DF =或DF AC ⊥，DE AB ⊥，那么得出AD 平分BAC ∠这一结论是错误的。

例 3.如图，在ABC ∆中，90C ∠=o ，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =。

求证：CF EB =。

【分析】：由已知条件很容易得到DC DE =；要证明CF EB =，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。

【证明】：Q AD 平分BAC ∠，90C ∠=o ，DE AB ⊥∴DC DE =在Rt FCD ∆与Rt BED ∆中 Q DC DE DF BD =⎧⎨=⎩∴Rt FCD Rt BED ∆≅∆ ∴CF EB =。

►点评：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。

例4.如图，已知在ABC ∆中，BD DC =，12∠=∠。

求证：AD 平分BAC ∠。

【分析】：有两种方法证明AD 平分BAC ∠：一是直接利用定义证明BAD CAD ∠=∠；二是利用角平分线的判定，证明点D 到角的两边距离相等。

仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。

后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。

【证明】：过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ∴90BED CFD ∠=∠=o在BDE ∆与CDF ∆中： Q 12BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDF ∆≅∆ ∴DE DF =又Q DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ∴AD 平分BAC ∠。

►点评：1.当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线；2.用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。

例5.如图，已知在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=o ，AC 平分BAD ∠，CE AD ⊥，E 为垂足。

求证：2AB AD AE +=。

【证明】：延长AB ，过C 作CH AB ⊥，H 为垂足 Q AC 平分BAD ∠，且CE AD ⊥，CH AB ⊥∴CH CE =又Q 190HCA ∠+∠=o ，290ECA ∠+∠=o ，12∠=∠ ∴HCA ECA ∠=∠在ACH ∆与ACE ∆中： Q 90HCA ECA H AEC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o∴ACH ACE ∆≅∆ ∴AH AE =又Q 180ABC HBC ∠+∠=o ，180ABC D ∠+∠=o ∴HBC D ∠=∠在Rt BHC ∆与Rt DEC ∆中， Q 90HBC D BHC DEC HC EC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ∴Rt BHC Rt DEC ∆≅∆ ∴HB DE =∴AB AD AB AE ED +=++AB AE BH =++AH AE =+2AE = ∴2AB AD AE +=例6. 如图1，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o，CD AB ⊥，垂足为D 。

AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F 。

（1）求证：CE CF =。

（2）将图2中的ADE ∆沿AB 向右平移到'''A D E ∆的位置，使点'E 落在BC 边上，其它条件不变，如图2所示。

试猜想：'BE 与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论。

图1图2【解析】（1）证明:,90.90,90,90.CD AB ADC ACB CAF CFA DAE AED ⊥∴∠=∠=∴∠+∠=∠+∠=ooo oQ QAF Q 平分CAB ∠....CAF DAE CFA AED CEF CE CF ∴∠=∠∴∠=∠=∠∴=（2）解：'BE CF =.证明：如图2，过点E 作EG AC ⊥于点G .又AF Q 平分CAB ∠，ED AB ⊥，ED EG ∴=.由平移的性质可知：''D E DE =，''D E GE ∴=.90ACB ∠=oQ ，90ACD DCB ∴∠+∠=o .CD AB ⊥Q 于.90.D B DCB ∴∠+∠=o .ACD B ∴∠=∠在Rt CEG ∆与''Rt BE D ∆中，''''''',,,..GCE B CGE BD E EG E D CEG BE D CE BE ∠=∠∠=∠=∴∆≅∆∴=Q由（1）可知CE CF =，'CF BE =.例7.（1）如图1所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∆的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由。

（2）如图2所示，AD 是ABC ∆的内角平分线，其它条件不变，试比较PC PB -与AC AB -的大小，并说明理由。

图1图2【解析】（1）PB PC +>AB AC +，理由如下：在BA 的延长线上截取AE AC =，连接PE ，如图1 AD Q 是BAC ∆的外角平分线， .CAP EAP ∴∠=∠在ACP ∆和AEP ∆中，AC AE =，CAP EAP ∠=∠，AP AP =. ACP AEP ∴∆≅∆，在BPE ∆中，PB PE +>BE ，,.BE BA AE AB AC PB PC AB AC =+=+∴+>+Q（2）PC PB AC AB -<-，理由如下：在AC 上取一点E ，使AE AB =，连接PE ，如图2 AD Q 平分BAC ∠， EAP BAP ∴∠=∠.AE AB =Q ，AP AP =， APE APB ∴∆≅∆， PE PB ∴=.在EPC ∆中，，PC PE EC -<即PC PB AC AE -<-，PC PB AC AB ∴-<-.【双基训练】1.如图，12∠=∠，PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ，下列结论中错误的是( ) ().A PD PE = ().B OD OE = ().C DPO EPO ∠=∠ ().C PD OD =2.如图，ABC ∆中，120ABC ∠=o，26C ∠=o，且DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF = 求ADC ∠的度数。