第5讲.几何问题之角平分线题型Ⅰ(教师)

第五讲.几何问题之角平分线题型Ⅰ

【教学目标】

1.掌握角平分线的性质和判定；

2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题；

3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题；

4.学习分析问题、解决问题的能力。

【知识、方法梳理】：

一.知识要点详解：

1.角平分线的性质定理：

（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）定理的数学表示：如图1，已知OE 是AOB ∠的平分线，F 是OE 上一点，若 CF OA ⊥于点C ，DF OB ⊥于点D ，则CF DF =。 （3）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； （4）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

图1C

图2C

E

2.角平分线性质定理的逆定理：

（1）角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

（2）定理的数学表示：如图2，已知点F 在AOB ∠的内部，且FC OA ⊥于C ，FD OB ⊥于D ，若FD FC =，则点F 在AOB ∠的平分线上。

（3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。 （4）注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。

3.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

定理的数学表示：如图3，如果AP 、BQ 、CR 分别是ABC ∆的内角BAC ∠、ABC ∠、

ACB ∠的平分线，那么：

① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；

② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI EI FI ==。 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。 （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。

4.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法：（如下图示）

1.已知角平分线，构造全等三角形；

2.已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段；

3.已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。

D

B N

P E D

C

B

A

三.角平分线性质定理之联想：

1.由角平分线的性质联想两线段相等；

2.由角平分线的轴对称性构造全等三角形；

3.过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形。

【典例精讲】

模块一.角平分线的对称性：

基本图形

例1.如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E F ，。连接EF ，交AD 于点G 。说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。

【分析】：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。 【解答】：EF AD ⊥，且EG FG =

证明：Q AD 平分BAC ∠

DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E F ，

∴DE DF =

在Rt DEA ∆和Rt DFA ∆中：Q DE DF

AD AD =⎧⎨=⎩

∴Rt DEA Rt DFA ∆≅∆ ∴ADE ADF ∠=∠

在DGE ∆和DGF ∆中：Q DE DF GDE GDF DG DG =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴DGE DGF ∆≅∆

∴

EG FG =，90DGE DGF ∠=∠=o ∴EF AD ⊥，且EG FG =。

►点评：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。

例2.如图，BE CF =，DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，BF 和CE 交于点D 。 求证：AD 平分BAC ∠。

【分析】：要证AD 平分BAC ∠，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。

【证明】：Q DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ∴90DEB DFC ∠=∠=o 在BDE ∆和CDF ∆中

Q DEB DFC BDE CDF BE CF ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴BDE CDF ∆≅∆ ∴DE DF =

又Q DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ∴AD

平分BAC ∠。

►点评：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件DE DF =或DF AC ⊥，DE AB ⊥，那么得出AD 平分BAC ∠这一结论是错误的。

例 3.如图，在ABC ∆中，90C ∠=o ，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，

BD DF =。求证：CF EB =。

【分析】：由已知条件很容易得到

DC DE =；要证明CF EB =，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。

【证明】：

Q AD 平分BAC ∠，90C ∠=o ，DE AB ⊥

∴DC DE =

在Rt FCD ∆与Rt BED ∆中 Q DC DE DF BD =⎧⎨=⎩

∴Rt FCD Rt BED ∆≅∆ ∴CF EB =。

►点评：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。

例4.如图，已知在ABC ∆中，BD DC =，12∠=∠。求证：AD 平分BAC ∠。

【分析】：有两种方法证明AD 平分BAC ∠：一是直接利用定义证明BAD CAD ∠=∠；二是利用角平分线的判定，证明点D 到角的两边距离相等。

仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。

【证明】：过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ∴90BED CFD ∠=∠=o

在BDE ∆与CDF ∆中： Q 12BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴BDE CDF ∆≅∆ ∴DE DF =